Einstein's Photoelectric Equation and Energy Quantum of Radiation Questions in Gujarati

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટો ઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઊર્જા $E_k$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$E_k = h\nu - \Phi_0$
જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$\nu$ એ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ છે,અને $\Phi_0$ એ ધાતુનું કાર્ય વિધેય છે.
આ સમીકરણને સુરેખ રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા:
અહીં,$y = E_k$ ($y$-અક્ષ પર),
$x = \nu$ ($x$-અક્ષ પર),
$m = h$ (રેખાનો ઢાળ),
$c = -\Phi_0$ ($y$-અંતઃખંડ).
તેથી,આલેખનો ઢાળ પ્લાન્કનો અચળાંક $h$ જેટલો થાય છે.

(A) કાર્ય વિધેય $\Phi_0 = 4.25 \ eV$ આપેલ છે.
થ્રેસોલ્ડ તરંગલંબાઈ $\lambda_0$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $\lambda_0 = \frac{hc}{\Phi_0}$ છે.
$hc \approx 1240 \ eV \cdot nm$ લેતા:
$\lambda_0 = \frac{1240 \ eV \cdot nm}{4.25 \ eV} \approx 291.76 \ nm$.
દ્રશ્યમાન પ્રકાશનો વિસ્તાર આશરે $400 \ nm$ થી $700 \ nm$ હોય છે.
અહીં $291.76 \ nm < 400 \ nm$ હોવાથી,થ્રેસોલ્ડ તરંગલંબાઈ પારજાંબલી (Ultraviolet) પ્રદેશમાં આવે છે.

(C) ધાતુનું કાર્ય વિધેય $(\Phi_0)$ એટલે ધાતુની સપાટીમાંથી ઈલેક્ટ્રોનને મુક્ત કરવા માટે જરૂરી ન્યૂનતમ ઊર્જા.
આ ધાતુની સપાટીનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ છે અને તે પદાર્થના પ્રકાર પર આધાર રાખે છે.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ:
$h\nu = W_0 + K_{\max}$
અહીં $K_{\max} = eV_0$ હોવાથી, આપણને મળે છે:
$eV_0 = h\nu - W_0$
$V_0 = (\frac{h}{e})\nu - \frac{W_0}{e}$
આ સમીકરણ $y = mx + c$ પ્રકારની સીધી રેખાનું સમીકરણ છે, જ્યાં ઢાળ $m = \frac{h}{e}$ (જે ધન છે) અને y-અંતઃખંડ $c = -\frac{W_0}{e}$ (જે ઋણ છે).
આલેખ $D$ એક એવી સીધી રેખા દર્શાવે છે જેનો ઢાળ ધન છે અને y-અંતઃખંડ ઋણ છે, જે સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ અને આવૃત્તિ વચ્ચેનો સંબંધ યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(B) પ્રકાશ પુંજની તીવ્રતા $I$ એટલે એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ અને એકમ સમયમાં આપાત થતી ઉર્જા. અહીં બંને પુંજની તીવ્રતા સમાન $(I_A = I_B)$ હોવાથી,એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ પાવર $P$ સમાન રહેશે.
એકમ સમયમાં આપાત થતા ફોટોનની સંખ્યા $N = P / E$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $E = hc / \lambda$ એ એક ફોટોનની ઉર્જા છે.
તેથી,$N = P\lambda / hc$.
ઉત્સર્જિત ફોટો-ઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યા એ આપાત ફોટોનની સંખ્યાના સમપ્રમાણમાં હોય છે (ધારી લઈએ કે દરેક ફોટોન એક ઈલેક્ટ્રોન ઉત્સર્જિત કરે છે),તેથી પુંજ $A$ અને $B$ દ્વારા ઉત્સર્જિત ફોટો-ઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યાનો ગુણોત્તર:
$\frac{N_A}{N_B} = \frac{P_A \lambda_A / hc}{P_B \lambda_B / hc} = \frac{\lambda_A}{\lambda_B}$ (કારણ કે $P_A = P_B$).

(C) આપાત ફોટોનની ઊર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $E = \frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{332 \times 10^{-9}} \ J$.
આ ઊર્જાને $eV$ માં ફેરવતા: $E = \frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{332 \times 10^{-9} \times 1.6 \times 10^{-19}} \ eV \approx 3.73 \ eV$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $K_{max} = E - \phi_0$,જ્યાં $\phi_0 = 1.07 \ eV$.
$K_{max} = 3.73 \ eV - 1.07 \ eV = 2.66 \ eV$.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0$ એ મહત્તમ ગતિઊર્જા સાથે $K_{max} = eV_0$ દ્વારા સંબંધિત છે.
તેથી,$V_0 = 2.66 \ V$.

(C) ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસરમાં,દર સેકંડે ઉત્સર્જાતા ફોટોઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $(n)$ એ આપાત પ્રકાશની તીવ્રતાના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,જો તીવ્રતા બમણી કરવામાં આવે,તો દર સેકંડે ઉત્સર્જાતા ફોટોઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $(n)$ પણ બમણી થશે.
જો કે,ઉત્સર્જાતા ફોટોઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K_{max})$ માત્ર આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ અને પદાર્થના વર્ક ફંક્શન પર આધાર રાખે છે,પ્રકાશની તીવ્રતા પર નહીં.
આમ,$K_{max}$ નું મૂલ્ય બદલાશે નહીં.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જાતા ફોટોઈલેક્ટ્રૉનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K_{max})$ એ $K_{max} = h\nu - \Phi_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h\nu = 6 \ eV$ એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા છે અને $\Phi_0 = 4 \ eV$ એ વર્કફંકશન છે.
આમ,$K_{max} = 6 \ eV - 4 \ eV = 2 \ eV$ મળે છે.
જોકે,ફોટોઈલેક્ટ્રૉન $0$ થી $K_{max}$ સુધીની ગતિઊર્જા સાથે ઉત્સર્જિત થાય છે,કારણ કે સપાટીમાંથી બહાર નીકળતા પહેલા કેટલાક ઈલેક્ટ્રૉન અથડામણને કારણે ઊર્જા ગુમાવે છે.
તેથી,ઉત્સર્જાતા ફોટોઈલેક્ટ્રૉનની લઘુતમ ગતિઊર્જા હંમેશા $0 \ eV$ હોય છે.

(C) આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = h v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે.
ધાતુની સપાટીનું વર્ક ફંક્શન $\phi$ એ $\phi = h v_0$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે,જ્યાં $v_0$ એ થ્રેસોલ્ડ આવૃત્તિ છે.
ફોટો ઇલેક્ટ્રોનના ઉત્સર્જન માટે,આપાત ફોટોનની ઉર્જા ધાતુની સપાટીના વર્ક ફંક્શન કરતા વધારે અથવા તેના જેટલી હોવી જોઈએ $(E \geq \phi)$.
આ સમીકરણો મૂકતા,આપણને $h v \geq h v_0$ મળે છે.
તેથી,ફોટો ઇલેક્ટ્રોનના ઉત્સર્જન માટેની શરત $v \geq v_0$ છે.

(C) પદાર્થનું વર્કફંક્શન $\phi = 4.0 \ eV$ છે.
ફોટો-ઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન માટે,આપાત ફોટોનની ઉર્જા વર્કફંક્શન જેટલી અથવા તેનાથી વધુ હોવી જોઈએ,એટલે કે $E \ge \phi$.
થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ $\lambda_0$ માટેનું સૂત્ર $\phi = \frac{hc}{\lambda_0}$ છે.
અહીં $hc \approx 1240 \ eV \cdot nm$ લેતા:
$\lambda_0 = \frac{1240 \ eV \cdot nm}{4.0 \ eV} = 310 \ nm$.
આમ,ફોટો-ઈલેક્ટ્રોનના ઉત્સર્જન માટે જરૂરી પ્રકાશની મહત્તમ તરંગલંબાઈ $310 \ nm$ છે.

(C) આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{12400}{\lambda (\mathring A \text{ માં})} \ eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\lambda_1 = 2500 \ \mathring A$ માટે,$E_1 = \frac{12400}{2500} = 4.96 \ eV$.
મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $K_1 = E_1 - \Phi = 4.96 - 2 = 2.96 \ eV$.
આથી,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_{s1} = 2.96 \ V$.
$\lambda_2 = 5000 \ \mathring A$ માટે,$E_2 = \frac{12400}{5000} = 2.48 \ eV$.
મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $K_2 = E_2 - \Phi = 2.48 - 2 = 0.48 \ eV$.
આથી,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_{s2} = 0.48 \ V$.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલનો ગુણોત્તર $\frac{V_{s1}}{V_{s2}} = \frac{2.96}{0.48} \approx 6.16$.
નજીકના પૂર્ણાંક વિકલ્પ મુજબ,ગુણોત્તર $6:1$ છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $K_{max} = h\nu - \phi_0$.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ અને મહત્તમ ગતિઊર્જા વચ્ચેનો સંબંધ $K_{max} = eV_s$ હોવાથી,આપણને મળે છે $eV_s = h\nu - \phi_0$.
બંને બાજુ $e$ વડે ભાગતા,$V_s = (h/e)\nu - (\phi_0/e)$ મળે છે.
આ સમીકરણને સુરેખ રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = V_s$ અને $x = \nu$ છે,તેથી ઢાળ $m = h/e$ મળે છે.

(D) વર્ક ફંકશન $W_0$ અને થ્રેસોલ્ડ આવૃત્તિ $\nu_0$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $W_0 = h\nu_0$.
અહીં,$W_0 = 2.51 \ eV = 2.51 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J$.
પ્લાન્કનો અચળાંક $h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \cdot s$ લેતા.
કિંમતો મૂકતા: $\nu_0 = \frac{W_0}{h} = \frac{2.51 \times 1.6 \times 10^{-19}}{6.6 \times 10^{-34}}$.
$\nu_0 = 6.08 \times 10^{14} \ Hz$.

(D) આપેલ છે: તરંગલંબાઇ $\lambda = 2271 \ \mathring A = 2271 \times 10^{-10} \ m$,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0 = 1.3 \ V$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ:
$h\nu = \phi_0 + eV_0$
$\phi_0 = \frac{hc}{\lambda} - eV_0$
સંબંધ $\frac{hc}{\lambda} \approx \frac{12400}{\lambda (\text{in } \mathring A)} \ eV$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\phi_0 = \frac{12400}{2271} \ eV - 1.3 \ eV$
$\phi_0 \approx 5.46 \ eV - 1.3 \ eV$
$\phi_0 \approx 4.16 \ eV \approx 4.2 \ eV$.

(A) આપેલ છે: તરંગલંબાઈ $\lambda = 3000\ \mathring A$,કાર્ય વિધેય $\Phi = 2.6\ eV$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $K_{max} = E - \Phi$.
આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ છે.
$hc \approx 12400\ eV\cdot\mathring A$ લેતા,$E = \frac{12400}{3000} \approx 4.133\ eV$ મળે છે.
હવે,$K_{max} = 4.133\ eV - 2.6\ eV = 1.533\ eV$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,$K_{max} \approx 1.53\ eV$.

(B) થ્રેસોલ્ડ તરંગલંબાઈ $\lambda_0$ અને વર્ક ફંક્શન $\Phi_0$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $\lambda_0 = \frac{hc}{\Phi_0}$.
સંબંધ $\lambda_0 (\mathring{A} \text{ માં}) \approx \frac{12375}{\Phi_0 (eV \text{ માં})}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપેલ વર્ક ફંક્શનની કિંમત મૂકતા:
$\lambda_0 = \frac{12375}{6.825} \approx 1813 \ \mathring{A}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત લેતા,$\lambda_0 \approx 1800 \ \mathring{A}$ મળે છે.

(A) આપેલ વિદ્યુત ક્ષેત્રનું સમીકરણ $E = E_0 \sin [1.57 \times 10^7 (x - ct)]$ છે.
આને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $E = E_0 \sin (kx - \omega t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = c \times 1.57 \times 10^7 \text{ rad/s}$ મળે છે.
$\omega = 2\pi f$ હોવાથી,આવૃત્તિ $f = \frac{c \times 1.57 \times 10^7}{2\pi}$ થાય.
આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E_{ph} = hf = \frac{h \times c \times 1.57 \times 10^7}{2\pi}$ છે.
$h = 6.63 \times 10^{-34} \text{ J s}$ અને $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ કિંમતો મૂકતા:
$E_{ph} (\text{eV માં}) = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8 \times 1.57 \times 10^7}{2 \times 3.14 \times 1.6 \times 10^{-19}} \approx 3.1 \text{ eV}$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $eV_s = E_{ph} - \Phi$,જ્યાં $\Phi = 1.9 \text{ eV}$ એ કાર્ય વિધેય છે.
$eV_s = 3.1 \text{ eV} - 1.9 \text{ eV} = 1.2 \text{ eV}$.
તેથી,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s = 1.2 \text{ V}$ થશે.

(D) કાર્ય વિધેય $\Phi$ અને થ્રેસોલ્ડ તરંગલંબાઈ $\lambda_0$ વચ્ચેનો સંબંધ $\Phi = \frac{hc}{\lambda_0}$ છે.
અહીં $h$ અને $c$ અચળ હોવાથી,$\Phi \propto \frac{1}{\lambda_0}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\Phi_1 \lambda_1 = \Phi_2 \lambda_2$.
સોડિયમ માટે: $\Phi_{Na} = 2.53 \ eV$ અને $\lambda_{Na} = 5896 \ \mathring{A}$.
ટંગસ્ટન માટે: $\Phi_W = 5.06 \ eV$.
સંબંધ $\lambda_W = \frac{\Phi_{Na} \times \lambda_{Na}}{\Phi_W}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lambda_W = \frac{2.53 \times 5896}{5.06}$.
અહીં $\frac{5.06}{2.53} = 2$ હોવાથી,$\lambda_W = \frac{5896}{2} = 2948 \ \mathring{A}$ મળે છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનનું ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ પર આધારિત છે.
જ્યારે $E = h\nu$ ઉર્જા ધરાવતો ફોટોન ધાતુની સપાટી પર આપાત થાય છે,ત્યારે આ ઉર્જાનો અમુક ભાગ ધાતુના વર્ક ફંક્શન $(\phi_0)$ ને દૂર કરવા માટે વપરાય છે અને બાકીની ઉર્જા ઉત્સર્જિત ઈલેક્ટ્રોનને તેની મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $(K.E._{max})$ તરીકે મળે છે.
આ સમીકરણ આ મુજબ છે: $h\nu = K.E._{max} + \phi_0$.
તેને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $K.E._{max} = h\nu - \phi_0$.

(C) જેમ ફોટોઈલેક્ટ્રોન ઉત્સર્જિત થાય છે,તેમ ગોળો ધન વીજભારિત બને છે. ઉત્સર્જન ત્યારે અટકે છે જ્યારે ગોળાનું સ્થિતિમાન $V$ એવું હોય કે ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા સ્થિતવિદ્યુત સ્થિતિમાનની વિરુદ્ધ કરેલા કાર્ય જેટલી થાય.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$.
ઉત્સર્જન ત્યારે અટકે છે જ્યારે $eV = K_{max}$,જ્યાં $V$ એ ગોળાનું સ્થિતિમાન છે.
આમ,$V = \frac{hc}{e} \left[ \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right]$.
$a$ ત્રિજ્યાના ગોળા પરનો વીજભાર $Q = CV = (4\pi \epsilon_0 a) V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$V$ ની કિંમત મૂકતા: $Q = 4\pi \epsilon_0 a \cdot \frac{hc}{e} \left[ \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right]$.
ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $n = \frac{Q}{e} = \frac{4\pi \epsilon_0 ahc}{e^2} \left[ \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right]$ થાય.

(C) થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઇ $\lambda_0$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $\lambda_0 = \frac{hc}{W_0}$ છે.
$\lambda_0 (\mathring{A} \text{ માં}) \approx \frac{12400}{W_0 (eV \text{ માં})}$ સંબંધનો ઉપયોગ કરતા:
$\lambda_0 = \frac{12400}{4.0} = 3100 \ \mathring{A}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \ nm = 10 \ \mathring{A}$,તેથી:
$\lambda_0 = \frac{3100}{10} \ nm = 310 \ nm$.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $E = \Phi + K_{max}$,જ્યાં $E$ એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા છે,$\Phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે,અને $K_{max}$ એ ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા છે.
આપેલ છે: $E = 6 \ eV$ અને $\Phi = 2.1 \ eV$.
કિંમતો મૂકતા: $6 \ eV = 2.1 \ eV + K_{max}$.
તેથી,$K_{max} = 6 - 2.1 = 3.9 \ eV$.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0$ એ મહત્તમ ગતિઊર્જા સાથે $K_{max} = e V_0$ સંબંધ દ્વારા જોડાયેલ છે.
આમ,$V_0 = \frac{K_{max}}{e} = \frac{3.9 \ eV}{e} = 3.9 \ V$.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ એ એનોડ પર લાગુ પાડવામાં આવતો ઋણ પોટેન્શિયલ છે જે સૌથી વધુ ઊર્જા ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોનને રોકે છે,તેથી તેને $-3.9 \ V$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$eV_0 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$,જ્યાં $\phi = \frac{hc}{\lambda_0}$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
તેથી,$V_0 = \frac{hc}{e} \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right)$.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $4.8 = \frac{hc}{e} \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right)$ --- $(i)$
બીજા કિસ્સા માટે: $1.6 = \frac{hc}{e} \left( \frac{1}{2\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right)$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{4.8}{1.6} = \frac{\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}}{\frac{1}{2\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}}$
$3 = \frac{\frac{\lambda_0 - \lambda}{\lambda \lambda_0}}{\frac{\lambda_0 - 2\lambda}{2\lambda \lambda_0}}$
$3 = \frac{2(\lambda_0 - \lambda)}{\lambda_0 - 2\lambda}$
$3\lambda_0 - 6\lambda = 2\lambda_0 - 2\lambda$
$\lambda_0 = 4\lambda$.

(C) વર્ક ફંકશન $W_0$ એ $W_0 = h \nu_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $\nu_0$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ છે.
આપેલ છે કે $W_0 = 1.65 \ eV = 1.65 \times 1.602 \times 10^{-19} \ J$.
$h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\nu_0 = \frac{W_0}{h}$.
$\nu_0 = \frac{1.65 \times 1.602 \times 10^{-19}}{6.626 \times 10^{-34}} \approx 3.99 \times 10^{14} \ Hz \approx 4 \times 10^{14} \ Hz$.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટો-ઇલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max}$ એ $K_{\max} = E - W_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા છે અને $W_0$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
પ્રથમ ફોટોન માટે: $E_1 = 1 \ eV$,$W_0 = 0.5 \ eV$.
$(K_{\max})_1 = 1 \ eV - 0.5 \ eV = 0.5 \ eV$.
બીજા ફોટોન માટે: $E_2 = 2.5 \ eV$,$W_0 = 0.5 \ eV$.
$(K_{\max})_2 = 2.5 \ eV - 0.5 \ eV = 2.0 \ eV$.
મહત્તમ ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{(K_{\max})_1}{(K_{\max})_2} = \frac{0.5 \ eV}{2.0 \ eV} = \frac{1}{4}$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $1:4$ છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max} = h\nu - h\nu_0$ છે,જ્યાં $\nu_0$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ છે.
આવૃત્તિ ${\nu _1}$ માટે,$K_1 = h({\nu _1} - {\nu _0})$.
આવૃત્તિ ${\nu _2}$ માટે,$K_2 = h({\nu _2} - {\nu _0})$.
ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $1:k$ આપેલ હોવાથી,$\frac{K_1}{K_2} = \frac{1}{k}$.
સમીકરણો મૂકતા: $\frac{h({\nu _1} - {\nu _0})}{h({\nu _2} - {\nu _0})} = \frac{1}{k}$.
$k({\nu _1} - {\nu _0}) = {\nu _2} - {\nu _0}$.
$k{\nu _1} - k{\nu _0} = {\nu _2} - {\nu _0}$.
$k{\nu _1} - {\nu _2} = {\nu _0}(k - 1)$.
તેથી,થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ ${\nu _0} = \frac{{k{\nu _1} - {\nu _2}}}{{k - 1}}$ થાય.

(C) આપાત ફોટોનની ઊર્જા $E = h\nu$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$ નો ઉપયોગ કરીને અને તેને $eV$ માં રૂપાંતરિત કરતા $(1 \ eV = 1.6 \times 10^{-19} \ J)$:
$E = \frac{6.626 \times 10^{-34} \times 8 \times 10^{15}}{1.6 \times 10^{-19}} \ eV = 33.13 \ eV \approx 33 \ eV$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટો-ઇલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $E = W_0 + K_{max}$.
$K_{max} = E - W_0 = 33.13 \ eV - 6.125 \ eV = 27.005 \ eV$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં ગણતા,ગતિઊર્જા $27 \ eV$ મળે છે.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,$E = W_0 + K_{\max}$.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $\frac{hc}{\lambda_1} = W_0 + \frac{1}{2}mv^2$ --- $(i)$
બીજા કિસ્સા માટે: $\frac{hc}{\lambda_2} = W_0 + \frac{1}{2}m(2v)^2 = W_0 + 2mv^2$ --- $(ii)$
$(i)$ પરથી,$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{hc}{400 \times 10^{-9}} - W_0$. તેથી,$mv^2 = 2\left(\frac{hc}{400 \times 10^{-9}} - W_0\right)$.
$mv^2$ ની કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$\frac{hc}{250 \times 10^{-9}} = W_0 + 2 \times 2 \left(\frac{hc}{400 \times 10^{-9}} - W_0\right)$
$\frac{hc}{250 \times 10^{-9}} = W_0 + \frac{hc}{100 \times 10^{-9}} - 4W_0$
$3W_0 = hc \left(\frac{1}{100 \times 10^{-9}} - \frac{1}{250 \times 10^{-9}}\right)$
$3W_0 = hc \left(\frac{2.5 - 1}{250 \times 10^{-9}}\right) = hc \left(\frac{1.5}{250 \times 10^{-9}}\right) = hc \times 0.006 \times 10^9 = 0.5hc \times 10^6 \ J$.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max} = h\nu - W_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધાતુ $A$ માટે: $K_A = hf - W_A$.
ધાતુ $B$ માટે: $K_B = h(2f) - W_B$.
વર્ક ફંક્શનનો ગુણોત્તર $\frac{W_A}{W_B} = \frac{1}{2}$ આપેલ છે,ધારો કે $W_A = W$ અને $W_B = 2W$.
જો આપણે ધારીએ કે $hf = 2W$ છે,તો:
$K_A = 2W - W = W$.
$K_B = h(2f) - 2W = 2(2W) - 2W = 4W - 2W = 2W$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{K_A}{K_B} = \frac{W}{2W} = 1:2$ થાય.

(B) ફોટો-ઇલેક્ટ્રોનનો સ્ટોપિંગ વોલ્ટેજ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ પર આધાર રાખે છે,પ્રકાશની તીવ્રતા પર નહીં.
ઉદ્ગમનું ફોટોસેલથી અંતર બદલવાથી માત્ર આપાત પ્રકાશની તીવ્રતા (એકમ સમયમાં એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ ફોટોનની સંખ્યા) બદલાય છે.
તેનાથી વ્યક્તિગત ફોટોનની ઊર્જા કે પ્રકાશની આવૃત્તિમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
તેથી,ઉત્સર્જિત ફોટો-ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા સમાન રહે છે.
સ્ટોપિંગ વોલ્ટેજ એ મહત્તમ ગતિઊર્જા સાથે સીધો સંબંધિત હોવાથી $(eV_s = K_{max})$,સ્ટોપિંગ વોલ્ટેજમાં કોઈ ફેરફાર થશે નહીં.
આમ,સ્ટોપિંગ વોલ્ટેજ $0.6 \ V$ જ રહેશે.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $E = W_0 + K_{\max}$,જ્યાં $K_{\max} = \frac{1}{2}mv_{\max}^2$.
તેથી,$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{hc}{\lambda} - W_0$,જે સૂચવે છે કે $v = \sqrt{\frac{2}{m} (\frac{hc}{\lambda} - W_0)}$.
નવી તરંગલંબાઇ $\lambda' = \frac{3\lambda}{4}$ માટે,નવી ઉર્જા $E' = \frac{hc}{\lambda'} = \frac{hc}{3\lambda/4} = \frac{4}{3}E$ થશે.
નવો મહત્તમ વેગ $v'$ એ $v' = \sqrt{\frac{2}{m} (\frac{4}{3}E - W_0)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આને આપણે $v' = \sqrt{\frac{4}{3} \cdot \frac{2}{m} (E - \frac{3}{4}W_0)}$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ.
કારણ કે $W_0 > \frac{3}{4}W_0$,તેથી $(E - \frac{3}{4}W_0) > (E - W_0)$ થાય.
તેથી,$v' > \sqrt{\frac{4}{3}} \cdot \sqrt{\frac{2}{m}(E - W_0)}$,જેનું સાદું રૂપ $v' > v(4/3)^{1/2}$ થાય છે.

(A) ધારો કે $f$ અને $2f$ આવૃત્તિ ધરાવતા આપાત પ્રકાશ માટે ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા અનુક્રમે $K$ અને $K^{\prime}$ છે.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ:
$K = hf - E_0$ ....... $(i)$
બમણી આવૃત્તિ $2f$ માટે,નવી મહત્તમ ગતિઊર્જા $K^{\prime}$ નીચે મુજબ છે:
$K^{\prime} = h(2f) - E_0$ ...... $(ii)$
આપણે સમીકરણ $(ii)$ ને આ રીતે લખી શકીએ:
$K^{\prime} = 2hf - E_0$
$K^{\prime} = hf + hf - E_0$
સમીકરણ $(i)$ પરથી $hf = K + E_0$ ની કિંમત મૂકતા:
$K^{\prime} = (K + E_0) + hf - E_0$
$K^{\prime} = K + hf$

(C) કાર્ય વિધેય $\Phi = 6.2\, eV$ આપેલ છે.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s = 5\, V$ છે,તેથી મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max} = e V_s = 5\, eV$ થાય.
આઈન્સ્ટાઈનના પ્રકાશ-વિદ્યુત સમીકરણ મુજબ,આપાત ફોટોનની ઊર્જા $E = \Phi + K_{\max} = 6.2\, eV + 5\, eV = 11.2\, eV$ છે.
તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{hc}{E}$ દ્વારા મળે છે. $hc \approx 12400\, eV\cdot\mathring{A}$ લેતા,$\lambda = \frac{12400}{11.2} \approx 1107\, \mathring{A}$ મળે.
આ તરંગલંબાઇ $1107\, \mathring{A}$ એ $100\, \mathring{A}$ થી $4000\, \mathring{A}$ ની વચ્ચે હોવાથી,તે અલ્ટ્રાવાયોલેટ વિસ્તારમાં આવે છે.

(B) આપેલ છે:
આપાત તરંગલંબાઈ,$\lambda = 200 \, nm$
વર્ક ફંક્શન,$\phi_{0} = 5.01 \, eV$
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ:
$K_{max} = E - \phi_{0}$
$e V_{s} = \frac{hc}{\lambda} - \phi_{0}$
$hc \approx 1240 \, eV \cdot nm$ સંબંધનો ઉપયોગ કરતા:
$e V_{s} = \frac{1240 \, eV \cdot nm}{200 \, nm} - 5.01 \, eV$
$e V_{s} = 6.2 \, eV - 5.01 \, eV = 1.19 \, eV \approx 1.2 \, eV$
આમ,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_{s} = 1.2 \, V$ છે.
ફોટોઈલેક્ટ્રોનને રોકવા માટે લાગુ પાડવો પડતો પોટેન્શિયલ તફાવત એ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલનું ઋણ મૂલ્ય છે,જે $-1.2 \, V$ છે.

(D) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = \frac{-13.6}{n^2} \, eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન $n = 3$ થી $n = 1$ માં કૂદકો મારે ત્યારે મુક્ત થતી ઉર્જા:
$E = E_3 - E_1 = \left( \frac{-13.6}{3^2} \right) - \left( \frac{-13.6}{1^2} \right) = -1.51 + 13.6 = 12.09 \, eV \approx 12.1 \, eV$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $K_{max} = E - \phi_0$ છે,જ્યાં $\phi_0$ એ કાર્ય વિધેય છે.
આપેલ છે કે $\phi_0 = 5.1 \, eV$,તેથી:
$K_{max} = 12.1 \, eV - 5.1 \, eV = 7.0 \, eV$.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0$ એ મહત્તમ ગતિ ઉર્જા સાથે $K_{max} = eV_0$ દ્વારા સંબંધિત છે.
તેથી,$V_0 = 7.0 \, V$.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ:
$e V_{0} = h \nu - h \nu_{0}$
જ્યાં,
$\nu = 8.20 \times 10^{14} \text{ Hz}$ (આપાત આવૃત્તિ)
$\nu_{0} = 3.3 \times 10^{14} \text{ Hz}$ (થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ)
$h = 6.63 \times 10^{-34} \text{ J s}$ (પ્લાન્કનો અચળાંક)
$e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$ (ઈલેક્ટ્રોનનો વીજભાર)
$V_{0}$ એ કટ-ઓફ (સ્ટોપિંગ) પોટેન્શિયલ છે.
$V_{0}$ માટે સમીકરણને ગોઠવતા:
$V_{0} = \frac{h}{e} (\nu - \nu_{0})$
કિંમતો મૂકતા:
$V_{0} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{1.6 \times 10^{-19}} (8.20 \times 10^{14} - 3.3 \times 10^{14})$
$V_{0} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{1.6 \times 10^{-19}} (4.9 \times 10^{14})$
$V_{0} = \frac{6.63 \times 4.9}{1.6} \times 10^{-1}$
$V_{0} \approx 2.03 \text{ V}$
આમ,કટ-ઓફ વોલ્ટેજ આશરે $2 \text{ V}$ છે.

(C) સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_{s}$ અને ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\text{max}}$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$K_{\text{max}} = e V_{s}$
અહીં આપેલ છે કે મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\text{max}} = 0.5\, eV$,તેથી સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$0.5\, eV = e V_{s}$
બંને બાજુએ પ્રાથમિક વિદ્યુતભાર $e$ વડે ભાગતા:
$V_{s} = 0.5\, V$
આમ,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $0.5\, V$ છે.

(C) અહીં,વર્ક ફંક્શન $\phi_{0} = 0.5 \; eV$ છે.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $K_{\max} = E - \phi_{0}$ છે,જ્યાં $E$ એ આપાત ફોટોનની ઉર્જા છે.
પ્રથમ વિકિરણ માટે,$E_{1} = 1 \; eV$:
$K_{\max 1} = 1 \; eV - 0.5 \; eV = 0.5 \; eV$.
બીજા વિકિરણ માટે,$E_{2} = 2.5 \; eV$:
$K_{\max 2} = 2.5 \; eV - 0.5 \; eV = 2 \; eV$.
ગતિ ઉર્જા અને મહત્તમ ઝડપ $v_{\max}$ વચ્ચેનો સંબંધ $K_{\max} = \frac{1}{2} m v_{\max}^2$ છે.
તેથી,મહત્તમ ઝડપનો ગુણોત્તર:
$\frac{v_{\max 1}}{v_{\max 2}} = \sqrt{\frac{K_{\max 1}}{K_{\max 2}}} = \sqrt{\frac{0.5}{2}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
આમ,ગુણોત્તર $1:2$ છે.

(C) ધાતુનું વર્ક ફંક્શન $\phi = h\nu$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\nu$ એ કટ-ઓફ (થ્રેશોલ્ડ) આવૃત્તિ છે.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max} = E - \phi$ છે.
અહીં,આપાત આવૃત્તિ $2\nu$ છે,તેથી આપાત ઊર્જા $E = h(2\nu) = 2h\nu$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $K_{\max} = 2h\nu - h\nu = h\nu$ મળે છે.
કારણ કે $K_{\max} = \frac{1}{2}mv_{\max}^2$,તેથી $\frac{1}{2}mv_{\max}^2 = h\nu$ થાય.
$v_{\max}$ માટે ઉકેલતા,$v_{\max}^2 = \frac{2h\nu}{m}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $v_{\max} = \sqrt{\frac{2h\nu}{m}}$.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની ગતિ ઉર્જા $K = E - \phi_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ આપાત વિકિરણની ઉર્જા છે અને $\phi_0$ એ ધાતુનું કાર્ય વિધેય છે.
શરૂઆતમાં,આપાત વિકિરણની ઉર્જા $E$ છે. આપેલ છે કે $K_1 = 0.5\, eV$,તેથી:
$0.5 = E - \phi_0$ ..... $(i)$
જ્યારે આપાત વિકિરણની ઉર્જામાં $20\%$ નો વધારો થાય છે,ત્યારે નવી ઉર્જા $E' = E + 0.2E = 1.2E$ થાય છે. નવી ગતિ ઉર્જા $K_2 = 0.8\, eV$ છે. તેથી:
$0.8 = 1.2E - \phi_0$ ..... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ પરથી,આપણને $E = 0.5 + \phi_0$ મળે છે. આ કિંમતને સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$0.8 = 1.2(0.5 + \phi_0) - \phi_0$
$0.8 = 0.6 + 1.2\phi_0 - \phi_0$
$0.8 - 0.6 = 0.2\phi_0$
$0.2 = 0.2\phi_0$
$\phi_0 = 1.0\, eV$.

(B) ધારો કે પદાર્થની સપાટીનું વર્ક ફંક્શન $\phi_{0}$ છે. આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,પ્રથમ કિસ્સામાં ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max 1} = \frac{hc}{\lambda} - \phi_{0}$ છે.
બીજા કિસ્સામાં,તરંગલંબાઈ $\lambda/2$ છે,તેથી મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max 2} = \frac{hc}{\lambda/2} - \phi_{0} = \frac{2hc}{\lambda} - \phi_{0}$ છે.
આપેલ છે કે $K_{\max 2} = 3 K_{\max 1}$,તેથી કિંમતો મૂકતા:
$\frac{2hc}{\lambda} - \phi_{0} = 3 \left( \frac{hc}{\lambda} - \phi_{0} \right)$.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $\frac{2hc}{\lambda} - \phi_{0} = \frac{3hc}{\lambda} - 3\phi_{0}$.
પદોને ગોઠવતા: $3\phi_{0} - \phi_{0} = \frac{3hc}{\lambda} - \frac{2hc}{\lambda}$.
$2\phi_{0} = \frac{hc}{\lambda}$.
તેથી,વર્ક ફંક્શન $\phi_{0} = \frac{hc}{2\lambda}$ મળે છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટો-ઇલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = eV_s = \frac{hc}{\lambda} - \phi_0$,જ્યાં $\phi_0$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
કિસ્સો $(i)$: $\lambda$ તરંગલંબાઈ માટે,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $3V_0$ છે:
$3eV_0 = \frac{hc}{\lambda} - \phi_0$ ......... $(1)$
કિસ્સો $(ii)$: $2\lambda$ તરંગલંબાઈ માટે,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0$ છે:
$eV_0 = \frac{hc}{2\lambda} - \phi_0$ ......... $(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$3eV_0 = \frac{3hc}{2\lambda} - 3\phi_0$ ......... $(3)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(3)$ ને સરખાવતા:
$\frac{hc}{\lambda} - \phi_0 = \frac{3hc}{2\lambda} - 3\phi_0$
$2\phi_0 = \frac{3hc}{2\lambda} - \frac{hc}{\lambda} = \frac{hc}{2\lambda}$
$\phi_0 = \frac{hc}{4\lambda}$
થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ $\lambda_0 = \frac{hc}{\phi_0}$ હોવાથી,$\phi_0$ ની કિંમત મૂકતા:
$\lambda_0 = \frac{hc}{hc / 4\lambda} = 4\lambda$.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા નીચે મુજબ છે:
$KE_{\max} = E - \phi$
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$E = 5\, eV$ અને $KE_{\max} = 2\, eV$:
$2 = 5 - \phi \implies \phi = 3\, eV$
જ્યારે $E' = 6\, eV$ ઊર્જા ધરાવતા ફોટોન આપાત થાય,ત્યારે નવી મહત્તમ ગતિઊર્જા:
$KE'_{\max} = E' - \phi = 6 - 3 = 3\, eV$
કોઈ પણ ફોટોઈલેક્ટ્રોન એનોડ $A$ સુધી ન પહોંચે તે માટે,કેથોડની સાપેક્ષમાં એનોડનું પોટેન્શિયલ $(V_A - V_C)$ એ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $(V_s)$ ના ઋણ મૂલ્ય જેટલું હોવું જોઈએ.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ એ $e V_s = KE'_{\max} = 3\, eV$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે,તેથી $V_s = 3\, V$.
ઈલેક્ટ્રોનને રોકવા માટે એનોડ કેથોડની સાપેક્ષમાં ઋણ પોટેન્શિયલ પર હોવો જોઈએ,તેથી પોટેન્શિયલ તફાવત $V_A - V_C = -3\, V$ થશે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$e V_s = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$
જ્યાં $\lambda_0$ એ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે:
$eV = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$ ..... $(i)$
બીજા કિસ્સા માટે:
$e(\frac{V}{4}) = \frac{hc}{2\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$ ..... $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને $4$ વડે ગુણતા:
$eV = \frac{4hc}{2\lambda} - \frac{4hc}{\lambda_0} = \frac{2hc}{\lambda} - \frac{4hc}{\lambda_0}$ ..... $(iii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(iii)$ ને સરખાવતા:
$\frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0} = \frac{2hc}{\lambda} - \frac{4hc}{\lambda_0}$
$\frac{4hc}{\lambda_0} - \frac{hc}{\lambda_0} = \frac{2hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda}$
$\frac{3hc}{\lambda_0} = \frac{hc}{\lambda}$
$\lambda_0 = 3\lambda$