Electron Energy and Electron Energy Levels in Hydrogen Atom Questions in Gujarati

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n^{\text{મી}}$ કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જાનું સૂત્ર: $E_n = \frac{-13.6 \text{ eV}}{n^2}$ છે.
પ્રથમ કક્ષા $(n=1)$ માટે,ઊર્જા $E_1 = -13.6 \text{ eV}$ છે.
બીજી કક્ષા $(n=2)$ માટે,ઊર્જા $E_2 = \frac{-13.6 \text{ eV}}{2^2} = -3.4 \text{ eV}$ છે.
લઘુત્તમ ઉત્તેજિત ઊર્જા એટલે ઇલેક્ટ્રોનને ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n=1)$ થી પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n=2)$ માં લઈ જવા માટે જરૂરી ઊર્જા.
$\Delta E = E_2 - E_1 = -3.4 \text{ eV} - (-13.6 \text{ eV}) = 10.2 \text{ eV}$.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n=1)$ ની ઉર્જા $E_1 = -\frac{13.6}{1^2} = -13.6 \text{ eV}$ છે.
બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા માટે,$n=3$. ઉર્જા $E_3 = -\frac{13.6}{3^2} = -\frac{13.6}{9} \approx -1.51 \text{ eV}$ છે.
ઇલેક્ટ્રોનને ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટમાંથી બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થામાં ઉત્તેજિત કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા $\Delta E = E_3 - E_1 = -1.51 - (-13.6) = 12.09 \text{ eV} \approx 12 \text{ eV}$ છે.
$(b)$ આયનીકરણ ઉર્જા એ ઇલેક્ટ્રોનને ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n=1)$ થી અનંત $(n=\infty)$ સુધી દૂર કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા છે.
$E_{\infty} = 0 \text{ eV}$.
જરૂરી ઉર્જા = $E_{\infty} - E_1 = 0 - (-13.6) = 13.6 \text{ eV}$.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$-મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઊર્જા $E_n = -\frac{13.6}{n^2} eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉત્તેજિત અવસ્થા $n=4$ માટે,કુલ ઊર્જા $E_4 = -\frac{13.6}{4^2} = -\frac{13.6}{16} = -0.85 eV$ છે.
બોહરની કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની સ્થિતિ ઊર્જા $(PE)$ અને કુલ ઊર્જા $(E)$ વચ્ચેનો સંબંધ $PE = 2E$ છે.
તેથી,$PE = 2 \times (-0.85 eV) = -1.7 eV$ થાય.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં $n$ માં સ્તરની ઉર્જા $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ક્રમિક સ્તરો વચ્ચેનો ઉર્જાનો તફાવત $\Delta E = E_{n+1} - E_n = 13.6 \left[ \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2} \right]$ છે.
આ પદને સરળ બનાવતા,આપણને $\Delta E = 13.6 \left[ \frac{(n+1)^2 - n^2}{n^2(n+1)^2} \right] = 13.6 \left[ \frac{2n+1}{n^2(n+1)^2} \right]$ મળે છે.
$n$ ના મોટા મૂલ્યો માટે,$\Delta E \approx 13.6 \left[ \frac{2n}{n^4} \right] = \frac{27.2}{n^3}$.
કારણ કે $\Delta E \propto \frac{1}{n^3}$,તેથી જેમ ક્વોન્ટમ નંબર $n$ વધે છે,તેમ ઉર્જાનો તફાવત $\Delta E$ ઘટે છે.

(D) ઇલેક્ટ્રોનિક સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $\Delta E = E_{initial} - E_{final}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉર્જા સ્તરો $E_n = -\frac{13.6 Z^2}{n^2} \text{ eV}$ હોવાથી,$n_i$ થી $n_f$ ના સંક્રમણ માટે ઉર્જાનો તફાવત $\Delta E = 13.6 Z^2 \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$ છે.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તરથી નીચા ઉર્જા સ્તર (નીચે તરફના તીર) માં જાય ત્યારે ઉત્સર્જન થાય છે.
આકૃતિ જોતા:
સંક્રમણ $(II)$ એ $n=4$ થી $n=3$ છે.
સંક્રમણ $(III)$ એ $n=2$ થી $n=1$ છે.
સંક્રમણ $(IV)$ એ $n=3$ થી $n=2$ છે.
સંક્રમણ $(I)$ એ શોષણ છે (ઉપર તરફનું તીર),તેથી તે ઉત્સર્જન દર્શાવતું નથી.
ઉર્જાના તફાવતોની સરખામણી કરતા:
$(II)$ માટે: $\Delta E \propto (\frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2}) = (\frac{1}{9} - \frac{1}{16}) = \frac{7}{144} \approx 0.0486$.
$(III)$ માટે: $\Delta E \propto (\frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2}) = (1 - 0.25) = 0.75$.
$(IV)$ માટે: $\Delta E \propto (\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}) = (\frac{1}{4} - \frac{1}{9}) = \frac{5}{36} \approx 0.1389$.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,સંક્રમણ $(III)$ માં ઉર્જાનો તફાવત સૌથી વધુ છે,જે સૌથી વધુ ઉર્જા ધરાવતા ફોટોનના ઉત્સર્જનને અનુરૂપ છે.

(B) લઘુત્તમ ઉત્તેજન ઉર્જા એ ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n=1)$ થી પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n=2)$ માં થતા સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુના ઉર્જા સ્તરો માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \ eV$.
ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટની ઉર્જા $E_1 = -13.6 \ eV$ છે.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થાની ઉર્જા $E_2 = -\frac{13.6}{2^2} = -3.4 \ eV$ છે.
જરૂરી ઉત્તેજન ઉર્જા $\Delta E = E_2 - E_1 = -3.4 - (-13.6) = 10.2 \ eV$ છે.
તેથી,લઘુત્તમ ઉત્તેજન પોટેન્શિયલ $10.2 \ V$ છે.

(B) ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $\Delta E = 13.6 \ eV \times \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n_2=4$ થી $n_1=2$ માટે,$\Delta E = 13.6 \times \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = 13.6 \times \frac{3}{16} = 2.55 \ eV$.
જૂલમાં રૂપાંતરિત કરતા: $\Delta E = 2.55 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J = 4.08 \times 10^{-19} \ J$.
ફોટોનનું વેગમાન $p = \frac{E}{c} = \frac{4.08 \times 10^{-19}}{3 \times 10^8} = 1.36 \times 10^{-27} \ kg \ m \ s^{-1}$ છે.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,હાઇડ્રોજન પરમાણુનું રિકોઇલ વેગમાન ફોટોનના વેગમાન જેટલું હોય છે.
$m_{H} v = p$,જ્યાં $m_{H} \approx 1.67 \times 10^{-27} \ kg$.
$v = \frac{1.36 \times 10^{-27}}{1.67 \times 10^{-27}} \approx 0.814 \ m \ s^{-1}$.

(D) ધારો કે હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુની ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ ઉર્જા $-E$ છે.
પ્રથમ ઉત્તેજન માટે,ઇલેક્ટ્રોન ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n=1)$ થી પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n=2)$ માં જાય છે.
જરૂરી ઉર્જા $E_{2} - E_{1} = 15 \ eV$ છે.
$\left(\frac{-E}{2^2}\right) - \left(\frac{-E}{1^2}\right) = 15 \ eV$.
$\frac{-E}{4} + E = 15 \ eV$.
$\frac{3E}{4} = 15 \ eV \implies E = 20 \ eV$.
ત્રીજા ઉત્તેજન માટે,ઇલેક્ટ્રોન ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n=1)$ થી ચોથી ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n=4)$ માં જાય છે.
જરૂરી ઉર્જા $E_{4} - E_{1} = \left(\frac{-E}{4^2}\right) - \left(\frac{-E}{1^2}\right)$ છે.
$= \frac{-E}{16} + E = \frac{15E}{16}$.
$E = 20 \ eV$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે:
$E_{3rd\ excitation} = \frac{15 \times 20}{16} = \frac{300}{16} = \frac{75}{4} \ V$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) ફોટોનની ઊર્જાનું સૂત્ર $E = \frac{hc}{\lambda}$ છે.
અહીં,$E = 5 \ eV$,$h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$c = 3 \times 10^8 \ m/s$,અને $1 \ eV = 1.6 \times 10^{-19} \ J$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,ટૂંકી રીત મુજબ $E \ (eV) = \frac{1240}{\lambda \ (nm)}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા.
કિંમતો મૂકતા: $5 = \frac{1240}{\lambda}$.
$\lambda$ માટે ઉકેલતા: $\lambda = \frac{1240}{5} = 248 \ nm$.
તેથી,ઉત્સર્જિત ફોટોનની તરંગલંબાઇ $248 \ nm$ છે.

(A) સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $E = \Delta E = 3.31 \ eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉર્જા અને તરંગલંબાઇ વચ્ચેનો સંબંધ $E = \frac{hc}{\lambda}$ છે.
અહીં $h = 6.62 \times 10^{-34} \ J \cdot s$, $c = 3 \times 10^8 \ m/s$, અને $1 \ eV = 1.6 \times 10^{-19} \ J$ છે.
સૂત્ર $\lambda = \frac{hc}{E}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lambda = \frac{(6.62 \times 10^{-34} \ J \cdot s) \times (3 \times 10^8 \ m/s)}{3.31 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J}$.
$\lambda = \frac{19.86 \times 10^{-26}}{5.296 \times 10^{-19}} \ m$.
$\lambda \approx 3.75 \times 10^{-7} \ m$.
એંગસ્ટ્રોમમાં ફેરવતા $(1 \ Å = 10^{-10} \ m)$:
$\lambda \approx 3750 \ Å$.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$-મી અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -\frac{|E|}{n^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે,પ્રારંભિક અવસ્થા $n_A = 3$ છે,તેથી પ્રારંભિક ઉર્જા $E_{n_A} = -\frac{|E|}{3^2} = -\frac{|E|}{9}$ છે.
જ્યારે $\Delta E = \frac{|E|}{12}$ ઉર્જા ધરાવતા ફોટોનનું શોષણ થાય છે,ત્યારે ઇલેક્ટ્રોન $n_B$ અવસ્થામાં સંક્રમણ કરે છે,જેની ઉર્જા $E_{n_B} = -\frac{|E|}{n_B^2}$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણનું સમીકરણ $E_{n_B} - E_{n_A} = \Delta E$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $-\frac{|E|}{n_B^2} - (-\frac{|E|}{9}) = \frac{|E|}{12}$.
$|E|$ વડે ભાગતા: $-\frac{1}{n_B^2} + \frac{1}{9} = \frac{1}{12}$.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{1}{n_B^2} = \frac{1}{9} - \frac{1}{12}$.
સામાન્ય છેદ લેતા: $\frac{1}{n_B^2} = \frac{4 - 3}{36} = \frac{1}{36}$.
તેથી,$n_B^2 = 36$,જેનો અર્થ છે કે $n_B = 6$.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$-મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $(K)$ નું સૂત્ર $K_n = \frac{13.6 \text{ eV}}{n^2}$ છે.
ત્રીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા માટે,મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n_1 = 3 + 1 = 4$ છે.
ચોથી ઉત્તેજિત અવસ્થા માટે,મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n_2 = 4 + 1 = 5$ છે.
ત્રીજી ઉત્તેજિત અવસ્થામાં ગતિઊર્જા $K_4 = \frac{13.6}{4^2} = \frac{13.6}{16}$ છે.
ચોથી ઉત્તેજિત અવસ્થામાં ગતિઊર્જા $K_5 = \frac{13.6}{5^2} = \frac{13.6}{25}$ છે.
ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_4}{K_5} = \frac{13.6/16}{13.6/25} = \frac{25}{16}$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $25: 16$ છે.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુને તેની ધરા-સ્થિતિ $(n=1)$ માંથી આયનીકૃત કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા તેની આયનીકરણ ઉર્જા જેટલી હોય છે, જે $E = 13.6 \, eV$ છે.
આપાત વિકિરણની મહત્તમ તરંગલંબાઇ $(\lambda_{max})$ શોધવા માટે, આપણે $E = \frac{hc}{\lambda}$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
કિંમતો મૂકતા: $13.6 \, eV = \frac{1240 \, eV \cdot nm}{\lambda}$.
$\lambda = \frac{1240}{13.6} \, nm \approx 91.17 \, nm$.
આને એંગસ્ટ્રોમ $(Å)$ માં ફેરવતા: $91.17 \, nm = 911.7 \, Å \approx 912 \, Å$.
આમ, જરૂરી મહત્તમ તરંગલંબાઇ આશરે $912 \, Å$ છે.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,$n$ મી કક્ષામાં કુલ ઉર્જા $E_n = \frac{E_1}{n^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E_1 = -13.6 \ eV$ છે.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા માટે,$n = 2$ લેવામાં આવે છે.
તેથી,કુલ ઉર્જા $E_2 = \frac{-13.6}{2^2} = \frac{-13.6}{4} = -3.4 \ eV$ થાય.
કુલ ઉર્જા $(E)$ અને સ્થિતિ ઉર્જા $(U)$ વચ્ચેનો સંબંધ $U = 2E$ છે.
આમ,પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થામાં સ્થિતિ ઉર્જા $U_2 = 2 \times E_2 = 2 \times (-3.4 \ eV) = -6.8 \ eV$ થશે.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$-મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર $E_n = -\frac{13.6 \text{ eV}}{n^2}$ છે.
ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ (મૂળ અવસ્થા) માટે,$n = 1$ છે.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $n = 2$ ને અનુરૂપ છે.
દ્વિતીય ઉત્તેજિત અવસ્થા $n = 3$ ને અનુરૂપ છે.
આપણે પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(E_2)$ અને દ્વિતીય ઉત્તેજિત અવસ્થા $(E_3)$ ની ઉર્જાનો ગુણોત્તર શોધવાનો છે.
$E_2 = -\frac{13.6}{2^2} = -\frac{13.6}{4} \text{ eV}$.
$E_3 = -\frac{13.6}{3^2} = -\frac{13.6}{9} \text{ eV}$.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થાની ઉર્જા અને દ્વિતીય ઉત્તેજિત અવસ્થાની ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E_2}{E_3} = \frac{-13.6/4}{-13.6/9} = \frac{9}{4}$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $9: 4$ છે.

(D) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર $E_n = \frac{-13.6}{n^2} eV$ છે.
ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ (મૂળ અવસ્થા) માટે $n = 1$ છે.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $n = 2$ છે,બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $n = 3$ છે,ત્રીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $n = 4$ છે અને ચોથી ઉત્તેજિત અવસ્થા $n = 5$ છે.
સૂત્રમાં $n = 5$ મૂકતા:
$E_5 = \frac{-13.6}{5^2} eV = \frac{-13.6}{25} eV = -0.544 eV$.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$-મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n_1 = 1)$ માટે, ઉર્જા $E_1 = -13.6 \text{ eV}$ છે.
ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n_2 = 3)$ માટે, ઉર્જા $E_3 = -\frac{13.6}{3^2} = -\frac{13.6}{9} \approx -1.51 \text{ eV}$ છે.
પરમાણુને $n=1$ થી $n=3$ સુધી ઉત્તેજિત કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા $\Delta E = E_3 - E_1$ છે.
$\Delta E = -1.51 - (-13.6) = 12.09 \text{ eV}$.
આ મૂલ્યને રાઉન્ડ ઓફ કરતા, આપણને $\Delta E \approx 12.1 \text{ eV}$ મળે છે.

(D) ઉત્તેજિત અવસ્થાની ઉર્જા એ ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ ઉર્જા અને ઉત્તેજન ઉર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે.
$E_{\text{excited}} = E_{\text{ground}} + E_{\text{excitation}} = 10.5 \text{ eV} + 7.7 \text{ eV} = 18.2 \text{ eV}$.
આ સંક્રમણમાં સામેલ ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તર $(E_1)$ દર્શાવે છે.
તરંગલંબાઇ $\lambda = 4960 \mathring A = 496 \text{ nm}$ ને અનુરૂપ ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$E_{\text{photon}} = \frac{hc}{\lambda} = \frac{1240 \text{ eV nm}}{496 \text{ nm}} = 2.5 \text{ eV}$.
ફોટોન ઉચ્ચ સ્તર $(E_1)$ થી નીચલા સ્તર $(E_2)$ માં સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત થાય છે,તેથી:
$E_{\text{photon}} = E_1 - E_2$
$2.5 \text{ eV} = 18.2 \text{ eV} - E_2$
$E_2 = 18.2 \text{ eV} - 2.5 \text{ eV} = 15.7 \text{ eV}$.
આમ,બે સ્તરોની ઉર્જા $18.2 \text{ eV}$ અને $15.7 \text{ eV}$ છે.

(D) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઊર્જા રિડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right) \text{ eV}$.
$n=2 \rightarrow n=1$ સંક્રમણ માટે,ઊર્જા $E_1$ છે:
$E_1 = 13.6 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = 13.6 \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = 13.6 \times \frac{3}{4} \text{ eV}$.
$n=3 \rightarrow n=2$ સંક્રમણ માટે,ઊર્જા $E_2$ છે:
$E_2 = 13.6 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = 13.6 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = 13.6 \times \frac{5}{36} \text{ eV}$.
હવે,ગુણોત્તર $E_2 / E_1$ ની ગણતરી કરતા:
$\frac{E_2}{E_1} = \frac{13.6 \times (5/36)}{13.6 \times (3/4)} = \frac{5}{36} \times \frac{4}{3} = \frac{5}{9 \times 3} = \frac{5}{27}$.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$-મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -\frac{13.6 \text{ eV}}{n^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધરા અવસ્થા $(n_1 = 1)$ માટે,ઉર્જા $E_1 = -13.6 \text{ eV}$ છે.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n_2 = 2)$ માટે,ઉર્જા $E_2 = -\frac{13.6 \text{ eV}}{2^2} = -\frac{13.6}{4} \text{ eV} = -3.4 \text{ eV}$ છે.
$n_2$ થી $n_1$ માં સંક્રમણ દરમિયાન મુક્ત થતા ફોટોનની ઉર્જા $\Delta E = E_2 - E_1$ છે.
$\Delta E = -3.4 \text{ eV} - (-13.6 \text{ eV}) = 13.6 \text{ eV} - 3.4 \text{ eV} = 10.2 \text{ eV}$.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં $n$ મી કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની સ્થિતિ ઊર્જા $U_n = -27.2 / n^2 \ eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n = 2)$ માટે,સ્થિતિ ઊર્જા $U_2 = -27.2 / 2^2 = -6.8 \ eV$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આપણે $U_2 = 0$ લઈએ છીએ. આનો અર્થ એ છે કે આપણે સ્થિતિ ઊર્જાના સ્કેલમાં $6.8 \ eV$ નો અચળાંક ઉમેરી રહ્યા છીએ.
હાઇડ્રોજન પરમાણુની કુલ ઊર્જા $E_n = -13.6 / n^2 \ eV$ છે.
$n = \infty$ માટે,પ્રમાણિત કુલ ઊર્જા $E_{\infty} = 0 \ eV$ છે.
આપણે સ્થિતિ ઊર્જાના સ્કેલમાં $6.8 \ eV$ ઉમેર્યા હોવાથી,નવી કુલ ઊર્જા $E'_{\infty} = E_{\infty} + 6.8 \ eV = 0 + 6.8 \ eV = 6.8 \ eV$ થશે.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુના ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટની ઉર્જા $E_1 = -13.6 \text{ eV}$ છે.
પરમાણુને $n$-માં ઉર્જા સ્તર સુધી ઉત્તેજિત કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા $\Delta E = E_n - E_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E_n = -13.6/n^2 \text{ eV}$ છે.
$n=2$ માટે,$\Delta E = -3.4 - (-13.6) = 10.2 \text{ eV}$.
$n=3$ માટે,$\Delta E = -1.51 - (-13.6) = 12.09 \text{ eV}$.
$n=4$ માટે,$\Delta E = -0.85 - (-13.6) = 12.75 \text{ eV}$.
આપેલ ઇલેક્ટ્રોન બીમની ઉર્જા $12.5 \text{ eV}$ હોવાથી,તે હાઇડ્રોજન પરમાણુઓને $n=3$ સ્તર $(12.09 \text{ eV})$ સુધી ઉત્તેજિત કરવા માટે પૂરતી ઉર્જા આપી શકે છે,પરંતુ $n=4$ સ્તર $(12.75 \text{ eV})$ સુધી પહોંચવા માટે પૂરતી ઉર્જા નથી.
તેથી,હાઇડ્રોજન પરમાણુઓ $n=3$ ઉર્જા સ્તર સુધી ઉત્તેજિત થશે.

(D) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઉર્જા $E_n = -\frac{13.6 \ eV}{n^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n=2$ અવસ્થા માટે,કુલ ઉર્જા $E_2 = -\frac{13.6}{2^2} = -\frac{13.6}{4} = -3.4 \ eV$ થાય.
સ્થિતિ ઉર્જા $(PE)$ અને કુલ ઉર્જા $(E)$ વચ્ચેનો સંબંધ $PE = 2E$ છે.
તેથી,$n=2$ અવસ્થામાં સ્થિતિ ઉર્જા $PE = 2 \times (-3.4 \ eV) = -6.8 \ eV$ થાય.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$-મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -\frac{13.6 \ eV}{n^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધરા-સ્થિતિ $(n=1)$ માટે,$E_1 = -13.6 \ eV$.
$M$-કોષ $(n=3)$ માટે,ઉર્જા $E_3 = -\frac{13.6 \ eV}{3^2} = -\frac{13.6}{9} \ eV \approx -1.51 \ eV$ છે.
$M$-સ્થિતિમાંથી હાઇડ્રોજન પરમાણુનું આયનીકરણ કરવા માટે,પરમાણુને આયનીકરણ મર્યાદા $(E_{\infty} = 0 \ eV)$ સુધી પહોંચવા માટે પૂરતી ઉર્જા આપવી આવશ્યક છે.
જરૂરી ઉર્જા $\Delta E = E_{\infty} - E_3 = 0 - (-1.51 \ eV) = +1.51 \ eV$ છે.
તેથી,બીજા ઇલેક્ટ્રોને પરમાણુને ઓછામાં ઓછી $+1.51 \ eV$ ઉર્જા આપવી જ પડે.