Einstein's Photoelectric Equation and Energy Quantum of Radiation Questions in Gujarati

(A) વર્ક ફંક્શન $W_0$ એ સૂત્ર $W_0 = \frac{hc}{\lambda_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$hc \approx 12375 \, eV \cdot \mathring{A}$ ના અંદાજનો ઉપયોગ કરતા:
$W_0 = \frac{12375}{6800} \, eV$.
$W_0 \approx 1.82 \, eV$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $1.8 \, eV$ છે.

(C) આપાત ફોટોનની ઊર્જા $E = h\nu$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$ અને $\nu = 8 \times 10^{15} \ Hz$ આપેલ છે.
$E = 6.626 \times 10^{-34} \times 8 \times 10^{15} \approx 5.3 \times 10^{-18} \ J$.
આ ઊર્જાને ઈલેક્ટ્રોન-વોલ્ટ $(eV)$ માં ફેરવવા માટે,$1.6 \times 10^{-19} \ J/eV$ વડે ભાગતા:
$E = \frac{5.3 \times 10^{-18}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 33.125 \ eV$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $K_{\max} = E - W_0$.
વર્ક ફંક્શન $W_0 = 6.125 \ eV$ આપેલ છે.
$K_{\max} = 33.125 \ eV - 6.125 \ eV = 27 \ eV$.

(B) થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ $\lambda_0$ એ સૂત્ર $\lambda_0 = \frac{hc}{W_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં વર્ક ફંક્શન $W_0 = 2 \ eV$ આપેલ છે.
સંબંધ $\lambda_0 (\mathring{A} \text{ માં}) \approx \frac{12400}{W_0 (eV \text{ માં})}$ નો ઉપયોગ કરતા.
$\lambda_0 = \frac{12400}{2} = 6200 \ \mathring{A}$.
કારણ કે $1 \ nm = 10 \ \mathring{A}$,તેથી $\lambda_0 = 620 \ nm$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, ઉત્સર્જિત ફોટો-ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K_{max})$ એ $K_{max} = h\nu - \Phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $h\nu$ એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા છે અને $\Phi$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
આપેલ છે: $h\nu = 6 eV$ અને $\Phi = 4 eV$.
$K_{max} = 6 eV - 4 eV = 2 eV$.
ફોટો-ઇલેક્ટ્રોન $0$ થી લઈને મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max}$ સુધીની ગતિઊર્જાની શ્રેણી સાથે ઉત્સર્જિત થાય છે.
તેથી, ઉત્સર્જિત ફોટો-ઇલેક્ટ્રોનની લઘુત્તમ ગતિઊર્જા $0 eV$ છે.

(C) ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન માટે જરૂરી લઘુત્તમ આવૃત્તિને થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $(\nu_0)$ કહેવામાં આવે છે.
તે કાર્ય વિધેય $(W_0)$ સાથે નીચેના સમીકરણ દ્વારા સંબંધિત છે: $W_0 = h\nu_0$.
આપેલ છે: $W_0 = 1.65 \ eV = 1.65 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J$ અને પ્લાન્કનો અચળાંક $h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \cdot s$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\nu_0 = \frac{W_0}{h} = \frac{1.65 \times 1.6 \times 10^{-19}}{6.6 \times 10^{-34}}$
$\nu_0 = \frac{2.64 \times 10^{-19}}{6.6 \times 10^{-34}} = 0.4 \times 10^{15} \ Hz = 4 \times 10^{14} \ Hz$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max} = E - W_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા છે અને $W_0$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
$1 \text{ eV}$ ઊર્જા ધરાવતા પ્રથમ ફોટોન માટે:
$K_1 = E_1 - W_0 = 1 \text{ eV} - 0.5 \text{ eV} = 0.5 \text{ eV}$.
$2.5 \text{ eV}$ ઊર્જા ધરાવતા બીજા ફોટોન માટે:
$K_2 = E_2 - W_0 = 2.5 \text{ eV} - 0.5 \text{ eV} = 2.0 \text{ eV}$.
મહત્તમ ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{K_1}{K_2} = \frac{0.5}{2.0} = \frac{1}{4}$.
આમ,ગુણોત્તર $1 : 4$ છે.

(C) વર્ક ફંક્શન $W_0$ એ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઇ $\lambda_0$ સાથે $W_0 = \frac{hc}{\lambda_0}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
આના પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $W_0 \propto \frac{1}{\lambda_0}$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda_0 \propto \frac{1}{W_0}$.
સોડિયમ $(W_1 = 2.3 \ eV)$ અને કોપર $(W_2 = 4.5 \ eV)$ માટે આપેલા વર્ક ફંક્શન મુજબ,તેમની થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર:
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{W_2}{W_1} = \frac{4.5 \ eV}{2.3 \ eV} \approx \frac{4.6}{2.3} = 2$.
આમ,ગુણોત્તર $2:1$ છે.

(D) ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિજ ઉર્જા $(K_{\max})$ અને સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $(V_0)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $K_{\max} = eV_0$.
અહીં આપેલ છે કે મહત્તમ ગતિજ ઉર્જા $K_{\max} = 4.0 \ eV$ છે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $4.0 \ eV = eV_0$.
તેથી,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0 = 4.0 \ V$ મળે છે.

(C) ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા અને સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $K_{\max} = \frac{1}{2}mv_{\max}^2 = eV_0$.
મહત્તમ વેગ $v_{\max}$ શોધવા માટે આ સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $v_{\max} = \sqrt{2(\frac{e}{m})V_0}$.
આપેલ મૂલ્યો: $V_0 = 9 \ V$ અને $\frac{e}{m} = 1.8 \times 10^{11} \ C \ kg^{-1}$.
આ મૂલ્યોને સૂત્રમાં મૂકતા: $v_{\max} = \sqrt{2 \times (1.8 \times 10^{11}) \times 9}$.
$v_{\max} = \sqrt{32.4 \times 10^{11}} = \sqrt{3.24 \times 10^{12}} = 1.8 \times 10^6 \ m \ s^{-1}$.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $\frac{hc}{\lambda} = W_0 + K_{\max}$.
પ્લેટ $A$ માટે: $\frac{hc}{\lambda_A} = W_0 + K_A$ ... $(i)$
પ્લેટ $B$ માટે: $\frac{hc}{\lambda_B} = W_0 + K_B$ ... $(ii)$
આપેલ છે કે ${\lambda _A} = 2{\lambda _B}$,આ કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$\frac{hc}{2\lambda_B} = W_0 + K_A$ ... $(iii)$
$(ii)$ પરથી,$W_0 = \frac{hc}{\lambda_B} - K_B$. આ કિંમત $(iii)$ માં મૂકતા:
$\frac{hc}{2\lambda_B} = (\frac{hc}{\lambda_B} - K_B) + K_A$
પદોને ગોઠવતા:
$K_A = K_B - \frac{hc}{2\lambda_B}$
કારણ કે $\frac{hc}{\lambda_B} = W_0 + K_B$,તેથી $\frac{hc}{2\lambda_B} = \frac{W_0 + K_B}{2}$.
આ કિંમત પાછી મૂકતા:
$K_A = K_B - \frac{W_0 + K_B}{2} = \frac{2K_B - W_0 - K_B}{2} = \frac{K_B - W_0}{2} = \frac{K_B}{2} - \frac{W_0}{2}$.
કારણ કે $W_0 > 0$,તેથી સાબિત થાય છે કે $K_A < \frac{K_B}{2}$.

(A) વર્ક ફંક્શન $\Phi_0$ એ સૂત્ર $\Phi_0 = \frac{hc}{\lambda_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ટૂંકી રીતનું સૂત્ર $\Phi_0 \approx \frac{12400}{\lambda_0 (\mathring{A} \text{ માં})} \text{ eV}$ નો ઉપયોગ કરતા.
આપેલ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ $\lambda_0 = 6500 \mathring{A}$ મૂકતા:
$\Phi_0 = \frac{12400}{6500} \text{ eV}$.
$\Phi_0 \approx 1.907 \text{ eV}$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $\Phi_0 \approx 2 \text{ eV}$ મળે છે.

(A) ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર ત્યારે થાય છે જ્યારે આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ ધાતુની થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ કરતા વધારે હોય, અથવા સમાન રીતે, તેની તરંગલંબાઈ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ કરતા ઓછી હોય.
અલ્ટ્રાવાયોલેટ $(UV)$ કિરણો ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર પેદા કરતા નથી, તેથી આપાત વિકિરણની ઉર્જા $UV$ કિરણો કરતા વધારે (તરંગલંબાઈ ઓછી) હોવી જોઈએ.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી, $X$-કિરણોની તરંગલંબાઈ $UV$ કિરણો કરતા ઓછી $(\lambda_{X-ray} < \lambda_{UV-ray})$ છે અને તેથી તેની ઉર્જા વધારે છે.
તેથી, $X$-કિરણો ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર પેદા કરશે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,આપાત ફોટોનની ઊર્જા એ વર્ક ફંક્શન અને ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે.
$E = \Phi + K_{\max}$
અહીં,$E = h\nu = h(4\nu_0)$ અને વર્ક ફંક્શન $\Phi = h\nu_0$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$h(4\nu_0) = h\nu_0 + K_{\max}$
$K_{\max} = 4h\nu_0 - h\nu_0$
$K_{\max} = 3h\nu_0$.

(A) આઈન્સ્ટાઈને ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસર સમજાવવા માટે એવું સૂચન કર્યું કે પ્રકાશ એ ઊર્જાના નાના પેકેટોનો બનેલો છે જેને ફોટોન કહેવાય છે. દરેક ફોટોનની ઊર્જા $E = h\nu$ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $\nu$ એ વિકિરણની આવૃત્તિ છે. આ સમીકરણ આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઇલેક્ટ્રિક સમીકરણ $K_{max} = h\nu - \Phi_0$ નો આધાર બનાવે છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) કાર્ય વિધેય $W_0$ એ સંબંધ $W_0 = \frac{hc}{\lambda_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda_0$ એ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ છે.
આશરે $hc \approx 12375 \ eV \cdot \mathring A$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lambda_0 = \frac{12375}{W_0} \mathring A$
$W_0 = 2.3 \ eV$ મૂકતા:
$\lambda_0 = \frac{12375}{2.3} \approx 5380.43 \mathring A$
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $5380 \mathring A$ મળે છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max} = hf - W_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $W_0$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
પ્રથમ ફોટો-કેથોડ માટે: $hf_1 = W_0 + \frac{1}{2}mv_1^2$ ... $(i)$
બીજા ફોટો-કેથોડ માટે: $hf_2 = W_0 + \frac{1}{2}mv_2^2$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી સમીકરણ $(ii)$ બાદ કરતા:
$h(f_1 - f_2) = \frac{1}{2}m(v_1^2 - v_2^2)$
વેગના તફાવત માટે પદોને ગોઠવતા:
$v_1^2 - v_2^2 = \frac{2h}{m}(f_1 - f_2)$

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$\frac{hc}{e} \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right) = V_0$
પ્રથમ કિસ્સા માટે:
$\frac{hc}{e} \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right) = 4.8 \quad ...(i)$
બીજા કિસ્સા માટે,જ્યાં તરંગલંબાઈ $2\lambda$ છે:
$\frac{hc}{e} \left( \frac{1}{2\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right) = 1.6 \quad ...(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}}{\frac{1}{2\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}} = \frac{4.8}{1.6} = 3$
$\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} = 3 \left( \frac{1}{2\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right)$
$\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} = \frac{3}{2\lambda} - \frac{3}{\lambda_0}$
$\frac{3}{\lambda_0} - \frac{1}{\lambda_0} = \frac{3}{2\lambda} - \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{2\lambda}$
$\frac{2}{\lambda_0} = \frac{1}{2\lambda}$
$\lambda_0 = 4\lambda$

(C) ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર ત્યારે જ થાય છે જ્યારે આપાત ફોટોનની ઉર્જા ધાતુના વર્ક ફંક્શન કરતા વધારે અથવા તેના જેટલી હોય.
આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = h\nu$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $\nu$ એ આવૃત્તિ છે.
વર્ક ફંક્શન $\phi_0$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $\nu_0$ સાથે $\phi_0 = h\nu_0$ સમીકરણ દ્વારા સંબંધિત છે.
ફોટોઈલેક્ટ્રોનના ઉત્સર્જન માટે,શરત $E \ge \phi_0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $h\nu \ge h\nu_0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\nu \ge \nu_0$ થાય છે.
તેથી,ફોટોઈલેક્ટ્રોનના ઉત્સર્જન માટેની જરૂરી શરત $\nu \ge \nu_0$ છે.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,$E = W_0 + K_{\max}$,જ્યાં $E = \frac{hc}{\lambda}$ એ આપાત ફોટોનની ઉર્જા છે,$W_0$ એ કાર્ય વિધેય છે,અને $K_{\max}$ એ મહત્તમ ગતિ ઉર્જા છે.
સંબંધ $E \approx \frac{12400}{\lambda (\text{in } \mathring A)} \ eV$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lambda_1 = 1824 \ \mathring A$ માટે,$E_1 = \frac{12400}{1824} \approx 6.797 \ eV \approx 6.8 \ eV$.
આપેલ છે કે $K_{\max, 1} = 5.3 \ eV$,તેથી $W_0 = E_1 - K_{\max, 1} = 6.8 - 5.3 = 1.5 \ eV$.
$\lambda_2 = 1216 \ \mathring A$ માટે,$E_2 = \frac{12400}{1216} \approx 10.197 \ eV \approx 10.2 \ eV$.
આપેલ છે કે $K_{\max, 2} = 8.7 \ eV$,તેથી $W_0 = E_2 - K_{\max, 2} = 10.2 - 8.7 = 1.5 \ eV$.
આમ,ધાતુની સપાટીનું કાર્ય વિધેય $1.5 \ eV$ છે.

(B) કાર્ય વિધેય $\Phi_0$ નું સૂત્ર $\Phi_0 = \frac{hc}{\lambda_0}$ છે.
અહીં,$\Phi_0 = 6.825 \; eV$ આપેલ છે.
સંબંધ $\lambda_0 (\mathring A \text{ માં}) = \frac{12375}{\Phi_0 (eV \text{ માં})}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lambda_0 = \frac{12375}{6.825} \approx 1813 \; \mathring A$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $1800 \; \mathring A$ મળે છે.

(C) વર્ક ફંક્શન $W_0$ એ $W_0 = h\nu_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $h = 6.6 \times 10^{-34} Js$ અને $\nu_0 = 1.6 \times 10^{15} Hz$ છે.
$W_0 = (6.6 \times 10^{-34}) \times (1.6 \times 10^{15}) = 10.56 \times 10^{-19} J$.
આને $eV$ માં રૂપાંતરિત કરવા માટે,ઇલેક્ટ્રોનના વિદ્યુતભાર $(1.6 \times 10^{-19} C)$ વડે ભાગો:
$W_0 = \frac{10.56 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} eV = 6.6 eV$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,$K_{max} = E - W_0$.
આપાત ઉર્જા $E = 8 eV$ આપેલ છે.
$K_{max} = 8 eV - 6.6 eV = 1.4 eV$.

(D) ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસરને પ્રકાશના $Quantum$ સિદ્ધાંત દ્વારા સમજાવી શકાય છે.
આ સિદ્ધાંત મુજબ,પ્રકાશ એ ફોટોન નામના ઉર્જાના નાના પેકેટોનો બનેલો છે.
જ્યારે $E = h\nu$ ઉર્જા ધરાવતો ફોટોન ધાતુની સપાટી પર આપાત થાય છે,ત્યારે તે પોતાની ઉર્જા ઈલેક્ટ્રોનને આપે છે.
જો આપાત ફોટોનની ઉર્જા ધાતુના વર્ક ફંક્શન $(\Phi)$ કરતા વધારે હોય,તો ઈલેક્ટ્રોન બંધન બળ તોડીને સપાટી પરથી ઉત્સર્જિત થાય છે.
આ ઘટનાને પ્રકાશના તરંગવાદ દ્વારા સમજાવી શકાતી નથી કારણ કે તરંગવાદ મુજબ ઈલેક્ટ્રોનનું ઉત્સર્જન પ્રકાશની તીવ્રતા પર આધાર રાખવું જોઈએ,જ્યારે ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ પર આધાર રાખે છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,$K.E._{max} = h\nu - \Phi$,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$\nu$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે,અને $\Phi$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
કોઈ ચોક્કસ ધાતુ માટે $\Phi$ અચળ હોવાથી,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા સીધી રીતે આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ $(\nu)$ પર આધાર રાખે છે.
પ્રકાશની તીવ્રતા વધારવાથી દર સેકન્ડે ઉત્સર્જિત થતા ફોટોઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યા વધે છે,પરંતુ તે વ્યક્તિગત ઈલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જાને અસર કરતું નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.

(B) વર્ક ફંક્શન $W_0$ એ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ $\lambda_0$ સાથે $W_0 = \frac{hc}{\lambda_0}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
$hc \approx 12375 \, eV \cdot \mathring{A}$ અંદાજનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$W_0 = \frac{12375}{\lambda_0} \, eV$.
અહીં $\lambda_0 = 5420 \, \mathring{A}$ આપેલ છે,
તેથી,$W_0 = \frac{12375}{5420} \approx 2.28 \, eV$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E$ એ સૂત્ર $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$hc \approx 12400 \text{ eV} \cdot \mathring{A}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે ઉર્જાની ગણતરી કરીએ છીએ:
$E = \frac{12400}{4100} \approx 3.02 \text{ eV}$.
જો આપાત ફોટોનની ઉર્જા ધાતુના વર્ક ફંક્શન $(\Phi)$ કરતા વધારે હોય તો ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન થાય છે.
ધાતુ $A$ માટે: $\Phi_A = 1.92 \text{ eV} < 3.02 \text{ eV}$ (ઉત્સર્જન થશે).
ધાતુ $B$ માટે: $\Phi_B = 2.0 \text{ eV} < 3.02 \text{ eV}$ (ઉત્સર્જન થશે).
ધાતુ $C$ માટે: $\Phi_C = 5.0 \text{ eV} > 3.02 \text{ eV}$ (ઉત્સર્જન થશે નહીં).
તેથી,માત્ર ધાતુ $A$ અને $B$ ફોટોઈલેક્ટ્રોનનું ઉત્સર્જન કરશે.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના પ્રકાશ-વિદ્યુત સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિ ઊર્જા $K_{\max} = E - W_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા છે અને $W_0$ એ કાર્ય વિધેય છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $E_1 = 2h\nu_0$ અને $W_0 = h\nu_0$.
$\frac{1}{2}mv_1^2 = 2h\nu_0 - h\nu_0 = h\nu_0$ ... $(i)$
બીજા કિસ્સા માટે: $E_2 = 5h\nu_0$ અને $W_0 = h\nu_0$.
$\frac{1}{2}mv_2^2 = 5h\nu_0 - h\nu_0 = 4h\nu_0$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને $(i)$ વડે ભાગતા:
$\frac{\frac{1}{2}mv_2^2}{\frac{1}{2}mv_1^2} = \frac{4h\nu_0}{h\nu_0}$
$\left(\frac{v_2}{v_1}\right)^2 = 4$
$\frac{v_2}{v_1} = 2$
આપેલ છે કે $v_1 = 4 \times 10^6 \, m/s$,તેથી:
$v_2 = 2 \times v_1 = 2 \times (4 \times 10^6 \, m/s) = 8 \times 10^6 \, m/s$.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K_{max})$ નીચે મુજબ છે:
$K_{max} = E - \Phi$
જ્યાં $E$ એ આપાત ફોટોનની ઉર્જા છે અને $\Phi$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
આપેલ છે: $E = 1.8 \ eV$ અને $\Phi = 1.2 \ eV$.
$K_{max} = 1.8 \ eV - 1.2 \ eV = 0.6 \ eV$.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $(V_s)$ એ મહત્તમ ગતિઊર્જા સાથે $K_{max} = e V_s$ સંબંધ દ્વારા જોડાયેલ છે.
તેથી,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $0.6 \ V$ છે,જે ઉર્જાના એકમોમાં $0.6 \ eV$ ના મૂલ્યને અનુરૂપ છે.

(A) ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસરમાં આપાત ફોટોનનું વર્તન ધાતુની સપાટીની થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિની સાપેક્ષમાં આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ પર આધાર રાખે છે.
કિસ્સો $I$: જો આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $(\nu < \nu_0)$ કરતા ઓછી હોય, તો ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન થતું નથી. આ કિસ્સામાં, ફોટોન સપાટી દ્વારા સ્કેટર અથવા પરાવર્તિત થાય છે અને તેની આવૃત્તિમાં કોઈ ફેરફાર થયા વગર બહાર આવે છે.
કિસ્સો $II$: જો આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $(\nu \geq \nu_0)$ જેટલી અથવા તેનાથી વધુ હોય, તો ફોટોન ઈલેક્ટ્રોન દ્વારા શોષાય છે. ફોટોનની ઉર્જા $(E = h\nu)$ ધાતુના વર્ક ફંક્શન $(\Phi)$ ને દૂર કરવા અને ઉત્સર્જિત ઈલેક્ટ્રોનને ગતિ ઉર્જા આપવા માટે વપરાય છે. પરિણામે, ફોટોન સંપૂર્ણપણે અદૃશ્ય થઈ જાય છે.

(A) ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K_{max})$ આઈન્સ્ટાઈનના પ્રકાશ-વિદ્યુત સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$K_{max} = E - \Phi$
જ્યાં $E$ એ આપાત ફોટોનની ઉર્જા છે અને $\Phi$ એ ધાતુનું કાર્ય વિધેય છે.
કાર્ય વિધેય $\Phi$ એ $\Phi = h\nu_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\nu_0$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ છે.
આપેલ છે કે $h = 6 \times 10^{-34} \ J \cdot s$ અને $\nu_0 = 1.6 \times 10^{15} \ Hz$:
$\Phi = (6 \times 10^{-34} \ J \cdot s) \times (1.6 \times 10^{15} \ Hz) = 9.6 \times 10^{-19} \ J$.
કાર્ય વિધેયને $eV$ માં રૂપાંતરિત કરવા માટે,તેને $1.6 \times 10^{-19} \ J/eV$ વડે ભાગો:
$\Phi = \frac{9.6 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \ eV = 6 \ eV$.
હવે,મહત્તમ ગતિઊર્જાની ગણતરી કરો:
$K_{max} = 8 \ eV - 6 \ eV = 2 \ eV$.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $K_{max} = E - \Phi$,જ્યાં $\Phi$ એ કાર્યવિધેય છે.
ધાતુ $A$ માટે: $T_A = 4.25 - \Phi_A$ ... $(i)$
ધાતુ $B$ માટે: $T_B = T_A - 1.50 = 4.70 - \Phi_B$ ... (ii)
$(i)$ પરથી,$\Phi_A = 4.25 - T_A$. (ii) પરથી,$\Phi_B = 4.70 - (T_A - 1.50) = 6.20 - T_A$.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{K}}$.
આપેલ છે કે $\lambda_B = 2\lambda_A$,તેથી $\frac{\lambda_B}{\lambda_A} = \sqrt{\frac{T_A}{T_B}} = 2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{T_A}{T_A - 1.50} = 4$.
$T_A = 4T_A - 6.00 \Rightarrow 3T_A = 6.00 \Rightarrow T_A = 2.00\, eV$.
$T_A = 2.00\, eV$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $\Phi_A = 4.25 - 2.00 = 2.25\, eV$.
$T_A = 2.00\, eV$ ને (ii) માં મૂકતા: $T_B = 2.00 - 1.50 = 0.50\, eV$. તેથી $\Phi_B = 4.70 - 0.50 = 4.20\, eV$.
આમ,તમામ વિધાનો સાચા છે.

(D) લેન્સ દ્વારા બનતી છબીની તીવ્રતા લેન્સ દ્વારા એકત્રિત કરવામાં આવેલી પાવરના પ્રમાણમાં અને છબીના ક્ષેત્રફળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
લેન્સ દ્વારા એકત્રિત કરવામાં આવેલી પાવર લેન્સના છિદ્રના ક્ષેત્રફળના પ્રમાણમાં હોય છે,જે સમાન રહે છે કારણ કે વ્યાસ સમાન છે.
છબીનું ક્ષેત્રફળ $A$ એ કેન્દ્રલંબાઈના વર્ગના પ્રમાણમાં હોય છે $(A \propto f^2)$.
તેથી,તીવ્રતા $E$ એ $1/f^2$ ના પ્રમાણમાં છે.
શરૂઆતમાં,$I \propto 1/f_1^2 = 1/(30)^2$.
અંતે,$I' \propto 1/f_2^2 = 1/(15)^2$.
ગુણોત્તર લેતા: $I'/I = (f_1/f_2)^2 = (30/15)^2 = 2^2 = 4$.
આમ,નવો ફોટોઈલેક્ટ્રિક પ્રવાહ $I' = 4I$ થશે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ:
$E = \phi + K_{max}$
$\frac{hc}{\lambda} = \phi + \frac{1}{2}mv^2$
$v$ માટે સમીકરણ ગોઠવતા:
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{hc - \lambda \phi}{\lambda}$
$v^2 = \frac{2(hc - \lambda \phi)}{m \lambda}$
$v = [\frac{2(hc - \lambda \phi)}{m \lambda}]^{1/2}$

(B) કટ-ઓફ વોલ્ટેજ (સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ) માત્ર આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ પર આધાર રાખે છે,તેની તીવ્રતા પર નહીં. તેથી,તે $0.6 \ V$ જ રહેશે.
બિંદુવત સ્ત્રોતમાંથી આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા વ્યસ્ત વર્ગના નિયમનું પાલન કરે છે,$I \propto \frac{1}{d^2}$.
જ્યારે અંતર $0.2 \ m$ થી વધીને $0.6 \ m$ થાય છે,ત્યારે અંતર $3$ ગણું થાય છે $(d' = 3d)$.
આમ,તીવ્રતા $I' = \frac{I}{3^2} = \frac{I}{9}$ થાય છે.
સંતૃપ્ત પ્રવાહ એ આપાત પ્રકાશની તીવ્રતાના સીધા પ્રમાણમાં હોવાથી,નવો સંતૃપ્ત પ્રવાહ $I'_{sat} = \frac{18 \ mA}{9} = 2 \ mA$ થશે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલના સંદર્ભમાં વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $K_{\max} = \frac{hc}{\lambda} - W_0 = \frac{1}{2}mv^2$,જ્યાં $W_0 = \frac{hc}{\lambda_0}$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
આમ,$v = \sqrt{\frac{2hc}{m} \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right)} = \sqrt{\frac{2hc}{m} \left( \frac{\lambda_0 - \lambda}{\lambda \lambda_0} \right)} \dots (i)$
જ્યારે તરંગલંબાઈ બદલીને $\lambda' = \frac{3\lambda}{4}$ કરવામાં આવે,ત્યારે નવી ઝડપ $v'$ નીચે મુજબ મળે:
$v' = \sqrt{\frac{2hc}{m} \left( \frac{1}{3\lambda/4} - \frac{1}{\lambda_0} \right)} = \sqrt{\frac{2hc}{m} \left( \frac{4\lambda_0 - 3\lambda}{3\lambda \lambda_0} \right)} \dots (ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને $(i)$ વડે ભાગતા:
$\frac{v'}{v} = \sqrt{\frac{4\lambda_0 - 3\lambda}{3\lambda \lambda_0} \cdot \frac{\lambda \lambda_0}{\lambda_0 - \lambda}} = \sqrt{\frac{4}{3} \cdot \frac{\lambda_0 - 0.75\lambda}{\lambda_0 - \lambda}}$
ચૂકવણી મુજબ $\lambda_0 > \lambda$ હોવાથી,$(\lambda_0 - 0.75\lambda) > (\lambda_0 - \lambda)$ થાય.
તેથી,$\frac{\lambda_0 - 0.75\lambda}{\lambda_0 - \lambda} > 1$.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{v'}{v} > \sqrt{\frac{4}{3}}$,એટલે કે $v' > v(4/3)^{1/2}$.

(C) પ્રકાશની તીવ્રતા $I = \frac{n E}{A t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ ફોટોનની સંખ્યા છે,$E = \frac{hc}{\lambda}$ એ એક ફોટોનની ઉર્જા છે,$A$ એ ક્ષેત્રફળ છે અને $t$ એ સમય છે.
પ્રતિ સેકન્ડ આપાત થતા ફોટોનની સંખ્યા $N = \frac{I A}{E} = \frac{I A \lambda}{hc}$ છે.
આપેલ છે:
$I = 1.0 \ W/m^2$
$A = 1.0 \ cm^2 = 1.0 \times 10^{-4} \ m^2$
$\lambda = 300 \ nm = 300 \times 10^{-9} \ m$
$h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$
$c = 3 \times 10^8 \ m/s$
$N = \frac{1.0 \times 10^{-4} \times 300 \times 10^{-9}}{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8} = \frac{3 \times 10^{-11}}{19.89 \times 10^{-26}} \approx 1.508 \times 10^{14} \text{ ફોટોન/સેકન્ડ}$.
આપાત ફોટોનમાંથી $1\%$ ફોટોઇલેક્ટ્રોન ઉત્પન્ન થતા હોવાથી,પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત થતા ફોટોઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા:
$N_e = 0.01 \times N = 0.01 \times 1.508 \times 10^{14} = 1.508 \times 10^{12} \text{ પ્રતિ સેકન્ડ}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા ${K_{\max }}$ એ ${K_{\max }} = h\nu - h{\nu _0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં ${\nu _0}$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ છે.
આવૃત્તિ ${\nu _1}$ માટે,${K_1} = h({\nu _1} - {\nu _0})$.
આવૃત્તિ ${\nu _2}$ માટે,${K_2} = h({\nu _2} - {\nu _0})$.
આપેલ છે કે મહત્તમ ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર ${K_1}:{K_2} = 1:k$ છે,તેથી $\frac{{{K_1}}}{{{K_2}}} = \frac{1}{k}$.
સમીકરણો મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{{h({\nu _1} - {\nu _0})}}{{h({\nu _2} - {\nu _0})}} = \frac{1}{k}$.
$k({\nu _1} - {\nu _0}) = {\nu _2} - {\nu _0}$.
$k{\nu _1} - k{\nu _0} = {\nu _2} - {\nu _0}$.
$k{\nu _1} - {\nu _2} = k{\nu _0} - {\nu _0} = {\nu _0}(k - 1)$.
તેથી,થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ ${\nu _0} = \frac{{k{\nu _1} - {\nu _2}}}{{k - 1}}$ છે.

(B) હાઇડ્રોજન ડિસ્ચાર્જ ટ્યુબમાંથી ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા હાઇડ્રોજનની આયનીકરણ ઉર્જાને અનુરૂપ હોય છે,જે $E = 13.6 \ eV$ છે.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,$E = W_0 + K_{max}$,જ્યાં $K_{max} = e|V_0|$ અને $V_0$ એ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $13.6 \ eV = 4.2 \ eV + e|V_0|$.
$e|V_0| = 13.6 \ eV - 4.2 \ eV = 9.4 \ eV$.
તેથી,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલનું મૂલ્ય $|V_0| = 9.4 \ V$ છે.
ફોટો-કરંટને શૂન્ય કરવા માટે,એનોડ કેથોડની સાપેક્ષમાં ઋણ પોટેન્શિયલ પર હોવો જોઈએ.
આમ,જરૂરી વોલ્ટેજ $-9.4 \ V$ છે.

(A) થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઇ $\lambda_0$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $\lambda_0 = \frac{hc}{W_0}$ છે.
આશરે $\lambda_0 (\mathring{A} \text{ માં}) \approx \frac{12400}{W_0 (eV \text{ માં})}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,આપણે બંને ધાતુઓ માટે થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઇની ગણતરી કરીએ છીએ.
લિથિયમ $(Li)$ માટે: $(\lambda_0)_{Li} = \frac{12400}{2.3} \approx 5391 \ \mathring{A}$.
કોપર $(Cu)$ માટે: $(\lambda_0)_{Cu} = \frac{12400}{4.0} = 3100 \ \mathring{A}$.
દ્રશ્ય પ્રકાશની તરંગલંબાઇનો વિસ્તાર આશરે $3800 \ \mathring{A}$ થી $7500 \ \mathring{A}$ સુધીનો હોય છે.
કારણ કે $(\lambda_0)_{Li} = 5391 \ \mathring{A}$ એ દ્રશ્ય પ્રકાશના વિસ્તારમાં આવે છે,તેથી લિથિયમ દ્રશ્ય પ્રકાશના સંપર્કમાં આવતા ફોટોઈલેક્ટ્રોન ઉત્સર્જિત કરી શકે છે.
કારણ કે $(\lambda_0)_{Cu} = 3100 \ \mathring{A}$ એ અલ્ટ્રાવાયોલેટ વિસ્તારમાં આવે છે,તેથી કોપર દ્રશ્ય પ્રકાશ સાથે ફોટોઈલેક્ટ્રોન ઉત્સર્જિત કરી શકતું નથી.
તેથી,દ્રશ્ય પ્રકાશ સાથે કામ કરતા ફોટોઈલેક્ટ્રિક સેલ માટે લિથિયમ યોગ્ય ધાતુ છે.

(C) $1$. આપાત ફોટોનની કુલ સંખ્યા $(n)$ ગણો:
$n = \frac{E \lambda}{hc} = \frac{1 \times 10^{-7} \times 200 \times 10^{-9}}{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8} \approx 10^{11}$ ફોટોન.
$2$. ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $(N_e)$ ગણો:
આપેલ છે કે દર $10^3$ ફોટોનમાંથી $1$ ઇલેક્ટ્રોન ઉત્સર્જિત થાય છે,તેથી $N_e = \frac{n}{10^3} = \frac{10^{11}}{10^3} = 10^8$ ઇલેક્ટ્રોન.
$3$. ગોળા પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $(q)$ ગણો:
$q = N_e \times e = 10^8 \times 1.6 \times 10^{-19} \ C = 1.6 \times 10^{-11} \ C$.
$4$. ગોળા પરનું સ્થિતિમાન $(V)$ ગણો:
$V = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q}{r} = (9 \times 10^9) \times \frac{1.6 \times 10^{-11}}{4.8 \times 10^{-2}} = 3 \ V$.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ:
$K_{\max} = h\nu - \phi_0$
જ્યાં $K_{\max}$ એ ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા છે,$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$\nu$ એ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ છે અને $\phi_0 = h\nu_0$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
આને સુરેખ રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા:
અહીં,$y = K_{\max}$,$x = \nu$,$m = h$ (ઢાળ),અને $c = -\phi_0$ (y-અંતઃખંડ).
જેহেতু ઢાળ $h$ ધન છે અને અંતઃખંડ $-\phi_0$ ઋણ છે,તેથી આલેખ એક સુરેખ રેખા છે જે x-અક્ષ પર થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $\nu_0$ થી શરૂ થાય છે અને તેનો ઢાળ ધન છે. આ તે આલેખને અનુરૂપ છે જ્યાં રેખા x-અક્ષને $\nu_0$ પર છેદે છે અને $\nu > \nu_0$ માટે રેખીય રીતે વધે છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $E_k$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$E_k = h\nu - \Phi$
જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$\nu$ એ આપાત ફોટોનની આવૃત્તિ છે,અને $\Phi$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
આ સમીકરણને સુરેખ રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = E_k$,$x = \nu$,$m$ એ ઢાળ છે,અને $c$ એ y-અંતઃખંડ છે:
$E_k = h\nu + (-\Phi)$
અહીં,ઢાળ $m = h$ છે.
તેથી,વક્રનો ઢાળ પ્લાન્કનો અચળાંક દર્શાવે છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ:
$K_{\max} = h\nu - h\nu_0$
જ્યાં $K_{\max} = eV_0$,$V_0$ એ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ છે અને $e$ એ ઈલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર છે:
$eV_0 = h\nu - h\nu_0$
$e$ વડે ભાગતા:
$V_0 = (\frac{h}{e})\nu - (\frac{h\nu_0}{e})$
આને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = V_0$ અને $x = \nu$:
ઢાળ $m = \frac{h}{e}$.
તેથી,પ્લાન્કનો અચળાંક $h = m \times e$,જે રેખાના ઢાળ અને ઈલેક્ટ્રોન પરના વિદ્યુતભારનો ગુણાકાર છે.