Einstein's Photoelectric Equation and Energy Quantum of Radiation Questions in Hindi

(C) एक आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{1240\,eV\cdot nm}{400\,nm} = 3.1\,eV$ है।
इस ऊर्जा को जूल में बदलने पर: $E = 3.1 \times 1.6 \times 10^{-19}\,J = 4.96 \times 10^{-19}\,J$.
प्रति सेकंड आपतित फोटॉनों की संख्या $n = \frac{P}{E} = \frac{1.55 \times 10^{-3}\,W}{4.96 \times 10^{-19}\,J} = 3.125 \times 10^{15}\,\text{फोटॉन/सेकंड}$.
चूंकि केवल $10\%$ फोटॉन ही फोटोइलेक्ट्रॉन उत्पन्न करते हैं,इसलिए प्रति सेकंड उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की संख्या $N_e = 0.10 \times n = 0.10 \times 3.125 \times 10^{15} = 3.125 \times 10^{14}\,\text{इलेक्ट्रॉन/सेकंड}$.
फोटोइलेक्ट्रिक धारा $I = N_e \times e = 3.125 \times 10^{14} \times 1.6 \times 10^{-19}\,A = 5.0 \times 10^{-5}\,A$.
$\mu A$ में बदलने पर: $I = 50\,\mu A$.

(D) निरोधी विभव $V_S$,अधिकतम गतिज ऊर्जा $KE_{\max}$ से $V_S = \frac{KE_{\max}}{e}$ समीकरण द्वारा संबंधित है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,$KE_{\max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$,जहाँ $\lambda$ आपतित प्रकाश की तरंगदैर्घ्य है और $\phi$ धातु का कार्य फलन (work function) है।
अतः,$V_S = \frac{\frac{hc}{\lambda} - \phi}{e}$।
कथन $I$ सही है क्योंकि निरोधी विभव केवल आपतित प्रकाश की आवृत्ति (या तरंगदैर्घ्य) पर निर्भर करता है और प्रकाश स्रोत की तीव्रता या शक्ति से स्वतंत्र होता है।
कथन $II$ सही है क्योंकि किसी दी गई धातु के लिए अधिकतम गतिज ऊर्जा $KE_{\max}$,आपतित तरंगदैर्घ्य $\lambda$ का एक फलन है।
अतः,दोनों कथन सही हैं।

(D) फोटोइलेक्ट्रिक उत्सर्जन होने के लिए,आपतित विकिरण की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ देहली तरंगदैर्ध्य $\lambda_0$ से कम या उसके बराबर होनी चाहिए।
यहाँ $\lambda_0 = 5500\,\mathring A$ दिया गया है।
इन्फ्रारेड विकिरण की तरंगदैर्ध्य $7000\,\mathring A$ से अधिक होती है,जो $5500\,\mathring A$ से बड़ी है। इसलिए,यह फोटोइलेक्ट्रिक उत्सर्जन का कारण नहीं बन सकता है।
अल्ट्रा-वायलेट विकिरण की तरंगदैर्ध्य आमतौर पर $100\,\mathring A$ से $4000\,\mathring A$ के बीच होती है,जो $5500\,\mathring A$ से कम है। इसलिए,लैंप की शक्ति पर ध्यान दिए बिना यह फोटोइलेक्ट्रिक उत्सर्जन का कारण बन सकता है।
अतः,$75\,W$ और $10\,W$ दोनों अल्ट्रा-वायलेट लैंप उत्सर्जन का कारण बनेंगे।
सही विकल्प $D$ (केवल $C$ और $D$) है।

(D) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
$hc = 1240 \, eV \cdot nm$ और $\lambda = 350 \, nm$ का उपयोग करने पर,हमें $E = \frac{1240}{350} \approx 3.54 \, eV$ प्राप्त होता है।
फोटो-इलेक्ट्रिक उत्सर्जन केवल तभी होता है जब आपतित फोटॉन की ऊर्जा धातु के कार्य फलन से अधिक हो $(E > \Phi)$।
धातु $A$ के लिए: $\Phi_A = 4.8 \, eV$। चूंकि $3.54 \, eV < 4.8 \, eV$,धातु $A$ फोटो-इलेक्ट्रॉन उत्सर्जित नहीं करेगी।
धातु $B$ के लिए: $\Phi_B = 2.2 \, eV$। चूंकि $3.54 \, eV > 2.2 \, eV$,धातु $B$ फोटो-इलेक्ट्रॉन उत्सर्जित करेगी।
अतः,धातु $A$ फोटो-इलेक्ट्रॉन उत्सर्जित नहीं करेगी।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max} = hf - \phi$ होती है,जहाँ $\phi = hf_0$ कार्य फलन (work function) है।
आपतित आवृत्ति $f = 2f_0$ के लिए:
$\frac{1}{2}mv_1^2 = h(2f_0) - hf_0 = hf_0$ --- $(1)$
आपतित आवृत्ति $f = 5f_0$ के लिए:
$\frac{1}{2}mv_2^2 = h(5f_0) - hf_0 = 4hf_0$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\frac{1}{2}mv_1^2}{\frac{1}{2}mv_2^2} = \frac{hf_0}{4hf_0}$
$\frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{1}{4}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{1}{2}$

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(KE_{max})$ इस प्रकार दी जाती है:
$KE_{max} = h\nu - \phi$
जहाँ $h\nu$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $\phi$ धातु का कार्य फलन है।
दिया गया है:
आपतित फोटॉन की ऊर्जा $(h\nu)$ = $4.2\,eV$
कार्य फलन $(\phi)$ = $2.2\,eV$
हम जानते हैं कि अधिकतम गतिज ऊर्जा निरोधी विभव $(V_0)$ से निम्नलिखित समीकरण द्वारा संबंधित है:
$KE_{max} = eV_0$
मान रखने पर:
$eV_0 = 4.2\,eV - 2.2\,eV$
$eV_0 = 2.0\,eV$
अतः,निरोधी विभव $V_0 = 2\,V$ है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(KE)_{\max}$ इस प्रकार दी जाती है:
$(KE)_{\max} = h\nu - \phi_0$
जहाँ $\nu$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है और $\phi_0$ धातु का कार्य फलन (work function) है।
दिया गया है कि देहली आवृत्ति $\nu_0$ है,इसलिए कार्य फलन $\phi_0 = h\nu_0$ है।
आपतित प्रकाश की आवृत्ति $\nu = 4\nu_0$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$(KE)_{\max} = h(4\nu_0) - h\nu_0$
$(KE)_{\max} = 4h\nu_0 - h\nu_0$
$(KE)_{\max} = 3h\nu_0$.
अतः,अधिकतम गतिज ऊर्जा $3h\nu_0$ होगी।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max} = hf - \phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$f$ आपतित विकिरण की आवृत्ति है और $\phi$ धातु का कार्य फलन है।
चूँकि $K_{\max} = eV_s$,जहाँ $V_s$ निरोधी विभव है,हम लिख सकते हैं: $eV_s = hf - \phi$.
निरोधी विभव के लिए इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है: $V_s = (h/e)f - (\phi/e)$.
यह समीकरण एक सीधी रेखा $y = mx + c$ के रूप में है,जहाँ ढाल $m = h/e$ है।
चूँकि $h$ (प्लांक नियतांक) और $e$ (इलेक्ट्रॉन का आवेश) सार्वभौमिक नियतांक हैं,निरोधी विभव बनाम आवृत्ति ग्राफ का ढाल धातु की प्रकृति से स्वतंत्र है।
इसलिए,गोल्ड और एल्युमीनियम के लिए ढाल समान है।
ढाल का अनुपात $1:1$ है,जो $1$ है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,निरोधी विभव $V_0$ को इस प्रकार दिया जाता है:
$eV_0 = h\nu - \phi$
जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$\nu$ आवृत्ति है,और $\phi$ कार्य फलन है।
ग्राफ से,देहली आवृत्ति $\nu_0$ (जहाँ $V_0 = 0$) $5 \times 10^{14} \ Hz$ है।
देहली आवृत्ति पर,$h\nu_0 = \phi$ होता है।
$h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$ का उपयोग करते हुए:
$\phi = (6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s) \times (5 \times 10^{14} \ Hz)$
$\phi = 33.15 \times 10^{-20} \ J$
इसे इलेक्ट्रॉन-वोल्ट $(eV)$ में बदलने के लिए,इलेक्ट्रॉन के आवेश $(1.6 \times 10^{-19} \ C)$ से विभाजित करने पर:
$\phi = \frac{33.15 \times 10^{-20}}{1.6 \times 10^{-19}} \ eV \approx 2.07 \ eV$.

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,निरोधी विभव $V_0$ इस प्रकार दिया जाता है:
$eV_0 = \frac{hc}{\lambda} - \phi_0 = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$ --- $(1)$
जब तरंगदैर्ध्य को बदलकर $2\lambda$ किया जाता है,तो निरोधी विभव $\frac{V_0}{4}$ हो जाता है:
$e\left(\frac{V_0}{4}\right) = \frac{hc}{2\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ से,हमारे पास $eV_0 = hc(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0})$ है। इस मान को समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$\frac{hc}{4}(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}) = \frac{hc}{2\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$
दोनों पक्षों को $hc$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{4\lambda} - \frac{1}{4\lambda_0} = \frac{1}{2\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}$
$\lambda_0$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{1}{\lambda_0} - \frac{1}{4\lambda_0} = \frac{1}{2\lambda} - \frac{1}{4\lambda}$
$\frac{3}{4\lambda_0} = \frac{1}{4\lambda}$
अतः,$\lambda_0 = 3\lambda$.

(B) देहली तरंगदैर्ध्य $\lambda_0$ कार्य फलन $\phi$ से इस सूत्र द्वारा संबंधित है: $\lambda_0 = \frac{hc}{\phi}$.
धातु पृष्ठ $A$ के लिए,जहाँ $\phi_A = 9 \, eV$ है:
$\lambda_A = \frac{1242 \, eV \, nm}{9 \, eV} = 138 \, nm$.
धातु पृष्ठ $B$ के लिए,जहाँ $\phi_B = 4.5 \, eV$ है:
$\lambda_B = \frac{1242 \, eV \, nm}{4.5 \, eV} = 276 \, nm$.
देहली तरंगदैर्ध्य के बीच का अंतर है:
$\Delta\lambda = \lambda_B - \lambda_A = 276 \, nm - 138 \, nm = 138 \, nm$.

(D) कार्य फलन $\phi_0$ और देहली आवृत्ति $\nu_0$ के बीच संबंध: $\phi_0 = h \nu_0$ है।
दिया गया है,$\phi_0 = 6.63 \ eV = 6.63 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J$.
प्लांक नियतांक $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$.
मान रखने पर: $6.63 \times 1.6 \times 10^{-19} = 6.63 \times 10^{-34} \times \nu_0$.
$\nu_0 = \frac{6.63 \times 1.6 \times 10^{-19}}{6.63 \times 10^{-34}}$.
$\nu_0 = 1.6 \times 10^{15} \ Hz$.

(B) फोटोइलेक्ट्रिक उत्सर्जन $(P.E.E.)$ के लिए,शर्त $\lambda \leq \frac{hc}{W_0}$ है।
यहाँ कार्य फलन $W_0 = 3.0 \ eV$ दिया गया है।
संबंध $\lambda_{\max} = \frac{hc}{W_0}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $hc \approx 1240 \ eV \cdot nm$ है।
$\lambda_{\max} = \frac{1240 \ eV \cdot nm}{3.0 \ eV}$.
$\lambda_{\max} \approx 413.33 \ nm$.
अतः,अधिकतम तरंगदैर्ध्य लगभग $414 \ nm$ है।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(E_{k})$ को इस प्रकार दिया जाता है:
$E_{k} = h\nu - \phi$
जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$\nu$ आपतित फोटॉन की आवृत्ति है,और $\phi$ धातु का कार्य फलन है।
इस समीकरण की तुलना एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ से करने पर,जहाँ $y = E_{k}$,$x = \nu$,$m$ ढाल है,और $c$ अंतःखंड है:
ग्राफ का ढाल $m = \tan \theta = h$ होता है।
अतः,ग्राफ का ढाल प्लांक नियतांक को दर्शाता है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ होती है,जहाँ $\phi = \frac{hc}{\lambda_0}$ कार्य फलन है और $\lambda_0$ देहली तरंगदैर्ध्य है।
चूँकि $K_{\max} = eV_0$,इसलिए $eV_0 = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$।
प्रथम स्थिति के लिए: $8e = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0} \quad \dots (i)$
द्वितीय स्थिति के लिए: $2e = \frac{hc}{3\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0} \quad \dots (ii)$
समीकरण $(ii)$ को $3$ से गुणा करने पर: $6e = \frac{hc}{\lambda} - \frac{3hc}{\lambda_0} \quad \dots (iii)$
समीकरण $(i)$ में से $(iii)$ को घटाने पर: $(8e - 6e) = (\frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda}) - (\frac{hc}{\lambda_0} - \frac{3hc}{\lambda_0})$
$2e = \frac{2hc}{\lambda_0}$
$e = \frac{hc}{\lambda_0} \implies \frac{hc}{\lambda_0} = e$
इस मान को समीकरण $(i)$ में रखने पर: $8e = \frac{hc}{\lambda} - e \implies 9e = \frac{hc}{\lambda} \implies \frac{hc}{\lambda} = 9e$
चूँकि $\frac{hc}{\lambda_0} = e$ और $\frac{hc}{\lambda} = 9e$,इसलिए $\frac{hc}{\lambda_0} = \frac{1}{9} \frac{hc}{\lambda}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\lambda_0 = 9\lambda$।

(D) प्रकाश की तीव्रता $I = \frac{n h \nu}{A}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ प्रति इकाई समय में फोटॉनों की संख्या है,$h$ प्लांक नियतांक है,$\nu$ आवृत्ति है और $A$ क्षेत्रफल है।
इससे,प्रति इकाई समय में फोटॉनों की संख्या $n = \frac{IA}{h \nu}$ होती है।
यदि तीव्रता $I$ को स्थिर रखा जाए,तो आवृत्ति $\nu$ बढ़ाने पर फोटॉनों की संख्या $n$ कम हो जाती है। इसलिए,अभिकथन $A$ गलत है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max} = h \nu - \phi$ होती है,जहाँ $\phi$ कार्य फलन (work function) है।
जैसे-जैसे आवृत्ति $\nu$ बढ़ती है,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max}$ बढ़ती है। इसलिए,कारण $R$ सही है।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,$K_{max} = eV_0 = hv - \phi$,जहाँ $\phi$ कार्य फलन है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $V_0 = \frac{h}{e}v - \frac{\phi}{e}$ प्राप्त होता है।
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,ढाल $\frac{h}{e}$ प्राप्त होती है,जो सभी पदार्थों के लिए स्थिर है। अतः,कथन-$I$ सही है।
ग्राफ से,दी गई आवृत्ति $v$ के लिए,$M_1$ के लिए निरोधी विभव $V_0$,$M_2$ की तुलना में अधिक है $(V_{0, M_1} > V_{0, M_2})$। चूंकि $K_{max} = eV_0$,इसलिए $M_1$ से उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $M_2$ से अधिक है। इसलिए,कथन-$II$ गलत है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $KE_{\max} = h\nu - \phi_0$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$\nu$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है और $\phi_0$ पदार्थ का कार्य फलन है।
चूंकि स्टॉपिंग पोटेंशियल $V_0$ को सबसे अधिक ऊर्जा वाले इलेक्ट्रॉनों को रोकने के लिए आवश्यक विभव के रूप में परिभाषित किया गया है,इसलिए $eV_0 = KE_{\max}$ होता है।
अतः,$V_0 = \frac{KE_{\max}}{e} = \frac{h\nu - \phi_0}{e}$.
$1$. $V_0$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति $\nu$ पर निर्भर करता है (विकल्प $B$ सत्य है)।
$2$. $V_0$ कार्य फलन $\phi_0$ पर निर्भर करता है,जो उत्सर्जक पदार्थ की प्रकृति पर निर्भर करता है (विकल्प $A$ सत्य है)।
$3$. $V_0$ अधिकतम गतिज ऊर्जा का $1/e$ गुना है (विकल्प $D$ सत्य है)।
$4$. $V_0$ आपतित प्रकाश की तीव्रता पर निर्भर नहीं करता है,क्योंकि तीव्रता केवल उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की संख्या को प्रभावित करती है,उनकी व्यक्तिगत गतिज ऊर्जा को नहीं (विकल्प $C$ असत्य है)।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार:
$K_{max} = h\nu - \phi$
जहाँ $K_{max}$ उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा है,$h\nu$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है,और $\phi$ कार्य फलन है।
दिया गया है कि निरोधी विभव $V_s = 0.5 V$,इसलिए अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = e V_s = 0.5 eV$ है।
समीकरण में मान रखने पर:
$0.5 eV = 2.48 eV - \phi$
कार्य फलन $\phi$ के लिए हल करने पर:
$\phi = 2.48 eV - 0.5 eV = 1.98 eV$
अतः,पदार्थ का कार्य फलन $1.98 eV$ है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा इस प्रकार है:
$K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$
दिया गया है:
$hc = 1240 \, eV \cdot nm$
$\lambda = 300 \, nm$
$\phi = 2.13 \, eV$
मान रखने पर:
$K_{max} = \frac{1240}{300} \, eV - 2.13 \, eV$
$K_{max} = 4.133 \, eV - 2.13 \, eV$
$K_{max} = 2.003 \, eV$
चूंकि निरोधी विभव $V_s$ और अधिकतम गतिज ऊर्जा के बीच संबंध $K_{max} = e V_s$ है, इसलिए:
$e V_s = 2.003 \, eV$
$V_s \approx 2 \, V$

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,आपतित फोटॉन की ऊर्जा धातु के कार्य फलन और उत्सर्जित प्रकाशिक इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा के योग के बराबर होती है।
$E_{\text{photon}} = \Phi + K.E_{\max}$
दिया गया है:
आपतित फोटॉन की ऊर्जा $(E_{\text{photon}})$ = $4.13 eV$
कार्य फलन $(\Phi)$ = $3.13 eV$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$4.13 eV = 3.13 eV + K.E_{\max}$
$K.E_{\max} = 4.13 eV - 3.13 eV$
$K.E_{\max} = 1 eV$
अतः,उत्सर्जित प्रकाशिक इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $1 eV$ है।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $\frac{hc}{\lambda} - \phi = eV_0$, जहाँ $\phi$ कार्य फलन (work function) है।
$\lambda_1 = 0.3 \ \mu m$ और $\lambda_2 = 0.4 \ \mu m$ के डेटा का उपयोग करने पर:
$1$) $\frac{hc}{0.3 \times 10^{-6}} - \phi = 2e$
$2$) $\frac{hc}{0.4 \times 10^{-6}} - \phi = 1e$
समीकरण $(1)$ में से $(2)$ को घटाने पर:
$hc \left( \frac{1}{0.3 \times 10^{-6}} - \frac{1}{0.4 \times 10^{-6}} \right) = 2e - e = e$
$hc \left( \frac{0.4 - 0.3}{0.12 \times 10^{-6}} \right) = e$
$hc \left( \frac{0.1}{0.12 \times 10^{-6}} \right) = e$
$h = \frac{e \times 0.12 \times 10^{-6}}{c \times 0.1} = \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 1.2 \times 10^{-6}}{3 \times 10^8}$
$h = \frac{1.92 \times 10^{-25}}{3 \times 10^8} = 0.64 \times 10^{-33} = 6.4 \times 10^{-34} \ J \ s$.

(C) ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,विभवांतर $V$ द्वारा त्वरित होने के बाद उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा इस प्रकार है:
$K_{\max} = \left( \frac{hc}{\lambda_{\text{ph}}} - \phi \right) + eV = \frac{p_{\max}^2}{2m}$
चूंकि डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_e = \frac{h}{p_{\max}}$ है,इसलिए $p_{\max}^2 = \frac{h^2}{\lambda_e^2}$ होता है।
इसे ऊर्जा समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{hc}{\lambda_{\text{ph}}} - \phi + eV = \frac{h^2}{2m\lambda_e^2}$
बड़े विभवांतर $(V \gg \phi/e)$ के लिए,हम $\frac{hc}{\lambda_{\text{ph}}} - \phi + eV \approx eV$ मान सकते हैं।
अतः,$eV \approx \frac{h^2}{2m\lambda_e^2}$,जिसका अर्थ है $\lambda_e \approx \frac{h}{\sqrt{2meV}}$।
इस संबंध से,$\lambda_e \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$।
यदि $V$ को चार गुना कर दिया जाए,तो $\lambda_e$ अपने मूल मान का $\frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}$ हो जाता है,अर्थात यह आधा हो जाता है।
इसलिए,कथन $(C)$ सही है।

(B) $n=4$ से $n=3$ के संक्रमण के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $E = 13.6 Z^2 \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right) \ eV$ द्वारा दी जाती है।
$E = 13.6 Z^2 \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right) = 13.6 Z^2 \left( \frac{7}{144} \right) \approx 0.661 Z^2 \ eV$।
धातु का कार्य फलन $W$,देहली तरंगदैर्ध्य $\lambda_0 = 310 \ nm$ से $W = \frac{hc}{\lambda_0} = \frac{1240 \ eV \cdot nm}{310 \ nm} = 4 \ eV$ प्राप्त होता है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,$K_{\max} = E - W$।
$K_{\max} = 1.95 \ eV$ दिया गया है,इसलिए $1.95 = 0.661 Z^2 - 4$।
$0.661 Z^2 = 5.95$।
$Z^2 = \frac{5.95}{0.661} \approx 9$।
अतः,$Z = 3$।

(C) $1$. वीन का विस्थापन नियम $\lambda_m T = b$ है, जहाँ $b = 2.9 \times 10^{-3} \, m-K$ है। अतः, $\lambda_m \propto 1/T$ है।
$2$. $(P)$ $2000 \, K$ के लिए: $\lambda_m = (2.9 \times 10^{-3}) / 2000 = 1.45 \times 10^{-6} \, m = 1450 \, nm$। चूंकि $\lambda_m$ तापमान $T$ के व्युत्क्रमानुपाती है, सबसे कम तापमान $(2000 \, K)$ सबसे बड़ी $\lambda_m$ देता है। एकल स्लिट विवर्तन में केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई $\lambda$ के समानुपाती होती है, इसलिए $(P \rightarrow 3)$।
$3$. $(Q)$ $3000 \, K$ के लिए: प्रति इकाई क्षेत्रफल उत्सर्जित शक्ति $E = \sigma T^4$ है। अनुपात $E_{3000}/E_{6000} = (3000/6000)^4 = (1/2)^4 = 1/16$ है। अतः, $(Q \rightarrow 4)$।
$4$. $(R)$ $5000 \, K$ के लिए: $\lambda_m = (2.9 \times 10^{-3}) / 5000 = 0.58 \times 10^{-6} \, m = 580 \, nm$ है। यह तरंगदैर्ध्य दृश्य स्पेक्ट्रम में स्थित है। अतः, $(R \rightarrow 2)$।
$5$. $(S)$ $10000 \, K$ के लिए: $\lambda_m = (2.9 \times 10^{-3}) / 10000 = 0.29 \times 10^{-6} \, m = 290 \, nm$ है। फोटॉन की ऊर्जा $E = hc/\lambda_m = (1.24 \times 10^{-6}) / (0.29 \times 10^{-6}) \approx 4.27 \, eV$ है। चूंकि $4.27 \, eV > 4 \, eV$, यह प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन का कारण बन सकता है। अतः, $(S \rightarrow 1)$।
$6$. मिलान: $P \rightarrow 3, Q \rightarrow 4, R \rightarrow 2, S \rightarrow 1$। सही विकल्प $(C)$ है।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max}$ है:
$K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi_0$
चूंकि $K_{max} = \frac{p^2}{2m}$ और डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_d = \frac{h}{p}$ है,इसलिए $p = \frac{h}{\lambda_d}$ होगा।
इसे गतिज ऊर्जा समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{h^2}{2m \lambda_d^2} = \frac{hc}{\lambda} - \phi_0$
दोनों पक्षों का $\lambda$ और $\lambda_d$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{d\lambda_d} \left( \frac{h^2}{2m \lambda_d^2} \right) d\lambda_d = \frac{d}{d\lambda} \left( \frac{hc}{\lambda} - \phi_0 \right) d\lambda$
$\frac{h^2}{2m} (-2 \lambda_d^{-3}) d\lambda_d = -hc \lambda^{-2} d\lambda$
$\frac{h^2}{m \lambda_d^3} d\lambda_d = \frac{hc}{\lambda^2} d\lambda$
अनुपात $\frac{d\lambda_d}{d\lambda}$ के लिए व्यवस्थित करने पर:
$\frac{d\lambda_d}{d\lambda} = \frac{hc}{\lambda^2} \cdot \frac{m \lambda_d^3}{h^2} = \left( \frac{mc}{h} \right) \frac{\lambda_d^3}{\lambda^2}$
अतः,$\frac{\Delta \lambda_d}{\Delta \lambda} \propto \frac{\lambda_d^3}{\lambda^2}$।

(A) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{1240 \ eV \cdot nm}{200 \ nm} = 6.2 \ eV$ है।
उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = E - \phi = 6.2 \ eV - 4.7 \ eV = 1.5 \ eV$ है।
जैसे-जैसे गोला फोटोइलेक्ट्रॉन उत्सर्जित करता है,यह धनावेशित हो जाता है और इसका विभव $V$ बढ़ जाता है। उत्सर्जन तब रुक जाता है जब विभव $V$ ऐसा हो कि इलेक्ट्रॉन को हटाने के लिए आवश्यक ऊर्जा अधिकतम गतिज ऊर्जा के बराबर हो,अर्थात $eV = K_{max} = 1.5 \ eV$। अतः,$V = 1.5 \ V$ है।
$R$ त्रिज्या और $q = ne$ आवेश वाले गोले का विभव $V = \frac{kq}{R} = \frac{k(ne)}{R}$ होता है,जहाँ $n$ फोटोइलेक्ट्रॉनों की संख्या है।
मान रखने पर: $1.5 = \frac{(9 \times 10^9) \times n \times (1.6 \times 10^{-19})}{10^{-2}}$.
$1.5 = n \times 1.44 \times 10^{-7} \implies n = \frac{1.5}{1.44} \times 10^7 \approx 1.04 \times 10^7$.
दिया गया है कि $n = A \times 10^Z$,इसलिए $1.04 \times 10^7 = A \times 10^Z$। तुलना करने पर,$Z = 7$ प्राप्त होता है।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा इस प्रकार है:
$KE_{\text{max}} = h\nu - \phi$
चूंकि $KE_{\text{max}} = eV_s$,जहाँ $V_s$ निरोधी विभव है,हमारे पास है:
$eV_s = h\nu - \phi$
$V_s = \left(\frac{h}{e}\right)\nu - \frac{\phi}{e}$
यह समीकरण $y = mx + c$ के रूप में है,जहाँ $y = V_s$,$x = \nu$,और ढाल $m = \frac{h}{e}$ है।
चूंकि $h$ (प्लांक नियतांक) और $e$ (इलेक्ट्रॉन का आवेश) सार्वभौमिक नियतांक हैं,इसलिए ढाल $\frac{h}{e}$ उपयोग की गई धातु पर निर्भर नहीं करती है।
अतः,सिल्वर और सोडियम दोनों के लिए ढाल समान है।
इसलिए,ढालों का अनुपात $\frac{h/e}{h/e} = 1$ है।

(A) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
$\lambda_1 = 248 \ nm$ के लिए,$E_1 = \frac{1240}{248} = 5 \ eV$.
$\lambda_2 = 310 \ nm$ के लिए,$E_2 = \frac{1240}{310} = 4 \ eV$.
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K.E. = E - W$ है,जहाँ $W$ कार्य फलन है।
अतः,$K.E._1 = 5 - W$ और $K.E._2 = 4 - W$.
चूँकि $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$,गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{K.E._1}{K.E._2} = \left(\frac{u_1}{u_2}\right)^2 = \left(\frac{2}{1}\right)^2 = 4$ है।
इसलिए,$\frac{5 - W}{4 - W} = 4$.
$5 - W = 4(4 - W) = 16 - 4W$.
$3W = 11$.
$W = \frac{11}{3} \approx 3.67 \ eV \approx 3.7 \ eV$.

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ कार्य फलन (work function) है।
चूंकि $K_{max} = eV_0$,इसलिए $eV_0 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$,जो सरल होकर $V_0 = \left(\frac{hc}{e}\right) \frac{1}{\lambda} - \frac{\phi}{e}$ हो जाता है।
$1$. $V_0$ का $1/\lambda$ के साथ परिवर्तन: यह $y = mx + c$ के रूप का एक रैखिक समीकरण है,जहाँ $y = V_0$,$x = 1/\lambda$,ढाल $m = hc/e$,और अंतःखंड $c = -\phi/e$ है। यह ग्राफ $(C)$ के अनुरूप है।
$2$. $V_0$ का $\lambda$ के साथ परिवर्तन: जैसे-जैसे $\lambda$ बढ़ता है,$1/\lambda$ घटता है,इसलिए $V_0$ घटता है। संबंध $V_0 = \frac{hc}{e\lambda} - \frac{\phi}{e}$ है। यह एक वक्र है जो घटता है और देहली तरंगदैर्ध्य (threshold wavelength) $\lambda_0 = hc/\phi$ पर शून्य हो जाता है। यह ग्राफ $(B)$ के अनुरूप है।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,$K_{max} = h\nu - \Phi$,जहाँ $\Phi$ कार्य फलन है।
धातुओं $P$ और $Q$ के लिए,आपतित फोटॉन ऊर्जा $E_1$ समान है:
$E_P = E_1 - 4.0 \ eV$
$E_Q = E_1 - 4.5 \ eV$
दिया गया है कि $E_P = 2E_Q$,इसलिए:
$E_1 - 4.0 = 2(E_1 - 4.5)$
$E_1 - 4.0 = 2E_1 - 9.0$
$E_1 = 5.0 \ eV$
अब,$E_Q$ की गणना करें:
$E_Q = 5.0 - 4.5 = 0.5 \ eV$
दिया गया है कि $E_Q = E_R$,इसलिए $E_R = 0.5 \ eV$.
धातु $R$ के लिए,मान लीजिए आपतित फोटॉन ऊर्जा $E_2$ है:
$E_R = E_2 - \Phi_R$
$0.5 = E_2 - 5.5$
$E_2 = 6.0 \ eV$.

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$,जहाँ $K_{max} = eV_s$ है।
पहले स्रोत के लिए: $\frac{hc}{\lambda} = \phi + 6.0 \ eV$ ... $(i)$
दूसरे स्रोत के लिए: $\frac{hc}{4\lambda} = \phi + 0.6 \ eV$ ... (ii)
समीकरण (ii) को $4$ से गुणा करने पर: $\frac{hc}{\lambda} = 4\phi + 2.4 \ eV$ ... (iii)
$(i)$ और (iii) की तुलना करने पर: $\phi + 6.0 = 4\phi + 2.4 \Rightarrow 3\phi = 3.6 \Rightarrow \phi = 1.2 \ eV$।
$(i)$ में $\phi$ का मान रखने पर: $\frac{hc}{\lambda} = 1.2 + 6.0 = 7.2 \ eV$।
दिया गया है $hc = 1.24 \times 10^{-6} \ eV \ m$।
$\lambda = \frac{1.24 \times 10^{-6}}{7.2} \approx 1.72 \times 10^{-7} \ m$।

(B) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{1240}{\lambda (nm)} \ eV$ द्वारा दी जाती है।
दी गई तरंग दैर्ध्य $\lambda = 550 \ nm$ का उपयोग करने पर,हमें $E = \frac{1240}{550} \approx 2.25 \ eV$ प्राप्त होता है।
प्रकाश वैद्युत प्रभाव तब होता है जब आपतित फोटॉन की ऊर्जा धातु के कार्य फलन $(\Phi)$ से अधिक या उसके बराबर हो।
$Cs$ के लिए,$\Phi_{Cs} = 1.9 \ eV$ है। चूंकि $2.25 \ eV > 1.9 \ eV$,इसलिए $Cs$ के लिए प्रकाश वैद्युत प्रभाव संभव है।
$Li$ के लिए,$\Phi_{Li} = 2.5 \ eV$ है। चूंकि $2.25 \ eV < 2.5 \ eV$,इसलिए $Li$ के लिए प्रकाश वैद्युत प्रभाव संभव नहीं है।
अतः,प्रकाश वैद्युत प्रभाव केवल $Cs$ के लिए संभव है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, $K_{\max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$।
दिया गया है, $\lambda$ तरंगदैर्ध्य के लिए, $K_{\max} = 2 \ \text{eV}$ और कार्य फलन $\phi = 1 \ \text{eV}$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $2 = \frac{hc}{\lambda} - 1 \implies \frac{hc}{\lambda} = 3 \ \text{eV}$।
अब, $\lambda' = \frac{\lambda}{2}$ तरंगदैर्ध्य के लिए, आपतित फोटॉन की नई ऊर्जा $E' = \frac{hc}{\lambda'} = \frac{hc}{\lambda / 2} = 2 \times \frac{hc}{\lambda} = 2 \times 3 = 6 \ \text{eV}$ होगी।
नई अधिकतम गतिज ऊर्जा $K'_{\max} = E' - \phi = 6 \ \text{eV} - 1 \ \text{eV} = 5 \ \text{eV}$ प्राप्त होती है।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार:
$K_{\text{max}} = E - \phi$
चूँकि निरोधी विभव $V_s = 2 \text{ V}$ है, इसलिए अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\text{max}} = e V_s = 2 \text{ eV}$ होगी।
दिया गया कार्य फलन $\phi = 2.14 \text{ eV}$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$2 \text{ eV} = E - 2.14 \text{ eV}$
$E = 2 + 2.14 = 4.14 \text{ eV}$
हम जानते हैं कि फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
$E = 4.14 \text{ eV}$ और $hc = 1242 \text{ eV nm}$ रखने पर:
$4.14 = \frac{1242}{\lambda}$
$\lambda = \frac{1242}{4.14} \text{ nm} = 300 \text{ nm}$.

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $h\nu = \phi_0 + KE_{\max}$।
चूंकि $KE_{\max} = eV_0$,हमें प्राप्त होता है $eV_0 = h\nu - \phi_0$।
$V_0$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$V_0 = (\frac{h}{e})\nu - (\frac{\phi_0}{e})$।
$(A)$ यह समीकरण $y = mx + c$ के रूप में है,जो एक रैखिक ग्राफ को दर्शाता है। अतः,$(A)$ सही है।
$(B)$ $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,ढाल $m = \frac{h}{e}$ है,न कि $\frac{\phi_0}{h}$। अतः,$(B)$ गलत है।
$(C)$ चूंकि ढाल $\frac{h}{e}$ है,इसलिए $h$ ढाल से संबंधित है। अतः,$(C)$ सही है।
$(D)$ ढाल से $h$ ज्ञात करने के लिए,हमें $e$ (इलेक्ट्रॉन का आवेश) के मान की आवश्यकता होती है। अतः,$(D)$ गलत है।
$(E)$ $V_0$ अक्ष पर अंतःखंड से (जहां $\nu = 0$),अंतःखंड $-\frac{\phi_0}{e}$ है। $h$ या $e$ को जाने बिना,हम केवल अंतःखंड से $\phi_0$ निर्धारित नहीं कर सकते। हालांकि,दिए गए विकल्पों के अनुसार $(A), (C)$ और $(E)$ सही विकल्प है।

(D) अभिकथन $(A)$ सही है। उत्सर्जक प्लेट के सापेक्ष संग्राहक प्लेट पर पर्याप्त ऋणात्मक विभव (निरोधी विभव) लगाकर, सबसे अधिक ऊर्जा वाले प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों को प्रतिकर्षित किया जा सकता है, जिससे प्रकाश-विद्युत धारा रुक जाती है।
कारण $(R)$ सही है। निरोधी विभव $V_0$ आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण द्वारा दिया जाता है: $eV_0 = h\nu - \phi_0$, जहाँ $V_0 = (h/e)\nu - (\phi_0/e)$ है। यह दर्शाता है कि निरोधी विभव आपतित विकिरण की आवृत्ति $\nu$ के साथ रैखिक रूप से बदलता है।
हालाँकि, कारण $(R)$ निरोधी विभव की प्रकृति को समझाता है, लेकिन यह सीधे तौर पर यह नहीं समझाता है कि ऋणात्मक विभव लगाने से उत्सर्जन क्यों रुक जाता है (जो इलेक्ट्रॉनों के स्थिर-विद्युत प्रतिकर्षण के कारण होता है)। इसलिए, $(R)$, $(A)$ की सही व्याख्या नहीं है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda} = W + K_{\max}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$W$ कार्य फलन (work function) है और $K_{\max}$ उत्सर्जित प्रकाशिक इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा है।
निरोधी विभव $V_s$ को सबसे अधिक ऊर्जा वाले प्रकाशिक इलेक्ट्रॉनों को रोकने के लिए आवश्यक विभव के रूप में परिभाषित किया गया है,जिससे $K_{\max} = eV_s$ होता है।
इसलिए,$eV_s = K_{\max}$,जिसका अर्थ है $V_s = \frac{K_{\max}}{e}$।
अतः,निरोधी विभव उत्सर्जित प्रकाशिक इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा का $\left(\frac{1}{e}\right)$ गुना होता है।

(B) फोटोइलेक्ट्रिक उत्सर्जन के लिए शर्त यह है कि आपतित फोटॉन की ऊर्जा धातु के कार्य फलन से अधिक होनी चाहिए: $E = \frac{hc}{\lambda} > \phi$.
यहाँ कार्य फलन $\phi = 3 \ eV$ दिया गया है और $hc \approx 1240 \ eV \cdot nm$ का उपयोग करने पर,देहली तरंगदैर्ध्य (threshold wavelength) $\lambda_0$ इस प्रकार है:
$\lambda_0 = \frac{hc}{\phi} = \frac{1240 \ eV \cdot nm}{3 \ eV} \approx 413.3 \ nm$.
उत्सर्जन होने के लिए,आपतित तरंगदैर्ध्य देहली तरंगदैर्ध्य से कम होनी चाहिए: $\lambda < 413.3 \ nm$.
दृश्य प्रकाश स्पेक्ट्रम लगभग $400 \ nm$ (बैंगनी/नीला) से $700 \ nm$ (लाल) तक होता है।
दिए गए विकल्पों में से,नीले प्रकाश की ऊर्जा अन्य विकल्पों (हरा,पीला,लाल) की तुलना में अधिक है,इसलिए यह उत्सर्जन के लिए सबसे उपयुक्त विकल्प है।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ इस प्रकार है: $K.E. = E - W$,जहाँ $E = \frac{hc}{\lambda_i}$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $W = \frac{hc}{\lambda_0}$ पदार्थ का कार्य फलन है।
इन मानों को रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $K.E. = \frac{hc}{\lambda_i} - \frac{hc}{\lambda_0} = hc \left(\frac{1}{\lambda_i} - \frac{1}{\lambda_0}\right)$.
$K.E.$ गतिज ऊर्जा वाले इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_c = \frac{h}{\sqrt{2m(K.E.)}}$ द्वारा दी जाती है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\lambda_c^2 = \frac{h^2}{2m(K.E.)}$,जिसका अर्थ है $K.E. = \frac{h^2}{2m\lambda_c^2}$.
$K.E.$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{h^2}{2m\lambda_c^2} = hc \left(\frac{1}{\lambda_i} - \frac{1}{\lambda_0}\right)$.
$\lambda_c$ के लिए हल करने पर: $\lambda_c^2 = \frac{h^2}{2mhc \left(\frac{1}{\lambda_i} - \frac{1}{\lambda_0}\right)} = \frac{h}{2mc \left(\frac{1}{\lambda_i} - \frac{1}{\lambda_0}\right)}$.
अतः,$\lambda_c = \sqrt{\frac{h}{2mc \left(\frac{1}{\lambda_i} - \frac{1}{\lambda_0}\right)}}$.

(C) $1$. संतृप्त फोटोइलेक्ट्रिक धारा आपतित विकिरण की तीव्रता के सीधे आनुपातिक होती है। चूँकि तीव्रता कम हो गई है,इसलिए नई स्थिति के लिए संतृप्त धारा मूल (टूटी हुई रेखा) ग्राफ से कम होनी चाहिए।
$2$. निरोधी विभव (स्टॉपिंग पोटेंशियल) आपतित विकिरण की आवृत्ति के सीधे आनुपातिक होता है। चूँकि आवृत्ति बढ़ गई है,इसलिए निरोधी विभव का परिमाण बढ़ना चाहिए (अर्थात,यह अधिक ऋणात्मक हो जाता है)।
$3$. दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,ग्राफ $C$ टूटी हुई रेखा वाले ग्राफ की तुलना में कम संतृप्त धारा और निरोधी विभव का उच्च परिमाण दर्शाता है। इसलिए,ग्राफ $C$ नई स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max}$ इस प्रकार दी जाती है:
$K_{\max} = h\nu - \phi_0$
जहाँ $h$ प्लांक नियतांक $(6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s)$ है,$\nu$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है,और $\phi_0$ कार्य फलन है।
दिया गया है: $\phi_0 = 3.2 \times 10^{-19} \ J$ और $\nu = 8 \times 10^{14} \ Hz$।
सबसे पहले,आपतित फोटॉन की ऊर्जा $(E = h\nu)$ की गणना करें:
$E = (6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s) \times (8 \times 10^{14} \ Hz) = 53.04 \times 10^{-20} \ J = 5.304 \times 10^{-19} \ J$।
अब,मानों को समीकरण में रखें:
$K_{\max} = 5.304 \times 10^{-19} \ J - 3.2 \times 10^{-19} \ J$
$K_{\max} = 2.104 \times 10^{-19} \ J \approx 2.1 \times 10^{-19} \ J$।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,निरोधी विभव $V$ को $eV = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\phi = \frac{hc}{\lambda_0}$ कार्य फलन है और $\lambda_0$ देहली तरंगदैर्ध्य है।
प्रारंभ में,$eV = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0} \quad ...(1)$
अंत में,$e(V/4) = \frac{hc}{3\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0} \quad ...(2)$
समीकरण $(2)$ को $4$ से गुणा करने पर,हमें $eV = \frac{4hc}{3\lambda} - \frac{4hc}{\lambda_0} \quad ...(3)$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(1)$ और $(3)$ की तुलना करने पर,$\frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0} = \frac{4hc}{3\lambda} - \frac{4hc}{\lambda_0}$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{4hc}{\lambda_0} - \frac{hc}{\lambda_0} = \frac{4hc}{3\lambda} - \frac{hc}{\lambda}$.
$\frac{3hc}{\lambda_0} = \frac{hc}{3\lambda}$.
अतः,$\lambda_0 = 9\lambda$.

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,$K_{max} = hf - \phi_0$,जहाँ $K_{max}$ अधिकतम गतिज ऊर्जा है,$f$ आवृत्ति है और $\phi_0$ कार्य फलन है।
प्रथम स्थिति के लिए: $1.2 = hf - \phi_0$ ......$(i)$
जब आवृत्ति में $50 \%$ की वृद्धि होती है,तो नई आवृत्ति $f' = 1.5f$ हो जाती है।
द्वितीय स्थिति के लिए: $3.6 = 1.5hf - \phi_0$ ......(ii)
समीकरण $(i)$ को $1.5$ से गुणा करने पर: $1.8 = 1.5hf - 1.5\phi_0$ ......(iii)
समीकरण (ii) में से समीकरण (iii) को घटाने पर: $3.6 - 1.8 = (1.5hf - \phi_0) - (1.5hf - 1.5\phi_0)$
$1.8 = 0.5\phi_0$
$\phi_0 = \frac{1.8}{0.5} = 3.6 \ eV$.

(B) विद्युत क्षेत्र का समीकरण $E = 100 [\sin(7 \omega t) + \cos(10 \omega t) + \cos(15 \omega t)]$ है।
तरंग में उपस्थित आवृत्तियाँ $\omega_1 = 7 \omega$,$\omega_2 = 10 \omega$ और $\omega_3 = 15 \omega$ हैं।
कोणीय आवृत्ति और रैखिक आवृत्ति के बीच संबंध $\omega = 2 \pi \nu$ है,इसलिए $\nu = \frac{\omega}{2 \pi}$।
आवृत्तियाँ $\nu_1 = \frac{7 \omega}{2 \pi}$,$\nu_2 = \frac{10 \omega}{2 \pi}$ और $\nu_3 = \frac{15 \omega}{2 \pi}$ हैं।
अधिकतम आवृत्ति $\nu_{max} = \frac{15 \omega}{2 \pi}$ है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = h \nu_{max} - \phi$ है।
निरोधी विभव $V_s$ का मान $K_{max} = e V_s$ से प्राप्त होता है,इसलिए $V_s = \frac{K_{max}}{e} = \frac{h \nu_{max} - \phi}{e}$।
$\nu_{max}$ का मान रखने पर,हमें $V_s = \frac{h}{e} \left( \frac{15 \omega}{2 \pi} \right) - \frac{\phi}{e}$ प्राप्त होता है।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,निरोधी विभव $V_s$ को $eV_s = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\lambda_0$ देहली तरंगदैर्ध्य है।
प्रथम स्थिति के लिए: $eV = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$ --- $(1)$
द्वितीय स्थिति के लिए: $e(\frac{V}{3}) = \frac{hc}{2\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ को $3$ से गुणा करने पर: $eV = \frac{3hc}{2\lambda} - \frac{3hc}{\lambda_0}$ --- $(3)$
समीकरण $(1)$ और $(3)$ की तुलना करने पर: $\frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0} = \frac{3hc}{2\lambda} - \frac{3hc}{\lambda_0}$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{3hc}{\lambda_0} - \frac{hc}{\lambda_0} = \frac{3hc}{2\lambda} - \frac{hc}{\lambda}$
$\frac{2hc}{\lambda_0} = \frac{hc}{2\lambda}$
$\frac{2}{\lambda_0} = \frac{1}{2\lambda}$
$\lambda_0 = 4\lambda$.

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण का उपयोग करते हुए,$E_k = hv - \phi_0$,जहाँ $\phi_0 = hv_0$ कार्य फलन है और $v_0$ देहली आवृत्ति है।
दो आवृत्तियों $v_1$ और $v_2$ के लिए,अधिकतम गतिज ऊर्जाएँ हैं:
$E_{K_1} = h(v_1 - v_0)$
$E_{K_2} = h(v_2 - v_0)$
दिया गया अनुपात $\frac{E_{K_1}}{E_{K_2}} = \frac{1}{x}$ है,इसलिए:
$\frac{h(v_1 - v_0)}{h(v_2 - v_0)} = \frac{1}{x}$
$x(v_1 - v_0) = v_2 - v_0$
$xv_1 - xv_0 = v_2 - v_0$
$xv_1 - v_2 = xv_0 - v_0$
$xv_1 - v_2 = v_0(x - 1)$
$v_0 = \frac{xv_1 - v_2}{x - 1}$

(D) $n^{\text{वीं}}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = \frac{-13.6}{n^2} \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
मूल अवस्था $(n=1)$ के लिए, $E_1 = \frac{-13.6}{1^2} = -13.6 \text{ eV}$।
तीसरी कक्षा $(n=3)$ के लिए, $E_3 = \frac{-13.6}{3^2} = \frac{-13.6}{9} \approx -1.51 \text{ eV}$।
उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E = E_3 - E_1 = -1.51 - (-13.6) = 12.09 \text{ eV}$ है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\text{max}} = \Delta E - \phi$ है, जहाँ $\phi$ कार्य फलन है।
दिया गया है $\phi = 4.1 \text{ eV}$, इसलिए $K_{\text{max}} = 12.09 - 4.1 = 7.99 \text{ eV}$।
निरोधी विभव $V_s$ का संबंध $K_{\text{max}}$ से $K_{\text{max}} = e V_s$ द्वारा होता है, इसलिए $V_s \approx 8 \text{ V}$।

(B) जब एक इलेक्ट्रॉन को विभवांतर $V$ के माध्यम से त्वरित किया जाता है,तो उसकी गतिज ऊर्जा $K = eV$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ होती है,इसलिए हमारे पास है:
$\frac{1}{2}mv^2 = eV$
$V$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$V = \frac{mv^2}{2e}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$m = 9 \times 10^{-31} \ kg$,$v = 1.6 \times 10^7 \ m/s$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$
$V = \frac{(9 \times 10^{-31}) \times (1.6 \times 10^7)^2}{2 \times 1.6 \times 10^{-19}}$
$V = \frac{9 \times 10^{-31} \times 2.56 \times 10^{14}}{3.2 \times 10^{-19}}$
$V = \frac{23.04 \times 10^{-17}}{3.2 \times 10^{-19}}$
$V = 7.2 \times 10^2 \ V$

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - W$ होती है,जहाँ $W$ कार्य फलन है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda_1$ के लिए,$E_1 = \frac{hc}{\lambda_1} - W$ --- $(1)$
तरंगदैर्ध्य $\lambda_2$ के लिए,$E_2 = \frac{hc}{\lambda_2} - W$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ से,$hc = \lambda_1(E_1 + W)$।
समीकरण $(2)$ से,$hc = \lambda_2(E_2 + W)$।
$hc$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\lambda_1(E_1 + W) = \lambda_2(E_2 + W)$
$\lambda_1 E_1 + \lambda_1 W = \lambda_2 E_2 + \lambda_2 W$
$\lambda_1 E_1 - \lambda_2 E_2 = W(\lambda_2 - \lambda_1)$
$W = \frac{\lambda_1 E_1 - \lambda_2 E_2}{\lambda_2 - \lambda_1}$