Einstein's Photoelectric Equation and Energy Quantum of Radiation Questions in Hindi

(C) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$hc \approx 12400 \, eV \cdot Å$ का उपयोग करने पर, $E = \frac{12400}{4000} \, eV = 3.1 \, eV$ प्राप्त होता है।
फोटोइलेक्ट्रॉन तब उत्सर्जित होते हैं जब आपतित प्रकाश की ऊर्जा पदार्थ के कार्य फलन $(\Phi)$ से अधिक या उसके बराबर होती है।
$E = 3.1 \, eV$ की तुलना दिए गए कार्य फलनों से करने पर:
$A$ के लिए: $1.2 \, eV < 3.1 \, eV$ (उत्सर्जन होता है)
$B$ के लिए: $2.4 \, eV < 3.1 \, eV$ (उत्सर्जन होता है)
$C$ के लिए: $3.6 \, eV > 3.1 \, eV$ (उत्सर्जन नहीं होता है)
$D$ के लिए: $4.8 \, eV > 3.1 \, eV$ (उत्सर्जन नहीं होता है)
$E$ के लिए: $6.0 \, eV > 3.1 \, eV$ (उत्सर्जन नहीं होता है)
अतः, केवल तत्व $A$ और $B$ ही फोटोइलेक्ट्रॉन उत्सर्जित करेंगे।

(A) दिया गया है:
आपतित फोटोन की ऊर्जा,$E = 8\,eV$.
देहली आवृत्ति,$\nu_0 = 1.6 \times 10^{15}\,Hz$.
प्लांक नियतांक,$h = 6.6 \times 10^{-34}\,J\cdot s$.
रूपांतरण कारक,$1\,eV = 1.6 \times 10^{-19}\,J$.
कार्य फलन $\Phi$ इस प्रकार है: $\Phi = h\nu_0$.
$\Phi = (6.6 \times 10^{-34}\,J\cdot s) \times (1.6 \times 10^{15}\,Hz) = 10.56 \times 10^{-19}\,J$.
कार्य फलन को $eV$ में बदलने पर:
$\Phi = \frac{10.56 \times 10^{-19}\,J}{1.6 \times 10^{-19}\,J/eV} = 6.6\,eV$.
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $KE_{\max}$ है:
$KE_{\max} = E - \Phi$.
$KE_{\max} = 8\,eV - 6.6\,eV = 1.4\,eV$.

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,$K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi_0$,जहाँ $K_{max} = \frac{1}{2}mv^2$ है।
मान लीजिए $\lambda_1$ और $\lambda_2$ के लिए अधिकतम वेग क्रमशः $v_1$ और $v_2$ हैं। दिया गया है कि $v_1 = 2v_2$,इसलिए $K_1 = 4K_2$ होगा।
$E_1 = \frac{hc}{\lambda_1} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{350 \times 10^{-9}} \approx 5.68 \times 10^{-19} \, J$.
$E_2 = \frac{hc}{\lambda_2} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{450 \times 10^{-9}} \approx 4.42 \times 10^{-19} \, J$.
समीकरणों से: $E_1 - \phi_0 = 4(E_2 - \phi_0)$.
$E_1 - \phi_0 = 4E_2 - 4\phi_0$.
$3\phi_0 = 4E_2 - E_1$.
$3\phi_0 = 4(4.42 \times 10^{-19}) - 5.68 \times 10^{-19} = 17.68 \times 10^{-19} - 5.68 \times 10^{-19} = 12.0 \times 10^{-19} \, J$.
$\phi_0 = 4.0 \times 10^{-19} \, J$.

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $K_{\text{max}} = E - \phi_0$,जहाँ $E = \frac{hc}{\lambda}$ है।
मान रखने पर: $0.3 \text{ eV} = \frac{hc}{\lambda} - 2.3 \text{ eV}$.
$\frac{hc}{\lambda} = 0.3 \text{ eV} + 2.3 \text{ eV} = 2.6 \text{ eV}$.
$hc \approx 12400 \text{ eV} \cdot \mathring A$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\lambda = \frac{12400}{2.6} \mathring A$.
$\lambda \approx 4769.23 \mathring A$.
दिए गए विकल्पों में सबसे निकटतम मान $4800 \mathring A$ है।

(A) आइंस्टीन का प्रकाश-विद्युत समीकरण $\frac{hc}{\lambda} = eV_s + W$ है,जहाँ $V_s$ स्टॉपिंग विभव है और $W$ कार्य फलन है।
प्रथम स्थिति के लिए: $\frac{hc}{\lambda} = e(5V_0) + W$ --- $(1)$
द्वितीय स्थिति के लिए: $\frac{hc}{2\lambda} = eV_0 + W$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ को $5$ से गुणा करने पर: $\frac{5hc}{2\lambda} = 5eV_0 + 5W$ --- $(3)$
समीकरण $(3)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$\frac{5hc}{2\lambda} - \frac{hc}{\lambda} = (5eV_0 + 5W) - (5eV_0 + W)$
$\frac{3hc}{2\lambda} = 4W$
$W = \frac{3hc}{8\lambda}$
चूँकि कार्य फलन $W = \frac{hc}{\lambda_0}$ होता है,जहाँ $\lambda_0$ देहली तरंगदैर्ध्य है:
$\frac{hc}{\lambda_0} = \frac{3hc}{8\lambda}$
$\lambda_0 = \frac{8}{3}\lambda$

(C) फोटोइलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $(KE)$ आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण द्वारा दी जाती है: $KE = h\nu - W = \frac{hc}{\lambda} - W$.
यहाँ,$h$ प्लांक नियतांक है,$\nu$ आवृत्ति है,$\lambda$ आपतित प्रकाश की तरंग दैर्ध्य है,और $W$ धातु का कार्य फलन (work function) है।
फोटोइलेक्ट्रॉन धातु के भीतर अलग-अलग गहराई से उत्सर्जित होते हैं। सतह तक आने के दौरान,वे अन्य इलेक्ट्रॉनों और परमाणुओं के साथ कई बार टकराते हैं,जिससे वे कुछ ऊर्जा खो देते हैं। इसलिए,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की गतिज ऊर्जा $0$ से अधिकतम मान $(KE_{max} = h\nu - W)$ के बीच होती है।
अतः,किसी भी उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा हमेशा अधिकतम गतिज ऊर्जा के बराबर या उससे कम होती है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{max})$ इस प्रकार दी जाती है: $K_{max} = hv - \Phi$, जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है, $v$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है और $\Phi$ धातु का कार्य फलन (work function) है।
प्रथम स्थिति के लिए: $K_0 = hv_1 - \Phi$ --- (समीकरण $1$)
द्वितीय स्थिति के लिए: $2K_0 = hv_2 - \Phi$ --- (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ से, $\Phi = hv_1 - K_0$। इस मान को समीकरण $2$ में रखने पर:
$2K_0 = hv_2 - (hv_1 - K_0)$
$2K_0 = hv_2 - hv_1 + K_0$
$K_0 = hv_2 - hv_1$
$hv_2 = hv_1 + K_0$
$K_0$ का मान वापस रखने पर:
$hv_2 = hv_1 + (hv_1 - \Phi)$
$hv_2 = 2hv_1 - \Phi$
$v_2 = 2v_1 - \frac{\Phi}{h}$
चूंकि $\Phi > 0$ है, इसलिए $v_2 < 2v_1$ प्राप्त होता है।

(C) फोटोइलेक्ट्रॉन के लिए अधिकतम गतिज ऊर्जा आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण द्वारा दी जाती है:
$E_{\max} = h\nu - \phi$
जहाँ $\nu$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है और $\phi$ धातु का कार्य फलन (work function) है।
चूंकि $E_{\max} = eV_0$,हमारे पास है:
$eV_0 = h\nu - \phi$ ... $(1)$
जहाँ $V_0$ निरोधी विभव है।
जब आवृत्ति को दोगुना $(\nu' = 2\nu)$ किया जाता है,तो नया निरोधी विभव $V_0'$ होगा:
$eV_0' = h(2\nu) - \phi = 2h\nu - \phi$
समीकरण $(1)$ से,हम जानते हैं कि $h\nu = eV_0 + \phi$। इस मान को $eV_0'$ के व्यंजक में रखने पर:
$eV_0' = 2(eV_0 + \phi) - \phi$
$eV_0' = 2eV_0 + 2\phi - \phi$
$eV_0' = 2eV_0 + \phi$
$e$ से भाग देने पर:
$V_0' = 2V_0 + \frac{\phi}{e}$
चूंकि $\phi > 0$,यह स्पष्ट है कि $V_0' > 2V_0$। अतः,निरोधी विभव दोगुने से अधिक हो जाएगा।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $eV_0 = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$,जहाँ $\lambda_0 = 5 \times 10^{-10} \, m$ देहली तरंगदैर्ध्य है।
प्रथम स्थिति के लिए,$\lambda_1 = 2 \times 10^{-10} \, m$:
$eV_0 = hc \left( \frac{1}{2 \times 10^{-10}} - \frac{1}{5 \times 10^{-10}} \right) = hc \left( \frac{5-2}{10 \times 10^{-10}} \right) = \frac{3hc}{10 \times 10^{-10}}$.
दूसरी स्थिति के लिए,तरंगदैर्ध्य को दोगुना किया जाता है: $\lambda_2 = 2 \times \lambda_1 = 4 \times 10^{-10} \, m$.
माना नया निरोधी विभव $V_0'$ है।
$eV_0' = hc \left( \frac{1}{4 \times 10^{-10}} - \frac{1}{5 \times 10^{-10}} \right) = hc \left( \frac{5-4}{20 \times 10^{-10}} \right) = \frac{hc}{20 \times 10^{-10}}$.
$eV_0'$ और $eV_0$ की तुलना करने पर:
$\frac{eV_0'}{eV_0} = \frac{hc / (20 \times 10^{-10})}{3hc / (10 \times 10^{-10})} = \frac{1}{20} \times \frac{10}{3} = \frac{1}{6}$.
अतः,$V_0' = \frac{V_0}{6}$,जो स्पष्ट रूप से $0.5 V_0$ से कम है।

(D) जब $hv$ ऊर्जा का फोटॉन धातु के अंदर के किसी इलेक्ट्रॉन द्वारा अवशोषित किया जाता है,तो इलेक्ट्रॉन सतह तक पहुँचने से पहले अन्य परमाणुओं या इलेक्ट्रॉनों के साथ टकराव के कारण अपनी कुछ ऊर्जा खो सकता है।
यदि इलेक्ट्रॉन सतह पर है और फोटॉन को अवशोषित करता है,तो वह अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = hv - \phi$ के साथ उत्सर्जित होगा।
हालाँकि,यदि इलेक्ट्रॉन सतह के नीचे स्थित है,तो वह सतह तक अपनी यात्रा के दौरान कुछ ऊर्जा खो देगा।
इसलिए,इलेक्ट्रॉन या तो बिल्कुल बाहर नहीं आएगा (यदि वह बहुत अधिक ऊर्जा खो देता है) या वह $hv - \phi$ से कम गतिज ऊर्जा के साथ बाहर आ सकता है।
अतः,सही कथन यह है कि यह $hv - \phi$ से कम गतिज ऊर्जा के साथ बाहर आ सकता है।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $K_{max} = e V_0 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$.
दिया गया है: कार्य फलन $\phi = 2.14 \ eV$,निरोधी विभव $V_0 = 0.60 \ V$.
मान रखने पर: $0.60 \ eV = \frac{1240 \ eV \cdot nm}{\lambda} - 2.14 \ eV$.
$\frac{1240}{\lambda} = 0.60 + 2.14 = 2.74 \ eV$.
$\lambda = \frac{1240}{2.74} \approx 452.55 \ nm$.
निकटतम पूर्णांक में,तरंगदैर्ध्य लगभग $453 \ nm$ है। चूंकि $453 \ nm$ विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(C) सबसे तेज़ फोटोइलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा को निम्नलिखित समीकरण द्वारा दिया जाता है: $\frac{1}{2} mv_{\max}^{2} = eV_s$.
यहाँ,$V_s$ निरोधी विभव है,$m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है,$e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है,और $v_{\max}$ अधिकतम वेग है।
निरोधी विभव $V_s$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$V_s = \frac{mv_{\max}^{2}}{2e} = \frac{v_{\max}^{2}}{2(e/m)}$.
दिया गया है कि विशिष्ट आवेश $(e/m) = 1.8 \times 10^{11}\, C/kg$ और $v_{\max} = 1.2 \times 10^6\, m/s$:
$V_s = \frac{(1.2 \times 10^6)^2}{2 \times 1.8 \times 10^{11}}$.
$V_s = \frac{1.44 \times 10^{12}}{3.6 \times 10^{11}}$.
$V_s = \frac{14.4}{3.6} = 4\, V$.

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi = \frac{hc}{\lambda_0}$ कार्य फलन है।
अतः,$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0} = hc \left( \frac{\lambda_0 - \lambda}{\lambda \lambda_0} \right)$.
इसलिए,$v = \sqrt{\frac{2hc}{m} \left( \frac{\lambda_0 - \lambda}{\lambda \lambda_0} \right)}$.
जब तरंगदैर्ध्य को बदलकर $\lambda' = \frac{3\lambda}{4}$ कर दिया जाता है,तो नई गति $v'$ होगी:
$v' = \sqrt{\frac{2hc}{m} \left( \frac{\lambda_0 - 3\lambda/4}{(3\lambda/4) \lambda_0} \right)}$.
अनुपात लेने पर:
$\frac{v'}{v} = \sqrt{\frac{\lambda_0 - 3\lambda/4}{3\lambda/4 \lambda_0} \cdot \frac{\lambda \lambda_0}{\lambda_0 - \lambda}} = \sqrt{\frac{4}{3}} \sqrt{\frac{\lambda_0 - 3\lambda/4}{\lambda_0 - \lambda}}$.
चूंकि $\lambda_0 > \lambda$,इसलिए $\lambda_0 - 3\lambda/4 > \lambda_0 - \lambda$ होता है।
अतः,$\sqrt{\frac{\lambda_0 - 3\lambda/4}{\lambda_0 - \lambda}} > 1$.
इसका अर्थ है कि $v' > \sqrt{\frac{4}{3}} v$।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,निरोधी विभव $V_s$ को $eV_s = h\nu - \phi$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\phi$ कार्य फलन है।
आवृत्ति $\nu$ के लिए,निरोधी विभव $V_s = \frac{h\nu - \phi}{e}$ है।
आवृत्ति $\frac{3\nu}{2}$ के लिए,निरोधी विभव $2V_s = \frac{h(\frac{3\nu}{2}) - \phi}{e}$ है।
पहले समीकरण को दूसरे में प्रतिस्थापित करने पर: $2(\frac{h\nu - \phi}{e}) = \frac{1.5h\nu - \phi}{e}$।
$e$ से गुणा करने पर: $2h\nu - 2\phi = 1.5h\nu - \phi$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $2h\nu - 1.5h\nu = 2\phi - \phi$।
अतः,$\phi = 0.5h\nu = \frac{h\nu}{2}$।

(A) किसी धातु की प्रकाश-संवेदनशीलता का अर्थ है उस पर उपयुक्त आवृत्ति का प्रकाश पड़ने पर फोटोइलेक्ट्रॉन उत्सर्जित करने की उसकी क्षमता। जिस धातु का कार्य फलन $(\Phi_0)$ कम होता है, उसे इलेक्ट्रॉन उत्सर्जित करने के लिए कम ऊर्जा की आवश्यकता होती है, जिससे वह अधिक प्रकाश-संवेदनशील हो जाती है। अतः, कथन सही है।
कार्य फलन को $\Phi_0 = hf_0$ के रूप में परिभाषित किया जाता है, जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $f_0$ देहली आवृत्ति है। यह प्रकाश-विद्युत प्रभाव के लिए एक मानक भौतिक संबंध है। अतः, कारण भी सही है।
चूंकि कार्य फलन देहली आवृत्ति $(f_0)$ द्वारा परिभाषित होता है, और कम $f_0$ (अतः कम $\Phi_0$) इलेक्ट्रॉनों को उत्सर्जित करना आसान बनाता है, इसलिए कारण, कथन की सही व्याख्या करता है। अतः, सही विकल्प $A$ है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,$K_{max} = eV_0 = h\nu - \phi$,जहाँ $\nu$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है और $\phi$ धातु का कार्य फलन (work function) है।
चूंकि $X-$ किरणों की आवृत्ति पराबैंगनी $(U.V.)$ प्रकाश की तुलना में काफी अधिक होती है,इसलिए जब $X-$ किरणों का उपयोग किया जाता है तो अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{max})$ और निरोधी विभव $(V_0)$ दोनों बढ़ जाते हैं।
अतः,कथन सही है।
कारण में कहा गया है कि आपतित प्रकाश में आवृत्तियों की सीमा के कारण फोटोइलेक्ट्रॉन विभिन्न गति के साथ उत्सर्जित होते हैं। यह गलत है क्योंकि प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन एकवर्णी प्रकाश (एकल आवृत्ति) के साथ भी होता है,और गति की सीमा उत्सर्जन से पहले धातु के भीतर इलेक्ट्रॉनों की ऊर्जा हानि के कारण उत्पन्न होती है,न कि आपतित आवृत्तियों की सीमा के कारण।
इस प्रकार,कथन सही है लेकिन कारण गलत है।

(B) कथन सही है क्योंकि एकवर्णी प्रकाश स्रोत के लिए भी, धातु की गहरी परतों से उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन बाहर निकलने से पहले टक्करों के कारण ऊर्जा खो देते हैं, जिसके परिणामस्वरूप $0$ से $K_{max}$ तक की गतिज ऊर्जा प्राप्त होती है।
कारण भी सही है क्योंकि आइंस्टीन के प्रकाशवैद्युत समीकरण $K_{max} = h\nu - \Phi$ के अनुसार, यदि आपतित विकिरण की तरंगदैर्ध्य अलग-अलग है (और इसलिए आवृत्ति $\nu$ अलग है), तो इलेक्ट्रॉनों द्वारा प्राप्त ऊर्जा अलग-अलग होगी।
हालाँकि, कारण, कथन की सही व्याख्या नहीं है क्योंकि गतिज ऊर्जा में भिन्नता का प्राथमिक कारण (एकवर्णी प्रकाश के लिए भी) धातु के भीतर विभिन्न गहराइयों से इलेक्ट्रॉनों के बाहर निकलने के दौरान होने वाली ऊर्जा की हानि है।

(D) कार्य फलन $\phi$ और देहली तरंगदैर्ध्य $\lambda_0$ के बीच का संबंध $\phi = \frac{hc}{\lambda_0}$ है।
यहाँ $\phi = 4.0 \ eV$ दिया गया है और $hc \approx 1240 \ eV \cdot nm$ का उपयोग करने पर:
$\lambda_0 = \frac{hc}{\phi} = \frac{1240 \ eV \cdot nm}{4.0 \ eV}$.
$\lambda_0 = 310 \ nm$.
अतः,प्रकाश की वह अधिकतम तरंगदैर्ध्य जो प्रकाश-उत्सर्जन करा सकती है,$310 \ nm$ है।

(C) विकिरण की तीव्रता $I = 6.4 \times 10^{-5} \; W/cm^{2}$ और क्षेत्रफल $A = 1 \; cm^{2}$ है।
सतह पर आपतित शक्ति $P = I \times A = 6.4 \times 10^{-5} \; W$ है।
एक फोटॉन की ऊर्जा $E_{ph} = \frac{hc}{\lambda} = \frac{1240 \; eV \cdot nm}{310 \; nm} = 4 \; eV$ है।
इस ऊर्जा को जूल में बदलने पर: $E_{ph} = 4 \times 1.6 \times 10^{-19} \; J = 6.4 \times 10^{-19} \; J$ प्राप्त होता है।
प्रति सेकंड आपतित फोटॉनों की संख्या $(n)$ $n = \frac{P}{E_{ph}} = \frac{6.4 \times 10^{-5} \; J/s}{6.4 \times 10^{-19} \; J} = 10^{14} \; \text{फोटॉन/सेकंड}$ है।
यह दिया गया है कि $10^{3}$ फोटॉनों में से एक फोटॉन एक इलेक्ट्रॉन उत्सर्जित करता है, इसलिए प्रति सेकंड उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की संख्या $N_e = n \times 10^{-3} = 10^{14} \times 10^{-3} = 10^{11}$ है।
इसे $10^{x}$ के साथ तुलना करने पर, $x = 11$ प्राप्त होता है।

(C) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $K$ गतिज ऊर्जा है।
दिया गया है $\lambda_{B} = 2 \lambda_{A}$,इसलिए $\frac{h}{\sqrt{2m T_{B}}} = 2 \frac{h}{\sqrt{2m T_{A}}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $\frac{1}{T_{B}} = \frac{4}{T_{A}}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $T_{A} = 4 T_{B}$.
हमें $T_{B} = T_{A} - 1.5$ दिया गया है। $T_{A} = 4 T_{B}$ प्रतिस्थापित करने पर,$T_{B} = 4 T_{B} - 1.5$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $3 T_{B} = 1.5$,अतः $T_{B} = 0.5 \; eV$.
धातु $B$ के लिए आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण का उपयोग करने पर: $K_{max} = E - \phi_{B}$,जहाँ $E = 4.5 \; eV$.
$0.5 = 4.5 - \phi_{B}$.
अतः,$\phi_{B} = 4.5 - 0.5 = 4.0 \; eV$.

(A) माना कार्य फलन $\phi$ है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $KE_{\max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ होती है।
जब $q$ आवेश और $m$ द्रव्यमान वाला इलेक्ट्रॉन अपने वेग के लंबवत चुंबकीय क्षेत्र $B$ में प्रवेश करता है,तो वह $R = \frac{\sqrt{2m KE_{\max}}}{qB}$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ का अनुसरण करता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$R^2 = \frac{2m KE_{\max}}{q^2 B^2}$,जिसका अर्थ है $KE_{\max} = \frac{R^2 q^2 B^2}{2m}$।
मान रखने पर: $h = 6.63 \times 10^{-34} \; J \cdot s$,$c = 3 \times 10^8 \; m/s$,$\lambda = 6561 \times 10^{-10} \; m$,$R = 10 \times 10^{-3} \; m$,$q = 1.6 \times 10^{-19} \; C$,$m = 9.1 \times 10^{-31} \; kg$,$B = 3 \times 10^{-4} \; T$।
आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda} \approx 1.89 \; eV$।
गतिज ऊर्जा $KE_{\max} = \frac{(10^{-2})^2 \times (1.6 \times 10^{-19})^2 \times (3 \times 10^{-4})^2}{2 \times 9.1 \times 10^{-31}} \approx 0.079 \; eV$।
अतः,$\phi = E - KE_{\max} = 1.89 \; eV - 0.079 \; eV \approx 1.81 \; eV$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$1.8 \; eV$ सबसे निकटतम मान है।

(N/A) कट-ऑफ या देहली आवृत्ति के लिए,आपतित विकिरण की ऊर्जा $h \nu_{0}$ कार्य फलन $\phi_{0}$ के बराबर होनी चाहिए,इसलिए
$\nu_{0} = \frac{\phi_{0}}{h} = \frac{2.14 \ eV}{6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s}$
$= \frac{2.14 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J}{6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s} = 5.16 \times 10^{14} \ Hz$
अतः,इस देहली आवृत्ति से कम आवृत्तियों के लिए,कोई भी प्रकाश-इलेक्ट्रॉन उत्सर्जित नहीं होते हैं।
$(b)$ जब उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा,मंदक विभव (retarding potential) $V_{0}$ द्वारा प्रदान की गई स्थितिज ऊर्जा $e V_{0}$ के बराबर हो जाती है,तो प्रकाश-धारा शून्य हो जाती है। आइंस्टीन का प्रकाश-विद्युत समीकरण है:
$e V_{0} = h \nu - \phi_{0} = \frac{h c}{\lambda} - \phi_{0}$
$\lambda = \frac{h c}{e V_{0} + \phi_{0}}$
$= \frac{(6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s) \times (3 \times 10^{8} \ m/s)}{(0.60 \ eV + 2.14 \ eV) \times 1.6 \times 10^{-19} \ J/eV}$
$= \frac{19.89 \times 10^{-26} \ J \cdot m}{4.384 \times 10^{-19} \ J} \approx 454 \ nm$

(N/A) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = h\nu = hc / \lambda$ द्वारा दी जाती है।
$h = 6.63 \times 10^{-34} \; J s$ और $c = 3 \times 10^8 \; m/s$ का उपयोग करने पर,$hc = 1.989 \times 10^{-25} \; J m$ प्राप्त होता है।
$(i)$ बैंगनी प्रकाश के लिए,$\lambda_1 = 390 \; nm = 390 \times 10^{-9} \; m$:
$E_1 = (1.989 \times 10^{-25}) / (390 \times 10^{-9}) \approx 5.10 \times 10^{-19} \; J = 3.19 \; eV$.
$(ii)$ पीले-हरे प्रकाश के लिए,$\lambda_2 = 550 \; nm = 550 \times 10^{-9} \; m$:
$E_2 = (1.989 \times 10^{-25}) / (550 \times 10^{-9}) \approx 3.62 \times 10^{-19} \; J = 2.26 \; eV$.
$(iii)$ लाल प्रकाश के लिए,$\lambda_3 = 760 \; nm = 760 \times 10^{-9} \; m$:
$E_3 = (1.989 \times 10^{-25}) / (760 \times 10^{-9}) \approx 2.62 \times 10^{-19} \; J = 1.64 \; eV$.
$(b)$ एक फोटोइलेक्ट्रिक उपकरण तब कार्य करता है यदि आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E \geq \phi_0$ हो।
बैंगनी प्रकाश $(3.19 \; eV)$ के लिए,यह $Cs$ $(2.14 \; eV)$,$K$ $(2.30 \; eV)$,और $Na$ $(2.75 \; eV)$ के साथ कार्य कर सकता है।
पीले-हरे प्रकाश $(2.26 \; eV)$ के लिए,यह केवल $Cs$ $(2.14 \; eV)$ के साथ कार्य कर सकता है।
लाल प्रकाश $(1.64 \; eV)$ के लिए,तालिका में सूचीबद्ध किसी भी पदार्थ का कार्य फलन इतना कम नहीं है कि वह कार्य कर सके।

(N/A) दिया गया है: कार्य फलन $\phi_{0} = 2.14 \; eV = 2.14 \times 1.6 \times 10^{-19} \; J = 3.424 \times 10^{-19} \; J$. आवृत्ति $\nu = 6 \times 10^{14} \; Hz$. प्लांक नियतांक $h = 6.63 \times 10^{-34} \; J \cdot s$. इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $m = 9.11 \times 10^{-31} \; kg$.
$(a)$ आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण का उपयोग करते हुए,$K_{\max} = h\nu - \phi_{0}$.
$h\nu = (6.63 \times 10^{-34}) \times (6 \times 10^{14}) = 3.978 \times 10^{-19} \; J$.
$K_{\max} = 3.978 \times 10^{-19} - 3.424 \times 10^{-19} = 0.554 \times 10^{-19} \; J$.
$eV$ में,$K_{\max} = (0.554 \times 10^{-19}) / (1.6 \times 10^{-19}) \approx 0.346 \; eV$.
$(b)$ निरोधी विभव $V_{0}$ को $eV_{0} = K_{\max}$ द्वारा प्राप्त किया जाता है।
$V_{0} = (0.554 \times 10^{-19} \; J) / (1.6 \times 10^{-19} \; C) = 0.346 \; V$.
$(c)$ अधिकतम चाल $v_{\max}$ को $K_{\max} = \frac{1}{2}mv_{\max}^{2}$ द्वारा प्राप्त किया जाता है।
$v_{\max} = \sqrt{\frac{2K_{\max}}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 0.554 \times 10^{-19}}{9.11 \times 10^{-31}}} = \sqrt{0.1216 \times 10^{12}} \approx 3.49 \times 10^{5} \; m/s = 349 \; km/s$.

(B) उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{max})$ और कट-ऑफ वोल्टेज (स्टॉपिंग पोटेंशियल,$V_o$) के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$K_{max} = e V_o$
यहाँ दिया गया है कि कट-ऑफ वोल्टेज $V_o = 1.5 \; V$ है और मूल आवेश $e = 1.6 \times 10^{-19} \; C$ है,इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$K_{max} = (1.6 \times 10^{-19} \; C) \times (1.5 \; V)$
$K_{max} = 2.4 \times 10^{-19} \; J$
अतः,अधिकतम गतिज ऊर्जा $2.4 \times 10^{-19} \; J$ है।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,निरोधी विभव (stopping potential) $V_0 = (h/e)\nu - \phi/e$ होता है।
इसकी तुलना सरल रेखा के समीकरण $y = mx + c$ से करने पर,ढाल $m = h/e$ प्राप्त होती है।
दिया गया है,ढाल $m = 4.12 \times 10^{-15} \; V \cdot s$ है।
हम जानते हैं कि इलेक्ट्रॉन का आवेश $e = 1.6 \times 10^{-19} \; C$ होता है।
अतः,$h = m \times e = (4.12 \times 10^{-15}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \; J \cdot s$।
$h = 6.592 \times 10^{-34} \; J \cdot s$।

(C) दिया गया है:
देहली आवृत्ति $\nu_{0} = 3.3 \times 10^{14} \;Hz$
आपतित आवृत्ति $\nu = 8.2 \times 10^{14} \;Hz$
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = h(\nu - \nu_{0})$ द्वारा दी जाती है।
कट-ऑफ वोल्टेज (निरोधी विभव) $V_{0}$,$eV$ में अधिकतम गतिज ऊर्जा के संख्यात्मक रूप से बराबर होता है,जहाँ $eV_{0} = h(\nu - \nu_{0})$ है।
प्लांक नियतांक $h \approx 4.135 \times 10^{-15} \;eV \cdot s$ का उपयोग करने पर:
$V_{0} = \frac{h(\nu - \nu_{0})}{e} = 4.135 \times 10^{-15} \times (8.2 - 3.3) \times 10^{14}$
$V_{0} = 4.135 \times 10^{-15} \times 4.9 \times 10^{14}$
$V_{0} = 4.135 \times 0.49 \approx 2.026 \;V$.
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,कट-ऑफ वोल्टेज $2.03 \;V$ प्राप्त होता है।

(NO) धातु का कार्य फलन $\phi_{0} = 4.2 \; eV$ है।
देहली आवृत्ति (threshold frequency) $\nu_{0}$ ज्ञात करने के लिए,हम $\phi_{0} = h\nu_{0}$ का उपयोग करते हैं,जहाँ $h = 6.63 \times 10^{-34} \; J \cdot s$ है।
$\nu_{0} = \frac{\phi_{0}}{h} = \frac{4.2 \times 1.6 \times 10^{-19} \; J}{6.63 \times 10^{-34} \; J \cdot s} \approx 1.01 \times 10^{15} \; Hz$ है।
आपतित विकिरण की आवृत्ति $\nu$ का मान $\nu = \frac{c}{\lambda}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\nu = \frac{3 \times 10^{8} \; m/s}{330 \times 10^{-9} \; m} \approx 0.91 \times 10^{15} \; Hz$ है।
चूँकि आपतित आवृत्ति $\nu \approx 0.91 \times 10^{15} \; Hz$ का मान देहली आवृत्ति $\nu_{0} \approx 1.01 \times 10^{15} \; Hz$ से कम है,इसलिए प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन नहीं होगा।

(A) दिया गया है: आपतित प्रकाश की आवृत्ति $\nu = 7.21 \times 10^{14} \; Hz$,इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गति $v = 6.0 \times 10^{5} \; m/s$,इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $m = 9.11 \times 10^{-31} \; kg$,और प्लांक नियतांक $h = 6.626 \times 10^{-34} \; J \cdot s$.
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $K_{max} = h\nu - h\nu_0$,जहाँ $K_{max} = \frac{1}{2}mv^2$.
मान रखने पर: $\frac{1}{2} \times (9.11 \times 10^{-31}) \times (6.0 \times 10^5)^2 = (6.626 \times 10^{-34}) \times (7.21 \times 10^{14} - \nu_0)$.
$1.6398 \times 10^{-19} = (6.626 \times 10^{-34}) \times (7.21 \times 10^{14} - \nu_0)$.
$2.4748 \times 10^{14} = 7.21 \times 10^{14} - \nu_0$.
$\nu_0 = 7.21 \times 10^{14} - 2.4748 \times 10^{14} = 4.7352 \times 10^{14} \; Hz$.
अतः,देहली आवृत्ति लगभग $4.73 \times 10^{14} \; Hz$ है।

(B) दिया गया है: तरंगदैर्ध्य $\lambda = 488 \;nm = 488 \times 10^{-9} \;m$, निरोधी विभव $V_o = 0.38 \;V$ है।
आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
$h = 6.63 \times 10^{-34} \;J \cdot s$ और $c = 3 \times 10^8 \;m/s$ का उपयोग करते हुए:
$E = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{488 \times 10^{-9}} \approx 4.076 \times 10^{-19} \;J$ है।
$eV$ में बदलने पर: $E = \frac{4.076 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 2.547 \;eV$ है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $K_{max} = E - \phi_o$, जहाँ $K_{max} = eV_o$ है।
अतः, $\phi_o = E - eV_o$ है।
$\phi_o = 2.547 \;eV - 0.38 \;eV = 2.167 \;eV$ है।
निकटतम विकल्प के अनुसार, कार्य फलन $2.16 \;eV$ है।

(N/A) दिया गया है:
पराबैंगनी प्रकाश की तरंगदैर्ध्य, $\lambda = 2271 \,\mathring{A} = 2271 \times 10^{-10} \, m$
निरोधी विभव, $V_{0} = 1.3 \, V$
प्लांक नियतांक, $h = 6.63 \times 10^{-34} \, J \cdot s$
प्रकाश की गति, $c = 3 \times 10^{8} \, m/s$
इलेक्ट्रॉन का आवेश, $e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण का उपयोग करते हुए: $\phi_{0} = \frac{hc}{\lambda} - eV_{0}$
$\phi_{0} = \frac{(6.63 \times 10^{-34}) \times (3 \times 10^{8})}{2271 \times 10^{-10}} - (1.6 \times 10^{-19} \times 1.3)$
$\phi_{0} = 8.758 \times 10^{-19} \, J - 2.08 \times 10^{-19} \, J = 6.678 \times 10^{-19} \, J$
इलेक्ट्रॉन वोल्ट में: $\phi_{0} = \frac{6.678 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 4.17 \, eV$
लाल प्रकाश के लिए: $\lambda_{r} = 6328 \,\mathring{A} = 6328 \times 10^{-10} \, m$
लाल प्रकाश के फोटॉन की ऊर्जा, $E_{r} = \frac{hc}{\lambda_{r}} = \frac{1.989 \times 10^{-25}}{6328 \times 10^{-10}} \approx 3.14 \times 10^{-19} \, J \approx 1.96 \, eV$
चूंकि $E_{r} < \phi_{0}$ $(1.96 \, eV < 4.17 \, eV)$, इसलिए लाल प्रकाश की तीव्रता कितनी भी अधिक क्यों न हो, यह प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन उत्पन्न नहीं करेगा।

(B) फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
प्रकाश-विद्युत समीकरण का उपयोग करते हुए: $eV_0 = \frac{hc}{\lambda} - \phi_0$,जहाँ $\phi_0$ कार्य फलन (work function) है।
नियोन लैंप के लिए: $\lambda_1 = 640.2 \;nm$,$V_{01} = 0.54 \;V$.
$\phi_0 = \frac{hc}{\lambda_1} - eV_{01} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{640.2 \times 10^{-9}} - 0.54 \;eV = 1.94 \;eV - 0.54 \;eV = 1.40 \;eV$.
आयरन स्रोत के लिए: $\lambda_2 = 427.2 \;nm$.
$eV_{02} = \frac{hc}{\lambda_2} - \phi_0 = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{427.2 \times 10^{-9}} - 1.40 \;eV$.
$eV_{02} = 2.90 \;eV - 1.40 \;eV = 1.50 \;eV$.
अतः,नया निरोधी विभव $1.5 \;V$ है।

(N/A) आइंस्टीन का फोटोइलेक्ट्रिक समीकरण इस प्रकार है:
$e V_0 = h \nu - \phi_0$
$V_0 = \frac{h}{e} \nu - \frac{\phi_0}{e} \dots (i)$
जहाँ $V_0$ स्टॉपिंग विभव है,$h$ प्लांक नियतांक है,$e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है,$\nu$ विकिरण की आवृत्ति है और $\phi_0$ पदार्थ का कार्य फलन है।
$\nu = \frac{c}{\lambda}$ $(c = 3 \times 10^8 \,m/s)$ का उपयोग करके,हम आवृत्तियों की गणना करते हैं:
$\nu_1 = 8.219 \times 10^{14} \,Hz, \nu_2 = 7.412 \times 10^{14} \,Hz, \nu_3 = 6.884 \times 10^{14} \,Hz, \nu_4 = 5.493 \times 10^{14} \,Hz, \nu_5 = 4.343 \times 10^{14} \,Hz$

आवृत्ति $(\times 10^{14} \,Hz)$	$8.219$	$7.412$	$6.884$	$5.493$	$4.343$
स्टॉपिंग विभव $V_0$ $(V)$	$1.28$	$0.95$	$0.74$	$0.16$	$0$

$V_0$ बनाम $\nu$ का ग्राफ एक सीधी रेखा है। देहली आवृत्ति $\nu_0$ $\nu$-अक्ष पर अंतःखंड है,जो $5 \times 10^{14} \,Hz$ है।
रेखा का ढाल $\frac{h}{e} = \frac{1.28 - 0.16}{(8.219 - 5.493) \times 10^{14}} = \frac{1.12}{2.726 \times 10^{14}} \approx 4.108 \times 10^{-15} \,V \cdot s$ है।
$h = (4.108 \times 10^{-15}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \approx 6.573 \times 10^{-34} \,J \cdot s$.
कार्य फलन $\phi_0 = h \nu_0 = (6.573 \times 10^{-34}) \times (5 \times 10^{14}) = 3.286 \times 10^{-19} \,J = 2.054 \,eV$.

(C) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $\lambda = 3300\,\mathring{A} = 3300 \times 10^{-10}\,m$,$h = 6.63 \times 10^{-34}\,Js$,और $c = 3 \times 10^8\,m/s$ है।
$E = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{3300 \times 10^{-10}}\,J = 6.027 \times 10^{-19}\,J$.
इलेक्ट्रॉन-वोल्ट में बदलने पर: $E = \frac{6.027 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}}\,eV \approx 3.77\,eV$.
प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन केवल तभी होता है जब आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E$,धातु के कार्य फलन $\Phi$ से अधिक हो।
यहाँ $E = 3.77\,eV$ है। दिए गए कार्य फलनों के साथ तुलना करने पर:
$Na (2.75\,eV) < 3.77\,eV$ (उत्सर्जन होगा)
$K (2.30\,eV) < 3.77\,eV$ (उत्सर्जन होगा)
$Mo (4.17\,eV) > 3.77\,eV$ (उत्सर्जन नहीं होगा)
$Ni (5.15\,eV) > 3.77\,eV$ (उत्सर्जन नहीं होगा)
अतः,$Mo$ और $Ni$ प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन नहीं दिखाएंगी।
यदि लेजर को $50\;cm$ की दूरी पर लाया जाता है,तो विकिरण की तीव्रता बढ़ जाती है,लेकिन व्यक्तिगत फोटॉन की ऊर्जा $3.77\,eV$ ही रहती है। चूंकि यह ऊर्जा अभी भी $Mo$ और $Ni$ के कार्य फलन से कम है,इसलिए इन धातुओं के लिए अभी भी कोई प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन नहीं होगा।

(N/A) देहली आवृत्ति $(\nu_0)$ धातु की सतह से इलेक्ट्रॉनों को बाहर निकालने के लिए आवश्यक आपतित विकिरण की न्यूनतम आवृत्ति है।
प्रत्येक धातु का कार्य फलन $(\Phi = h\nu_0)$ अलग होता है, जो उसकी विशिष्ट देहली आवृत्ति को निर्धारित करता है।
यदि आपतित विकिरण की आवृत्ति $(\nu)$ देहली आवृत्ति से कम है $(\nu < \nu_0)$, तो आपतित फोटॉन की ऊर्जा धातु के कार्य फलन को पार करने के लिए अपर्याप्त होती है, और प्रकाश की तीव्रता चाहे कितनी भी हो, कोई प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन नहीं होता है।
यदि $\nu > \nu_0$ है, तो आपतित फोटॉन की ऊर्जा कार्य फलन से अधिक होती है, और प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन तात्कालिक रूप से ($10^{-9} \, s$ या उससे कम समय में) होता है, भले ही विकिरण की तीव्रता बहुत कम हो।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, $K_{max} = h\nu - \Phi_0$, जहाँ $K_{max}$ फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा है, $h$ प्लांक नियतांक है, $\nu$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है और $\Phi_0$ कार्य फलन (work function) है। कार्य फलन $\Phi_0$ धातु की सतह के प्रकार पर निर्भर करता है। अतः, फोटोइलेक्ट्रॉन की ऊर्जा आपतित प्रकाश की आवृत्ति ($\nu$) और धातु की सतह के प्रकार ($\Phi_0$) पर निर्भर करती है। इसलिए, सही विकल्प $(D)$ है।

(N/A) प्रकाश के तरंग सिद्धांत के अनुसार,तरंग की ऊर्जा उसके आयाम (तीव्रता) के वर्ग के समानुपाती होती है और यह उसकी आवृत्ति से स्वतंत्र होती है।
$1$. तरंग सिद्धांत बताता है कि धातु की सतह पर पहुँचने वाली ऊर्जा प्रकाश की तीव्रता पर निर्भर करती है,न कि उसकी आवृत्ति पर।
$2$. इसलिए,यदि तीव्रता को स्थिर रखा जाए,तो तरंग सिद्धांत के अनुसार उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की गतिज ऊर्जा आपतित प्रकाश की आवृत्ति की परवाह किए बिना स्थिर रहनी चाहिए।
$3$. हालाँकि,प्रायोगिक अवलोकन यह दर्शाते हैं कि फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा आपतित प्रकाश की आवृत्ति के साथ रैखिक रूप से बढ़ती है।
$4$. यह विसंगति इसलिए उत्पन्न होती है क्योंकि प्रकाश पदार्थ के साथ फोटॉन नामक ऊर्जा के छोटे पैकेटों के रूप में परस्पर क्रिया करता है,जहाँ प्रत्येक फोटॉन की ऊर्जा $E = h\nu$ द्वारा दी जाती है। चूंकि तरंग सिद्धांत प्रकाश को एक निरंतर तरंग के रूप में मानता है,इसलिए यह इस आवृत्ति-आधारित ऊर्जा हस्तांतरण की व्याख्या करने में विफल रहता है।

(N/A) $1905$ में,आइंस्टीन ने प्रकाश-विद्युत प्रभाव को समझाने के लिए एक नया सिद्धांत प्रस्तावित किया।
इस सिद्धांत के अनुसार,ऊर्जा का उत्सर्जन और अवशोषण (जिसे फोटॉन कहा जाता है) असतत इकाइयों में होता है। इन इकाइयों को विकिरण की ऊर्जा के क्वांटा कहा जाता है।
प्रत्येक क्वांटम (फोटॉन) के पास $E = h\nu$ ऊर्जा होती है,जहाँ $\nu$ विकिरण की आवृत्ति है। सतह पर मौजूद इलेक्ट्रॉन इस $h\nu$ ऊर्जा को अवशोषित करेगा।
यदि सतह पर एक इलेक्ट्रॉन द्वारा अवशोषित ऊर्जा आवश्यक न्यूनतम ऊर्जा (कार्य फलन $\phi_{0}$) से अधिक है,तो इलेक्ट्रॉन अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max}$ के साथ उत्सर्जित होगा।
मान लीजिए कि आपतित विकिरण की ऊर्जा $h\nu$ है,इलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max}$ है और धातु का कार्य फलन $\phi_{0}$ है। तो,ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार:
$h\nu = K_{\max} + \phi_{0}$
अतः,$K_{\max} = h\nu - \phi_{0} \quad \dots (1)$
अधिक मजबूती से बंधे हुए इलेक्ट्रॉन अधिकतम मान से कम गतिज ऊर्जा के साथ बाहर आएंगे। प्रकाश की तीव्रता बढ़ाने पर,प्रति सेकंड उत्सर्जित होने वाले इलेक्ट्रॉनों की संख्या बढ़ जाती है। हालाँकि,उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा केवल फोटॉन की ऊर्जा द्वारा निर्धारित होती है।
आइंस्टीन के समीकरण में,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max} = e V_{0}$ है,जहाँ $V_{0}$ निरोधी विभव (स्टॉपिंग पोटेंशियल) है। इसे समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$e V_{0} = h\nu - \phi_{0} \quad \dots (2)$
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर $V_{0} = \left(\frac{h}{e}\right)\nu - \frac{\phi_{0}}{e}$ प्राप्त होता है।
निरोधी विभव $V_{0}$ बनाम आवृत्ति $\nu$ का ग्राफ एक सीधी रेखा है। $V_{0}-\nu$ ग्राफ का ढाल $\frac{h}{e}$ है,जो एक सार्वभौमिक स्थिरांक है और उपयोग की गई सामग्री के प्रकार पर निर्भर नहीं करता है।

(N/A) आइंस्टीन का फोटोइलेक्ट्रिक समीकरण इस प्रकार है:
$\frac{1}{2} m v_{\max }^{2} = h \nu - \phi_{0}$
चूंकि अधिकतम गतिज ऊर्जा और स्टॉपिंग पोटेंशियल $V_{0}$ के बीच संबंध है:
$\frac{1}{2} m v_{\max }^{2} = e V_{0}$
इस मान को फोटोइलेक्ट्रिक समीकरण में रखने पर:
$e V_{0} = h \nu - \phi_{0}$
$V_{0}$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$V_{0} = \left( \frac{h}{e} \right) \nu - \frac{\phi_{0}}{e}$
यह समीकरण $y = mx + c$ के रूप में है,जो एक सीधी रेखा को दर्शाता है,जहाँ ढाल (slope) $\frac{h}{e}$ है।
मिलिकन ने आपतित विकिरण की विभिन्न आवृत्तियों $\nu$ के लिए स्टॉपिंग पोटेंशियल $V_{0}$ को मापने के लिए प्रयोगों की एक श्रृंखला की। उन्होंने $V_{0}$ बनाम $\nu$ का एक ग्राफ बनाया,जो एक सीधी रेखा प्राप्त हुआ। इस रेखा की ढाल $\frac{h}{e}$ पाई गई।
इलेक्ट्रॉन के आवेश $e$ के ज्ञात मान का उपयोग करके,मिलिकन ने प्लांक नियतांक $h$ का मान लगभग $6.626 \times 10^{-34} \text{ Js}$ प्राप्त किया,जो पहले से स्वीकृत मान के अनुरूप था।
इस प्रकार,हालांकि मिलिकन शुरू में आइंस्टीन के सिद्धांत को गलत साबित करना चाहते थे,लेकिन उनके प्रयोगात्मक परिणामों ने इसकी वैधता के लिए मजबूत सबूत प्रदान किए और विभिन्न क्षार धातुओं (alkali metals) के लिए फोटोइलेक्ट्रिक समीकरण को बहुत सटीकता के साथ सत्यापित किया।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,एक फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{max})$ इस प्रकार दी जाती है:
$K_{max} = h\nu - \Phi_0$
जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$\nu$ आपतित विकिरण की आवृत्ति है,और $\Phi_0$ धातु का कार्य फलन है।
$1$. आवृत्ति पर निर्भरता: समीकरण दर्शाता है कि $K_{max}$ आपतित विकिरण की आवृत्ति $(\nu)$ के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है।
$2$. स्वतंत्रता: $K_{max}$ आपतित विकिरण की तीव्रता पर निर्भर नहीं करता है,क्योंकि तीव्रता केवल प्रति सेकंड उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की संख्या को प्रभावित करती है,उनकी व्यक्तिगत गतिज ऊर्जा को नहीं।

(N/A) फोटोइलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $(K_{max})$ आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण द्वारा दी जाती है: $K_{max} = h\nu - \Phi_0$,जहाँ $h\nu$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $\Phi_0$ धातु की सतह का कार्य फलन (work function) है।
$1$. परिभाषा के अनुसार,गतिज ऊर्जा वह ऊर्जा है जो किसी वस्तु में उसकी गति के कारण होती है,जिसे सूत्र $K = \frac{1}{2}mv^2$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि द्रव्यमान $(m)$ हमेशा धनात्मक होता है और वेग का वर्ग $(v^2)$ हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए गतिज ऊर्जा कभी भी ऋणात्मक नहीं हो सकती है।
$2$. भौतिक रूप से,यदि आपतित फोटॉन की ऊर्जा $(h\nu)$ कार्य फलन $(\Phi_0)$ से कम है,तो फोटॉन के पास धातु की सतह से इलेक्ट्रॉन को बाहर निकालने के लिए पर्याप्त ऊर्जा नहीं होती है। इस स्थिति में,कोई प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन नहीं होता है,और गतिज ऊर्जा को ऋणात्मक के रूप में परिभाषित नहीं किया जाता है; बल्कि,यह प्रक्रिया ही नहीं होती है।

(N/A) प्रकाश-विद्युत समीकरण $h\nu = \phi_0 + eV_0$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$\nu$ आपतित विकिरण की आवृत्ति है,$\phi_0$ कार्य फलन (work function) है और $V_0$ निरोधी विभव (stopping potential) है।
$V_0$ के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $V_0 = (\frac{h}{e})\nu - \frac{\phi_0}{e}$ प्राप्त होता है।
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,ढाल $m = \frac{h}{e}$ प्राप्त होता है।
$V_0 - \nu$ ग्राफ का ढाल $\frac{h}{e}$ है,जो एक सार्वभौमिक नियतांक है।
चूंकि $h$ (प्लांक नियतांक) और $e$ (इलेक्ट्रॉन का आवेश) सार्वभौमिक नियतांक हैं,इसलिए ढाल प्रकाश-संवेदी सतह के लिए उपयोग किए जाने वाले पदार्थ के प्रकार पर निर्भर नहीं करता है।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = h\nu - \Phi_0$ होती है, जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है, $\nu$ आपतित विकिरण की आवृत्ति है और $\Phi_0$ कार्य फलन है।
हम जानते हैं कि $K_{max} = eV_0$, जहाँ $e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है और $V_0$ निरोधी विभव (stopping potential) है।
अतः, समीकरण $eV_0 = h\nu - \Phi_0$ प्राप्त होता है।
इस समीकरण की तुलना $y = mx + c$ से करने पर, जहाँ $y = eV_0$ और $x = \nu$ है, ढाल $m = h$ प्राप्त होती है।

(A) $(i)$ मान लीजिए कि एक इलेक्ट्रॉन $f$ आवृत्ति वाले दो फोटॉन अवशोषित करता है। इस कुल $2hf$ ऊर्जा में से,वह उत्सर्जन के लिए कार्य फलन के रूप में $W$ ऊर्जा खर्च करता है और शेष ऊर्जा $(2hf - W)$ उत्सर्जन के बाद गतिज ऊर्जा के रूप में प्राप्त करता है।
अतः,$K = 2hf - W$.
इसलिए,$K_{max} = 2hf - W_{min}$.
चूंकि $W_{min} = \phi_0$,इसलिए $K_{max} = 2hf - \phi_0$.
$(ii)$ यदि उपरोक्त धारणा सत्य होती,तो कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,$K_{max} = V_0 e$ लेने पर (जहाँ $V_0$ स्टॉपिंग पोटेंशियल है):
$2hf - \phi_0 = V_0 e$
$V_0 = (\frac{2h}{e})f - (\frac{\phi_0}{e})$
यह समीकरण एक सीधी रेखा $y = mx + c$ के समान है। यदि हम प्रयोगात्मक रूप से $V_0$ बनाम $f$ का ग्राफ प्लॉट करते हैं,तो ढलान $(\frac{2h}{e})$ मिलनी चाहिए। लेकिन प्रयोगात्मक रूप से हमें यह ढलान केवल $(\frac{h}{e})$ प्राप्त होती है। अतः,दो-फोटॉन अवशोषण की धारणा गलत साबित होती है। यही कारण है कि स्टॉपिंग पोटेंशियल की चर्चा में इस धारणा पर विचार नहीं किया जाता है।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K = \frac{hc}{\lambda} - \phi_0$ है,जहाँ $\phi_0$ कार्य फलन है।
$\lambda_1 = 600 \, nm$ के लिए,$K_1 = \frac{hc}{600} - \phi_0$ $(1)$
$\lambda_2 = 400 \, nm$ के लिए,$K_2 = \frac{hc}{400} - \phi_0$ $(2)$
दिया गया है कि $K_2 = 2K_1$,समीकरण $(1)$ को $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{hc}{400} - \phi_0 = 2 \left( \frac{hc}{600} - \phi_0 \right)$
$\frac{hc}{400} - \phi_0 = \frac{hc}{300} - 2\phi_0$
$\phi_0 = hc \left( \frac{1}{300} - \frac{1}{400} \right) \times 10^9$
$hc \approx 1240 \, eV \cdot nm$ का उपयोग करने पर:
$\phi_0 = 1240 \left( \frac{4-3}{1200} \right) = \frac{1240}{1200} \approx 1.03 \, eV$.
निकटतम विकल्प के अनुसार,कार्य फलन $1.0 \, eV$ है।

(N/A) शून्य-बिंदु ऊर्जा वह न्यूनतम संभव ऊर्जा है जो एक क्वांटम यांत्रिक भौतिक प्रणाली के पास हो सकती है। क्लासिकल मैकेनिक्स के विपरीत,क्वांटम सिस्टम अपनी ग्राउंड स्टेट में भी उतार-चढ़ाव (fluctuate) करते हैं। फर्मिऑन्स की गैस के लिए,परम शून्य तापमान $(0 \ K)$ पर उच्चतम अधिकृत अवस्था की ऊर्जा को फर्मी ऊर्जा $(E_F)$ कहा जाता है।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi = eV,$ जहाँ $\phi = \frac{hc}{\lambda_0}$ कार्य फलन है।
$\lambda$ तरंगदैर्ध्य के लिए: $\frac{hc}{\lambda} = \frac{hc}{\lambda_0} + eV$ ... $(i)$
$3\lambda$ तरंगदैर्ध्य के लिए: $\frac{hc}{3\lambda} = \frac{hc}{\lambda_0} + \frac{eV}{4}$ ... (ii)
समीकरण (ii) को $4$ से गुणा करने पर: $\frac{4hc}{3\lambda} = \frac{4hc}{\lambda_0} + eV$ ... (iii)
समीकरण $(i)$ और (iii) से $eV$ के मान की तुलना करने पर:
$\frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0} = \frac{4hc}{3\lambda} - \frac{4hc}{\lambda_0}$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{4hc}{\lambda_0} - \frac{hc}{\lambda_0} = \frac{4hc}{3\lambda} - \frac{hc}{\lambda}$
$\frac{3hc}{\lambda_0} = \frac{hc}{3\lambda}$
$\frac{3}{\lambda_0} = \frac{1}{3\lambda} \implies \lambda_0 = 9\lambda$
दिया गया है कि $\lambda_0 = n\lambda,$ इसलिए $n = 9.$

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ कार्य फलन है।
माना $\lambda_1 = 500 \, nm$ और $\lambda_2 = 200 \, nm$ है।
माना $K_1$ और $K_2$ क्रमशः $\lambda_1$ और $\lambda_2$ के अनुरूप अधिकतम गतिज ऊर्जा हैं।
दिया गया है कि $K_2 = 3K_1$ है।
$hc = 1240 \, eV \cdot nm$ का उपयोग करते हुए:
$K_1 = \frac{1240}{500} - \phi = 2.48 - \phi$
$K_2 = \frac{1240}{200} - \phi = 6.2 - \phi$
$K_2 = 3K_1$ में मान रखने पर:
$6.2 - \phi = 3(2.48 - \phi)$
$6.2 - \phi = 7.44 - 3\phi$
$2\phi = 7.44 - 6.2$
$2\phi = 1.24$
$\phi = 0.62 \, eV$ है।
निकटतम मान $0.61 \, eV$ है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,निरोधी विभव $V$ को इस प्रकार दिया जाता है:
$eV = \frac{hc}{\lambda} - \phi$
इसे $V$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$V = \left(\frac{hc}{e}\right)\left(\frac{1}{\lambda}\right) - \frac{\phi}{e}$
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
ढाल $m = \frac{hc}{e}$ और अंतःखंड $c = -\frac{\phi}{e}$.
यहाँ,$h$ प्लांक नियतांक है,$c$ प्रकाश की गति है,$e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है,और $\phi$ धातु की सतह का कार्य फलन (work function) है।
इनमें से कोई भी पैरामीटर $(h, c, e, \phi)$ आपतित विकिरण की तीव्रता पर निर्भर नहीं करता है। विकिरण की तीव्रता केवल प्रति इकाई समय में उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की संख्या (प्रकाश-विद्युत धारा) को प्रभावित करती है,न कि उनकी अधिकतम गतिज ऊर्जा या निरोधी विभव को।
इसलिए,आपतित विकिरण की तीव्रता बदलने से ग्राफ की ढाल या अंतःखंड पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है। अतः,ग्राफ में कोई परिवर्तन नहीं होता है।

(D) ग्राफ आपतित प्रकाश की आवृत्ति $f$ के साथ निरोधी विभव $V_s$ के परिवर्तन को दर्शाता है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $hf = \phi + eV_s$,जहाँ $\phi$ कार्य फलन है।
देहली आवृत्ति $f_0$ पर,निरोधी विभव $V_s = 0$ होता है।
ग्राफ से,आवृत्ति अक्ष पर अंतःखंड (जहाँ $V_s = 0$) $f_0 = 5 \times 10^{14} \, Hz$ है।
कार्य फलन $\phi$ को $\phi = hf_0$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\phi = (6.62 \times 10^{-34} \, J \cdot s) \times (5 \times 10^{14} \, Hz) = 33.1 \times 10^{-20} \, J$.
इस ऊर्जा को इलेक्ट्रॉन-वोल्ट $(eV)$ में बदलने के लिए,इलेक्ट्रॉन के आवेश $(e = 1.6 \times 10^{-19} \, C)$ से विभाजित करें:
$\phi = \frac{33.1 \times 10^{-20}}{1.6 \times 10^{-19}} \, eV = 2.06875 \, eV \approx 2.07 \, eV$.
दिए गए विकल्पों में से,निकटतम मान $2.10 \, eV$ है।