Equivalent Resistance - Series and Parallel , Circuit Questions in Hindi

(D) परिपथ को श्रेणी और समानांतर संयोजनों की पहचान करके सरल बनाया जा सकता है।
$1$. बिंदु $C$ से जुड़े दो प्रतिरोध डेल्टा-स्टार संयोजन बनाते हैं या समरूपता द्वारा इसे सरल बनाया जा सकता है। वैकल्पिक रूप से,ऊपरी त्रिभुज को देखें: $r$ प्रतिरोध वाले दो प्रतिरोध श्रेणी में हैं,जो $2r$ देते हैं। यह $2r$,ऊपरी त्रिभुज के तीसरे $r$ प्रतिरोध के साथ समानांतर में है।
$2$. ऊपरी भाग का तुल्य प्रतिरोध $R_{top} = (2r \times r) / (2r + r) = (2/3)r$ है।
$3$. अब,यह $R_{top}$,$A$ और $B$ से जुड़े दो प्रतिरोधों के साथ श्रेणी में है,लेकिन संरचना को देखते हुए,हम नेटवर्क को शाखाओं के समानांतर संयोजन में सरल बना सकते हैं।
$4$. $A$ और $B$ के बीच कुल प्रतिरोध नेटवर्क को चरण-दर-चरण एक एकल तुल्य प्रतिरोध में कम करके प्राप्त किया जाता है,जिसका परिणाम $R_{eq} = 8r / 7$ है।

(B) दिया गया परिपथ सममित है। सममिति का अवलोकन करने पर,हम देख सकते हैं कि परिपथ में बिंदुओं $P$ और $Q$ के बीच तीन समानांतर शाखाएँ हैं। प्रत्येक शाखा में श्रेणीक्रम में जुड़े $r$ प्रतिरोध के दो प्रतिरोधक हैं।
$1$. प्रत्येक शाखा का प्रतिरोध = $r + r = 2r$।
$2$. चूंकि समानांतर में ऐसी तीन शाखाएँ हैं,इसलिए तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{2r} + \frac{1}{2r} + \frac{1}{2r} = \frac{3}{2r}$
$R_{eq} = \frac{2r}{3}$
$3$. दिया गया है $r = \frac{3}{2} \Omega$,इस मान को प्रतिस्थापित करने पर:
$R_{eq} = \frac{2}{3} \times \left(\frac{3}{2}\right) = 1 \Omega$।

(A) तार का कुल प्रतिरोध $R$ है। छल्ले की परिधि $2\pi r$ है। प्रति इकाई लंबाई प्रतिरोध $\lambda = \frac{R}{2\pi r}$ है।
$\alpha$ कोण बनाने वाली चाप $XWY$ की लंबाई $l_1 = r\alpha$ है। इसका प्रतिरोध $R_1 = \lambda l_1 = \frac{R}{2\pi r} \times r\alpha = \frac{R\alpha}{2\pi}$ है।
शेष चाप $XZY$ जो $(2\pi - \alpha)$ कोण बनाती है,उसकी लंबाई $l_2 = r(2\pi - \alpha)$ है। इसका प्रतिरोध $R_2 = \lambda l_2 = \frac{R}{2\pi r} \times r(2\pi - \alpha) = \frac{R}{2\pi}(2\pi - \alpha)$ है।
चूंकि ये दोनों भाग बिंदुओं $X$ और $Y$ के बीच समांतर क्रम में जुड़े हैं,इसलिए तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ होगा:
$R_{eq} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{(\frac{R\alpha}{2\pi}) \times (\frac{R}{2\pi}(2\pi - \alpha))}{\frac{R\alpha}{2\pi} + \frac{R(2\pi - \alpha)}{2\pi}}$
$R_{eq} = \frac{\frac{R^2 \alpha (2\pi - \alpha)}{4\pi^2}}{\frac{R}{2\pi}(\alpha + 2\pi - \alpha)} = \frac{\frac{R^2 \alpha (2\pi - \alpha)}{4\pi^2}}{\frac{R(2\pi)}{2\pi}} = \frac{R^2 \alpha (2\pi - \alpha)}{4\pi^2 R} = \frac{R\alpha}{4\pi^2}(2\pi - \alpha)$.

(B) स्टार सर्किट $A$ और $H$ से गुजरने वाली धुरी के सापेक्ष सममित है।
मान लीजिए कि स्टार की प्रत्येक भुजा का प्रतिरोध $r$ है।
समरूपता का विश्लेषण करके और पेंटाग्राम के गुणों का उपयोग करके,सर्किट को सरल बनाया जा सकता है।
बिंदुओं $A$ और $H$ के बीच तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$R_{eq} = 0.973r$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) माना कि दो प्रतिरोध $R_1$ और $R_2$ हैं।
श्रेणी क्रम में,तुल्य प्रतिरोध $S = R_1 + R_2$ होता है।
समानांतर क्रम में,तुल्य प्रतिरोध $P = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$ होता है।
दी गई शर्त $S = nP$ के अनुसार,मान रखने पर:
$R_1 + R_2 = n \left( \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} \right)$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $(R_1 + R_2)^2 = n R_1 R_2$ प्राप्त होता है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $(R_1 + R_2)^2 = (R_1 - R_2)^2 + 4 R_1 R_2$ का उपयोग करने पर:
$(R_1 - R_2)^2 + 4 R_1 R_2 = n R_1 R_2$.
$R_1 R_2$ से भाग देने पर,$n = 4 + \frac{(R_1 - R_2)^2}{R_1 R_2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि पद $\frac{(R_1 - R_2)^2}{R_1 R_2}$ हमेशा $0$ या उससे अधिक होता है,इसलिए $n$ का न्यूनतम मान तब प्राप्त होता है जब $R_1 = R_2$ हो,जिससे $n = 4$ प्राप्त होता है।

(A) $R$ प्रतिरोध वाले दो समान प्रतिरोधकों के लिए,श्रेणी संयोजन में तुल्य प्रतिरोध $R_{Series} = R + R = 2R$ होता है।
समानांतर संयोजन में तुल्य प्रतिरोध $R_{Parallel} = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$ होता है।
इस प्रकार,$R_{Parallel} < R_{Series}$ है।
$V-i$ ग्राफ में,रेखा का ढाल (slope) प्रतिरोध को दर्शाता है $(R = \frac{V}{i} = \text{ढाल})$।
चित्र से,रेखा $A$ का ढाल रेखा $B$ के ढाल से कम है।
चूंकि $R_{Parallel} < R_{Series}$ है,इसलिए कम ढाल वाली रेखा समानांतर संयोजन को दर्शाती है।
अतः,रेखा $A$ समानांतर संयोजन को दर्शाती है।

(B) मान लीजिए कि प्रत्येक बल्ब का प्रतिरोध $R$ है।
जब $40$ बल्ब श्रेणीक्रम में जुड़े होते हैं,तो कुल प्रतिरोध $R_{eq1} = 40R$ होता है।
परिपथ में धारा $I_1 = V / (40R)$ है।
प्रत्येक बल्ब द्वारा खपत की गई शक्ति $P_1 = I_1^2 R = (V / 40R)^2 R = V^2 / (1600R)$ है।
जब $39$ बल्ब श्रेणीक्रम में जुड़े होते हैं,तो कुल प्रतिरोध $R_{eq2} = 39R$ होता है।
परिपथ में धारा $I_2 = V / (39R)$ है।
प्रत्येक बल्ब द्वारा खपत की गई शक्ति $P_2 = I_2^2 R = (V / 39R)^2 R = V^2 / (1521R)$ है।
चूंकि $1521R < 1600R$,इसलिए $P_2 > P_1$ होता है।
अतः,$39$ बल्बों के साथ रोशनी $40$ बल्बों की तुलना में अधिक होगी।

(C) परिपथ में उत्पन्न ऊष्मा $H = \frac{V^2}{R} \times t$ द्वारा दी जाती है। चूंकि बैटरी का वोल्टेज $V$ स्थिर है,इसलिए उत्पन्न ऊष्मा प्रतिरोध $R$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(H \propto \frac{1}{R})$।
ऊष्मा को अधिकतम करने के लिए,हमें कुल प्रतिरोध $R$ को न्यूनतम करना होगा।
मान लीजिए पूरे तार का प्रतिरोध $R_0$ है।
$(a)$ $R = R_0$
$(b)$ दो भाग समानांतर में: $R = \frac{(R_0/2)}{2} = \frac{R_0}{4}$
$(c)$ चार भाग समानांतर में: $R = \frac{(R_0/4)}{4} = \frac{R_0}{16}$
$(d)$ आधा तार: $R = \frac{R_0}{2}$
प्रतिरोधों की तुलना करने पर,स्थिति $(c)$ में प्रतिरोध न्यूनतम $\frac{R_0}{16}$ है। अतः,स्थिति $(c)$ में सबसे अधिक ऊष्मा उत्पन्न होगी।

(D) मान लीजिए कि प्रत्येक हीटर तार का प्रतिरोध $R$ है।
जब श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रतिरोध $R_s = R + R = 2R$ होता है।
जब समांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{R \cdot R}{R + R} = \frac{R}{2}$ होता है।
स्थिर विभवांतर $V$ के लिए,उत्पन्न ऊष्मा $H$ का मान $H = \frac{V^2}{R_{eq}} \cdot t$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,$H \propto \frac{1}{R_{eq}}$।
श्रेणीक्रम $(H_s)$ और समांतर क्रम $(H_p)$ में उत्पन्न ऊष्मा का अनुपात $\frac{H_s}{H_p} = \frac{R_p}{R_s} = \frac{R/2}{2R} = \frac{1}{4}$ है।
अतः,अनुपात $1:4$ है।

(C) प्रत्येक हीटर का प्रतिरोध $R = \frac{V^2}{P} = \frac{220^2}{1000} = 48.4\,\Omega$ है।
जब दो समान हीटरों को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो कुल प्रतिरोध $R_{eq} = R + R = 2R = 2 \times 48.4 = 96.8\,\Omega$ होता है।
श्रेणी संयोजन द्वारा खपत की गई शक्ति $P_{series} = \frac{V_{supply}^2}{R_{eq}} = \frac{220^2}{96.8} = \frac{48400}{96.8} = 500\,W$ है।
वैकल्पिक रूप से,श्रेणीक्रम में जुड़े $n$ समान प्रतिरोधों के लिए,प्रभावी शक्ति $P_{series} = \frac{P}{n} = \frac{1000}{2} = 500\,W$ होती है।

(C) जब घटक श्रेणीक्रम (series) में जुड़े होते हैं,तो प्रत्येक घटक से समान विद्युत धारा प्रवाहित होती है।
चूंकि दोनों बल्ब श्रेणीक्रम में जुड़े हैं,इसलिए $50\, W$ के बल्ब से प्रवाहित होने वाली धारा $25\, W$ के बल्ब से प्रवाहित होने वाली धारा के बराबर होगी।
अतः,उनमें से प्रवाहित होने वाली धाराओं का अनुपात $1:1$ है।

(A) जब बल्ब के साथ श्रेणीक्रम में एक प्रतिरोध जोड़ा जाता है,तो परिपथ का कुल प्रतिरोध बढ़ जाता है।
ओम के नियम के अनुसार,परिपथ से बहने वाली विद्युत धारा कम हो जाती है।
चूंकि बल्ब द्वारा व्यय की गई शक्ति $P = I^2 R$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I$ विद्युत धारा है और $R$ बल्ब का प्रतिरोध है,इसलिए धारा $I$ में कमी आने से शक्ति $P$ में कमी आती है।
परिणामस्वरूप,बल्ब की चमक,जो व्यय की गई शक्ति पर निर्भर करती है,कम हो जाती है।

(B) जब बल्ब समानांतर क्रम में जुड़े होते हैं,तो प्रत्येक बल्ब के सिरों पर विभवांतर $V$ समान होता है।
बल्ब द्वारा खपत की गई शक्ति का सूत्र $P = \frac{V^2}{R}$ है।
चूंकि बल्ब की चमक खपत की गई शक्ति के सीधे आनुपातिक होती है $(P \propto \text{Brightness})$,और स्थिर वोल्टेज $V$ के लिए $P \propto \frac{1}{R}$ होता है,इसलिए जिस बल्ब का प्रतिरोध कम होता है,वह अधिक शक्ति की खपत करता है और अधिक चमकदार होता है।
यह दिया गया है कि बल्ब $A$,बल्ब $B$ से अधिक चमकदार है,जिसका अर्थ है $P_A > P_B$।
अतः,$R_A < R_B$।

(A) पानी का तापमान बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा $Q = mc\Delta T$ है। चूंकि $m$, $c$ और $\Delta T$ समान हैं, इसलिए आवश्यक ऊष्मा $Q$ स्थिर रहती है।
हीटिंग कॉइल की शक्ति $P = V^2/R$ द्वारा दी जाती है।
एक कॉइल के लिए, $P_1 = V^2/R$। लिया गया समय $t_1 = Q/P_1 = 30\,min$ है।
जब दो समान कॉइल्स को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है, तो तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = R + R = 2R$ हो जाता है।
नई शक्ति $P_{series} = V^2/R_{eq} = V^2/(2R) = P_1/2$ है।
नया लिया गया समय $t_{series} = Q/P_{series} = Q/(P_1/2) = 2(Q/P_1) = 2t_1$ है।
$t_1 = 30\,min$ रखने पर, हमें $t_{series} = 2 \times 30 = 60\,min$ प्राप्त होता है।

(A) एक प्रतिरोधक में उत्पन्न ऊष्मीय ऊर्जा का सूत्र $H = i^2Rt$ है,जहाँ $i$ विद्युत धारा है,$R$ प्रतिरोध है,और $t$ समयांतराल है।
चूंकि प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में जुड़े हुए हैं,इसलिए दोनों प्रतिरोधकों से समान विद्युत धारा $i$ प्रवाहित होती है।
यह दिया गया है कि प्रतिरोध समान हैं $(R_1 = R_2 = R)$,इसलिए दोनों प्रतिरोधकों में उत्पन्न ऊष्मीय ऊर्जा $H_1 = i^2Rt$ और $H_2 = i^2Rt$ होगी।
अतः,$H_1 = H_2$,जिसका अर्थ है कि प्रतिरोधकों में समान मात्रा में ऊष्मीय ऊर्जा उत्पन्न होनी चाहिए।

(C) श्रेणीक्रम परिपथ में,घटक एक-दूसरे से सिरे से सिरे तक जुड़े होते हैं,जो विद्युत धारा के प्रवाह के लिए एक ही मार्ग बनाते हैं।
श्रेणीक्रम परिपथ के गुणों के अनुसार,पूरे परिपथ में विद्युत धारा स्थिर रहती है।
इसलिए,$60\,W$ के बल्ब और $100\,W$ के बल्ब दोनों से होकर गुजरने वाली विद्युत धारा समान होगी।

(A) मान लीजिए पानी को उबालने के लिए आवश्यक ऊष्मा $H$ है। कॉइल द्वारा उत्पन्न ऊष्मा $H = \frac{V^2}{R} t$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $V$ वोल्टेज है,$R$ प्रतिरोध है और $t$ समय है।
चूँकि $H$ और $V$ स्थिर हैं,इसलिए $t \propto R$ या $R \propto t$ होगा।
मान लीजिए $R_1$ और $R_2$ दो कॉइल के प्रतिरोध हैं। तब $R_1 \propto 5$ और $R_2 \propto 10$ होगा।
समानांतर संयोजन में,तुल्य प्रतिरोध $R_p$ के लिए $\frac{1}{R_p} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$ होता है।
चूँकि $t_p \propto R_p$,इसलिए $\frac{1}{t_p} = \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}$ होगा।
दिए गए मानों को रखने पर: $\frac{1}{t_p} = \frac{1}{5} + \frac{1}{10} = \frac{2+1}{10} = \frac{3}{10}$।
अतः,$t_p = \frac{10}{3} \text{ min} = 3.33 \text{ min}$।
$0.33 \text{ min} = 0.33 \times 60 \text{ sec} = 20 \text{ sec}$।
इस प्रकार,लगा समय $3 \text{ min } 20 \text{ sec}$ है।

(A) बल्ब की शक्ति रेटिंग $P = \frac{V^2}{R}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $V$ रेटेड वोल्टेज है और $R$ बल्ब का प्रतिरोध है।
पहले बल्ब के लिए,$R_1 = \frac{V^2}{P_1} = \frac{220^2}{100}$।
दूसरे बल्ब के लिए,$R_2 = \frac{V^2}{P_2} = \frac{220^2}{200}$।
श्रेणीक्रम में जोड़ने पर,कुल प्रतिरोध $R_{eq} = R_1 + R_2 = \frac{V^2}{P_1} + \frac{V^2}{P_2} = V^2 \left( \frac{P_1 + P_2}{P_1 P_2} \right)$ होता है।
श्रेणी संयोजन में खपत की गई कुल शक्ति $P_{total} = \frac{V^2}{R_{eq}} = \frac{V^2}{V^2 \left( \frac{P_1 + P_2}{P_1 P_2} \right)} = \frac{P_1 P_2}{P_1 + P_2}$ है।
दिए गए मानों को रखने पर: $P_{total} = \frac{100 \times 200}{100 + 200} = \frac{20000}{300} = \frac{200}{3} \approx 66.67\, W$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,कुल खपत की गई शक्ति लगभग $65\, W$ है।

(A) बल्बों के श्रेणी संयोजन द्वारा खपत की गई शक्ति $P = \frac{V^2}{R_{eq}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $V$ आपूर्ति वोल्टेज है और $R_{eq}$ श्रेणी परिपथ का तुल्य प्रतिरोध है।
चूंकि $V$ स्थिर है,इसलिए $P \propto \frac{1}{R_{eq}}$.
जब एक बल्ब फ्यूज हो जाता है,तो उसे परिपथ से हटा दिया जाता है। चूंकि बल्ब श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq}$ कम हो जाता है $(R_{eq} = R_1 + R_2 + ... + R_n)$.
जैसे-जैसे कुल प्रतिरोध $R_{eq}$ घटता है,शेष बल्बों द्वारा खपत की गई कुल शक्ति $P$ बढ़ जाती है।
इसलिए,कमरे में रोशनी (illumination) बढ़ जाएगी।

(C) मान लीजिए कि प्रत्येक प्रतिरोध का मान $R$ है। प्रतिरोध $B$ और $C$ समानांतर क्रम में जुड़े हैं,इसलिए उनका तुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$ होगा।
यह संयोजन प्रतिरोध $A$ के साथ श्रेणी क्रम में है। कुल धारा $I$,$A$ से होकर गुजरती है,जबकि $B$ और $C$ समान होने के कारण धारा उनके बीच समान रूप से विभाजित हो जाती है।
प्रतिरोध में उत्पन्न ऊष्मा $H = I^2 R t$ द्वारा दी जाती है।
प्रतिरोध $A$ के लिए,$H_A = I^2 R t$ होगा।
प्रतिरोध $B$ और $C$ के लिए,प्रत्येक से गुजरने वाली धारा $I/2$ है। अतः,$H_B = H_C = (I/2)^2 R t = \frac{I^2 R t}{4} = \frac{H_A}{4}$ होगा।
इस प्रकार,$H_A > H_B = H_C$ है। इसलिए,उत्पन्न ऊष्मा प्रतिरोध $A$ में अधिकतम होगी।

(C) एक प्रतिरोधक द्वारा व्यय की गई शक्ति $P = \frac{V^2}{R}$ द्वारा दी जाती है।
मान लीजिए कि कुंडली का प्रारंभिक प्रतिरोध $R$ है। तब $P_1 = \frac{V^2}{R}$ होगा।
जब कुंडली को दो समान भागों में काटा जाता है,तो प्रत्येक भाग का प्रतिरोध $\frac{R}{2}$ हो जाता है।
जब इन दो भागों को समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार होगा: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R/2} + \frac{1}{R/2} = \frac{2}{R} + \frac{2}{R} = \frac{4}{R}$,अतः $R_{eq} = \frac{R}{4}$।
नई व्यय की गई शक्ति $P_2 = \frac{V^2}{R_{eq}} = \frac{V^2}{R/4} = \frac{4V^2}{R}$ है।
इसलिए,अनुपात $\frac{P_1}{P_2} = \frac{V^2/R}{4V^2/R} = \frac{1}{4}$ है।

(B) परिपथ में दो प्रतिरोध $R$ और $2\,\Omega$ समांतर क्रम में $15\, V$ के वोल्टेज स्रोत से जुड़े हैं।
समांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार है:
$R_{eq} = \frac{R \times 2}{R + 2} = \frac{2R}{R + 2}$
परिपथ में शक्ति क्षय $P$ का सूत्र $P = \frac{V^2}{R_{eq}}$ है।
दिया गया है $P = 150\, W$ और $V = 15\, V$,इसलिए:
$150 = \frac{15^2}{R_{eq}} = \frac{225}{R_{eq}}$
$R_{eq} = \frac{225}{150} = 1.5\,\Omega$
अब,$R_{eq}$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$1.5 = \frac{2R}{R + 2}$
$1.5(R + 2) = 2R$
$1.5R + 3 = 2R$
$0.5R = 3$
$R = \frac{3}{0.5} = 6\,\Omega$
अतः,$R$ का मान $6\,\Omega$ है।

(A) बल्ब की पावर रेटिंग $P = \frac{V^2}{R}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $V$ रेटेड वोल्टेज है और $R$ बल्ब का प्रतिरोध है।
चूंकि दोनों बल्बों का वोल्टेज रेटिंग समान है,इसलिए $R \propto \frac{1}{P}$।
अतः,कम पावर वाले बल्ब का प्रतिरोध अधिक होता है। इस प्रकार,$R_X > R_Y$।
जब श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो दोनों बल्बों से प्रवाहित होने वाली धारा $I$ समान होती है।
व्ययित शक्ति (जो चमक निर्धारित करती है) $P' = I^2 R$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $R_X > R_Y$,इसलिए बल्ब $X$ में व्ययित शक्ति बल्ब $Y$ की तुलना में अधिक है $(P'_X > P'_Y)$।
परिणामस्वरूप,बल्ब $X$ बल्ब $Y$ की तुलना में अधिक चमकीला जलेगा।

(C) मान लीजिए कि प्रत्येक समान बल्ब का प्रतिरोध $R$ है।
जब $3$ बल्ब श्रेणीक्रम में जुड़े होते हैं,तो तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = R + R + R = 3R$ होता है।
श्रेणीक्रम में व्यय की गई शक्ति $P = V^2 / R_{eq} = V^2 / (3R)$ है।
इसका अर्थ है कि $V^2 / R = 3P$।
जब $3$ बल्ब समानांतर क्रम में जुड़े होते हैं,तो तुल्य प्रतिरोध $1 / R'_{eq} = 1/R + 1/R + 1/R = 3/R$ होता है,इसलिए $R'_{eq} = R/3$।
समानांतर क्रम में व्यय की गई शक्ति $P' = V^2 / R'_{eq} = V^2 / (R/3) = 3(V^2 / R)$ है।
समीकरण में $V^2 / R = 3P$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $P' = 3(3P) = 9P$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए कि प्रत्येक प्रतिरोधक का मान $R$ है। स्थिर धारा $i$ वाले परिपथ में शक्ति क्षय $P = i^2 R_{eq}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R_{eq}$ तुल्य प्रतिरोध है।
विन्यास $I$ (श्रेणीक्रम) के लिए: $R_{eq, I} = R + R + R = 3R$.
विन्यास $II$ (दो श्रेणीक्रम में,एक समांतर क्रम में) के लिए: $R_{eq, II} = \frac{(2R)(R)}{2R + R} = \frac{2R^2}{3R} = \frac{2}{3}R \approx 0.67R$.
विन्यास $III$ (तीनों समांतर क्रम में) के लिए: $R_{eq, III} = \frac{R}{3} \approx 0.33R$.
विन्यास $IV$ (दो समांतर क्रम में,एक श्रेणीक्रम में) के लिए: $R_{eq, IV} = \frac{R}{2} + R = 1.5R$.
तुल्य प्रतिरोधों की तुलना करने पर: $R_{eq, III} (0.33R) < R_{eq, II} (0.67R) < R_{eq, IV} (1.5R) < R_{eq, I} (3R)$.
चूंकि $P \propto R_{eq}$,शक्ति क्षय भी उसी क्रम का पालन करता है: $III < II < IV < I$.

(B) जब प्रतिरोधकों को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो कुल प्रतिरोध $R_{eq} = R_1 + R_2 + R_3 + R_4 = 100 + 100 + 100 + 100 = 400\; \Omega$ होता है।
श्रेणीक्रम में,कुल प्रतिरोध में निरपेक्ष त्रुटि व्यक्तिगत प्रतिरोधकों की निरपेक्ष त्रुटियों के योग के बराबर होती है: $\Delta R_{eq} = \Delta R_1 + \Delta R_2 + \Delta R_3 + \Delta R_4$.
चूंकि टॉलरेंस $5\%$ है,इसलिए प्रत्येक $100\; \Omega$ के प्रतिरोधक के लिए निरपेक्ष त्रुटि $\Delta R = 100\; \Omega$ का $5\% = 5\; \Omega$ है।
अतः,$\Delta R_{eq} = 5 + 5 + 5 + 5 = 20\; \Omega$.
संयोजन का प्रतिशत टॉलरेंस $\frac{\Delta R_{eq}}{R_{eq}} \times 100\% = \frac{20}{400} \times 100\% = 5\%$ होगा।

(B) चरण $1$: खंडों के प्रतिरोध का विश्लेषण करें।
चूंकि तार समान है,इसे एक वृत्त में मोड़ने पर कुल प्रतिरोध $R$ दो समान भागों में विभाजित हो जाता है,जिनमें से प्रत्येक $R/2$ है,जो दो अर्धवृत्ताकार चापों के अनुरूप है।
चरण $2$: परिपथ विन्यास निर्धारित करें।
जब दो व्यासाग्र बिंदुओं पर विचार किया जाता है,तो ये दो अर्धवृत्ताकार खंड इन बिंदुओं के बीच समानांतर में जुड़े होते हैं।
चरण $3$: तुल्य प्रतिरोध की गणना करें।
समानांतर में जुड़े दो प्रतिरोधों $R_1$ और $R_2$ के लिए तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$R_1 = R/2$ और $R_2 = R/2$ है।
$R_{eq} = \frac{(R/2) \times (R/2)}{(R/2) + (R/2)} = \frac{R^2/4}{R} = \frac{R}{4}$.
अतः,किन्हीं दो व्यासाग्र बिंदुओं के बीच तुल्य प्रतिरोध $R/4$ होगा।

(D) जब $n$ प्रतिरोध,प्रत्येक $r$ प्रतिरोध वाले,समानांतर क्रम में जोड़े जाते हैं,तो तुल्य प्रतिरोध $R$ इस प्रकार होता है:
$R = \frac{r}{n}$
इससे,हम $r$ को $R$ और $n$ के पदों में व्यक्त कर सकते हैं:
$r = nR$
जब इन $n$ प्रतिरोधों को श्रेणी क्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रतिरोध $R_{\text{series}}$ इस प्रकार होता है:
$R_{\text{series}} = n \times r$
पहले समीकरण से $r$ का मान रखने पर:
$R_{\text{series}} = n \times (nR) = n^2R$
अतः,श्रेणी क्रम में तुल्य प्रतिरोध $n^2R \ \Omega$ होगा।

(D) चालकता $(\sigma)$ प्रतिरोधकता $(\rho)$ का व्युत्क्रम है। हालाँकि,चालकों के श्रेणीक्रम संयोजन के संदर्भ में (जो आमतौर पर प्रतिरोधों के लिए उपयोग किया जाता है),प्रतिरोध $R$ को $R = \rho \frac{L}{A} = \frac{L}{\sigma A}$ द्वारा दिया जाता है।
समान लंबाई $L$ और अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $A$ वाले तीन चालकों को श्रेणीक्रम में जोड़ने पर,कुल प्रतिरोध $R_{eq} = R_1 + R_2 + R_3$ होता है।
$R = \frac{L}{\sigma A}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{L}{\sigma_{eq} A} = \frac{L}{\sigma_1 A} + \frac{L}{\sigma_2 A} + \frac{L}{\sigma_3 A}$ प्राप्त होता है।
$\frac{L}{A}$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{1}{\sigma_{eq}} = \frac{1}{\sigma_1} + \frac{1}{\sigma_2} + \frac{1}{\sigma_3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\sigma_{eq} = \left( \frac{1}{\sigma_1} + \frac{1}{\sigma_2} + \frac{1}{\sigma_3} \right)^{-1}$ होगा।

(B) माना कि तीन प्रतिरोध $R_1, R_2$ और $R_3$ हैं। समांतर क्रम में तुल्य प्रतिरोध $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} = 1$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि दो प्रतिरोधों का अनुपात $R_1 : R_2 = 1 : 2$ है,इसलिए हम $R_2 = 2R_1$ लिख सकते हैं।
इसे समांतर प्रतिरोध के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{R_1} + \frac{1}{2R_1} + \frac{1}{R_3} = 1$.
यह सरल होकर $\frac{3}{2R_1} + \frac{1}{R_3} = 1$,या $\frac{1}{R_3} = 1 - \frac{3}{2R_1} = \frac{2R_1 - 3}{2R_1}$ हो जाता है।
अतः,$R_3 = \frac{2R_1}{2R_1 - 3}$.
$R_3$ को एक धनात्मक पूर्णांक होने के लिए,$2R_1 - 3$ को $2R_1$ का विभाजक होना चाहिए। चूंकि $2R_1 = (2R_1 - 3) + 3$,इसलिए $(2R_1 - 3)$ को $3$ का विभाजक होना चाहिए।
$3$ के संभावित विभाजक $1$ और $3$ हैं।
स्थिति $1$: $2R_1 - 3 = 1 \Rightarrow 2R_1 = 4 \Rightarrow R_1 = 2 \ \Omega$. तो $R_2 = 2R_1 = 4 \ \Omega$ और $R_3 = \frac{4}{1} = 4 \ \Omega$. (असमान प्रतिरोध नहीं हैं)।
स्थिति $2$: $2R_1 - 3 = 3 \Rightarrow 2R_1 = 6 \Rightarrow R_1 = 3 \ \Omega$. तो $R_2 = 2R_1 = 6 \ \Omega$ और $R_3 = \frac{6}{3} = 2 \ \Omega$.
प्रतिरोध $3 \ \Omega, 6 \ \Omega$ और $2 \ \Omega$ हैं। सबसे बड़ा प्रतिरोध $6 \ \Omega$ है।

(C) मान लीजिए कि केंद्रीय नोड $O$ है। सर्किट में $x$ और $O$ के बीच और $y$ और $O$ के बीच प्रतिरोधक जुड़े हुए हैं।
$x$ और $O$ के बीच $8\, \Omega$ और $2\, \Omega$ के प्रतिरोधक समानांतर क्रम में हैं। उनका समतुल्य प्रतिरोध $R_1 = (8 \times 2) / (8 + 2) = 16 / 10 = 1.6\, \Omega$ है।
$y$ और $O$ के बीच $4\, \Omega$ और $6\, \Omega$ के प्रतिरोधक समानांतर क्रम में हैं। उनका समतुल्य प्रतिरोध $R_2 = (4 \times 6) / (4 + 6) = 24 / 10 = 2.4\, \Omega$ है।
अब,$x$ और $O$ के बीच का भाग और $O$ और $y$ के बीच का भाग श्रेणी क्रम में हैं,इसलिए $R_{xOy} = R_1 + R_2 = 1.6 + 2.4 = 4\, \Omega$।
यह $R_{xOy}$ ऊपर और नीचे के $4\, \Omega$ के समानांतर संयोजन के साथ समानांतर क्रम में है।
$R_{xy} = (4 || 4) || 4 = 2 || 4 = (2 \times 4) / (2 + 4) = 8 / 6 = 4/3\, \Omega$।

(D) प्रतिरोध श्रेणीक्रम में जुड़े हुए हैं। श्रेणीक्रम में जुड़े प्रतिरोधों का तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ व्यक्तिगत प्रतिरोधों का योग होता है।
$R_{eq} = R_1 + R_2 + R_3 + \dots$
$R_{eq} = 4\, R + 16\, R + 64\, R + \dots$
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी (infinite geometric series) है जिसका प्रथम पद $a = 4\, R$ और सार्व अनुपात $r = 4$ है।
चूंकि सार्व अनुपात $r = 4$ का मान $1$ से अधिक है,इसलिए इस अनंत श्रेणी का योग अनंत (infinity) की ओर अग्रसर होता है।
अतः,$R_{eq} = \infty$.

(B) मान लीजिए कि बाईं ओर के दो प्रतिरोधों के बीच का नोड $X$ है। सर्किट में पांच प्रतिरोध हैं,प्रत्येक $2 \, \Omega$ का।
सर्किट को फिर से बनाने पर,हम देखते हैं कि नोड $X$ से जुड़े तीन प्रतिरोध $A$ और $B$ के बीच समानांतर क्रम में हैं।
$1$. दाईं ओर के दो प्रतिरोध समानांतर में हैं: $R_p = \frac{2 \times 2}{2 + 2} = 1 \, \Omega$।
$2$. इस सर्किट संरचना को देखते हुए,$A$ और $B$ के बीच तीन समानांतर शाखाएं हैं,जिनमें से प्रत्येक का प्रतिरोध $2 \, \Omega$ है।
$3$. अतः,तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = \frac{2}{3} \, \Omega$ होता है। दिए गए विकल्पों के अनुसार,प्रश्न के मानों में त्रुटि हो सकती है। यदि हम इस ब्रिज सर्किट को मानक तरीके से हल करते हैं,तो उत्तर $2 \, \Omega$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए कि परिपथ में उपयोग किए गए कुल प्रतिरोधकों की संख्या $n$ है।
तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = 5 \, \Omega$ और कुल धारा $I_{total} = 4 \, \text{A}$ है।
प्रत्येक प्रतिरोधक के लिए $R = 10 \, \Omega$ और $I_{max} = 1 \, \text{A}$ है।
परिपथ द्वारा व्यय की गई कुल शक्ति $P_{eq} = I_{total}^2 \times R_{eq} = (4)^2 \times 5 = 16 \times 5 = 80 \, \text{W}$ है।
प्रत्येक प्रतिरोधक की शक्ति क्षमता $P_{res} = I_{max}^2 \times R = (1)^2 \times 10 = 10 \, \text{W}$ है।
चूंकि कुल शक्ति $n$ प्रतिरोधकों द्वारा प्रदान की जानी चाहिए,इसलिए $P_{eq} = n \times P_{res}$ होगा।
$80 = n \times 10$.
अतः,$n = 8$।

(B) परिपथ आरेख से,दाईं ओर के दो $3 \ \Omega$ प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं,जो $R_1 = 3 \ \Omega + 3 \ \Omega = 6 \ \Omega$ का तुल्य प्रतिरोध बनाते हैं।
यह $R_1 = 6 \ \Omega$ प्रतिरोध तीसरे $3 \ \Omega$ प्रतिरोधक के साथ समांतर क्रम में है।
परिपथ का तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1 + 2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
अतः,$R_{eq} = 2 \ \Omega$।
परिपथ में कुल विद्युत धारा $I$ है:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{3 \ V}{2 \ \Omega} = 1.5 \ A$.

(A) मान लीजिए कि प्रत्येक प्रतिरोधक का मान $R$ है।
$1$. बिंदु $P$ और $R$ के बीच: $PR$ शाखा में केवल एक प्रतिरोधक $R$ है। अतः,$R_{PR} = R$.
$2$. बिंदु $P$ और $Q$ के बीच: $PQ$ शाखा में दो प्रतिरोधक समानांतर क्रम में हैं। अतः,$R_{PQ} = \frac{R}{2} = 0.5R$.
$3$. बिंदु $R$ और $Q$ के बीच: $RQ$ शाखा में तीन प्रतिरोधक समानांतर क्रम में हैं। अतः,$R_{RQ} = \frac{R}{3} \approx 0.33R$.
मानों की तुलना करने पर: $R > 0.5R > 0.33R$.
अतः,$P$ और $R$ बिंदुओं के बीच तुल्य प्रतिरोध अधिकतम है।

(A) श्रेणीक्रम परिपथ द्वारा खपत की गई शक्ति $P = \frac{V^2}{R_{eq}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $R_{eq}$ परिपथ का तुल्य प्रतिरोध है।
चूंकि आपूर्ति वोल्टेज $V$ स्थिर है,इसलिए $P \propto \frac{1}{R_{eq}}$ होगा।
जब श्रेणी संयोजन से एक बल्ब हटा दिया जाता है,तो परिपथ का कुल तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ कम हो जाता है।
चूंकि $P$,$R_{eq}$ के व्युत्क्रमानुपाती है,इसलिए प्रतिरोध में कमी के कारण शेष बल्बों द्वारा खपत की गई कुल शक्ति बढ़ जाती है।
अतः,कमरे में प्रकाश बढ़ जाएगा।

(C) परिपथ में $1\,\Omega$ के $7$ प्रतिरोधक हैं। परिपथ की सममिति का उपयोग करके,हम इसे सरल बना सकते हैं।
सममिति विधि के अनुसार,परिपथ को सरल करने पर,तुल्य प्रतिरोध $R_{AB} = 8/7\,\Omega$ प्राप्त होता है।

(A) तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{L}{A} = \rho \frac{L}{\pi r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि द्रव्यमान $M = \text{घनत्व} \times \text{आयतन} = d \times \pi r^2 L$ स्थिर है,इसलिए $L \propto \frac{1}{r^2}$ होता है।
$L$ का मान रखने पर,हमें $R \propto \frac{1}{r^2 \cdot r^2} = \frac{1}{r^4}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{R_A}{R_B} = \left( \frac{r_B}{r_A} \right)^4 = \left( \frac{1}{2} \right)^4 = \frac{1}{16}$।
इसका अर्थ है कि $R_B = 16 R_A$।
जब $A$ और $B$ को समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार होगा:
$R_{eq} = \frac{R_A R_B}{R_A + R_B} = \frac{R_A (16 R_A)}{R_A + 16 R_A} = \frac{16}{17} R_A$।
यदि $R_A = 4.25 \, \Omega$ है,तो $R_{eq} = \frac{16}{17} \times 4.25 = 4 \, \Omega$ होगा।

(A) प्रारंभिक विन्यास: पाँच ठोस रेखाएँ $1\, \Omega$ के पाँच प्रतिरोधकों को श्रेणीक्रम में दर्शाती हैं। अतः,प्रारंभिक समतुल्य प्रतिरोध $R_i = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5\, \Omega$ है।
अंतिम विन्यास: जब दो डैश वाली रेखाओं वाले प्रतिरोधक जोड़े जाते हैं,तो परिपथ एक ब्रिज जैसी संरचना बनाता है। प्रतिरोधक इस प्रकार व्यवस्थित होते हैं कि समतुल्य प्रतिरोध $R_f = 3\, \Omega$ हो जाता है।
प्रतिरोध में परिवर्तन $\Delta R = |R_i - R_f| = |5 - 3| = 2\, \Omega$ है।

(B) समांतर क्रम में जुड़े प्रतिरोधों के लिए,तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार दिया जाता है:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{2R} + \frac{1}{4R} + \frac{1}{8R} + ..... \infty$
$\frac{1}{R}$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R} [1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ..... \infty]$
कोष्ठक के अंदर का पद एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी (infinite geometric series) है,जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = 1/2$ है। अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1 - r}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$S = \frac{1}{1 - 1/2} = \frac{1}{1/2} = 2$
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R} \times 2 = \frac{2}{R}$
अतः,$R_{eq} = \frac{R}{2}$.

(C) किसी उपकरण का प्रतिरोध $R = \frac{V^2}{P}$ सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है।
हीटर के लिए,प्रतिरोध $R_h = \frac{(220)^2}{500} = \frac{48400}{500} = 96.8\,\Omega$ है।
बल्ब के लिए,प्रतिरोध $R_b = \frac{(220)^2}{100} = \frac{48400}{100} = 484\,\Omega$ है।
जब दोनों को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = R_h + R_b = 96.8 + 484 = 580.8\,\Omega$ होता है।
श्रेणीक्रम परिपथ में प्रवाहित विद्युत धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{220}{580.8} \approx 0.3787\,A$ है,जिसे लगभग $0.38\,A$ लिखा जा सकता है।

(D) वृत्त का व्यास $d = 2 \, m$ है,इसलिए त्रिज्या $r = 1 \, m$ है।
वृत्त की परिधि $C = \pi d = 2\pi \, m$ है।
तार को दो अर्धवृत्ताकार चापों में विभाजित किया जाता है,जिनकी लंबाई $L_{arc} = \pi r = \pi \times 1 = \pi \, m$ है।
प्रत्येक अर्धवृत्ताकार चाप का प्रतिरोध $R_1 = R_3 = \rho_L \times L_{arc} = 10^{-6} \times \pi = \pi \times 10^{-6} \, \Omega$ है।
व्यास पर जुड़े तार की लंबाई $L_{diameter} = d = 2 \, m$ है।
इस तार का प्रतिरोध $R_2 = \rho_L \times L_{diameter} = 10^{-6} \times 2 = 2 \times 10^{-6} \, \Omega$ है।
ये तीनों प्रतिरोध $(R_1, R_2, R_3)$ बिंदु $A$ और $B$ के बीच समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं।
तुल्य प्रतिरोध $R_{AB}$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{R_{AB}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}$
$\frac{1}{R_{AB}} = \frac{1}{\pi \times 10^{-6}} + \frac{1}{2 \times 10^{-6}} + \frac{1}{\pi \times 10^{-6}}$
$\frac{1}{R_{AB}} = \frac{2}{\pi \times 10^{-6}} + \frac{1}{2 \times 10^{-6}} = \frac{1}{10^{-6}} \left( \frac{2}{\pi} + \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{10^{-6}} \left( \frac{4 + \pi}{2\pi} \right)$
$R_{AB} = 10^{-6} \times \frac{2\pi}{4 + \pi} \approx 10^{-6} \times \frac{6.28}{7.14} \approx 0.88 \times 10^{-6} \, \Omega$.

(D) मान लीजिए कि $r$ तार का प्रति इकाई लंबाई प्रतिरोध है।
मान लीजिए $R_1 = r l_1$ और $R_2 = r l_2$ बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच दो चापों के प्रतिरोध हैं।
रिंग का कुल प्रतिरोध $R_0 = R_1 + R_2 = 12\,\Omega$ है।
चूंकि चाप समानांतर में हैं,तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार है:
$R_{eq} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{8}{3}\,\Omega$.
$R_1 + R_2 = 12$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है:
$\frac{R_1 R_2}{12} = \frac{8}{3} \Rightarrow R_1 R_2 = 32$.
हमारे पास दो समीकरण हैं:
$1$) $R_1 + R_2 = 12$
$2$) $R_1 R_2 = 32$
दूसरे समीकरण में $R_2 = 12 - R_1$ रखने पर:
$R_1(12 - R_1) = 32 \Rightarrow 12R_1 - R_1^2 = 32 \Rightarrow R_1^2 - 12R_1 + 32 = 0$.
द्विघात समीकरण को हल करने पर:
$(R_1 - 8)(R_1 - 4) = 0$.
अतः,$R_1 = 8\,\Omega$ और $R_2 = 4\,\Omega$ (या इसके विपरीत)।
चूंकि प्रतिरोध लंबाई के समानुपाती होता है $(R \propto l)$,लंबाई का अनुपात है:
$\frac{l_1}{l_2} = \frac{R_1}{R_2} = \frac{8}{4} = 2$ या $\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$।

(A) माना कि दो प्रतिरोधक $R_1$ और $R_2$ हैं।
श्रेणी क्रम में,तुल्य प्रतिरोध $S = R_1 + R_2$ है।
समांतर क्रम में,तुल्य प्रतिरोध $P = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{R_1 R_2}{S}$ है।
दिया गया है $S = nP$,अतः $P$ का मान रखने पर: $S = n \left( \frac{R_1 R_2}{S} \right) \Rightarrow n = \frac{S^2}{R_1 R_2} = \frac{(R_1 + R_2)^2}{R_1 R_2}$.
इसका विस्तार करने पर,$n = \frac{R_1^2 + R_2^2 + 2R_1 R_2}{R_1 R_2} = \frac{R_1}{R_2} + \frac{R_2}{R_1} + 2$.
अंकगणितीय माध्य-ज्यामितीय माध्य असमिका ($AM$ $\ge$ $GM$) का उपयोग करते हुए,किसी भी धनात्मक संख्या $x$ के लिए,$x + \frac{1}{x} \ge 2$ होता है।
यहाँ,मान लीजिए $x = \frac{R_1}{R_2}$ है। तब $n = x + \frac{1}{x} + 2$.
$x + \frac{1}{x}$ का न्यूनतम मान $2$ है (जब $x = 1$,अर्थात $R_1 = R_2$)।
अतः,$n$ का न्यूनतम मान $2 + 2 = 4$ है।

(B) यह परिपथ $A$ और $H$ से गुजरने वाली अक्ष के परितः सममित है।
मान लीजिए कि प्रत्येक खंड का प्रतिरोध $r$ है।
सममिति के कारण,बिंदु $C$ और $D$ पर विभव समान है,इसलिए $CD$ खंड से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
अतः,पथ $AC$ और $AD$ शेष नेटवर्क के साथ श्रेणीक्रम में हैं।
श्रेणी और समांतर संयोजन का उपयोग करके सममित शाखाओं को सरल बनाने पर,$A$ और $H$ के बीच तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = 0.973\ r$ प्राप्त होता है।

(A) मूल तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A} = \rho \frac{l}{\pi r_1^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r_1 = 9 \ mm$ है।
दिया गया है $R = 5 \ \Omega$,इसलिए $5 = \rho \frac{l}{\pi (9 \times 10^{-3})^2} \quad \dots (i)$
जब इसे $r_2 = 3 \ mm$ त्रिज्या वाले $6$ तारों से बदला जाता है जो समानांतर क्रम में जुड़े हैं,तो प्रत्येक नए तार का प्रतिरोध $R' = \rho \frac{l}{\pi r_2^2} = \rho \frac{l}{\pi (3 \times 10^{-3})^2}$ होता है।
चूंकि $6$ तार समानांतर में हैं,इसलिए तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ को $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{6}{R'}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$R_{eq} = \frac{R'}{6} = \frac{1}{6} \left( \rho \frac{l}{\pi (3 \times 10^{-3})^2} \right) \quad \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ को समीकरण $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{R}{R_{eq}} = \frac{\rho l / (\pi \times 81 \times 10^{-6})}{\rho l / (6 \times \pi \times 9 \times 10^{-6})} = \frac{6 \times 9}{81} = \frac{54}{81} = \frac{2}{3}$.
इसलिए,$R_{eq} = \frac{3}{2} R = \frac{3}{2} \times 5 = 7.5 \ \Omega$.

(D) और $B$ के बीच तुल्य प्रतिरोध ज्ञात करने के लिए,हम परिपथ को दाईं ओर से सरल करते हैं।
$1$. अंतिम खंड में $4\,\Omega$ का प्रतिरोध समानांतर में है,जो क्षैतिज प्रतिरोधों के श्रेणी संयोजन के साथ जुड़ा है।
$2$. दाईं ओर से सरल करने पर:
- सबसे दाईं लूप में $4\,\Omega$ का प्रतिरोध $(1+1+1+1)\,\Omega = 4\,\Omega$ के साथ समानांतर में है।
- तुल्य प्रतिरोध $R_1 = (4\,\Omega \parallel 4\,\Omega) = 2\,\Omega$ है।
$3$. अब,यह $2\,\Omega$,ऊपर के $(1+1)\,\Omega$ और नीचे के $(1+1)\,\Omega$ प्रतिरोधों के साथ श्रेणी में है,जिससे कुल प्रतिरोध $R_{next} = 2 + 2 + 2 = 6\,\Omega$ हो जाता है।
$4$. यह $6\,\Omega$,$8\,\Omega$ के ऊर्ध्वाधर प्रतिरोध के साथ समानांतर में है: $R_2 = (6\,\Omega \parallel 8\,\Omega) = \frac{48}{14} = \frac{24}{7}\,\Omega$।
$5$. शेष क्षैतिज प्रतिरोधों $(1+1)\,\Omega$ और $(1+1)\,\Omega$ को जोड़ने पर: $R_{total} = \frac{24}{7} + 4 = \frac{52}{7}\,\Omega$।
$6$. अंत में,यह पहले $8\,\Omega$ प्रतिरोध के साथ समानांतर में है: $R_{CD} = (\frac{52}{7} \parallel 8) = \frac{416}{108} \approx 3.85\,\Omega$।
$7$. शुरुआती $2\,\Omega$ प्रतिरोधों को श्रेणी में जोड़ने पर: $R_{AB} = 2 + 3.85 + 2 = 7.85\,\Omega \approx 8\,\Omega$।

(A) तार का कुल प्रतिरोध $R$ है। वलय की परिधि $2\pi r$ है।
प्रति इकाई लंबाई प्रतिरोध $\lambda = \frac{R}{2\pi r}$ है।
चाप $XWY$ की लंबाई $l_1 = r\alpha$ है।
अतः,चाप $XWY$ का प्रतिरोध $R_{XWY} = \lambda l_1 = \frac{R}{2\pi r} \times r\alpha = \frac{R\alpha}{2\pi}$ है।
चाप $XZY$ की लंबाई $l_2 = r(2\pi - \alpha)$ है।
अतः,चाप $XZY$ का प्रतिरोध $R_{XZY} = \lambda l_2 = \frac{R}{2\pi r} \times r(2\pi - \alpha) = \frac{R}{2\pi}(2\pi - \alpha)$ है।
चूंकि दोनों चाप बिंदुओं $X$ और $Y$ के बीच समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं,इसलिए तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार होगा:
$R_{eq} = \frac{R_{XWY} \times R_{XZY}}{R_{XWY} + R_{XZY}}$
$R_{eq} = \frac{(\frac{R\alpha}{2\pi}) \times (\frac{R}{2\pi}(2\pi - \alpha))}{\frac{R\alpha}{2\pi} + \frac{R}{2\pi}(2\pi - \alpha)}$
$R_{eq} = \frac{\frac{R^2\alpha}{4\pi^2}(2\pi - \alpha)}{\frac{R}{2\pi}(\alpha + 2\pi - \alpha)}$
$R_{eq} = \frac{\frac{R^2\alpha}{4\pi^2}(2\pi - \alpha)}{\frac{R}{2\pi}(2\pi)}$
$R_{eq} = \frac{R^2\alpha(2\pi - \alpha)}{4\pi^2} \times \frac{1}{R} = \frac{R\alpha}{4\pi^2}(2\pi - \alpha)$.