Meter Bridge Questions in Gujarati

(B) ધારો કે $X'$ એ $X$ અને $S$ ને સમાંતરમાં જોડતા મળતો સમતુલ્ય અવરોધ છે.
$X' = \frac{X \cdot S}{X + S} = \frac{5S}{5 + S}$.
મીટર બ્રિજમાં,સંતુલન સ્થિતિ $\frac{X'}{Y} = \frac{l_1}{l_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l_1 = 0.625 \ m$ અને $l_2 = 1 - 0.625 = 0.375 \ m$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{5S / (5 + S)}{2} = \frac{0.625}{0.375}$
$\frac{5S}{2(5 + S)} = \frac{625}{375} = \frac{5}{3}$
$15S = 10(5 + S)$
$15S = 50 + 10S$
$5S = 50$
$S = 10 \ \Omega$.

(D) ધારો કે ડાબા ગેપનો અવરોધ $R_L$ છે અને જમણા ગેપનો અવરોધ $R_R$ છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,જમણા ગેપમાં બે સમાન અવરોધો $r$ શ્રેણીમાં છે,તેથી $R_R = r + r = 2r$.
સંતુલન બિંદુ $l_1 = 50 \ cm$ પર છે.
મીટર બ્રિજના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{R_L}{R_R} = \frac{l_1}{100 - l_1} \implies \frac{R_L}{2r} = \frac{50}{50} = 1 \implies R_L = 2r$.
બીજા કિસ્સામાં,જમણા ગેપમાંથી એક અવરોધ $r$ દૂર કરવામાં આવે છે,તેથી નવો જમણો અવરોધ $R_R' = r$ થાય છે.
આ દૂર કરેલ અવરોધ $r$ ને $R_L$ સાથે સમાંતર જોડવામાં આવે છે.
નવો ડાબો અવરોધ $R_L' = \frac{R_L \cdot r}{R_L + r} = \frac{2r \cdot r}{2r + r} = \frac{2r^2}{3r} = \frac{2}{3}r$ થાય છે.
ધારો કે નવું સંતુલન બિંદુ $l_2$ છે.
તેથી $\frac{R_L'}{R_R'} = \frac{l_2}{100 - l_2} \implies \frac{(2/3)r}{r} = \frac{l_2}{100 - l_2} \implies \frac{2}{3} = \frac{l_2}{100 - l_2}$.
$2(100 - l_2) = 3l_2 \implies 200 - 2l_2 = 3l_2 \implies 5l_2 = 200 \implies l_2 = 40 \ cm$.

(D) મીટર બ્રિજમાં,સિદ્ધાંત $\frac{R}{S} = \frac{l_1}{100 - l_1}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ ડાબી બાજુના ગેપનો અવરોધ છે અને $S$ એ જમણી બાજુના ગેપનો અવરોધ છે.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{R}{S} = \frac{2}{3}$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $\frac{2}{3} = \frac{l_1}{100 - l_1}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $2(100 - l_1) = 3l_1$.
$200 - 2l_1 = 3l_1$.
$200 = 5l_1$.
$l_1 = \frac{200}{5} = 40 \,cm$.
તેથી,ડાબા છેડાથી સંતુલન લંબાઈ $40 \,cm$ છે.

(C) ધારો કે શરૂઆતની બેલેન્સિંગ લંબાઈ ડાબી બાજુથી $l_1$ છે. ગેપમાં રહેલા અવરોધો $R_1 = 3 \Omega$ અને $R_2 = 9 \Omega$ છે.
શરૂઆતની સંતુલિત સ્થિતિમાં: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l_1}{100 - l_1} \Rightarrow \frac{3}{9} = \frac{l_1}{100 - l_1} \Rightarrow \frac{1}{3} = \frac{l_1}{100 - l_1}$.
$100 - l_1 = 3l_1 \Rightarrow 4l_1 = 100 \Rightarrow l_1 = 25 \text{ cm}$.
જ્યારે $9 \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતરમાં $S$ શંટ જોડવામાં આવે છે,ત્યારે જમણી ગેપમાં નવો અવરોધ $R_2' = \frac{9S}{9+S}$ થાય છે.
બેલેન્સિંગ પોઈન્ટ $25 \text{ cm}$ જેટલો ખસે છે. $R_2' < R_2$ હોવાથી,બેલેન્સિંગ પોઈન્ટ જમણી તરફ ખસશે,તેથી નવી બેલેન્સિંગ લંબાઈ $l_2 = 25 + 25 = 50 \text{ cm}$ થશે.
નવી સંતુલિત સ્થિતિ માટે: $\frac{R_1}{R_2'} = \frac{l_2}{100 - l_2} \Rightarrow \frac{3}{R_2'} = \frac{50}{100 - 50} = 1$.
તેથી,$R_2' = 3 \Omega$.
$R_2' = \frac{9S}{9+S} = 3$ મૂકતા $\Rightarrow 9S = 27 + 3S \Rightarrow 6S = 27 \Rightarrow S = 4.5 \Omega$.

(A) કિસ્સો $I$: સંતુલિત મીટર બ્રિજ માટે,અવરોધોનો ગુણોત્તર વાયરના ભાગોની લંબાઈના ગુણોત્તર જેટલો હોય છે.
$\frac{R}{S} = \frac{40}{100-40} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$
$S = \frac{3R}{2} \quad \dots (i)$
કિસ્સો $II$: જ્યારે $10 \Omega$ નો અવરોધ $S$ સાથે સમાંતરમાં જોડવામાં આવે,ત્યારે નવો અવરોધ $S'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$S' = \frac{10S}{10+S}$
નવું તટસ્થ બિંદુ $90 \text{ cm}$ પર છે.
$\frac{R}{S'} = \frac{90}{100-90} = \frac{90}{10} = 9$
$\frac{R(10+S)}{10S} = 9 \Rightarrow R(10+S) = 90S \quad \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $S = \frac{3R}{2}$ ની કિંમત સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$R(10 + \frac{3R}{2}) = 90(\frac{3R}{2})$
$10 + \frac{3R}{2} = 135$
$\frac{3R}{2} = 125$
$R = \frac{250}{3} \approx 83.33 \Omega$
હવે,સમીકરણ $(i)$ નો ઉપયોગ કરીને $S$ શોધો:
$S = \frac{3}{2} \times \frac{250}{3} = 125 \Omega$
આમ,$R = 83.33 \Omega$ અને $S = 125 \Omega$.

(B) મીટર બ્રિજમાં,અજ્ઞાત અવરોધ $S$ ને ડાબી ગેપમાં અને જાણીતો અવરોધ $R$ ને જમણી ગેપમાં જોડવામાં આવે છે.
વ્હીટસ્ટોન બ્રિજના સિદ્ધાંત મુજબ,સંતુલિત સ્થિતિમાં:
$\frac{S}{R} = \frac{l_1}{l_2}$
જ્યાં $l_1$ એ ડાબા છેડાથી સંતુલન લંબાઈ છે અને $l_2 = (100 - l_1)$ એ બાકીની લંબાઈ છે.
આપેલ છે: $l_1 = 25 \ cm$,$R = 1 \ \Omega$.
તેથી,$l_2 = 100 - 25 = 75 \ cm$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{S}{1} = \frac{25}{75}$
$S = \frac{1}{3} \ \Omega \approx 0.33 \ \Omega$.

(B) ધારો કે $X'$ એ $X$ અને $S$ ને સમાંતર જોડવાથી મળતો સમતુલ્ય અવરોધ છે।
$X' = \frac{X \cdot S}{X + S} = \frac{5S}{5 + S}$.
મીટર બ્રિજમાં, સંતુલન સ્થિતિ $\frac{X'}{Y} = \frac{l_1}{l_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $l_1 = 0.625 \, m$ અને $l_2 = 1 - 0.625 = 0.375 \, m$ છે।
કિંમતો મૂકતા: $\frac{5S / (5 + S)}{2} = \frac{0.625}{0.375}$.
$\frac{5S}{2(5 + S)} = \frac{625}{375} = \frac{5}{3}$.
$15S = 10(5 + S)$.
$15S = 50 + 10S$.
$5S = 50$.
$S = 10 \, \Omega$.

(C) મીટર બ્રિજમાં,સંતુલન બિંદુ માટેની શરત નીચે મુજબ છે: $\frac{P}{Q} = \frac{l}{100-l}$,જ્યાં $P$ એ ડાબી બાજુના ગેપનો અવરોધ છે,$Q$ એ જમણી બાજુના ગેપનો અવરોધ છે અને $l$ એ ડાબી બાજુથી સંતુલન લંબાઈ છે.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{P}{Q} = \frac{2}{3}$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{2}{3} = \frac{l}{100-l}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$2(100-l) = 3l$
$200 - 2l = 3l$
$200 = 5l$
$l = \frac{200}{5} = 40 \ cm$.
તેથી,ડાબી બાજુથી સંતુલન બિંદુ $40 \ cm$ અંતરે છે.

(C) મીટર બ્રિજ માટે,સંતુલન સ્થિતિ $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l}{100-l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R_1$ ડાબી ગેપમાં અવરોધ છે અને $R_2$ જમણી ગેપમાં અવરોધ છે.
કિસ્સો $I$: $P$ અને $Q$ શ્રેણીમાં છે,તેથી $R_2 = P + Q$.
$\frac{30}{P+Q} = \frac{37.5}{100-37.5} = \frac{37.5}{62.5} = 0.6$
$P+Q = \frac{30}{0.6} = 50 \Omega$ ... $(i)$
કિસ્સો $II$: $P$ અને $Q$ સમાંતરમાં છે,તેથી $R_2 = \frac{PQ}{P+Q}$.
$\frac{30}{\frac{PQ}{P+Q}} = \frac{71.4}{100-71.4} = \frac{71.4}{28.6} \approx 2.5$
$\frac{30(P+Q)}{PQ} = 2.5$
$P+Q = 50$ હોવાથી,$\frac{30 \times 50}{PQ} = 2.5$
$PQ = \frac{1500}{2.5} = 600 \Omega^2$ ... $(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ પરથી,આપણને દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 50x + 600 = 0$ મળે છે.
$(x-30)(x-20) = 0$.
આમ,મૂલ્યો $30 \Omega$ અને $20 \Omega$ છે.

(A) મીટર બ્રિજ એ સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજના સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરે છે.
ધારો કે ડાબી બાજુના ગેપમાં અવરોધ $R_L$ છે અને જમણી બાજુના ગેપમાં અવરોધ $R_R$ છે.
સંતુલન બિંદુ ડાબી બાજુથી $l = 37.5 \ cm$ પર છે.
જમણી બાજુના ગેપમાં તારની લંબાઈ $100 - l = 100 - 37.5 = 62.5 \ cm$ છે.
વ્હીટસ્ટોન બ્રિજના સિદ્ધાંત મુજબ,$\frac{R_L}{R_R} = \frac{l}{100-l}$.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{R_L}{R_R} = \frac{37.5}{62.5} = \frac{3}{5}$.
પ્રશ્નમાં જમણી બાજુના અવરોધ અને ડાબી બાજુના અવરોધનો ગુણોત્તર પૂછવામાં આવ્યો છે,જે $\frac{R_R}{R_L}$ છે.
તેથી,$\frac{R_R}{R_L} = \frac{62.5}{37.5} = \frac{5}{3}$.

(C) કિસ્સા $I$ માં,અવરોધો $R_1 = 2 \ \Omega$ અને $R_2 = 3 \ \Omega$ છે. નલ પોઈન્ટ $l$ પર છે. મીટર બ્રિજના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l}{100-l} \implies \frac{2}{3} = \frac{l}{100-l}$.
આને ઉકેલતા,$200 - 2l = 3l \implies 5l = 200 \implies l = 40 \ cm$.
કિસ્સા $II$ માં,જમણા ગેપમાં અવરોધ $R_2' = \frac{3x}{3+x}$ થાય છે કારણ કે $x$ ને $3 \ \Omega$ સાથે સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે. નલ પોઈન્ટ $10 \ cm$ જમણી તરફ ખસે છે,તેથી નવી સ્થિતિ $l' = 40 + 10 = 50 \ cm$ છે.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{R_1}{R_2'} = \frac{l'}{100-l'} \implies \frac{2}{\frac{3x}{3+x}} = \frac{50}{100-50} = \frac{50}{50} = 1$.
તેથી,$\frac{2(3+x)}{3x} = 1 \implies 6 + 2x = 3x \implies x = 6 \ \Omega$.

(B) શરૂઆતમાં,મીટર બ્રિજ માટે સંતુલન સ્થિતિ $\frac{P}{Q} = \frac{l}{100-l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $P = 2 \Omega$ અને $Q = 3 \Omega$ આપેલ છે,તેથી $\frac{2}{3} = \frac{l}{100-l}$.
$2(100-l) = 3l \Rightarrow 200 - 2l = 3l \Rightarrow 5l = 200 \Rightarrow l = 40 \text{ cm}$.
જ્યારે $3 \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતરમાં અજ્ઞાત અવરોધ $R$ જોડવામાં આવે,ત્યારે નવો અવરોધ $Q' = \frac{3R}{3+R}$ થાય છે.
નલ પોઈન્ટ $Y$ તરફ $22.5 \text{ cm}$ ખસે છે,તેથી નવી લંબાઈ $l' = 40 + 22.5 = 62.5 \text{ cm}$ થાય.
નવી સંતુલન સ્થિતિ $\frac{2}{Q'} = \frac{62.5}{100-62.5} = \frac{62.5}{37.5} = \frac{5}{3}$ છે.
$Q'$ ની કિંમત મૂકતા,$\frac{2}{\frac{3R}{3+R}} = \frac{5}{3} \Rightarrow \frac{2(3+R)}{3R} = \frac{5}{3}$.
$6(3+R) = 15R \Rightarrow 18 + 6R = 15R \Rightarrow 9R = 18 \Rightarrow R = 2 \Omega$.

(C) મીટર બ્રિજ માટે,સંતુલન સ્થિતિ $\frac{R_{1}}{R_{2}} = \frac{l}{100-l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,નલ પોઈન્ટ $40 \text{ cm}$ પર છે,તેથી $l = 40 \text{ cm}$:
$\frac{R_{1}}{R_{2}} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3} \implies R_{1} = \frac{2}{3}R_{2} \quad ... (1)$
જ્યારે $16 \ \Omega$ નો અવરોધ $R_{2}$ ને સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે નવો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{2}' = \frac{R_{2} \times 16}{R_{2} + 16}$ થાય છે.
નવો નલ પોઈન્ટ $50 \text{ cm}$ પર છે,તેથી $l = 50 \text{ cm}$:
$\frac{R_{1}}{R_{2}'} = \frac{50}{50} = 1 \implies R_{1} = R_{2}' = \frac{16R_{2}}{R_{2} + 16} \quad ... (2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા:
$\frac{2}{3}R_{2} = \frac{16R_{2}}{R_{2} + 16}$
$\frac{1}{3} = \frac{8}{R_{2} + 16} \implies R_{2} + 16 = 24 \implies R_{2} = 8 \ \Omega$.
$R_{2} = 8 \ \Omega$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$R_{1} = \frac{2}{3} \times 8 = \frac{16}{3} \ \Omega$.

(D) વ્હીટસ્ટોન બ્રિજમાં (જેનું મીટર બ્રિજ એક સ્વરૂપ છે),ગેલ્વેનોમીટર અને કોષ (બેટરી) એ સંયુગ્મી શાખાઓ છે.
રેસીપ્રોસિટી પ્રમેય મુજબ,બેટરી અને ગેલ્વેનોમીટરના સ્થાનોની અદલાબદલી કરવાથી બ્રિજ સંતુલનની સ્થિતિ બદલાતી નથી.
જો તે સંતુલિત હતું,તો તે સંતુલિત જ રહેશે; જો તે અસંતુલિત હતું,તો વિચલનનું મૂલ્ય અથવા દિશા બદલાઈ શકે છે,પરંતુ તે હજુ પણ સંતુલન બિંદુ દર્શાવશે.
તેથી,જોકીના સ્થાનના આધારે બંને વિચલનો અવલોકન કરી શકાય છે,અને સંતુલન બિંદુ પર શૂન્ય વિચલન હજુ પણ જોવા મળશે.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.