Einstein's Photoelectric Equation and Energy Quantum of Radiation Questions in Gujarati

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max} = h\nu - h\nu_0$ છે,જ્યાં $\nu_0$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ છે.
આવૃત્તિ $\nu_1$ માટે,$K_1 = h(\nu_1 - \nu_0) \dots (i)$
આવૃત્તિ $\nu_2$ માટે,$K_2 = h(\nu_2 - \nu_0) \dots (ii)$
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{K_1}{K_2} = \frac{1}{k}$ હોવાથી:
$\frac{h(\nu_1 - \nu_0)}{h(\nu_2 - \nu_0)} = \frac{1}{k}$
$k(\nu_1 - \nu_0) = \nu_2 - \nu_0$
$k\nu_1 - k\nu_0 = \nu_2 - \nu_0$
$k\nu_1 - \nu_2 = k\nu_0 - \nu_0$
$k\nu_1 - \nu_2 = \nu_0(k - 1)$
$\nu_0 = \frac{k\nu_1 - \nu_2}{k - 1}$

(C) સૌથી ઝડપી ફોટો ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા એ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ દ્વારા થતા કાર્ય જેટલી હોય છે:
$\frac{1}{2} m v_{\max}^2 = e V_s$
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ માટે સૂત્ર:
$V_s = \frac{m v_{\max}^2}{2e} = \frac{v_{\max}^2}{2(e/m)}$
અહીં $v_{\max} = 1.2 \times 10^6 \ m/s$ અને વિશિષ્ટ વિદ્યુતભાર $(e/m) = 1.8 \times 10^{11} \ C/kg$ આપેલ છે:
$V_s = \frac{(1.2 \times 10^6)^2}{2 \times 1.8 \times 10^{11}}$
$V_s = \frac{1.44 \times 10^{12}}{3.6 \times 10^{11}}$
$V_s = \frac{14.4}{3.6} = 4 \ V$

(D) આપેલ છે: કાર્ય વિધેય $\Phi = 1 \ eV$,તરંગલંબાઈ $\lambda = 3000 \ \mathring{A}$,અને ઈલેક્ટ્રોનનો વિશિષ્ટ વીજભાર $\frac{e}{m} = 1.76 \times 10^{11} \ C/kg$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \Phi$.
આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{12400}{\lambda(\text{in } \mathring{A})} \ eV \approx \frac{12300}{3000} \ eV = 4.1 \ eV$.
મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $K_{max} = 4.1 \ eV - 1 \ eV = 3.1 \ eV$.
જૂલમાં રૂપાંતર કરતા: $K_{max} = 3.1 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J$.
$K_{max} = \frac{1}{2}mv^2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $v = \sqrt{\frac{2 K_{max}}{m}} = \sqrt{2 \times K_{max} \times \frac{e}{m} \times \frac{1}{e}}$.
$v = \sqrt{2 \times 3.1 \times 1.76 \times 10^{11}} = \sqrt{10.912 \times 10^{11}} \approx \sqrt{1.0912} \times 10^6 \ m/s \approx 1.04 \times 10^6 \ m/s$.
સૌથી નજીકનો વિકલ્પ $10^6 \ m/s$ છે.

(B) ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\lambda_1 = 10,000\;\mathring A$ માટે,$E_1 = 1.23\; eV$.
$\lambda_2 = 5000\;\mathring A$ માટે,ઉર્જા $E_2$ નીચે મુજબ છે:
$E_2 = E_1 \times \frac{\lambda_1}{\lambda_2} = 1.23 \times \frac{10,000}{5,000} = 1.23 \times 2 = 2.46\; eV$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $K_{max} = eV_s = E_2 - \phi$,જ્યાં $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
આપેલ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s = 1.36\; V$ છે,તેથી $K_{max} = 1.36\; eV$.
કિંમતો મૂકતા: $1.36 = 2.46 - \phi$.
તેથી,$\phi = 2.46 - 1.36 = 1.10\; eV$.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = hf - hf_0 = h(f - f_0)$ છે.
આપેલ આવૃત્તિઓ $f_1 = 5.5 \times 10^8 \text{ MHz}$ અને $f_2 = 4.5 \times 10^8 \text{ MHz}$ છે.
મહત્તમ ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_1}{K_2} = \frac{1}{5}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{K_1}{K_2} = \frac{h(f_1 - f_0)}{h(f_2 - f_0)} = \frac{f_1 - f_0}{f_2 - f_0} = \frac{1}{5}$.
$\frac{5.5 \times 10^8 - f_0}{4.5 \times 10^8 - f_0} = \frac{1}{5}$.
$5(5.5 \times 10^8 - f_0) = 4.5 \times 10^8 - f_0$.
$27.5 \times 10^8 - 5f_0 = 4.5 \times 10^8 - f_0$.
$4f_0 = 23.0 \times 10^8$.
$f_0 = 5.75 \times 10^8 \text{ MHz}$.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટો-ઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = hv - W$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$v$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે અને $W$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
ફોટો-ઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન થવા માટે,આપાત ફોટોનની ઊર્જા $hv$ એ વર્ક ફંક્શન $W$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલી હોવી જોઈએ $(hv \ge W)$.
જો આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ $v$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $v_0 = W/h$ કરતા ઓછી હોય,તો $hv < W$ થાય,અને ધાતુની સપાટીમાંથી કોઈ પણ ફોટો-ઈલેક્ટ્રોન ઉત્સર્જિત થશે નહીં.
તેથી,ફોટો-ઈલેક્ટ્રોનના ઉત્સર્જન માટેની શરત એ છે કે આવૃત્તિ $v$ ઓછામાં ઓછી $W/h$ હોવી જોઈએ.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટો-ઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટો-ઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઊર્જા $K = hv - E_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $hv$ એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા છે અને $E_0$ એ ધાતુનું કાર્ય વિધેય છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $K = hv - E_0$ --- $(1)$
બીજા કિસ્સા માટે,આપાત ઊર્જા $2hv$ છે. ધારો કે નવી મહત્તમ ગતિ ઊર્જા $K'$ છે.
$K' = 2hv - E_0$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,આપણને $E_0 = hv - K$ મળે છે.
$E_0$ ની આ કિંમતને સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$K' = 2hv - (hv - K)$
$K' = 2hv - hv + K$
$K' = hv + K$

(C) પદાર્થનું કાર્ય વિધેય $\Phi_0 = 4.0 \ eV$ આપેલ છે.
ફોટો-ઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન માટે,આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E$ એ કાર્ય વિધેય $\Phi_0$ જેટલી અથવા તેનાથી વધારે હોવી જોઈએ.
$E = \frac{hc}{\lambda} \geq \Phi_0$.
સૌથી લાંબી તરંગલંબાઈ $\lambda_{\max}$ શોધવા માટે,આપણે $E = \Phi_0$ લઈશું.
સૂત્ર $\lambda (nm) = \frac{1240}{\Phi_0 (eV)}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lambda_{\max} = \frac{1240}{4.0} \ nm$.
$\lambda_{\max} = 310 \ nm$.

(B) આપાત ફોટોનની ઊર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $E = \frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{3500 \times 10^{-10}} \ J$.
તેને ઈલેક્ટ્રોન-વોલ્ટ $(eV)$ માં ફેરવતા: $E = \frac{12400 \ \mathring A \cdot eV}{3500 \ \mathring A} \approx 3.54 \ eV$.
ફોટો-ઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન ત્યારે જ થાય છે જો આપાત ઊર્જા $E$ એ ધાતુના વર્કફંક્શન $\phi$ કરતા વધારે હોય $(E > \phi)$.
ધાતુ $A$ માટે: $\phi_A = 4.2 \ eV$. અહીં $3.54 \ eV < 4.2 \ eV$ હોવાથી,ધાતુ $A$ ફોટો-ઈલેક્ટ્રોનનું ઉત્સર્જન કરશે નહીં.
ધાતુ $B$ માટે: $\phi_B = 1.9 \ eV$. અહીં $3.54 \ eV > 1.9 \ eV$ હોવાથી,ધાતુ $B$ ફોટો-ઈલેક્ટ્રોનનું ઉત્સર્જન કરશે.
તેથી,માત્ર ધાતુ $B$ ફોટો-ઈલેક્ટ્રોનનું ઉત્સર્જન કરશે.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના પ્રકાશ-વિદ્યુત સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટો-ઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઊર્જા $K.E._{max} = h\nu - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$\nu$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે અને $\phi$ એ પદાર્થનું કાર્ય વિધેય છે.
$1$. ગતિ ઊર્જા આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ $(\nu)$ અથવા તેની તરંગલંબાઈ $(\lambda = c/\nu)$ પર આધાર રાખે છે.
$2$. ગતિ ઊર્જા કાર્ય વિધેય $(\phi)$ પર આધાર રાખે છે,જે પદાર્થના પ્રકાર પર આધારિત છે.
$3$. ગતિ ઊર્જા આપાત પ્રકાશની તીવ્રતા પર આધાર રાખતી નથી. તીવ્રતા માત્ર એકમ સમયમાં ઉત્સર્જિત થતા ફોટો-ઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યાને અસર કરે છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = h\nu - \Phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Phi$ એ ધાતુનું કાર્યવિધેય છે.
$\nu = c / \lambda$ હોવાથી,તરંગલંબાઈ $\lambda$ ઘટાડવાથી આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ $\nu$ વધે છે.
આવૃત્તિ $\nu$ માં વધારો થવાથી ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max}$ માં વધારો થાય છે.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ એ મહત્તમ ગતિઊર્જા સાથે $K_{max} = eV_s$ સંબંધ ધરાવે છે,તેથી $K_{max}$ માં વધારો થવાથી સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ માં પણ વધારો થાય છે.
તેથી,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ વધશે.

(C) વર્કફંકશન $\phi_0$ શોધવાનું સૂત્ર: $\phi_0 = h \nu_0 = \frac{hc}{\lambda_0}$ છે.
આપેલ છે: $h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$c = 3 \times 10^8 \ m/s$,અને $\lambda_0 = 5000 \ \mathring A = 5000 \times 10^{-10} \ m = 5 \times 10^{-7} \ m$.
કિંમતો મૂકતા:
$\phi_0 = \frac{(6.6 \times 10^{-34}) \times (3 \times 10^8)}{5 \times 10^{-7}} \ J$.
$\phi_0 = \frac{19.8 \times 10^{-26}}{5 \times 10^{-7}} \ J = 3.96 \times 10^{-19} \ J$.
આને $eV$ માં ફેરવવા માટે,$1.6 \times 10^{-19} \ J/eV$ વડે ભાગતા:
$\phi_0 = \frac{3.96 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \ eV = 2.475 \ eV$.
આમ,$\phi_0 \approx 2.5 \ eV$ મળે છે.

(C) આપેલ છે: મહત્તમ વેગ $v_{max} = 4.8 \ m/s$,વિશિષ્ટ વીજભાર $e/m = 1.76 \times 10^{11} \ C/kg$.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ અને મહત્તમ ગતિઊર્જા વચ્ચેનો સંબંધ: $eV_s = \frac{1}{2}mv_{max}^2$.
$V_s$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $V_s = \frac{1}{2} \left(\frac{m}{e}\right) v_{max}^2$.
કિંમતો મૂકતા: $V_s = \frac{1}{2} \times \left(\frac{1}{1.76 \times 10^{11}}\right) \times (4.8)^2$.
$V_s = \frac{23.04}{3.52 \times 10^{11}} \approx 6.54 \times 10^{-11} \ V$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત લેતા,$V_s \approx 7 \times 10^{-11} \ V$ મળે છે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, $K_{max} = h\nu - \phi$, જ્યાં $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે. $X$-કિરણોની આવૃત્તિ પારજાંબલી પ્રકાશ કરતા ઘણી વધારે હોવાથી, $K_{max}$ વધે છે. $K_{max} = eV_0$ હોવાથી, સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0$ પણ વધે છે. તેથી, વિધાન-$1$ સાચું છે.
વિધાન-$2$ ખોટું છે કારણ કે ફોટોઈલેક્ટ્રોન આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિઓની રેન્જને કારણે નહીં, પરંતુ ધાતુની અંદર અલગ-અલગ ઊંડાઈએથી ઉત્સર્જિત થતા ઈલેક્ટ્રોન સપાટી પર આવતા પહેલા અથડામણને કારણે અલગ-અલગ ઊર્જા ગુમાવે છે, તેથી તેઓ અલગ-અલગ ઝડપે બહાર આવે છે. એકવર્ણી પ્રકાશ માટે પણ ઝડપની રેન્જ જોવા મળે છે.

(D) આપાત ફોટોનની ઊર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$hc \approx 12400 \ eV \cdot \mathring A$ લેતા,$E = \frac{12400}{6600} \ eV \approx 1.88 \ eV$ મળે છે.
ધાતુનું કાર્યવિધેય $\Phi_0 = 2 \ eV$ છે.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટો-ઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,$K_{max} = E - \Phi_0$.
અહીં આપાત ફોટોનની ઊર્જા $(1.88 \ eV)$ એ કાર્યવિધેય $(2 \ eV)$ કરતા ઓછી હોવાથી,આપાત પ્રકાશ પાસે ધાતુની સપાટી પરથી ફોટો-ઈલેક્ટ્રોન ઉત્સર્જિત કરવા માટે પૂરતી ઊર્જા નથી.
તેથી,ફોટો-ઈલેક્ટ્રોનનું ઉત્સર્જન થશે નહીં.

(A) કાર્ય વિધેય $\Phi$ અને થ્રેસોલ્ડ તરંગલંબાઈ $\lambda_0$ વચ્ચેનો સંબંધ $\Phi = \frac{hc}{\lambda_0}$ છે.
પદાર્થ $A$ માટે,$\Phi_A = 2.5 \ eV = \frac{hc}{\lambda}$.
પદાર્થ $B$ માટે,$\Phi_B = 5 \ eV = \frac{hc}{\lambda_B}$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{\Phi_A}{\Phi_B} = \frac{hc/\lambda}{hc/\lambda_B} = \frac{\lambda_B}{\lambda}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2.5}{5} = \frac{\lambda_B}{\lambda}$.
$0.5 = \frac{\lambda_B}{\lambda} \Rightarrow \lambda_B = \frac{\lambda}{2}$.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટો ઇલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $K_{max} = hf - \phi_0$.
અહીં $K_{max} = eV_0$ હોવાથી, $eV_0 = hf - \phi_0$ મળે.
બંને બાજુ $e$ વડે ભાગતા, $V_0 = (h/e)f - (\phi_0/e)$ મળે.
આ સમીકરણને સુરેખ રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા, જ્યાં $y = V_0$ અને $x = f$ છે, તેથી ઢાળ $m = h/e$ થાય.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max}$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi_0$
જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$c$ પ્રકાશની ઝડપ છે,$\lambda$ તરંગલંબાઈ છે અને $\phi_0$ વર્કફંકશન છે.
આપેલ છે: $\lambda = 400 \ nm$ અને $K_{max} = 1.68 \ eV$.
સંબંધ $hc \approx 1240 \ eV \cdot nm$ નો ઉપયોગ કરતા:
આપાત ફોટોનની ઊર્જા $E = \frac{1240 \ eV \cdot nm}{400 \ nm} = 3.10 \ eV$.
હવે,સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$\phi_0 = E - K_{max}$
$\phi_0 = 3.10 \ eV - 1.68 \ eV = 1.42 \ eV$.
તેથી,ધાતુનું વર્કફંકશન $1.42 \ eV$ છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જાતા ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K_{\max})$ નીચે મુજબ મળે છે:
$K_{\max} = E - \phi_0$
જ્યાં $E = hf$ એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા છે અને $\phi_0 = hf_0$ એ સપાટીનું કાર્ય વિધેય (work function) છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$K_{\max} = hf - hf_0$
$K_{\max} = h(f - f_0)$

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઇલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,સ્ટૉપિંગ પોટૅન્શિયલ $(V_0)$ નીચે મુજબના સંબંધ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે:
$V_0 = (\frac{h}{e})f - (\frac{h}{e})f_0$
જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર છે,$f$ એ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ છે અને $f_0$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ છે.
આ સમીકરણ $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જે એક સુરેખા દર્શાવે છે.
તેથી,$V_0$ વિરુદ્ધ $f$ નો આલેખ એક સુરેખા મળે છે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi_0$ છે.
અહીં $K_{max} = eV_0$ છે,જ્યાં $V_0$ એ સ્ટૉપિંગ પોટૅન્શિયલ છે,તેથી $eV_0 = \frac{hc}{\lambda} - \phi_0$.
પ્રથમ,આપાત ફોટોનની ઊર્જા $eV$ માં ગણીએ:
$E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{200 \times 10^{-9} \times 1.6 \times 10^{-19}} \ eV$.
$E = \frac{19.878 \times 10^{-26}}{320 \times 10^{-28}} \ eV = \frac{19.878}{3.2} \ eV \approx 6.21 \ eV$.
હવે,સ્ટૉપિંગ પોટૅન્શિયલની ગણતરી કરીએ:
$eV_0 = 6.21 \ eV - 4.71 \ eV = 1.50 \ eV$.
તેથી,સ્ટૉપિંગ પોટૅન્શિયલ $V_0 = 1.50 \ V$ થશે,જે ઊર્જાના એકમમાં $1.5 \ eV$ દર્શાવે છે.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટો-ઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = E - \Phi$ છે,જ્યાં $E$ એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા છે અને $\Phi$ એ કાર્ય વિધેય છે.
કિસ્સો $1$: $E_1 = 2hv_0$ અને $\Phi = hv_0$.
$K_{max1} = 2hv_0 - hv_0 = hv_0 = \frac{1}{2}mv_1^2$,જ્યાં $v_1 = 4 \times 10^6 \, m/s$.
કિસ્સો $2$: $E_2 = 5hv_0$ અને $\Phi = hv_0$.
$K_{max2} = 5hv_0 - hv_0 = 4hv_0 = \frac{1}{2}mv_2^2$.
બંને સમીકરણોનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{\frac{1}{2}mv_2^2}{\frac{1}{2}mv_1^2} = \frac{4hv_0}{hv_0} = 4$.
$\frac{v_2^2}{v_1^2} = 4 \Rightarrow \frac{v_2}{v_1} = 2$.
$v_2 = 2v_1 = 2 \times (4 \times 10^6 \, m/s) = 8 \times 10^6 \, m/s$.

(D) ફોટો-ઈલેક્ટ્રિક અસરને પ્રકાશના શાસ્ત્રીય તરંગવાદ દ્વારા સમજાવી શકાતી નથી. તેને માત્ર પ્રકાશના ક્વોન્ટમ સિદ્ધાંત દ્વારા જ સમજાવી શકાય છે,જે જણાવે છે કે પ્રકાશ એ ઊર્જાના નાના પેકેટોનો બનેલો છે જેને ફોટોન કહેવામાં આવે છે. જ્યારે પૂરતી ઊર્જા ધરાવતો ફોટોન ધાતુની સપાટી પર અથડાય છે,ત્યારે તે પોતાની ઊર્જા ઈલેક્ટ્રોનને આપે છે,જેના કારણે ઈલેક્ટ્રોનનું ઉત્સર્જન થાય છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જાતા ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K_{\max})$ અને સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $(V_0)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$K_{\max} = e V_0$
અહીં આપેલ છે કે મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max} = 4 \, eV$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$4 \, eV = e V_0$
$V_0 = 4 \, V$
તેથી,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલનું મૂલ્ય $4 \, V$ છે.

(B) ધારો કે ધાતુ $A$ અને $B$ ના વર્ક ફંક્શન અનુક્રમે $\phi_A$ અને $\phi_B$ છે. આપેલ છે કે $\frac{\phi_A}{\phi_B} = \frac{1}{2}$,તેથી $\phi_B = 2\phi_A$ થાય.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટો-ઇલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિ-ઊર્જા $K = h\nu - \phi$ છે.
ધાતુ $A$ માટે: $K_A = hf - \phi_A$ ---$(1)$
ધાતુ $B$ માટે: $K_B = h(2f) - \phi_B = 2hf - 2\phi_A$ ---$(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી $2$ સામાન્ય લેતા: $K_B = 2(hf - \phi_A)$.
સમીકરણ $(1)$ ની કિંમત મુકતા,$K_B = 2K_A$ મળે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{K_A}{K_B} = \frac{1}{2}$ થાય.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max} = E - \Phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા છે અને $\Phi$ એ કાર્ય વિધેય છે.
આપેલ છે: $E_1 = 1 \ eV$,$E_2 = 2.5 \ eV$ અને $\Phi = 0.5 \ eV$.
પ્રથમ ફોટોન માટે: $K_{\max 1} = E_1 - \Phi = 1 \ eV - 0.5 \ eV = 0.5 \ eV$.
બીજા ફોટોન માટે: $K_{\max 2} = E_2 - \Phi = 2.5 \ eV - 0.5 \ eV = 2.0 \ eV$.
મહત્તમ ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_{\max 1}}{K_{\max 2}} = \frac{0.5}{2.0} = \frac{1}{4}$ થશે.
આમ,ગુણોત્તર $1:4$ છે.

(A) આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $hc \approx 12400 \, eV \cdot \mathring{A}$ લેતા,$E = \frac{12400}{3300} \approx 3.76 \, eV$ મળે છે.
જો આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E$ એ ધાતુના કાર્ય વિધેય $\phi$ કરતા વધારે હોય $(E > \phi)$,તો ફોટો-ઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન થાય છે.
વૈકલ્પિક રીતે,થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ $\lambda_0 = \frac{hc}{\phi}$ છે. જો $\lambda < \lambda_0$ હોય તો ઉત્સર્જન થાય છે.
દરેક ધાતુ માટે $\lambda_0$ ની ગણતરી કરતા:
$Na$ માટે: $\lambda_0 = \frac{12400}{1.92} \approx 6458 \, \mathring{A}$. અહીં $3300 < 6458$ હોવાથી,ઉત્સર્જન થશે.
$K$ માટે: $\lambda_0 = \frac{12400}{2.15} \approx 5767 \, \mathring{A}$. અહીં $3300 < 5767$ હોવાથી,ઉત્સર્જન થશે.
$Mo$ માટે: $\lambda_0 = \frac{12400}{4.17} \approx 2973 \, \mathring{A}$. અહીં $3300 > 2973$ હોવાથી,ઉત્સર્જન થશે નહીં.
$Ni$ માટે: $\lambda_0 = \frac{12400}{5.0} = 2480 \, \mathring{A}$. અહીં $3300 > 2480$ હોવાથી,ઉત્સર્જન થશે નહીં.
આમ,$Mo$ અને $Ni$ ફોટો-ઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન દર્શાવશે નહીં.

(C) આપાત પ્રકાશની તીવ્રતા $I = \frac{E}{At} = \frac{nhc}{At\lambda}$ છે,જ્યાં $n$ એ પ્રતિ સેકન્ડ આપાત થતા ફોટોનની સંખ્યા છે.
પ્રતિ સેકન્ડ આપાત થતા ફોટોનની સંખ્યા $n = \frac{IA\lambda}{hc}$ છે.
આપેલ છે કે $1 \%$ આપાત ફોટોન ફોટોઈલેક્ટ્રૉનનું ઉત્સર્જન કરે છે,તેથી પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જાતા ફોટોઈલેક્ટ્રૉનની સંખ્યા $N$:
$N = \frac{1}{100} \times n = \frac{1}{100} \times \frac{IA\lambda}{hc}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$I = 1.0 \ W/m^2$,$A = 1 \ cm^2 = 10^{-4} \ m^2$,$\lambda = 300 \ nm = 300 \times 10^{-9} \ m$,$h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$c = 3 \times 10^8 \ m/s$.
$N = \frac{1}{100} \times \frac{1.0 \times 10^{-4} \times 300 \times 10^{-9}}{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}$.
$N = \frac{3 \times 10^{-11}}{100 \times 19.89 \times 10^{-26}} \approx 1.51 \times 10^{12} \ s^{-1}$.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટો-ઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટો-ઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = hf - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi = hf_0$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
પ્રથમ ફોટો-કેથોડ માટે: $\frac{1}{2}mv_1^2 = hf_1 - hf_0$ (સમીકરણ $1$)
બીજા ફોટો-કેથોડ માટે: $\frac{1}{2}mv_2^2 = hf_2 - hf_0$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ માંથી સમીકરણ $2$ બાદ કરતાં:
$\frac{1}{2}mv_1^2 - \frac{1}{2}mv_2^2 = (hf_1 - hf_0) - (hf_2 - hf_0)$
$\frac{1}{2}m(v_1^2 - v_2^2) = h(f_1 - f_2)$
$v_1^2 - v_2^2 = \frac{2h}{m}(f_1 - f_2)$

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $K_{max} = hv - \phi_0$, જ્યાં $\phi_0 = hv_0$ એ વર્ક ફંક્શન છે।
વળી, $K_{max} = eV_0$, તેથી $eV_0 = hv - hv_0$.
આ સૂચવે છે કે $V_0 = \frac{h}{e}v - \frac{hv_0}{e}$.
વિધાન $2$ સાચું છે કારણ કે $K_{max}$ અને $V_0$ આવૃત્તિ $v$ સાથે રેખીય રીતે બદલાય છે।
વિધાન $1$ માટે, જો આવૃત્તિ $v$ ને બમણી કરીને $2v$ કરવામાં આવે, તો નવી ગતિ ઊર્જા $K'_{max} = h(2v) - hv_0 = 2hv - hv_0$ થશે.
કારણ કે $2hv - hv_0 \neq 2(hv - hv_0)$, તેથી $K_{max}$ બમણું થતું નથી. તેવી જ રીતે, $V_0$ પણ બમણું થતું નથી.
આમ, વિધાન $1$ ખોટું છે.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = h\nu - \Phi_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$\nu$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે અને $\Phi_0$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ એ મહત્તમ ગતિઊર્જા સાથે $K_{max} = eV_s$ સંબંધ ધરાવે છે.
તેથી,$eV_s = h\nu - \Phi_0$,જેનો અર્થ છે કે $V_s = \frac{h}{e}\nu - \frac{\Phi_0}{e}$.
આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ $\nu$ નું સુરેખ વિધેય છે.
જેમ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ $\nu$ વધે છે,તેમ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ પણ વધે છે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટો-ઇલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટો-ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ-ઊર્જા $(K_{\max})$ નીચે મુજબ મળે છે:
$K_{\max} = E - W_0$
જ્યાં:
$E$ એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા છે = $3.4 \ eV$
$W_0$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે = $2 \ eV$
કિંમતો મૂકતા:
$K_{\max} = 3.4 \ eV - 2 \ eV = 1.4 \ eV$
તેથી,ફોટો-ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ-ઊર્જા $1.4 \ eV$ છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટો-ઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટો-ઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઊર્જા $K_{max} = h\nu - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h\nu$ એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા છે અને $\phi$ એ ધાતુનું કાર્ય વિધેય છે.
કેટલાક ઈલેક્ટ્રોન સપાટીમાંથી બહાર નીકળતા પહેલા અથડામણને કારણે ઊર્જા ગુમાવે છે,તેથી ઉત્સર્જિત ફોટો-ઈલેક્ટ્રોનની વાસ્તવિક ગતિ ઊર્જા $K$ એ $0$ થી $K_{max}$ ની વચ્ચે હોય છે.
તેથી,કોઈપણ ઉત્સર્જિત ફોટો-ઈલેક્ટ્રોનની ગતિ ઊર્જા હંમેશા મહત્તમ ગતિ ઊર્જા જેટલી અથવા તેનાથી ઓછી હોય છે $(K \le K_{max})$.

(B) થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ $\lambda_{th} = 200 \ nm$ આપેલ છે.
આપાત ફોટોનની ઊર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ છે,જ્યાં $\lambda = 100 \ nm$ છે.
મહત્તમ ગતિઊર્જા માટેનું સૂત્ર $K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_{th}}$ છે.
અચળાંક $hc \approx 12400 \ eV \cdot nm$ નો ઉપયોગ કરતા:
$K_{max} = \frac{12400}{100} - \frac{12400}{200} \ eV$.
$K_{max} = 124 - 62 = 62 \ eV$.

(B) આપેલ છે: તીવ્રતા $I = 1 \ W/m^2$, તરંગલંબાઈ $\lambda = 5 \times 10^{-7} \ m$, ક્ષેત્રફળ $A = 1 \ cm^2 = 10^{-4} \ m^2$.
પાવર $P = I \times A = 1 \times 10^{-4} \ W = 10^{-4} \ W$.
એક ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{5 \times 10^{-7}} \approx 3.978 \times 10^{-19} \ J$.
દર સેકન્ડે આપાત થતા ફોટોનની સંખ્યા $n_p = \frac{P}{E} = \frac{10^{-4}}{3.978 \times 10^{-19}} \approx 2.51 \times 10^{14} \ s^{-1}$.
કારણ કે $100$ ફોટોન $1$ ઇલેક્ટ્રોનનું ઉત્સર્જન કરે છે, તેથી દર સેકન્ડે ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $n_e = \frac{n_p}{100} = 2.51 \times 10^{12} \ s^{-1}$.
ફોટોઇલેક્ટ્રિક પ્રવાહ $I_p = n_e \times e = 2.51 \times 10^{12} \times 1.6 \times 10^{-19} \ C/s \approx 4.0 \times 10^{-7} \ A = 0.4 \ \mu A$.

(D) કાર્ય વિધેય $\Phi_0 = 2.3 \ eV$ આપેલ છે.
થ્રેસોલ્ડ તરંગલંબાઈ $\lambda_0$ અને કાર્ય વિધેય વચ્ચેનો સંબંધ $\Phi_0 = \frac{hc}{\lambda_0}$ છે.
અહીં $hc \approx 1240 \ eV \cdot nm$ લેતા:
$\lambda_0 = \frac{1240}{2.3} \approx 539.13 \ nm$.
આ મૂલ્ય આશરે $540 \ nm$ છે,જે દ્રશ્ય પ્રકાશના વર્ણપટમાં આવે છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી,આ તરંગલંબાઈ પીળા રંગના પ્રદેશની નજીક હોવાથી સાચો વિકલ્પ 'પીળો' છે.

(B, C) સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ માત્ર આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ પર આધાર રાખે છે,તેની તીવ્રતા પર નહીં. સ્ત્રોત સમાન હોવાથી,આવૃત્તિ અચળ રહે છે. તેથી,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $0.6 \ V$ જ રહેશે.
સંતૃપ્ત ફોટોઈલેક્ટ્રિક પ્રવાહ $(I_s)$ એ આપાત પ્રકાશની તીવ્રતાના સમપ્રમાણમાં હોય છે. બિંદુવત સ્ત્રોત માટે તીવ્રતા $(I)$ અંતરના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $I \propto 1/d^2$.
પ્રારંભિક અંતર $d_1 = 0.2 \ m$ અને નવું અંતર $d_2 = 0.6 \ m$ હોવાથી,અંતરનો ગુણોત્તર $d_2/d_1 = 0.6/0.2 = 3$ થાય.
તેથી,નવી તીવ્રતા $I_2 = I_1 / (3^2) = I_1 / 9$ થશે.
$I_s \propto I$ હોવાથી,નવો સંતૃપ્ત પ્રવાહ $I_{s2} = I_{s1} / 9 = 18 \ mA / 9 = 2 \ mA$ થશે.

(C) આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$E \approx \frac{12400 \ \text{eV} \cdot \mathring A}{\lambda (\mathring A)}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{12400}{4100} \approx 3.02 \ eV$.
ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન ત્યારે જ થાય છે જો આપાત ફોટોનની ઉર્જા ધાતુના કાર્ય વિધેય $(\Phi)$ કરતા વધારે હોય.
ધાતુ $A$ માટે: $\Phi_A = 1.92 \ eV < 3.02 \ eV$ (ઉત્સર્જન થશે).
ધાતુ $B$ માટે: $\Phi_B = 2.0 \ eV < 3.02 \ eV$ (ઉત્સર્જન થશે).
ધાતુ $C$ માટે: $\Phi_C = 5.0 \ eV > 3.02 \ eV$ (ઉત્સર્જન થશે નહીં).
તેથી,માત્ર ધાતુ $A$ અને $B$ માંથી જ ફોટોઈલેક્ટ્રોનનું ઉત્સર્જન થશે.

(B) કાર્ય વિધેય $\Phi_0$ નું સૂત્ર $\Phi_0 = h \nu_0$ છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $\nu_0$ એ થ્રેસોલ્ડ આવૃત્તિ છે.
આપેલ છે: $\nu_0 = 3 \times 10^{14} \ Hz$ અને $h \approx 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$.
કાર્ય વિધેયની ગણતરી:
$\Phi_0 = (6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s) \times (3 \times 10^{14} \ Hz)$
$\Phi_0 = 19.89 \times 10^{-20} \ J$
$\Phi_0 \approx 2.0 \times 10^{-19} \ J$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) ફોટો-ઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન માટેની શરત એ છે કે આપાત પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $\lambda$ એ થ્રેસોલ્ડ તરંગલંબાઈ $\lambda_{Th}$ કરતા ઓછી અથવા તેના જેટલી હોવી જોઈએ.
આપેલ છે: $\lambda_{Th} = 5200 \ \mathring A = 520 \ nm$.
$IR$ (ઈન્ફ્રારેડ) વિકિરણની તરંગલંબાઈ સામાન્ય રીતે $700 \ nm$ કરતા વધારે હોય છે,જે $520 \ nm$ કરતા ઘણી મોટી છે.
$UV$ (અલ્ટ્રાવાયોલેટ) વિકિરણની તરંગલંબાઈ સામાન્ય રીતે $100 \ nm$ થી $400 \ nm$ ની વચ્ચે હોય છે.
$UV$ લેમ્પ $520 \ nm$ કરતા ઓછી તરંગલંબાઈ ધરાવતું વિકિરણ આપે છે,તેથી તે ફોટો-ઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન માટેની શરતનું પાલન કરે છે.
આથી,$50 \ W$ $UV$ લેમ્પ ફોટો-ઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન પ્રેરી શકશે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના પ્રકાશ-વિદ્યુત સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $K$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$K = hv - E_0$
જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$v$ એ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ છે,અને $E_0$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
જ્યારે આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ બમણી કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવી આવૃત્તિ $v' = 2v$ થાય છે.
નવી મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $K'$ નીચે મુજબ છે:
$K' = h(2v) - E_0$
$K' = 2hv - E_0$
આ સમીકરણને $hv$ ઉમેરીને અને બાદ કરીને ફરીથી લખતા:
$K' = hv + hv - E_0$
કારણ કે $K = hv - E_0$,તેથી આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$K' = hv + K$
તેથી,નવી મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $K + hv$ થશે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K_{max})$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$K_{max} = h\nu - \phi_0$,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$\nu$ એ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ છે અને $\phi_0$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન (કાર્ય વિધેય) છે.
આપેલ ધાતુ માટે $\phi_0$ અચળ હોવાથી,$K_{max}$ માત્ર આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ $(\nu)$ પર જ આધાર રાખે છે.
તે વિકિરણની તીવ્રતા પર આધાર રાખતું નથી.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ $\frac{1}{2}mv_{\max}^2 = hf - \phi_0$ ને સુરેખ સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,
જ્યાં $y = \frac{1}{2}mv_{\max}^2$,$x = f$,$m = h$,અને $c = -\phi_0$ છે.
આલેખનો ઢાળ પ્લાંકનો અચળાંક $h$ મળે છે,જે એક સાર્વત્રિક અચળાંક છે અને તે ધાતુના પ્રકાર કે આપાત વિકિરણની તીવ્રતા પર આધાર રાખતું નથી.

(A) આપેલ છે: થ્રેસોલ્ડ તરંગલંબાઈ $\lambda_0 = 400 \ nm = 4000 \ \mathring{A}$.
મહત્તમ ગતિઊર્જા $K.E._{\max} = 1.5 \ eV$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $K.E._{\max} = \frac{12400 \ eV \cdot \mathring{A}}{\lambda} - \frac{12400 \ eV \cdot \mathring{A}}{\lambda_0}$.
કિંમતો મૂકતા: $1.5 \ eV = \frac{12400 \ eV \cdot \mathring{A}}{\lambda} - \frac{12400 \ eV \cdot \mathring{A}}{4000 \ \mathring{A}}$.
$1.5 \ eV = \frac{12400 \ eV \cdot \mathring{A}}{\lambda} - 3.1 \ eV$.
$1.5 \ eV + 3.1 \ eV = \frac{12400 \ eV \cdot \mathring{A}}{\lambda}$.
$4.6 \ eV = \frac{12400 \ eV \cdot \mathring{A}}{\lambda}$.
$\lambda = \frac{12400}{4.6} \ \mathring{A} \approx 2695.65 \ \mathring{A} \approx 2700 \ \mathring{A}$.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટો-ઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $\frac{hc}{\lambda} = W_0 + K_{max}$,જ્યાં $K_{max} = \frac{1}{2}mv^2$.
$\lambda_1 = 400 \ nm = 400 \times 10^{-9} \ m$ અને વેગ $v_1 = v$ માટે:
$\frac{hc}{400 \times 10^{-9}} = W_0 + \frac{1}{2}mv^2 \quad \dots(i)$
$\lambda_2 = 250 \ nm = 250 \times 10^{-9} \ m$ અને વેગ $v_2 = 2v$ માટે:
$\frac{hc}{250 \times 10^{-9}} = W_0 + \frac{1}{2}m(2v)^2 = W_0 + 2mv^2 \quad \dots(ii)$
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{hc}{400 \times 10^{-9}} - W_0$. આ કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$\frac{hc}{250 \times 10^{-9}} = W_0 + 4 \left( \frac{hc}{400 \times 10^{-9}} - W_0 \right)$
$\frac{hc}{250 \times 10^{-9}} = W_0 + \frac{hc}{100 \times 10^{-9}} - 4W_0$
$3W_0 = hc \left( \frac{1}{100 \times 10^{-9}} - \frac{1}{250 \times 10^{-9}} \right)$
$3W_0 = hc \left( \frac{2.5 - 1}{250 \times 10^{-9}} \right) = hc \left( \frac{1.5}{250 \times 10^{-9}} \right) = hc \left( \frac{3}{500 \times 10^{-9}} \right)$
$W_0 = \frac{hc}{500 \times 10^{-9}} = 2 \times 10^6 \ hc \ J$.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઊર્જા $K_{max} = h\nu - \Phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે, $\nu$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે અને $\Phi$ એ ધાતુનું કાર્ય વિધેય (work function) છે.
મહત્તમ ગતિ ઊર્જા $(K_{max})$ માત્ર આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ અને ધાતુની સપાટીના કાર્ય વિધેય પર આધાર રાખે છે.
તે આપાત પ્રકાશની તીવ્રતા પર આધાર રાખતી નથી.
તેથી, જો તીવ્રતા તેના મૂળ મૂલ્યના $1/4$ ભાગ જેટલી ઘટાડવામાં આવે, તો ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઊર્જા અચળ રહે છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના પ્રકાશ-વિદ્યુત સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિ ઊર્જા $K_{\max} = E - W_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા છે અને $W_0$ એ ધાતુનું વર્ક ફંકશન છે.
પ્રથમ કિરણ માટે: $E_1 = 1 \ eV$,$W_0 = 0.5 \ eV$.
$K_1 = E_1 - W_0 = 1 \ eV - 0.5 \ eV = 0.5 \ eV$.
બીજા કિરણ માટે: $E_2 = 2.5 \ eV$,$W_0 = 0.5 \ eV$.
$K_2 = E_2 - W_0 = 2.5 \ eV - 0.5 \ eV = 2.0 \ eV$.
મહત્તમ ગતિ ઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_1}{K_2} = \frac{0.5 \ eV}{2.0 \ eV} = \frac{1}{4}$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $1 : 4$ છે.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ:
$K_{max} = \frac{1}{2} m u^2 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$,જ્યાં $\phi = \frac{hc}{\lambda_0}$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટે: $\frac{1}{2} m u^2 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ ---$(1)$
તરંગલંબાઈ $\lambda' = \frac{3\lambda}{4}$ માટે: $\frac{1}{2} m u_1^2 = \frac{hc}{\lambda'} - \phi = \frac{4hc}{3\lambda} - \phi$ ---$(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$\frac{hc}{\lambda} = \frac{1}{2} m u^2 + \phi$.
આ કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$\frac{1}{2} m u_1^2 = \frac{4}{3} (\frac{1}{2} m u^2 + \phi) - \phi$
$\frac{1}{2} m u_1^2 = \frac{4}{3} (\frac{1}{2} m u^2) + \frac{4}{3} \phi - \phi$
$\frac{1}{2} m u_1^2 = \frac{4}{3} (\frac{1}{2} m u^2) + \frac{1}{3} \phi$
અહીં $\phi > 0$ હોવાથી,$\frac{1}{2} m u_1^2 > \frac{4}{3} (\frac{1}{2} m u^2)$ મળે.
તેથી,$u_1^2 > \frac{4}{3} u^2 \Rightarrow u_1 > \sqrt{\frac{4}{3}} u$.

(C) આઈનસ્ટાઈનનું ફોટો ઈલેક્ટ્રીક સમીકરણ $K_{max} = h\nu - \phi_0$ છે,જ્યાં $K_{max}$ એ મહત્તમ ગતિ ઊર્જા છે,$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$\nu$ એ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ છે અને $\phi_0 = h\nu_0$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
આ સમીકરણ $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $y = K_{max}$,$x = \nu$,$m = h$ (ઢાળ),અને $c = -\phi_0$ (y-અંતઃખંડ) છે.
અહીં y-અંતઃખંડ ઋણ $(-\phi_0)$ હોવાથી,આલેખ x-અક્ષ પર $\nu = \nu_0$ (થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ) થી શરૂ થાય છે અને ધન ઢાળ $h$ સાથે રેખીય રીતે વધે છે. તેથી,આલેખ $\nu_0$ આગળ ધન x-અંતઃખંડ ધરાવે છે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટો-ઇલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,આપાત ફોટોનની ઊર્જા $E = h\nu$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ફોટો-ઇલેક્ટ્રિક સમીકરણ $E = \phi_0 + K_{\max}$ છે,જ્યાં $\phi_0 = h\nu_0$ એ વર્ક ફંક્શન છે અને $K_{\max}$ એ મહત્તમ ગતિઊર્જા છે.
આપેલ છે કે આપાત આવૃત્તિ $\nu = 4\nu_0$ છે,તેથી આપાત ફોટોનની ઊર્જા $E = h(4\nu_0) = 4h\nu_0$ થશે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$4h\nu_0 = h\nu_0 + K_{\max}$
$K_{\max}$ માટે ઉકેલતા:
$K_{\max} = 4h\nu_0 - h\nu_0 = 3h\nu_0$.