Electron Energy and Electron Energy Levels in Hydrogen Atom Questions in Gujarati

(D) ઉત્સર્જિત વિકિરણની તરંગલંબાઇ માટે રીડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$ છે,જ્યાં $R$ એ રીડબર્ગ અચળાંક છે અને $Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક છે.
$M$-શેલ $(n_i = 3)$ થી $L$-શેલ $(n_f = 2)$ ના સંક્રમણ માટે:
$\frac{1}{\lambda} = K \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = K \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = K \left( \frac{9-4}{36} \right) = \frac{5K}{36}$,જ્યાં $K = R Z^2$.
$N$-શેલ $(n_i = 4)$ થી $L$-શેલ $(n_f = 2)$ ના સંક્રમણ માટે:
$\frac{1}{\lambda'} = K \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = K \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = K \left( \frac{4-1}{16} \right) = \frac{3K}{16}$.
હવે,બંને સમીકરણોનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{\lambda'}{\lambda} = \frac{5K/36}{3K/16} = \frac{5}{36} \times \frac{16}{3} = \frac{5 \times 4}{9 \times 3} = \frac{20}{27}$.
તેથી,$\lambda' = \frac{20}{27} \lambda$.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$મી કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \ eV$ છે.
$n=2$ કક્ષામાંથી ઇલેક્ટ્રોનને અનંત અંતરે દૂર કરવા માટે (આયનીકરણ),આપણે તે સ્તર પરની બંધન ઉર્જા જેટલી ઉર્જા આપવી પડે.
$n=2$ અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_2 = -\frac{13.6}{2^2} = -\frac{13.6}{4} = -3.4 \ eV$ છે.
આ ઇલેક્ટ્રોનને દૂર કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા એ અનંત પરની ઉર્જા $(0 \ eV)$ અને $n=2$ પરની ઉર્જા વચ્ચેનો તફાવત છે $(E_{\text{req}} = 0 - (-3.4) = 3.4 \ eV)$.

(A) ઉત્સર્જિત ફોટોનની તરંગલંબાઇ માટે રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$ છે.
ત્રીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n_i = 4)$ થી બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n_f = 3)$ માં પ્રથમ કૂદકા માટે:
$\frac{1}{\lambda_1} = R \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right) = R \left( \frac{16 - 9}{144} \right) = R \left( \frac{7}{144} \right)$.
બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n_i = 3)$ થી પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n_f = 2)$ માં બીજા કૂદકા માટે:
$\frac{1}{\lambda_2} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{9 - 4}{36} \right) = R \left( \frac{5}{36} \right)$.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{1/\lambda_2}{1/\lambda_1} = \frac{R(5/36)}{R(7/144)} = \frac{5}{36} \times \frac{144}{7} = \frac{5 \times 4}{7} = \frac{20}{7}$.

(B) બે ઉર્જા સ્તરો $E_i$ અને $E_f$ વચ્ચેના સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $\Delta E = E_i - E_f = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$4E$ થી $E$ ના સંક્રમણ માટે:
$\Delta E_1 = 4E - E = 3E$
તેથી,$3E = \frac{hc}{\lambda_1} \implies \lambda_1 = \frac{hc}{3E}$ --- $(1)$
$\frac{7}{3}E$ થી $E$ ના સંક્રમણ માટે:
$\Delta E_2 = \frac{7}{3}E - E = \frac{4}{3}E$
તેથી,$\frac{4}{3}E = \frac{hc}{\lambda_2} \implies \lambda_2 = \frac{3hc}{4E}$ --- $(2)$
$\lambda_1$ અને $\lambda_2$ નો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \left( \frac{hc}{3E} \right) / \left( \frac{3hc}{4E} \right) = \frac{hc}{3E} \times \frac{4E}{3hc} = \frac{4}{9}$

(D) પરમાણુના બોહર મોડેલમાં,$n$ મી કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઊર્જા $(E)$,ગતિઊર્જા $(K)$ અને સ્થિતિઊર્જા $(U)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$K = -E$
$U = 2E$
અહીં ગતિઊર્જા $K = 13.6 \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ આપેલ છે.
કારણ કે $K = -E$,તેથી કુલ ઊર્જા $E = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ થાય.
સ્થિતિઊર્જા $U$ એ $U = 2E$ દ્વારા મળે છે.
$E$ ની કિંમત મૂકતા:
$U = 2 \times (-13.6 \frac{Z^2}{n^2} \ eV) = -27.2 \frac{Z^2}{n^2} \ eV$.
તેથી,સ્થિતિઊર્જા $-27.2 \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ થશે.

(D) ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા એ ઉર્જા સ્તરો વચ્ચેના તફાવત જેટલી હોય છે.
$2E$ થી $E$ ના સંક્રમણ માટે:
$\Delta E_1 = 2E - E = E = \frac{hc}{\lambda} \Rightarrow E = \frac{hc}{\lambda} \quad ... (1)$
$\frac{4E}{3}$ થી $E$ ના સંક્રમણ માટે:
$\Delta E_2 = \frac{4E}{3} - E = \frac{E}{3} = \frac{hc}{\lambda'} \quad ... (2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $E$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$\frac{1}{3} \left( \frac{hc}{\lambda} \right) = \frac{hc}{\lambda'}$
$\frac{1}{3\lambda} = \frac{1}{\lambda'} \Rightarrow \lambda' = 3\lambda$
તેથી, ઉત્પન્ન થતા ફોટોનની તરંગલંબાઇ $3\lambda$ છે.

(A) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુની $n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જાનું સૂત્ર: $E_n = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 1$ છે,તેથી $E_n(H) = -13.6 \frac{1^2}{n^2} = E_n$.
સિંગલી આયોનાઇઝ્ડ હિલિયમ પરમાણુ $(He^+)$ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 2$ છે.
$He^+$ માટે $n^{th}$ કક્ષામાં ઊર્જા $E_n(He^+) = -13.6 \frac{2^2}{n^2} = 4 \times (-13.6 \frac{1^2}{n^2}) = 4E_n$ થાય.
તેથી,ઊર્જા $4E_n$ છે.

(A) શોષણ સંક્રમણમાં,નીચા ઉર્જા સ્તરમાં રહેલો ઇલેક્ટ્રોન ફોટોનનું શોષણ કરે છે અને ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તરમાં કૂદકો મારે છે. $A, B, C$ ઉર્જા સ્તરો ધરાવતી સિસ્ટમ માટે (જ્યાં $A < B < C$),શોષણ ફક્ત ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $A$ થી $B$ અથવા $A$ થી $C$ સુધી જ થઈ શકે છે. આમ,$2$ શક્ય શોષણ સંક્રમણો છે.
ઉત્સર્જન સંક્રમણમાં,ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તરમાં રહેલો ઇલેક્ટ્રોન ફોટોન ઉત્સર્જિત કરીને નીચા ઉર્જા સ્તરમાં આવે છે. સમાન સ્તરો માટે,ઉત્સર્જન $C \rightarrow B$,$C \rightarrow A$,અને $B \rightarrow A$ થી થઈ શકે છે. આમ,$3$ શક્ય ઉત્સર્જન સંક્રમણો છે.
$2 < 3$ હોવાથી,શોષણ સંક્રમણોની સંખ્યા ઉત્સર્જન સંક્રમણોની સંખ્યા કરતા ઓછી છે. કારણ યોગ્ય રીતે સમજાવે છે કે શોષણ નીચા સ્તરથી શરૂ થવા માટે પ્રતિબંધિત છે,જ્યારે ઉત્સર્જન કોઈપણ બે સ્તરો વચ્ચે થઈ શકે છે જ્યાં પ્રારંભિક સ્થિતિ અંતિમ સ્થિતિ કરતા ઉચ્ચ હોય છે.

(C) પરમાણુની કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઉર્જા $(TE)$ $-3.4 \; eV$ આપેલી છે.
હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોન માટે કુલ ઉર્જા $(TE)$,ગતિ ઉર્જા $(KE)$ અને સ્થિતિ ઉર્જા $(PE)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$KE = -TE$
$PE = 2 \times TE$
અહીં $TE = -3.4 \; eV$ મૂકતા:
$KE = -(-3.4 \; eV) = +3.4 \; eV$
$PE = 2 \times (-3.4 \; eV) = -6.8 \; eV$
તેથી,ગતિ ઉર્જા $3.4 \; eV$ અને સ્થિતિ ઉર્જા $-6.8 \; eV$ છે.

(B) પરમાણુમાં બે ઉર્જા સ્તરો વચ્ચેનો તફાવત $E = 2.3 \; eV$ આપેલ છે.
આ ઉર્જાને જૂલમાં ફેરવવા માટે,આપણે તેને ઇલેક્ટ્રોનના વિદ્યુતભાર $(1.6 \times 10^{-19} \; C)$ વડે ગુણીએ છીએ:
$E = 2.3 \times 1.6 \times 10^{-19} \; J = 3.68 \times 10^{-19} \; J$.
બોહરના મોડેલ મુજબ,ઉત્સર્જિત વિકિરણની આવૃત્તિ $\nu$ એ ઉર્જા તફાવત સાથે $E = h\nu$ સમીકરણ દ્વારા સંબંધિત છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક $(6.626 \times 10^{-34} \; Js)$ છે.
આવૃત્તિ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $\nu = \frac{E}{h}$.
કિંમતો મૂકતા: $\nu = \frac{3.68 \times 10^{-19}}{6.626 \times 10^{-34}} \approx 5.55 \times 10^{14} \; Hz$.
બે સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $\nu \approx 5.6 \times 10^{14} \; Hz$ મળે છે.

ગ્રાઉન્ડ લેવલ માટે,$n_{1} = 1$.
આ લેવલની ઉર્જા $E_{1} = \frac{-13.6}{n_{1}^{2}} \, eV = -13.6 \, eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પરમાણુ $n_{2} = 4$ લેવલ પર ઉત્તેજિત થાય છે.
આ લેવલની ઉર્જા $E_{2} = \frac{-13.6}{n_{2}^{2}} \, eV = \frac{-13.6}{16} = -0.85 \, eV$ છે.
શોષાયેલા ફોટોનની ઉર્જા $E = E_{2} - E_{1} = -0.85 - (-13.6) = 12.75 \, eV$ છે.
ઉર્જાને જૂલમાં ફેરવતા: $E = 12.75 \times 1.6 \times 10^{-19} \, J = 2.04 \times 10^{-18} \, J$.
સંબંધ $E = \frac{hc}{\lambda}$ નો ઉપયોગ કરીને,તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{hc}{E}$ મળે છે.
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{2.04 \times 10^{-18}} \approx 9.75 \times 10^{-8} \, m = 97.5 \, nm$.
આવૃત્તિ $\nu = \frac{c}{\lambda} = \frac{3 \times 10^{8}}{9.75 \times 10^{-8}} \approx 3.08 \times 10^{15} \, Hz$ છે.

(N/A) ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઊર્જા $E = -3.4 \; eV$ છે. હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $(K)$ તેની કુલ ઊર્જાના ઋણ મૂલ્ય જેટલી હોય છે.
$\Rightarrow K = -E$
$K = -(-3.4 \; eV) = +3.4 \; eV$
આમ,આ અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $+3.4 \; eV$ છે.
$(b)$ હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનની સ્થિતિઊર્જા $(U)$ તેની ગતિઊર્જા કરતા $-2$ ગણી હોય છે.
$\Rightarrow U = -2K$
$U = -2 \times 3.4 \; eV = -6.8 \; eV$
આમ,આ અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રોનની સ્થિતિઊર્જા $-6.8 \; eV$ છે.
$(c)$ સ્થિતિઊર્જા એ સંદર્ભ બિંદુને સાપેક્ષ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જ્યાં તેને શૂન્ય માનવામાં આવે છે. જો સંદર્ભ બિંદુ બદલવામાં આવે,તો સ્થિતિઊર્જા $(U)$ અને પરિણામે કુલ ઊર્જા $(E = K + U)$ બદલાશે. જોકે,ગતિઊર્જા $(K)$ બદલાશે નહીં કારણ કે તે માત્ર ઇલેક્ટ્રોનના વેગ પર આધાર રાખે છે.

(A) બોહરના પરમાણુ મોડેલ મુજબ,ઇલેક્ટ્રોન ધન વીજભારિત ન્યુક્લિયસની આસપાસ સ્થાયી કક્ષાઓમાં ભ્રમણ કરે છે. ઇલેક્ટ્રોન અને ન્યુક્લિયસ વચ્ચેનું સ્થિત-વિદ્યુત આકર્ષણ બળ $F_{e}$ એ ઇલેક્ટ્રોનને તેની કક્ષામાં રાખવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $F_{c}$ પૂરું પાડે છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં સ્થાયી કક્ષા માટે:
$F_{e} = F_{c}$
$\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \cdot \frac{e^{2}}{r^{2}} = \frac{m v^{2}}{r}$
આના પરથી,આપણને ત્રિજ્યાનો સંબંધ મળે છે: $r = \frac{e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} m v^{2}} \quad \dots (1)$
ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ ઉર્જા $K$ છે:
$K = \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{e^{2}}{8 \pi \epsilon_{0} r} \quad \dots (2)$
ન્યુક્લિયસના ક્ષેત્રમાં ઇલેક્ટ્રોનની સ્થિતિ ઉર્જા $U$ (હાઇડ્રોજન માટે $Z=1$) છે:
$U = -\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \cdot \frac{e^{2}}{r} \quad \dots (3)$
કુલ ઉર્જા $E$ એ ગતિ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જાનો સરવાળો છે:
$E = K + U = \frac{e^{2}}{8 \pi \epsilon_{0} r} - \frac{e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} r} = -\frac{e^{2}}{8 \pi \epsilon_{0} r}$
ઋણ નિશાની સૂચવે છે કે ઇલેક્ટ્રોન ન્યુક્લિયસ સાથે બંધાયેલો છે.

(A) પરમાણુમાં,ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઉર્જા $E$ એ તેની ગતિ ઉર્જા $K$ અને સ્થિતિ ઉર્જા $U$ નો સરવાળો છે.
ઇલેક્ટ્રોન સ્થિત-વિદ્યુત આકર્ષણ બળ દ્વારા ન્યુક્લિયસ સાથે બંધાયેલ હોવાથી,સ્થિતિ ઉર્જા $U$ ઋણ હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$U = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Ze^2}{r}$.
ગતિ ઉર્જા $K$ ધન હોય છે,જે $K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Ze^2}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,કુલ ઉર્જા $E = K + U = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Ze^2}{2r}$.
ઋણ કુલ ઉર્જા સૂચવે છે કે ઇલેક્ટ્રોન બંધાયેલી અવસ્થામાં છે,જેનો અર્થ છે કે તે ન્યુક્લિયસ તરફ આકર્ષાય છે અને તેને પરમાણુમાંથી દૂર કરવા માટે બાહ્ય ઉર્જાની જરૂર પડે છે. તેથી,ઇલેક્ટ્રોન ન્યુક્લિયસ દ્વારા આકર્ષાય છે તે હકીકત તેની ઋણ કુલ ઉર્જાનું કારણ છે.

(N/A) પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઉર્જા નીચે મુજબ છે:
$E_{n} = -\frac{m Z^{2} e^{4}}{8 n^{2} h^{2} \epsilon_{0}^{2}}$
આને સાદું રૂપ આપતા:
$E_{n} = -\frac{13.6 Z^{2}}{n^{2}} \text{ eV}$
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે જેમ $n$ નું મૂલ્ય વધે છે,તેમ ઋણ ઉર્જાનું મૂલ્ય ઘટે છે,એટલે કે ન્યુક્લિયસથી દૂરની કક્ષાઓમાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા વધે છે.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન ન્યુક્લિયસની સૌથી નજીકની કક્ષામાં $(n = 1)$ હોય,ત્યારે તેની ઉર્જા સૌથી ઓછી (મહત્તમ ઋણ મૂલ્ય) હોય છે. આ અવસ્થાને ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ કહેવામાં આવે છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે $(Z = 1, n = 1)$:
$E_{1} = -13.6 \text{ eV}$
આયનીકરણ ઉર્જા એ ઇલેક્ટ્રોનને ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટમાંથી અનંત સુધી દૂર કરવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ ઉર્જા છે. હાઇડ્રોજન માટે આ $13.6 \text{ eV}$ છે.
ઉત્તેજિત ઉર્જા એ ઇલેક્ટ્રોનને ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટમાંથી ઉચ્ચ ઉર્જા અવસ્થામાં લઈ જવા માટે જરૂરી ઉર્જા છે. પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n = 2)$ માટે:
$E_{2} = -\frac{13.6}{2^{2}} = -3.4 \text{ eV}$
$\Delta E = E_{2} - E_{1} = -3.4 - (-13.6) = 10.2 \text{ eV}$

(A) પરમાણુની ધરા-અવસ્થા (ground state) એ તેની સૌથી ઓછી ઉર્જા ધરાવતી અવસ્થા છે. જ્યારે પરમાણુ ઉર્જાનું શોષણ કરે છે,ત્યારે તેના ઇલેક્ટ્રોન નીચલા ઉર્જા સ્તરમાંથી ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તરમાં કૂદકો મારે છે. આ અવસ્થા,જે ધરા-અવસ્થા કરતા વધુ ઉર્જા ધરાવે છે,તેને પરમાણુની ઉત્તેજિત અવસ્થા (excited state) કહેવામાં આવે છે.

(C) પરમાણુમાં કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઉર્જા $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ ન્યુક્લિયસથી અંતર વધે છે,તેમ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ વધે છે.
અનંત અંતરે,$n \to \infty$ થાય છે.
તેથી,કુલ ઉર્જા $E_{\infty} = \lim_{n \to \infty} \left( -\frac{13.6}{n^2} \right) = 0 \text{ eV}$ થાય છે.
આમ,ન્યુક્લિયસથી અનંત અંતરે રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઉર્જા શૂન્ય હોય છે.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$-મી કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \ eV$ છે.
ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ (મૂળ અવસ્થા) માટે,$n = 1$ છે.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $n = 2$ ને અનુરૂપ છે.
બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $n = 3$ ને અનુરૂપ છે.
સૂત્રમાં $n = 3$ મૂકતા,આપણને $E_3 = -\frac{13.6}{3^2} = -\frac{13.6}{9} \approx -1.51 \ eV$ મળે છે.
ઇલેક્ટ્રોનને મુક્ત કરવા (પરમાણુનું આયનીકરણ કરવા) માટે,આપણે તેની કુલ ઉર્જાને $0 \ eV$ સુધી લાવવા માટે પૂરતી ઉર્જા આપવી પડે.
તેથી,જરૂરી ઉર્જા $E_{\text{ionization}} = 0 - E_3 = 0 - (-1.51 \ eV) = 1.51 \ eV$ છે.

(N/A) $1$. ઉત્સર્જન રેખાઓ: જ્યારે ઉત્તેજિત અવસ્થામાં રહેલો પરમાણુ નીચી ઉર્જા અવસ્થામાં સંક્રમણ કરે છે,ત્યારે તે બે ઉર્જા સ્તરો વચ્ચેના તફાવત જેટલી ઉર્જા ધરાવતો ફોટોન ઉત્સર્જિત કરે છે $(E_2 - E_1 = h
u)$. આના પરિણામે વર્ણપટમાં ચોક્કસ તરંગલંબાઇ પર એક તેજસ્વી રેખા મળે છે,જેને ઉત્સર્જન રેખા કહેવામાં આવે છે.
$2$. શોષણ રેખાઓ: જ્યારે નીચી ઉર્જા અવસ્થામાં રહેલો પરમાણુ તેની વર્તમાન અવસ્થા અને ઉચ્ચ ઉર્જા અવસ્થા વચ્ચેના તફાવત જેટલી જ ઉર્જા ધરાવતા ફોટોનનું શોષણ કરે છે $(h
u = E_2 - E_1)$,ત્યારે તે ઉચ્ચ અવસ્થામાં સંક્રમણ કરે છે. સતત વર્ણપટમાંથી ચોક્કસ તરંગલંબાઇઓ દૂર થવાને કારણે જે ઘેરી રેખાઓ રચાય છે,તેને શોષણ રેખાઓ કહેવામાં આવે છે.

(B) ઉત્સર્જન રેખા એ એક વર્ણપટ રેખા છે જે ત્યારે રચાય છે જ્યારે પરમાણુ અથવા અણુમાંનો ઇલેક્ટ્રોન ઉચ્ચ ઉર્જા અવસ્થા $(E_2)$ થી નીચલા ઉર્જા અવસ્થા $(E_1)$ માં સંક્રમણ કરે છે.
આ સંક્રમણ દરમિયાન,વધારાની ઉર્જા ફોટોનના સ્વરૂપમાં મુક્ત થાય છે.
ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $E = E_2 - E_1 = h\nu$,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $\nu$ એ ઉત્સર્જિત વિકિરણની આવૃત્તિ છે.
આના પરિણામે ઉત્સર્જન વર્ણપટમાં ચોક્કસ તરંગલંબાઇ પર એક તેજસ્વી રેખા મળે છે.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં,$n^{\text{th}}$ સ્તરની ઉર્જા $E_n = -\frac{E_0}{n^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E_0$ એ હાઇડ્રોજનની આયનીકરણ ઉર્જા છે.
$(n+1)$ થી $n$ માં સંક્રમણ માટે,ઉત્સર્જિત વિકિરણની ઉર્જા $\Delta E$ એ ઉર્જા સ્તરો વચ્ચેનો તફાવત છે:
$\Delta E = E_{n+1} - E_n = E_0 \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2} \right)$
$\Delta E = h\nu$ સંબંધનો ઉપયોગ કરતા:
$h\nu = E_0 \left( \frac{(n+1)^2 - n^2}{n^2(n+1)^2} \right) = E_0 \left( \frac{2n+1}{n^2(n+1)^2} \right)$
જ્યારે $n >> 1$ હોય,ત્યારે આપણે $(n+1) \approx n$ અને $(2n+1) \approx 2n$ લઈ શકીએ છીએ:
$h\nu \approx E_0 \left( \frac{2n}{n^2 \cdot n^2} \right) = E_0 \left( \frac{2n}{n^4} \right) = \frac{2E_0}{n^3}$
આમ,આવૃત્તિ $\nu$ એ $\frac{1}{n^3}$ ના પ્રમાણમાં છે.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુના બોહર મોડેલ મુજબ,$n^{th}$ સ્થિર કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઉર્જા નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E_{n} = -\frac{13.6}{n^{2}} \; eV$
જ્યાં $n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ નંબર છે જે કક્ષાનો ક્રમ દર્શાવે છે $(n = 1, 2, 3, \dots)$.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનને $n_1$ અવસ્થામાંથી $n_2$ અવસ્થામાં ઉત્તેજિત કરવા માટે જરૂરી ઉર્જાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\Delta E = 13.6 Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) eV$
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,$Z = 1$ છે. ઇલેક્ટ્રોન ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n_1 = 1)$ થી $n_2 = 3$ અવસ્થામાં ઉત્તેજિત થાય છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\Delta E = 13.6 \times (1)^2 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} \right) eV$
$\Delta E = 13.6 \left( 1 - \frac{1}{9} \right) eV$
$\Delta E = 13.6 \left( \frac{8}{9} \right) eV$
$\Delta E = 13.6 \times 0.888... eV$
$\Delta E \approx 12.088 eV \approx 12.1 eV$
આમ,પરમાણુમાં સ્થાનાંતરિત થયેલી ઉર્જા $12.1 eV$ છે.

(B) હાઇડ્રોજન જેવા આયનની $n^{th}$ કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV$
$He^{+}$ આયન માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 2$ છે.
$2^{nd}$ કક્ષા માટે,મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n = 2$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$E_2 = -13.6 \times \frac{2^2}{2^2} \ eV$
$E_2 = -13.6 \times \frac{4}{4} \ eV$
$E_2 = -13.6 \ eV$

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n^{th}$ કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$E_n = -\frac{13.6}{n^2} \ eV$
$4^{th}$ કક્ષા $(n=4)$ માટે:
$E_4 = -\frac{13.6}{4^2} = -\frac{13.6}{16} = -0.85 \ eV$
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોનને $15 \ eV$ ની બાહ્ય ઉર્જા આપવામાં આવે છે,ત્યારે પરમાણુમાંથી બહાર નીકળ્યા પછી ઇલેક્ટ્રોનની અંતિમ ઉર્જા $(E_f)$ નીચે મુજબ મળે છે:
$E_f = E_{supplied} + E_4$
$E_f = 15 \ eV + (-0.85 \ eV)$
$E_f = 14.15 \ eV$
આમ,ઇલેક્ટ્રોનની અંતિમ ગતિ ઉર્જા $14.15 \ eV$ છે.

(B) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર $E_n = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 1$ અને ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ માટે,$n = 1$ છે.
આમ,હાઇડ્રોજનની ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ ઉર્જા $E_H = -13.6 \times \frac{1^2}{1^2} = -13.6 \text{ eV}$ થાય.
સિંગલી આયોનાઇઝ્ડ કાર્બન પરમાણુ $(C^+)$ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 6$ છે.
આપણે એવું ઉર્જા સ્તર $n$ શોધવા માંગીએ છીએ કે જેથી ઉર્જા $E_C$ એ હાઇડ્રોજનની ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ ઉર્જા જેટલી થાય:
$-13.6 \frac{6^2}{n^2} = -13.6$.
બંને બાજુ $-13.6$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{36}{n^2} = 1$ મળે છે.
તેથી,$n^2 = 36$,જેનો અર્થ છે કે $n = 6$.

(B) સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $\Delta E = h\nu = 13.6 \text{ eV} \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આવૃત્તિ $\nu = \frac{\Delta E}{h}$ હોવાથી,જ્યારે ઉર્જાનો તફાવત $\Delta E$ મહત્તમ હોય ત્યારે આવૃત્તિ $\nu$ મહત્તમ હોય છે.
ઉર્જાના તફાવતોની સરખામણી કરતા:
$n = 4$ થી $n = 3$ માટે: $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right) \approx 0.66 \text{ eV}$.
$n = 2$ થી $n = 1$ માટે: $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{4} \right) = 13.6 \times 0.75 = 10.2 \text{ eV}$.
$n = 5$ થી $n = 4$ માટે: $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{16} - \frac{1}{25} \right) \approx 0.31 \text{ eV}$.
$n = 3$ થી $n = 2$ માટે: $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) \approx 1.89 \text{ eV}$.
$n = 2$ થી $n = 1$ નું સંક્રમણ સૌથી મોટો ઉર્જા તફાવત આપે છે,તેથી તેની આવૃત્તિ મહત્તમ હશે.

(A) જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન $n = 5$ થી $n = 1$ માં સંક્રમણ કરે ત્યારે મુક્ત થતી ઉર્જા:
$\Delta E = E_5 - E_1 = -0.54 \, eV - (-13.6 \, eV) = 13.06 \, eV$.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પરમાણુનું પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય છે,તેથી પરમાણુનું અંતિમ વેગમાન ઉત્સર્જિત ફોટોનના વેગમાન જેટલું અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવું જોઈએ:
$P_{\text{atom}} = P_{\text{photon}} = \frac{h}{\lambda}$.
ફોટોનની ઉર્જા $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$ હોવાથી,$\frac{1}{\lambda} = \frac{\Delta E}{hc}$ મળે.
આ કિંમત વેગમાનના સમીકરણમાં મૂકતા,પરમાણુનું રિકોઇલ વેગમાન $Mv = \frac{\Delta E}{c}$ મળે,જ્યાં $M$ એ હાઇડ્રોજન પરમાણુનું દળ $(M \approx 1.67 \times 10^{-27} \, kg)$ છે અને $c$ એ પ્રકાશની ગતિ $(3 \times 10^8 \, m/s)$ છે.
રિકોઇલ વેગ $v$ નીચે મુજબ મળે:
$v = \frac{\Delta E}{Mc} = \frac{13.06 \times 1.6 \times 10^{-19} \, J}{1.67 \times 10^{-27} \, kg \times 3 \times 10^8 \, m/s} \approx 4.17 \, m/s$.

(C) અથડામણ પહેલાં તંત્રની કુલ ઉર્જા એ મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ ઉર્જા છે,કારણ કે અનંત અંતરે સ્થિતિ ઉર્જા $0$ છે. કુલ ઉર્જા $E_i = 2.6 \, eV + 0 = 2.6 \, eV$ છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n=2)$ માં બને છે. હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$-મી અવસ્થામાં ઉર્જા $E_n = -13.6/n^2 \, eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $n=2$ માટે,$E_f = -13.6/4 = -3.4 \, eV$ થાય.
ફોટોન તરીકે મુક્ત થતી ઉર્જા એ પ્રારંભિક અને અંતિમ કુલ ઉર્જાનો તફાવત છે: $\Delta E = E_i - E_f = 2.6 - (-3.4) = 6.0 \, eV$.
ઉર્જાને જૂલમાં ફેરવતા: $\Delta E = 6.0 \times 1.6 \times 10^{-19} \, J = 9.6 \times 10^{-19} \, J$.
સંબંધ $\Delta E = hf$ નો ઉપયોગ કરતા,આવૃત્તિ $f = \Delta E / h = (9.6 \times 10^{-19}) / (6.6 \times 10^{-34}) \approx 1.45 \times 10^{15} \, Hz$ મળે.
$1 \, MHz = 10^6 \, Hz$ હોવાથી,$MHz$ માં આવૃત્તિ $1.45 \times 10^{15} / 10^6 = 1.45 \times 10^9 \, MHz$ થાય.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $n = 2$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી,$T_1 = -\frac{13.6}{2^2} = -\frac{13.6}{4} \text{ eV}$.
દ્વિતીય ઉત્તેજિત અવસ્થા $n = 3$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી,$T_2 = -\frac{13.6}{3^2} = -\frac{13.6}{9} \text{ eV}$.
ગુણોત્તર $T_1 : T_2$ ની ગણતરી નીચે મુજબ થાય છે:
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{-13.6/4}{-13.6/9} = \frac{9}{4}$.
આમ,ગુણોત્તર $9:4$ છે.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે બોહરના મોડેલમાં,ઊર્જા સ્તરો $E_n = -\frac{13.6 \text{ eV}}{n^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જેમ ઇલેક્ટ્રોન ઉચ્ચ સ્તર ($n$ વધે છે) પર સંક્રમણ કરે છે,તેમ $E$ વધે છે (ઓછું ઋણ બને છે).
હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુ માટે,ગતિઊર્જા $K = -E = \frac{13.6 \text{ eV}}{n^2}$ છે. જેમ $n$ વધે છે,તેમ $K$ ઘટે છે.
સ્થિતિઊર્જા $P = 2E = -\frac{27.2 \text{ eV}}{n^2}$ છે. જેમ $n$ વધે છે,તેમ $P$ નું મૂલ્ય ઘટે છે,જેનો અર્થ છે કે $P$ ઓછું ઋણ બને છે,તેથી $P$ વધે છે.
તેથી,જેમ ઇલેક્ટ્રોન ઉચ્ચ ઊર્જા સ્તર પર જાય છે,તેમ $K$ ઘટે છે,જ્યારે $P$ અને $E$ વધે છે.

(B) $n_2$ થી $n_1$ સ્તર પરના સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $E = 13.6 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સંક્રમણ $(i)$ માટે $n=3$ થી $n=2$: $E_1 = 13.6 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = 13.6 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = 13.6 \left( \frac{5}{36} \right)$.
સંક્રમણ $(ii)$ માટે $n=\infty$ થી $n=2$: $E_2 = 13.6 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = 13.6 \left( \frac{1}{4} - 0 \right) = 13.6 \left( \frac{1}{4} \right)$.
ગુણોત્તર $\frac{E_1}{E_2} = \frac{13.6(5/36)}{13.6(1/4)} = \frac{5/36}{1/4} = \frac{5}{9}$ છે.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{x}{x+4}$ હોવાથી,$\frac{x}{x+4} = \frac{5}{9}$ મળે.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $9x = 5x + 20$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $4x = 20$ થાય,તેથી $x = 5$.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બીજા ઉર્જા સ્તર $(n=2)$ થી પ્રથમ ઉર્જા સ્તર $(n=1)$ પરના સંક્રમણ માટે,ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા:
$\Delta E_1 = E_2 - E_1 = -\frac{13.6}{2^2} - (-\frac{13.6}{1^2}) = 13.6(1 - \frac{1}{4}) = 13.6 \times \frac{3}{4} \text{ eV}$.
સૌથી ઉચ્ચ અનુમતિપાત્ર ઉર્જા સ્તર $(n=\infty)$ થી પ્રથમ અનુમતિપાત્ર ઉર્જા સ્તર $(n=1)$ પરના સંક્રમણ માટે,ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા:
$\Delta E_2 = E_{\infty} - E_1 = 0 - (-\frac{13.6}{1^2}) = 13.6 \text{ eV}$.
ઉર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{\Delta E_1}{\Delta E_2} = \frac{13.6 \times \frac{3}{4}}{13.6} = \frac{3}{4}$.

(D) તરંગલંબાઈ $\lambda$ ધરાવતા ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{12400 \, \text{eV} \cdot \mathring{A}}{\lambda (\mathring{A})}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ તરંગલંબાઈઓ માટે ઉર્જાની ગણતરી:
$E_1 = \frac{12400}{912} \approx 13.6 \, \text{eV}$
$E_2 = \frac{12400}{1026} \approx 12.08 \, \text{eV}$
$E_3 = \frac{12400}{1216} \approx 10.2 \, \text{eV}$
$E_4 = \frac{12400}{3646} \approx 3.4 \, \text{eV}$
ઓરડાના તાપમાને,હાઇડ્રોજન અણુઓ ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n=1)$ માં હોય છે.
શોષણ થવા માટે,ફોટોનની ઉર્જા ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ અને ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n > 1)$ વચ્ચેના ઉર્જા તફાવત જેટલી હોવી જોઈએ. ઉત્તેજના માટે જરૂરી લઘુત્તમ ઉર્જા $E_2 - E_1 = -3.4 - (-13.6) = 10.2 \, \text{eV}$ છે.
$3.4 \, \text{eV}$ એ ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટમાંથી ઉત્તેજના માટે જરૂરી $10.2 \, \text{eV}$ કરતા ઓછી હોવાથી,$3646 \, \mathring{A}$ તરંગલંબાઈનું પ્રબળ શોષણ થશે નહીં.

(B) ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n=1)$ માં રહેલા હાઇડ્રોજન પરમાણુની પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n=2)$ માં જવા માટેની જરૂરી ઉર્જા $E_2 - E_1 = -3.4 \,eV - (-13.6 \,eV) = 10.2 \,eV$ છે.
જો આપાત ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $E$ એ $10.2 \,eV$ કરતા ઓછી હોય,તો હાઇડ્રોજન પરમાણુ કોઈ ઉર્જાનું શોષણ કરી શકતું નથી કારણ કે $n=1$ અને $n=2$ ની વચ્ચે કોઈ ઉર્જા સ્તર ઉપલબ્ધ નથી. પરિણામે,આંતરિક ઉર્જામાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી અને અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક રહે છે.
જો ગતિઊર્જા $E$ એ $10.2 \,eV$ કે તેથી વધુ હોય,તો હાઇડ્રોજન પરમાણુ $n=2$ અવસ્થામાં જવા માટે $10.2 \,eV$ ઉર્જાનું શોષણ કરી શકે છે. આ કિસ્સામાં,અથડામણ અસ્થિતિસ્થાપક બને છે.
તેથી,$E < 10.2 \,eV$ માટે અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હશે.

(C) $L$ લંબાઈના એક-પરિમાણીય બોક્સમાં બંધાયેલા $m$ દળના કણ માટે,ઉર્જા સ્તરો $E_k = \frac{k^2 h^2}{8 m L^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $L = \sqrt{\frac{35 h \lambda}{8 m c}}$,તેથી $L^2 = \frac{35 h \lambda}{8 m c}$.
ઉર્જાના સમીકરણમાં $L^2$ ની કિંમત મૂકતા:
$E_k = \frac{k^2 h^2}{8 m (35 h \lambda / 8 m c)} = \frac{k^2 h c}{35 \lambda}$.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન $\lambda$ તરંગલંબાઈનો ફોટોન શોષે છે,ત્યારે તે $k=1$ થી $n$ માં સંક્રમણ કરે છે:
$E_n - E_1 = \frac{h c}{\lambda}$
$\frac{n^2 h c}{35 \lambda} - \frac{1^2 h c}{35 \lambda} = \frac{h c}{\lambda}$
$\frac{n^2 - 1}{35} = 1 \Rightarrow n^2 - 1 = 35 \Rightarrow n^2 = 36 \Rightarrow n = 6$.
ત્યારબાદ,ઇલેક્ટ્રોન $\lambda^{\prime} = 1.75 \lambda = \frac{7}{4} \lambda$ તરંગલંબાઈનો ફોટોન ઉત્સર્જિત કરીને $n=6$ થી $m$ માં સંક્રમણ કરે છે:
$E_6 - E_m = \frac{h c}{\lambda^{\prime}}$
$\frac{6^2 h c}{35 \lambda} - \frac{m^2 h c}{35 \lambda} = \frac{h c}{1.75 \lambda}$
$\frac{36 - m^2}{35} = \frac{1}{1.75} = \frac{1}{7/4} = \frac{4}{7}$
$36 - m^2 = 35 \times \frac{4}{7} = 5 \times 4 = 20$
$m^2 = 36 - 20 = 16 \Rightarrow m = 4$.
આમ,$n=6$ અને $m=4$.

(B) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુ માટે $n$ મી અવસ્થામાં ઉર્જાનું સૂત્ર $E_n = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \,eV$ છે.
સિંગલી આયોનાઇઝ્ડ હિલિયમ પરમાણુ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 2$ છે.
તેથી,$n=4$ અવસ્થા માટે ઉર્જા:
$E_4 = -13.6 \times \frac{2^2}{4^2} = -13.6 \times \frac{4}{16} = -3.4 \,eV$.
જ્યારે પરમાણુ $2.6 \,eV$ ઉર્જાનો ફોટોન ઉત્સર્જિત કરે છે,ત્યારે તેની અંતિમ ઉર્જા $E_f$ નીચે મુજબ થશે:
$E_f = E_4 - 2.6 \,eV = -3.4 \,eV - 2.6 \,eV = -6.0 \,eV$.
હવે,$E_n = -13.6 \frac{Z^2}{n^2}$ નો ઉપયોગ કરીને આ ઉર્જા સ્તર માટે ક્વોન્ટમ નંબર $n$ શોધીએ:
$-6.0 = -13.6 \times \frac{4}{n^2} \implies n^2 = \frac{13.6 \times 4}{6.0} \approx 9.06 \approx 9$.
આમ,$n = 3$.
અંતિમ ઉર્જા $-6.0 \,eV$ છે અને ક્વોન્ટમ નંબર $n=3$ છે.

(D) સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$c$ પ્રકાશની ગતિ છે અને $\lambda$ તરંગલંબાઇ છે.
પ્રથમ ત્રણ ઉર્જા સ્તરો $(n=1, 2, 3)$ માટે,શક્ય સંક્રમણો નીચે મુજબ છે:
$1$. $n=3 \rightarrow n=1$ (ઉર્જા $E_1$,તરંગલંબાઇ $\lambda_1$)
$2$. $n=2 \rightarrow n=1$ (ઉર્જા $E_2$,તરંગલંબાઇ $\lambda_2$)
$3$. $n=3 \rightarrow n=2$ (ઉર્જા $E_3$,તરંગલંબાઇ $\lambda_3$)
ઉર્જા એ તરંગલંબાઇના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી $(E \propto \frac{1}{\lambda})$,સૌથી વધુ ઉર્જા ફેરફાર ધરાવતું સંક્રમણ સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇને અનુરૂપ છે. આમ,$\lambda_1$ એ સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ $(n=3 \rightarrow n=1)$ છે અને $\lambda_3$ એ સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ $(n=3 \rightarrow n=2)$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$n=3$ થી $n=1$ ના સંક્રમણની ઉર્જા એ $n=3$ થી $n=2$ અને $n=2$ થી $n=1$ ના સંક્રમણોની ઉર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે:
$E_{3 \rightarrow 1} = E_{3 \rightarrow 2} + E_{2 \rightarrow 1}$
$E = \frac{hc}{\lambda}$ મૂકતા:
$\frac{hc}{\lambda_1} = \frac{hc}{\lambda_3} + \frac{hc}{\lambda_2}$
બંને બાજુ $hc$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{1}{\lambda_1} = \frac{1}{\lambda_2} + \frac{1}{\lambda_3}$

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n^{th}$ કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -\frac{13.6 \ eV}{n^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે ક્રમિક કક્ષાઓ $n$ અને $n+1$ વચ્ચેનો ઉર્જાનો તફાવત $\Delta E = E_{n+1} - E_n = -13.6 \left( \frac{1}{(n+1)^2} - \frac{1}{n^2} \right) = 13.6 \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2} \right) = 13.6 \left( \frac{(n+1)^2 - n^2}{n^2(n+1)^2} \right) = 13.6 \left( \frac{2n+1}{n^2(n+1)^2} \right)$ છે.
જેમ $n$ વધે છે,તેમ છેદ $n^2(n+1)^2$ એ અંશ $(2n+1)$ કરતા ઘણો ઝડપથી વધે છે,જેના કારણે $\Delta E$ નું મૂલ્ય ઘટે છે.
તેથી,જેમ $n$ વધે છે તેમ ક્રમિક ઉર્જા સ્તરો વચ્ચેનો ઉર્જાનો તફાવત ઘટે છે.

(D) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જા નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E_n = -\frac{13.6 \,eV}{n^2}$
$n=7$ ને અનુરૂપ ઊર્જા સ્તર માટે:
$E_7 = -\frac{13.6}{7^2} \,eV$
$E_7 = -\frac{13.6}{49} \,eV$
$E_7 \approx -0.27755 \,eV$
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને મળે છે:
$E_7 \approx -0.28 \,eV$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ઉર્જા સ્તરો $n_i$ અને $n_f$ વચ્ચેના સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right) \, eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n = 4$ થી $n = 1$ ના સંક્રમણ માટે,$\Delta E = 13.6 \left( 1 - \frac{1}{16} \right) = 13.6 \times \frac{15}{16} = 12.75 \, eV$.
ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા પણ આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $h = 4 \times 10^{-15} \, eV \cdot s$ અને $c = 3 \times 10^8 \, m/s$,તેથી $hc = 12 \times 10^{-7} \, eV \cdot m = 1200 \, eV \cdot nm$.
આમ,$\lambda = \frac{hc}{\Delta E} = \frac{1200 \, eV \cdot nm}{12.75 \, eV} \approx 94.11 \, nm$.
તેથી,તરંગલંબાઇ આશરે $94.1 \, nm$ છે.

(D) હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,સંક્રમણની ઊર્જા $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right) \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિસ્સો $1$: બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n_i = 3)$ થી પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n_f = 2)$.
$\frac{hc}{\lambda_0} = 13.6 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = 13.6 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = 13.6 \left( \frac{5}{36} \right) \ldots (i)$
કિસ્સો $2$: ત્રીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n_i = 4)$ થી બીજી કક્ષા $(n_f = 2)$.
$\frac{hc}{\lambda'} = 13.6 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = 13.6 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = 13.6 \left( \frac{3}{16} \right) \ldots (ii)$
આપેલ છે કે $\lambda' = \frac{20}{x} \lambda_0$,તેથી સમીકરણ $(i)$ ને $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{\lambda'}{\lambda_0} = \frac{13.6 \left( \frac{5}{36} \right)}{13.6 \left( \frac{3}{16} \right)} = \frac{5}{36} \times \frac{16}{3} = \frac{5 \times 4}{9 \times 3} = \frac{20}{27}$
$\frac{\lambda'}{\lambda_0} = \frac{20}{27}$ ની સરખામણી $\frac{20}{x}$ સાથે કરતા,આપણને $x = 27$ મળે છે.

(D) સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે $\lambda = 124.1 \, nm = 124.1 \times 10^{-9} \, m$.
$hc \approx 1241 \, eV \cdot nm$ નો ઉપયોગ કરતા,જરૂરી ઉર્જા તફાવત $\Delta E = \frac{1241 \, eV \cdot nm}{124.1 \, nm} = 10 \, eV$ મળે છે.
આકૃતિ પરથી:
સંક્રમણ $A$: $\Delta E = 0 - (-2.2) = 2.2 \, eV$.
સંક્રમણ $B$: $\Delta E = 0 - (-5.2) = 5.2 \, eV$.
સંક્રમણ $C$: $\Delta E = -2.2 - (-5.2) = 3.0 \, eV$.
સંક્રમણ $D$: $\Delta E = 0 - (-10.0) = 10.0 \, eV$.
આમ,સંક્રમણ $D$ એ $10 \, eV$ ના ઉર્જા તફાવતને અનુરૂપ છે,તેથી તે $124.1 \, nm$ તરંગલંબાઇ ધરાવતા ફોટોનનું ઉત્સર્જન કરશે.

(C) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2}\,eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$Li^{2+}$ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 3$ છે.
બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $n = 3$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી,બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_3 = -13.6 \times \frac{3^2}{3^2} = -13.6\,eV$ છે.
ઇલેક્ટ્રોનને દૂર કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા (બાઈન્ડિંગ એનર્જી) આ ઉર્જાનું મૂલ્ય છે,જે $13.6\,eV$ છે.
આપણને આપેલ છે કે આ ઉર્જા $x \times 10^{-1}\,eV$ છે.
તેથી,$13.6 = x \times 10^{-1} \implies x = 136$.

(D) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુની $n^{\text{th}}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન પ્રારંભિક અવસ્થા $n_i$ થી અંતિમ અવસ્થા $n_f$ માં કૂદકો મારે ત્યારે મુક્ત થતી ઉર્જા $\Delta E = E_{n_i} - E_{n_f} = 13.6 Z^2 \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right) \text{ eV}$ છે.
અહીં $Z = 4$,$n_i = 4$,અને $n_f = 2$ આપેલ છે:
$\Delta E = 13.6 \times (4)^2 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) \text{ eV}$.
$\Delta E = 13.6 \times 16 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) \text{ eV}$.
$\Delta E = 13.6 \times 16 \left( \frac{4-1}{16} \right) \text{ eV}$.
$\Delta E = 13.6 \times 3 \text{ eV} = 40.8 \text{ eV}$.

(D) સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$c$ પ્રકાશની ગતિ છે,અને $\lambda$ તરંગલંબાઇ છે.
આ સંબંધ પરથી,આપણને $\lambda = \frac{hc}{\Delta E}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\lambda \propto \frac{1}{\Delta E}$.
સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ માટે,ઉર્જાનો તફાવત $\Delta E$ મહત્તમ હોવો જોઈએ.
આપેલ ઉર્જા સ્તર આકૃતિ જોતા:
સંક્રમણ $A$ એ $n=4$ થી $n=3$ છે.
સંક્રમણ $B$ એ $n=4$ થી $n=2$ છે.
સંક્રમણ $C$ એ $n=3$ થી $n=2$ છે.
સંક્રમણ $D$ એ $n=3$ થી $n=1$ છે.
$n=3$ થી $n=1$ ના સંક્રમણ માટે ઉર્જાનો તફાવત સૌથી વધુ છે,જે સંક્રમણ $D$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન ઉત્તેજિત અવસ્થા $n_2$ માંથી ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $n_1=1$ માં સંક્રમણ કરે છે ત્યારે ઉત્સર્જિત થતી વર્ણપટ રેખાઓની સંખ્યા $N = \frac{n_2(n_2-1)}{2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે $N = 6$,તેથી $\frac{n_2(n_2-1)}{2} = 6$,જેનો અર્થ છે $n_2^2 - n_2 - 12 = 0$.
આ દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા,આપણને $(n_2-4)(n_2+3) = 0$ મળે છે. $n_2 > 0$ હોવાથી,$n_2 = 4$ મળે છે.
આપાત ફોટોનની ઉર્જા ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n=1)$ અને ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n=4)$ વચ્ચેના ઉર્જા તફાવત જેટલી હોવી જોઈએ:
$h\nu = E_4 - E_1 = -0.85 \ eV - (-13.6 \ eV) = 12.75 \ eV$.
આપેલ છે $h = 4.25 \times 10^{-15} \ eVs$,તેથી આવૃત્તિ $\nu$:
$\nu = \frac{12.75 \ eV}{4.25 \times 10^{-15} \ eVs} = 3 \times 10^{15} \ Hz$.
આને $x \times 10^{15} \ Hz$ સાથે સરખાવતા,$x = 3$ મળે છે.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે ઊર્જા સ્તરો $n=1$ (ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ),$n=2$ (પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા),$n=3$ (દ્વિતીય ઉત્તેજિત અવસ્થા) અને $n=4$ (તૃતીય ઉત્તેજિત અવસ્થા) દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આકૃતિ પરથી,$A$ એ $n=2$ ને અનુરૂપ છે,$B$ એ $n=3$ ને અનુરૂપ છે અને $C$ એ $n=4$ ને અનુરૂપ છે.
$n_2$ થી $n_1$ માં સંક્રમણ માટે તરંગલંબાઇ $\lambda$ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$.
$\lambda_1$ સંક્રમણ માટે ($n=3$ થી $n=2$): $\frac{1}{\lambda_1} = R(1)^2 \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right] = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right] = R \left( \frac{5}{36} \right)$.
$\lambda_2$ સંક્રમણ માટે ($n=4$ થી $n=3$): $\frac{1}{\lambda_2} = R(1)^2 \left[ \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right] = R \left[ \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right] = R \left( \frac{7}{144} \right)$.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ ની ગણતરી કરો:
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{1/\lambda_2}{1/\lambda_1} = \frac{R(7/144)}{R(5/36)} = \frac{7}{144} \times \frac{36}{5} = \frac{7}{4 \times 5} = \frac{7}{20}$.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{7}{4n}$ છે,તેથી $\frac{7}{20} = \frac{7}{4n}$,જેનો અર્થ છે કે $4n = 20$,તેથી $n = 5$.

(A) $n=2$ અને $n=1$ સ્તરો વચ્ચેનો ઉર્જા તફાવત $\Delta E = E_2 - E_1 = -3.4 \,eV - (-13.6 \,eV) = 10.2 \,eV$ છે.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, ઉત્સર્જિત ફોટોનનું વેગમાન હાઇડ્રોજન પરમાણુના રિકોઇલ વેગમાન જેટલું હોવું જોઈએ.
$p_{\text{atom}} = p_{\text{photon}} = \frac{\Delta E}{c}$
કારણ કે $p_{\text{atom}} = m \cdot v$, જ્યાં $m$ એ હાઇડ્રોજન પરમાણુનું દળ છે અને $v$ એ રિકોઇલ ઝડપ છે:
$v = \frac{\Delta E}{m \cdot c}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$v = \frac{10.2 \,eV}{(1.6 \times 10^{-27} \,kg) \times (3 \times 10^8 \,m/s)}$
$eV$ ને જુલમાં ફેરવતા $(1 \,eV = 1.6 \times 10^{-19} \,J)$:
$v = \frac{10.2 \times 1.6 \times 10^{-19} \,J}{1.6 \times 10^{-27} \,kg \times 3 \times 10^8 \,m/s}$
$v = \frac{10.2 \times 10^{-19}}{3 \times 10^{-19}} \,m/s = 3.4 \,m/s$
$3.4 \,m/s$ ને છેદ $5$ વાળા અપૂર્ણાંક તરીકે દર્શાવતા:
$v = \frac{3.4 \times 5}{5} = \frac{17}{5} \,m/s$
આને $\frac{x}{5} \,m/s$ સાથે સરખાવતા, આપણને $x = 17$ મળે છે.