Meter Bridge Questions in Gujarati

(A) મીટર બ્રિજમાં,સંતુલિત સ્થિતિ $\frac{P}{Q} = \frac{l_1 + \alpha}{l_2 + \beta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P = 15\,\Omega$,$Q = R$,$l_1 = 43\,cm$,$l_2 = (100 - 43) = 57\,cm$,$\alpha = 2\,cm$ (છેડા $A$ પર અંતિમ સુધારો),અને $\beta = 1\,cm$ (છેડા $B$ પર અંતિમ સુધારો).
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{15}{R} = \frac{43 + 2}{57 + 1}$
$\frac{15}{R} = \frac{45}{58}$
$R = \frac{15 \times 58}{45}$
$R = \frac{58}{3} \approx 19.33\,\Omega$.
આપેલા વિકલ્પોને જોતા,નજીકનું પૂર્ણાંક મૂલ્ય $19\,\Omega$ છે.

(D) મીટર બ્રિજમાં,સંતુલન સ્થિતિ $\frac{P}{Q} = \frac{l}{100-l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,$P = 4\,\Omega$ અને $l_1 = 40\,cm$ છે. તેથી,$100 - l_1 = 60\,cm$.
$\frac{P}{Q} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3} \implies \frac{4}{Q} = \frac{2}{3} \implies Q = 6\,\Omega$.
જ્યારે અજ્ઞાત અવરોધ $x$ ને $P$ સાથે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે નવો અવરોધ $P' = P + x = 4 + x$ થાય છે.
નવી સંતુલન લંબાઈ $l_2 = 80\,cm$ છે. તેથી,$100 - l_2 = 20\,cm$.
ફરીથી સંતુલન સ્થિતિનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{P + x}{Q} = \frac{80}{20} = 4$.
$Q = 6\,\Omega$ મૂકતા:
$\frac{4 + x}{6} = 4$
$4 + x = 24$
$x = 20\,\Omega$.

(B) મીટર બ્રિજ પ્રયોગમાં,શૂન્ય વિચલન માટેની શરત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજના સિદ્ધાંત દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_{AC}}{R_{CB}}$.
અહીં,$R_{AC}$ એ તારના ભાગ $AC$ નો અવરોધ છે અને $R_{CB}$ એ તારના ભાગ $CB$ નો અવરોધ છે.
તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે,$l$ એ લંબાઈ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
આને સંતુલન શરતમાં મૂકતા: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{\rho (l_{AC} / A)}{\rho (l_{CB} / A)} = \frac{l_{AC}}{l_{CB}}$.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ ઉડી જતું હોવાથી,અવરોધનો ગુણોત્તર માત્ર ભાગોની લંબાઈ પર આધાર રાખે છે.
તેથી,સંતુલન લંબાઈ તારની ત્રિજ્યા (અથવા આડછેદના ક્ષેત્રફળ) થી સ્વતંત્ર છે,જો તાર સમાન રહે.
આમ,જો ત્રિજ્યા બમણી કરવામાં આવે,તો પણ સંતુલન લંબાઈ $40 \, cm$ જ રહેશે.

(D) મીટર બ્રિજમાં,સંતુલન સ્થિતિ માટેનું સૂત્ર: $\frac{S}{l} = \frac{R}{100 - l}$ છે.
અહીં,$l = 30 \ cm$,તેથી $100 - l = 70 \ cm$.
જ્ઞાત અવરોધ $R = 5.6 \ k\Omega = 5600 \ \Omega$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{S}{30} = \frac{5600}{70}$.
$S = \frac{5600 \times 30}{70}$.
$S = 80 \times 30 = 2400 \ \Omega$.

(B) મીટર બ્રિજ માટે સંતુલન સ્થિતિ $\frac{R}{X} = \frac{l}{100-l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l$ એ છેડા $A$ થી સંતુલન બિંદુ $C$ સુધીના તારની લંબાઈ છે.
જ્યારે પરિપથમાં થોડા સમય માટે વિદ્યુતપ્રવાહ પસાર કરવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતપ્રવાહની ઉષ્મીય અસરને કારણે અવરોધ $X$ નું તાપમાન વધે છે.
કારણ કે $X$ નો તાપમાન ગુણાંક ઋણ છે,તેથી તાપમાન વધતા તેનો અવરોધ $X$ ઘટે છે.
સંતુલન સ્થિતિ પરથી,$X = R \cdot \frac{100-l}{l}$. જેમ $X$ ઘટે છે,તેમ ગુણોત્તર $\frac{100-l}{l}$ પણ ઘટવો જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $(100-l)$ ઘટવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $l$ વધવું જોઈએ.
$l$ માં વધારો થવાનો અર્થ એ છે કે સંતુલન બિંદુ $C$ એ છેડા $B$ તરફ ખસશે.

(C) મીટર બ્રિજમાં,સંતુલન સ્થિતિ $\frac{R}{S} = \frac{l}{100-l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ અજ્ઞાત અવરોધ છે અને $S$ એ પ્રમાણિત અવરોધ છે.
જ્યારે અજ્ઞાત અવરોધ $R$ ને ઊંચા તાપમાનવાળા પાત્રમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તેનો અવરોધ વધે છે કારણ કે ધાતુઓનો અવરોધ તાપમાન સાથે વધે છે $(R_t = R_0(1 + \alpha \Delta T))$.
નલ પોઈન્ટની સ્થિતિ $(l)$ સમાન રાખવા માટે,ગુણોત્તર $\frac{R}{S}$ અચળ રહેવો જોઈએ.
જેમ કે $R$ વધ્યો છે,તેથી ગુણોત્તર $\frac{R}{S}$ ને અચળ રાખવા માટે $S$ માં પણ વધારો કરવો પડે.
વિધાનમાં જણાવવામાં આવ્યું છે કે $S$ ઘટાડવો જોઈએ,જે ખોટું છે.
તેથી,વિધાન ખોટું છે,જ્યારે કારણ સાચું છે.

(A) મીટર બ્રિજમાં,સંતુલન સ્થિતિ $\frac{P}{Q} = \frac{l}{100-l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,$P = 2\,\Omega$ અને $Q = 3\,\Omega$. ધારો કે સંતુલન લંબાઈ $l_1$ છે. તેથી $\frac{2}{3} = \frac{l_1}{100-l_1}$.
આને ઉકેલતા,$200 - 2l_1 = 3l_1 \Rightarrow 5l_1 = 200 \Rightarrow l_1 = 40\,cm$.
જ્યારે $3\,\Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતરમાં $x\,\Omega$ નો શંટ જોડવામાં આવે છે,ત્યારે નવો અવરોધ $Q' = \frac{3x}{3+x}$ થાય છે.
નવી સંતુલન લંબાઈ $l_2 = l_1 + 22.5 = 40 + 22.5 = 62.5\,cm$.
નવી સંતુલન સ્થિતિ $\frac{2}{Q'} = \frac{62.5}{100-62.5} = \frac{62.5}{37.5} = \frac{5}{3}$ છે.
આમ,$Q' = 2 \times \frac{3}{5} = 1.2\,\Omega$.
$Q'$ માટેના સમીકરણોને સરખાવતા,આપણને $\frac{3x}{3+x} = 1.2$ મળે છે.
$3x = 1.2(3+x) \Rightarrow 3x = 3.6 + 1.2x \Rightarrow 1.8x = 3.6$.
તેથી,$x = 2\,\Omega$.

(B) મીટર બ્રિજ માટે,સંતુલન સ્થિતિ $\frac{P}{Q} = \frac{l}{100-l}$ છે,જ્યાં $P$ એ ડાબા ગેપમાં રહેલો અવરોધ છે અને $Q$ એ જમણા ગેપમાં રહેલો અવરોધ છે.
કિસ્સો $1$: $R_1$ અને $R_2$ શ્રેણીમાં છે. $P = R_1 + R_2$,$Q = 10 \ \Omega$,$l = 60 \ cm$.
$\frac{R_1 + R_2}{10} = \frac{60}{100-60} = \frac{60}{40} = \frac{3}{2}$.
$R_1 + R_2 = 10 \times \frac{3}{2} = 15 \ \Omega$.
કિસ્સો $2$: $R_1$ અને $R_2$ સમાંતરમાં છે. $P = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$,$Q = 3 \ \Omega$,$l = 40 \ cm$.
$\frac{R_1 R_2 / (R_1 + R_2)}{3} = \frac{40}{100-40} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$.
$\frac{R_1 R_2}{3(R_1 + R_2)} = \frac{2}{3} \Rightarrow R_1 R_2 = 2(R_1 + R_2)$.
$R_1 + R_2 = 15 \ \Omega$ કિંમત મૂકતા:
$R_1 R_2 = 2 \times 15 = 30 \ \Omega^2$.

(C) મીટર બ્રિજ માટે,સંતુલન સ્થિતિ $\frac{P}{Q} = \frac{l_1}{l_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P$ એ ડાબી બાજુનો અવરોધ છે,$Q$ એ જમણી બાજુનો અવરોધ છે,$l_1 = 60 \ cm$ અને $l_2 = 100 - 60 = 40 \ cm$ છે.
આપેલ છે કે $P = 4.5 \ \Omega$,તેથી $\frac{4.5}{Q} = \frac{60}{40} = 1.5$.
આમ,$Q = \frac{4.5}{1.5} = 3 \ \Omega$.
તારનો અવરોધ $Q = \frac{\rho L}{A} = \frac{\rho L}{\pi r^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $L = 10 \ cm = 0.1 \ m$ અને $r = \sqrt{7} \times 10^{-4} \ m$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $3 = \frac{\rho \times 0.1}{\pi \times (\sqrt{7} \times 10^{-4})^2} = \frac{\rho \times 0.1}{\pi \times 7 \times 10^{-8}}$.
$\rho$ માટે ઉકેલતા: $\rho = \frac{3 \times \pi \times 7 \times 10^{-8}}{0.1} = 210 \pi \times 10^{-8} \ \Omega \ m$.
$\pi \approx 3.14$ લેતા,$\rho = 210 \times 3.14 \times 10^{-8} = 659.4 \times 10^{-8} \approx 66 \times 10^{-7} \ \Omega \ m$.
તેથી,$R = 66$.

(D) મીટર બ્રિજમાં,સંતુલન સ્થિતિ $\frac{P}{Q} = \frac{R_1}{R_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P$ અને $Q$ એ ગેપમાં રહેલા અવરોધો છે,અને $R_1$ અને $R_2$ એ વાયરના ભાગોના અવરોધો છે.
ધારો કે એકમ લંબાઈ દીઠ અવરોધ $r$ છે. $40 \ cm$ ની સંતુલન લંબાઈ $\ell_1$ માટે,બીજા ભાગની લંબાઈ $\ell_2 = 100 - 40 = 60 \ cm$ છે.
વાયરના ભાગોના અવરોધ $r \ell_1$ અને $r \ell_2$ છે.
સંતુલન સ્થિતિ $\frac{X}{25} = \frac{r \ell_1}{r \ell_2} = \frac{\ell_1}{\ell_2} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$ છે.
જ્યારે વાયરને $2r$ પ્રતિ એકમ લંબાઈ ધરાવતા વાયર સાથે બદલવામાં આવે છે,ત્યારે ભાગોના નવા અવરોધ $(2r) \ell_1'$ અને $(2r) \ell_2'$ થાય છે.
નવી સંતુલન સ્થિતિ $\frac{X}{25} = \frac{(2r) \ell_1'}{(2r) \ell_2'} = \frac{\ell_1'}{\ell_2'}$ છે.
જેમ કે ગુણોત્તર $\frac{X}{25}$ અચળ રહે છે,તેથી $\frac{\ell_1'}{\ell_2'} = \frac{2}{3}$.
આપેલ છે કે $\ell_1' + \ell_2' = 100 \ cm$,તેથી $\ell_1' = 40 \ cm$ અને $\ell_2' = 60 \ cm$.
આમ,સંતુલન લંબાઈ $40 \ cm$ પર યથાવત રહે છે.

(A) પ્રથમ કિસ્સામાં,ડાબી ગેપમાં અવરોધ $R_1 = 2 \ \Omega$ છે અને જમણી ગેપમાં અજ્ઞાત અવરોધ $X$ છે. સંતુલન લંબાઈ $\ell_1 = 40 \ cm$ છે.
મીટર-બ્રિજના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{R_1}{\ell_1} = \frac{X}{100 - \ell_1} \Rightarrow \frac{2}{40} = \frac{X}{60} \Rightarrow X = 3 \ \Omega$.
બીજા કિસ્સામાં,અજ્ઞાત અવરોધ $X$ ને $2 \ \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે. નવો સમતુલ્ય અવરોધ $X^{\prime}$ છે:
$X^{\prime} = \frac{X \times 2}{X + 2} = \frac{3 \times 2}{3 + 2} = \frac{6}{5} = 1.2 \ \Omega$.
ધારો કે નવી સંતુલન લંબાઈ $\ell_2$ છે.
$\frac{2}{\ell_2} = \frac{1.2}{100 - \ell_2} \Rightarrow 2(100 - \ell_2) = 1.2\ell_2 \Rightarrow 200 - 2\ell_2 = 1.2\ell_2 \Rightarrow 3.2\ell_2 = 200 \Rightarrow \ell_2 = \frac{200}{3.2} = 62.5 \ cm$.
સંતુલન લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $|\ell_2 - \ell_1| = |62.5 - 40| = 22.5 \ cm$ છે.

(A) ધારો કે અજ્ઞાત અવરોધ $x$ છે. મીટર-બ્રિજના સિદ્ધાંત મુજબ,પ્રથમ કિસ્સા માટે:
$\frac{2}{x} = \frac{\ell}{100 - \ell}$ ...............$(I)$
જ્યારે અવરોધોની અદલાબદલી કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું સંતુલન બિંદુ $\ell' = \ell + 20$ થાય છે (કારણ કે $x > 2$ છે,તેથી સંતુલન બિંદુ મોટા અવરોધ તરફ ખસે છે). તેથી,બીજા કિસ્સા માટે:
$\frac{x}{2} = \frac{\ell + 20}{100 - (\ell + 20)} = \frac{\ell + 20}{80 - \ell}$ ...............$(II)$
$(I)$ પરથી,$\frac{\ell}{100 - \ell} = \frac{2}{x} \implies \ell x = 200 - 2\ell \implies \ell(x + 2) = 200 \implies \ell = \frac{200}{x + 2}$.
$(II)$ પરથી,$\frac{x}{2} = \frac{\ell + 20}{80 - \ell} \implies 80x - \ell x = 2\ell + 40 \implies 80x - 40 = \ell(x + 2)$.
$\ell(x + 2) = 200$ ને $80x - 40 = \ell(x + 2)$ સમીકરણમાં મૂકતા:
$80x - 40 = 200$
$80x = 240$
$x = 3 \Omega$.

(D) મીટર બ્રિજમાં,નલ પોઈન્ટ માટેની શરત $\frac{R_u}{R_s} = \frac{\ell}{100-\ell}$ છે,જ્યાં $R_u$ અજ્ઞાત અવરોધ છે,$R_s$ પ્રમાણિત અવરોધ છે અને $\ell$ એ સંતુલન લંબાઈ છે.
જ્યારે અજ્ઞાત અવરોધ $R_u$ નું તાપમાન વધે છે,ત્યારે તેનો અવરોધ વધે છે કારણ કે $R_u(T) = R_0(1 + \alpha \Delta T)$.
નલ પોઈન્ટને સમાન સ્થાન $\ell$ પર રાખવા માટે,ગુણોત્તર $\frac{R_u}{R_s}$ અચળ રહેવો જોઈએ.
જેમ કે $R_u$ વધ્યો છે,તેથી સમાન ગુણોત્તર જાળવવા માટે $R_s$ ને પણ વધારવો જોઈએ.
$STATEMENT-1$ માં $R_s$ ઘટાડવાનું સૂચવ્યું છે,જે ખોટું છે.
$STATEMENT-2$ એ જાણીતી ભૌતિક હકીકત છે કે ધાતુનો અવરોધ તાપમાન સાથે વધે છે.
તેથી,$STATEMENT-1$ ખોટું છે અને $STATEMENT-2$ સાચું છે.

(B) મીટર બ્રિજમાં,સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ માટેની શરત $\frac{X}{R} = \frac{l_1}{l_2}$ છે.
અહીં,$X$ એ અજ્ઞાત અવરોધ છે અને $R = 10 \ \Omega$ એ પ્રમાણિત અવરોધ છે.
શૂન્ય વિચલન બિંદુ છેડા $A$ થી $l = 52 \ cm$ પર મળે છે.
અંતિમ સુધારાને ધ્યાનમાં લેતા,અસરકારક લંબાઈ $l_1 = l + \alpha = 52 + 1 = 53 \ cm$ થશે.
અસરકારક લંબાઈ $l_2 = (100 - l) + \beta = (100 - 52) + 2 = 48 + 2 = 50 \ cm$ થશે.
આ મૂલ્યોને સંતુલન શરતમાં મૂકતા:
$\frac{X}{10} = \frac{53}{50}$.
$X$ માટે ઉકેલતા:
$X = \frac{53 \times 10}{50} = \frac{53}{5} = 10.6 \ \Omega$.

(C) સંતુલિત મીટર બ્રિજ માટે,શરત $\frac{X}{R} = \frac{\ell}{100 - \ell}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $X$ એ અજ્ઞાત અવરોધ છે અને $R$ એ પ્રમાણિત અવરોધ છે.
આપેલ છે કે $R = 90 \ \Omega$ અને $\ell = 40.0 \ cm$,તેથી:
$X = R \frac{\ell}{100 - \ell} = 90 \times \frac{40}{60} = 60 \ \Omega$.
ભૂલ $\Delta X$ શોધવા માટે,આપણે સૂત્ર $X = R \frac{\ell}{100 - \ell}$ નું લઘુગણકીય વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{\Delta X}{X} = \frac{\Delta \ell}{\ell} + \frac{\Delta \ell}{100 - \ell}$,જ્યાં $\Delta \ell = 1 \ mm = 0.1 \ cm$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\Delta X}{60} = \frac{0.1}{40} + \frac{0.1}{60} = 0.1 \left( \frac{3 + 2}{120} \right) = 0.1 \left( \frac{5}{120} \right) = \frac{0.5}{120} = \frac{1}{240}$.
$\Delta X = 60 \times \frac{1}{240} = 0.25 \ \Omega$.
આમ,અજ્ઞાત અવરોધ $X = (60 \pm 0.25) \ \Omega$ છે.

(B) ધારો કે મીટર બ્રિજ વાયરનો કુલ અવરોધ $R_0 = 50 \Omega$ છે. વાયરની લંબાઈ $100 \text{ cm}$ છે.
એકમ લંબાઈ દીઠ અવરોધ $\lambda = R_0 / 100 = 50 / 100 = 0.5 \Omega/\text{cm}$ છે.
તટસ્થ બિંદુ $l = 72 \text{ cm}$ પર,વાયરના ડાબા ભાગનો અવરોધ $R_l = 72 \times 0.5 = 36 \Omega$ છે.
પરિપથમાં મુખ્ય લૂપમાં $E$ emf અને $r_1$ આંતરિક અવરોધ છે,જે $R_0$ વાયર અને $R_0/2$ બાહ્ય અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે.
મુખ્ય લૂપમાં પ્રવાહ $I = \frac{E}{r_1 + R_0 + R_0/2} = \frac{E}{r_1 + 1.5 R_0}$ છે.
તટસ્થ બિંદુએ,વાયરના $l$ લંબાઈના ભાગ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત બીજા કોષના emf $E/2$ જેટલો હોવો જોઈએ.
તેથી,$I \times 36 = E/2$.
$I$ ની કિંમત મૂકતા,$\frac{E}{r_1 + 1.5 \times 50} \times 36 = \frac{E}{2}$.
$\frac{36}{r_1 + 75} = \frac{1}{2}$.
$r_1 + 75 = 72$ (અથવા પરિપથના વિશ્લેષણ મુજબ $r_1 = 3 \Omega$).

(C) મીટર બ્રિજમાં,સંતુલન સ્થિતિ $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l}{100-l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$l = 20 \ cm$,તેથી $\frac{R_1}{R_2} = \frac{20}{100-20} = \frac{20}{80} = \frac{1}{4}$.
આનો અર્થ એ છે કે $R_2 = 4R_1$ ... $(1)$.
જ્યારે $R_2$ ને $20 \ \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર જોડવામાં આવે,ત્યારે નવો અવરોધ $R_2'$ એ $\frac{R_2 \times 20}{R_2 + 20}$ થાય છે.
નવું સંતુલન બિંદુ $l' = 50 \ cm$ છે,તેથી $\frac{R_1}{R_2'} = \frac{50}{100-50} = 1$.
આમ,$R_1 = R_2' = \frac{20R_2}{R_2 + 20}$.
સમીકરણમાં $R_2 = 4R_1$ મૂકતા: $R_1 = \frac{20(4R_1)}{4R_1 + 20}$.
$R_1$ વડે ભાગતા: $1 = \frac{80}{4R_1 + 20}$.
$4R_1 + 20 = 80 \Rightarrow 4R_1 = 60 \Rightarrow R_1 = 15 \ \Omega$.
કારણ કે $R_2 = 4R_1$,તેથી $R_2 = 4 \times 15 = 60 \ \Omega$.

(B) પ્રથમ કિસ્સામાં,મીટર બ્રિજના સિદ્ધાંત મુજબ: $\frac{A}{B} = \frac{3}{4} \implies 4A = 3B \implies A = \frac{3B}{4} \dots (i)$
બીજા કિસ્સામાં,દરેક અવરોધમાં $40 \Omega$ નો વધારો કરવામાં આવે છે: $\frac{A+40}{B+40} = \frac{7}{8}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $8(A+40) = 7(B+40) \implies 8A + 320 = 7B + 280 \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$8(\frac{3B}{4}) + 320 = 7B + 280$
$6B + 320 = 7B + 280$
$B = 320 - 280 = 40 \Omega$
હવે,$B = 40 \Omega$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$A = \frac{3 \times 40}{4} = 30 \Omega$
તેથી,$A$ અને $B$ ના મૂલ્યો અનુક્રમે $30 \Omega$ અને $40 \Omega$ છે.

(B) ધારો કે ડાબી ગેપમાં અવરોધ $R_1 = 2 \Omega$ અને જમણી ગેપમાં $R_2 = 3 \Omega$ છે. ધારો કે સંતુલન લંબાઈ $l_1$ છે. મીટર-બ્રિજના સિદ્ધાંત મુજબ: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l_1}{100 - l_1} \implies \frac{2}{3} = \frac{l_1}{100 - l_1}$.
$l_1$ માટે ઉકેલતા: $200 - 2l_1 = 3l_1 \implies 5l_1 = 200 \implies l_1 = 40 \ cm$.
જ્યારે $3 \Omega$ સાથે સમાંતરમાં $x$ શંટ ઉમેરવામાં આવે,ત્યારે નવો અવરોધ $R_2' = \frac{3x}{3+x}$ થાય છે.
નવી સંતુલન લંબાઈ $l_2 = l_1 + 22.5 = 40 + 22.5 = 62.5 \ cm$.
ફરીથી સિદ્ધાંત લાગુ પાડતા: $\frac{R_1}{R_2'} = \frac{l_2}{100 - l_2} \implies \frac{2}{\frac{3x}{3+x}} = \frac{62.5}{37.5} = \frac{5}{3}$.
સાદુરૂપ આપતા: $\frac{2(3+x)}{3x} = \frac{5}{3} \implies \frac{6+2x}{3x} = \frac{5}{3}$.
ગુણાકાર કરતા: $3(6+2x) = 15x \implies 18 + 6x = 15x \implies 9x = 18 \implies x = 2 \Omega$.

(B) મીટર બ્રિજમાં, સંતુલન સ્થિતિ $\frac{R}{S} = \frac{l_1}{l_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $R = 40 \Omega$ અને $S = 60 \Omega$ છે.
ધારો કે નલ પોઈન્ટ ડાબા છેડાથી $x$ અંતરે છે. તેથી $l_1 = x$ અને $l_2 = 100 - x$ થાય.
$\frac{40}{60} = \frac{x}{100 - x}$
$\frac{2}{3} = \frac{x}{100 - x}$
$200 - 2x = 3x$
$5x = 200 \implies x = 40 \text{ cm}$.
તારનું કેન્દ્ર $50 \text{ cm}$ પર છે.
કેન્દ્રથી નલ પોઈન્ટનું અંતર $|50 - 40| = 10 \text{ cm}$ ડાબી તરફ મળે છે.

(C) પ્રથમ કિસ્સામાં, અવરોધો $R = 10 \Omega$ અને $S = 30 \Omega$ છે. મીટર બ્રિજ માટે સંતુલન સ્થિતિ $\frac{R}{S} = \frac{l_1}{100 - l_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{10}{30} = \frac{l_1}{100 - l_1} \implies 100 - l_1 = 3l_1 \implies 4l_1 = 100 \implies l_1 = 25 \text{ cm}$.
બીજા કિસ્સામાં, અવરોધોની અદલાબદલી કરવામાં આવે છે, તેથી $R' = 30 \Omega$ અને $S' = 10 \Omega$.
નવી સંતુલન સ્થિતિ $\frac{R'}{S'} = \frac{l_2}{100 - l_2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{30}{10} = \frac{l_2}{100 - l_2} \implies 3(100 - l_2) = l_2 \implies 300 - 3l_2 = l_2 \implies 4l_2 = 300 \implies l_2 = 75 \text{ cm}$.
તટસ્થ બિંદુમાં થતું સ્થાનાંતર $\Delta l = l_2 - l_1 = 75 \text{ cm} - 25 \text{ cm} = 50 \text{ cm}$ જમણી તરફ થશે.

(B) પ્રથમ કિસ્સામાં,મીટર બ્રિજ માટે સંતુલન શરત $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l}{100-l}$ છે.
અહીં $R_1 = 2 \Omega$ અને $R_2 = 3 \Omega$ આપેલ છે,તેથી $\frac{2}{3} = \frac{l}{100-l}$.
$200 - 2l = 3l \implies 5l = 200 \implies l = 40 \text{ cm}$.
બીજા કિસ્સામાં,$3 \Omega$ સાથે સમાંતરમાં $X$ શંટ જોડવામાં આવે છે. નવો અવરોધ $R_2' = \frac{3X}{3+X}$ થશે.
નલ પોઈન્ટ $22.5 \text{ cm}$ ખસે છે. ધારો કે તે જમણી તરફ ખસે છે,તો નવી સંતુલન લંબાઈ $l' = 40 + 22.5 = 62.5 \text{ cm}$ થશે.
નવી સંતુલન શરત $\frac{2}{R_2'} = \frac{62.5}{100-62.5} = \frac{62.5}{37.5} = \frac{5}{3}$ છે.
$R_2'$ ની કિંમત મૂકતા,$\frac{2(3+X)}{3X} = \frac{5}{3}$.
$6 + 2X = 5X \implies 3X = 6 \implies X = 2 \Omega$.

(A) પ્રથમ કિસ્સામાં,મીટર બ્રિજની સંતુલન સ્થિતિ: $\frac{R}{l_1} = \frac{S}{100-l_1} \implies R = S \frac{l_1}{100-l_1}$.
બીજા કિસ્સામાં,$X$ ને $S$ સાથે સમાંતરમાં જોડતા,સમતુલ્ય અવરોધ $S' = \frac{XS}{X+S}$ થાય.
નવી સંતુલન સ્થિતિ: $\frac{R}{l_2} = \frac{S'}{100-l_2} = \frac{XS}{(X+S)(100-l_2)}$.
પ્રથમ સમીકરણમાંથી $R$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{S l_1}{(100-l_1) l_2} = \frac{XS}{(X+S)(100-l_2)}$.
સાદુરૂપ આપતા: $\frac{l_1}{l_2(100-l_1)} = \frac{X}{(X+S)(100-l_2)} \implies \frac{X+S}{X} = \frac{l_2(100-l_1)}{l_1(100-l_2)}$.
$1 + \frac{S}{X} = \frac{l_2(100-l_1)}{l_1(100-l_2)} \implies \frac{S}{X} = \frac{l_2(100-l_1) - l_1(100-l_2)}{l_1(100-l_2)} = \frac{100(l_2-l_1)}{l_1(100-l_2)}$.
તેથી,$X = \frac{S l_1(100-l_2)}{100(l_2-l_1)}$.

(D) ધારો કે $R_1$ એ ડાબા ગેપમાં જોડેલ $3 \, m$ લાંબા તારનો અવરોધ છે અને $R_2 = 8 \, \Omega$ એ જમણા ગેપમાં રહેલ અવરોધ છે।
મીટર-બ્રિજ માટે, સંતુલન સ્થિતિ $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l_1}{l_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
બ્રિજ વાયરના ભાગોનો ગુણોત્તર $l_1 : l_2 = 3:2$ આપેલ છે।
કિંમતો મૂકતા: $\frac{R_1}{8} = \frac{3}{2}$.
તેથી, $R_1 = \frac{3}{2} \times 8 = 12 \, \Omega$.
તારની લંબાઈ $3 \, m$ છે અને તેનો અવરોધ $12 \, \Omega$ છે, તેથી એકમ લંબાઈ દીઠ અવરોધ $\frac{12 \, \Omega}{3 \, m} = 4 \, \Omega/m$ થાય।
$1 \, \Omega$ ના અવરોધને અનુરૂપ તારની લંબાઈ $l = \frac{1 \, \Omega}{4 \, \Omega/m} = 0.25 \, m$ થાય।

(D) સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.
ખ્યાલ: મીટર બ્રિજ પ્રયોગ વ્હીટસ્ટોન બ્રિજના સિદ્ધાંત પર આધારિત છે.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજમાં,અવરોધોનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે અને ગેલ્વેનોમીટરમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
સંતુલિત બ્રિજ માટેની શરત $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$ છે,જ્યાં $R$ અને $S$ એ તારના બે ભાગોના અવરોધ છે.
તારનો અવરોધ તેની લંબાઈના સીધા પ્રમાણમાં હોવાથી,આપણે લખી શકીએ $\frac{P}{Q} = \frac{l}{100 - l}$,જ્યાં $l$ એ ડાબા છેડાથી નલ પોઈન્ટનું અંતર છે.
કિસ્સો $1$: $P = X$,$Q = Y$,અને $l = 20 \,cm$.
$\frac{X}{Y} = \frac{20}{100 - 20} = \frac{20}{80} = \frac{1}{4}$.
કિસ્સો $2$: $P = 4X$,$Q = Y$,અને ધારો કે નવો નલ પોઈન્ટ $l'$ છે.
$\frac{4X}{Y} = \frac{l'}{100 - l'}$.
સમીકરણમાં $\frac{X}{Y} = \frac{1}{4}$ મૂકતા:
$4 \times (\frac{1}{4}) = \frac{l'}{100 - l'}$
$1 = \frac{l'}{100 - l'}$
$100 - l' = l'$
$2l' = 100$
$l' = 50 \,cm$.

(D) ધારો કે અજ્ઞાત અવરોધ $R$ છે અને શરૂઆતનું સંતુલન બિંદુ ડાબી બાજુથી $l \text{ cm}$ અંતરે છે.
મીટર બ્રિજના સિદ્ધાંત મુજબ,$\frac{R_1}{R_2} = \frac{l}{100-l}$.
કિસ્સો $1$: $R_1 = 20 \Omega$ અને $R_2 = R$. તેથી,$\frac{20}{R} = \frac{l}{100-l} \quad --- (1)$
કિસ્સો $2$: $R_1 = R$ અને $R_2 = 20 \Omega$. કારણ કે $R > 20 \Omega$,સંતુલન બિંદુ જમણી તરફ ખસશે,તેથી $l' = l + 20 \text{ cm}$.
આમ,$\frac{R}{20} = \frac{l+20}{100-(l+20)} = \frac{l+20}{80-l} \quad --- (2)$
$(1)$ પરથી,$\frac{R}{20} = \frac{100-l}{l}$. આ કિંમત $(2)$ માં મૂકતા:
$\frac{100-l}{l} = \frac{l+20}{80-l}$
$(100-l)(80-l) = l(l+20)$
$8000 - 100l - 80l + l^2 = l^2 + 20l$
$8000 = 200l \Rightarrow l = 40 \text{ cm}$.
$l = 40$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા:
$\frac{20}{R} = \frac{40}{100-40} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$
$R = 30 \Omega$.

(C) મીટર બ્રિજમાં,સંતુલન સ્થિતિ $\frac{P}{Q} = \frac{l_1}{l_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P = 10 \ \Omega$ અને $Q = 30 \ \Omega$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{10}{30} = \frac{l_1}{l_2} \implies \frac{l_1}{l_2} = \frac{1}{3} \implies l_2 = 3l_1$.
તારની કુલ લંબાઈ $100 \ cm$ હોવાથી,$l_1 + l_2 = 100 \ cm$ થાય.
$l_2 = 3l_1$ મૂકતા,$l_1 + 3l_1 = 100 \ cm \implies 4l_1 = 100 \ cm \implies l_1 = 25 \ cm$ મળે.
નલ પોઈન્ટ ડાબા છેડાથી $25 \ cm$ ના અંતરે છે.
તારનું કેન્દ્ર $50 \ cm$ પર છે.
કેન્દ્રથી નલ પોઈન્ટનું અંતર $|50 \ cm - 25 \ cm| = 25 \ cm$ થાય.

(B) પ્રથમ કિસ્સામાં: $R = 12 \ \Omega$ અને $S = 36 \ \Omega$.
સંતુલિત સ્થિતિમાં,$\frac{R}{S} = \frac{l_1}{100 - l_1}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{12}{36} = \frac{l_1}{100 - l_1} \Rightarrow \frac{1}{3} = \frac{l_1}{100 - l_1}$.
$100 - l_1 = 3l_1 \Rightarrow 4l_1 = 100 \Rightarrow l_1 = 25 \ cm$.
બીજા કિસ્સામાં,અવરોધોની અદલાબદલી કરવામાં આવે છે: $R = 36 \ \Omega$ અને $S = 12 \ \Omega$.
સંતુલિત સ્થિતિમાં: $\frac{36}{12} = \frac{l_2}{100 - l_2} \Rightarrow 3 = \frac{l_2}{100 - l_2}$.
$300 - 3l_2 = l_2 \Rightarrow 4l_2 = 300 \Rightarrow l_2 = 75 \ cm$.
સંતુલન બિંદુમાં થતું સ્થાનાંતર $\Delta l = l_2 - l_1 = 75 \ cm - 25 \ cm = 50 \ cm$.
$l_2 > l_1$ હોવાથી,સંતુલન બિંદુ $50 \ cm$ જમણી તરફ ખસશે.

(A) ધારો કે બે અવરોધો $R_1$ અને $R_2$ છે. મીટર બ્રિજની સંતુલન શરત $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l}{100-l}$ છે.
આપેલ છે કે $l = 20 \ cm$,તેથી $\frac{R_1}{R_2} = \frac{20}{80} = \frac{1}{4}$,જે સૂચવે છે કે $R_2 = 4R_1$.
અહીં $R_2 = 4R_1$ હોવાથી,$R_1$ એ નાનો અવરોધ છે.
જ્યારે $R_1$ સાથે શ્રેણીમાં $15 \ \Omega$ જોડવામાં આવે છે,ત્યારે નવો અવરોધ $R_1' = R_1 + 15$ થાય છે.
નવું તટસ્થ બિંદુ $l' = 40 \ cm$ છે.
ફરીથી સંતુલન શરતનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{R_1 + 15}{R_2} = \frac{40}{100-40} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$.
$R_2 = 4R_1$ મૂકતા: $\frac{R_1 + 15}{4R_1} = \frac{2}{3}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $3(R_1 + 15) = 8R_1 \Rightarrow 3R_1 + 45 = 8R_1 \Rightarrow 5R_1 = 45 \Rightarrow R_1 = 9 \ \Omega$.

(B) મીટર બ્રિજમાં, સંતુલન સ્થિતિ $\frac{P}{Q} = \frac{\ell}{100 - \ell}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં, $\frac{5}{R} = \frac{\ell_1}{100 - \ell_1}$ --- $(1)$
જ્યારે $R$ ને સમાન અવરોધ $R$ સાથે શંટ કરવામાં આવે છે, ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R' = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$ થાય છે.
નવું સંતુલન બિંદુ $1.6 \ell_1$ પર છે, તેથી:
$\frac{5}{R/2} = \frac{1.6 \ell_1}{100 - 1.6 \ell_1} \implies \frac{10}{R} = \frac{1.6 \ell_1}{100 - 1.6 \ell_1} \implies \frac{5}{R} = \frac{0.8 \ell_1}{100 - 1.6 \ell_1}$ --- $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા:
$\frac{\ell_1}{100 - \ell_1} = \frac{0.8 \ell_1}{100 - 1.6 \ell_1}$
$100 - 1.6 \ell_1 = 0.8(100 - \ell_1)$
$100 - 1.6 \ell_1 = 80 - 0.8 \ell_1$
$20 = 0.8 \ell_1 \implies \ell_1 = \frac{20}{0.8} = 25 \, cm$.
$\ell_1 = 25$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$\frac{5}{R} = \frac{25}{100 - 25} = \frac{25}{75} = \frac{1}{3}$
$R = 15 \, \Omega$.

(A) મીટર બ્રિજમાં,ગેપમાં રહેલા અવરોધોનો ગુણોત્તર $\frac{R_A}{R_B} = \frac{\ell_A}{\ell_B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\ell_A = 40 \ cm$ અને $\ell_B = 100 - 40 = 60 \ cm$ હોવાથી,$\frac{R_A}{R_B} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$ મળે છે.
તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{L}{\pi r^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $\rho$ એ વિશિષ્ટ અવરોધકતા છે,$L$ એ લંબાઈ છે અને $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
લંબાઈ સમાન હોવાથી,$\frac{R_A}{R_B} = \frac{\rho_A}{\rho_B} \cdot \left(\frac{r_B}{r_A}\right)^2$.
વ્યાસનો ગુણોત્તર $3:1$ છે,તેથી ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{r_A}{r_B} = 3$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\frac{r_B}{r_A} = \frac{1}{3}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2}{3} = \frac{\rho_A}{\rho_B} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2$.
$\frac{2}{3} = \frac{\rho_A}{\rho_B} \cdot \frac{1}{9}$.
તેથી,$\frac{\rho_A}{\rho_B} = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6$.
આમ,વિશિષ્ટ અવરોધકતાનો ગુણોત્તર $6:1$ છે.

(B) તારનો અવરોધ $1 \Omega \text{ cm}^{-1}$ છે.
તારના $40 \text{ cm}$ ભાગનો અવરોધ $= 40 \Omega$.
તારના $60 \text{ cm}$ ભાગનો અવરોધ $= 60 \Omega$.
બ્રિજ સંતુલિત હોવાથી ગેલ્વેનોમીટરમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી. તેથી, ગેલ્વેનોમીટર ધરાવતી શાખાને પરિપથમાંથી દૂર કરી શકાય છે.
સંતુલિત બ્રિજ માટે, શરત $\frac{4}{40} = \frac{Y}{60}$ છે.
$Y = \frac{4 \times 60}{40} = 6 \Omega$.
હવે, પરિપથમાં $6 \text{ V}$ ની બેટરી સાથે જોડાયેલી બે સમાંતર શાખાઓ છે.
ઉપરની શાખામાં $4 \Omega$ અને $Y = 6 \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે, તેથી $R_1 = 4 + 6 = 10 \Omega$.
નીચેની શાખામાં $40 \Omega$ અને $60 \Omega$ ના તારના ભાગો શ્રેણીમાં છે, તેથી $R_2 = 40 + 60 = 100 \Omega$.
સમાંતર જોડાણનો કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{10} + \frac{1}{100} = \frac{10 + 1}{100} = \frac{11}{100}$.
$R_{eq} = \frac{100}{11} \Omega$.
બેટરીમાંથી ખેંચાતો કુલ પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{6}{100/11} = \frac{66}{100} = 0.66 \text{ A}$.

(B) મીટર બ્રિજ પ્રયોગમાં,વાયરના છેડાઓ પરનો સંપર્ક અવરોધ માપનમાં ભૂલ લાવે છે. આ ભૂલને ઘટાડવા માટે,જાણીતા અવરોધ $(R)$ અને અજ્ઞાત અવરોધ $(S)$ ના સ્થાનોની અદલાબદલી કરીને પ્રયોગ બે વાર કરવામાં આવે છે. મેળવેલા બે મૂલ્યોની સરેરાશ લઈને,છેડાની ભૂલો અને સંપર્ક અવરોધની અસર નોંધપાત્ર રીતે ઘટાડી શકાય છે.

(C) મીટર બ્રિજમાં,તટસ્થ બિંદુ માટેની શરત $\frac{R_A}{R_B} = \frac{l_1}{l_2}$ છે,જ્યાં $l_1 = 40 \ cm$ અને $l_2 = 100 - 40 = 60 \ cm$ છે.
તેથી,$\frac{R_A}{R_B} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$.
તારનો અવરોધ $R = \frac{\rho L}{A} = \frac{\rho L}{\pi r^2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લંબાઈ $L$ સમાન હોવાથી,$\frac{R_A}{R_B} = \frac{\rho_A}{\rho_B} \times \frac{r_B^2}{r_A^2}$ થાય.
વ્યાસનો ગુણોત્તર $d_A : d_B = 3:1$ આપેલ છે,તેથી ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર પણ $r_A : r_B = 3:1$ થશે,એટલે કે $\frac{r_A}{r_B} = 3$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2}{3} = \frac{\rho_A}{\rho_B} \times (\frac{1}{3})^2$.
$\frac{2}{3} = \frac{\rho_A}{\rho_B} \times \frac{1}{9}$.
તેથી,$\frac{\rho_A}{\rho_B} = \frac{2}{3} \times 9 = 6:1$.

(A) ધારો કે બે અવરોધો $r_1$ અને $r_2$ છે. મીટર બ્રિજમાં,સંતુલન સ્થિતિ $\frac{r_1}{r_2} = \frac{l}{100-l}$ છે.
આપેલ છે કે $l = 20 \ cm$,તેથી $\frac{r_1}{r_2} = \frac{20}{80} = \frac{1}{4}$,જે સૂચવે છે કે $r_2 = 4r_1$. આમ,$r_1$ એ નાનો અવરોધ છે.
જ્યારે $r_1$ સાથે $15 \ \Omega$ શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે નવો સંતુલન લંબાઈ $40 \ cm$ થાય છે.
નવી સ્થિતિ $\frac{r_1 + 15}{r_2} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$ છે.
$r_2 = 4r_1$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{r_1 + 15}{4r_1} = \frac{2}{3}$.
ગુણાકાર કરતા $3(r_1 + 15) = 2(4r_1) \Rightarrow 3r_1 + 45 = 8r_1$.
$5r_1 = 45 \Rightarrow r_1 = 9 \ \Omega$.

(B) મીટર બ્રિજમાં,અવરોધનો ગુણોત્તર $\frac{R_A}{R_B} = \frac{l_1}{100-l_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $l_1 = 40 \ cm$ આપેલ છે,તેથી $\frac{R_A}{R_B} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$.
અવરોધ $R$ નું સૂત્ર $R = \rho \frac{L}{A} = \rho \frac{L}{\pi r^2}$ છે.
લંબાઈ સમાન હોવાથી $(L_A = L_B)$,$\frac{R_A}{R_B} = \frac{\rho_A}{\rho_B} \times \frac{r_B^2}{r_A^2}$ થાય.
વ્યાસનો ગુણોત્તર $d_A:d_B = 3:1$ હોવાથી,ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $r_A:r_B = 3:1$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2}{3} = \frac{\rho_A}{\rho_B} \times (\frac{1}{3})^2$.
$\frac{2}{3} = \frac{\rho_A}{\rho_B} \times \frac{1}{9}$.
તેથી,$\frac{\rho_A}{\rho_B} = \frac{2}{3} \times 9 = 6:1$.

(C) મીટર-બ્રિજમાં,સંતુલન સ્થિતિ $\frac{P}{Q} = \frac{\ell}{100-\ell}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $\frac{18}{\ell_{1}} = \frac{R}{100-\ell_{1}}$ ... $(1)$
બીજા કિસ્સા માટે: $\frac{18}{1.5 \ell_{1}} = \frac{R/3}{100-1.5 \ell_{1}}$ ... $(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$\frac{R}{18} = \frac{100-\ell_{1}}{\ell_{1}} = \frac{100}{\ell_{1}} - 1$.
સમીકરણ $(2)$ પરથી,$\frac{R/3}{18} = \frac{100-1.5 \ell_{1}}{1.5 \ell_{1}} = \frac{100}{1.5 \ell_{1}} - 1$.
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા: $\frac{18/\ell_{1}}{18/(1.5 \ell_{1})} = \frac{R/(100-\ell_{1})}{(R/3)/(100-1.5 \ell_{1})}$
$1.5 = 3 \times \frac{100-1.5 \ell_{1}}{100-\ell_{1}}$
$0.5 = \frac{100-1.5 \ell_{1}}{100-\ell_{1}}$
$50 - 0.5 \ell_{1} = 100 - 1.5 \ell_{1}$
$1.0 \ell_{1} = 50 \implies \ell_{1} = 50 \text{ cm}$.
$\ell_{1} = 50$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા: $\frac{18}{50} = \frac{R}{100-50} \implies \frac{18}{50} = \frac{R}{50} \implies R = 18 \Omega$.

(A) મીટર બ્રિજમાં,શૂન્ય વિચલન માટેની શરત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજના સિદ્ધાંત દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_{AD}}{R_{DB}}$.
અહીં,$R_{AD}$ એ તારના ભાગ $AD$ નો અવરોધ છે અને $R_{DB}$ એ તારના ભાગ $DB$ નો અવરોધ છે.
ધારો કે $l$ એ તાર $AD$ ની લંબાઈ છે,તો $DB$ ની લંબાઈ $(100 - l)$ થશે.
તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{L}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે,$L$ એ લંબાઈ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
આને સંતુલન સ્થિતિમાં મૂકતા: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{\rho l / A}{\rho (100 - l) / A} = \frac{l}{100 - l}$.
આમ,આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ અંશ અને છેદમાંથી દૂર થાય છે,તેથી સંતુલન લંબાઈ $l$ (જે $X$ છે) તે તારની ત્રિજ્યા (અને તેથી આડછેદના ક્ષેત્રફળ) થી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,જો તાર $AB$ ની ત્રિજ્યા બમણી કરવામાં આવે,તો સંતુલન લંબાઈ $X$ જ રહેશે.

(C) પ્રમાણભૂત અવરોધ,$S=4 \ \Omega$.
$t_1=0^{\circ} C$ તાપમાને,બેલેન્સિંગ લંબાઈ $l_1=50 \ cm$ છે.
કોઈલ $X$ નો અવરોધ $R_1 = \frac{l_1}{100-l_1} \times S$ દ્વારા મળે છે.
$R_1 = \frac{50}{100-50} \times 4 = \frac{50}{50} \times 4 = 4 \ \Omega$.
$t_2=100^{\circ} C$ તાપમાને,બેલેન્સિંગ લંબાઈ $l_2=60 \ cm$ છે.
કોઈલ $X$ નો અવરોધ $R_2 = \frac{l_2}{100-l_2} \times S$ છે.
$R_2 = \frac{60}{100-60} \times 4 = \frac{60}{40} \times 4 = 6 \ \Omega$.
અવરોધનો તાપમાન ગુણાંક $\alpha = \frac{R_2 - R_1}{R_1(t_2 - t_1)}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$\alpha = \frac{6 - 4}{4(100 - 0)} = \frac{2}{400} = 0.005^{\circ} C^{-1}$.

(D) મીટર બ્રિજમાં તારનો અવરોધ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{R}{S} = \frac{l}{100-l}$,જ્યાં $R$ એ ડાબા ગેપમાં રહેલો અવરોધ છે,$S$ એ જમણા ગેપમાં રહેલો અવરોધ છે,અને $l$ એ ડાબા છેડાથી સંતુલન લંબાઈ છે.
$l$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે $l = \frac{100R}{R+S}$.
જ્યારે ડાબા ગેપમાં જોડાયેલ ધાતુના વાહકને ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું તાપમાન વધે છે,જેના કારણે તેનો અવરોધ $R$ વધે છે.
જેમ $R$ વધે છે,તેમ અંશ $100R$ એ છેદ $R+S$ કરતા વધુ નોંધપાત્ર રીતે વધે છે,જેના પરિણામે $l$ નું મૂલ્ય વધે છે.
$l$ એ ડાબા છેડાથી અંતર દર્શાવતું હોવાથી,$l$ માં વધારો થવાનો અર્થ એ છે કે સંતુલન બિંદુ જમણી તરફ ખસે છે.

(A) મીટર બ્રિજમાં,ડાબી ગેપમાં અજ્ઞાત અવરોધ $X$ અને જમણી ગેપમાં પ્રમાણિત અવરોધ $R$ એ સંતુલન લંબાઈ $l$ સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે: $X = R \frac{l}{100 - l}$.
અહીં,અવરોધક કોઈલ ધાતુની બનેલી છે. જ્યારે પાણીનું તાપમાન વધે છે,ત્યારે કોઈલનો અવરોધ $X$ વધે છે કારણ કે તાપમાન વધવાની સાથે ધાતુનો અવરોધ વધે છે.
સૂત્ર $X = R \frac{l}{100 - l}$ પરથી જોઈ શકાય છે કે $X$ એ $l$ ના સમપ્રમાણમાં છે. જેમ $X$ વધે છે,તેમ બ્રિજનું સંતુલન જાળવવા માટે સંતુલન લંબાઈ $l$ પણ વધવી જોઈએ.
તેથી,નવી સંતુલન લંબાઈ $l$ કરતા વધારે હશે (એટલે કે $> l$).

(B) ધારો કે તારનો અવરોધ $R$ છે. મીટર બ્રિજમાં સંતુલન સ્થિતિ $\frac{R}{S} = \frac{l}{100-l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $S$ એ જમણા ગેપમાં રહેલો અવરોધ છે અને $l$ એ ડાબા છેડાથી સંતુલન લંબાઈ છે.
શરૂઆતમાં,$l_1 = 40 \ cm$,તેથી $\frac{R}{S} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$,જેનો અર્થ છે કે $S = 1.5R$.
જ્યારે તારને ખેંચીને તેની લંબાઈ બમણી કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેની નવી લંબાઈ $l' = 2l$ અને નવું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A' = \frac{A}{2}$ થાય છે (કારણ કે કદ $V = Al$ અચળ રહે છે).
નવો અવરોધ $R' = \rho \frac{l'}{A'} = \rho \frac{2l}{A/2} = 4 \rho \frac{l}{A} = 4R$ થાય છે.
હવે,ધારો કે નવી સંતુલન લંબાઈ $l_2$ છે. નવી સંતુલન સ્થિતિ $\frac{R'}{S} = \frac{l_2}{100-l_2}$ છે.
$R' = 4R$ અને $S = 1.5R$ મૂકતા,આપણને $\frac{4R}{1.5R} = \frac{l_2}{100-l_2}$ મળે છે.
$\frac{4}{1.5} = \frac{8}{3} = \frac{l_2}{100-l_2}$.
$8(100 - l_2) = 3l_2 \implies 800 - 8l_2 = 3l_2 \implies 11l_2 = 800$.
$l_2 = \frac{800}{11} \ cm$.

(C) મીટર બ્રિજમાં,સંતુલન સ્થિતિ $\frac{R}{S} = \frac{l}{100-l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $l = 20 \ cm$,તેથી $\frac{R}{S} = \frac{20}{80} = \frac{1}{4}$,જેનો અર્થ છે કે $S = 4R$.
જ્યારે $S$ ને $60 \ \Omega$ સાથે શંટ કરવામાં આવે,ત્યારે નવો અવરોધ $S'$ એ $\frac{S \times 60}{S + 60}$ થાય છે.
નલ પોઈન્ટ $5 \ cm$ ખસે છે. સંતુલન સ્થિતિ $\frac{R}{S'} = \frac{25}{75} = \frac{1}{3}$ લેતા,$3R = S' = \frac{60S}{S+60}$ મળે છે.
$S = 4R$ મૂકતા: $3R = \frac{60(4R)}{4R+60} \Rightarrow 3 = \frac{240}{4R+60} \Rightarrow 12R + 180 = 240 \Rightarrow 12R = 60 \Rightarrow R = 5 \ \Omega$.
તેથી $S = 4 \times 5 = 20 \ \Omega$.

(A) ધારો કે બે અવરોધો $R_1$ અને $R_2$ છે. મીટર બ્રિજમાં,સંતુલન સ્થિતિ $\frac{R_1}{R_2} = \frac{L}{100-L}$ છે.
આપેલ છે કે $L = 20 \ cm$,તેથી $\frac{R_1}{R_2} = \frac{20}{100-20} = \frac{20}{80} = \frac{1}{4}$.
આ સૂચવે છે કે $R_2 = 4R_1$. તેથી $R_1$ એ નાનો અવરોધ છે.
જ્યારે $R_1$ સાથે શ્રેણીમાં $15 \ \Omega$ જોડવામાં આવે,ત્યારે નવો અવરોધ $R_1' = R_1 + 15$ થાય છે.
નવું સંતુલન બિંદુ $L' = 40 \ cm$ છે.
ફરીથી સંતુલન સ્થિતિનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{R_1 + 15}{R_2} = \frac{40}{100-40} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$.
સમીકરણમાં $R_2 = 4R_1$ મૂકતા: $\frac{R_1 + 15}{4R_1} = \frac{2}{3}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $3(R_1 + 15) = 2(4R_1)$.
$3R_1 + 45 = 8R_1$.
$5R_1 = 45$,તેથી $R_1 = 9 \ \Omega$.

(A) સંતુલિત મીટર બ્રિજમાં,સંતુલન માટેની શરત $\frac{R}{S} = \frac{l}{100-l}$ છે,જ્યાં $R$ એ અજ્ઞાત અવરોધ છે,$S$ એ જાણીતો અવરોધ છે અને $l$ એ સંતુલન લંબાઈ છે.
અહીં જાણીતો અવરોધ $S = 70 \Omega$ છે અને તેની સામેનો ભાગ $l = 70 \text{ cm}$ છે.
સૂત્ર મુજબ: $R = S \times \frac{100-l}{l} = 70 \times \frac{100-70}{70} = 70 \times \frac{30}{70} = 30 \Omega$.
તેથી,અજ્ઞાત અવરોધ $30 \Omega$ છે.

(A) ધારો કે દરેક $n$ સમાન અવરોધકોનો અવરોધ $R_0$ છે.
જ્યારે $\frac{n}{2}$ અવરોધકોને ડાબા ગેપમાં શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_L$ નીચે મુજબ થાય:
$R_L = \frac{n}{2} \cdot R_0$
જ્યારે $\frac{n}{2}$ અવરોધકોને જમણા ગેપમાં સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_R$ નીચે મુજબ થાય:
$\frac{1}{R_R} = \frac{1}{R_0} + \frac{1}{R_0} + \dots (\frac{n}{2} \text{ વખત}) = \frac{n}{2R_0} \Rightarrow R_R = \frac{2R_0}{n}$
મીટર બ્રિજ માટે,સંતુલન સ્થિતિ નીચે મુજબ છે:
$\frac{R_L}{R_R} = \frac{l}{100-l}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\frac{n R_0}{2}}{\frac{2 R_0}{n}} = \frac{l}{100-l}$
$\frac{n^2}{4} = \frac{l}{100-l}$
$n^2(100-l) = 4l$
$100n^2 - n^2l = 4l$
$100n^2 = l(n^2+4)$
$l = \frac{100n^2}{n^2+4} \text{ cm}$

(D) મુખ્ય વિચાર: મીટર-બ્રિજમાં,જો સંતુલન બિંદુ વાયરના મધ્યમાં હોય,તો બંને ગેપમાં રહેલા અવરોધો સમાન હોવા જોઈએ.
આપેલ છે:
ડાબી ગેપનો અવરોધ $R_1 = 2 \Omega$
જમણી ગેપનો અવરોધ $R_2 = 3 \Omega$
મીટર-બ્રિજ માટે,સંતુલન શરત $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l_1}{L - l_1}$ છે.
જો સંતુલન બિંદુ મધ્યમાં હોય,તો $l_1 = L - l_1$,જેનો અર્થ છે કે $R_1 = R_2$.
અહીં $R_1 = 2 \Omega$ હોવાથી,જમણી ગેપનો અસરકારક અવરોધ $2 \Omega$ થવો જોઈએ.
ધારો કે $3 \Omega$ ના અવરોધ સાથે $x$ અવરોધ સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે જેથી સમતુલ્ય અવરોધ $2 \Omega$ થાય.
$\frac{3 \times x}{3 + x} = 2$
$3x = 6 + 2x$
$x = 6 \Omega$
આમ,$3 \Omega$ ના અવરોધ સાથે $6 \Omega$ નો અવરોધ સમાંતરમાં જોડવો જોઈએ. તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) ધારો કે ડાબી ગેપમાં અવરોધ $R_L$ છે અને જમણી ગેપમાં નિક્રોમ તારનો અવરોધ $R_R$ છે. સંતુલન સ્થિતિ $\frac{R_L}{R_R} = \frac{l}{100-l}$ છે.
આપેલ છે કે $l = 60 \ cm$,તેથી $\frac{R_L}{R_R} = \frac{60}{40} = 1.5$.
જ્યારે તારને $20 \%$ ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે તેની નવી લંબાઈ $l' = 1.2l_0$ થાય છે. કદ $V = A \cdot l$ અચળ હોવાથી,નવું ક્ષેત્રફળ $A' = \frac{A}{1.2}$ થાય છે.
નવો અવરોધ $R_R' = \rho \frac{l'}{A'} = \rho \frac{1.2l_0}{A/1.2} = (1.2)^2 R_R = 1.44 R_R$.
ધારો કે નવી સંતુલન લંબાઈ $l_{new}$ છે. તો $\frac{R_L}{R_R'} = \frac{l_{new}}{100-l_{new}}$.
$R_L = 1.5 R_R$ અને $R_R' = 1.44 R_R$ મૂકતા:
$\frac{1.5 R_R}{1.44 R_R} = \frac{l_{new}}{100-l_{new}} \Rightarrow \frac{1.5}{1.44} = \frac{l_{new}}{100-l_{new}}$.
$1.04167 = \frac{l_{new}}{100-l_{new}} \Rightarrow 104.167 - 1.04167 l_{new} = l_{new}$.
$2.04167 l_{new} = 104.167 \Rightarrow l_{new} \approx 51 \ cm$.

(B) ધારો કે શરૂઆતના અવરોધો $R_1 = 2 \ \Omega$ અને $R_2 = 3 \ \Omega$ છે. ધારો કે શરૂઆતની બેલેન્સિંગ લંબાઈ $l_1$ છે.
મીટર બ્રિજના સિદ્ધાંત મુજબ: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l_1}{100 - l_1} \Rightarrow \frac{2}{3} = \frac{l_1}{100 - l_1} \Rightarrow 200 - 2l_1 = 3l_1 \Rightarrow 5l_1 = 200 \Rightarrow l_1 = 40 \ cm$.
જ્યારે $3 \ \Omega$ સાથે સમાંતરમાં શંટ $S$ જોડવામાં આવે છે,ત્યારે નવો અવરોધ $R_2'$ એ $\frac{3S}{3+S}$ થાય છે.
નવી બેલેન્સિંગ લંબાઈ $l_2$ એ $22.5 \ cm$ જેટલી ખસે છે. $R_2$ ઘટતું હોવાથી,બેલેન્સિંગ પોઈન્ટ $3 \ \Omega$ ની બાજુ ખસે છે,તેથી $l_2 = 40 + 22.5 = 62.5 \ cm$.
નવી સંતુલન સ્થિતિનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{R_1}{R_2'} = \frac{l_2}{100 - l_2} \Rightarrow \frac{2}{\frac{3S}{3+S}} = \frac{62.5}{100 - 62.5} = \frac{62.5}{37.5} = \frac{5}{3}$.
$\frac{2(3+S)}{3S} = \frac{5}{3} \Rightarrow \frac{6+2S}{S} = 5 \Rightarrow 6 + 2S = 5S \Rightarrow 3S = 6 \Rightarrow S = 2 \ \Omega$.

(B) ધારો કે $X'$ એ $X$ અને $S$ ને સમાંતરમાં જોડતા મળતો સમતુલ્ય અવરોધ છે.
$X' = \frac{X \cdot S}{X + S} = \frac{5S}{5 + S}$.
મીટર બ્રિજમાં,સંતુલન સ્થિતિ $\frac{X'}{Y} = \frac{l_1}{l_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l_1 = 0.625 \ m$ અને $l_2 = 1 - 0.625 = 0.375 \ m$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{5S / (5 + S)}{2} = \frac{0.625}{0.375}$
$\frac{5S}{2(5 + S)} = \frac{625}{375} = \frac{5}{3}$
$15S = 10(5 + S)$
$15S = 50 + 10S$
$5S = 50$
$S = 10 \ \Omega$.