Einstein's Photoelectric Equation and Energy Quantum of Radiation Questions in Gujarati

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ એ $eV_s = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટે,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $eV_1 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ છે --- $(1)$.
તરંગલંબાઈ $\frac{\lambda}{2}$ માટે,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $eV_2 = \frac{hc}{\lambda/2} - \phi = \frac{2hc}{\lambda} - \phi$ છે --- $(2)$.
સમીકરણ $(1)$ પરથી,આપણને $\frac{hc}{\lambda} = eV_1 + \phi$ મળે છે.
આ કિંમતને સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$eV_2 = 2(eV_1 + \phi) - \phi$
$eV_2 = 2eV_1 + 2\phi - \phi$
$eV_2 = 2eV_1 + \phi$
કારણ કે વર્ક ફંક્શન $\phi > 0$ છે,તેથી $eV_2 > 2eV_1$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $V_2 > 2V_1$.

(A) મહત્તમ ગતિઊર્જા આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$K_{\max} = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$
જ્યાં $\lambda_0 = 3250 \times 10^{-10} \, m$ એ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ છે અને $\lambda = 2536 \times 10^{-10} \, m$ એ આપાત તરંગલંબાઈ છે.
આપેલ છે $hc = (4.14 \times 10^{-15} \, eV \cdot s) \times (3 \times 10^8 \, m/s) = 12420 \, eV \cdot \mathring{A}$.
તરંગલંબાઈને એંગસ્ટ્રોમમાં ફેરવતા: $\lambda_0 = 3250 \, \mathring{A}$ અને $\lambda = 2536 \, \mathring{A}$.
$K_{\max} = 12420 \left( \frac{1}{2536} - \frac{1}{3250} \right) \, eV = 12420 \left( \frac{3250 - 2536}{2536 \times 3250} \right) \, eV \approx 1.076 \, eV$.
$K_{\max}$ ને જૂલમાં ફેરવતા: $K_{\max} = 1.076 \times 1.6 \times 10^{-19} \, J \approx 1.72 \times 10^{-19} \, J$.
$K_{\max} = \frac{1}{2}mv^2$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $m = 9.1 \times 10^{-31} \, kg$:
$v^2 = \frac{2 \times 1.72 \times 10^{-19}}{9.1 \times 10^{-31}} \approx 0.378 \times 10^{12} \, m^2/s^2$.
$v \approx 0.615 \times 10^6 \, m/s \approx 6 \times 10^5 \, m/s$.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,$K_{max} = h\nu - W_0 = \frac{1}{2}mv^2$,જ્યાં $W_0 = h\nu_0$.
$2\nu_0$ આવૃત્તિ માટે:
$h(2\nu_0) = h\nu_0 + \frac{1}{2}mv_1^2$
$h\nu_0 = \frac{1}{2}mv_1^2$ ..... $(i)$
$5\nu_0$ આવૃત્તિ માટે:
$h(5\nu_0) = h\nu_0 + \frac{1}{2}mv_2^2$
$4h\nu_0 = \frac{1}{2}mv_2^2$ ..... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{h\nu_0}{4h\nu_0} = \frac{\frac{1}{2}mv_1^2}{\frac{1}{2}mv_2^2}$
$\frac{1}{4} = \frac{v_1^2}{v_2^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{1}{2}$
આમ,ગુણોત્તર $1:2$ છે.

(C) આપેલ છે,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_{0} = 10 \ V$ અને વર્ક ફંક્શન $W = 2.75 \ eV$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = h\nu = eV_{0} + W$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$E = 10 \ eV + 2.75 \ eV = 12.75 \ eV$ ..... $(i)$.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,$n$ અવસ્થામાંથી ધરા અવસ્થા $(n=1)$ માં સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $h\nu = E_{n} - E_{1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $E_{n} = -\frac{13.6}{n^{2}} \ eV$,તેથી $h\nu = -\frac{13.6}{n^{2}} - (-13.6) = 13.6 \left(1 - \frac{1}{n^{2}}\right) \ eV$.
આને સમીકરણ $(i)$ ની ઉર્જા સાથે સરખાવતા,$13.6 \left(1 - \frac{1}{n^{2}}\right) = 12.75$.
$1 - \frac{1}{n^{2}} = \frac{12.75}{13.6} = 0.9375$.
$\frac{1}{n^{2}} = 1 - 0.9375 = 0.0625$.
$n^{2} = \frac{1}{0.0625} = 16$.
તેથી,$n = 4$.

(C) ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન થવા માટે, આપાત ફોટોનની ઉર્જા ધાતુના વર્ક ફંક્શન કરતા વધારે અથવા તેના જેટલી હોવી જોઈએ $(E \ge \phi)$.
આનો અર્થ એ છે કે આપાત પ્રકાશની તરંગલંબાઇ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઇ $(\lambda \le \lambda_0)$ કરતા ઓછી અથવા તેના જેટલી હોવી જોઈએ.
આપેલ છે કે લીલો પ્રકાશ ઉત્સર્જન કરે છે પરંતુ પીળો પ્રકાશ કરતો નથી, તેથી થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઇ $\lambda_0$ એ લીલા અને પીળા પ્રકાશની તરંગલંબાઇની વચ્ચે આવેલી છે $(\lambda_{\text{green}} < \lambda_0 < \lambda_{\text{yellow}})$.
જેમ કે પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $V < I < B < G < Y < O < R$ ના ક્રમમાં વધે છે, લીલા પ્રકાશ કરતા ટૂંકી તરંગલંબાઇ ધરાવતો કોઈપણ રંગ વધુ ઉર્જા ધરાવશે અને ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન કરશે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી, જાંબલી (Indigo) ની તરંગલંબાઇ લીલા પ્રકાશ કરતા ઓછી છે.
તેથી, જાંબલી રંગ ફોટો-ઇલેક્ટ્રોનનું ઉત્સર્જન કરી શકે છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0$ ને $eV_0 = h\nu - W_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $W_0$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
આને $V_0 = \frac{h}{e}\nu - \frac{W_0}{e}$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
$V_0$ અને $\nu$ વચ્ચેનો આલેખ $\frac{h}{e}$ ના ઢાળ સાથેની એક સીધી રેખા છે.
આ આલેખનો $x$-અંતઃખંડ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $\nu_0$ છે,જ્યાં $V_0 = 0$ થાય છે,તેથી $h\nu_0 = W_0$.
આલેખ પરથી,થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિઓનો ક્રમ આ મુજબ છે: $(\nu_0)_{(iv)} > (\nu_0)_{(iii)} > (\nu_0)_{(ii)} > (\nu_0)_{(i)}$.
કારણ કે વર્ક ફંક્શન $W_0 = h\nu_0$ છે,તેથી વર્ક ફંક્શન પણ સમાન ક્રમ અનુસરે છે: $(W_0)_{(iv)} > (W_0)_{(iii)} > (W_0)_{(ii)} > (W_0)_{(i)}$.
તેથી,સાચો ક્રમ $(iv) > (iii) > (ii) > (i)$ છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,આપાત ફોટોનની ઊર્જા એ કાર્યવિધેય $(W_0)$ અને ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K_{max})$ ના સરવાળા જેટલી હોય છે: $E = W_0 + K_{max}$.
તરંગલંબાઈ $\lambda_1$ માટે: $\frac{hc}{\lambda_1} = W_0 + E_1$ --- $(1)$
તરંગલંબાઈ $\lambda_2$ માટે: $\frac{hc}{\lambda_2} = W_0 + E_2$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$hc = W_0 \lambda_1 + E_1 \lambda_1$. સમીકરણ $(2)$ પરથી,$hc = W_0 \lambda_2 + E_2 \lambda_2$.
$hc$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $W_0 \lambda_1 + E_1 \lambda_1 = W_0 \lambda_2 + E_2 \lambda_2$.
$W_0$ ને કર્તા બનાવતા: $W_0 (\lambda_1 - \lambda_2) = E_2 \lambda_2 - E_1 \lambda_1$.
$W_0 = \frac{E_2 \lambda_2 - E_1 \lambda_1}{\lambda_1 - \lambda_2} = \frac{E_1 \lambda_1 - E_2 \lambda_2}{\lambda_2 - \lambda_1}$.

(B) આપેલ છે: મહત્તમ વેગ $v_{max} = 4 \times 10^8 \, cm/s = 4 \times 10^6 \, m/s$.
ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $m = 9 \times 10^{-31} \, kg$.
ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર $e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$.
મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = \frac{1}{2} m v_{max}^2$ દ્વારા મળે છે.
$K_{max} = \frac{1}{2} \times (9 \times 10^{-31} \, kg) \times (4 \times 10^6 \, m/s)^2$.
$K_{max} = 0.5 \times 9 \times 10^{-31} \times 16 \times 10^{12} \, J$.
$K_{max} = 72 \times 10^{-19} \, J$.
આને ઇલેક્ટ્રોન-વોલ્ટ $(eV)$ માં ફેરવવા માટે,$e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$ વડે ભાગતા:
$K_{max} = \frac{72 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \, eV = 45 \, eV$.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0$ એ $K_{max} = e V_0$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે,તેથી $V_0 = 45 \, V$.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $hf = W_0 + \frac{1}{2}mv_{\max}^2$,જ્યાં $W_0$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
તેથી,$v_{\max} = \sqrt{\frac{2(hf - W_0)}{m}} = V$.
જ્યારે આવૃત્તિ $4f$ થાય છે,ત્યારે નવો મહત્તમ વેગ $V'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$V' = \sqrt{\frac{2(h(4f) - W_0)}{m}}$.
આને આપણે આ રીતે લખી શકીએ: $V' = \sqrt{\frac{2(4hf - W_0)}{m}}$.
ચૂંક $4hf - W_0 > 4(hf - W_0)$ હોવાથી,આપણને $V' > \sqrt{\frac{2(4(hf - W_0))}{m}} = 2\sqrt{\frac{2(hf - W_0)}{m}} = 2V$ મળે છે.
તેથી,$V' > 2V$.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $\frac{hc}{\lambda} = \phi + K$ $...(1)$
જ્યારે તરંગલંબાઈ બદલીને $\lambda' = \frac{3\lambda}{4}$ કરવામાં આવે,ત્યારે નવી ગતિઊર્જા $K'$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{hc}{3\lambda/4} = \phi + K'$ $...(2)$
$\frac{4hc}{3\lambda} = \phi + K'$ $...(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$\phi = \frac{hc}{\lambda} - K$. આ કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$\frac{4}{3} \left( \frac{hc}{\lambda} \right) = \left( \frac{hc}{\lambda} - K \right) + K'$
$\frac{4}{3} \left( \frac{hc}{\lambda} \right) - \frac{hc}{\lambda} = K' - K$
$\frac{1}{3} \left( \frac{hc}{\lambda} \right) = K' - K$
$\frac{hc}{\lambda} = \phi + K$ હોવાથી,તેને ફરીથી મૂકતા:
$K' = K + \frac{1}{3} (\phi + K) = K + \frac{\phi}{3} + \frac{K}{3} = \frac{4K}{3} + \frac{\phi}{3}$
કારણ કે વર્ક ફંક્શન $\phi > 0$ છે,તેથી $K' > \frac{4K}{3}$ થાય.

(C) ફોટોઈલેક્ટ્રોન માટે મહત્તમ ગતિઊર્જા આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $K_{\max} = h\nu - \phi$,જ્યાં $\nu$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે અને $\phi$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
$K_{\max} = eV_0$ હોવાથી,આપણને મળે છે: $eV_0 = h\nu - \phi$ --- $(1)$
જ્યારે આવૃત્તિ બમણી કરવામાં આવે $(\nu' = 2\nu)$,ત્યારે નવું સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0'$ નીચે મુજબ મળે:
$eV_0' = h(2\nu) - \phi = 2h\nu - \phi$
આને આપણે આ રીતે લખી શકીએ:
$eV_0' = 2(h\nu - \frac{\phi}{2})$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ની સરખામણી કરતા,કારણ કે $h\nu - \frac{\phi}{2} > h\nu - \phi$,તેથી $eV_0' > 2eV_0$ થાય છે. આમ,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ બમણા કરતા વધારે થાય છે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, ફોટોન અને ઇલેક્ટ્રોન વચ્ચેની આંતરક્રિયા એ એક-એક (one-to-one) પ્રક્રિયા છે.
જ્યારે $E = h\nu$ ઉર્જા ધરાવતો એક ફોટોન ધાતુની સપાટી પર અથડાય છે, ત્યારે તે સંપૂર્ણપણે એક જ ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા શોષાય છે.
જો ફોટોનની ઉર્જા ધાતુના વર્ક ફંક્શન $(\Phi)$ કરતા વધારે હોય, તો આ એક ઇલેક્ટ્રોન સપાટીના અવરોધને દૂર કરવા માટે પૂરતી ગતિ ઉર્જા મેળવે છે અને ફોટોઈલેક્ટ્રોન તરીકે ઉત્સર્જિત થાય છે.
તેથી, એક ફોટોન વધુમાં વધુ એક ઇલેક્ટ્રોનને બહાર કાઢી શકે છે. જો ફોટોનની ઉર્જા વર્ક ફંક્શન કરતા ઓછી હોય, તો કોઈ ઇલેક્ટ્રોન ઉત્સર્જિત થતો નથી.
આમ, ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા આપાત ફોટોનની સંખ્યા અને વર્ક ફંક્શનની સાપેક્ષ તેમની ઉર્જા પર આધાર રાખે છે.

(B) ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $(K_{max})$ આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $K_{max} = h\nu - \phi$,જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$\nu$ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે,અને $\phi$ પદાર્થનું વર્ક ફંક્શન છે.
જ્યારે આવૃત્તિ $\nu$ બમણી કરવામાં આવે છે,ત્યારે $h\nu$ પદ વધે છે,જે $K_{max}$ માં વધારો કરે છે. જોકે,વર્ક ફંક્શન $\phi$ અચળ હોવાથી $K_{max}$ માત્ર બમણું થતું નથી.
ફોટોઈલેક્ટ્રિક પ્રવાહ એ આપાત પ્રકાશની તીવ્રતાના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે. જ્યારે તીવ્રતા બમણી કરવામાં આવે છે,ત્યારે એકમ સમયમાં આપાત થતા ફોટોનની સંખ્યા બમણી થાય છે,જે બદલામાં એકમ સમયમાં ઉત્સર્જિત થતા ફોટોઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યાને બમણી કરે છે,આમ ફોટોઈલેક્ટ્રિક પ્રવાહ બમણો થાય છે.
તેથી,સાચું વર્ણન એ છે કે ગતિ ઉર્જામાં વધારો થાય છે (પરંતુ જરૂરી નથી કે તે બે ગણો જ હોય) અને ફોટોઈલેક્ટ્રિક પ્રવાહ બે ગણો વધે છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી,વિકલ્પ $B$ એ ભૌતિક ઘટનાઓનું સૌથી યોગ્ય વર્ણન છે.

(D) કેથોડ સપાટીનું વર્ક ફંક્શન $\phi = 4 \ eV$ છે.
હાઇડ્રોજન ડિસ્ચાર્જ ટ્યુબમાં,ઇલેક્ટ્રોન ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તરોમાંથી ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n=1)$ માં સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની મહત્તમ ઉર્જા $13.6 \ eV$ હોય છે (જ્યારે $n = \infty$ થી $n = 1$ માં સંક્રમણ થાય).
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઇલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $(K_{max})$ એ $K_{max} = E_{photon} - \phi$ છે.
મહત્તમ ફોટોન ઉર્જા મૂકતા,$K_{max} = 13.6 \ eV - 4 \ eV = 9.6 \ eV$ મળે છે.
ફોટોકરન્ટને શૂન્ય કરવા માટે,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $(V_s)$ એ રીતે લાગુ પાડવું જોઈએ કે જેથી $e|V_s| = K_{max}$ થાય.
તેથી,$|V_s| = 9.6 \ V$.
ઇલેક્ટ્રોનને રોકવા માટે સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ કેથોડની સાપેક્ષમાં ઋણ હોવું જોઈએ,તેથી એનોડ વોલ્ટેજ ઓછામાં ઓછો $-9.6 \ V$ હોવો જોઈએ. આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$-10 \ V$ એ એકમાત્ર મૂલ્ય છે જે $-9.6 \ V$ કરતા વધુ ઋણ છે,જે તમામ ફોટોઇલેક્ટ્રોનને અસરકારક રીતે રોકશે.

(C) ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસરમાં, આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ $eV_s = h\nu - \Phi$ મુજબ, સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $(V_s)$ માત્ર આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ $(\nu)$ અને ધાતુની વર્ક ફંક્શન $(\Phi)$ પર આધાર રાખે છે.
ઉદગમને દૂર લઈ જવાથી આપાત પ્રકાશની તીવ્રતા ઘટે છે, જેનાથી એકમ સમયમાં ઉત્સર્જિત થતા ફોટોઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યા (ફોટોઈલેક્ટ્રિક પ્રવાહ) ઘટે છે.
જોકે, તીવ્રતાની અસર ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા પર પડતી નથી, કારણ કે પ્રકાશની આવૃત્તિ બદલાતી નથી.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ માત્ર મહત્તમ ગતિઊર્જા દ્વારા નક્કી થતું હોવાથી, ઉદગમના અંતર સાથે તે અચળ રહે છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K = \frac{hc}{\lambda} - W$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $W$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
તરંગલંબાઈ $\lambda_1$ માટે,$K_1 = \frac{hc}{\lambda_1} - W$ $(i)$
તરંગલંબાઈ $\lambda_2$ માટે,$K_2 = \frac{hc}{\lambda_2} - W$ $(ii)$
આપેલ છે કે $\lambda_1 = 2\lambda_2$,આ કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$K_1 = \frac{hc}{2\lambda_2} - W$
$K_1 = \frac{1}{2} \left( \frac{hc}{\lambda_2} \right) - W$
સમીકરણ $(ii)$ પરથી,આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{hc}{\lambda_2} = K_2 + W$.
આ કિંમત $K_1$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$K_1 = \frac{1}{2} (K_2 + W) - W$
$K_1 = \frac{K_2}{2} + \frac{W}{2} - W$
$K_1 = \frac{K_2}{2} - \frac{W}{2}$
કારણ કે $W > 0$,તેથી સાબિત થાય છે કે $K_1 < \frac{K_2}{2}$.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max}$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$K_{max} = hf - \phi$
જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$f$ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે અને $\phi$ ધાતુનું કાર્ય વિધેય છે.
ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસરમાં,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V$ એ મહત્તમ ગતિઊર્જા સાથે $K_{max} = eV$ સંબંધ દ્વારા જોડાયેલ છે,જ્યાં $e$ એ ઈલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે.
આમ,$eV = hf - \phi$,અથવા $V = \frac{h}{e}f - \frac{\phi}{e}$.
આલેખ પરથી,જ્યારે $f = f_0$ (થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ),ત્યારે સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V = 0$ છે. તેથી,$0 = \frac{h}{e}f_0 - \frac{\phi}{e}$,જેનો અર્થ છે કે $\phi = hf_0$.
આ કિંમતને આવૃત્તિ $f_1$ પર $K_{max}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$K_{max} = hf_1 - hf_0 = h(f_1 - f_0)$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $(K.E._{max})$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$K.E._{max} = E - W$,જ્યાં $E$ એ આપાત ફોટોનની ઉર્જા છે અને $W$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$E_1 = 2W$:
$\frac{1}{2} m v_1^2 = 2W - W = W$ --- $(1)$
બીજા કિસ્સા માટે,$E_2 = 5W$:
$\frac{1}{2} m v_2^2 = 5W - W = 4W$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{W}{4W} = \frac{1}{4}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{1}{2}$
આમ,મહત્તમ વેગનો ગુણોત્તર $1 : 2$ છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V$ નીચે મુજબ છે: $eV = \frac{hc}{\lambda} - \phi$,જ્યાં $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
$V$ માટે ગોઠવતા: $V = \frac{hc}{e\lambda} - \frac{\phi}{e}$.
આપેલ છે કે $V_1, V_2, V_3$ સમાંતર શ્રેણી ($A$.$P$.) માં છે,તેથી $2V_2 = V_1 + V_3$.
$V$ માટેનું સમીકરણ મૂકતા:
$2\left(\frac{hc}{e\lambda_2} - \frac{\phi}{e}\right) = \left(\frac{hc}{e\lambda_1} - \frac{\phi}{e}\right) + \left(\frac{hc}{e\lambda_3} - \frac{\phi}{e}\right)$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{2hc}{e\lambda_2} - \frac{2\phi}{e} = \frac{hc}{e\lambda_1} + \frac{hc}{e\lambda_3} - \frac{2\phi}{e}$.
સમાન પદો દૂર કરતા:
$\frac{2}{\lambda_2} = \frac{1}{\lambda_1} + \frac{1}{\lambda_3}$.
આ શરત સૂચવે છે કે $\frac{1}{\lambda_1}, \frac{1}{\lambda_2}, \frac{1}{\lambda_3}$ એ $A$.$P$. માં છે,જેનો અર્થ છે કે $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ એ હરાત્મક શ્રેણી ($H$.$P$.) માં છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $K_{\max} = h\nu - \phi_0$ છે,જ્યાં $h\nu$ એ આપાત ફોટોનની ઉર્જા છે અને $\phi_0$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $2\, eV = 5\, eV - \phi_0$,જે વર્ક ફંક્શન $\phi_0 = 3\, eV$ આપે છે.
બીજા કિસ્સા માટે: આપાત ઉર્જા $6\, eV$ છે. ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $K_{\max}' = 6\, eV - 3\, eV = 3\, eV$ થશે.
આ ફોટોઈલેક્ટ્રોનને એનોડ $A$ સુધી પહોંચતા રોકવા માટે,$C$ ની સાપેક્ષમાં $A$ નું પોટેન્શિયલ $(V_{AC})$ ઋણ હોવું જોઈએ અને તેનું મૂલ્ય મહત્તમ ગતિ ઉર્જા જેટલું હોવું જોઈએ. તેથી,$V_{AC} = -3\, V$.

(B) આપેલ છે: વર્ક ફંક્શન $\phi = 4.5\,eV$,તરંગલંબાઇ $\lambda = 200\,nm$.
આપાત ફોટોનની ઊર્જા $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{1240\,eV\cdot nm}{200\,nm} = 6.2\,eV$.
ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = E - \phi = 6.2\,eV - 4.5\,eV = 1.7\,eV$.
કલેક્ટર પ્લેટ એમિટરની સાપેક્ષમાં $+2.0\,V$ પોટેન્શિયલ પર છે,જેનો અર્થ છે કે તે ઈલેક્ટ્રોનને પ્રવેગિત કરે છે.
કલેક્ટર સુધી પહોંચતા ઈલેક્ટ્રોનની લઘુત્તમ ગતિઊર્જા $K_{min} = K_{initial} + qV = 0 + 2.0\,eV = 2.0\,eV$.
કલેક્ટર સુધી પહોંચતા ઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max}' = K_{max} + qV = 1.7\,eV + 2.0\,eV = 3.7\,eV$.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V$ એ $eV = hf - \Phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$f$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે,અને $\Phi$ એ ધાતુનું કાર્ય વિધેય છે.
આને $V = (h/e)f - (\Phi/e)$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
આ એક સીધી રેખાનું સમીકરણ $y = mx + c$ છે,જ્યાં ઢાળ $m = h/e$ તમામ ધાતુઓ માટે અચળ છે.
y-અંતઃખંડ $c = -\Phi/e$ છે.
કારણ કે $Y$ નું કાર્ય વિધેય $X$ કરતા વધારે છે $(\Phi_Y > \Phi_X)$,તેથી $Y$ માટે ઋણ y-અંતઃખંડનું મૂલ્ય $X$ કરતા વધારે હશે.
આનો અર્થ એ છે કે $Y$ માટે થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $f_0 = \Phi/h$ એ $X$ કરતા વધારે હશે $(f_{0,Y} > f_{0,X})$.
તેથી,$Y$ માટેનો આલેખ આવૃત્તિ અક્ષ પર $X$ ના આલેખની જમણી બાજુએ ખસશે,જ્યારે બંને રેખાઓ સમાંતર રહેશે.
આ તે આલેખને અનુરૂપ છે જ્યાં $X$ ડાબી બાજુએ છે અને $Y$ જમણી બાજુએ છે,જે વિકલ્પ $A$ માં દર્શાવેલ છે.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = h\nu - \Phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે, $\nu$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે, અને $\Phi$ એ એમિટર પદાર્થનું વર્ક ફંક્શન છે.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ એ મહત્તમ ગતિઊર્જા સાથે $K_{max} = eV_s$ દ્વારા સંબંધિત હોવાથી, આપણને $eV_s = h\nu - \Phi$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $V_s = \frac{h\nu}{e} - \frac{\Phi}{e}$.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ $(\nu)$ અને એમિટરના ગુણધર્મ (વર્ક ફંક્શન $\Phi$) પર આધાર રાખે છે.
તે આપાત પ્રકાશની તીવ્રતા પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી, સાચો જવાબ $(A)$ અને $(C)$ બંને છે.

(C) કાર્ય વિધેય $\phi = 6.2 \ eV$ આપેલ છે.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0 = 5 \ V$ છે,તેથી મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $K_{max} = eV_0 = 5 \ eV$ થાય.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $E = \phi + K_{max}$.
$E = 6.2 \ eV + 5 \ eV = 11.2 \ eV$.
આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ છે.
$hc \approx 1240 \ eV \cdot nm$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\lambda = \frac{1240 \ eV \cdot nm}{11.2 \ eV} \approx 110.7 \ nm$ મળે છે.
અલ્ટ્રા-વાયોલેટ વિસ્તારની તરંગલંબાઇનો ગાળો આશરે $10 \ nm$ થી $400 \ nm$ હોવાથી,આપાત વિકિરણ અલ્ટ્રા-વાયોલેટ વિસ્તારમાં આવે છે.

(A) આપેલ છે: તરંગલંબાઈ $\lambda = 400 \ nm$,ઊર્જા અચળાંક $hc = 1240 \ eV \ nm$,ગતિઊર્જા $K.E. = 1.68 \ eV$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $E = W + K.E._{max}$,જ્યાં $E = \frac{hc}{\lambda}$.
કિંમતો મૂકતા: $E = \frac{1240}{400} = 3.1 \ eV$.
હવે,કાર્ય વિધેય $W$ ની ગણતરી કરતા: $W = E - K.E._{max} = 3.1 \ eV - 1.68 \ eV = 1.42 \ eV$.
નોંધ: આપેલા વિકલ્પોમાંથી સૌથી નજીકનો વિકલ્પ $1.41 \ eV$ (વિકલ્પ $A$) છે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, $eV_0 = K_{max} = h\nu - \phi$, જ્યાં $\phi$ એ ધાતુની સપાટીનું કાર્ય વિધેય (work function) છે.
$X$-કિરણોની આવૃત્તિ $(\nu_X)$ અલ્ટ્રાવાયોલેટ પ્રકાશની આવૃત્તિ $(\nu_{UV})$ કરતા ઘણી વધારે હોવાથી, જ્યારે $X$-કિરણોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે ત્યારે મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = h\nu - \phi$ વધે છે.
પરિણામે, સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0 = K_{max}/e$ પણ વધે છે. તેથી, વિધાન $-1$ સાચું છે.
વિધાન $-2$ ખોટું છે કારણ કે ફોટોઈલેક્ટ્રોન શૂન્યથી મહત્તમ મૂલ્ય સુધીની ઝડપ સાથે ઉત્સર્જિત થાય છે કારણ કે ધાતુની અંદર ઈલેક્ટ્રોન ઉત્સર્જિત થાય તે પહેલાં અથડામણ દરમિયાન ઊર્જા ગુમાવે છે, નહીં કે આપાત પ્રકાશમાં રહેલી આવૃત્તિઓની શ્રેણીને કારણે (જે એકવર્ણી હોય છે).

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max}$ અને સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0$ નીચે મુજબ છે: $K_{max} = eV_0 = hv - hv_0$.
અહીં,$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$v$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે અને $v_0$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ છે.
સમીકરણ પરથી,$K_{max} = hv - hv_0$. જો આવૃત્તિ $v$ ને બમણી કરીને $2v$ કરવામાં આવે,તો નવી મહત્તમ ગતિઊર્જા $K'_{max} = h(2v) - hv_0 = 2hv - hv_0$ થાય.
કારણ કે $2hv - hv_0$ એ $2(hv - hv_0)$ ની બરાબર નથી,તેથી મહત્તમ ગતિઊર્જા બમણી થતી નથી. પરિણામે,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0$ પણ બમણું થતું નથી. આમ,વિધાન-$1$ ખોટું છે.
વિધાન-$2$ સાચું છે કારણ કે $K_{max}$ અને $V_0$ એ આવૃત્તિ $v$ ના રેખીય વિધેયો છે (એટલે કે,$y = mx + c$ સ્વરૂપ).

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $\frac{hc}{\lambda} = \phi + \frac{1}{2}mv^2$,જ્યાં $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટે: $\frac{hc}{\lambda} = \phi + \frac{1}{2}mv^2$ --- $(1)$
તરંગલંબાઈ $\lambda' = \frac{3\lambda}{4}$ માટે: $\frac{hc}{\lambda'} = \frac{4hc}{3\lambda} = \phi + \frac{1}{2}mv'^2$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$\frac{hc}{\lambda} = \phi + K$,જ્યાં $K = \frac{1}{2}mv^2$. તેથી,$\frac{hc}{3\lambda} = \frac{\phi + K}{3}$.
સમીકરણ $(2)$ માં કિંમત મૂકતા: $\frac{4}{3}(\phi + K) = \phi + \frac{1}{2}mv'^2$.
$\frac{1}{2}mv'^2 = \frac{4}{3}\phi + \frac{4}{3}K - \phi = \frac{1}{3}\phi + \frac{4}{3}K$.
કારણ કે $\phi > 0$,તેથી $\frac{1}{2}mv'^2 > \frac{4}{3}K$.
$\frac{1}{2}mv'^2 > \frac{4}{3} \left( \frac{1}{2}mv^2 \right) \implies v'^2 > \frac{4}{3}v^2$.
તેથી,$v' > v \left( \frac{4}{3} \right)^{1/2}$.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$,જ્યાં $K_{max} = eV_s$ ($V_s$ એ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ છે).
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $\frac{hc}{\lambda} = 5eV_0 + \phi$ --- $(1)$
બીજા કિસ્સા માટે: $\frac{hc}{3\lambda} = eV_0 + \phi$ --- $(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $5$ વડે ગુણતા: $\frac{5hc}{3\lambda} = 5eV_0 + 5\phi$ --- $(3)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$\frac{5hc}{3\lambda} - \frac{hc}{\lambda} = (5eV_0 + 5\phi) - (5eV_0 + \phi)$
$\frac{5hc - 3hc}{3\lambda} = 4\phi$
$\frac{2hc}{3\lambda} = 4\phi$
$\phi = \frac{2hc}{12\lambda} = \frac{hc}{6\lambda}$

(B) આપાત ફોટોનની ઊર્જા $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{1242 \ eV \ nm}{400 \ nm} = 3.105 \ eV$ છે.
$(a)$ ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર માટે,આપાત ફોટોનની ઊર્જા કાર્ય વિધેય $(\phi)$ કરતા વધારે હોવી જોઈએ. અહીં $E = 3.105 \ eV$ છે,જે $Zn$ $(3.4 \ eV)$,$Fe$ $(4.8 \ eV)$ અને $Ni$ $(5.9 \ eV)$ ત્રણેયના કાર્ય વિધેય કરતા ઓછી છે. તેથી,કોઈપણ ધાતુમાંથી કોઈ ફોટોઈલેક્ટ્રોન ઉત્સર્જિત થશે નહીં. વિધાન $(a)$ ખોટું છે.
$(b)$ કારણ કે બધી ધાતુઓ માટે $E < \phi$ છે,તેથી $Ni$ માંથી કોઈ ફોટોઈલેક્ટ્રોન ઉત્સર્જિત થશે નહીં. વિધાન $(b)$ સાચું છે.
$(c)$ આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,$KE_{max} = E - \phi = h\nu - \phi$. જો આવૃત્તિ $\nu$ બમણી કરવામાં આવે,તો $KE_{max}' = 2h\nu - \phi$. આ $2(h\nu - \phi)$ ની બરાબર નથી. વિધાન $(c)$ ખોટું છે.
$(d)$ જો $\lambda < 200 \ nm$ હોય,તો $E = \frac{1242}{\lambda} > \frac{1242}{200} = 6.21 \ eV$. કારણ કે $6.21 \ eV$ એ ત્રણેય ધાતુઓના કાર્ય વિધેય $(3.4 \ eV, 4.8 \ eV, 5.9 \ eV)$ કરતા વધારે છે,તેથી ત્રણેય ધાતુઓમાંથી ફોટોઈલેક્ટ્રોન ઉત્સર્જિત થશે. વિધાન $(d)$ સાચું છે.
આમ,સાચા વિધાનો $(b)$ અને $(d)$ છે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = E - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા છે અને $\phi$ એ ધાતુની સપાટીનું કાર્ય વિધેય છે.
આપાત ફોટોનની ઊર્જા $E$ ની ગણતરી $E = \frac{12400}{\lambda(\text{in } \mathring{A})} \ eV$ તરીકે કરવામાં આવે છે.
અહીં $\lambda = 2000\ \mathring{A}$ આપેલ છે,તેથી $E = \frac{12400}{2000} = 6.2\ eV$.
કાર્ય વિધેય $\phi = 5.01\ eV$ છે.
તેથી,$K_{max} = 6.2\ eV - 5.01\ eV = 1.19\ eV \approx 1.2\ eV$.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_S$ એ મહત્તમ ગતિઊર્જા સાથે $K_{max} = eV_S$ દ્વારા સંબંધિત છે.
આમ,$eV_S = 1.2\ eV$,જેનો અર્થ છે કે $V_S = 1.2\ V$.

(C) આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$hc \approx 1240 \ eV \cdot nm$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $E = \frac{1240 \ eV \cdot nm}{200 \ nm} = 6.2 \ eV$.
ઉત્સર્જિત ફોટોઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $(K_{\max})$ આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $K_{\max} = E - \phi$,જ્યાં $\phi$ એ કાર્ય વિધેય છે.
$K_{\max} = 6.2 \ eV - 4.7 \ eV = 1.5 \ eV$.
ગોળા દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ પોટેન્શિયલ $(V_{\max})$ એ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ જેટલું હોય છે,જે $V_{\max} = \frac{K_{\max}}{e} = 1.5 \ V$ છે.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $eV = \frac{hc}{\lambda} - \phi$,જ્યાં $\phi = \frac{hc}{\lambda_0}$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
કિસ્સો $I$: $eV = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ --- $(i)$
કિસ્સો $II$: $e(V/3) = \frac{hc}{2\lambda} - \phi$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને $3$ વડે ગુણતા: $eV = \frac{3hc}{2\lambda} - 3\phi$ --- $(iii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(iii)$ ને સરખાવતા: $\frac{hc}{\lambda} - \phi = \frac{3hc}{2\lambda} - 3\phi$
$2\phi = \frac{3hc}{2\lambda} - \frac{hc}{\lambda} = \frac{hc}{2\lambda}$
$\phi = \frac{hc}{4\lambda}$
કારણ કે $\phi = \frac{hc}{\lambda_0}$,તેથી આપણને $\lambda_0 = 4\lambda$ મળે છે.

(B) ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ $K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi = \frac{hc}{\lambda_0}$ છે.
આપેલ છે: $\lambda_0 = 400 \ nm = 4000 \ \mathring{A}$,$K_{max} = 0.9 \ eV$.
$E (\text{in } eV) = \frac{12400}{\lambda (\text{in } \mathring{A})}$ સંબંધનો ઉપયોગ કરતા,વર્ક ફંક્શન $\phi = \frac{12400}{4000} = 3.1 \ eV$ મળે.
કિંમતોને ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણમાં મૂકતા:
$0.9 = \frac{12400}{\lambda} - 3.1$
$0.9 + 3.1 = \frac{12400}{\lambda}$
$4.0 = \frac{12400}{\lambda}$
$\lambda = \frac{12400}{4} = 3100 \ \mathring{A} = 310 \ nm$.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, $K_{max} = h\nu - \phi$, જ્યાં $K_{max}$ એ ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા છે, $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે, $\nu$ એ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ છે અને $\phi$ એ ધાતુનું કાર્ય વિધેય છે.
આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ $(\nu)$ વધારવાથી ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K_{max})$ વધે છે. પરિણામે, સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $(V_s)$, જે $V_s = K_{max}/e$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે, તે વધુ ઋણ બને છે (પોટેન્શિયલ અક્ષ પર ડાબી તરફ ખસે છે).
આપાત વિકિરણની તીવ્રતા એ એકમ સમયમાં સપાટી પર અથડાતા ફોટોનની સંખ્યાના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે, જે સંતૃપ્ત ફોટોકરંટ નક્કી કરે છે. તીવ્રતા ઘટાડવાથી એકમ સમયમાં ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યા ઘટે છે, જેનાથી સંતૃપ્ત ફોટોકરંટ ઘટે છે.
આપેલા વક્રોની તૂટક રેખા વાળા વક્ર સાથે સરખામણી કરતા: વક્ર $D$ વધુ ઋણ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ (વધેલી આવૃત્તિને કારણે) અને ઓછો સંતૃપ્ત પ્રવાહ (ઘટેલી તીવ્રતાને કારણે) દર્શાવે છે. તેથી, વક્ર $D$ નવી પરિસ્થિતિને રજૂ કરે છે.

(B) સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $(V_s)$ માત્ર આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ (અથવા તરંગલંબાઈ) અને ધાતુની સપાટીના વર્ક ફંક્શન પર આધાર રાખે છે,જે આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ $eV_s = h\nu - \phi$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
તે આપાત પ્રકાશની તીવ્રતા પર આધાર રાખતું નથી.
જ્યારે ઉદગમનું અંતર $10\, \text{cm}$ થી વધારીને $20\, \text{cm}$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે અંતરના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણના નિયમ મુજબ સપાટી પર આપાત થતા પ્રકાશની તીવ્રતા ઘટે છે.
જો કે,આપાત ફોટોનની તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ અને આવૃત્તિ $(\nu)$ બદલાતી નથી.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ તીવ્રતાથી સ્વતંત્ર હોવાથી,તે સમાન રહેશે.
તેથી,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $1.5\, \text{V}$ જ રહેશે.

(B) ફોટોનની ઊર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $hc \approx 1240 \ eV \cdot nm$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lambda_1 = 310 \ nm$ માટે,$E_1 = \frac{1240}{310} = 4.0 \ eV$.
$\lambda_2 = 455 \ nm$ માટે,$E_2 = \frac{1240}{455} \approx 2.72 \ eV$.
$\lambda_3 = 620 \ nm$ માટે,$E_3 = \frac{1240}{620} = 2.0 \ eV$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,$K_{max} = E - \Phi$,જ્યાં $\Phi = 1.2 \ eV$.
$\lambda_1 = 310 \ nm$ માટે,$K_{max} = 4.0 - 1.2 = 2.8 \ eV$.
$\lambda_2 = 455 \ nm$ માટે,$K_{max} = 2.72 - 1.2 = 1.52 \ eV$.
$\lambda_3 = 620 \ nm$ માટે,$K_{max} = 2.0 - 1.2 = 0.8 \ eV$.
મહત્તમ ગતિઊર્જા આ કિંમતોમાં સૌથી વધુ છે,જે $2.8 \ eV$ છે.

(C) આપેલ $I - V$ વક્ર પરથી,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s = 5 \, V$ અને સંતૃપ્ત પ્રવાહ $I_s = 10 \, \mu A = 10^{-5} \, A$ છે.
આપાત ફોટોનની ઉર્જા આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E = h\nu = eV_s + \phi_0$
$E = 5 \, eV + 2 \, eV = 7 \, eV$.
સંતૃપ્ત પ્રવાહ અને આપાત પ્રકાશના પાવર $P$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$I_s = \eta \times \left( \frac{P}{E} \right) \times e$
જ્યાં $\eta$ એ ફોટો-ઉત્સર્જનની કાર્યક્ષમતા $= 10^{-3} \% = 10^{-5}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$10^{-5} = 10^{-5} \times \left( \frac{P}{7 \, eV} \right) \times e$
$1 = \frac{P}{7 \, eV} \times e$
$1 = \frac{P}{7}$
$P = 7 \, W$.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi = eV$.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $\frac{hc}{\lambda} = \phi + eV$ .......$(1)$
બીજા કિસ્સા માટે: $\frac{hc}{2\lambda} = \phi + \frac{eV}{3}$ .......$(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $3$ વડે ગુણતા: $\frac{3hc}{2\lambda} = 3\phi + eV$ .......$(3)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા: $(\frac{3}{2} - 1) \frac{hc}{\lambda} = (3\phi - \phi) + (eV - eV)$.
$\frac{1}{2} \frac{hc}{\lambda} = 2\phi$.
$\phi = \frac{hc}{4\lambda}$.
કારણ કે $\phi = \frac{hc}{\lambda_{th}}$,તેથી $\lambda_{th} = 4\lambda$.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,પ્લેટ $1$ માંથી ઉત્સર્જિત ઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $K_{max} = hv - \phi$ છે.
જ્યારે ઈલેક્ટ્રોન પ્લેટ $1$ થી પ્લેટ $2$ તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે તે પ્લેટો વચ્ચેના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતને કારણે પ્રવેગિત થાય છે.
બેટરી એવી રીતે જોડાયેલ છે કે પ્લેટ $1$ એ પ્લેટ $2$ કરતા નીચા સ્થિતિમાન પર છે (અથવા સર્કિટ ગોઠવણી પ્રવેગક સ્થિતિમાન પૂરું પાડે છે). કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ એ બેટરીના $emf$ જેટલો છે,જે $V = \frac{\phi}{e}$ છે.
ઈલેક્ટ્રોન પર વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = eV = e \cdot \frac{\phi}{e} = \phi$ છે.
પ્લેટ $2$ પર પહોંચતા ઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઉર્જા એ તેની પ્રારંભિક મહત્તમ ગતિ ઉર્જા અને વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા થયેલ કાર્યનો સરવાળો છે:
$K_{final} = K_{max} + W = (hv - \phi) + \phi = hv$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max}$ નીચે મુજબ છે:
$K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$
જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ $B_0$ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે,ત્યારે ચુંબકીય બળ કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$evB_0 = \frac{mv^2}{r} \implies v = \frac{eB_0r}{m}$
ગતિઊર્જાને આ રીતે દર્શાવી શકાય:
$K_{max} = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m \left( \frac{eB_0r}{m} \right)^2 = \frac{e^2 B_0^2 r^2}{2m}$
$K_{max}$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{e^2 B_0^2 r^2}{2m} = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$
$\frac{1}{\lambda_0}$ માટે સમીકરણ ગોઠવતા:
$\frac{hc}{\lambda_0} = \frac{hc}{\lambda} - \frac{e^2 B_0^2 r^2}{2m}$
બંને બાજુ $hc$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{\lambda_0} = \frac{1}{\lambda} - \frac{e^2 B_0^2 r^2}{2mhc}$

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટો-ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $(KE_{\max})$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$KE_{\max} = E - \phi$
જ્યાં $E$ એ આપાત ફોટોનની ઉર્જા છે અને $\phi$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
આપેલ છે: $E = 6\, eV$ અને $\phi = 4\, eV$.
$KE_{\max} = 6\, eV - 4\, eV = 2\, eV$.
ઉત્સર્જિત ફોટો-ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ ઉર્જા $0$ થી $KE_{\max}$ સુધીની હોય છે.
તેથી,ઉત્સર્જિત ફોટો-ઇલેક્ટ્રોનની લઘુત્તમ ગતિ ઉર્જા $(KE_{\min})$ $0\, eV$ છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ગતિઊર્જા $K = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ છે,જ્યાં $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિ માટે: $K = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ --- $(1)$
અંતિમ સ્થિતિ માટે,જ્યાં ગતિઊર્જા $2K$ છે: $2K = \frac{hc}{\lambda'} - \phi$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$\frac{hc}{\lambda} = K + \phi$. કારણ કે $K > 0$,તેથી $\frac{hc}{\lambda} > \phi$.
સમીકરણ $(2)$ પરથી,$\frac{hc}{\lambda'} = 2K + \phi$. કારણ કે $K > 0$,તેથી $\frac{hc}{\lambda'} > \phi$.
$(1)$ ને $(2)$ વડે ભાગતા: $\frac{\lambda'}{\lambda} = \frac{K + \phi}{2K + \phi}$.
કારણ કે $K + \phi < 2K + \phi$,તેથી ગુણોત્તર $\frac{\lambda'}{\lambda} < 1$,જે સૂચવે છે કે $\lambda' < \lambda$.
વળી,$\frac{\lambda'}{\lambda} = \frac{K + \phi}{2K + \phi} = \frac{1}{2} \left( \frac{2K + 2\phi}{2K + \phi} \right) = \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{\phi}{2K + \phi} \right)$.
કારણ કે $\frac{\phi}{2K + \phi} > 0$,કૌંસમાં રહેલી કિંમત $1$ કરતા મોટી છે. તેથી,$\frac{\lambda'}{\lambda} > \frac{1}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda' > \lambda/2$.
આમ,$\lambda > \lambda' > \lambda/2$ મળે છે.

(C) આપેલ વિદ્યુતક્ષેત્રનું સમીકરણ $\varepsilon = (100 \text{ V/m}) [\sin(\omega_1 t) + \sin(\omega_2 t)]$ છે, જ્યાં $\omega_1 = 5 \times 10^{15} \text{ rad/s}$ અને $\omega_2 = 8 \times 10^{15} \text{ rad/s}$ છે.
મહત્તમ ગતિઊર્જા શોધવા માટે, આપણે સૌથી વધુ આવૃત્તિ ધરાવતા ફોટોનને ધ્યાનમાં લેવો જોઈએ, કારણ કે $K.E._{\max} = h\nu - \phi$.
આવૃત્તિ $\nu = \frac{\omega}{2\pi}$ દ્વારા મળે છે. ઉચ્ચ આવૃત્તિ ઘટક માટે, $\nu = \frac{8 \times 10^{15}}{2\pi} \text{ Hz}$ છે.
ફોટોનની ઊર્જા $E = h\nu = \frac{6.626 \times 10^{-34} \times 8 \times 10^{15}}{2 \times 3.1416} \text{ Joules}$ છે.
આને $1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$ વડે ભાગીને $\text{eV}$ માં રૂપાંતરિત કરતા:
$E = \frac{6.626 \times 10^{-34} \times 8 \times 10^{15}}{2 \times 3.1416 \times 1.6 \times 10^{-19}} \approx 5.27 \text{ eV}$.
મહત્તમ ગતિઊર્જા $K.E._{\max} = E - \phi = 5.27 \text{ eV} - 2 \text{ eV} = 3.27 \text{ eV}$ થાય.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ:
$hv_1 = hv_0 + \frac{1}{2}mv_1^2$ --- $(1)$
$hv_2 = hv_0 + \frac{1}{2}mv_2^2$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા:
$h(v_1 - v_2) = \frac{1}{2}m(v_1^2 - v_2^2)$
વેગના તફાવત માટે પદોને ગોઠવતા:
$v_1^2 - v_2^2 = \frac{2h}{m}(v_1 - v_2)$
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $(K_{max})$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$K_{max} = E - \Phi$
જ્યાં $E$ એ આપાત ફોટોનની ઉર્જા છે અને $\Phi$ એ પદાર્થનું કાર્ય વિધેય છે.
આપેલ છે: $E = 25\, eV$ અને $\Phi = 7\, eV$.
$K_{max} = 25\, eV - 7\, eV = 18\, eV$.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $(V_0)$ એ મહત્તમ ગતિ ઉર્જા સાથે $K_{max} = eV_0$ સમીકરણ દ્વારા સંબંધિત છે.
તેથી,$eV_0 = 18\, eV$,જેનો અર્થ છે કે $V_0 = 18\, V$.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $\frac{hc}{\lambda} = W_0 + \frac{1}{2}mv_{\max}^2$.
ધારો કે પ્રારંભિક તરંગલંબાઇ $\lambda_1 = \lambda$ અને અંતિમ તરંગલંબાઇ $\lambda_2 = 4\lambda$ છે.
મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max} = \frac{hc}{\lambda} - W_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $K_{\max} = \frac{1}{2}mv_{\max}^2$,તેથી $v_{\max} = \sqrt{\frac{2}{m} (\frac{hc}{\lambda} - W_0)}$.
જ્યારે $\lambda$ વધીને $4\lambda$ થાય છે,ત્યારે આપાત ફોટોનની ઊર્જા $\frac{hc}{4\lambda}$ ઘટે છે.
જેમ $K_{\max}$ ઘટે છે,તેમ $v_{\max}$ પણ ઘટે છે.
ધારો કે નવો વેગ $v'$ છે. તો $v' = \sqrt{\frac{2}{m} (\frac{hc}{4\lambda} - W_0)}$.
$v'$ ની $v_{\max}$ સાથે સરખામણી કરતા: $v' = \sqrt{\frac{1}{4} \frac{2hc}{\lambda} - \frac{2W_0}{m}} = \sqrt{\frac{1}{4} v_{\max}^2 - \frac{3W_0}{2m}}$.
કારણ કે $\frac{1}{4} v_{\max}^2 - \frac{3W_0}{2m} < \frac{1}{4} v_{\max}^2$,તેથી $v' < \frac{1}{2} v_{\max}$ મળે છે.
આમ,વેગમાં થતો ફેરફારનો અવયવ $\frac{1}{2}$ કરતા ઓછો છે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = eV_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $V_0$ એ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ છે.
આઈન્સ્ટાઈનનું સમીકરણ $K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ છે.
$K_{max} = eV_0$ મૂકતા, આપણને $eV_0 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ મળે છે.
આપેલ છે: કાર્ય વિધેય $\phi = 2.14 \ eV$, સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0 = 0.60 \ V$.
સંબંધ $\frac{hc}{\lambda} \approx \frac{12400 \ eV \cdot \mathring{A}}{\lambda}$ નો ઉપયોગ કરતા, $0.60 \ eV = \frac{12400 \ eV \cdot \mathring{A}}{\lambda} - 2.14 \ eV$.
$0.60 + 2.14 = \frac{12400}{\lambda}$.
$2.74 = \frac{12400}{\lambda}$.
$\lambda = \frac{12400}{2.74} \approx 4525.5 \ \mathring{A}$.
નેનોમીટરમાં રૂપાંતર કરતા, $\lambda \approx 452.55 \ nm$, જે $454 \ nm$ ની નજીક છે.

(B) આપેલ આલેખ પરથી, સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_{0}$ એ તે ઋણ વોલ્ટેજ છે જ્યાં ફોટોકરંટ શૂન્ય થાય છે।
આલેખ જોતા, વક્ર વોલ્ટેજ અક્ષને $V = -4\,V$ પર છેદે છે।
તેથી, સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલનું મૂલ્ય $|V_{0}| = 4\,V$ છે।
ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max}$ એ સૂત્ર $K_{\max} = e|V_{0}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
$|V_{0}|$ નું મૂલ્ય મૂકતા, આપણને $K_{\max} = e \times 4\,V = 4\,eV$ મળે છે।

(C) પ્રકાશ સ્ત્રોતનો પાવર $P = 5 \times 10^{-3} \, W$ છે અને પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત ફોટોનની સંખ્યા $n = 8 \times 10^{15} \, s^{-1}$ છે.
એક ફોટોનની ઉર્જા $E$ નીચે મુજબ મળે: $E = \frac{P}{n}$.
$E = \frac{5 \times 10^{-3}}{8 \times 10^{15}} \, J = 6.25 \times 10^{-19} \, J$.
આ ઉર્જાને ઈલેક્ટ્રોન-વોલ્ટ $(eV)$ માં ફેરવવા માટે,ઈલેક્ટ્રોનના વીજભાર $e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$ વડે ભાગતા:
$E = \frac{6.25 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \, eV = 3.90625 \, eV \approx 3.9 \, eV$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $(K.E)_{\max}$ અને સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ વચ્ચેનો સંબંધ $(K.E)_{\max} = e V_s = 2.0 \, eV$ છે.
ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ $E = \phi + (K.E)_{\max}$ છે,જ્યાં $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
$\phi = E - (K.E)_{\max} = 3.9 \, eV - 2.0 \, eV = 1.9 \, eV$.
તેથી,ધાતુનું વર્ક ફંક્શન $1.9 \, eV$ છે.