Einstein's Photoelectric Equation and Energy Quantum of Radiation Questions in Gujarati

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ:
$K_{max} = h\nu - W_0$
અહીં $K_{max} = eV_0$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$eV_0 = h\nu - W_0$
$V_0 = \left( \frac{h}{e} \right) \nu - \frac{W_0}{e}$
આ સમીકરણને સુરેખ રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = V_0$,$x = \nu$,$m = \frac{h}{e}$,અને $c = -\frac{W_0}{e}$ છે.
ઋણ $V_0$ અક્ષ પરનો આંતરછેદ $OB = \frac{W_0}{e}$ છે.
તેથી,કાર્ય વિધેય $W_0 = OB \times e$ થાય.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ ને $eV_s = h\nu - \Phi_0$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $\Phi_0$ એ કાર્ય વિધેય છે.
આને $V_s = (h/e)\nu - (\Phi_0/e)$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
આને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,ઋણ $V_s$ અક્ષ પરનો આંતરછેદ $\Phi_0/e$ છે.
થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $\nu_0$ એ આવૃત્તિ છે જ્યાં સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ શૂન્ય હોય છે,જે $\nu_0 = \Phi_0/h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આલેખ પરથી,સપાટી $A$ માટેની થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ સપાટી $B$ કરતા ઓછી છે (એટલે કે,$\nu_{0A} < \nu_{0B}$).
કારણ કે $\Phi_0 = h\nu_0$,નાની થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિનો અર્થ એ છે કે કાર્ય વિધેય પણ નાનું છે.
તેથી,$A$ નું કાર્ય વિધેય $B$ કરતા નાનું છે.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ:
$h\nu = W_0 + K_{max}$
જ્યાં $K_{max} = eV_o$ છે,અને $V_o$ એ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ છે:
$h\nu = W_0 + eV_o$
$V_o$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$V_o = (\frac{h}{e})\nu - \frac{W_0}{e}$
આ સમીકરણ $y = mx + c$ પ્રકારની સુરેખાનું સમીકરણ છે,જ્યાં:
ઢાળ $m = \frac{h}{e}$ (જે ધન છે)
અંતઃખંડ $c = -\frac{W_0}{e}$ (જે ઋણ છે)
તેથી,આલેખ એ ધન ઢાળ અને $V_o$ અક્ષ પર ઋણ અંતઃખંડ ધરાવતી સુરેખા છે. આ આલેખ વિકલ્પ $D$ માં દર્શાવેલ છે.

(D) સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0$ એ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ $\nu$ સાથે આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ દ્વારા સંબંધિત છે: $e V_0 = h\nu - W_0$,જેને $V_0 = \frac{h}{e}\nu - \frac{W_0}{e}$ તરીકે લખી શકાય છે.
આપેલ આલેખ પરથી,$\lambda_2$ ને અનુરૂપ વક્ર માટે સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_2$ છે અને $\lambda_1$ માટે $V_1$ છે. અહીં $V_2 > V_1$ હોવાથી (ઋણ પોટેન્શિયલના મૂલ્ય તરીકે),$\lambda_2$ માટેનું સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $\lambda_1$ કરતા વધારે છે.
આનો અર્થ એ છે કે વિકિરણની આવૃત્તિ $\nu_2$ એ $\nu_1$ કરતા વધારે છે $(\nu_2 > \nu_1)$.
તરંગલંબાઇ $\lambda$ એ આવૃત્તિના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી $(\lambda = \frac{c}{\nu})$,ઊંચી આવૃત્તિ ટૂંકી તરંગલંબાઇને અનુરૂપ છે.
તેથી,$\nu_2 > \nu_1$ નો અર્થ છે કે $\lambda_1 > \lambda_2$.

(A) આઈન્સ્ટાઈનનું ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ આ મુજબ છે: $K{E_{\max }} = h\nu - \Phi$,જ્યાં $\Phi = h{\nu _0}$ એ ધાતુનું કાર્યવિધેય (work function) છે.
આને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = K{E_{\max }}$ અને $x = \nu$ (આવૃત્તિ) છે:
$K{E_{\max }} = h\nu - h{\nu _0}$
આ રેખાનો ઢાળ $m$ એ $h$ (પ્લાન્કનો અચળાંક) જેટલો છે.
$h$ એ સાર્વત્રિક અચળાંક હોવાથી,ઢાળ બધી ધાતુઓ માટે સમાન રહે છે અને તે આપાત વિકિરણની તીવ્રતાથી સ્વતંત્ર છે.

(B) આલેખ પરથી, થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $(\nu_0)$ એ આવૃત્તિ છે જ્યાં સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $(V_0)$ શૂન્ય છે.
x-અક્ષ પર જોતા, આલેખ $\nu_0 = 5 \times 10^{14} \ Hz$ પર અક્ષને છેદે છે.
થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ $(\lambda_0)$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ સાથે $\lambda_0 = \frac{c}{\nu_0}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે, જ્યાં $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ એ પ્રકાશની ગતિ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda_0 = \frac{3 \times 10^8}{5 \times 10^{14}} = 0.6 \times 10^{-6} \ m = 6 \times 10^{-7} \ m$.
એંગસ્ટ્રોમમાં રૂપાંતર કરતા: $\lambda_0 = 6 \times 10^{-7} \times 10^{10} \ \mathring{A} = 6000 \ \mathring{A}$.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K)$ એ $K = h\nu - \Phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$\nu$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે અને $\Phi$ એ ધાતુનું કાર્ય વિધેય છે.
આ સમીકરણ $y = mx + c$ ના રેખીય સ્વરૂપને અનુસરે છે,જ્યાં $y = K$,$x = \nu$,$m = h$ (ઢાળ) અને $c = -\Phi$ (y-અંતઃખંડ) છે.
આપેલ આલેખ પરથી,રેખા y-અક્ષ ($K$ અક્ષ) ને $-2 \ eV$ પર છેદે છે.
તેથી,y-અંતઃખંડ $c = -\Phi = -2 \ eV$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે ધાતુનું કાર્ય વિધેય $\Phi = 2 \ eV$ છે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઊર્જા $(K_{\max})$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$K_{\max} = h\nu - \Phi_0$
કારણ કે $\nu = c/\lambda$,આપણે લખી શકીએ:
$K_{\max} = \frac{hc}{\lambda} - \Phi_0$
જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$c$ એ પ્રકાશની ઝડપ છે,$\lambda$ એ આપાત વિકિરણની તરંગલંબાઇ છે અને $\Phi_0$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
આ સમીકરણ $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $y = K_{\max}$,$x = 1/\lambda$,$m = hc$ (ઢાળ) અને $c = -\Phi_0$ (y-અંતઃખંડ).
આ એક ધન ઢાળવાળી સીધી રેખા દર્શાવે છે જે x-અક્ષ પર $1/\lambda = 1/\lambda_0$ થી શરૂ થાય છે (જ્યાં $\lambda_0$ એ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઇ છે) અને y-અક્ષ પર ઋણ અંતઃખંડ ધરાવે છે.
આપેલ આલેખમાં,વક્ર $A$ આ રેખીય સંબંધ દર્શાવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $(V_0)$ વિરુદ્ધ આવૃત્તિ $(\nu)$ ના આલેખનો ઢાળ નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\text{ઢાળ} = \frac{h}{e}$.
અહીં આપેલ છે કે ઢાળ $4.12 \times 10^{-15} \ V-sec$ છે અને ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ છે.
તેથી,$h = \text{ઢાળ} \times e$.
$h = (4.12 \times 10^{-15}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \ J-sec$.
$h \approx 6.592 \times 10^{-34} \ J-sec \approx 6.6 \times 10^{-34} \ J-sec$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(b)$ છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0$ અને આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ $\nu$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $eV_0 = h\nu - \phi$,જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$e$ ઈલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે,અને $\phi$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
આ સમીકરણને આ રીતે લખી શકાય: $V_0 = \left( \frac{h}{e} \right) \nu - \frac{\phi}{e}$.
આ સમીકરણ $y = mx + c$ સ્વરૂપની સીધી રેખા દર્શાવે છે,જ્યાં ઢાળ $m = \frac{h}{e}$ છે.
જેમ કે ઢાળ $\frac{h}{e}$ એક સાર્વત્રિક અચળાંક છે,તેથી વિવિધ ધાતુઓ માટે $V_0$ વિરુદ્ધ $\nu$ ના આલેખ સમાંતર સીધી રેખાઓ હોવા જોઈએ.
આ રેખાઓનો x-અંતઃખંડ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $\nu_0 = \frac{\phi}{h}$ છે,જે ચોક્કસ ધાતુના વર્ક ફંક્શન $\phi$ પર આધાર રાખે છે.
તેથી,સાચી રજૂઆત એ અલગ-અલગ x-અંતઃખંડ ધરાવતી સમાંતર સીધી રેખાઓનો સમૂહ છે,જે વિકલ્પ $C$ માં દર્શાવેલ છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની ગતિ ઉર્જા $K_{max} = h\nu - \phi_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi_0$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
કારણ કે $K_{max} = eV_0$,જ્યાં $V_0$ એ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ છે,આપણે $eV_0 = h\nu - \phi_0$ લખી શકીએ છીએ.
આ સમીકરણને સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ માટે ગોઠવતા,આપણને $V_0 = \frac{h}{e}\nu - \frac{\phi_0}{e}$ મળે છે.
આ સમીકરણ સુરેખ રેખા $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $y = V_0$,$x = \nu$,અને ઢાળ $m = \frac{h}{e}$ છે.
તેથી,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $(V_0)$ અને આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ $(\nu)$ વચ્ચેના આલેખનો ઢાળ $h/e$ છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = h\nu - \Phi_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$\nu$ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે અને $\Phi_0$ એ ધાતુનું કાર્ય વિધેય (વર્ક ફંક્શન) છે.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ એ મહત્તમ ગતિઊર્જા સાથે $eV_s = K_{max}$ દ્વારા સંબંધિત હોવાથી,આપણને $V_s = \frac{h}{e}\nu - \frac{\Phi_0}{e}$ મળે છે.
આ સમીકરણ $\frac{h}{e}$ જેટલા ઢાળવાળી સીધી રેખા દર્શાવે છે.
આપેલ આલેખમાં,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ ને બે ધાતુઓ $Na$ અને $Al$ માટે આવૃત્તિ $\nu$ ની વિરુદ્ધ આલેખવામાં આવ્યું છે.
બંને રેખાઓ સીધી અને સમાંતર (સમાન ખૂણો $\theta$ ધરાવતી) હોવાથી,તે સાબિત થાય છે કે બંને ધાતુઓ માટે મહત્તમ ગતિઊર્જા એ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ પર રેખીય રીતે આધાર રાખે છે.

(D) આપેલ છે: કાર્ય વિધેય $\phi = 2.3 \ eV$,તરંગલંબાઈ $\lambda = 4.84 \times 10^{-7} \ m = 4840 \ \mathring{A}$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટો-ઈલેક્ટ્રિક સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $K.E._{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $hc \approx 12400 \ eV \cdot \mathring{A}$.
$K.E._{max} = \frac{12400 \ eV \cdot \mathring{A}}{4840 \ \mathring{A}} - 2.3 \ eV$.
$K.E._{max} \approx 2.56 \ eV - 2.3 \ eV$.
$K.E._{max} \approx 0.26 \ eV \approx 0.3 \ eV$ (નજીકના વિકલ્પ મુજબ).

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $eV_s = \frac{hc}{\lambda} - \phi$,જ્યાં $\phi = \frac{hc}{\lambda_0}$ એ વર્ક ફંક્શન છે અને $\lambda_0$ એ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $6eV_0 = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0} \quad ...(1)$
બીજા કિસ્સા માટે: $2eV_0 = \frac{hc}{2\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0} \quad ...(2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા:
$(6eV_0 - 2eV_0) = (\frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{2\lambda}) - (\frac{hc}{\lambda_0} - \frac{hc}{\lambda_0})$
$4eV_0 = \frac{hc}{2\lambda} \implies eV_0 = \frac{hc}{8\lambda}$
$eV_0$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$2(\frac{hc}{8\lambda}) = \frac{hc}{2\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$
$\frac{hc}{4\lambda} = \frac{hc}{2\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$
$\frac{hc}{\lambda_0} = \frac{hc}{2\lambda} - \frac{hc}{4\lambda} = \frac{hc}{4\lambda}$
તેથી,$\lambda_0 = 4\lambda$.

(B) આપેલ છે: આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ $\nu = 8 \times 10^{14} \ Hz$,મહત્તમ ઝડપ $v_{max} = 7 \times 10^5 \ m/s$.
ઉત્સર્જિત ફોટો ઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઊર્જા $K_{max} = \frac{1}{2} m v_{max}^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઈલેક્ટ્રોનનું દળ $m = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$ લેતા:
$K_{max} = \frac{1}{2} \times (9.1 \times 10^{-31}) \times (7 \times 10^5)^2 = 0.5 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 49 \times 10^{10} = 222.95 \times 10^{-21} \ J \approx 2.23 \times 10^{-19} \ J$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટો ઈલેક્ટ્રિક સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $K_{max} = h\nu - h\nu_0$,જ્યાં $\nu_0$ એ થ્રેસોલ્ડ આવૃત્તિ છે.
$h\nu_0 = h\nu - K_{max}$.
$h\nu = (6.63 \times 10^{-34}) \times (8 \times 10^{14}) = 53.04 \times 10^{-20} \ J = 5.304 \times 10^{-19} \ J$.
$h\nu_0 = 5.304 \times 10^{-19} - 2.23 \times 10^{-19} = 3.074 \times 10^{-19} \ J$.
હવે,$\nu_0 = \frac{3.074 \times 10^{-19}}{6.63 \times 10^{-34}} \approx 0.4636 \times 10^{15} \ Hz = 4.64 \times 10^{14} \ Hz$.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,$K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$,જ્યાં $\phi$ એ કાર્ય વિધેય છે.
$\lambda_1 = 400 \ nm$ માટે,$K_1 = \frac{1240}{400} - \phi = 3.1 - \phi$.
$\lambda_2 = 310 \ nm$ માટે,$K_2 = \frac{1240}{310} - \phi = 4.0 - \phi$.
આપેલ છે કે મહત્તમ ગતિઊર્જા બમણી થાય છે,તેથી $K_2 = 2K_1$.
કિંમતો મૂકતા: $4.0 - \phi = 2(3.1 - \phi)$.
$4.0 - \phi = 6.2 - 2\phi$.
$2\phi - \phi = 6.2 - 4.0$.
$\phi = 2.2 \ eV$.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોન જ્યારે પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n=2)$ માંથી ધરા અવસ્થા $(n=1)$ માં સંક્રમણ કરે ત્યારે ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઊર્જા:
$E = E_2 - E_1 = -3.4 \; eV - (-13.6 \; eV) = 10.2 \; eV$.
આઈન્સ્ટાઈનના પ્રકાશ-વિદ્યુત સમીકરણ મુજબ:
$E = \phi + K_{max}$
જ્યાં $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે અને $K_{max} = eV_s$ એ મહત્તમ ગતિઊર્જા છે.
અહીં $V_s = 3.57 \; V$ આપેલ છે,તેથી $K_{max} = 3.57 \; eV$.
કિંમતો મૂકતા:
$10.2 \; eV = \phi + 3.57 \; eV$
$\phi = 10.2 - 3.57 = 6.63 \; eV$.
વર્ક ફંક્શન $\phi = h \nu_0$ દ્વારા પણ મળે છે,જ્યાં $h \approx 4.136 \times 10^{-15} \; eV \cdot s$.
$\nu_0 = \frac{\phi}{h} = \frac{6.63 \; eV}{4.136 \times 10^{-15} \; eV \cdot s} \approx 1.6 \times 10^{15} \; Hz$.

(D) આપેલ છે: દરેક ફોટોનની ઊર્જા $E = 2.5 \ eV$, કાર્ય વિધેય $\Phi_0 = 4.5 \ eV$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર ત્યારે જ થાય છે જો આપાત ફોટોનની ઊર્જા ધાતુના કાર્ય વિધેય કરતાં વધારે અથવા તેના જેટલી હોય $(E \ge \Phi_0)$.
અહીં, $E = 2.5 \ eV$ અને $\Phi_0 = 4.5 \ eV$ છે.
$E < \Phi_0$ હોવાથી, એક ફોટોનની ઊર્જા ધાતુના કાર્ય વિધેયને દૂર કરવા માટે પૂરતી નથી.
તેથી, આપાત ફોટોનની સંખ્યા ગમે તેટલી હોય, પણ ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન શક્ય નથી.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $\frac{1}{2}m\upsilon^2 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$,જ્યાં $\phi = \frac{hc}{\lambda_0}$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
તેથી,$\upsilon = \sqrt{\frac{2hc}{m} \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right)} = \sqrt{\frac{2hc}{m} \left( \frac{\lambda_0 - \lambda}{\lambda \lambda_0} \right)} \dots (1)$
જ્યારે તરંગલંબાઈ બદલીને $\lambda' = \frac{3\lambda}{4}$ કરવામાં આવે,ત્યારે નવો વેગ $\upsilon'$ નીચે મુજબ મળે:
$\upsilon' = \sqrt{\frac{2hc}{m} \left( \frac{\lambda_0 - 3\lambda/4}{(3\lambda/4) \lambda_0} \right)} \dots (2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $(1)$ વડે ભાગતા:
$\frac{\upsilon'}{\upsilon} = \sqrt{\frac{\lambda_0 - 3\lambda/4}{3\lambda/4 \lambda_0} \times \frac{\lambda \lambda_0}{\lambda_0 - \lambda}} = \sqrt{\frac{4}{3} \left( \frac{\lambda_0 - 3\lambda/4}{\lambda_0 - \lambda} \right)}$
અહીં $\lambda_0 - 3\lambda/4 > \lambda_0 - \lambda$ હોવાથી,પદ $\frac{\lambda_0 - 3\lambda/4}{\lambda_0 - \lambda} > 1$ થાય.
તેથી,$\upsilon' > \upsilon \left( \frac{4}{3} \right)^{1/2}$.

(D) આઈન્સ્ટાઈનનું ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ: $K_{\max} = hf - \phi$ છે,જ્યાં $K_{\max}$ એ મહત્તમ ગતિઊર્જા છે,$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$f$ એ આવૃત્તિ છે અને $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
આ સમીકરણને સુરેખ રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = K_{\max}$ અને $x = f$,આપણને ઢાળ $m = h$ મળે છે.
$h$ (પ્લાન્કનો અચળાંક) એ સાર્વત્રિક અચળાંક હોવાથી,આલેખનો ઢાળ બધી ધાતુઓ માટે સમાન રહે છે અને તે આપાત વિકિરણની તીવ્રતાથી સ્વતંત્ર છે.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $h\nu = e V_0 + \phi$,જ્યાં $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
આને આ રીતે લખી શકાય: $\frac{hc}{\lambda} = e V_0 + \phi$ --- $(i)$
બીજા સ્ત્રોત માટે: $\frac{hc}{\lambda'} = e V'_0 + \phi$ --- (ii)
સમીકરણ (ii) માંથી $(i)$ બાદ કરતા:
$e(V'_0 - V_0) = hc \left( \frac{1}{\lambda'} - \frac{1}{\lambda} \right)$
$hc \approx 12400 \ eV \cdot \mathring{A}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$V'_0 - V_0 = \frac{12400}{4272} - \frac{12400}{6402} \approx 2.902 - 1.937 = 0.965 \ V$
$V'_0 = 0.965 + 0.54 = 1.505 \ V \approx 1.51 \ V$.

(D) આપેલ છે: કાર્ય વિધેય $\Phi_0 = 1.6 \times 10^{-19} \text{ J}$,તરંગલંબાઈ $\lambda = 6400 \ \mathring{A} = 6400 \times 10^{-10} \text{ m}$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટો-ઇલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $K_{max} = E - \Phi_0 = \frac{hc}{\lambda} - \Phi_0$.
$h = 6.63 \times 10^{-34} \text{ J s}$ અને $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ લેતા:
$E = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{6400 \times 10^{-10}} \text{ J} = \frac{19.89 \times 10^{-26}}{6.4 \times 10^{-7}} \text{ J} \approx 3.107 \times 10^{-19} \text{ J}$.
$K_{max} = 3.107 \times 10^{-19} - 1.6 \times 10^{-19} \text{ J} = 1.507 \times 10^{-19} \text{ J}$.
નજીકના વિકલ્પને ધ્યાનમાં લેતા,$K_{max} \approx 1.5 \times 10^{-19} \text{ J}$.

(A) આપેલ છે:
થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઇ,$\lambda_0 = 2300 \, \mathring{A}$
આપાત તરંગલંબાઇ,$\lambda = 1800 \, \mathring{A}$
મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K_{\max})$ આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ દ્વારા મળે છે:
$K_{\max} = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$
$hc \approx 12400 \, eV \cdot \mathring{A}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$K_{\max} = 12400 \left( \frac{1}{1800} - \frac{1}{2300} \right) \, eV$
$K_{\max} = 12400 \left( \frac{2300 - 1800}{1800 \times 2300} \right) \, eV$
$K_{\max} = 12400 \left( \frac{500}{1800 \times 2300} \right) \, eV$
$K_{\max} = \frac{124 \times 5}{18 \times 23} \, eV$
$K_{\max} = \frac{620}{414} \, eV \approx 1.497 \, eV$
આમ,મહત્તમ ગતિઊર્જા આશરે $1.5 \, eV$ છે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના પ્રકાશ-વિદ્યુત સમીકરણ મુજબ: $eV_S = \frac{hc}{\lambda} - \phi$,જ્યાં $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
બે અલગ-અલગ તરંગલંબાઈ $\lambda_1 = 4000 \ \mathring{A}$ અને $\lambda_2 = 3600 \ \mathring{A}$ માટે,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ અનુક્રમે $V_{S1}$ અને $V_{S2}$ છે.
$eV_{S1} = \frac{hc}{\lambda_1} - \phi$ અને $eV_{S2} = \frac{hc}{\lambda_2} - \phi$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $e(V_{S2} - V_{S1}) = hc \left( \frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_1} \right)$.
$\Delta V_S = \frac{hc}{e} \left( \frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_1} \right)$.
$hc = 12400 \ \text{eV} \cdot \mathring{A}$ લેતા:
$\Delta V_S = 12400 \left( \frac{1}{3600} - \frac{1}{4000} \right) = 12400 \left( \frac{4000 - 3600}{3600 \times 4000} \right)$.
$\Delta V_S = 12400 \left( \frac{400}{14400000} \right) = \frac{12400}{36000} = \frac{124}{360} \approx 0.344 \ \text{V}$.
તરંગલંબાઈ ઘટવાથી આપાત ફોટોનની ઉર્જા વધે છે,જેનાથી સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલમાં વધારો થાય છે. તેથી,ફેરફાર $+0.34 \ \text{V}$ છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $E_k = \frac{hc}{\lambda} - \phi$,જ્યાં $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
$\lambda_1 = 3000 \ \mathring{A}$ માટે,$E_{k1} = 0.5 \ eV$.
$hc \approx 12400 \ eV \cdot \mathring{A}$ લેતા:
$0.5 = \frac{12400}{3000} - \phi$
$0.5 = 4.13 - \phi \implies \phi = 3.63 \ eV$.
હવે,$\lambda_2 = 2000 \ \mathring{A}$ માટે:
$E_{k2} = \frac{12400}{2000} - 3.63$
$E_{k2} = 6.2 - 3.63 = 2.57 \ eV$.
અહીં $2.57 \ eV > 0.5 \ eV$ હોવાથી,ઉત્સર્જાતા ઈલેક્ટ્રોનની ઊર્જા $0.5 \ eV$ કરતાં વધારે હશે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K_{max})$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$K_{max} = h\nu - \phi_0$
જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$\nu$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે,અને $\phi_0$ એ કેથોડ સપાટીનું કાર્ય વિધેય (work function) છે.
કારણ કે $\phi_0$ એ પદાર્થના સ્વભાવ પર આધાર રાખે છે અને $\nu$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે,તેથી $K_{max}$ એ આવૃત્તિ અને પદાર્થ બંને પર આધાર રાખે છે.
જોકે,$K_{max}$ એ આપાત પ્રકાશની તીવ્રતાથી સ્વતંત્ર છે.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટો ઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટો ઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K_{max})$ નીચે મુજબ છે: $K_{max} = h\nu - \Phi$,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$\nu$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે અને $\Phi$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $(V_s)$ એ મહત્તમ ગતિઊર્જા સાથે $K_{max} = eV_s$ દ્વારા સંબંધિત હોવાથી,આપણને મળે છે: $eV_s = h\nu - \Phi$.
$V_s$ માટે સમીકરણને ગોઠવતા: $V_s = (h/e)\nu - (\Phi/e)$.
આ સમીકરણ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $(V_s)$ અને આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ $(\nu)$ વચ્ચેનો રેખીય સંબંધ દર્શાવે છે,જ્યાં ઢાળ $(h/e)$ છે અને આંતરછેદ $-(\Phi/e)$ છે.
તેથી,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ સાથે રેખીય રીતે વધે છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K_{max})$ નીચે મુજબ મળે છે:
$K_{max} = E - \Phi$
જ્યાં $E$ એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા છે અને $\Phi$ એ ધાતુનું કાર્ય વિધેય છે.
આપેલ છે: $E = 6 \ eV$ અને $\Phi = 2 \ eV$.
કિંમતો મૂકતા:
$K_{max} = 6 \ eV - 2 \ eV = 4 \ eV$.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $(V_0)$ એ સૌથી વધુ ઊર્જા ધરાવતા ઈલેક્ટ્રોનને અટકાવવા માટે જરૂરી ન્યૂનતમ રિવર્સ સ્થિતિમાન છે,જે નીચેના સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$K_{max} = e V_0$
$K_{max} = 4 \ eV$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$e V_0 = 4 \ eV$
$V_0 = 4 \ V$.
તેથી,જરૂરી ન્યૂનતમ રિવર્સ સ્થિતિમાન $4 \ V$ છે.

(B) પદાર્થનું કાર્ય વિધેય $\Phi$ એ $\Phi = \frac{hc}{\lambda_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda_0$ એ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ છે.
પ્રથમ ઉત્સર્જક માટે,$\Phi_1 = \frac{hc}{\lambda_1} = \frac{hc}{300 \ nm}$.
બીજા ઉત્સર્જક માટે,$\Phi_2 = \frac{hc}{\lambda_2} = \frac{hc}{600 \ nm}$.
કાર્ય વિધેયોનો ગુણોત્તર $\frac{\Phi_1}{\Phi_2} = \frac{hc / 300}{hc / 600} = \frac{600}{300} = \frac{2}{1}$ છે.
આમ,ગુણોત્તર $2 : 1$ છે.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$.
આપેલ છે કે $\frac{hc}{\lambda} = 2 \ eV$,તેથી $\frac{1}{2}mv^2 = 2 - \phi$ ---$(1)$
જ્યારે $\lambda' = \lambda - 0.25\lambda = 0.75\lambda = \frac{3}{4}\lambda$ અને $v' = 2v$ થાય,ત્યારે નવું સમીકરણ:
$\frac{1}{2}m(2v)^2 = \frac{hc}{0.75\lambda} - \phi$
$4(\frac{1}{2}mv^2) = \frac{4}{3}(\frac{hc}{\lambda}) - \phi$
$\frac{1}{2}mv^2 = 2 - \phi$ અને $\frac{hc}{\lambda} = 2$ કિંમતો મૂકતા:
$4(2 - \phi) = \frac{4}{3}(2) - \phi$
$8 - 4\phi = \frac{8}{3} - \phi$
$8 - \frac{8}{3} = 3\phi$
$\frac{24 - 8}{3} = 3\phi$
$\frac{16}{3} = 3\phi$
$\phi = \frac{16}{9} \approx 1.777 \ eV \approx 1.8 \ eV$.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $K_{\max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi_0$
આપેલ છે: $\phi_0 = 1 \ eV$, $\lambda = 3000 \ \mathring{A} = 3 \times 10^{-7} \ m$.
આપાત ફોટોનની ઊર્જા $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{3 \times 10^{-7}} \ J = 6.63 \times 10^{-19} \ J$.
તેને $eV$ માં ફેરવતા: $E = \frac{6.63 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \ eV \approx 4.14 \ eV$.
$K_{\max} = 4.14 \ eV - 1 \ eV = 3.14 \ eV = 3.14 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J = 5.024 \times 10^{-19} \ J$.
$K_{\max} = \frac{1}{2} m v_{\max}^2$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં $m = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$:
$v_{\max} = \sqrt{\frac{2 K_{\max}}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 5.024 \times 10^{-19}}{9.1 \times 10^{-31}}} \approx \sqrt{1.104 \times 10^{12}} \approx 1.05 \times 10^6 \ m/s$.
આમ, નજીકનો વિકલ્પ $1 \times 10^6 \ m/s$ છે.

(B) ધારો કે ધાતુનું કાર્ય વિધેય $\Phi = h\nu_0$ છે.
આપાત ફોટોનની ઊર્જા $E_1 = 3\Phi$ અને $E_2 = 9\Phi$ છે.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટો-ઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max} = E - \Phi$ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $K_{\max, 1} = \frac{1}{2}mv_1^2 = 3\Phi - \Phi = 2\Phi$.
બીજા કિસ્સા માટે: $K_{\max, 2} = \frac{1}{2}mv_2^2 = 9\Phi - \Phi = 8\Phi$.
બંને સમીકરણોનો ગુણોત્તર લેતા: $\frac{\frac{1}{2}mv_1^2}{\frac{1}{2}mv_2^2} = \frac{2\Phi}{8\Phi}$.
$\frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{1}{4}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $\frac{v_1}{v_2} = \frac{1}{2}$ મળે છે.

(D) ઉત્સર્જિત ફોટો-ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K_{\max})$ અને સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $(V_0)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$K_{\max} = e V_0$
અહીં આપેલ છે કે મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max} = 4.0 \ eV$ છે.
આ કિંમતને સમીકરણમાં મૂકતા:
$4.0 \ eV = e V_0$
$4.0 \ eV = e \times V_0$
તેથી,$V_0 = 4.0 \ V$.

(A) આપેલ છે: કાર્ય વિધેય $\phi = 6.2 \ eV$,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_S = 5 \ V$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $K_{max} = eV_S = h\nu - \phi$.
તેથી,આપાત ફોટોનની ઊર્જા $E = h\nu = \phi + eV_S$ થશે.
$E = 6.2 \ eV + 5 \ eV = 11.2 \ eV$.
તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટેનું સૂત્ર: $\lambda = \frac{12400 \ \text{eV} \cdot \mathring{A}}{E \text{ (in eV)}}$.
$\lambda = \frac{12400}{11.2} \approx 1107 \ \mathring{A} = 110.7 \ nm$.
આ તરંગલંબાઈ આશરે $110 \ nm$ હોવાથી,જે $10 \ nm$ થી $400 \ nm$ ની વચ્ચે આવે છે,તેથી આ વિકિરણ પારજાંબલી (Ultraviolet) પ્રદેશમાં છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$K_{\max} = E - \phi_0$
જ્યાં $E$ એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા છે અને $\phi_0$ એ વર્ક ફંક્શન (કાર્ય વિધેય) છે.
અહીં $E = 8 \ eV$ આપેલ છે.
વર્ક ફંક્શન $\phi_0 = h f_0$,જ્યાં $f_0 = 1.6 \times 10^{15} \ Hz$.
$\phi_0$ ને $eV$ માં ફેરવતા:
$\phi_0 = \frac{6.6 \times 10^{-34} \times 1.6 \times 10^{15}}{1.6 \times 10^{-19}} \ eV$
$\phi_0 = 6.6 \times 10^{-34+15+19} \ eV = 6.6 \times 10^0 \ eV = 6.6 \ eV$.
હવે,$K_{\max} = 8 \ eV - 6.6 \ eV = 1.4 \ eV$.

(C) આઈન્સ્ટાઈનનું ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ $E_k = hf - \phi_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $hf$ એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા છે અને $\phi_0$ એ ધાતુની સપાટીનું વર્ક ફંક્શન (કાર્ય વિધેય) છે.
આ સમીકરણમાં,$E_k$ એ ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રૉનની મહત્તમ ગતિઊર્જા દર્શાવે છે.
આનું કારણ એ છે કે વર્ક ફંક્શન $\phi_0$ ને ધાતુની સપાટી પરથી ઈલેક્ટ્રૉનને દૂર કરવા માટે જરૂરી ન્યુનતમ ઊર્જા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ધાતુની અંદરથી ઉત્સર્જિત થતા ઈલેક્ટ્રૉન બહાર નીકળતા પહેલા અથડામણને કારણે થોડી ઊર્જા ગુમાવે છે,જેના પરિણામે તેમની ગતિઊર્જા $E_k$ કરતા ઓછી હોય છે.
તેથી,$E_k$ એ સપાટી પરથી ઉત્સર્જિત થતા તે ઈલેક્ટ્રૉન માટે છે જે વધારાની ઊર્જા ગુમાવતા નથી.

(D) આઈનસ્ટાઈનનું ફોટો ઈલેક્ટ્રીક સમીકરણ $K_{max} = h\nu - \phi_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K_{max}$ એ મહત્તમ ગતિ ઊર્જા છે,$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$\nu$ એ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ છે અને $\phi_0$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
આ સમીકરણને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $K_{max} = h\nu - \phi_0$ મળે છે.
અહીં,ઢાળ $m = h$ (પ્લાન્કનો અચળાંક) છે.
પ્લાન્કનો અચળાંક $h$ એ સાર્વત્રિક અચળાંક હોવાથી,આલેખનો ઢાળ બધી જ ધાતુઓ માટે સમાન હોય છે.
વધુમાં,આ ઢાળ આપાત વિકિરણની તીવ્રતાથી સ્વતંત્ર હોય છે.

(D) એક ફોટોનની ઊર્જા $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{5000 \times 10^{-10}} = 3.978 \times 10^{-19} \ J$ છે.
તીવ્રતા $I = 4.68 \ mW/cm^2 = 4.68 \times 10^{-3} \ W / (10^{-4} \ m^2) = 46.8 \ W/m^2$ છે.
એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ એકમ સમયમાં આપાત થતા ફોટોનની સંખ્યા $n_p = \frac{I}{E} = \frac{46.8}{3.978 \times 10^{-19}} \approx 1.176 \times 10^{20} \text{ ફોટોન}/(m^2 \cdot s)$ છે.
એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ એકમ સમયમાં ઉત્સર્જિત થતા ફોટો-ઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $n_e = n_p \times \text{કાર્યક્ષમતા} = 1.176 \times 10^{20} \times 0.05 = 5.88 \times 10^{18} \text{ ઈલેક્ટ્રોન}/(m^2 \cdot s)$ છે.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,નજીકની કિંમત $59 \times 10^{17}$ છે.

(C) આપાત ફોટોનની ઊર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $E = \frac{6.62 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{4100 \times 10^{-10} \times 1.6 \times 10^{-19}} \ eV \approx 3.01 \ eV$.
જો આપાત ઊર્જા $E$ એ ધાતુના વર્ક ફંક્શન $\phi$ કરતા વધારે હોય $(E > \phi)$,તો ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન થાય છે.
ઊર્જા $E = 3.01 \ eV$ ની સરખામણી વર્ક ફંક્શન સાથે કરતા:
ધાતુ $A$ માટે: $3.01 \ eV > 1.92 \ eV$ (ઉત્સર્જન થશે).
ધાતુ $B$ માટે: $3.01 \ eV > 2.0 \ eV$ (ઉત્સર્જન થશે).
ધાતુ $C$ માટે: $3.01 \ eV < 5 \ eV$ (ઉત્સર્જન થશે નહીં).
તેથી,ધાતુ $A$ અને $B$ ફોટોઈલેક્ટ્રોનનું ઉત્સર્જન કરશે.

(A) આપાત ફોટોનની ઊર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $E = \frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{4000 \times 10^{-10}} \ J$.
તેને $eV$ માં ફેરવતા: $E = \frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{4000 \times 10^{-10} \times 1.6 \times 10^{-19}} \ eV \approx 3.09 \ eV$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટો-ઇલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $E = W_0 + K_{max}$.
અહીં સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s = 2 \ V$ આપેલ છે,તેથી મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = e \cdot V_s = 2 \ eV$ થાય.
તેથી,વર્ક ફંક્શન $W_0 = E - K_{max} = 3.09 \ eV - 2 \ eV = 1.09 \ eV$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,$W_0 \approx 1.1 \ eV$.

(D) આપાત ફોટોનની ઊર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $hc = 1240 \ eV \cdot nm$ અને $\lambda = 400 \ nm$ આપેલ છે.
તેથી,$E = \frac{1240}{400} \ eV = 3.1 \ eV$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટો-ઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,$E = \phi + K_{max}$,જ્યાં $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે અને $K_{max}$ એ મહત્તમ ગતિ ઊર્જા છે.
અહીં $K_{max} = 1.68 \ eV$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $3.1 \ eV = \phi + 1.68 \ eV$.
તેથી,$\phi = 3.1 \ eV - 1.68 \ eV = 1.42 \ eV$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $1.41 \ eV$ છે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = E - \phi$ છે,જ્યાં $E$ એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા છે અને $\phi$ એ કાર્યવિધેય છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $K_1 = 3\phi - \phi = 2\phi$. તેથી,$\frac{1}{2}mv_1^2 = 2\phi$.
બીજા કિસ્સા માટે: $K_2 = 9\phi - \phi = 8\phi$. તેથી,$\frac{1}{2}mv_2^2 = 8\phi$.
બંને સમીકરણોનો ગુણોત્તર લેતા: $\frac{\frac{1}{2}mv_2^2}{\frac{1}{2}mv_1^2} = \frac{8\phi}{2\phi} = 4$.
તેથી,$\frac{v_2^2}{v_1^2} = 4$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{v_2}{v_1} = 2$.
અહીં $v_1 = 6 \times 10^6 \ m/s$ લેતા,$v_2 = 2 \times v_1 = 2 \times 6 \times 10^6 = 12 \times 10^6 \ m/s$ મળે છે.

(C) કાર્ય વિધેય $\Phi$ અને થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ $\lambda_0$ વચ્ચેનો સંબંધ $\Phi = \frac{hc}{\lambda_0}$ છે.
અહીં $h$ અને $c$ અચળાંક હોવાથી,કાર્ય વિધેય એ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $\Phi \propto \frac{1}{\lambda_0}$.
આપેલ છે કે $\Phi_1 = 2.3 \ eV$ (સોડિયમ માટે) અને $\Phi_2 = 4.5 \ eV$ (તાંબા માટે).
થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈઓનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{\Phi_2}{\Phi_1}$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{4.5}{2.3} \approx 1.956 \approx 2$.
તેથી,ગુણોત્તર આશરે $2 : 1$ છે.

(B) આપેલ છે: આપાત પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $\lambda = 557 \ nm$,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_S = 0.25 \ V$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટો-ઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi_0 = eV_S$.
અહીં,$\phi_0 = \frac{hc}{\lambda_0}$,જ્યાં $\lambda_0$ એ થ્રેસોલ્ડ તરંગલંબાઈ છે.
તેથી,$\frac{hc}{\lambda_0} = \frac{hc}{\lambda} - eV_S$.
$hc \approx 1240 \ eV \cdot nm$ લેતા:
$\frac{1240}{\lambda_0} = \frac{1240}{557} - 0.25$.
$\frac{1240}{\lambda_0} = 2.226 - 0.25 = 1.976 \ eV$.
$\lambda_0 = \frac{1240}{1.976} \approx 627.5 \ nm$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $626 \ nm$ છે.

(C) આપેલ છે: તરંગલંબાઈ $\lambda = 300 \ nm = 300 \times 10^{-9} \ m$,તીવ્રતા $I = 1.0 \ W/m^2$,ક્ષેત્રફળ $A = 1.0 \ cm^2 = 1.0 \times 10^{-4} \ m^2$,કાર્યક્ષમતા $\eta = 1\% = 0.01$.
સપાટી પર આપાત થતો પાવર $P = I \times A = 1.0 \times 1.0 \times 10^{-4} = 1.0 \times 10^{-4} \ W$.
એક ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{300 \times 10^{-9}} = 6.63 \times 10^{-19} \ J$.
પ્રતિ સેકન્ડ આપાત થતા ફોટોનની સંખ્યા $N_{ph} = \frac{P}{E} = \frac{1.0 \times 10^{-4}}{6.63 \times 10^{-19}} \approx 1.508 \times 10^{14} \ s^{-1}$.
પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જાતા ફોટો-ઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $N_e = N_{ph} \times \eta = 1.508 \times 10^{14} \times 0.01 = 1.508 \times 10^{12} \ s^{-1}$.
આમ,ઉત્સર્જાતા ફોટો-ઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યા આશરે $1.51 \times 10^{12} \ s^{-1}$ છે.

(B) સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $(V_s)$ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ પર આધાર રાખે છે,પ્રકાશની તીવ્રતા પર નહીં.
પ્રકાશના સ્ત્રોતનું અંતર બદલવાથી ફોટોસેલ પર આપાત થતા પ્રકાશની તીવ્રતા બદલાય છે,પરંતુ ફોટોનની આવૃત્તિ બદલાતી નથી.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $eV_s = h\nu - \phi$,જ્યાં $\nu$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે અને $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
અંતર બદલવાથી આવૃત્તિ $\nu$ અચળ રહેતી હોવાથી,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ બદલાતું નથી.
તેથી,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $0.6 \ V$ જ રહેશે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,$eV_0 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$,જેને $V_0 = \frac{hc}{e}(\frac{1}{\lambda}) - \frac{\phi}{e}$ તરીકે લખી શકાય.
આને સુરેખ રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,ઢાળ $m = \frac{hc}{e}$ મળે છે,જે તમામ ધાતુઓ માટે અચળ છે,અને x-અંતઃખંડ $\frac{1}{\lambda_0} = \frac{\phi}{hc}$ છે.
આલેખ પરથી,$(1/\lambda)$ માટે થ્રેશોલ્ડ મૂલ્યો $(1/\lambda)_1 = 0.001$,$(1/\lambda)_2 = 0.002$ અને $(1/\lambda)_3 = 0.004$ છે.
કારણ કે $\phi = hc(1/\lambda_0)$,તેથી $\phi_1 : \phi_2 : \phi_3 = (1/\lambda_0)_1 : (1/\lambda_0)_2 : (1/\lambda_0)_3 = 0.001 : 0.002 : 0.004 = 1 : 2 : 4$.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(C) આપાત ફોટોનની ઊર્જા $E = 8\ eV$ છે.
થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $f_0 = 1.6 \times 10^{15}\ Hz$ છે.
ધાતુનું વર્ક ફંક્શન $\Phi = hf_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Phi = (6.6 \times 10^{-34}\ J\cdot s) \times (1.6 \times 10^{15}\ Hz) = 10.56 \times 10^{-19}\ J$.
વર્ક ફંક્શનને $eV$ માં ફેરવવા માટે,$1.6 \times 10^{-19}\ J/eV$ વડે ભાગતા:
$\Phi = \frac{10.56 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}}\ eV = 6.6\ eV$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિ ઊર્જા $K_{\max} = E - \Phi$ છે.
$K_{\max} = 8\ eV - 6.6\ eV = 1.4\ eV$.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$K_{\max} = hf - \phi_0$
જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$f$ એ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ છે અને $\phi_0$ એ વર્કફંકશન છે.
સૌ પ્રથમ,આપાત ફોટોનની ઊર્જા જૂલ $(J)$ માં ગણો:
$E = hf = (6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s) \times (6 \times 10^{14} \ Hz) = 39.78 \times 10^{-20} \ J$
આ ઊર્જાને ઈલેક્ટ્રોન-વોલ્ટ $(eV)$ માં ફેરવો:
$E_{eV} = \frac{39.78 \times 10^{-20} \ J}{1.6 \times 10^{-19} \ J/eV} = 24.8625 \times 10^{-1} \ eV = 2.48625 \ eV \approx 2.49 \ eV$
હવે,મહત્તમ ગતિઊર્જા શોધો:
$K_{\max} = 2.49 \ eV - 2 \ eV = 0.49 \ eV$.

(D) થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ $\lambda_0$ એ ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન માટે જરૂરી પ્રકાશની મહત્તમ તરંગલંબાઈ છે,જે સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\lambda_0 = \frac{hc}{\phi_0}$.
અહીં,$h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$c = 3 \times 10^8 \ m/s$,અને $\phi_0 = 1.6 \ eV = 1.6 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\lambda_0 = \frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{1.6 \times 1.6 \times 10^{-19}}$
$\lambda_0 = \frac{19.8 \times 10^{-26}}{2.56 \times 10^{-19}}$
$\lambda_0 \approx 7.734 \times 10^{-7} \ m$.
તરંગલંબાઈને $\mathring{A}$ માં ફેરવતા,જ્યાં $1 \ m = 10^{10} \ \mathring{A}$:
$\lambda_0 = 7.734 \times 10^{-7} \times 10^{10} \ \mathring{A} = 7734 \ \mathring{A}$.