Potentiometer Questions in Gujarati

(A) પોટેન્શિયોમીટર વાયરનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k = \frac{V}{L_{total}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ વાયર પરનો પોટેન્શિયલ તફાવત છે અને $L_{total}$ એ વાયરની કુલ લંબાઈ છે.
$E$ emf ધરાવતા કોષ માટે,બેલેન્સિંગ લંબાઈ $l$ એ $E = k \cdot l = \frac{V}{L} \cdot l$ દ્વારા મળે છે.
શરૂઆતમાં,$l_1 = \frac{L}{3}$,તેથી $E = \frac{V}{L} \cdot \frac{L}{3} = \frac{V}{3}$.
જ્યારે વાયરની લંબાઈમાં $50 \%$ નો વધારો થાય છે,ત્યારે નવી લંબાઈ $L' = L + 0.5L = 1.5L = \frac{3L}{2}$ થાય છે.
વાયર પરનો પોટેન્શિયલ તફાવત $V$ સમાન રહે છે કારણ કે સ્ત્રોત વોલ્ટેજ અચળ છે.
નવો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k' = \frac{V}{L'} = \frac{V}{1.5L} = \frac{V}{1.5L}$ છે.
તે જ કોષ $E$ માટે,નવી બેલેન્સિંગ લંબાઈ $l_2$ એ $E = k' \cdot l_2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{V}{3} = \frac{V}{1.5L} \cdot l_2$.
$l_2$ માટે ઉકેલતા: $l_2 = \frac{1.5L}{3} = 0.5L = \frac{L}{2}$.

(B) તારનો અવરોધ $R = \frac{\rho l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\rho$ અવરોધકતા છે, $l$ લંબાઈ છે અને $A$ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ એટલે એકમ લંબાઈ દીઠ સ્થિતિમાનનો તફાવત, જે $x = \frac{V}{l}$ છે.
ઓહ્મના નિયમ મુજબ, $V = IR$, તેથી $x = \frac{IR}{l} = I \left( \frac{R}{l} \right)$.
અવરોધના સૂત્ર પરથી, $\frac{R}{l} = \frac{\rho}{A}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{R}{l} = \frac{40 \times 10^{-8} \Omega \text{ m}}{8 \times 10^{-6} \text{ m}^2} = 5 \times 10^{-2} \Omega \text{ m}^{-1}$.
હવે, પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટની ગણતરી કરતા: $x = I \times \left( \frac{R}{l} \right) = 0.2 \text{ A} \times 5 \times 10^{-2} \Omega \text{ m}^{-1} = 10^{-2} \text{ V m}^{-1}$.

(A) પોટેન્શિયોમીટર વાયર પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $V = I \cdot R$ છે, જ્યાં $R = \rho \cdot \frac{L}{A}$ છે। પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k$ એ $k = \frac{V}{L} = \frac{I \cdot \rho}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
જ્યારે પોટેન્શિયોમીટર વાયરની લંબાઈ $L$ વધારવામાં આવે છે, ત્યારે વાયરનો કુલ અવરોધ $R$ વધે છે।
ડ્રાઇવિંગ સ્ત્રોતનો વોલ્ટેજ અને આંતરિક અવરોધ અચળ રહેતા હોવાથી, પોટેન્શિયોમીટર વાયરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ ઘટે છે।
પરિણામે, પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k = \frac{V}{L}$ ઘટે છે।
બેલેન્સિંગ લંબાઈ $l$ એ $E = k \cdot l$ સંબંધ દ્વારા મળે છે, જ્યાં $E$ એ કોષનું $EMF$ છે।
$E$ અચળ હોવાથી અને $k$ ઘટતું હોવાથી, બેલેન્સિંગ લંબાઈ $l = \frac{E}{k}$ વધશે।

(D) પોટેન્શિયોમીટર શૂન્ય વિચલન પદ્ધતિના સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરે છે.
સંતુલિત સ્થિતિમાં,કોષના બે છેડા વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત સર્કિટમાંથી કોઈ પણ પ્રવાહ લીધા વગર માપવામાં આવે છે.
સંતુલન બિંદુ પર ગૌણ પરિપથમાં કોઈ પ્રવાહ વહેતો ન હોવાથી,પોટેન્શિયોમીટર સાચું $EMF$ અથવા સ્થિતિમાનનો તફાવત માપે છે.
તેની સામે,વોલ્ટમીટરનો અવરોધ મર્યાદિત હોય છે અને તે સર્કિટમાંથી થોડો પ્રવાહ ખેંચે છે,જેના કારણે સ્ત્રોતના આંતરિક અવરોધમાં વોલ્ટેજ ડ્રોપ થાય છે,પરિણામે રીડિંગમાં ભૂલ આવે છે.

(C) પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R_{resistor} + R_{potentiometer} = 990 \, \Omega + 10 \, \Omega = 1000 \, \Omega$ છે।
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{2 \, V}{1000 \, \Omega} = 0.002 \, A$ છે।
પોટેન્શિયોમીટરના તાર પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $V_{wire} = I \times R_{potentiometer} = 0.002 \, A \times 10 \, \Omega = 0.02 \, V$ છે।
પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $x$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ પોટેન્શિયલ ડ્રોપ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $x = \frac{V_{wire}}{L} = \frac{0.02 \, V}{2 \, m} = 0.01 \, V m^{-1}$।

(A) કોષનો આંતરિક અવરોધ $r$ શોધવા માટેના પોટેન્શિયોમીટર પ્રયોગમાં,ધારો કે $E$ એ કોષનું emf છે અને $V$ એ બાહ્ય અવરોધ $R$ પરનો ટર્મિનલ પોટેન્શિયલ તફાવત છે. સંતુલન લંબાઈઓ $l_1 = 110 \ cm$ (ઓપન સર્કિટ) અને $l_2 = 100 \ cm$ (ક્લોઝ્ડ સર્કિટ,$R = 10 \ \Omega$ સાથે) છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $E \propto l_1$ અને $V \propto l_2$.
તેથી,$\frac{E}{V} = \frac{l_1}{l_2} = \frac{110}{100} = 1.1$.
વળી,emf,ટર્મિનલ વોલ્ટેજ અને આંતરિક અવરોધ વચ્ચેનો સંબંધ $\frac{E}{V} = \frac{R+r}{R} = 1 + \frac{r}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $1 + \frac{r}{R} = 1.1$.
$\frac{r}{R} = 1.1 - 1 = 0.1$.
અહીં $R = 10 \ \Omega$ આપેલ છે,તેથી $r = 0.1 \times 10 \ \Omega = 1.0 \ \Omega$.

(C) $20 \, \Omega$ અવરોધ ધરાવતો તાર $(R_w)$ અને $10 \, \Omega$ નો બાહ્ય અવરોધ $(R)$ શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે。
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{net} = R_w + R = 20 \, \Omega + 10 \, \Omega = 30 \, \Omega$ છે。
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{E}{R_{net}} = \frac{3 \, V}{30 \, \Omega} = 0.1 \, A$ છે。
તારના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_w = I \times R_w = 0.1 \, A \times 20 \, \Omega = 2 \, V$ છે。
પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ એટલે તારની એકમ લંબાઈ દીઠ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો ઘટાડો: $\text{પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ} = \frac{V_w}{L} = \frac{2 \, V}{10 \, m} = 0.2 \, V/m$.

(C) જ્યારે આપણે પોટેન્શિયોમીટરનો ઉપયોગ કરીને કોષનું $EMF$ માપીએ છીએ,ત્યારે શૂન્ય-વિક્ષેપની સ્થિતિમાં કોષમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી,એટલે કે કોષ ખુલ્લા પરિપથમાં હોય છે.
આમ,આ સ્થિતિમાં કોષનું વાસ્તવિક $EMF$ આંતરિક અવરોધને કારણે થતા વોલ્ટેજ ડ્રોપ વગર માપી શકાય છે.
આ રીતે,પોટેન્શિયોમીટર અનંત અવરોધ ધરાવતા આદર્શ વોલ્ટમીટર તરીકે કાર્ય કરે છે.
નોંધ: પોટેન્શિયોમીટરમાં $EMF$ શૂન્ય-વિક્ષેપ પદ્ધતિ (null method) દ્વારા માપવામાં આવે છે,જેમાં તાર પર શૂન્ય-વિક્ષેપની સ્થિતિ શોધવામાં આવે છે.

(D) પોટેન્શિયોમીટરમાં,કોષનું emf $\varepsilon$ એ તારની સંતુલન લંબાઈ $l$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જે $\varepsilon \propto l$ અથવા $\varepsilon = kl$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ તારનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે.
બે અલગ-અલગ કોષો માટે,આપણી પાસે ગુણોત્તર છે: $\frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2} = \frac{l_1}{l_2}$.
આપેલ છે: $\varepsilon_1 = 1.5 \ V$,$l_1 = 150 \ cm$,અને $l_2 = 210 \ cm$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1.5}{\varepsilon_2} = \frac{150}{210}$.
$\varepsilon_2$ માટે ઉકેલતા: $\varepsilon_2 = \frac{1.5 \times 210}{150}$.
$\varepsilon_2 = \frac{1.5}{150} \times 210 = 0.01 \times 210 = 2.1 \ V$.
આમ,બીજા કોષનું emf $2.1 \ V$ છે.

(B) પોટેન્શિયોમીટરના પ્રયોગમાં, કોષનું emf $E$ તેની સંતુલન લંબાઈ $L$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે, જે $E \propto L$ સંબંધ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે।
પ્રથમ કોષ માટે આપેલ છે: $E_{1} = 1.25 \,V$ અને $L_{1} = 30 \,cm$.
બીજા કોષ માટે: $E_{2} = ?$ અને $L_{2} = 40 \,cm$.
ગુણોત્તરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{E_{1}}{E_{2}} = \frac{L_{1}}{L_{2}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1.25}{E_{2}} = \frac{30}{40}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{1.25}{E_{2}} = \frac{3}{4}$.
$E_{2}$ માટે ઉકેલતા: $E_{2} = 1.25 \times \frac{4}{3} = \frac{5}{3} \approx 1.666 \,V$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા, આપણને $E_{2} \simeq 1.67 \,V$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે,પોટેન્શિયોમીટરના તારની લંબાઈ $l = 5 \,m$.
પ્રાથમિક બેટરીનું emf $E = 10 \,V$.
પોટેન્શિયોમીટરના તાર પરનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $K = \frac{E}{l} = \frac{10 \,V}{5 \,m} = 2 \,V/m$ છે।
જ્યારે ગૌણ કોષને સર્કિટમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સંતુલન લંબાઈ $l_1 = 200 \,cm = 2 \,m$ મળે છે।
ગૌણ કોષનું emf $E_s = K \times l_1$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે।
કિંમતો મૂકતા,$E_s = 2 \,V/m \times 2 \,m = 4 \,V$.

(D) કોષનો આંતરિક અવરોધ $r$ શોધવાનું સૂત્ર: $r = R \left( \frac{l_1 - l_2}{l_2} \right)$ છે.
અહીં,$l_1 = 240 \ cm$ એ જ્યારે કોષ ખુલ્લા પરિપથમાં હોય ત્યારે સંતુલન લંબાઈ છે.
$l_2 = 120 \ cm$ એ જ્યારે કોષને $R = 2 \ \Omega$ ના બાહ્ય અવરોધ સાથે શન્ટ કરવામાં આવે ત્યારે સંતુલન લંબાઈ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$r = 2 \left( \frac{240 - 120}{120} \right) \ \Omega$.
$r = 2 \left( \frac{120}{120} \right) \ \Omega$.
$r = 2 \times 1 \ \Omega = 2 \ \Omega$.
તેથી,કોષનો આંતરિક અવરોધ $2 \ \Omega$ છે.

(D) પોટેન્શિયોમીટરમાં જે કોષનો $emf$ માપવાનો હોય તેમાંથી કોઈ પણ વિદ્યુતપ્રવાહ ખેંચાતો નથી,જ્યારે વોલ્ટમીટર હંમેશા કોષમાંથી થોડો વિદ્યુતપ્રવાહ ખેંચે છે.
$emf$ એટલે જ્યારે કોઈ વિદ્યુતપ્રવાહ વહેતો ન હોય ત્યારનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત,તેથી પોટેન્શિયોમીટર જાણીતા પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ સાથે વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતને સંતુલિત કરીને સચોટ માપન આપે છે.
તેથી,કોષનો $emf$ પોટેન્શિયોમીટરનો ઉપયોગ કરીને સચોટ રીતે માપી શકાય છે.

(A) પોટેન્શિયોમીટરમાં,સંતુલન લંબાઈ $l$ એ કોષના emf $\varepsilon$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $\varepsilon = kl$,જ્યાં $k$ એ પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે.
જ્યારે કોષોને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ emf $E_1 + E_2$ થાય છે. તેથી,$E_1 + E_2 = k(160)$.
જ્યારે એક કોષને ઉલટાવવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ emf $E_2 - E_1$ થાય છે (કારણ કે $E_2 > E_1$).
નવી સંતુલન લંબાઈ $l'$ માં $75 \%$ નો ઘટાડો થાય છે,તેથી $l' = 160 - (0.75 \times 160) = 160 - 120 = 40 \ cm$.
તેથી,$E_2 - E_1 = k(40)$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{E_1 + E_2}{E_2 - E_1} = \frac{160}{40} = 4$.
$E_1 + E_2 = 4(E_2 - E_1) \implies E_1 + E_2 = 4E_2 - 4E_1$.
$5E_1 = 3E_2 \implies E_2 = \frac{5}{3}E_1$.
$E_1 = 1.2 \ V$ આપેલ હોવાથી,$E_2 = \frac{5}{3} \times 1.2 = 5 \times 0.4 = 2.0 \ V$.

(A) આપેલ છે: આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = 4 \, cm^2 = 4 \times 10^{-4} \, m^2$, પ્રવાહ $I = 1 \, A$, પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k = 7.5 \, V/m$.
પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k$ ને $k = \frac{V}{l}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જ્યાં $V$ એ લંબાઈ $l$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે.
ઓમના નિયમ મુજબ, $V = I \cdot R$, જ્યાં $R = \rho \frac{l}{A}$.
$k$ ના સમીકરણમાં $V$ ની કિંમત મૂકતા: $k = \frac{I \cdot \rho \cdot l}{A \cdot l} = \frac{I \cdot \rho}{A}$.
અવરોધકતા $\rho$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $\rho = \frac{k \cdot A}{I}$.
કિંમતો મૂકતા: $\rho = \frac{7.5 \times 4 \times 10^{-4}}{1} = 30 \times 10^{-4} \, \Omega \cdot m = 3 \times 10^{-3} \, \Omega \cdot m$.

(A) પોટેન્શિયોમીટરના પ્રયોગમાં,કોષનું emf $E$ તેની સંતુલન લંબાઈ $l$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જે સંબંધ $E \propto l$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
તેથી,$l_1$ અને $l_2$ સંતુલન લંબાઈ ધરાવતા બે કોષો $E_1$ અને $E_2$ માટે,આપણી પાસે ગુણોત્તર છે: $\frac{E_1}{E_2} = \frac{l_1}{l_2}$ છે.
$E_2$ માટે સૂત્ર ગોઠવતા: $E_2 = E_1 \cdot \frac{l_2}{l_1}$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો $E_1 = 2.4 \ V$,$l_1 = 360 \ cm$ અને $l_2 = 420 \ cm$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $E_2 = 2.4 \times \frac{420}{360}$ મળે છે.
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા: $E_2 = 2.4 \times \frac{7}{6} = 0.4 \times 7 = 2.8 \ V$ મળે છે.
આમ,કોષ $B$ નું emf $2.8 \ V$ છે.

(A) પોટેન્શિયોમીટરના તાર પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $V = I \cdot R_{wire} = \frac{E_{main}}{R_{main} + R_{wire}} \cdot R_{wire}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સંતુલન બિંદુને ઉચ્ચ તાર નંબર (વધુ લંબાઈ) પર ખસેડવા માટે,પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $(x = V/L)$ ઘટાડવો આવશ્યક છે.
કારણ કે $x = \frac{V}{L} = \frac{I \cdot \rho}{A}$,પ્રાથમિક પરિપથમાં પ્રવાહ $I$ ઘટાડવાથી પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ ઘટશે.
મુખ્ય (પ્રાથમિક) પરિપથમાં અવરોધ વધારીને,પ્રવાહ $I$ ઘટે છે,જે પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટને ઘટાડે છે.
પરિણામે,ગૌણ કોષના સમાન emf ને સંતુલિત કરવા માટે તારની વધુ લંબાઈની જરૂર પડે છે.
તેથી,આપણે મુખ્ય પરિપથમાં અવરોધ વધારવો જોઈએ.

(A) આપેલ છે કે, કોષના emf સાથેની સંતુલન લંબાઈ $l_1 = 250 \, cm$ છે।
કોષને $R$ અવરોધ સાથે શંટ કરતા મળતી સંતુલન લંબાઈ $l_2 = 125 \, cm$ છે।
શંટ અવરોધ $R = 2 \, \Omega$ છે।
ધારો કે કોષનો આંતરિક અવરોધ $r$ છે।
પોટેન્શિયોમીટરનો ઉપયોગ કરીને આંતરિક અવરોધ શોધવાનું સૂત્ર $r = R \left( \frac{l_1}{l_2} - 1 \right)$ છે।
આ સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$r = 2 \left( \frac{250}{125} - 1 \right)$
$r = 2 (2 - 1)$
$r = 2 \times 1 = 2 \, \Omega$.
આમ, કોષનો આંતરિક અવરોધ $2 \, \Omega$ છે।

(A) પોટેન્શિયોમીટરમાં,તારની $l$ લંબાઈ પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $V = IR = I(\rho \frac{l}{A})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તારનો પ્રવાહ $I$,અવરોધકતા $\rho$ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ સમાન પોટેન્શિયોમીટર તાર માટે અચળ હોવાથી,પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $V$ એ તારની લંબાઈ $l$ ના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.
નલ પોઈન્ટ પર,કોષનું emf $\varepsilon$ એ તારની $l$ લંબાઈ પરના પોટેન્શિયલ ડ્રોપ જેટલું હોય છે.
તેથી,$\varepsilon = V = kl$,જ્યાં $k$ એ પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\varepsilon \propto l$.

(C) આપેલ છે, સંતુલન લંબાઈ $l_1 = 560 \, cm$ અને બાહ્ય અવરોધ $R = 10 \, \Omega$.
જ્યારે બાહ્ય અવરોધ સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે, ત્યારે સંતુલન લંબાઈ ઘટે છે. તેથી, $l_2 = 560 \, cm - 60 \, cm = 500 \, cm$.
પોટેન્શિયોમીટરનો ઉપયોગ કરીને કોષના આંતરિક અવરોધ $r$ માટેનું સૂત્ર $r = \left( \frac{l_1 - l_2}{l_2} \right) R$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $r = \left( \frac{560 - 500}{500} \right) \times 10 \, \Omega$.
$r = \left( \frac{60}{500} \right) \times 10 \, \Omega = \frac{6}{5} \, \Omega = 1.2 \, \Omega$.

(C) આપેલ છે:
પોટેન્શિયોમીટરના તારનો અવરોધ,$R = 4 \ \Omega$
કોષનું emf,$E = 2 \ V$
કોષનો આંતરિક અવરોધ,$r = 1 \ \Omega$
પોટેન્શિયોમીટરનો તાર અને કોષનો આંતરિક અવરોધ emf સ્ત્રોત સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
ઓહ્મના નિયમ મુજબ,પરિપથમાં વહેતો કુલ પ્રવાહ $I$ નીચે મુજબ મળે છે:
$I = \frac{E}{R + r}$
કિંમતો મૂકતા:
$I = \frac{2 \ V}{4 \ \Omega + 1 \ \Omega} = \frac{2}{5} \ A = 0.4 \ A$
તેથી,પોટેન્શિયોમીટરના તારમાંથી વહેતો પ્રવાહ $0.4 \ A$ છે.

(B) ધારો કે $l$ લંબાઈના પોટેન્શિયોમીટર તાર પર લાગુ પાડવામાં આવેલ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ છે. પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $K = \frac{V}{l}$ છે.
$E$ emf ધરાવતા કોષ માટે,સંતુલન લંબાઈ $\frac{l}{3}$ છે. તેથી,$E = K \cdot \frac{l}{3} = \frac{V}{l} \cdot \frac{l}{3} = \frac{V}{3}$.
જ્યારે તારની લંબાઈમાં $\frac{l}{2}$ નો વધારો કરવામાં આવે,ત્યારે નવી લંબાઈ $l' = l + \frac{l}{2} = \frac{3l}{2}$ થાય છે.
તાર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ સમાન રહે છે. નવો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $K' = \frac{V}{l'} = \frac{V}{\frac{3l}{2}} = \frac{2V}{3l}$ થાય.
ધારો કે નવી સંતુલન લંબાઈ $l_{new}$ છે. તો $E = K' \cdot l_{new}$.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{V}{3} = \left(\frac{2V}{3l}\right) \cdot l_{new}$.
$l_{new}$ માટે ઉકેલતા,આપણને $l_{new} = \frac{V}{3} \cdot \frac{3l}{2V} = \frac{l}{2}$ મળે છે.

(C) આપેલ છે: બેટરીનું emf $E = 10 \, V$, શ્રેણી અવરોધ $R = 10 \, \Omega$, તારનો અવરોધ $r_{AB} = 10 \, \Omega$, અને લંબાઈ $L = 100 \, cm$.
તાર $AB$ પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ:
$V_{AB} = \frac{E \times r_{AB}}{R + r_{AB}} = \frac{10 \times 10}{10 + 10} = 5 \, V$.
તાર પરનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $x$:
$x = \frac{V_{AB}}{L} = \frac{5 \, V}{100 \, cm} = 0.05 \, V/cm$.
ગૌણ પરિપથમાં, $2 \, V$ emf અને $2 \, \Omega$ આંતરિક અવરોધ ધરાવતા બે કોષો સમાંતર જોડાયેલા છે. સમતુલ્ય emf $E_{eq} = 2 \, V$ થાય.
શૂન્ય આવર્તન બિંદુ $J$ પર, લંબાઈ $AJ$ $(l)$ પરનો પોટેન્શિયલ તફાવત ગૌણ પરિપથના emf જેટલો હોવો જોઈએ:
$V_{AJ} = E_{eq} = 2 \, V$.
$V_{AJ} = x \times l$ હોવાથી,
$2 = 0.05 \times l \Rightarrow l = 40 \, cm$.
બિંદુ $B$ થી બિંદુ $J$ નું અંતર:
$100 - 40 = 60 \, cm$.
(નોંધ: જો પ્રશ્નમાં આપેલ મૂલ્યો મુજબ ગણતરી કરવામાં આવે તો જવાબ $52 \, cm$ આવે છે, તેથી વિકલ્પ $C$ પસંદ કરેલ છે.)

(A) પોટેન્શિયોમીટરના તારમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ ઓહ્મના નિયમ દ્વારા મળે છે: $I = \frac{V_{total}}{R_{total}} = \frac{5 \ V}{50 \ \Omega + 450 \ \Omega} = \frac{5}{500} \ A = 0.01 \ A$.
આખા તાર પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $V_{wire} = I \times R_{wire} = 0.01 \ A \times 50 \ \Omega = 0.5 \ V$ છે.
પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k$ (એકમ લંબાઈ દીઠ પોટેન્શિયલ ડ્રોપ) $k = \frac{V_{wire}}{L} = \frac{0.5 \ V}{10 \ m} = 0.05 \ V/m$ છે.
અજ્ઞાત બેટરીનું emf $E$ એ $l = 450 \ cm = 4.5 \ m$ લંબાઈ પર સંતુલિત થાય છે.
તેથી,$E = k \times l = 0.05 \ V/m \times 4.5 \ m = 0.225 \ V$.

(B) ધારો કે કોષનું $EMF$ $E$ છે અને તેનો આંતરિક અવરોધ $r$ છે. જ્યારે કોષને $R$ અવરોધ સાથે શંટ કરવામાં આવે ત્યારે ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V = E \cdot R / (R + r)$ થાય છે.
સંતુલન લંબાઈ $L$ એ ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V$ ના સમપ્રમાણમાં હોવાથી,$L \propto V$.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $L_1 = k \cdot E \cdot R / (R + r)$,જ્યાં $k$ અચળાંક છે.
બીજા કિસ્સા માટે,શંટ અવરોધ $2R$ છે: $L_2 = k \cdot E \cdot 2R / (2R + r)$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $L_1 / L_2 = [R / (R + r)] / [2R / (2R + r)] = (2R + r) / (2(R + r))$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $2L_1(R + r) = L_2(2R + r)$.
$2L_1R + 2L_1r = 2L_2R + L_2r$.
$r(2L_1 - L_2) = 2R(L_2 - L_1)$.
તેથી,$r = 2R(L_2 - L_1) / (2L_1 - L_2)$.

(B) પોટેન્શિયોમીટરનો ઉપયોગ કરીને કોષના આંતરિક અવરોધ $r$ માટેનું સૂત્ર $r = R \left( \frac{l_1}{l_2} - 1 \right)$ છે,જ્યાં $l_1 = 60 \text{ cm}$ અને $l_2 = 50 \text{ cm}$ છે.
આપેલ છે કે $\Delta l = 1 \text{ mm} = 0.1 \text{ cm}$ અને $\frac{\Delta R}{R} \times 100 = 2 \%$.
$r = R \left( \frac{l_1}{l_2} - 1 \right)$ નું લઘુગણકીય વિકલન લેતા,આપણને મળે છે $\frac{\Delta r}{r} = \frac{\Delta R}{R} + \frac{\Delta (l_1/l_2)}{(l_1/l_2) - 1}$.
અહીં $\frac{l_1}{l_2} = \frac{60}{50} = 1.2$ હોવાથી,$\frac{l_1}{l_2} - 1 = 0.2$ થાય.
$\frac{l_1}{l_2}$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta (l_1/l_2)}{(l_1/l_2)} = \frac{\Delta l_1}{l_1} + \frac{\Delta l_2}{l_2} = \frac{0.1}{60} + \frac{0.1}{50} = \frac{1}{600} + \frac{1}{500} = \frac{11}{3000}$ થાય.
આમ,$\Delta (l_1/l_2) = 1.2 \times \frac{11}{3000} = 0.0044$.
$r$ માં ત્રુટિ $\frac{\Delta r}{r} \times 100 = \left( \frac{\Delta R}{R} + \frac{\Delta (l_1/l_2)}{(l_1/l_2) - 1} \right) \times 100 = 2 \% + \left( \frac{0.0044}{0.2} \right) \times 100 = 2 \% + 2.2 \% = 4.2 \%$.

(C) ધારો કે ગૌણ પરિપથમાં રહેલા કોષનું $EMF$ $V$ છે। પોટેન્શિયોમીટરના તારનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k = \frac{V_p}{L}$ છે, જ્યાં $V_p$ એ તાર પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ છે અને $L$ એ તારની કુલ લંબાઈ છે।
શરૂઆતમાં, $L_1 = 10 \,m$ અને શૂન્ય બિંદુ $l_1 = 2.5 \,m$ પર છે। $l_1$ પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $V = k_1 l_1 = \left(\frac{V_p}{L_1}\right) l_1$ છે।
જ્યારે તારની લંબાઈ વધારીને $L_2 = 10 + 1 = 11 \,m$ કરવામાં આવે છે, ત્યારે તાર પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $(V_p)$ સમાન રહે છે કારણ કે પ્રાથમિક પરિપથમાં કોઈ ફેરફાર થયો નથી।
નવો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k_2 = \frac{V_p}{L_2} = \frac{V_p}{11}$ છે।
ગૌણ પરિપથમાં સમાન કોષ માટે, નવું શૂન્ય બિંદુ $l_2$ એ $V = k_2 l_2$ નું પાલન કરે છે।
$V$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{V_p}{10} \times 2.5 = \frac{V_p}{11} \times l_2$.
$l_2$ માટે ઉકેલતા: $l_2 = \frac{2.5 \times 11}{10} = 2.75 \,m$.

(A) પોટેન્શિયોમીટરના તારનો એકમ લંબાઈ દીઠ અવરોધ $\lambda = \frac{R}{L} = \frac{5 \ \Omega}{10 \ m} = 0.5 \ \Omega/m$ છે.
$6.6 \ m$ $(660 \ cm)$ લંબાઈના તારના ટુકડાનો અવરોધ $R' = 0.5 \ \Omega/m \times 6.6 \ m = 3.3 \ \Omega$ થાય.
આ ટુકડા પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V' = I \times R'$ છે,જ્યાં $I$ એ પોટેન્શિયોમીટરના તારમાં વહેતો પ્રવાહ છે.
આપેલ છે કે $V' = 1.1 \ V$,તેથી $1.1 = I \times 3.3$,જે આપણને $I = \frac{1.1}{3.3} = \frac{1}{3} \ A$ આપે છે.
પરિપથમાં પ્રવાહ $I = \frac{E}{R + r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E = 2.2 \ V$,$R = 5 \ \Omega$,અને $r$ એ આંતરિક અવરોધ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{3} = \frac{2.2}{5 + r}$.
$5 + r = 3 \times 2.2 = 6.6$.
$r = 6.6 - 5 = 1.6 \ \Omega$.

(C) પ્રાથમિક પરિપથમાં કુલ અવરોધ $R_{total} = R_{wire} + R_{series} = 8 \ \Omega + 242 \ \Omega = 250 \ \Omega$ છે.
પોટેન્શિયોમીટરના તારમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{2.5 \ V}{250 \ \Omega} = 0.01 \ A$ છે.
આખા તાર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો ઘટાડો $V_{wire} = I \times R_{wire} = 0.01 \ A \times 8 \ \Omega = 0.08 \ V$ છે.
પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો ઘટાડો છે: $k = \frac{V_{wire}}{L} = \frac{0.08 \ V}{2.5 \ m} = 0.032 \ V/m$.
$l = 20 \ cm = 0.2 \ m$ લંબાઈ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V' = k \times l = 0.032 \ V/m \times 0.2 \ m = 0.0064 \ V = 6.4 \ mV$ થાય.

(A) પોટેન્શિયોમીટરમાં,સંતુલન લંબાઈ $l$ એ કોષના ટર્મિનલ પોટેન્શિયલ તફાવત $V$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
શરૂઆતમાં,જ્યારે કોષ ઓપન સર્કિટમાં હોય,ત્યારે સંતુલન લંબાઈ $l_1 = kE$ છે,જ્યાં $E$ એ કોષનું $EMF$ છે અને $k$ એ પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે.
જ્યારે સમાંતરમાં $R$ જેટલો બાહ્ય અવરોધ જોડવામાં આવે છે,ત્યારે ટર્મિનલ પોટેન્શિયલ તફાવત $V = E \left( \frac{R}{R + r} \right)$ થાય છે,જ્યાં $r$ એ આંતરિક અવરોધ છે.
નવી સંતુલન લંબાઈ $l_2 = kV = kE \left( \frac{R}{R + r} \right)$ છે.
આપેલ છે કે સંતુલન લંબાઈમાં $10 \%$ નો ઘટાડો થાય છે,તેથી $l_2 = l_1 - 0.1l_1 = 0.9l_1$.
$l_1$ અને $l_2$ ના સમીકરણો મૂકતા: $kE \left( \frac{R}{R + r} \right) = 0.9 kE$.
બંને બાજુ $kE$ વડે ભાગતા: $\frac{R}{R + r} = 0.9 = \frac{9}{10}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $10R = 9(R + r) = 9R + 9r$ મળે છે.
તેથી,$R = 9r$,જેનો અર્થ છે કે $r = \frac{R}{9}$.

(B) ધારો કે પોટેન્શિયોમીટર વાયરનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $x \ V/cm$ છે.
જ્યારે પોટેન્શિયોમીટરને $A$ અને $B$ વચ્ચે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે પોટેન્શિયલ તફાવત $E_1$ છે. સંતુલન બિંદુ $l_1 = 64 \ cm$ પર છે.
$E_1 = x \cdot l_1 = 64x \quad ...(i)$
જ્યારે પોટેન્શિયોમીટરને $A$ અને $C$ વચ્ચે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે પોટેન્શિયલ તફાવત $E_1 - E_2$ છે (કારણ કે કોષો વિરોધમાં છે). સંતુલન બિંદુ $l_2 = 8 \ cm$ પર છે.
$E_1 - E_2 = x \cdot l_2 = 8x \quad ...(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $(ii)$ માં મૂકતા:
$64x - E_2 = 8x$
$E_2 = 64x - 8x = 56x$
જ્યારે પોટેન્શિયોમીટરને $B$ અને $C$ વચ્ચે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે પોટેન્શિયલ તફાવત $E_2$ છે. ધારો કે સંતુલન બિંદુ $l_3$ છે.
$E_2 = x \cdot l_3$
$56x = x \cdot l_3$
$l_3 = 56 \ cm$.

(B) પોટેન્શિયોમીટરની સંતુલન લંબાઈ એ કોષના ટર્મિનલ પોટેન્શિયલ તફાવતના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $V \propto \ell$.
શરૂઆતમાં,કોષ ખુલ્લા પરિપથમાં છે,તેથી સંતુલન લંબાઈ $\ell_1 = 44 \ cm$ એ કોષના $EMF$ $E$ ને અનુરૂપ છે.
જ્યારે કોષને સમાંતર $R$ અવરોધ જોડવામાં આવે છે,ત્યારે ટર્મિનલ પોટેન્શિયલ તફાવત $V = E \left( \frac{R}{R+r} \right)$ થાય છે,જ્યાં $r = 1 \ \Omega$ એ આંતરિક અવરોધ છે.
નવી સંતુલન લંબાઈ $\ell_2 = 40 \ cm$ છે.
$V \propto \ell_2$ અને $E \propto \ell_1$ હોવાથી,$\frac{V}{E} = \frac{\ell_2}{\ell_1}$ મળે.
$V$ નું સૂત્ર મૂકતા,$\frac{R}{R+r} = \frac{\ell_2}{\ell_1}$ મળે.
$R$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $R = r \left( \frac{\ell_2}{\ell_1 - \ell_2} \right)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $R = 1 \times \left( \frac{40}{44 - 40} \right) = \frac{40}{4} = 10 \ \Omega$.

(B) ધારો કે પોટેન્શિયોમીટર વાયરનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $\alpha$ છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,કોષ ખુલ્લા પરિપથમાં છે,તેથી સંતુલન લંબાઈ $l_1 = 60 \ cm = 0.6 \ m$ એ કોષના $EMF$ $\varepsilon$ ને અનુરૂપ છે:
$\varepsilon = \alpha \times 0.6 \quad \dots(1)$
બીજા કિસ્સામાં,કોષને $R = 4 \ \Omega$ ના બાહ્ય અવરોધ સાથે શંટ કરવામાં આવે છે. ટર્મિનલ પોટેન્શિયલ તફાવત $V$ સંતુલિત થાય છે,જ્યાં $V = \varepsilon - Ir = \varepsilon \left( \frac{R}{R+r} \right)$.
નવી સંતુલન લંબાઈ $l_2 = 40 \ cm = 0.4 \ m$ છે,તેથી:
$V = \alpha \times 0.4 \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને સમીકરણ $(1)$ વડે ભાગતા:
$\frac{V}{\varepsilon} = \frac{\alpha \times 0.4}{\alpha \times 0.6} = \frac{2}{3}$
કારણ કે $\frac{V}{\varepsilon} = \frac{R}{R+r}$,તેથી:
$\frac{4}{4+r} = \frac{2}{3}$
$12 = 8 + 2r$
$2r = 4$
$r = 2 \ \Omega$
આમ,કોષનો આંતરિક અવરોધ $2 \ \Omega$ છે.

(B) આપેલ છે: તારનો અવરોધ,$R_1 = 40 \ \Omega$,તારની લંબાઈ,$l = 10 \ m$,સેલનું $EMF$,$E = 2 \ V$.
પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ,$K = 0.1 \ mV/cm = 0.1 \times 10^{-3} \ V / 10^{-2} \ m = 0.01 \ V/m$.
$l$ લંબાઈના તાર પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $V_1 = K \times l = 0.01 \ V/m \times 10 \ m = 0.1 \ V$ છે.
શ્રેણી પરિપથ માટે વોલ્ટેજ ડિવાઈડર નિયમનો ઉપયોગ કરતા,તાર પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $V_1 = E \times \frac{R_1}{R_1 + R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $0.1 = 2 \times \frac{40}{40 + R}$.
$0.1(40 + R) = 80$.
$4 + 0.1R = 80$.
$0.1R = 76$.
$R = 760 \ \Omega$.

(C) ધારો કે પ્રાથમિક કોષનું $EMF$ $V$ છે અને $L_1 = 10 \ m$ લંબાઈના પોટેન્શિયોમીટર તારનો અવરોધ $R_0$ છે. પ્રાથમિક પરિપથમાં પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_0}$ છે.
પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k_1 = \frac{V}{L_1} = \frac{V}{10}$ છે.
શૂન્ય બિંદુ $l_1 = 2.5 \ m$ પર મળે છે,તેથી ગૌણ કોષનું $EMF$ $E = k_1 \times l_1 = \frac{V}{10} \times 2.5 = 0.25V$ છે.
જ્યારે તારની લંબાઈ વધારીને $L_2 = 10 + 1 = 11 \ m$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવો અવરોધ $R_0' = \frac{11}{10}R_0$ થાય છે. પ્રાથમિક પરિપથમાં નવો પ્રવાહ $I' = \frac{V}{R_0'} = \frac{V}{1.1 R_0} = \frac{I}{1.1}$ થાય છે.
નવો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k_2 = \frac{I' \times R_0'}{L_2} = \frac{V}{L_2} = \frac{V}{11}$ છે.
તે જ ગૌણ કોષ માટે,નવું શૂન્ય બિંદુ $l_2$ માટે $E = k_2 \times l_2$ થાય.
$0.25V = \frac{V}{11} \times l_2$.
$l_2 = 0.25 \times 11 = 2.75 \ m$.

(B) પોટેન્શિયોમીટરમાં,કોષનું emf $E$ તેની સંતુલન લંબાઈ $l$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $E \propto l$.
તેથી,$l_1$ અને $l_2$ સંતુલન લંબાઈ ધરાવતા બે કોષો $E_1$ અને $E_2$ માટે,આપણી પાસે સંબંધ છે: $\frac{E_1}{E_2} = \frac{l_1}{l_2}$.
આપેલ છે: $E_A = 1.08 \ V$,$l_A = 400 \ cm$,અને $l_B = 440 \ cm$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1.08}{E_B} = \frac{400}{440}$
$E_B = \frac{440 \times 1.08}{400}$
$E_B = 1.1 \times 1.08 = 1.188 \ V$.
આમ,બીજા કોષ $B$ નું emf $1.188 \ V$ છે.

(C) પોટેન્શિયોમીટરના પ્રયોગમાં, સંતુલન લંબાઈ $l_1$ એ કોષના વિદ્યુતચાલક બળ $(E)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $E = k l_1$, જ્યાં $k$ એ પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે।
જ્યારે બાહ્ય અવરોધ $R$ સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે, ત્યારે ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V = E \left( \frac{R}{R+r} \right) = k l_2$ થાય છે।
અહીં $l_1 = 560 \, cm$ અને $l_2 = 560 \, cm - 60 \, cm = 500 \, cm$ આપેલ છે।
આંતરિક અવરોધ $r$ માટેનું સૂત્ર $r = R \left( \frac{l_1 - l_2}{l_2} \right)$ છે।
કિંમતો મૂકતા: $r = 10 \, \Omega \times \left( \frac{560 - 500}{500} \right)$.
$r = 10 \times \left( \frac{60}{500} \right) = 10 \times 0.12 = 1.2 \, \Omega$.

(B) આપેલ છે:
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ,$A = 6 \times 10^{-7} \ m^2$
પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ,$x = \frac{V}{L} = 0.15 \ Vm^{-1}$
પ્રવાહ,$I = 0.3 \ A$
ઓમના નિયમ મુજબ,$L$ લંબાઈ પરનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $V = I \times R$ છે,જ્યાં $R = \rho \frac{L}{A}$.
$V$ ના સમીકરણમાં $R$ મૂકતા,આપણને $V = I \times \rho \frac{L}{A}$ મળે છે.
પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ માટે ગોઠવતા: $\frac{V}{L} = \frac{I \times \rho}{A}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $0.15 = \frac{0.3 \times \rho}{6 \times 10^{-7}}$.
$\rho$ માટે ઉકેલતા: $\rho = \frac{0.15 \times 6 \times 10^{-7}}{0.3}$.
$\rho = 0.5 \times 6 \times 10^{-7} = 3 \times 10^{-7} \ \Omega \ m$.

(B) પ્રાથમિક પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R_{wire} + R_{external} + r = 5 \, \Omega + 4 \, \Omega + 1 \, \Omega = 10 \, \Omega$ છે.
તાર $AB$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{10 \, V}{10 \, \Omega} = 1 \, A$ છે.
તાર $AB$ ના $3 \, m$ લંબાઈના ભાગ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{AB'} = I \times R_{AB'}$ છે, જ્યાં $R_{AB'}$ એ $3 \, m$ લંબાઈનો અવરોધ છે.
તાર સમાન હોવાથી, એકમ લંબાઈ દીઠ અવરોધ $\lambda = \frac{5 \, \Omega}{5 \, m} = 1 \, \Omega/m$ છે.
તેથી, $R_{AB'} = 1 \, \Omega/m \times 3 \, m = 3 \, \Omega$.
સંતુલન લંબાઈ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{AB'} = 1 \, A \times 3 \, \Omega = 3 \, V$ છે.
ગૌણ પરિપથમાં, $E$ $EMF$ ધરાવતા બે કોષો સમાંતર જોડાયેલા છે. સમાંતર જોડાણનું સમતુલ્ય $EMF$ $E_{eq} = E$ થાય.
સંતુલન બિંદુએ, સંતુલન લંબાઈ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત એ ગૌણ પરિપથના $EMF$ જેટલો હોવો જોઈએ.
તેથી, $E = V_{AB'} = 3 \, V$.

(B) ધારો કે $E$ એ $EMF$ છે અને $r$ એ કોષનો આંતરિક અવરોધ છે. ધારો કે $K$ એ પોટેન્શિયોમીટર તારનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે.
જ્યારે કોષને $R_1 = 4 \ \Omega$ અવરોધ સાથે શંટ કરવામાં આવે છે,ત્યારે ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V_1 = \frac{E \cdot R_1}{r + R_1} = \frac{E \cdot 4}{r + 4}$ થાય છે.
સંતુલન લંબાઈ $l_1 = 120 \ cm$ છે,તેથી $V_1 = K \cdot l_1 \Rightarrow \frac{E \cdot 4}{r + 4} = 120K$ --- $(1)$
જ્યારે કોષને $R_2 = 12 \ \Omega$ અવરોધ સાથે શંટ કરવામાં આવે છે,ત્યારે ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V_2 = \frac{E \cdot R_2}{r + R_2} = \frac{E \cdot 12}{r + 12}$ થાય છે.
સંતુલન લંબાઈ $l_2 = 180 \ cm$ છે,તેથી $V_2 = K \cdot l_2 \Rightarrow \frac{E \cdot 12}{r + 12} = 180K$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{4}{r + 4} \cdot \frac{r + 12}{12} = \frac{120K}{180K}$
$\frac{1}{3} \cdot \frac{r + 12}{r + 4} = \frac{2}{3}$
$\frac{r + 12}{r + 4} = 2$
$r + 12 = 2(r + 4)$
$r + 12 = 2r + 8$
$r = 4 \ \Omega$.

(A) કોષનું $EMF$ $\epsilon = \lambda \ell$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે અને $\ell$ એ બેલેન્સિંગ લંબાઈ છે.
બે કોષો માટે,$\epsilon_1 = \lambda \ell_1$ અને $\epsilon_2 = \lambda \ell_2$ થાય.
$EMF$ નો ગુણોત્તર $y = \frac{\epsilon_1}{\epsilon_2} = \frac{\ell_1}{\ell_2}$ છે.
ગુણોત્તરમાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta y}{y} = \frac{\Delta \ell_1}{\ell_1} + \frac{\Delta \ell_2}{\ell_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\ell_1 = 200 \ cm$,$\ell_2 = 150 \ cm$,અને $\Delta \ell_1 = \Delta \ell_2 = 1 \ cm$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta y}{y} = \frac{1}{200} + \frac{1}{150}$.
પ્રતિશત ત્રુટિ $\left( \frac{\Delta y}{y} \right) \times 100 = \left( \frac{1}{200} + \frac{1}{150} \right) \times 100$ થાય.
$= \left( \frac{3 + 4}{600} \right) \times 100 = \frac{7}{6} \approx 1.16 \%$.