Electron Energy and Electron Energy Levels in Hydrogen Atom Questions in Gujarati

(C) હાઈડ્રોજન પરમાણુમાં $n$ મી કક્ષામાં રહેલા ઈલેક્ટ્રોનને દૂર કરવા માટે જરૂરી ઉર્જાનું સૂત્ર: $E_n = \frac{13.6 \, Z^2}{n^2} \, eV$ છે.
હાઈડ્રોજન પરમાણુ માટે પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 1$ છે.
આપેલ અવસ્થા $n = 10$ માટે,કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$E_{10} = \frac{13.6 \times (1)^2}{(10)^2} \, eV$.
$E_{10} = \frac{13.6}{100} \, eV$.
$E_{10} = 0.136 \, eV$.

(D) $H$-પરમાણુમાં ઈલેક્ટ્રોનની બંધન ઊર્જા નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
બંધન ઊર્જા $= \frac{13.6}{n^2} \ eV$
અહીં $n = 4$ આપેલ છે,તેથી સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
બંધન ઊર્જા $= \frac{13.6}{4^2} \ eV$
બંધન ઊર્જા $= \frac{13.6}{16} \ eV$
બંધન ઊર્જા $= 0.85 \ eV$

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુની ધરા અવસ્થા મુખ્ય ક્વૉન્ટમ આંક $n = 1$ ને અનુરૂપ છે.
બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા મુખ્ય ક્વૉન્ટમ આંક $n = 3$ ને અનુરૂપ છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$-મી કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \; eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n = 3)$ માટે,ઉર્જા $E_3 = -\frac{13.6}{3^2} = -\frac{13.6}{9} = -1.51 \; eV$ થાય.
પરમાણુને આયનીકૃત કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા એ ઇલેક્ટ્રોનને હાલની અવસ્થામાંથી એવી અવસ્થામાં લાવવા માટે જરૂરી ઉર્જા છે જ્યાં $E = 0$ હોય.
તેથી,આયનીકરણ ઉર્જા $E_{ion} = 0 - E_3 = 0 - (-1.51) = 1.51 \; eV$ થાય.

(C) બે ઊર્જા સ્તરો વચ્ચેનો તફાવત ઉત્સર્જિત ફોટોનની તરંગલંબાઈ સાથે $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$ સંબંધ દ્વારા જોડાયેલ છે.
આપેલ સંક્રાંતિઓ માટે:
$1$. $C$ થી $B$ ની સંક્રાંતિ: $E_C - E_B = \frac{hc}{\lambda_1}$
$2$. $B$ થી $A$ ની સંક્રાંતિ: $E_B - E_A = \frac{hc}{\lambda_2}$
$3$. $C$ થી $A$ ની સંક્રાંતિ: $E_C - E_A = \frac{hc}{\lambda_3}$
ઊર્જા સ્તરની આકૃતિ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે:
$(E_C - E_A) = (E_C - E_B) + (E_B - E_A)$
તરંગલંબાઈના સ્વરૂપમાં ઊર્જાના સમીકરણો મૂકતા:
$\frac{hc}{\lambda_3} = \frac{hc}{\lambda_1} + \frac{hc}{\lambda_2}$
બંને બાજુને $hc$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{\lambda_3} = \frac{1}{\lambda_1} + \frac{1}{\lambda_2}$
$\frac{1}{\lambda_3} = \frac{\lambda_2 + \lambda_1}{\lambda_1 \lambda_2}$
તેથી,$\lambda_3 = \frac{\lambda_1 \lambda_2}{\lambda_1 + \lambda_2}$.

(A) આયનીકરણ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $I.P. = 122.4 \, V$ આપેલ છે. તેથી ધરા અવસ્થાની ઉર્જા $E_1 = -122.4 \, eV$ થાય.
કોઈપણ $n$ મી કક્ષા માટે ઉર્જા $E_n = -\frac{122.4}{n^2} \, eV$ છે.
પ્રથમ ઉત્તેજીત અવસ્થા $n = 2$ માટે ઉત્તેજન વિદ્યુત સ્થિતિમાન $E_2 - E_1 = -\frac{122.4}{4} - (-122.4) = 122.4(1 - \frac{1}{4}) = 122.4 \times \frac{3}{4} = 91.8 \, V$ થાય.
દ્વિતીય ઉત્તેજીત અવસ્થા $n = 3$ માટે ઉત્તેજન વિદ્યુત સ્થિતિમાન $E_3 - E_1 = -\frac{122.4}{9} - (-122.4) = 122.4(1 - \frac{1}{9}) = 122.4 \times \frac{8}{9} = 108.8 \, V$ થાય.

(D) શોષાયેલા વિકિરણની તરંગલંબાઈ $\lambda = 975 \, \text{\AA} = 975 \times 10^{-10} \, m$ છે।
ભૂમિ અવસ્થા $(n_1 = 1)$ થી ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n_2 = n)$ માં સંક્રમણ માટે રિડબર્ગ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$
કિંમતો મૂકતા $(R \approx 1.097 \times 10^7 \, m^{-1})$:
$\frac{1}{975 \times 10^{-10}} = 1.097 \times 10^7 \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)$
$1.0256 \times 10^7 \approx 1.097 \times 10^7 \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)$
$0.935 \approx 1 - \frac{1}{n^2}$
$\frac{1}{n^2} \approx 1 - 0.935 = 0.065$
$n^2 \approx \frac{1}{0.065} \approx 15.38$
$n$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ, તેથી નજીકની પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યા $n^2 = 16$ લેતા, $n = 4$ મળે છે।
આમ, પરમાણુ $n = 4$ ઉર્જા અવસ્થામાં જશે।

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n^{th}$ કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \ eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n^{th}$ કક્ષાનું આયનીકરણ પોટેન્શિયલ એ તે કક્ષામાંથી ઇલેક્ટ્રોનને અનંત અંતરે $(n = \infty)$ લઈ જવા માટે જરૂરી ઉર્જા છે,જે $I.P._n = E_{\infty} - E_n = 0 - E_n = -E_n$ દ્વારા મળે છે.
ત્રીજી કક્ષા $(n = 3)$ માટે:
$I.P._3 = -E_3 = -\left( -\frac{13.6}{3^2} \right) \ eV$.
$I.P._3 = \frac{13.6}{9} \ eV \approx 1.51 \ eV$.

(C) સંક્રાંતિ $I$ એ ફોટોનનું શોષણ દર્શાવે છે કારણ કે ઇલેક્ટ્રોન નીચલા ઊર્જા સ્તરથી ઉચ્ચ ઊર્જા સ્તર તરફ જાય છે.
બાકીની ત્રણ સંક્રાંતિઓ $(II, III, IV)$ ફોટોનનું ઉત્સર્જન દર્શાવે છે કારણ કે ઇલેક્ટ્રોન ઉચ્ચ ઊર્જા સ્તરથી નીચલા ઊર્જા સ્તર તરફ જાય છે.
ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઊર્જા $\Delta E = E_{initial} - E_{final} = 13.6 \text{ eV} \times Z^2 \left( \frac{1}{n_{final}^2} - \frac{1}{n_{initial}^2} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સંક્રાંતિઓની સરખામણી કરતા:
સંક્રાંતિ $II$: $n=4$ થી $n=3$,$\Delta E \propto (1/9 - 1/16) = 7/144 \approx 0.048$
સંક્રાંતિ $III$: $n=2$ થી $n=1$,$\Delta E \propto (1/1 - 1/4) = 3/4 = 0.75$
સંક્રાંતિ $IV$: $n=4$ થી $n=2$,$\Delta E \propto (1/4 - 1/16) = 3/16 = 0.1875$
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,સંક્રાંતિ $III$ સૌથી વધુ ઊર્જા તફાવત ધરાવે છે,તેથી તે સૌથી વધુ ઊર્જા ધરાવતા ફોટોનનું ઉત્સર્જન દર્શાવે છે.

(B) હાઈડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં ઈલેક્ટ્રોનની બંધન ઊર્જાનું સૂત્ર: $E_n = \frac{13.6 \ eV}{n^2}$ છે.
ધરા અવસ્થા $(n = 1)$ માટે:
$E_1 = \frac{13.6}{1^2} = 13.6 \ eV$.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n = 2)$ માટે:
$E_2 = \frac{13.6}{2^2} = \frac{13.6}{4} = 3.4 \ eV$.
દ્વિતીય ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n = 3)$ માટે:
$E_3 = \frac{13.6}{3^2} = \frac{13.6}{9} \approx 1.51 \ eV$.
આમ,આ સપાટીઓમાંથી ઈલેક્ટ્રોનને દૂર કરવા માટે જરૂરી ઊર્જા અનુક્રમે $13.6 \ eV, 3.4 \ eV$ અને $1.5 \ eV$ છે.

(D) ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઊર્જા $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ સંક્રાંતિ $2E$ થી $E$ માટે:
$\Delta E_1 = 2E - E = E = \frac{hc}{\lambda} \implies E = \frac{hc}{\lambda}$.
બીજી સંક્રાંતિ $\frac{4E}{3}$ થી $E$ માટે:
$\Delta E_2 = \frac{4E}{3} - E = \frac{E}{3} = \frac{hc}{\lambda'}$.
બીજા સમીકરણમાં $E = \frac{hc}{\lambda}$ મૂકતા:
$\frac{1}{3} \left( \frac{hc}{\lambda} \right) = \frac{hc}{\lambda'}$.
તેથી,$\lambda' = 3\lambda$.

(A) ઉત્સર્જિત વિકિરણની આવૃત્તિ $f$ નીચે મુજબ મળે છે: $f = c / \lambda = cR [1/(n-1)^2 - 1/n^2]$.
પદને સાદું રૂપ આપતા: $f = Rc [n^2 - (n-1)^2] / [n^2(n-1)^2]$.
$f = Rc [n^2 - (n^2 - 2n + 1)] / [n^2(n-1)^2] = Rc (2n - 1) / [n^2(n-1)^2]$.
અહીં $n >> 1$ હોવાથી,આપણે $(n-1) \approx n$ અને $(2n - 1) \approx 2n$ લઈ શકીએ.
આ કિંમતો મૂકતા: $f \approx Rc (2n) / [n^2(n^2)] = 2Rc / n^3$.
તેથી,$f \propto 1/n^3$.

(A) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુઓ માટે,$n$ મી કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જાનું સૂત્ર $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ છે.
બંધન-ઊર્જા એ આ ઊર્જાનું મૂલ્ય છે,એટલે કે $E = 13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV$.
$Li^{++}$ આયન માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 3$ છે.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા માટે $n = 2$ લેવામાં આવે છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$E = 13.6 \times \frac{3^2}{2^2} \ eV$
$E = 13.6 \times \frac{9}{4} \ eV$
$E = 13.6 \times 2.25 \ eV$
$E = 30.6 \ eV$.

(C) ઇલેકટ્રોનની $n^{th}$મી કક્ષામાં ઊર્જાનું સૂત્ર $E_n = - \frac{13.6}{n^2} \ eV$ છે.
પ્રથમ કક્ષા માટે $(n = 1)$: $E_1 = - \frac{13.6}{1^2} = - 13.6 \ eV$.
ત્રીજી કક્ષા માટે $(n = 3)$: $E_3 = - \frac{13.6}{3^2} = - \frac{13.6}{9} \approx - 1.51 \ eV$.
ઇલેકટ્રોનને પ્રથમ કક્ષામાંથી ત્રીજી કક્ષામાં લઈ જવા માટે જરૂરી ઊર્જા $\Delta E = E_3 - E_1$ છે.
$\Delta E = - 1.51 - (- 13.6) = 12.09 \ eV$.

(B) હાઇડ્રોજન જેવા આયનની $n$ મી કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જાનું સૂત્ર: $E_n = -\frac{13.6 \times Z^2}{n^2} \ eV$ છે.
$Li^{++}$ (લિથિયમ આયન) માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 3$ છે.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા માટે $n = 2$ લેવામાં આવે છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$E_2 = -\frac{13.6 \times 3^2}{2^2} \ eV$
$E_2 = -\frac{13.6 \times 9}{4} \ eV$
$E_2 = -30.6 \ eV$.
ઇલેક્ટ્રોનને દૂર કરવા માટે (આ અવસ્થામાંથી આયનીકરણ ઊર્જા) જરૂરી ઊર્જા એ છે જે ઇલેક્ટ્રોનને $n = \infty$ સુધી લઈ જવા માટે જરૂરી છે (જ્યાં $E = 0$ હોય છે).
તેથી,જરૂરી ઊર્જા $E_{\infty} - E_2 = 0 - (-30.6 \ eV) = 30.6 \ eV$ થાય.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n^{th}$ કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જા $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \, eV$ છે.
ઇલેક્ટ્રોનને $n_1 = 2$ કક્ષામાંથી $n_2 = 3$ કક્ષામાં લઈ જવા માટે જરૂરી ઊર્જા $\Delta E$ નીચે મુજબ છે:
$\Delta E = E_3 - E_2$
$\Delta E = \left( -\frac{13.6}{3^2} \right) - \left( -\frac{13.6}{2^2} \right)$
$\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right)$
$\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right)$
$\Delta E = 13.6 \left( \frac{9 - 4}{36} \right) = 13.6 \times \frac{5}{36}$
$\Delta E \approx 1.888 \, eV \approx 1.9 \, eV$.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$-મી કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જા $E_n = -\frac{K}{n^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K = 13.6 \ eV$ છે.
$n = 2$ અને $n = 3$ કક્ષા વચ્ચેનો ઊર્જાનો તફાવત $E = E_3 - E_2 = -\frac{K}{3^2} - (-\frac{K}{2^2}) = K(\frac{1}{4} - \frac{1}{9}) = K(\frac{5}{36})$ છે.
તેથી,$E = \frac{5}{36}K$,જેનો અર્થ છે કે $K = \frac{36}{5}E$.
ધરા-સ્થિતિ $(n = 1)$ માંથી ઇલેક્ટ્રોનને અનંત $(n = \infty)$ સુધી દૂર કરવા માટે જરૂરી ઊર્જા (આયનીકરણ ઊર્જા) છે: $E_{ion} = E_{\infty} - E_1 = 0 - (-\frac{K}{1^2}) = K$.
પ્રથમ સમીકરણમાંથી $K$ ની કિંમત મૂકતા: $E_{ion} = \frac{36}{5}E = 7.2 \ E$.

(D) $3 \to 1$ સંક્રમણ માટે,ઉર્જાનો તફાવત $\Delta E_{31} = 2E - E = E = \frac{hc}{\lambda} \implies E = \frac{hc}{\lambda} \dots (i)$
$2 \to 1$ સંક્રમણ માટે,ઉર્જાનો તફાવત $\Delta E_{21} = \frac{4E}{3} - E = \frac{E}{3} = \frac{hc}{\lambda'}$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $E$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{1}{3} \left( \frac{hc}{\lambda} \right) = \frac{hc}{\lambda'}$
તેથી,$\lambda' = 3\lambda$.

(B) કક્ષાઓ $n_1$ અને $n_2$ વચ્ચેના સંક્રમણ માટે જરૂરી ઉર્જાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\Delta E = 13.6 \, Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) \, eV$
અહીં $\Delta E = 47.2 \, eV$,$n_1 = 2$,અને $n_2 = 3$ આપેલ છે:
$47.2 = 13.6 \times Z^2 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right)$
$47.2 = 13.6 \times Z^2 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right)$
$47.2 = 13.6 \times Z^2 \left( \frac{9 - 4}{36} \right)$
$47.2 = 13.6 \times Z^2 \left( \frac{5}{36} \right)$
$Z^2 = \frac{47.2 \times 36}{13.6 \times 5}$
$Z^2 = \frac{1699.2}{68} \approx 24.988 \approx 25$
$Z = \sqrt{25} = 5$
આમ,પરમાણુ ક્રમાંક $Z$ નું મૂલ્ય $5$ છે.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુની ધરા-સ્થિતિ $(n = 1)$ માં ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જા $E_1 = -13.6 \, eV$ છે.
જ્યારે $12.4 \, eV$ ઊર્જા આપવામાં આવે,ત્યારે ઇલેક્ટ્રોનની નવી ઊર્જા $E_n$ નીચે મુજબ થશે:
$E_n = E_1 + E_{given} = -13.6 \, eV + 12.4 \, eV = -1.2 \, eV$.
$n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જાનું સૂત્ર $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \, eV$ છે.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$-\frac{13.6}{n^2} = -1.2$
$n^2 = \frac{13.6}{1.2} \approx 11.33$.
$n$ એ પૂર્ણાંક સંખ્યા હોવી જોઈએ,તેથી આપણે નજીકની કક્ષા પસંદ કરીશું. ઇલેક્ટ્રોન $n = 3$ કક્ષામાં જશે $(E_3 = -1.51 \, eV)$,કારણ કે તેની પાસે $n = 4$ કક્ષા $(E_4 = -0.85 \, eV)$ સુધી પહોંચવા માટે પૂરતી ઊર્જા નથી.

(D) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઉર્જા $E_n = \frac{-13.6}{n^2} \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધરા અવસ્થા માટે,$n = 1$,તેથી $E_1 = -13.6 \text{ eV}$.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા માટે,$n = 2$.
તેથી,પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થામાં કુલ ઉર્જા $E_2 = \frac{-13.6}{2^2} = \frac{-13.6}{4} = -3.4 \text{ eV}$ થાય.
કોઈપણ કક્ષામાં,ગતિ ઉર્જા $K$ એ કુલ ઉર્જા $E$ ના ઋણ મૂલ્ય જેટલી હોય છે,એટલે કે $K = -E$.
આમ,પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ ઉર્જા $K = -(-3.4 \text{ eV}) = 3.4 \text{ eV}$ છે.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$-મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \, eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધરા અવસ્થા $(n=1)$ માટે,$E_1 = -13.6 \, eV$.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n=2)$ માટે,$E_2 = -\frac{13.6}{2^2} = -\frac{13.6}{4} = -3.4 \, eV$.
ઇલેક્ટ્રોનને ધરા અવસ્થામાંથી પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થામાં લઈ જવા માટે જરૂરી ઉત્તેજન ઉર્જા $\Delta E = E_2 - E_1$ છે.
$\Delta E = -3.4 \, eV - (-13.6 \, eV) = 10.2 \, eV$.

(D) રિડબર્ગના સૂત્ર મુજબ:
$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right]$
પ્રથમ કિસ્સામાં,ઇલેક્ટ્રોન ત્રીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n_i = 4)$ માંથી બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n_f = 3)$ માં સંક્રમણ કરે છે:
$\frac{1}{\lambda_1} = R \left[ \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right] = R \left[ \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right] = R \left[ \frac{16 - 9}{144} \right] = \frac{7}{144} R$ .... $(i)$
બીજા કિસ્સામાં,ઇલેક્ટ્રોન બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n_i = 3)$ માંથી પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n_f = 2)$ માં સંક્રમણ કરે છે:
$\frac{1}{\lambda_2} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right] = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right] = R \left[ \frac{9 - 4}{36} \right] = \frac{5}{36} R$ .... $(ii)$
ગુણોત્તર $\frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ શોધવા માટે,આપણે $\frac{1}{\lambda_1}$ ને $\frac{1}{\lambda_2}$ વડે ભાગીશું:
$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{\frac{5}{36} R}{\frac{7}{144} R} = \frac{5}{36} \times \frac{144}{7} = \frac{5 \times 4}{7} = \frac{20}{7}$
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{20}{7}$ થાય છે.

(B) જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન એકબીજાથી અનંત અંતરે હોય ત્યારે તેમની સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિ ઉર્જા શૂન્ય ગણવામાં આવે છે.
ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોનને $n = 2$ અવસ્થામાંથી અનંત અંતરે દૂર કરવા માટે,આપણે તે અવસ્થાની બંધન ઉર્જા જેટલું કાર્ય કરવું પડે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$-મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n = 2$ માટે,ઉર્જા $E_2 = -\frac{13.6}{2^2} = -\frac{13.6}{4} = -3.4 \text{ eV}$ થાય.
ઇલેક્ટ્રોનને અનંત અંતરે (જ્યાં $E_f = 0$) લઈ જવા માટે જરૂરી કાર્ય $W = E_f - E_i = 0 - (-3.4 \text{ eV}) = 3.4 \text{ eV}$ છે.
આને જૂલમાં ફેરવતા: $W = 3.4 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J}$.

(C) શોષણ વર્ણપટમાં ઘેરી રેખાઓની સંખ્યા $(n - 1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ પરમાણુઓ દ્વારા પ્રાપ્ત થયેલ ઉચ્ચતમ ઉત્તેજિત અવસ્થાનો મુખ્ય ક્વોન્ટમ નંબર છે.
આપેલ છે કે $5$ ઘેરી રેખાઓ છે,તેથી $n - 1 = 5$,જેનો અર્થ છે કે $n = 6$.
જ્યારે આ પરમાણુઓ ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટમાં પાછા ફરે છે,ત્યારે ઉત્સર્જન વર્ણપટમાં તેજસ્વી રેખાઓની સંખ્યા $\frac{n(n - 1)}{2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સૂત્રમાં $n = 6$ મૂકતા,આપણને $\frac{6(6 - 1)}{2} = \frac{6 \times 5}{2} = 15$ મળે છે.
તેથી,ઉત્સર્જન વર્ણપટમાં તેજસ્વી રેખાઓની સંખ્યા $15$ છે.

(C) ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $\Delta E = E_2 - E_1 = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $\lambda = \frac{hc}{\Delta E}$,તરંગલંબાઇ $\lambda$ એ ઉર્જા તફાવત $\Delta E$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.
સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ માટે,ઉર્જા તફાવત $\Delta E$ મહત્તમ હોવો જોઈએ. આકૃતિ જોતા,સંક્રમણ $C$ ($n=4$ થી $n=2$) એ $D$ ($n=4$ થી $n=3$) અથવા $B$ ($n=3$ થી $n=2$) ની તુલનામાં મોટો ઉર્જા તફાવત દર્શાવે છે.
સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ માટે,ઉર્જા તફાવત $\Delta E$ ન્યૂનતમ હોવો જોઈએ. સંક્રમણ $D$ ($n=4$ થી $n=3$) એ આપેલા સંક્રમણોમાં સૌથી નાનો ઉર્જા તફાવત દર્શાવે છે.
તેથી,ટૂંકી તરંગલંબાઇ સંક્રમણ $C$ ને અનુરૂપ છે અને લાંબી તરંગલંબાઇ સંક્રમણ $D$ ને અનુરૂપ છે.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -\frac{E_1}{n^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E_1 = 2.18 \times 10^{-18} \ J$ એ ધરા અવસ્થા $(n=1)$ ની આયનીકરણ ઉર્જા છે.
$n = 3$ માટે,ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_3 = -\frac{2.18 \times 10^{-18}}{3^2} \ J$ છે.
$E_3 = -\frac{2.18 \times 10^{-18}}{9} \ J$.
પરમાણુને આયનીકૃત કરવા માટે,આપણે ઇલેક્ટ્રોનને $E = 0$ સ્તર સુધી લાવવા માટે તેની ઉર્જાના મૂલ્ય જેટલી ઉર્જા આપવી પડે.
જરૂરી ઉર્જા $= |E_3| = \frac{2.18 \times 10^{-18}}{9} \ J$.
જરૂરી ઉર્જા $= 0.2422 \times 10^{-18} \ J = 2.42 \times 10^{-19} \ J$.

(D) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુની $n$-મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -\frac{Z^2 E_0}{n^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E_0 = 13.6 \text{ eV}$ છે.
ઉર્જાના તફાવતની ગણતરી:
$E_{4n} - E_{2n} = -\frac{Z^2 E_0}{(4n)^2} - \left( -\frac{Z^2 E_0}{(2n)^2} \right) = Z^2 E_0 \left( \frac{1}{4n^2} - \frac{1}{16n^2} \right) = Z^2 E_0 \left( \frac{4-1}{16n^2} \right) = \frac{3 Z^2 E_0}{16n^2}$.
$E_{2n} - E_n = -\frac{Z^2 E_0}{(2n)^2} - \left( -\frac{Z^2 E_0}{n^2} \right) = Z^2 E_0 \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{4n^2} \right) = Z^2 E_0 \left( \frac{4-1}{4n^2} \right) = \frac{3 Z^2 E_0}{4n^2}$.
ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{E_{4n} - E_{2n}}{E_{2n} - E_n} = \frac{3 Z^2 E_0 / 16n^2}{3 Z^2 E_0 / 4n^2} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$.
પરિણામ અચળ હોવાથી,તે $Z$ અને $n$ થી સ્વતંત્ર છે,જેને $Z^0 n^0$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.

(A) જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન ઉર્જા સ્તર $n_2$ થી નીચલા ઉર્જા સ્તર $n_1$ માં સંક્રમણ કરે છે ત્યારે ઉત્સર્જિત વર્ણપટ રેખાઓની સંખ્યા $N = \frac{(n_2 - n_1)(n_2 - n_1 + 1)}{2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,ઇલેક્ટ્રોન $n^{th}$ ઉત્તેજિત અવસ્થામાંથી બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થામાં સંક્રમણ કરે છે.
$n^{th}$ ઉત્તેજિત અવસ્થા મુખ્ય ક્વોન્ટમ નંબર $n_2 = n + 1$ ને અનુરૂપ છે.
બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા મુખ્ય ક્વોન્ટમ નંબર $n_1 = 3$ ને અનુરૂપ છે.
આપેલ છે કે ઉત્સર્જિત તરંગલંબાઇઓની સંખ્યા $10$ છે,તેથી:
$10 = \frac{((n+1) - 3)((n+1) - 3 + 1)}{2}$
$10 = \frac{(n-2)(n-1)}{2}$
$20 = n^2 - 3n + 2$
$n^2 - 3n - 18 = 0$
$(n-6)(n+3) = 0$
$n$ ધન હોવો જોઈએ,તેથી આપણને $n = 6$ મળે છે.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \ eV$ છે.
બીજી કક્ષા માટે,$n = 2$ લેતા.
સૂત્રમાં $n$ ની કિંમત મૂકતા: $E_2 = -\frac{13.6}{2^2} = -\frac{13.6}{4} = -3.4 \ eV$.
બીજી કક્ષામાંથી ઇલેક્ટ્રોનને દૂર કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા એ ઇલેક્ટ્રોનને $E_2 = -3.4 \ eV$ થી $E = 0 \ eV$ (અનંત) સુધી લાવવા માટે જરૂરી ઉર્જા છે.
તેથી,જરૂરી ઉર્જા $0 - (-3.4) = 3.4 \ eV$ છે.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે બામર શ્રેણીની સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ $n=3$ અવસ્થાથી $n=2$ અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રોનના સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
આનો અર્થ એ છે કે જ્યારે હાઇડ્રોજન પરમાણુ અથડાતા ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા ઉત્તેજિત થયો,ત્યારે ઇલેક્ટ્રોન $n=1$ ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટમાંથી $n=3$ ઉત્તેજિત અવસ્થામાં ગયો.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે $n$-મી ક્વોન્ટમ અવસ્થાની ઊર્જા $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n=1)$ માટે: $E_1 = -\frac{13.6}{1^2} = -13.6 \text{ eV}$.
ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n=3)$ માટે: $E_3 = -\frac{13.6}{3^2} = -1.51 \text{ eV}$.
આ ઉત્તેજના માટે જરૂરી ઊર્જા $\Delta E = E_3 - E_1 = -1.51 - (-13.6) = 12.09 \text{ eV} \approx 12.1 \text{ eV}$ છે.
કારણ કે અથડાતો ઇલેક્ટ્રોન પરમાણુને ઉત્તેજિત કરવા માટે તેની તમામ ગતિઊર્જા ગુમાવે છે,તેથી ઇલેક્ટ્રોનની લઘુત્તમ ગતિઊર્જા ઉત્તેજના ઊર્જા જેટલી હોવી જોઈએ,જે $12.1 \text{ eV}$ છે.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં,કુલ ઊર્જા $E$,ગતિ ઊર્જા $K$ અને સ્થિતિ ઊર્જા $U$ વચ્ચેનો સંબંધ $U = 2E$ અને $K = -E$ છે.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n=2)$ માટે,કુલ ઊર્જા $E_2 = -13.6 / 2^2 = -3.4 \ eV$ છે.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થામાં સ્થિતિ ઊર્જા $U_2 = 2E_2 = 2(-3.4) = -6.8 \ eV$ છે.
જો આપણે સ્થિતિ ઊર્જાના સ્તરને એવી રીતે બદલીએ કે નવી સ્થિતિ ઊર્જા $U'_2 = 0$ થાય,તો આપણે સ્થિતિ ઊર્જામાં $+6.8 \ eV$ ઉમેર્યા છે.
કુલ ઊર્જા $E = K + U$ હોવાથી,અને સ્થિતિ ઊર્જાના સંદર્ભ બિંદુમાં ફેરફાર કરવાથી ગતિ ઊર્જા $K$ બદલાતી નથી,તેથી નવી કુલ ઊર્જા $E' = E + \Delta U$ થશે.
ધરા અવસ્થા $(n=1)$ માટે,મૂળ કુલ ઊર્જા $E_1 = -13.6 \ eV$ છે.
લાગુ પાડવામાં આવેલ ફેરફાર $\Delta U = +6.8 \ eV$ છે.
તેથી,ધરા અવસ્થામાં નવી કુલ ઊર્જા $E'_1 = -13.6 + 6.8 = -6.8 \ eV$ થશે.

(B) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોન માટે,કુલ ઉર્જા $(TE)$ એ ગતિ ઉર્જા $(KE)$ ના ઋણ મૂલ્ય જેટલી હોય છે: $TE = -KE$.
આપેલ છે $TE = -3.4 \, eV$,તેથી $-3.4 \, eV = -KE$,જેનો અર્થ છે કે $KE = 3.4 \, eV$.
આમ,$E = 3.4 \, eV$.
દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p}$ છે,જ્યાં $p = \sqrt{2mE}$.
કિંમતો મૂકતા: $h = 6.63 \times 10^{-34} \, J \cdot s$,$m = 9.11 \times 10^{-31} \, kg$,અને $E = 3.4 \times 1.6 \times 10^{-19} \, J$.
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 3.4 \times 1.6 \times 10^{-19}}}$
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{9.92 \times 10^{-49}}} \approx \frac{6.63 \times 10^{-34}}{9.96 \times 10^{-25}} \approx 0.665 \times 10^{-9} \, m = 6.65 \times 10^{-10} \, m$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,$\lambda \approx 6.6 \times 10^{-10} \, m$.

(B) સામાન્ય હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં,સ્થિતિ ઊર્જા $U = -\frac{27.2 \ eV}{n^2}$ છે અને કુલ ઊર્જા $E = -\frac{13.6 \ eV}{n^2}$ છે.
જો આપણે સંદર્ભ સ્તરને એવી રીતે બદલીએ કે ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n=1)$ પર સ્થિતિ ઊર્જા શૂન્ય થાય,તો આપણે સ્થિતિ ઊર્જાના સમીકરણમાં અચળાંક $C$ ઉમેરીએ છીએ.
$U(1) = -27.2 + C = 0$ હોવાથી,આપણને $C = 27.2 \ eV$ મળે છે.
આમ,નવી સ્થિતિ ઊર્જા $U' = -\frac{27.2}{n^2} + 27.2 \ eV$ છે.
કુલ ઊર્જા $E'$ એ $E' = K + U' = \frac{13.6}{n^2} + (-\frac{27.2}{n^2} + 27.2) = 27.2 - \frac{13.6}{n^2} \ eV$ થાય છે.
$n=1$ માટે,$E' = 27.2 - 13.6 = 13.6 \ eV$.
જેમ $n$ વધે છે,તેમ $\frac{13.6}{n^2}$ ઘટે છે,તેથી $E'$ વધે છે. તેથી,વિધાન $B$ ખોટું છે.

(A) ઇલેક્ટ્રોનિક સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $\Delta E = E_{initial} - E_{final} = h\nu$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\nu$ એ આવૃત્તિ છે.
ઉત્સર્જન થવા માટે,ઇલેક્ટ્રોને ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તરથી નીચા ઉર્જા સ્તરમાં સંક્રમણ કરવું આવશ્યક છે. તેથી,વિકલ્પો $(b)$ અને $(d)$ બાકાત છે કારણ કે તે શોષણ દર્શાવે છે.
બાકીના સંક્રમણો માટે ઉર્જાના તફાવતની સરખામણી કરતા:
$n = 2$ થી $n = 1$ માટે: $\Delta E_1 = 13.6 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = 13.6 \times 0.75 = 10.2 \text{ eV}$.
$n = 6$ થી $n = 2$ માટે: $\Delta E_2 = 13.6 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{6^2} \right) = 13.6 \times 0.2223 \approx 3.02 \text{ eV}$.
જેમ કે $\nu = \frac{\Delta E}{h}$,જે સંક્રમણમાં ઉર્જાનો તફાવત સૌથી વધુ હશે તે સૌથી વધુ આવૃત્તિ ધરાવતો ફોટોન ઉત્સર્જિત કરશે.
$\Delta E_1$ અને $\Delta E_2$ ની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\Delta E_1 > \Delta E_2$.
તેથી,$n = 2$ થી $n = 1$ નું સંક્રમણ સૌથી વધુ આવૃત્તિ ધરાવતા ફોટોનનું ઉત્સર્જન કરે છે.

(D) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુ માટે,કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n \propto n^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જેમ ઇલેક્ટ્રોન ઉત્તેજિત અવસ્થામાંથી ધરાવસ્થામાં સંક્રમણ કરે છે,તેમ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ ઘટે છે,તેથી ત્રિજ્યા $r$ ઘટે છે.
ગતિઊર્જા $K.E. = \frac{kZe^2}{2r}$ છે. $r$ ઘટતું હોવાથી,$K.E.$ વધે છે.
સ્થિતિઊર્જા $P.E. = -\frac{kZe^2}{r}$ છે. $r$ ઘટતું હોવાથી,$P.E.$ નું મૂલ્ય વધે છે,જેનો અર્થ છે કે $P.E.$ વધુ ઋણ બને છે (ઘટે છે).
કુલ ઊર્જા $T.E. = -\frac{kZe^2}{2r}$ છે. $r$ ઘટતું હોવાથી,$T.E.$ નું મૂલ્ય વધે છે,જેનો અર્થ છે કે $T.E.$ વધુ ઋણ બને છે (ઘટે છે).
તેથી,ગતિઊર્જા વધે છે,જ્યારે સ્થિતિઊર્જા અને કુલ ઊર્જા ઘટે છે.

(D) ઉર્જા સ્તરની આકૃતિ પરથી,આપણે $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
તરંગલંબાઇ $\lambda_1$ ને અનુરૂપ સંક્રમણ માટે,ઉર્જાનો તફાવત $\Delta E_1 = -E - (-2E) = E$ છે.
તેથી,$\frac{hc}{\lambda_1} = E$,જે આપે છે $\lambda_1 = \frac{hc}{E}$.
તરંગલંબાઇ $\lambda_2$ ને અનુરૂપ સંક્રમણ માટે,ઉર્જાનો તફાવત $\Delta E_2 = -E - (-\frac{4}{3}E) = \frac{1}{3}E$ છે.
તેથી,$\frac{hc}{\lambda_2} = \frac{E}{3}$,જે આપે છે $\lambda_2 = \frac{3hc}{E}$.
ગુણોત્તર $r = \frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{hc/E}{3hc/E} = \frac{1}{3}$ થાય છે.

(C) $\lambda = 800 \ nm$ તરંગલંબાઇ ધરાવતા ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{1240}{800} = 1.55 \ eV$ છે.
ફિલ્ટરમાંથી ફક્ત $\lambda > 800 \ nm$ વાળા ફોટોન પસાર થાય છે,તેથી ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $E < 1.55 \ eV$ હોવી જોઈએ.
હાઇડ્રોજન પરમાણુની ઉર્જા સ્તરો $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \ eV$ છે.
$n=1, 2, 3, 4, 5$ માટે ઉર્જા અનુક્રમે $-13.6, -3.4, -1.51, -0.85, -0.54 \ eV$ છે.
$n=4$ થી $n=3$ સંક્રમણ માટે ઉર્જાનો તફાવત $\Delta E = E_4 - E_3 = -0.85 - (-1.51) = 0.66 \ eV$ છે.
$0.66 \ eV < 1.55 \ eV$ હોવાથી,આ ફોટોન ફિલ્ટરમાંથી પસાર થાય છે.
જો નમૂનો $3^{rd}$ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n=4)$ માં હોય,તો માત્ર એક જ પ્રકારનું સંક્રમણ શક્ય છે જેની ઉર્જા $1.55 \ eV$ થી ઓછી હોય. તેથી,નમૂનો શરૂઆતમાં $3^{rd}$ ઉત્તેજિત અવસ્થામાં છે.

(B) ઉર્જા સ્તરો $E_1 = -12\, eV$,$E_2 = -7\, eV$,$E_3 = -3\, eV$,અને $E_4 = -1\, eV$ છે.
ઇલેક્ટ્રોન $E_4 = -1\, eV$ થી શરૂ થાય છે અને $E_1 = -12\, eV$ પર સમાપ્ત થાય છે. મુક્ત થતી કુલ ઉર્જા $\Delta E = (-1\, eV) - (-12\, eV) = 11\, eV$ છે.
કારણ કે ઇલેક્ટ્રોન બરાબર બે ફોટોન ઉત્સર્જિત કરે છે,તેથી બે ફોટોનની ઉર્જાનો સરવાળો $11\, eV$ $(h\nu_1 + h\nu_2 = 11\, eV)$ હોવો જોઈએ.
$E_4 = -1\, eV$ થી $E_1 = -12\, eV$ સુધીના બે પગલામાં સંભવિત સંક્રમણો:
$1$. $E_4 \to E_3 \to E_1$: ઉર્જાઓ $(-1 - (-3)) = 2\, eV$ અને $(-3 - (-12)) = 9\, eV$ છે.
$2$. $E_4 \to E_2 \to E_1$: ઉર્જાઓ $(-1 - (-7)) = 6\, eV$ અને $(-7 - (-12)) = 5\, eV$ છે.
સંભવિત ફોટોન ઉર્જાઓ $2\, eV, 9\, eV, 6\, eV, 5\, eV$ છે.
આ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$4\, eV$ એ શક્ય ફોટોન ઉર્જાઓમાં નથી.

(D) ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $\Delta E = E_2 - E_1 = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{hc}{\Delta E}$ છે.
તેથી,તરંગલંબાઇ $\lambda$ મહત્તમ હોવા માટે,ઉર્જાનો તફાવત $\Delta E$ લઘુત્તમ હોવો જોઈએ.
દર્શાવેલ ઉત્સર્જન સંક્રમણો $(II, III, IV)$ માંથી,સંક્રમણ $II$ એ $n=4$ અને $n=3$ વચ્ચે થાય છે,જેનો ઉર્જા તફાવત સૌથી ઓછો $(\Delta E = 0.66 \ eV)$ છે.
આમ,સંક્રમણ $II$ એ મહત્તમ તરંગલંબાઇ ધરાવતા ફોટોનના ઉત્સર્જનને અનુરૂપ છે.

(B) ઇલેક્ટ્રોન $-1\,eV$ થી શરૂ થાય છે અને $-12\,eV$ પર સમાપ્ત થાય છે. મુક્ત થતી કુલ ઉર્જા $\Delta E = (-1\,eV) - (-12\,eV) = 11\,eV$ છે.
ઇલેક્ટ્રોન બરાબર બે ફોટોન ઉત્સર્જિત કરીને સંક્રમણ કરતું હોવાથી, બે ફોટોનની ઉર્જાનો સરવાળો $11\,eV$ $(E_1 + E_2 = 11\,eV)$ હોવો જોઈએ.
શક્ય મધ્યવર્તી સ્તરો $-3\,eV$ અને $-7\,eV$ છે.
કિસ્સો $1$: $-3\,eV$ સ્તર દ્વારા સંક્રમણ:
ફોટોન $1$: $(-1\,eV) - (-3\,eV) = 2\,eV$
ફોટોન $2$: $(-3\,eV) - (-12\,eV) = 9\,eV$
કિસ્સો $2$: $-7\,eV$ સ્તર દ્વારા સંક્રમણ:
ફોટોન $1$: $(-1\,eV) - (-7\,eV) = 6\,eV$
ફોટોન $2$: $(-7\,eV) - (-12\,eV) = 5\,eV$
શક્ય ફોટોન ઉર્જાઓ $2\,eV, 9\,eV, 6\,eV, 5\,eV$ છે.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા, $4\,eV$ એ શક્ય ફોટોન ઉર્જાઓમાં નથી.

(B) $C$ થી $A$ ના સંક્રમણ માટે ઉર્જાનો તફાવત એ $C$ થી $B$ અને $B$ થી $A$ ના સંક્રમણ માટેના ઉર્જા તફાવતોનો સરવાળો છે.
$E_C - E_A = (E_C - E_B) + (E_B - E_A)$
$E = \frac{hc}{\lambda}$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીને, આપણે લખી શકીએ:
$\frac{hc}{\lambda_3} = \frac{hc}{\lambda_1} + \frac{hc}{\lambda_2}$
બંને બાજુને $hc$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{\lambda_3} = \frac{1}{\lambda_1} + \frac{1}{\lambda_2}$
$\frac{1}{\lambda_3} = \frac{\lambda_2 + \lambda_1}{\lambda_1 \lambda_2}$
તેથી, $\lambda_3 = \frac{\lambda_1 \lambda_2}{\lambda_1 + \lambda_2}$.

(C) વર્ણપટ રેખાઓની તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{1500p^2}{p^2 - 1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આયનીકરણ ઉર્જા શોધવા માટે,આપણે $n = \infty$ થી $n = 1$ સુધીના સંક્રમણને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ,જે શ્રેણીની સીમા (ન્યૂનતમ તરંગલંબાઇ) ને અનુરૂપ છે.
જેમ $p \to \infty$,$\lambda_{\min} = \lim_{p \to \infty} \frac{1500p^2}{p^2 - 1} = 1500 \mathring{A}$.
આ તરંગલંબાઇને અનુરૂપ ફોટોનની ઉર્જા $\Delta E = \frac{hc}{\lambda_{\min}}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$\Delta E = \frac{12420 \text{ eV-} \mathring{A}}{1500 \mathring{A}} = 8.28 \text{ eV}$.
આયનીકરણ પોટેન્શિયલ એ ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n=1)$ માંથી ઇલેક્ટ્રોનને અનંત સુધી દૂર કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા હોવાથી,આયનીકરણ પોટેન્શિયલ $8.28 \text{ V}$ છે.

(A) ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા રિડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ $(Z=1)$ માટે $n_2 = 4$ થી $n_1 = 1$ માં સંક્રમણ માટે:
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{16} \right) = \frac{15R}{16}$.
ઉત્સર્જિત ફોટોનનું વેગમાન $p = \frac{h}{\lambda}$ છે.
$\frac{1}{\lambda}$ ની કિંમત મૂકતા: $p = h \left( \frac{15R}{16} \right) = \frac{15Rh}{16}$.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,હાઇડ્રોજન પરમાણુનું વેગમાન ફોટોનના વેગમાન જેટલું અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવું જોઈએ: $p_{\text{atom}} = p_{\text{photon}} = mv$.
તેથી,$mv = \frac{15Rh}{16}$,જે આપણને $v = \frac{15}{16} \frac{Rh}{m}$ આપે છે.

(C) ઉત્સર્જિત ફોટોનની તરંગલંબાઇ $\lambda$ રિડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right] = R \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{5^2} \right] = R \left[ 1 - \frac{1}{25} \right] = \frac{24}{25} R$.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પરમાણુનું વેગમાન $p_{atom}$ એ ઉત્સર્જિત ફોટોનના વેગમાન $p_{photon}$ જેટલું જ હોવું જોઈએ કારણ કે પરમાણુ શરૂઆતમાં સ્થિર હતો:
$p_{atom} = p_{photon} = \frac{h}{\lambda}$.
આથી $p_{atom} = mv$ હોવાથી:
$mv = \frac{h}{\lambda}$.
$\frac{1}{\lambda}$ ની કિંમત મૂકતા:
$v = \frac{h}{m} \cdot \frac{1}{\lambda} = \frac{h}{m} \cdot \left( \frac{24}{25} R \right) = \frac{24hR}{25m}$.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુ દ્વારા $n = 2$ થી $n = 1$ ના સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા નીચે મુજબ છે:
$E = 13.6 \text{ eV} \times Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$
હાઇડ્રોજન $(Z = 1)$ માટે,$E = 13.6 \times 1^2 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = 13.6 \times \frac{3}{4} = 10.2 \text{ eV}$.
આ ફોટોન ઉત્તેજિત અવસ્થા $n$ માં રહેલા દ્વિ-આયનીકૃત લિથિયમ પરમાણુ ($Li^{2+}$,$Z = 3$) દ્વારા શોષાય છે. હાઇડ્રોજન જેવા આયનની $n$-મી અવસ્થામાંથી ઇલેક્ટ્રોનને દૂર કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા:
$E_n = 13.6 \text{ eV} \times \frac{Z^2}{n^2} = 13.6 \times \frac{3^2}{n^2} = 13.6 \times \frac{9}{n^2}$.
ફોટોન ઇલેક્ટ્રોનને સંપૂર્ણપણે દૂર કરી શકે તે માટે,તેની ઉર્જા $n$ અવસ્થાની આયનીકરણ ઉર્જા કરતા વધારે અથવા તેના જેટલી હોવી જોઈએ:
$10.2 \ge 13.6 \times \frac{9}{n^2}$
$\frac{10.2}{13.6} \ge \frac{9}{n^2}$
$0.75 \ge \frac{9}{n^2}$
$n^2 \ge \frac{9}{0.75} = 12$
$n \ge \sqrt{12} \approx 3.46$.
$n$ એ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી ન્યૂનતમ ક્વોન્ટમ નંબર $n = 4$ છે.

(B) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર: $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \, eV$ છે.
$Li^{++}$ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 3$ છે.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $n = 2$ ને અનુરૂપ છે.
બંધન ઉર્જા (ઇલેક્ટ્રોનને દૂર કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા) એ તે અવસ્થામાં રહેલી ઉર્જાનું મૂલ્ય છે: $E = 13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \, eV$.
કિંમતો મૂકતા: $E = 13.6 \times \frac{3^2}{2^2} = 13.6 \times \frac{9}{4} = 13.6 \times 2.25 = 30.6 \, eV$.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુના ઉર્જા સ્તરો $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \ eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઓરડાના તાપમાને,હાઇડ્રોજન પરમાણુઓ ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n=1)$ માં હોય છે.
ઇલેક્ટ્રોનને $n=1$ થી $n=2$ માં ઉત્તેજિત કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા $E_2 - E_1 = -3.4 - (-13.6) = 10.2 \ eV$ છે.
ઇલેક્ટ્રોનને $n=1$ થી $n=3$ માં ઉત્તેજિત કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા $E_3 - E_1 = -1.51 - (-13.6) = 12.09 \ eV$ છે.
ઇલેક્ટ્રોનને $n=1$ થી $n=4$ માં ઉત્તેજિત કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા $E_4 - E_1 = -0.85 - (-13.6) = 12.75 \ eV$ છે.
આપેલ ઇલેક્ટ્રોન બીમની ઉર્જા $12.5 \ eV$ હોવાથી,તે હાઇડ્રોજન પરમાણુઓને $n=3$ ઉર્જા સ્તર સુધી ઉત્તેજિત કરી શકે છે.
જ્યારે આ ઉત્તેજિત પરમાણુઓ ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટમાં પાછા ફરે છે,ત્યારે શક્ય સંક્રમણો નીચે મુજબ છે:
$n=3 \rightarrow n=2$ (બામર શ્રેણી)
$n=3 \rightarrow n=1$ (લાઇમન શ્રેણી)
$n=2 \rightarrow n=1$ (લાઇમન શ્રેણી)
આમ,લાઇમન શ્રેણીમાં $2$ રેખાઓ અને બામર શ્રેણીમાં $1$ રેખા મળે છે.

(B) ઉત્સર્જન માટે શક્ય સંક્રમણો ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તરોથી નીચા ઉર્જા સ્તરો તરફના છે. ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $\Delta E = E_f - E_i$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. શક્ય સંક્રમણો નીચે મુજબ છે:
$1$. $E_3$ થી $E_2$ માં: $\Delta E_{32} = -2 \ eV - (-6 \ eV) = 4 \ eV$.
$2$. $E_3$ થી $E_1$ માં: $\Delta E_{31} = -2 \ eV - (-8 \ eV) = 6 \ eV$.
$3$. $E_2$ થી $E_1$ માં: $\Delta E_{21} = -6 \ eV - (-8 \ eV) = 2 \ eV$.
સૂત્ર $\lambda = \frac{hc}{\Delta E}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $hc \approx 1240 \ eV \cdot nm$ છે:
- $\Delta E = 4 \ eV$ માટે,$\lambda = \frac{1240}{4} = 310 \ nm$.
- $\Delta E = 6 \ eV$ માટે,$\lambda = \frac{1240}{6} \approx 206.67 \ nm \approx 207 \ nm$.
- $\Delta E = 2 \ eV$ માટે,$\lambda = \frac{1240}{2} = 620 \ nm$.
આ કિંમતોને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$465 \ nm$ તરંગલંબાઇ ઉત્સર્જન વર્ણપટમાં જોવા મળતી નથી.