Einstein's Photoelectric Equation and Energy Quantum of Radiation Questions in Hindi

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K = E - \phi$ होती है,जहाँ $E$ फोटॉन की ऊर्जा है और $\phi$ कार्य फलन है।
पहली स्थिति के लिए: $K_{1} = E_{1} - \phi = 4 - \phi$.
दूसरी स्थिति के लिए: $K_{2} = E_{2} - \phi = 2.5 - \phi$.
चूँकि $K = \frac{1}{2}mv_{max}^{2}$,गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{K_{1}}{K_{2}} = \left(\frac{v_{1}}{v_{2}}\right)^{2}$ होता है।
दिया गया है कि $\frac{v_{1}}{v_{2}} = 2$,इसलिए $\frac{K_{1}}{K_{2}} = 2^{2} = 4$,अर्थात $K_{1} = 4K_{2}$.
$K_{1}$ और $K_{2}$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $4 - \phi = 4(2.5 - \phi)$.
$4 - \phi = 10 - 4\phi$.
$3\phi = 6$.
$\phi = 2 \ eV$.

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,आपतित फोटॉन की ऊर्जा इस प्रकार दी जाती है:
$E = \phi + K_{\max}$
$\frac{hc}{\lambda} = \frac{hc}{\lambda_0} + eV_s$
प्रथम स्थिति के लिए,$\lambda_{\text{incident}} = \lambda$ और $V_s = 3 \text{ V}$:
$\frac{hc}{\lambda} = \frac{hc}{\lambda_0} + 3e \quad \dots (i)$
द्वितीय स्थिति के लिए,$\lambda_{\text{incident}} = 2\lambda$ और $V_s = 1 \text{ V}$:
$\frac{hc}{2\lambda} = \frac{hc}{\lambda_0} + 1e \quad \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ में से समीकरण $(ii)$ को घटाने पर:
$\frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{2\lambda} = (\frac{hc}{\lambda_0} - \frac{hc}{\lambda_0}) + (3e - 1e)$
$\frac{hc}{2\lambda} = 2e$
$e = \frac{hc}{4\lambda}$
$e$ का मान समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$\frac{hc}{2\lambda} = \frac{hc}{\lambda_0} + \frac{hc}{4\lambda}$
$\frac{hc}{\lambda_0} = \frac{hc}{2\lambda} - \frac{hc}{4\lambda} = \frac{hc}{4\lambda}$
$\lambda_0 = 4\lambda$

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,$K_{max} = h\nu - \phi_0$,जहाँ $K_{max} = eV_s$ है।
अतः,$eV_s = h\nu - \phi_0$,जो दर्शाता है कि $V_s = \frac{h}{e}\nu - \frac{\phi_0}{e}$।
यहाँ,$V_s$ निरोधी विभव है,$h$ प्लांक नियतांक है,$\nu$ आपतित विकिरण की आवृत्ति है और $\phi_0$ कार्य फलन है।
चूँकि $V_s$,$\nu$ का एक रैखिक फलन है,इसलिए निरोधी विभव आपतित विद्युत-चुंबकीय विकिरण की आवृत्ति पर निर्भर करता है।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटो-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = hf - \phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ धातु का कार्य फलन (work function) है।
पहले फोटोकैथोड के लिए: $\frac{1}{2}mv_{1}^{2} = hf_{1} - \phi$ --- $(1)$
दूसरे फोटोकैथोड के लिए: $\frac{1}{2}mv_{2}^{2} = hf_{2} - \phi$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ में से समीकरण $(2)$ को घटाने पर:
$\frac{1}{2}mv_{1}^{2} - \frac{1}{2}mv_{2}^{2} = (hf_{1} - \phi) - (hf_{2} - \phi)$
$\frac{1}{2}m(v_{1}^{2} - v_{2}^{2}) = h(f_{1} - f_{2})$
$v_{1}^{2} - v_{2}^{2} = \frac{2h}{m}(f_{1} - f_{2})$

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $\frac{hc}{\lambda} = \phi + eV_s$,जहाँ $\phi$ कार्य फलन (work function) है और $V_s$ निरोधी विभव है।
प्रथम स्थिति के लिए: $\frac{1240}{491} = \phi + 0.71 \implies 2.525 = \phi + 0.71 \implies \phi = 1.815\, eV$.
द्वितीय स्थिति के लिए: $\frac{1240}{\lambda} = \phi + 1.43$.
$\phi = 1.815\, eV$ प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1240}{\lambda} = 1.815 + 1.43 = 3.245\, eV$.
अतः,$\lambda = \frac{1240}{3.245} \approx 382\, nm$.

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $KE_{\max} = h\nu - \phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ कार्य फलन है।
चूंकि $KE_{\max} = \frac{1}{2}mv^2$,इसलिए $v = \sqrt{\frac{2(h\nu - \phi)}{m}}$ होता है।
पहली स्थिति के लिए,$h\nu_1 = 2\phi$. अतः,$v_1 = \sqrt{\frac{2(2\phi - \phi)}{m}} = \sqrt{\frac{2\phi}{m}}$.
दूसरी स्थिति के लिए,$h\nu_2 = 10\phi$. अतः,$v_2 = \sqrt{\frac{2(10\phi - \phi)}{m}} = \sqrt{\frac{18\phi}{m}}$.
अधिकतम वेगों का अनुपात $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{2\phi}{18\phi}} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$ है।
दिया गया अनुपात $x:y = 1:3$ है,इसलिए $x$ का मान $1$ है।

(A) आइंस्टीन का प्रकाश-विद्युत समीकरण $KE_{\max} = eV_S = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ द्वारा दिया जाता है।
$\lambda_1 = 280 \, nm$ के लिए,आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E_1 = \frac{1240 \, eV \cdot nm}{280 \, nm} \approx 4.43 \, eV$ है।
निरोधी विभव $V_{S1} = \frac{E_1 - \phi}{e} = 4.43 - 2.5 = 1.93 \, V$ प्राप्त होता है।
$\lambda_2 = 400 \, nm$ के लिए,आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E_2 = \frac{1240 \, eV \cdot nm}{400 \, nm} = 3.10 \, eV$ है।
निरोधी विभव $V_{S2} = \frac{E_2 - \phi}{e} = 3.10 - 2.5 = 0.60 \, V$ प्राप्त होता है।
निरोधी विभव में परिवर्तन $\Delta V = V_{S1} - V_{S2} = 1.93 - 0.60 = 1.33 \, V \approx 1.3 \, V$ है।

(B) आइंस्टीन का प्रकाश-विद्युत समीकरण $eV_0 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ है,जहाँ $\phi$ कार्य फलन (work function) है।
पहले स्रोत के लिए: $e(0.48) = \frac{1240}{670.5} - \phi$ --- $(1)$
दूसरे स्रोत के लिए: $eV_0' = \frac{1240}{474.6} - \phi$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ में से $(1)$ को घटाने पर:
$e(V_0' - 0.48) = 1240 \left( \frac{1}{474.6} - \frac{1}{670.5} \right)$
$V_0' - 0.48 = 1240 \left( \frac{670.5 - 474.6}{474.6 \times 670.5} \right)$
$V_0' - 0.48 = 1240 \left( \frac{195.9}{318223.26} \right)$
$V_0' - 0.48 \approx 1240 \times 0.0006156 \approx 0.763$
$V_0' = 0.48 + 0.763 = 1.243\, V$
निकटतम विकल्प के अनुसार,$V_0' \approx 1.25\, V$।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $\frac{hc}{\lambda} = K_{\max} + \phi$.
चूंकि कार्य फलन $\phi$ नगण्य है,इसलिए $\frac{hc}{\lambda} = K_{\max}$ होगा।
उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_{d} = \frac{h}{\sqrt{2mK_{\max}}}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\lambda_{d}^{2} = \frac{h^{2}}{2mK_{\max}}$,जिसका अर्थ है $K_{\max} = \frac{h^{2}}{2m\lambda_{d}^{2}}$.
$K_{\max}$ का मान प्रकाश-विद्युत समीकरण में रखने पर: $\frac{hc}{\lambda} = \frac{h^{2}}{2m\lambda_{d}^{2}}$.
$\lambda$ के लिए हल करने पर,$\lambda = \frac{hc \cdot 2m\lambda_{d}^{2}}{h^{2}} = \left(\frac{2mc}{h}\right) \lambda_{d}^{2}$ प्राप्त होता है।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = eV_s = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ कार्य फलन है और $\lambda_t$ देहली तरंगदैर्ध्य है ताकि $\phi = \frac{hc}{\lambda_t}$ हो।
प्रथम स्थिति के लिए: $e(3V_0) = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ --- $(i)$
द्वितीय स्थिति के लिए: $eV_0 = \frac{hc}{2\lambda} - \phi$ --- (ii)
समीकरण (ii) को $3$ से गुणा करने पर: $3eV_0 = \frac{3hc}{2\lambda} - 3\phi$ --- (iii)
$(i)$ और (iii) की तुलना करने पर: $\frac{hc}{\lambda} - \phi = \frac{3hc}{2\lambda} - 3\phi$
$2\phi = \frac{3hc}{2\lambda} - \frac{hc}{\lambda} = \frac{hc}{2\lambda}$
$\phi = \frac{hc}{4\lambda}$
चूंकि $\phi = \frac{hc}{\lambda_t}$,इसलिए $\frac{hc}{\lambda_t} = \frac{hc}{4\lambda}$,जिसका अर्थ है कि $\lambda_t = 4\lambda$.
अतः,$n$ का मान $4$ है।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,निरोधी विभव $V_s$ इस प्रकार दिया जाता है: $eV_s = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$,जहाँ $\lambda_0$ देहली तरंगदैर्ध्य है।
प्रथम स्थिति के लिए: $e(4.8) = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$ --- $(1)$
द्वितीय स्थिति के लिए: $e(1.6) = \frac{hc}{2\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ में से समीकरण $(2)$ को घटाने पर:
$e(4.8 - 1.6) = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{2\lambda}$
$3.2e = \frac{hc}{2\lambda}$ --- $(3)$
समीकरण $(2)$ से,$\frac{hc}{2\lambda} = 3.2e$ प्रतिस्थापित करने पर:
$1.6e = 3.2e - \frac{hc}{\lambda_0}$
$\frac{hc}{\lambda_0} = 1.6e$
अब,समीकरण $(3)$ को इस परिणाम से विभाजित करने पर:
$\frac{hc/2\lambda}{hc/\lambda_0} = \frac{3.2e}{1.6e}$
$\frac{\lambda_0}{2\lambda} = 2$
$\lambda_0 = 4\lambda$.
अतः,देहली तरंगदैर्ध्य $4\lambda$ है।

(C) निकाय की प्रारंभिक ऊर्जा इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा है, $E_i = 3 \, eV$.
$n$ वीं अवस्था में हाइड्रोजन परमाणु की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6 \, eV}{n^2}$ द्वारा दी जाती है।
दूसरी उत्तेजित अवस्था $n = 3$ के अनुरूप है। अतः, $E_f = -\frac{13.6 \, eV}{3^2} = -\frac{13.6}{9} \, eV \approx -1.51 \, eV$.
फोटॉन के रूप में मुक्त ऊर्जा प्रारंभिक और अंतिम ऊर्जा के बीच का अंतर है: $E_{photon} = E_i - E_f = 3 \, eV - (-1.51 \, eV) = 4.51 \, eV$.
धातु का कार्य फलन $\phi = \frac{hc}{\lambda_{threshold}} = \frac{12400 \, eV \cdot Å}{4000 \, Å} = 3.1 \, eV$ है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण का उपयोग करते हुए, अधिकतम गतिज ऊर्जा $KE_{max} = E_{photon} - \phi = 4.51 \, eV - 3.1 \, eV = 1.41 \, eV$ है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,निरोधी विभव $V_s$ को $eV_s = h\nu - h\nu_0$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\nu_0$ देहली आवृत्ति है।
आवृत्ति $\nu$ के लिए,निरोधी विभव $\frac{V_s}{2}$ है। अतः,$e(\frac{V_s}{2}) = h\nu - h\nu_0$ --- $(1)$
आवृत्ति $\frac{\nu}{2}$ के लिए,निरोधी विभव $V_s$ है। अतः,$eV_s = h(\frac{\nu}{2}) - h\nu_0$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ से,हमें $eV_s = \frac{h\nu}{2} - h\nu_0$ प्राप्त होता है। इस मान को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$\frac{1}{2}(\frac{h\nu}{2} - h\nu_0) = h\nu - h\nu_0$
$\frac{h\nu}{4} - \frac{h\nu_0}{2} = h\nu - h\nu_0$
$h\nu_0 - \frac{h\nu_0}{2} = h\nu - \frac{h\nu}{4}$
$\frac{h\nu_0}{2} = \frac{3h\nu}{4}$
$\nu_0 = \frac{3}{2}\nu$.

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = E - \Phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $E$ फोटॉन की ऊर्जा है और $\Phi$ कार्य फलन है।
पहले फोटॉन के लिए,$E_1 = 3.8 \, eV$ और $\Phi = 0.6 \, eV$ है। अतः,$K_{max1} = 3.8 - 0.6 = 3.2 \, eV$ है।
दूसरे फोटॉन के लिए,$E_2 = 1.4 \, eV$ और $\Phi = 0.6 \, eV$ है। अतः,$K_{max2} = 1.4 - 0.6 = 0.8 \, eV$ है।
चूँकि $K_{max} = \frac{1}{2} m v_{max}^2$,अधिकतम चाल का अनुपात $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{K_{max1}}{K_{max2}}}$ होगा।
मान रखने पर,$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{3.2}{0.8}} = \sqrt{4} = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $2: 1$ है।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $h\nu = h\nu_{0} + K_{\text{max}}$,जहाँ $K_{\text{max}} = \frac{1}{2}mv^{2}$ है।
स्थिति $1$: जब $\nu = 2\nu_{0}$:
$h(2\nu_{0}) = h\nu_{0} + \frac{1}{2}mv_{1}^{2}$
$h\nu_{0} = \frac{1}{2}mv_{1}^{2} \dots(1)$
स्थिति $2$: जब $\nu = 5\nu_{0}$:
$h(5\nu_{0}) = h\nu_{0} + \frac{1}{2}mv_{2}^{2}$
$4h\nu_{0} = \frac{1}{2}mv_{2}^{2} \dots(2)$
समीकरण $(2)$ को $(1)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{4h\nu_{0}}{h\nu_{0}} = \frac{\frac{1}{2}mv_{2}^{2}}{\frac{1}{2}mv_{1}^{2}}$
$4 = \left(\frac{v_{2}}{v_{1}}\right)^{2}$
$\frac{v_{2}}{v_{1}} = \sqrt{4} = 2$
$v_{2} = 2v_{1}$
दिया गया है कि $v_{2} = xv_{1}$,इसलिए $x = 2$.

(A) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{12400 \; eV \cdot \mathring A}{4500 \; \mathring A} \approx 2.76 \; eV$ है।
चुंबकीय क्षेत्र में आवेशित कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $R = \frac{mv}{qB} = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ होती है,जहाँ $K$ गतिज ऊर्जा है।
$K$ के लिए सूत्र: $K = \frac{(qBR)^2}{2m}$ है।
यहाँ $q = 1.6 \times 10^{-19} \; C$,$B = 2 \times 10^{-3} \; T$,$R = 2 \times 10^{-3} \; m$,और $m = 9.1 \times 10^{-31} \; kg$ दिया गया है:
$K = \frac{(1.6 \times 10^{-19} \times 2 \times 10^{-3} \times 2 \times 10^{-3})^2}{2 \times 9.1 \times 10^{-31}} = \frac{(6.4 \times 10^{-25})^2}{18.2 \times 10^{-31}} \approx 2.25 \times 10^{-19} \; J$.
$eV$ में बदलने पर: $K = \frac{2.25 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 1.40 \; eV$.
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण का उपयोग करते हुए: $\phi = E - K = 2.76 \; eV - 1.40 \; eV = 1.36 \; eV$.

(D) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $E = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{6630 \times 10^{-10}} = \frac{19.89 \times 10^{-26}}{6.63 \times 10^{-7}} = 3 \times 10^{-19} \; J$.
इलेक्ट्रॉन वोल्ट में बदलने पर: $E = \frac{3 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 1.875 \; eV$.
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $E = \phi + eV_{0}$,जहाँ $\phi$ कार्य फलन (work function) है और $V_{0}$ निरोधी विभव है।
दिया गया है $V_{0} = 0.42 \; V$,इसलिए $eV_{0} = 0.42 \; eV$.
अतः,$\phi = E - eV_{0} = 1.875 \; eV - 0.42 \; eV = 1.455 \; eV$.
कार्य फलन को जूल में बदलने पर: $\phi = 1.455 \times 1.6 \times 10^{-19} \; J = 2.328 \times 10^{-19} \; J$.
देहली आवृत्ति $\nu_{0}$ को $\phi = h\nu_{0}$ द्वारा ज्ञात किया जाता है।
$\nu_{0} = \frac{\phi}{h} = \frac{2.328 \times 10^{-19}}{6.63 \times 10^{-34}} \approx 0.351 \times 10^{15} \; s^{-1} = 35.1 \times 10^{13} \; s^{-1}$.
निकटतम पूर्णांक में,$x = 35$।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ धातु का कार्य फलन (work function) है।
तरंग दैर्ध्य $\lambda_{1}$ के लिए,$K_{1} = \frac{hc}{\lambda_{1}} - \phi$.
तरंग दैर्ध्य $\lambda_{2}$ के लिए,$K_{2} = \frac{hc}{\lambda_{2}} - \phi$.
दिया गया है $\lambda_{1} = 3 \lambda_{2}$,इसे $K_{1}$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$K_{1} = \frac{hc}{3 \lambda_{2}} - \phi$.
$3$ से गुणा करने पर,$3 K_{1} = \frac{hc}{\lambda_{2}} - 3 \phi$.
चूंकि $K_{2} = \frac{hc}{\lambda_{2}} - \phi$,इसलिए $\frac{hc}{\lambda_{2}} = K_{2} + \phi$.
इस मान को $3 K_{1}$ के व्यंजक में रखने पर:
$3 K_{1} = (K_{2} + \phi) - 3 \phi = K_{2} - 2 \phi$.
चूंकि कार्य फलन $\phi > 0$ है,इसलिए $3 K_{1} < K_{2}$,जिसका अर्थ है कि $K_{1} < \frac{K_{2}}{3}$.

(D) विद्युत क्षेत्र दो तरंगों के योग के रूप में दिया गया है जिनकी कोणीय आवृत्तियाँ $\omega_1 = 6 \times 10^{15} \, rad/s$ और $\omega_2 = 9 \times 10^{15} \, rad/s$ हैं।
अधिकतम गतिज ऊर्जा ज्ञात करने के लिए,हम उच्च आवृत्ति वाले फोटॉन पर विचार करेंगे,क्योंकि $K_{max} = hf - \phi$ होता है।
आवृत्ति $f$ का मान $f = \frac{\omega}{2\pi}$ द्वारा प्राप्त होता है।
उच्च आवृत्ति घटक के लिए,$f = \frac{9 \times 10^{15}}{2\pi} \, Hz$ है।
फोटॉन की ऊर्जा $E_{photon} = hf = (4.14 \times 10^{-15} \, eVs) \times \left( \frac{9 \times 10^{15}}{2 \times 3.14159} \right) \, Hz$ है।
$E_{photon} = \frac{37.26}{6.283} \approx 5.93 \, eV$ है।
अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = E_{photon} - \phi = 5.93 \, eV - 2.50 \, eV = 3.43 \, eV$ है।
दिए गए विकल्पों में सबसे निकटतम विकल्प $3.42 \, eV$ है।

(B) धातु की सतह से इलेक्ट्रॉन को मुक्त करने के लिए आवश्यक न्यूनतम ऊर्जा को उस धातु का कार्य फलन $(W_0)$ कहा जाता है।
यदि आपतित विकिरण की ऊर्जा $(h\nu)$ कार्य फलन $(W_0)$ से कम है,तो फोटॉन के पास सतह के अवरोध को पार करने के लिए पर्याप्त ऊर्जा नहीं होती है,इसलिए प्रकाश-विद्युत प्रभाव नहीं होता है। अतः,अभिकथन $A$ सही है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $h\nu = W_0 + K.E._{\max}$.
यदि आपतित ऊर्जा $h\nu = W_0$ है,तो $K.E._{\max} = h\nu - W_0 = 0$. अतः,कारण $R$ सही है।
हालाँकि,कारण $R$ शून्य गतिज ऊर्जा की स्थिति को समझाता है,लेकिन यह यह नहीं बताता कि जब $h\nu < W_0$ होता है तो प्रकाश-विद्युत प्रभाव क्यों नहीं होता है। इसलिए,$R$,$A$ की सही व्याख्या नहीं है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ होती है,जहाँ $\phi$ कार्य फलन है।
$\lambda_1 = 800 \, nm$ के लिए,$K_1 = \frac{1230}{800} - \phi = 1.5375 - \phi$ --- $(1)$
$\lambda_2 = 500 \, nm$ के लिए,$K_2 = \frac{1230}{500} - \phi = 2.46 - \phi$ --- $(2)$
दिया गया है कि $K_2 = 2K_1$,मान रखने पर:
$2.46 - \phi = 2(1.5375 - \phi)$
$2.46 - \phi = 3.075 - 2\phi$
$2\phi - \phi = 3.075 - 2.46$
$\phi = 0.615 \, eV$.

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $\frac{1}{2}mv_{\max}^2 = hf - \phi$। चूंकि $\frac{1}{2}mv_{\max}^2 = K_{\max}$,इसलिए $K_{\max} = hf - \phi$। अतः,$v_{\max}^2$ आवृत्ति $f$ के साथ रैखिक रूप से बदलता है। कथन $A$ सही है।
संतृप्ति धारा प्रकाश की तीव्रता पर निर्भर करती है। स्रोत को दूर ले जाने से तीव्रता कम हो जाती है,जिससे संतृप्ति धारा कम हो जाती है। कथन $B$ गलत है।
अधिकतम गतिज ऊर्जा आपतित प्रकाश की आवृत्ति पर निर्भर करती है,शक्ति (तीव्रता) पर नहीं। कथन $C$ गलत है।
तत्काल उत्सर्जन को प्रकाश की कण प्रकृति (फोटॉन इंटरैक्शन) द्वारा समझाया जा सकता है,न कि तरंग प्रकृति द्वारा। कथन $D$ गलत है।
तरंग सिद्धांत भविष्यवाणी करता है कि यदि तीव्रता पर्याप्त हो तो किसी भी आवृत्ति के लिए उत्सर्जन होना चाहिए,जो देहली तरंगदैर्ध्य के अस्तित्व के विपरीत है। कथन $E$ सही है।
इसलिए,कथन $A$ और $E$ सही हैं।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = E - \phi$ होती है,जहाँ $E$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $\phi$ कार्य फलन है।
पहली स्थिति के लिए,$E_1 = 5\phi$ है। इसलिए,$K_{max,1} = 5\phi - \phi = 4\phi$।
चूंकि $K_{max,1} = \frac{1}{2}mv_1^2$,इसलिए $\frac{1}{2}mv_1^2 = 4\phi$ है।
दूसरी स्थिति के लिए,$E_2 = 10\phi$ है। इसलिए,$K_{max,2} = 10\phi - \phi = 9\phi$।
चूंकि $K_{max,2} = \frac{1}{2}mv_2^2$,इसलिए $\frac{1}{2}mv_2^2 = 9\phi$ है।
दोनों समीकरणों का अनुपात लेने पर:
$\frac{\frac{1}{2}mv_1^2}{\frac{1}{2}mv_2^2} = \frac{4\phi}{9\phi}$
$\frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{4}{9}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$\frac{v_1}{v_2} = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,अधिकतम वेग का अनुपात $2:3$ है।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,गतिज ऊर्जा $E$ इस प्रकार है:
$E = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ --- $(i)$
जब गतिज ऊर्जा दोगुनी होकर $2E$ हो जाती है,तो मान लीजिए कि नई तरंगदैर्ध्य $\lambda^{\prime}$ है:
$2E = \frac{hc}{\lambda^{\prime}} - \phi$ --- (ii)
समीकरण (ii) में से समीकरण $(i)$ को घटाने पर:
$(2E - E) = (\frac{hc}{\lambda^{\prime}} - \phi) - (\frac{hc}{\lambda} - \phi)$
$E = \frac{hc}{\lambda^{\prime}} - \frac{hc}{\lambda}$
$\lambda^{\prime}$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$E + \frac{hc}{\lambda} = \frac{hc}{\lambda^{\prime}}$
$\frac{E\lambda + hc}{\lambda} = \frac{hc}{\lambda^{\prime}}$
$\lambda^{\prime} = \frac{hc\lambda}{E\lambda + hc}$

(C) दिया गया है: त्रिज्या $R = 1 \,cm$,प्रारंभिक विभव $V_{i} = -0.5 \,V$,आपतित प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $\lambda = 290 \,nm$,और थ्रेशोल्ड तरंगदैर्ध्य $\lambda_{0} = 332 \,nm$ है।
जिंक का कार्य-फलन $\phi = \frac{hc}{\lambda_{0}} = \frac{1242 \,eV \cdot nm}{332 \,nm} \approx 3.74 \,eV$ है।
आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{1242 \,eV \cdot nm}{290 \,nm} \approx 4.28 \,eV$ है।
फोटोइलेक्ट्रिक प्रभाव के लिए अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = E - \phi = 4.28 \,eV - 3.74 \,eV = 0.54 \,eV$ है।
जैसे ही बॉल से इलेक्ट्रॉन उत्सर्जित होते हैं,बॉल का विभव बढ़ता है। उत्सर्जन तब तक जारी रहता है जब तक कि उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा शून्य न हो जाए।
अतः,अंतिम विभव $V_{f} = 0.54 \,V$ होगा।

(D) आइंस्टीन का प्रकाश-विद्युत समीकरण $K_{max} = h\nu - \phi_0$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $K_{max} = eV_s$ ($V_s$ निरोधी विभव है)।
$(I)$ उत्सर्जन की तात्कालिक प्रकृति यह बताती है कि ऊर्जा का स्थानांतरण अलग-अलग पैकेटों (फोटॉन) में होता है,जो क्वांटम सिद्धांत का समर्थन करता है।
$(II)$ देहली आवृत्ति $(
u_0)$ का अस्तित्व यह दर्शाता है कि इलेक्ट्रॉन को बाहर निकालने के लिए फोटॉन के पास न्यूनतम ऊर्जा $h\nu_0$ होनी चाहिए,जो सीधे फोटॉन मॉडल का समर्थन करती है।
$(III)$ चूंकि $eV_s = h\nu - \phi_0$,निरोधी विभव $V_s$ आवृत्ति $\nu$ का एक रैखिक फलन है। यह $E = h\nu$ संबंध की पुष्टि करता है।
$(IV)$ हालांकि फोटो-करंट तीव्रता के समानुपाती होता है,लेकिन यह फोटॉनों की संख्या का गुण है और यह विशेष रूप से एक फोटॉन की ऊर्जा-आवृत्ति संबंध को सिद्ध नहीं करता है।
अतः,कथन $(I), (II),$ और $(III)$ वे हैं जो यह दर्शाते हैं कि प्रकाश क्वांटा से बना है जिनकी ऊर्जा आवृत्ति के समानुपाती होती है।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max}$ इस प्रकार दी जाती है:
$K_{\max} = \frac{h c}{\lambda} - \phi_{0}$
अतः,कार्य फलन $\phi_{0}$ है:
$\phi_{0} = \frac{h c}{\lambda} - K_{\max} \quad \dots(i)$
जब $q$ आवेश और $m$ द्रव्यमान वाला इलेक्ट्रॉन $B$ चुंबकीय क्षेत्र में $v$ वेग से गति करता है,तो वह $R$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ का अनुसरण करता है:
$R = \frac{m v}{q B} \implies v = \frac{q B R}{m}$
अधिकतम गतिज ऊर्जा है:
$K_{\max} = \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} m \left( \frac{q B R}{m} \right)^{2} = \frac{q^{2} B^{2} R^{2}}{2 m}$
$K_{\max}$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$\phi_{0} = \frac{h c}{\lambda} - \frac{q^{2} B^{2} R^{2}}{2 m}$
ध्यान दें कि विकल्प $(d)$ इस परिणाम के समान है:
$2 m \left( \frac{q B R}{2 m} \right)^{2} = 2 m \left( \frac{q^{2} B^{2} R^{2}}{4 m^{2}} \right) = \frac{q^{2} B^{2} R^{2}}{2 m}$
अतः,विकल्प $(d)$ सही है।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max} = eV_0 = hf - \phi_0$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $V_0$ निरोधी विभव है,$f$ आवृत्ति है और $\phi_0$ कार्य फलन है।
प्रारंभिक स्थिति के लिए:
$e(0.6) = hf - \phi_0 \quad \dots(i)$
जब आवृत्ति में $10 \%$ की वृद्धि की जाती है,तो नई आवृत्ति $f' = f + 0.1f = 1.1f$ हो जाती है। नया निरोधी विभव $V_0' = 0.9 \, V$ है।
$e(0.9) = h(1.1f) - \phi_0 \quad \dots(ii)$
समीकरण $(i)$ से,हमारे पास $hf = e(0.6) + \phi_0$ है। इसे समीकरण $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$e(0.9) = 1.1(e(0.6) + \phi_0) - \phi_0$
$e(0.9) = 1.1(e(0.6)) + 1.1\phi_0 - \phi_0$
$e(0.9) = e(0.66) + 0.1\phi_0$
$0.1\phi_0 = e(0.9 - 0.66)$
$0.1\phi_0 = 0.24 \, eV$
$\phi_0 = 2.4 \, eV$.

(B) फोटोइलेक्ट्रॉन के लिए,आइंस्टीन का प्रकाश-विद्युत समीकरण इस प्रकार है:
$e V_0 = h \nu - \phi_0 \Rightarrow V_0 = \frac{h}{e} \nu - \frac{\phi_0}{e}$
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,$V_0$ बनाम $\nu$ ग्राफ का ढाल (स्लोप) $\frac{h}{e}$ है और $V_0$-अक्ष पर अंतःखंड $-\frac{\phi_0}{e}$ है।
दिए गए ग्राफ से,हम दो बिंदु $(0.8 \times 10^{15} \, Hz, 1 \, V)$ और $(1.6 \times 10^{15} \, Hz, 4 \, V)$ लेते हैं।
ढाल $= \frac{h}{e} = \frac{V_{0_2} - V_{0_1}}{\nu_2 - \nu_1} = \frac{4 - 1}{(1.6 - 0.8) \times 10^{15}} = \frac{3}{0.8 \times 10^{15}} = 3.75 \times 10^{-15} \, V \cdot s$.
अब,$h = e \times \text{ढाल} = (1.6 \times 10^{-19} \, C) \times (3.75 \times 10^{-15} \, V \cdot s) = 6.0 \times 10^{-34} \, Js$.
ग्राफ से,$V_0$-अक्ष पर अंतःखंड $-2 \, V$ है। इसलिए,$-\frac{\phi_0}{e} = -2 \, V$,जिससे कार्य फलन $\phi_0 = 2 \, eV$ प्राप्त होता है।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = E - \phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $E$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $\phi$ धातु का कार्य फलन है।
धातु $A$ के लिए: $K_A = 7 \,eV - 6 \,eV = 1 \,eV$.
धातु $B$ के लिए: $K_B = 7 \,eV - 3 \,eV = 4 \,eV$.
$K$ गतिज ऊर्जा वाले इलेक्ट्रॉन से जुड़ी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ होती है।
अतः,तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_A}{\lambda_B} = \frac{\frac{h}{\sqrt{2mK_A}}}{\frac{h}{\sqrt{2mK_B}}} = \sqrt{\frac{K_B}{K_A}}$ होगा।
मान रखने पर: $\frac{\lambda_A}{\lambda_B} = \sqrt{\frac{4 \,eV}{1 \,eV}} = \sqrt{4} = 2.0$.

(A) उत्सर्जित फोटो-इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण द्वारा दी जाती है: $E_{max} = h\nu - \Phi_0$.
दिया गया है,आपतित फोटॉन ऊर्जा $h\nu = 3 \,eV$ और कार्य फलन $\Phi_0 = 2.3 \,eV$.
इसलिए,अधिकतम गतिज ऊर्जा $E_{max} = 3 - 2.3 = 0.7 \,eV$.
इसका अर्थ है कि इलेक्ट्रॉन तब वापस मुड़ जाएगा जब वह $0.7 \,V$ के मंदक विभवांतर का सामना करेगा।
दो प्लेटों के बीच विभवांतर $5 \,mm$ की दूरी पर $1 \,V$ है।
एकसमान विद्युत क्षेत्र मानते हुए,विभव प्रवणता $\frac{1 \,V}{5 \,mm} = 0.2 \,V/mm$ है।
$0.7 \,V$ के विभवांतर तक पहुँचने के लिए आवश्यक दूरी $d = \frac{V_{stop}}{\text{gradient}} = \frac{0.7 \,V}{0.2 \,V/mm} = 3.5 \,mm$ है।
अतः,फोटो-इलेक्ट्रॉन $3.5 \,mm$ की दूरी तय करने के बाद वापस मुड़ जाता है।

(C) कट-ऑफ वोल्टेज (जिसे स्टॉपिंग पोटेंशियल भी कहा जाता है) उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा पर निर्भर करता है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,$K_{max} = h\nu - \Phi$,जहाँ $h\nu$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $\Phi$ धातु का कार्य फलन (work function) है।
स्टॉपिंग पोटेंशियल $V_0$ को $eV_0 = K_{max}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
चूंकि प्रकाश स्रोत की आवृत्ति $\nu$ दूरी की परवाह किए बिना स्थिर रहती है,इसलिए फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा अपरिवर्तित रहती है।
स्रोत की दूरी बदलने से केवल प्रकाश की तीव्रता (प्रति इकाई क्षेत्रफल फोटॉन की संख्या) प्रभावित होती है,जिससे फोटोइलेक्ट्रिक धारा बदलती है,लेकिन स्टॉपिंग पोटेंशियल नहीं बदलता है।
इसलिए,कट-ऑफ वोल्टेज $V_0$ ही रहेगा।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,आपतित फोटॉन की ऊर्जा $(E)$,कार्य फलन $(\Phi)$ और उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K.E._{\max})$ के योग के बराबर होती है।
$E = \Phi + K.E._{\max}$
दिया गया है:
फोटॉन की ऊर्जा $(E)$ = $3.8 \,eV$
कार्य फलन $(\Phi)$ = $2.8 \,eV$
मान रखने पर:
$3.8 \,eV = 2.8 \,eV + K.E._{\max}$
$K.E._{\max} = 3.8 \,eV - 2.8 \,eV = 1 \,eV$
चूंकि कार्य फलन सतह से इलेक्ट्रॉन को निकालने के लिए आवश्यक न्यूनतम ऊर्जा है,इसलिए गहरी परतों से उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की गतिज ऊर्जा $0$ से $1 \,eV$ के अधिकतम मान तक होती है।

(B) प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन के लिए शर्त यह है कि आपतित प्रकाश की आवृत्ति देहली आवृत्ति से अधिक या उसके बराबर होनी चाहिए,या समान रूप से,तरंगदैर्ध्य देहली तरंगदैर्ध्य से कम या उसके बराबर होनी चाहिए।
यहाँ देहली तरंगदैर्ध्य $\lambda_0 = 6 \times 10^{-7} \, m$ दी गई है।
प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन होने के लिए,आपतित तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को शर्त $\lambda \leq \lambda_0$ को पूरा करना चाहिए।
अतः,$\lambda \leq 6 \times 10^{-7} \, m$.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $(b)$ प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन के लिए सही शर्त को दर्शाता है।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $K_{\max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$,जहाँ $\phi$ कार्य फलन (work function) है और $K_{\max} = eV_0$ ($V_0$ निरोधी विभव है)।
प्रथम स्थिति के लिए: $\frac{hc}{\lambda} = \phi + ex$ --- $(1)$
द्वितीय स्थिति के लिए: $\frac{hc}{2\lambda} = \phi + e(\frac{x}{3})$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ को $3$ से गुणा करने पर: $\frac{3hc}{2\lambda} = 3\phi + ex$ --- $(3)$
समीकरण $(3)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$\frac{3hc}{2\lambda} - \frac{hc}{\lambda} = (3\phi + ex) - (\phi + ex)$
$\frac{hc}{2\lambda} = 2\phi$
$\phi = \frac{hc}{4\lambda}$
चूँकि देहली तरंगदैर्ध्य $\lambda_0$ को $\phi = \frac{hc}{\lambda_0}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,इसलिए:
$\frac{hc}{\lambda_0} = \frac{hc}{4\lambda}$
$\lambda_0 = 4\lambda$.

(C) बिंदु स्रोत से आने वाले प्रकाश की तीव्रता $I$,स्रोत से दूरी $d$ के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $I \propto 1/d^2$।
जब दूरी को $d$ से बदलकर $d/2$ कर दिया जाता है,तो नई तीव्रता $I'$ का मान $I' \propto 1/(d/2)^2 = 4/d^2 = 4I$ हो जाता है।
फोटोइलेक्ट्रॉन के उत्सर्जन की दर आपतित प्रकाश की तीव्रता के सीधे समानुपाती होती है। इसलिए,नई दर $4n$ हो जाएगी।
फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $E$ आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण द्वारा दी जाती है: $E = h\nu - \phi$,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$\nu$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है और $\phi$ धातु का कार्य फलन है।
चूंकि एकवर्णी प्रकाश स्रोत की आवृत्ति $\nu$ अपरिवर्तित रहती है,इसलिए अधिकतम गतिज ऊर्जा $E$ स्थिर रहेगी।

(C) प्रकाश-विद्युत प्रभाव केवल तभी होता है जब आपतित विकिरण की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ धातु की सतह की थ्रेशोल्ड तरंगदैर्ध्य $\lambda_0$ से कम या उसके बराबर हो।
दिया गया है,थ्रेशोल्ड तरंगदैर्ध्य $\lambda_0 = 3300 \,\mathring{A}$.
दिया गया है,आपतित तरंगदैर्ध्य $\lambda = 1100 \,\mathring{A}$.
चूंकि $\lambda < \lambda_0$,आपतित फोटॉन की ऊर्जा धातु के कार्य फलन (work function) से अधिक है।
आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{12400 \,eV \cdot \mathring{A}}{1100 \,\mathring{A}} \approx 11.27 \,eV$.
कार्य फलन $\phi = \frac{hc}{\lambda_0} = \frac{12400 \,eV \cdot \mathring{A}}{3300 \,\mathring{A}} \approx 3.76 \,eV$.
अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = E - \phi = 11.27 \,eV - 3.76 \,eV = 7.51 \,eV$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $KE_{\max} = h \nu - h \nu_0$ द्वारा दी जाती है।
यह समीकरण सतह से उत्सर्जित सबसे अधिक ऊर्जा वाले इलेक्ट्रॉनों की गतिज ऊर्जा को दर्शाता है।
हालाँकि,सतह से बाहर निकलने से पहले धातु के भीतर टक्करों के कारण इलेक्ट्रॉन ऊर्जा खो सकते हैं।
इसलिए,उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों में $0$ से लेकर $(h \nu - h \nu_0)$ के अधिकतम मान तक की गतिज ऊर्जा होती है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार:
$K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi_0$
चूंकि $K_{max} = eV$,जहाँ $V$ निरोधी विभव है:
$eV = \frac{hc}{\lambda} - \phi_0$
$V = \left( \frac{hc}{e} \right) \frac{1}{\lambda} - \frac{\phi_0}{e}$
इस समीकरण की तुलना एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ से करने पर,ढाल $m = \frac{hc}{e}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $h$,$c$ और $e$ सार्वभौमिक स्थिरांक हैं,इसलिए $V$ बनाम $\frac{1}{\lambda}$ ग्राफ की ढाल सभी धातुओं के लिए समान रहती है।
अतः,रेखा द्वारा $\frac{1}{\lambda}$ अक्ष के साथ बनाया गया कोण $\theta$ सभी धातुओं के लिए समान होता है,अर्थात $\theta_1 = \theta_2$।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(KE_{\max})$ इस प्रकार है:
$KE_{\max} = E - \phi_0$
जहाँ $E = 5.50 \, eV$ फोटॉन ऊर्जा है और $\phi_0 = 4.50 \, eV$ कार्य फलन है।
$KE_{\max} = 5.50 \, eV - 4.50 \, eV = 1.00 \, eV$.
इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ का सूत्र है:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}} = \frac{12.27}{\sqrt{E(eV)}} \, \mathring{A}$.
$E = 1.00 \, eV$ रखने पर:
$\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{1.00}} \, \mathring{A} = 12.27 \, \mathring{A}$.
अतः,सही उत्तर $12.27 \, \mathring{A}$ है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ है,जहाँ $\phi$ कार्य फलन है।
$\lambda_1 = 3100 \mathring A$ के लिए,$K_1 = \frac{1}{2} m v_1^2 = \frac{12400}{3100} - \phi = 4 - \phi$.
$\lambda_2 = 6200 \mathring A$ के लिए,$K_2 = \frac{1}{2} m v_2^2 = \frac{12400}{6200} - \phi = 2 - \phi$.
गति का अनुपात $v_1 : v_2 = 2 : 1$ दिया गया है,इसलिए गतिज ऊर्जा का अनुपात $K_1 : K_2 = v_1^2 : v_2^2 = 4 : 1$ होगा।
अतः,$\frac{4 - \phi}{2 - \phi} = \frac{4}{1}$.
$4 - \phi = 4(2 - \phi) = 8 - 4\phi$.
$3\phi = 4 \implies \phi = 4/3 \, eV$.

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = hv$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $v$ आवृत्ति है।
प्रकाश-विद्युत समीकरण $hv = \phi + KE_{\max}$ है,जहाँ $\phi$ कार्य फलन है और $KE_{\max}$ उत्सर्जित फोटो-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा है।
फोटो-इलेक्ट्रॉन उत्सर्जन होने के लिए,आपतित फोटॉन की ऊर्जा कार्य फलन के बराबर या उससे अधिक होनी चाहिए,अर्थात $hv \geq \phi$।
यदि $hv < \phi$ है,तो $v < \frac{\phi}{h}$ होगा। इस स्थिति में,आपतित फोटॉन की ऊर्जा धातु के कार्य फलन को पार करने के लिए अपर्याप्त है,और इसलिए,कोई फोटो-इलेक्ट्रॉन उत्सर्जित नहीं होता है।
अतः,उत्सर्जन न होने की शर्त $v < \frac{\phi}{h}$ है।

(B) धातु का कार्य फलन $W_0 = 2.3 \,eV$ है।
तरंग संख्या $\bar{\nu} = 2 \times 10^6 \,m^{-1}$ है।
आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = hc\bar{\nu}$ है।
$h = 6.63 \times 10^{-34} \,J \cdot s$,$c = 3 \times 10^8 \,m/s$ और $1 \,eV = 1.6 \times 10^{-19} \,J$ का उपयोग करने पर:
$E = (6.63 \times 10^{-34}) \times (3 \times 10^8) \times (2 \times 10^6) \,J = 3.978 \times 10^{-19} \,J$.
$eV$ में बदलने पर: $E = \frac{3.978 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 2.486 \,eV$.
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,$K.E_{\max} = E - W_0 = 2.486 \,eV - 2.3 \,eV = 0.186 \,eV \approx 0.18 \,eV$.
सबसे तेज़ इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $K.E_{\max} = 0.18 \,eV$ है।
सबसे धीमे उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $0$ होती है (क्योंकि वह केवल कार्य फलन के बराबर ऊर्जा प्राप्त करता है)।
अतः,गतिज ऊर्जा $0.18 \,eV$ और $0$ है।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = hf - hf_0$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $f$ आपतित विकिरण की आवृत्ति है और $f_0$ देहली आवृत्ति है।
पहले प्रयोग के लिए: $K_1 = h(f_1 - f_0) = h(4 \times 10^{15} - f_0)$.
दूसरे प्रयोग के लिए: $K_2 = h(f_2 - f_0) = h(6 \times 10^{15} - f_0)$.
दिया गया अनुपात $K_1 : K_2 = 1 : 3$ है,इसलिए $3K_1 = K_2$ होगा।
समीकरणों को प्रतिस्थापित करने पर: $3h(4 \times 10^{15} - f_0) = h(6 \times 10^{15} - f_0)$.
$h$ से विभाजित करने पर: $3(4 \times 10^{15} - f_0) = 6 \times 10^{15} - f_0$.
$12 \times 10^{15} - 3f_0 = 6 \times 10^{15} - f_0$.
$12 \times 10^{15} - 6 \times 10^{15} = 3f_0 - f_0$.
$6 \times 10^{15} = 2f_0$.
$f_0 = 3 \times 10^{15} \,Hz$.
अतः,देहली आवृत्ति $3 \times 10^{15} \,Hz$ है।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$,जहाँ $K_{max} = eV_s$ ($V_s$ निरोधी विभव है)।
दो अलग-अलग तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = 4000 \mathring A$ और $\lambda_2 = 3000 \mathring A$ के लिए:
$eV_{s1} = \frac{hc}{\lambda_1} - \phi$
$eV_{s2} = \frac{hc}{\lambda_2} - \phi$
निरोधी विभव में परिवर्तन $\Delta V_s = V_{s2} - V_{s1} = \frac{hc}{e} \left( \frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_1} \right)$।
यहाँ $hc = 12400 \, eV \cdot \mathring A$ लेने पर:
$\Delta V_s = 12400 \left( \frac{1}{3000} - \frac{1}{4000} \right) = 12400 \left( \frac{4-3}{12000} \right) = \frac{12400}{12000} = 1.033 \, V$।
अतः,निरोधी विभव में परिवर्तन लगभग $1.03 \, V$ है।

(D) एक फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $E = \frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{6600 \times 10^{-10}} = 3 \times 10^{-19} \, J$.
$24 \, W$ स्रोत द्वारा प्रति सेकंड उत्सर्जित फोटॉनों की कुल संख्या $N_{total} = \frac{P}{E} = \frac{24}{3 \times 10^{-19}} = 8 \times 10^{18} \, \text{photons/s}$.
प्रकाश वैद्युत प्रभाव की दक्षता $3 \%$ दी गई है, इसलिए प्रति सेकंड उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की संख्या $N_e = 0.03 \times N_{total}$ होगी।
$N_e = 0.03 \times 8 \times 10^{18} = 24 \times 10^{16} \, \text{electrons/s}$. दिए गए विकल्पों के अनुसार, सही विकल्प $D$ है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $h\nu = K_{max} + \phi_0$, जहाँ $K_{max}$ अधिकतम गतिज ऊर्जा है और $\phi_0$ कार्य फलन है।
प्रारंभ में, $K_1 = h\nu - \phi_0$.
जब आवृत्ति को दोगुना करके $2\nu$ किया जाता है, तो नई अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_2$ होगी:
$K_2 = h(2\nu) - \phi_0 = 2h\nu - \phi_0$.
चूंकि $h\nu = K_1 + \phi_0$, इस मान को $K_2$ के समीकरण में रखने पर:
$K_2 = 2(K_1 + \phi_0) - \phi_0 = 2K_1 + \phi_0$.
स्टॉपिंग पोटेंशियल $V_s$ और गतिज ऊर्जा के बीच संबंध $K_{max} = eV_s$ है, इसलिए $eV_{s2} = 2eV_{s1} + \phi_0$, जिसका अर्थ है $V_{s2} = 2V_{s1} + \frac{\phi_0}{e}$.
अतः, स्टॉपिंग पोटेंशियल (कट-ऑफ वोल्टेज) प्रारंभिक मान के दोगुने से अधिक हो जाता है।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, $K_{max} = h\nu - \Phi$, जहाँ $K_{max} = eV_s$ ($V_s$ निरोधी विभव है)।
अतः, $eV_s = h\nu - \Phi$, जिसका अर्थ है $V_s = \frac{h\nu}{e} - \frac{\Phi}{e}$।
दी गई तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए, आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ स्थिर रहती है।
सोडियम का कार्य फलन (work function) $\Phi$, तांबे की तुलना में कम होता है $(\Phi_{Na} < \Phi_{Cu})$।
चूंकि $V_s$ कार्य फलन $\Phi$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है, इसलिए कम कार्य फलन का परिणाम अधिक निरोधी विभव होता है।
इसलिए, सोडियम के लिए निरोधी विभव अधिक है।

(B) देहली तरंगदैर्ध्य $\lambda_0 = \frac{hc}{\phi} = \frac{12420 \, eV \cdot \mathring A}{2.3 \, eV} = 5400 \, \mathring A$ है।
केवल $\lambda_0$ से कम तरंगदैर्ध्य वाले फोटॉन ही फोटोइलेक्ट्रॉन उत्सर्जित कर सकते हैं। अतः,केवल $\lambda_1 = 4144 \, \mathring A$ और $\lambda_2 = 4972 \, \mathring A$ ही फोटोइलेक्ट्रिक प्रभाव में योगदान करते हैं।
कुल तीव्रता $I = 3.6 \times 10^{-5} \, W/m^2$ है। समान वितरण के कारण,प्रत्येक तरंगदैर्ध्य के लिए तीव्रता $I_i = 1.2 \times 10^{-5} \, W/m^2$ है।
क्षेत्रफल $A = 1 \, cm^2 = 10^{-4} \, m^2$ है।
प्रत्येक तरंगदैर्ध्य के लिए आपतित शक्ति $P_i = I_i \times A = 1.2 \times 10^{-5} \times 10^{-4} = 1.2 \times 10^{-9} \, W$ है।
$t = 2 \, s$ में,प्रत्येक तरंगदैर्ध्य के लिए आपतित ऊर्जा $E_i = P_i \times t = 1.2 \times 10^{-9} \times 2 = 2.4 \times 10^{-9} \, J$ है।
प्रत्येक तरंगदैर्ध्य के लिए फोटॉनों की संख्या $n_i = \frac{E_i \lambda_i}{hc}$ है।
$\lambda_1 = 4144 \, \mathring A$ के लिए: $n_1 = \frac{2.4 \times 10^{-9} \times 4144 \times 10^{-10}}{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8} \approx 0.5 \times 10^{12}$.
$\lambda_2 = 4972 \, \mathring A$ के लिए: $n_2 = \frac{2.4 \times 10^{-9} \times 4972 \times 10^{-10}}{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8} \approx 0.6 \times 10^{12}$.
कुल फोटोइलेक्ट्रॉन $N = n_1 + n_2 = 1.1 \times 10^{12} \approx 1.075 \times 10^{12}$.

(B) फोटोइलेक्ट्रिक समीकरण $E_k = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $\lambda = 1800\; \mathring{A}$,$\lambda_0 = 2300\; \mathring{A}$.
$hc \approx 12400\; eV\cdot \mathring{A}$ का उपयोग करते हुए:
$E_k = 12400 \left( \frac{1}{1800} - \frac{1}{2300} \right) eV$.
$E_k = 12400 \left( \frac{2300 - 1800}{1800 \times 2300} \right) eV$.
$E_k = 12400 \left( \frac{500}{4140000} \right) eV$.
$E_k = 12400 \times 0.00012077 \approx 1.5\; eV$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।