Einstein's Photoelectric Equation and Energy Quantum of Radiation Questions in Hindi

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = \frac{1}{2} m v^2 = E_p - \phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $E_p$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $\phi$ धातु का कार्य फलन है।
दिया गया है $\phi = 0.8 eV$।
$E_1 = 1.3 eV$ ऊर्जा वाले पहले फोटॉन के लिए:
$\frac{1}{2} m v_1^2 = 1.3 eV - 0.8 eV = 0.5 eV$ --- $(1)$
$E_2 = 2.8 eV$ ऊर्जा वाले दूसरे फोटॉन के लिए:
$\frac{1}{2} m v_2^2 = 2.8 eV - 0.8 eV = 2.0 eV$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\frac{1}{2} m v_1^2}{\frac{1}{2} m v_2^2} = \frac{0.5 eV}{2.0 eV}$
$\frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{0.5}{2.0} = \frac{1}{4}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$
अतः,अधिकतम चाल का अनुपात $1: 2$ है।

(C) अवधारणा: निरोधी विभव $V$,आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत प्रभाव समीकरण के माध्यम से फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max}$ से संबंधित है:
$eV = K_{\max} = hv - hv_0$
इसलिए,
$V = \left(\frac{h}{e}\right)v - \left(\frac{h}{e}\right)v_0$
यह समीकरण $y = mx + c$ के रूप में है,जो एक सीधी रेखा को दर्शाता है।
यहाँ,ढाल $m = \frac{h}{e}$ धनात्मक है,और $V$-अक्ष पर अंतःखंड $-\left(\frac{h}{e}\right)v_0$ है।
जब $v = v_0$ होता है,तो निरोधी विभव $V = 0$ होता है।
इस प्रकार,ग्राफ $v = v_0$ बिंदु से शुरू होने वाली और आवृत्ति के साथ रैखिक रूप से बढ़ने वाली एक सीधी रेखा है।
ग्राफ $(A)$ इस संबंध को सही ढंग से दर्शाता है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K.E._{max})$ इस प्रकार है:
$K.E._{max} = E - \phi$
जहाँ $E$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $\phi$ धातु का कार्य फलन (work function) है।
यह दिया गया है कि कट-ऑफ आवृत्ति (देहली आवृत्ति) $v$ है,इसलिए कार्य फलन $\phi = hv$ है।
$2v$ आवृत्ति वाले आपतित विकिरण की ऊर्जा $E = h(2v) = 2hv$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\frac{1}{2}mv_{max}^2 = 2hv - hv$
$\frac{1}{2}mv_{max}^2 = hv$
$v_{max}^2 = \frac{2hv}{m}$
$v_{max} = \sqrt{\frac{2hv}{m}}$

(B) आइंस्टीन का प्रकाश-विद्युत समीकरण है: $e V = \frac{h c}{\lambda} - \phi$,जिसे $\frac{h c}{\lambda} = \phi + e V$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$\lambda$ तरंगदैर्ध्य के लिए निरोधी विभव $V_1$ है:
$\frac{h c}{\lambda} = \phi + e V_1$ --- $(1)$
$\frac{\lambda}{2}$ तरंगदैर्ध्य के लिए निरोधी विभव $V_2$ है:
$\frac{h c}{\lambda / 2} = \phi + e V_2 \Rightarrow \frac{2 h c}{\lambda} = \phi + e V_2$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ से $\frac{h c}{\lambda}$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$2(\phi + e V_1) = \phi + e V_2$
$2 \phi + 2 e V_1 = \phi + e V_2$
$e V_2 = 2 e V_1 + \phi$
$e$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है:
$V_2 = 2 V_1 + \frac{\phi}{e}$

(C) आइंस्टीन के फोटोइलेक्ट्रिक समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = h v - h v_0$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v_0$ देहली आवृत्ति है।
चूंकि स्टॉपिंग विभव $V_s$ अधिकतम गतिज ऊर्जा से $K_{max} = e V_s$ द्वारा संबंधित है,इसलिए हमारे पास $e V_s = h v - h v_0$ ... $(1)$ है।
दूसरे मामले के लिए,$v/2$ आवृत्ति और $V_s/4$ स्टॉपिंग विभव के साथ,हमारे पास $e(V_s/4) = h(v/2) - h v_0$ ... $(2)$ है।
समीकरण $(1)$ से,$e V_s = h v - h v_0$ है। इसे समीकरण $(2)$ में $4$ से गुणा करके प्रतिस्थापित करने पर:
$e V_s = 4(h v/2 - h v_0) = 2h v - 4h v_0$ प्राप्त होता है।
$e V_s$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$h v - h v_0 = 2h v - 4h v_0$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $3h v_0 = h v$ प्राप्त होता है।
अतः,$v_0 = v/3$।

(D) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है: $h = 6.63 \times 10^{-34} J s$, $c = 3 \times 10^8 m/s$, और $\lambda = 4100 \times 10^{-10} m$.
$E = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{4100 \times 10^{-10}} J = 4.85 \times 10^{-19} J$.
इस ऊर्जा को इलेक्ट्रॉन-वोल्ट $(eV)$ में बदलने के लिए $e = 1.6 \times 10^{-19} C$ से विभाजित करें:
$E = \frac{4.85 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} eV \approx 3.03 eV$.
फोटोइलेक्ट्रिक उत्सर्जन तब होता है यदि आपतित फोटॉन की ऊर्जा धातु के कार्य फलन $(\Phi)$ से अधिक हो।
धातु $A$ के लिए: $\Phi_A = 1.92 eV < 3.03 eV$ (उत्सर्जन होगा)।
धातु $B$ के लिए: $\Phi_B = 2.0 eV < 3.03 eV$ (उत्सर्जन होगा)।
धातु $C$ के लिए: $\Phi_C = 5 eV > 3.03 eV$ (उत्सर्जन नहीं होगा)।
अतः, धातु $A$ और $B$ फोटोइलेक्ट्रॉन उत्सर्जित करेंगी।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार:
$eV = \frac{hc}{\lambda} - \Phi$ --- $(1)$
जहाँ $V$ निरोधी विभव है,$\lambda$ आपतित तरंगदैर्ध्य है और $\Phi$ धातु का कार्य फलन (work function) है।
जब आपतित तरंगदैर्ध्य को बदलकर $2\lambda$ कर दिया जाता है,तो मान लीजिए नया निरोधी विभव $V'$ है। समीकरण इस प्रकार होगा:
$eV' = \frac{hc}{2\lambda} - \Phi$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ में से समीकरण $(2)$ को घटाने पर:
$eV - eV' = \left( \frac{hc}{\lambda} - \Phi \right) - \left( \frac{hc}{2\lambda} - \Phi \right)$
$e(V - V') = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{2\lambda} = \frac{hc}{2\lambda}$
$V - V' = \frac{hc}{2e\lambda}$
$V' = V - \frac{hc}{2e\lambda}$

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max}$ इस प्रकार दी जाती है:
$K_{max} = h\nu - \phi$
जहाँ $\phi$ धातु का कार्य फलन (work function) है।
दिया गया है कि थ्रेशोल्ड आवृत्ति $\nu$ है, इसलिए कार्य फलन $\phi = h\nu$ होगा।
जब $2\nu$ आवृत्ति का विकिरण धातु पर आपतित होता है, तो अधिकतम गतिज ऊर्जा होगी:
$K_{max} = h(2\nu) - h\nu = h\nu$
चूंकि $K_{max} = \frac{1}{2}mv_{max}^2$, इसलिए:
$\frac{1}{2}mv_{max}^2 = h\nu$
$v_{max}^2 = \frac{2h\nu}{m}$
$v_{max} = \sqrt{\frac{2h\nu}{m}}$
अतः, विकल्प $A$ सही है।

(B) सबसे तेज़ उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $K_{max} = \frac{1}{2} m v^2$ द्वारा दी जाती है।
निरोधी विभव $V$ वह विभव है जो इन सबसे तेज़ इलेक्ट्रॉनों को रोकने के लिए आवश्यक है,ताकि विद्युत क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य अधिकतम गतिज ऊर्जा के बराबर हो:
$e V = K_{max}$
$e V = \frac{1}{2} m v^2$
$V$ के लिए हल करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$V = \frac{m v^2}{2 e}$

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{max})$ $K_{max} = h\nu - \Phi$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है, $\nu$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है, और $\Phi$ धातु की सतह का कार्य फलन (work function) है।
चूंकि किसी दी गई धातु के लिए $h$ और $\Phi$ नियतांक हैं, इसलिए गतिज ऊर्जा $K_{max}$ सीधे आपतित प्रकाश की आवृत्ति $\nu$ पर निर्भर करती है।
प्रकाश की तीव्रता प्रति सेकंड उत्सर्जित होने वाले फोटोइलेक्ट्रॉनों की संख्या को प्रभावित करती है, न कि उनकी व्यक्तिगत गतिज ऊर्जा को।

(B) उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण द्वारा दी जाती है:
$(KE)_{\max} = h\nu - \phi = 4.2 \text{ eV} - 2.4 \text{ eV} = 1.8 \text{ eV}$.
उत्सर्जन तब रुक जाता है जब गोले का विभव $V$ ऐसे मान तक पहुँच जाता है कि इलेक्ट्रॉन की स्थितिज ऊर्जा उसकी अधिकतम गतिज ऊर्जा के बराबर हो जाती है:
$eV = (KE)_{\max} \implies V = 1.8 \text{ V}$.
$r$ त्रिज्या वाले धात्विक गोले का विभव $V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $1.8 = (9 \times 10^9) \times \frac{q}{0.1}$.
आवेश $q$ के लिए हल करने पर: $q = \frac{1.8 \times 0.1}{9 \times 10^9} = 2 \times 10^{-11} \text{ C}$.
उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की संख्या $n = \frac{q}{e} = \frac{2 \times 10^{-11}}{1.6 \times 10^{-19}} = 1.25 \times 10^8$.

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K.E.)_{max}$ इस प्रकार दी जाती है:
$(K.E.)_{max} = h v - h v_0$
जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$v$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है,और $v_0$ देहली आवृत्ति है।
आवृत्तियों $v_1$ और $v_2$ के लिए,हमारे पास है:
$(K.E.)_1 = h v_1 - h v_0$ ....$(1)$
$(K.E.)_2 = h v_2 - h v_0$ ....$(2)$
दिया गया है कि अधिकतम गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{(K.E.)_1}{(K.E.)_2} = \frac{1}{K}$ है।
समीकरण $(1)$ को $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{K} = \frac{h v_1 - h v_0}{h v_2 - h v_0} = \frac{v_1 - v_0}{v_2 - v_0}$
तिर्यक गुणा करने पर:
$v_2 - v_0 = K(v_1 - v_0)$
$v_2 - v_0 = K v_1 - K v_0$
$K v_0 - v_0 = K v_1 - v_2$
$v_0(K - 1) = K v_1 - v_2$
$v_0 = \frac{K v_1 - v_2}{K - 1}$

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K.E.)_{max}$ इस प्रकार है:
$(K.E.)_{max} = \frac{hc}{\lambda} - W_0$,जहाँ $W_0$ कार्य फलन (work function) है।
प्रथम स्थिति के लिए:
$(K.E.)_1 = \frac{1}{2}mV^2 = \frac{hc}{\lambda} - W_0$ ... $(1)$
दूसरी स्थिति के लिए,तरंगदैर्ध्य $\lambda' = \frac{2\lambda}{3}$ लेने पर:
$(K.E.)_2 = \frac{1}{2}mv_2^2 = \frac{hc}{\lambda'} - W_0 = \frac{hc}{(2\lambda/3)} - W_0 = \frac{3}{2}\frac{hc}{\lambda} - W_0$ ... $(2)$
समीकरण $(1)$ से,$\frac{hc}{\lambda} = \frac{1}{2}mV^2 + W_0$. इस मान को समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$(K.E.)_2 = \frac{3}{2}(\frac{1}{2}mV^2 + W_0) - W_0$
$(K.E.)_2 = \frac{3}{2}(\frac{1}{2}mV^2) + \frac{3}{2}W_0 - W_0$
$(K.E.)_2 = \frac{3}{2}(\frac{1}{2}mV^2) + \frac{1}{2}W_0$
चूंकि $W_0 > 0$,इसलिए $(K.E.)_2 > \frac{3}{2}(K.E.)_1$ होगा।
$\frac{1}{2}mv_2^2 > \frac{3}{2}(\frac{1}{2}mV^2)$
$v_2^2 > 1.5 V^2$
$v_2 > \sqrt{1.5} V = (1.5)^{1/2} V$.

(D) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = 10 eV$ है।
देहली आवृत्ति $\nu_0 = 2 \times 10^{15} Hz$ है।
कार्य फलन $W_0$ का सूत्र $W_0 = h\nu_0$ है।
मान रखने पर: $W_0 = (6.63 \times 10^{-34} Js) \times (2 \times 10^{15} Hz) = 13.26 \times 10^{-19} J$.
इसे $eV$ में बदलने के लिए,इलेक्ट्रॉन के आवेश $(1.6 \times 10^{-19} C)$ से विभाजित करें:
$W_0 = \frac{13.26 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} eV \approx 8.2875 eV \approx 8.3 eV$.
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = E - W_0$ है।
$K_{max} = 10 eV - 8.3 eV = 1.7 eV$.

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max}$ इस प्रकार है:
$K_{\max} = E - \phi$
जहाँ $E = \frac{hc}{\lambda}$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{2} mv_{\max}^2 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$
$\frac{1}{2} mv_{\max}^2 = \frac{hc - \phi \lambda}{\lambda}$
दोनों पक्षों को $\frac{2}{m}$ से गुणा करने पर:
$v_{\max}^2 = \frac{2(hc - \phi \lambda)}{m \lambda}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$v_{\max} = \sqrt{\frac{2(hc - \phi \lambda)}{m \lambda}}$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,गतिज ऊर्जा $K = \frac{hc}{\lambda} - W_0$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $W_0$ कार्य फलन है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda_1$ के लिए,गतिज ऊर्जा $K_1 = \frac{hc}{\lambda_1} - W_0$ है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda_2$ के लिए,गतिज ऊर्जा $K_2 = \frac{hc}{\lambda_2} - W_0$ है।
दिया गया है कि $K_2 = 3K_1$,इसलिए:
$\frac{hc}{\lambda_2} - W_0 = 3\left(\frac{hc}{\lambda_1} - W_0\right)$.
$\frac{hc}{\lambda_2} - W_0 = \frac{3hc}{\lambda_1} - 3W_0$.
$W_0$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$3W_0 - W_0 = \frac{3hc}{\lambda_1} - \frac{hc}{\lambda_2}$.
$2W_0 = hc\left(\frac{3}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_2}\right)$.
$2W_0 = hc\left(\frac{3\lambda_2 - \lambda_1}{\lambda_1\lambda_2}\right)$.
अतः,$W_0 = \frac{hc}{2}\left(\frac{3\lambda_2 - \lambda_1}{\lambda_1\lambda_2}\right)$.

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा इस प्रकार दी जाती है:
$(KE)_{\max} = h\nu - \phi_0$
जहाँ $\phi_0 = h\nu_0$ कार्य फलन (work function) है।
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर:
यहाँ,$y = (KE)_{\max}$,$x = \nu$,$m = h$ (ढाल),और $c = -h\nu_0$ ($Y$-अंतःखंड) है।
$1$. $X$-अंतःखंड $(A)$ तब प्राप्त होता है जब $(KE)_{\max} = 0$:
$0 = h\nu - h\nu_0 \implies \nu = \nu_0 = A$.
$2$. $Y$-अंतःखंड $(B)$ तब प्राप्त होता है जब $\nu = 0$:
$(KE)_{\max} = -h\nu_0 = B$। चूंकि $B$ अंतःखंड का परिमाण दर्शाता है,हम $|B| = h\nu_0$ लेते हैं।
इसलिए,$Y$-अंतःखंड के परिमाण और $X$-अंतःखंड का अनुपात है:
$\frac{|B|}{A} = \frac{h\nu_0}{\nu_0} = h$.
अतः,प्लांक नियतांक $h$ को $\frac{B}{A}$ द्वारा दिया जाता है (परिमाणों पर विचार करते हुए)।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $E$ को $E = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\phi$ पदार्थ का कार्य फलन (work function) है। यह दर्शाता है कि $E$ केवल आपतित प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ पर निर्भर करता है,विशेष रूप से $E \propto \frac{1}{\lambda}$।
प्रकाश की तीव्रता $I$ प्रति इकाई समय में प्रति इकाई क्षेत्रफल पर आपतित फोटॉनों की संख्या के समानुपाती होती है। चूँकि प्रत्येक फोटॉन उत्सर्जन का कारण बनने के लिए एक इलेक्ट्रॉन के साथ परस्पर क्रिया करता है,इसलिए उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की संख्या $N$ आपतित प्रकाश की तीव्रता $I$ के सीधे समानुपाती होती है $(N \propto I)$।

(D) उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $K_{max} = \frac{1}{2}mv^2$ द्वारा दी जाती है।
निरोधी विभव $V_s$ पर,मंदक विद्युत क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा के बराबर होता है।
अतः,$eV_s = \frac{1}{2}mv^2$।
निरोधी विभव $V_s$ के लिए हल करने पर:
$V_s = \frac{mv^2}{2e}$।
इसे $V_s = \frac{v^2}{2(e/m)}$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, उत्सर्जित प्रकाशिक इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = h\nu - \phi$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है, $\nu$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है, और $\phi$ धातु का कार्य फलन है।
प्रारंभ में, $K_{max1} = h\nu - \phi$.
जब आवृत्ति को दोगुना किया जाता है, तो नई आवृत्ति $\nu' = 2\nu$ होती है।
नई अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max2} = h(2\nu) - \phi = 2h\nu - \phi$ है।
चूंकि $K_{max2} = 2(h\nu - \phi/2)$, और $\phi > 0$ है, इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि $K_{max2} > 2(h\nu - \phi) = 2K_{max1}$।
अतः, अधिकतम गतिज ऊर्जा प्रारंभिक मान के दोगुने से थोड़ी अधिक बढ़ जाती है।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित प्रकाशिक इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K.E.)_{\max}$ इस प्रकार दी जाती है:
$(K.E.)_{\max} = h\nu - \phi_0$
जहाँ:
$h\nu$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है।
$\phi_0$ धातु का कार्य फलन है।
इस समीकरण से यह स्पष्ट है कि स्थिर आपतित आवृत्ति $\nu$ के लिए,$(K.E.)_{\max}$ कार्य फलन $\phi_0$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
इसलिए,यदि कार्य फलन $\phi_0$ बढ़ता है,तो अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K.E.)_{\max}$ घट जाती है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा '$K$' इस प्रकार है: $K = E - W_{0}$.
चूंकि $K = \frac{P^{2}}{2m}$,इसलिए इलेक्ट्रॉन का संवेग '$P$' होगा: $P = \sqrt{2mK} = \sqrt{2m(E - W_{0})}$.
जब कोई आवेशित कण अपने वेग के लंबवत एक समान चुंबकीय क्षेत्र '$B$' में गति करता है,तो वह '$r = \frac{P}{eB}$' त्रिज्या के वृत्ताकार पथ का अनुसरण करता है।
'$P$' का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $r = \frac{\sqrt{2m(E - W_{0})}}{eB}$.

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(E_k)$ इस प्रकार दी जाती है:
$E_k = h\nu - \Phi$
जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$\nu$ आपतित विकिरण की आवृत्ति है,और $\Phi$ धातु का कार्य फलन (work function) है।
यह समीकरण $y = mx + c$ के रूप में है,जहाँ $y = E_k$,$x = \nu$,$m = h$ (ढाल),और $c = -\Phi$ (y-अंतःखंड) है।
चूंकि y-अंतःखंड ऋणात्मक $(-\Phi)$ है,इसलिए ग्राफ एक सीधी रेखा है जो मूल बिंदु से नहीं गुजरती है। यह x-अक्ष पर देहली आवृत्ति $\nu_0$ से शुरू होती है (जहाँ $E_k = 0$,इसलिए $h\nu_0 = \Phi$) और इसकी ढाल $h$ धनात्मक है। दी गई आकृति में धनात्मक x-अंतःखंड के साथ एक सीधी रेखा दिखाई गई है,जो इस संबंध को सही ढंग से दर्शाती है।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{max})$ $K_{max} = h\nu - \Phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$\nu$ आपतित विकिरण की आवृत्ति है,और $\Phi$ धातु की सतह का कार्य फलन है।
यह समीकरण दर्शाता है कि अधिकतम गतिज ऊर्जा केवल आपतित विकिरण की आवृत्ति और धातु के कार्य फलन पर निर्भर करती है। यह आपतित विकिरण की तीव्रता $(I)$ से स्वतंत्र है।
इसलिए,तीव्रता $(I)$ के साथ अधिकतम गतिज ऊर्जा $(E)$ के परिवर्तन को दर्शाने वाला ग्राफ तीव्रता अक्ष के समानांतर एक क्षैतिज रेखा होनी चाहिए। यदि ग्राफ $(D)$ इस स्थिर व्यवहार को दर्शाता है,तो सही विकल्प $(D)$ है।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$,जहाँ $\phi$ कार्य फलन है।
चूंकि $K_{max} = eV_{s}$,जहाँ $V_{s}$ निरोधी विभव है,इसलिए $eV_{s} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ है।
प्रथम स्थिति के लिए: $eV_{0} = \frac{hc}{\lambda_{0}} - \phi$ --- $(1)$
दूसरी स्थिति के लिए $2\lambda_{0}$ तरंगदैर्ध्य के साथ: $eV_{s}' = \frac{hc}{2\lambda_{0}} - \phi$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ में से समीकरण $(2)$ को घटाने पर:
$eV_{0} - eV_{s}' = \left(\frac{hc}{\lambda_{0}} - \phi\right) - \left(\frac{hc}{2\lambda_{0}} - \phi\right)$
$e(V_{0} - V_{s}') = \frac{hc}{\lambda_{0}} - \frac{hc}{2\lambda_{0}} = \frac{hc}{2\lambda_{0}}$
$V_{0} - V_{s}' = \frac{hc}{2e\lambda_{0}}$
$V_{s}' = V_{0} - \frac{hc}{2e\lambda_{0}}$
नोट: यदि $\frac{hc}{2\lambda_{0}} < \phi$ है,तो निरोधी विभव $0$ होगा क्योंकि प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन नहीं होगा।

(D) पदार्थ की थ्रेशोल्ड आवृत्ति $\nu_0$ है। प्रारंभिक आपतित आवृत्ति $\nu_1 = 2\nu_0$ है। चूंकि $\nu_1 > \nu_0$,इसलिए प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन होता है।
जब आपतित आवृत्ति को बदलकर $\nu_2 = \frac{1}{3} \nu_1 = \frac{1}{3} (2\nu_0) = \frac{2}{3} \nu_0$ कर दिया जाता है।
प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन होने के लिए,आपतित आवृत्ति थ्रेशोल्ड आवृत्ति के बराबर या उससे अधिक होनी चाहिए $(\nu \ge \nu_0)$।
चूंकि $\nu_2 = \frac{2}{3} \nu_0 < \nu_0$,इसलिए आपतित आवृत्ति अब थ्रेशोल्ड आवृत्ति से कम है।
अतः,तीव्रता में वृद्धि के बावजूद कोई प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन नहीं होगा।
इस प्रकार,प्रकाश-विद्युत धारा शून्य हो जाएगी।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ होती है,जहाँ $\phi$ कार्य फलन है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda_{1}$ के लिए,$E_{1} = \frac{hc}{\lambda_{1}} - \phi$ --- $(i)$
तरंगदैर्ध्य $\lambda_{2}$ के लिए,$E_{2} = \frac{hc}{\lambda_{2}} - \phi$ --- (ii)
समीकरण $(i)$ से,$hc = \lambda_{1}(E_{1} + \phi)$।
समीकरण (ii) से,$hc = \lambda_{2}(E_{2} + \phi)$।
$hc$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\lambda_{1}(E_{1} + \phi) = \lambda_{2}(E_{2} + \phi)$
$\lambda_{1}E_{1} + \lambda_{1}\phi = \lambda_{2}E_{2} + \lambda_{2}\phi$
$\phi(\lambda_{1} - \lambda_{2}) = \lambda_{2}E_{2} - \lambda_{1}E_{1}$
$\phi = \frac{\lambda_{2}E_{2} - \lambda_{1}E_{1}}{\lambda_{1} - \lambda_{2}}$
अंश और हर को $-1$ से गुणा करने पर,$\phi = \frac{\lambda_{1}E_{1} - \lambda_{2}E_{2}}{\lambda_{2} - \lambda_{1}}$ प्राप्त होता है।

(B) उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $K_{max} = \frac{1}{2} mv^{2}$ द्वारा दी जाती है।
निरोधी विभव $V_{s}$ पर,मंदक विभव द्वारा किया गया कार्य अधिकतम गतिज ऊर्जा के बराबर होता है,इसलिए $eV_{s} = \frac{1}{2} mv^{2}$।
$V_{s}$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $V_{s} = \frac{1}{2} \frac{m}{e} v^{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\frac{m}{e} = \frac{1}{(e/m)}$,हम लिख सकते हैं $V_{s} = \frac{v^{2}}{2(e/m)}$।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = E - W$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $E$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $W$ कार्य फलन है।
प्रथम स्थिति के लिए,$E_1 = 3W$. अतः,$K_1 = \frac{1}{2}mv_1^2 = 3W - W = 2W$.
द्वितीय स्थिति के लिए,$E_2 = 5W$. अतः,$K_2 = \frac{1}{2}mv_2^2 = 5W - W = 4W$.
दोनों समीकरणों का अनुपात लेने पर:
$\frac{\frac{1}{2}mv_1^2}{\frac{1}{2}mv_2^2} = \frac{2W}{4W} = \frac{1}{2}$.
अतः,$\frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{1}{2}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{v_1}{v_2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
वेगों का अनुपात $1: \sqrt{2}$ है।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K.E._{max})$ इस प्रकार दी जाती है:
$K.E._{max} = h\nu - \phi_0$
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,जहाँ $y = K.E._{max}$ और $x = \nu$ है:
$1$. ग्राफ का ढाल $(m)$,प्लांक नियतांक $(h)$ के बराबर है।
$2$. $X$-अक्ष पर अंतःखंड तब प्राप्त होता है जब $K.E._{max} = 0$ हो,जिससे $0 = h\nu_0 - \phi_0$ प्राप्त होता है,या $\nu_0 = \phi_0 / h$। यह अंतःखंड देहली आवृत्ति $(\nu_0)$ को दर्शाता है।
अतः,ढाल प्लांक नियतांक है और $X$-अक्ष पर अंतःखंड देहली आवृत्ति है।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max}$ इस प्रकार है:
$K_{\max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$
चूंकि $K_{\max} = \frac{1}{2}mv^2$, इसलिए:
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{hc - \lambda\phi}{\lambda}$
$v^2 = \frac{2(hc - \lambda\phi)}{m\lambda}$
$v = \left[\frac{2(hc - \lambda\phi)}{m\lambda}\right]^{1/2}$
अतः, सही विकल्प $B$ है।

(D) किसी धातु का कार्य फलन $\phi$,देहली तरंगदैर्ध्य $\lambda_{0}$ से $\phi = \frac{hc}{\lambda_{0}}$ सूत्र द्वारा संबंधित होता है।
दिया गया है कि $\lambda_{A} = 400 \ nm$ और $\lambda_{B} = 800 \ nm$ है।
अतः,कार्य फलन $\phi_{A} = \frac{hc}{\lambda_{A}}$ और $\phi_{B} = \frac{hc}{\lambda_{B}}$ होंगे।
अनुपात $\frac{\phi_{A}}{\phi_{B}} = \frac{hc/\lambda_{A}}{hc/\lambda_{B}} = \frac{\lambda_{B}}{\lambda_{A}}$ है।
मान रखने पर,हमें $\frac{\phi_{A}}{\phi_{B}} = \frac{800 \ nm}{400 \ nm} = 2$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,अनुपात $\phi_{A} : \phi_{B}$ का मान $2$ है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,निरोधी विभव $V_s$ को इस प्रकार दिया जाता है:
$eV_s = h\nu - \phi_o = h\nu - h\nu_o$
$V_s = \frac{h}{e}(\nu - \nu_o)$
जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है,$\nu$ आपतित विकिरण की आवृत्ति है,और $\nu_o$ देहली आवृत्ति है।
एक निश्चित आपतित आवृत्ति $\nu$ के लिए,निरोधी विभव $V_s$ देहली आवृत्ति $\nu_o$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
ग्राफ से,देहली आवृत्तियों का क्रम इस प्रकार है: $\nu_o(A) < \nu_o(B) < \nu_o(C) < \nu_o(D)$.
चूंकि धातु $A$ की देहली आवृत्ति सबसे कम है,इसलिए किसी भी दी गई आपतित आवृत्ति $\nu$ (जहाँ $\nu > \nu_o(D)$) के लिए इसका निरोधी विभव सबसे अधिक होगा।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,निरोधी विभव $V_{s}$ को इस प्रकार दिया जाता है:
$eV_{s} = h\nu - \phi$
$V_{s} = \frac{h}{e}\nu - \frac{\phi}{e}$
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,x-अक्ष पर अंतःखंड (जहाँ $V_{s} = 0$) देहली आवृत्ति $\nu_{0}$ है,जहाँ $\nu_{0} = \frac{\phi}{h}$ या $\phi = h\nu_{0}$ होता है।
दिए गए ग्राफ से,धातु '$P$' के लिए देहली आवृत्ति $\nu_{0}$ है और धातु '$Q$' के लिए $\nu_{0}^{\prime}$ है।
चूंकि $\nu_{0} < \nu_{0}^{\prime}$,इसलिए $h\nu_{0} < h\nu_{0}^{\prime}$ होगा।
अतः,कार्य फलन $\phi_{P} < \phi_{Q}$ है।

(D) $1$. निरोधी विभव $V_s$ और अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K.E.)_{\max}$ के बीच संबंध: $(K.E.)_{\max} = e V_s$.
दिया गया है $(K.E.)_{\max} = 3.2 \times 10^{-19} \text{ J}$ और $e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$.
$V_s = \frac{(K.E.)_{\max}}{e} = \frac{3.2 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} = 2 \text{ V}$.
$2$. देहली तरंगदैर्ध्य $\lambda_0$ और कार्य फलन $\Phi$ के बीच संबंध: $\Phi = \frac{hc}{\lambda_0}$.
दिया गया है $\Phi = 6.63 \times 10^{-19} \text{ J}$,$h = 6.63 \times 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}$,और $c = 3 \times 10^{8} \text{ m/s}$.
$\lambda_0 = \frac{hc}{\Phi} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{6.63 \times 10^{-19}} = 3 \times 10^{-7} \text{ m} = 3000 \times 10^{-10} \text{ m} = 3000 \text{ Å}$.
अतः,निरोधी विभव $2 \text{ V}$ है और देहली तरंगदैर्ध्य $3000 \text{ Å}$ है। सही विकल्प $(D)$ है।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(E_k)$ $E_k = h\nu - \phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$\nu$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है और $\phi$ धातु की सतह का कार्य फलन है।
यह समीकरण दर्शाता है कि अधिकतम गतिज ऊर्जा केवल आपतित प्रकाश की आवृत्ति और पदार्थ की प्रकृति (कार्य फलन) पर निर्भर करती है।
यह आपतित प्रकाश की तीव्रता $(I)$ पर निर्भर नहीं करती है।
इसलिए,अधिकतम गतिज ऊर्जा $(E)$ और तीव्रता $(I)$ के बीच का ग्राफ तीव्रता अक्ष के समानांतर एक क्षैतिज रेखा होनी चाहिए।
दिए गए ग्राफ को देखने पर,रेखा $P$ तीव्रता $I$ की परवाह किए बिना $E$ का एक स्थिर मान दर्शाती है।
अतः,रेखा $P$ सही निरूपण है।

(A) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $E = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{3315 \times 10^{-10}} = 6 \times 10^{-19} \ \text{J}$।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, $E = \phi_{0} + K_{\text{max}}$, जहाँ $\phi_{0}$ कार्य फलन है और $K_{\text{max}}$ उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा है।
$\phi_{0} = E - K_{\text{max}} = 6 \times 10^{-19} - 3 \times 10^{-19} = 3 \times 10^{-19} \ \text{J}$।
देहली तरंगदैर्ध्य $\lambda_{0}$ को $\lambda_{0} = \frac{hc}{\phi_{0}}$ द्वारा ज्ञात किया जाता है।
$\lambda_{0} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{3 \times 10^{-19}} = 6.63 \times 10^{-7} \ \text{m} = 6630 \ \text{Å}$।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = E - \phi_{0}$ होती है,जहाँ $E$ आपतित ऊर्जा है और $\phi_{0}$ कार्य फलन है।
प्रथम विकिरण के लिए,$E_{1} = 2\phi_{0}$,अतः $K_{1} = \frac{1}{2}mv_{1}^{2} = 2\phi_{0} - \phi_{0} = \phi_{0}$.
द्वितीय विकिरण के लिए,$E_{2} = 10\phi_{0}$,अतः $K_{2} = \frac{1}{2}mv_{2}^{2} = 10\phi_{0} - \phi_{0} = 9\phi_{0}$.
दोनों समीकरणों का अनुपात लेने पर: $\frac{\frac{1}{2}mv_{1}^{2}}{\frac{1}{2}mv_{2}^{2}} = \frac{\phi_{0}}{9\phi_{0}}$.
इसे सरल करने पर $\frac{v_{1}^{2}}{v_{2}^{2}} = \frac{1}{9}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $\frac{v_{1}}{v_{2}} = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।

(C) किसी प्रकाश-संवेदी सतह का कार्य फलन $\phi$ उस पदार्थ का एक आंतरिक गुण है और यह आपतित प्रकाश की तरंगदैर्ध्य पर निर्भर नहीं करता है।
चूंकि दोनों स्थितियों में एक ही प्रकाश-संवेदी सतह का उपयोग किया जाता है,इसलिए कार्य फलन स्थिर रहता है।
अतः,कार्य फलनों का अनुपात $\phi_{1} : \phi_{2} = 1 : 1$ होगा।
हालाँकि,यदि प्रश्न आपतित फोटॉन की ऊर्जा के अनुपात के बारे में है,तो यह $\frac{E_{1}}{E_{2}} = \frac{hc/\lambda_{1}}{hc/\lambda_{2}} = \frac{\lambda_{2}}{\lambda_{1}} = \frac{600}{360} = \frac{5}{3}$ होगा।
भौतिकी की पाठ्यपुस्तकों में ऐसे प्रश्नों की मानक व्याख्या के अनुसार,एक ही पदार्थ के लिए कार्य फलन का अनुपात हमेशा $1:1$ होता है। चूंकि विकल्पों में $1:1$ नहीं है,इसलिए यह प्रश्न आपतित फोटॉन की ऊर्जा का अनुपात पूछ रहा है,जो $5:3$ है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max} = eV = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda_0$ देहली तरंगदैर्ध्य है।
प्रथम स्थिति के लिए: $eV = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$ --- $(i)$
द्वितीय स्थिति के लिए: $e(\frac{V}{3}) = \frac{hc}{2\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$ --- (ii)
समीकरण $(i)$ को समीकरण (ii) से विभाजित करने पर:
$\frac{eV}{eV/3} = \frac{\frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}}{\frac{hc}{2\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}}$
$3 = \frac{\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}}{\frac{1}{2\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}}$
$3(\frac{1}{2\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}) = \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}$
$\frac{3}{2\lambda} - \frac{3}{\lambda_0} = \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}$
$\frac{3}{2\lambda} - \frac{1}{\lambda} = \frac{3}{\lambda_0} - \frac{1}{\lambda_0}$
$\frac{1}{2\lambda} = \frac{2}{\lambda_0}$
$\lambda_0 = 4\lambda$.

(B) निरोधी विभव $(V_0)$ वह न्यूनतम ऋणात्मक विभव है जो एनोड पर कैथोड के सापेक्ष लगाया जाता है, जो सबसे अधिक ऊर्जा वाले फोटोइलेक्ट्रॉन को भी कलेक्टर तक पहुँचने से रोकता है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $K_{max} = h\nu - \Phi_0$, जहाँ $K_{max} = eV_0$ है।
अतः, $eV_0 = h\nu - \Phi_0$, जिसका अर्थ है $V_0 = \frac{h}{e}\nu - \frac{\Phi_0}{e}$।
इस समीकरण से यह स्पष्ट है कि निरोधी विभव $(V_0)$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति ($\nu$) का एक रैखिक फलन है।
इसलिए, निरोधी विभव आपतित प्रकाश की आवृत्ति के सीधे समानुपाती होता है (देहली आवृत्ति से अधिक होने पर)।

(D) फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण द्वारा दी जाती है: $KE_{\text{max}} = h(v - v_0)$ ... $(i)$
जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$v$ आपतित विकिरण की आवृत्ति है और $v_0$ देहली आवृत्ति है।
समीकरण $(i)$ से यह स्पष्ट है कि अधिकतम गतिज ऊर्जा $(KE_{\text{max}})$ केवल आपतित प्रकाश की आवृत्ति और धातु के कार्य फलन पर निर्भर करती है।
यह आपतित विकिरण की तीव्रता से स्वतंत्र है।
इसलिए,यदि तीव्रता को उसके मूल मान का एक-चौथाई कर दिया जाता है,तो उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा अपरिवर्तित रहती है।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K$ इस प्रकार है:
$K = hv - W_0$ --- $(1)$
जब विकिरण की आवृत्ति दोगुनी कर दी जाती है,तो नई आवृत्ति $2v$ हो जाती है। नई अधिकतम गतिज ऊर्जा $K'$ है:
$K' = h(2v) - W_0$
$K' = 2hv - W_0$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ से,हमारे पास $hv = K + W_0$ है। इस मान को समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$K' = 2(K + W_0) - W_0$
$K' = 2K + 2W_0 - W_0$
$K' = 2K + W_0$
वैकल्पिक रूप से,अंतर विधि का उपयोग करते हुए:
$K' - K = (2hv - W_0) - (hv - W_0) = hv$
$K' = K + hv$

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{max})$ इस प्रकार दी जाती है:
$K_{max} = hf - \phi$
चूंकि निरोधी विभव $(V_s)$ अधिकतम गतिज ऊर्जा से $K_{max} = eV_s$ द्वारा संबंधित है,हम लिख सकते हैं:
$eV_s = hf - \phi$
$V_s = (h/e)f - (\phi/e)$
यह समीकरण $y = mx + c$ के रूप में है,जो एक सीधी रेखा को दर्शाता है।
यहाँ,ढाल $(h/e)$ (एक धनात्मक स्थिरांक) है और $V_s$-अक्ष पर अंतःखंड $(-\phi/e)$ है।
जब $V_s = 0$ होता है,तो $hf = \phi$ होता है,जिससे $f = \phi/h = f_0$ (देहली आवृत्ति) प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$V_s$ बनाम $f$ का ग्राफ आवृत्ति अक्ष पर $f = f_0$ से शुरू होने वाली एक सीधी रेखा है।
ग्राफ $(1)$ इस रैखिक संबंध को सही ढंग से दर्शाता है।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $e V_0 = h f - \Phi$, जहाँ $\Phi = h f_0$ कार्य फलन (work function) है।
निरोधी विभव $V_0$ के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $V_0 = \frac{h}{e} f - \frac{h f_0}{e}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $h$, $e$, और $f_0$ स्थिरांक हैं, $V_0$ आपतित आवृत्ति $f$ का एक रैखिक फलन है।
जैसे-जैसे आपतित विकिरण की आवृत्ति $f$ बढ़ती है, पद $\frac{h}{e} f$ का मान बढ़ता है।
अतः, निरोधी विभव $V_0$ बढ़ता है।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $K_{max} = h\nu - W_0$,जहाँ $W_0$ कार्य फलन है।
प्रारंभ में: $0.4 = h\nu - W_0 \implies h\nu = 0.4 + W_0$ ... $(i)$
जब आवृत्ति में $30 \%$ की वृद्धि होती है,तो नई आवृत्ति $\nu' = 1.3\nu$ हो जाती है। नई गतिज ऊर्जा $0.9 \ eV$ है।
अतः,$0.9 = 1.3h\nu - W_0$ ... (ii)
समीकरण $(i)$ को (ii) में रखने पर: $0.9 = 1.3(0.4 + W_0) - W_0$
$0.9 = 0.52 + 1.3W_0 - W_0$
$0.9 - 0.52 = 0.3W_0$
$0.38 = 0.3W_0$
$W_0 = \frac{0.38}{0.3} = 1.267 \ eV$.

(C) $n^{\text{वीं}}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \ eV$ द्वारा दी जाती है।
मूल अवस्था $(n=1)$ के लिए,$E_1 = -13.6 \ eV$।
दूसरी कक्षा $(n=2)$ के लिए,$E_2 = -\frac{13.6}{2^2} = -3.4 \ eV$।
उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा इन दो अवस्थाओं के बीच का अंतर है: $E = E_2 - E_1 = -3.4 - (-13.6) = 10.2 \ eV$।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,$h\nu = \phi_0 + eV_s$,जहाँ $h\nu$ फोटॉन की ऊर्जा है,$\phi_0$ कार्य-फलन है और $V_s$ निरोधी विभव है।
दिया गया है कि $\phi_0 = 4.2 \ eV$ और $h\nu = 10.2 \ eV$,इसलिए $10.2 \ eV = 4.2 \ eV + eV_s$।
$eV_s = 10.2 \ eV - 4.2 \ eV = 6 \ eV$।
अतः,निरोधी विभव $V_s = 6 \ V$ प्राप्त होता है।

(A) प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $\frac{hc}{\lambda} = \phi + eV_s$.
यहाँ,$V_s$ निरोधी विभव है और $\phi$ कार्य फलन है।
उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $K_{max} = eV_s = \frac{1}{2}mv^2$ द्वारा दी जाती है।
यदि उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन का वेग $v$ स्थिर रखा जाता है,तो गतिज ऊर्जा $K_{max}$ स्थिर रहती है।
हालाँकि,जैसे-जैसे आपतित तरंगदैर्ध्य $\lambda$ कम होती है,आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ बढ़ती है।
चूंकि $E = \phi + K_{max}$,और $K_{max}$ स्थिर है जबकि $E$ बढ़ता है,इसलिए समीकरण को संतुलित करने के लिए निरोधी विभव $V_s$ को बढ़ना चाहिए।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,$K_{\max} = h\nu - \Phi$,जहाँ $h\nu$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $\Phi$ धातु का कार्य फलन है।
$K_{\max}$ केवल आपतित प्रकाश की आवृत्ति और धातु की सतह की प्रकृति पर निर्भर करता है।
प्रकाश की तीव्रता प्रति इकाई क्षेत्रफल प्रति इकाई समय में आपतित फोटॉनों की संख्या से संबंधित है,जो उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की संख्या (प्रकाश-विद्युत धारा) को प्रभावित करती है,लेकिन उनकी व्यक्तिगत अधिकतम गतिज ऊर्जा को नहीं।
इसलिए,यदि प्रकाश की तीव्रता को दोगुना कर दिया जाता है,तो फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा में कोई परिवर्तन नहीं होता है।