Electron Energy and Electron Energy Levels in Hydrogen Atom Questions in Gujarati

(C) બામર શ્રેણીની કોઈપણ રેખા જોવા માટે, હાઇડ્રોજન પરમાણુ ઓછામાં ઓછા $n = 3$ ઉર્જા સ્તર સુધી ઉત્તેજિત થવો જોઈએ, કારણ કે બામર શ્રેણીની પ્રથમ રેખા $n = 3$ થી $n = 2$ માં થતા સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
ઇલેક્ટ્રોનને ધરાસ્થિતિ $(n = 1)$ માંથી $n = 3$ સ્તરમાં ઉત્તેજિત કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા નીચે મુજબ છે:
$\Delta E = E_3 - E_1 = 13.6 \left( 1 - \frac{1}{3^2} \right) \,eV$
$\Delta E = 13.6 \left( 1 - \frac{1}{9} \right) \,eV = 13.6 \times \frac{8}{9} \,eV$
$\Delta E = 12.088... \,eV \approx 12.09 \,eV$
બોમ્બાર્ડ કરતા ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $eV$ હોવાથી, જરૂરી વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 12.09 \,V$ છે.
આપેલ છે કે વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $\frac{\alpha}{10} \,V$ છે, તેથી:
$\frac{\alpha}{10} = 12.1$
$\alpha = 121$.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોન માટે,ગતિઊર્જા $(KE)$ અને સ્થિતિઊર્જા $(PE)$ વચ્ચેનો સંબંધ વિરિયલ પ્રમેય દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
$KE = -\frac{1}{2} PE$
સ્થિતિઊર્જાનું મૂલ્ય લેતા,આપણને મળે છે $|PE| = 2 KE$.
તેથી,ગતિઊર્જા અને સ્થિતિઊર્જાના મૂલ્યનો ગુણોત્તર $\frac{KE}{|PE|} = \frac{1}{2}$ થાય છે.
આ સંબંધ કોઈપણ કક્ષા $n$ માટે સાચો છે,જેમાં $5^{\text{th}}$ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n = 6)$ પણ સામેલ છે.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \ eV$ છે.
આપેલ છે કે $E_n = -0.85 \ eV$,તેથી:
$-\frac{13.6}{n^2} = -0.85$
$n^2 = \frac{13.6}{0.85} = 16$
$n = 4$.
ઉત્તેજિત અવસ્થા $n$ માંથી નીચલી ઉર્જા સપાટીઓ પર થતા સંક્રમણોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $\frac{n(n-1)}{2}$ છે.
$n = 4$ મૂકતા:
સંક્રમણોની સંખ્યા $= \frac{4(4-1)}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = 6$.

(D) બામર શ્રેણીમાં વિકિરણ ઉત્સર્જિત કરવા માટે,ઇલેક્ટ્રોને ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તર $(n > 2)$ માંથી $n=2$ ઉર્જા સ્તરમાં સંક્રમણ કરવું આવશ્યક છે.
લઘુત્તમ ઉર્જા માટે,ઇલેક્ટ્રોનને ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n=1)$ માંથી તે ઉર્જા સ્તરમાં ઉત્તેજિત કરવું પડે જ્યાંથી તે $n=2$ માં સંક્રમણ કરી શકે,જે $n=3$ છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુના $n$-માં સ્તરની ઉર્જા $E_n = -\frac{13.6 \ eV}{n^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઇલેક્ટ્રોનને $n=1$ થી $n=3$ માં ઉત્તેજિત કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા $\Delta E = E_3 - E_1$ છે.
$E_1 = -13.6 \ eV$.
$E_3 = -\frac{13.6}{3^2} = -\frac{13.6}{9} \approx -1.51 \ eV$.
$\Delta E = -1.51 - (-13.6) = 12.09 \ eV \approx 12.1 \ eV$.

(C) $H$-પરમાણુની ધરા-સ્થિતિમાં રહેલો ઇલેક્ટ્રોન વિકિરણનું શોષણ કરીને $n$-મી કક્ષામાં જાય છે.
વિકિરણની તરંગલંબાઇ,$\lambda = 970 \mathring A = 970 \times 10^{-10} \text{ m}$.
ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા મેળવેલી ઉર્જા,$E' = \frac{hc}{e\lambda} = \frac{1.237 \times 10^{-6}}{970 \times 10^{-10}} \text{ eV} = 12.75 \text{ eV}$.
તેથી,$n$-મી કક્ષાની ઉર્જા,$E_n = -13.6 + 12.75 = -0.85 \text{ eV}$.
સૂત્ર $E_n = \frac{-13.6}{n^2} \text{ eV}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$-0.85 = \frac{-13.6}{n^2}$
$n^2 = \frac{13.6}{0.85} = 16$
$n = 4$.
ઉત્સર્જન વર્ણપટની રેખાઓની સંખ્યા $N = \frac{n(n-1)}{2}$ દ્વારા મળે છે.
$N = \frac{4(4-1)}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = 6$ રેખાઓ.

(D) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$-મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની સ્થિતિ ઉર્જા $V_n = -\frac{ke^2}{r_n} = -\frac{27.2}{n^2} \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,સ્થિતિ ઉર્જા એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ નંબરના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે: $V \propto \frac{1}{n^2}$.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{V_i}{V_f} = 6.25$ પરથી,આપણે લખી શકીએ:
$\frac{V_i}{V_f} = \frac{n_f^2}{n_i^2} = 6.25$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{n_f}{n_i} = \sqrt{6.25} = 2.5 = \frac{5}{2}$.
આનો અર્થ એ છે કે $n_f = 2.5 n_i$. કારણ કે $n_f$ અને $n_i$ પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ,તેથી $2$ વડે ગુણતા આપણને $n_f = 5$ અને $n_i = 2$ મળે છે.
તેથી,$n_f$ માટેનું લઘુત્તમ શક્ય મૂલ્ય $5$ છે.

(A) બે અવસ્થાઓ વચ્ચેનો ઉર્જા તફાવત $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અવસ્થા $A$ થી અવસ્થા $C$ ના સંક્રમણ માટે:
$E_A - E_C = \frac{hc}{2000 \ \mathring A} \quad \dots (i)$
અવસ્થા $B$ થી અવસ્થા $C$ ના સંક્રમણ માટે:
$E_B - E_C = \frac{hc}{6000 \ \mathring A} \quad \dots (ii)$
અવસ્થા $A$ થી અવસ્થા $B$ ના સંક્રમણ માટે,ઉર્જા તફાવત:
$E_A - E_B = (E_A - E_C) - (E_B - E_C)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{hc}{\lambda_{AB}} = \frac{hc}{2000 \ \mathring A} - \frac{hc}{6000 \ \mathring A}$
$\frac{1}{\lambda_{AB}} = \frac{3 - 1}{6000 \ \mathring A} = \frac{2}{6000 \ \mathring A} = \frac{1}{3000 \ \mathring A}$
તેથી,$\lambda_{AB} = 3000 \ \mathring A$.

(A) જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન $n^{\text{th}}$ ઉર્જા સ્તરમાં હોય,ત્યારે ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટમાં સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત થતી વર્ણપટ રેખાઓની કુલ સંખ્યા નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$N = \frac{n(n-1)}{2}$
અહીં,$n = 4$ છે.
સૂત્રમાં $n$ ની કિંમત મૂકતા:
$N = \frac{4(4-1)}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = \frac{12}{2} = 6$
આમ,ઉત્સર્જિત થતી વર્ણપટ રેખાઓની કુલ સંખ્યા $6$ છે.

(C) ઉર્જા સ્તરની આકૃતિ પરથી,ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દર્શાવેલ સંક્રમણો માટે:
$1$) $E_3$ થી $E_1$ ના સંક્રમણ માટે તરંગલંબાઇ $\lambda_1$ છે: $E_3 - E_1 = \frac{hc}{\lambda_1} \quad (1)$
$2$) $E_2$ થી $E_1$ ના સંક્રમણ માટે તરંગલંબાઇ $\lambda_2$ છે: $E_2 - E_1 = \frac{hc}{\lambda_2} \quad (2)$
$3$) $E_3$ થી $E_2$ ના સંક્રમણ માટે તરંગલંબાઇ $\lambda_3$ છે: $E_3 - E_2 = \frac{hc}{\lambda_3} \quad (3)$
આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $(E_3 - E_1) = (E_3 - E_2) + (E_2 - E_1)$.
સમીકરણ $(1), (2)$ અને $(3)$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{hc}{\lambda_1} = \frac{hc}{\lambda_3} + \frac{hc}{\lambda_2}$
બંને બાજુ $hc$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{1}{\lambda_1} = \frac{1}{\lambda_2} + \frac{1}{\lambda_3}$

(C) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુ માટે,ઉર્જાઓ નીચે મુજબ છે:
સ્થિતિ ઉર્જા $(P.E.)$ = $-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Ze^2}{r}$
ગતિ ઉર્જા $(K.E.)$ = $-\frac{1}{2} (P.E.) = \frac{1}{8 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Ze^2}{r}$
કુલ ઉર્જા $(T.E.)$ = $\frac{1}{2} (P.E.) = -\frac{1}{8 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Ze^2}{r}$
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન ઉત્તેજિત અવસ્થામાંથી ધરાવસ્થામાં સંક્રમણ કરે છે,ત્યારે કક્ષાની ત્રિજ્યા $(r)$ ઘટે છે.
કારણ કે $K.E. = \frac{k}{r}$,જેમ $r$ ઘટે છે તેમ $K.E.$ વધે છે.
કારણ કે $P.E. = -\frac{k'}{r}$,જેમ $r$ ઘટે છે તેમ $P.E.$ વધુ ઋણ બને છે,એટલે કે તે ઘટે છે.
કારણ કે $T.E. = -\frac{k''}{r}$,જેમ $r$ ઘટે છે તેમ $T.E.$ વધુ ઋણ બને છે,એટલે કે તે ઘટે છે.
તેથી,$K.E.$ વધે છે,જ્યારે $P.E.$ અને $T.E.$ ઘટે છે.

(D) ઉત્સર્જિત વિકિરણની તરંગલંબાઇ માટે રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$ છે.
ત્રીજી કક્ષામાંથી બીજી કક્ષામાં સંક્રમણ માટે:
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{9-4}{36} \right) = \frac{5R}{36}$.
ચોથી કક્ષામાંથી ત્રીજી કક્ષામાં સંક્રમણ માટે,ધારો કે તરંગલંબાઇ $\lambda'$ છે:
$\frac{1}{\lambda'} = R \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right) = R \left( \frac{16-9}{144} \right) = \frac{7R}{144}$.
હવે,બંને સમીકરણોનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{\lambda'}{\lambda} = \frac{5R/36}{7R/144} = \frac{5}{36} \times \frac{144}{7} = \frac{5 \times 4}{7} = \frac{20}{7}$.
તેથી,$\lambda' = \frac{20}{7} \lambda$.

(A) સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$c$ પ્રકાશની ગતિ છે,અને $\lambda$ તરંગલંબાઇ છે.
આ સંબંધ પરથી,આપણને મળે છે $E \propto \frac{1}{\lambda}$.
આનો અર્થ એ છે કે મહત્તમ તરંગલંબાઇ ધરાવતા વિકિરણના ઉત્સર્જન માટે,ઉર્જાનો તફાવત $(E)$ ન્યૂનતમ હોવો જોઈએ.
ન્યૂનતમ તરંગલંબાઇ ધરાવતા વિકિરણના ઉત્સર્જન માટે,ઉર્જાનો તફાવત $(E)$ મહત્તમ હોવો જોઈએ.
ચાલો આપેલ સંક્રમણો માટે ઉર્જાના તફાવતોની ગણતરી કરીએ:
સંક્રમણ $A$: $\Delta E = 0 - (-2) = 2 \text{ eV}$ (ન્યૂનતમ ઉર્જા તફાવત)
સંક્રમણ $B$: $\Delta E = 0 - (-4.5) = 4.5 \text{ eV}$
સંક્રમણ $C$: $\Delta E = -2 - (-4.5) = 2.5 \text{ eV}$
સંક્રમણ $D$: $\Delta E = -2 - (-10) = 8 \text{ eV}$ (મહત્તમ ઉર્જા તફાવત)
સંક્રમણ $A$ માં ઉર્જાનો તફાવત ન્યૂનતમ હોવાથી,તે મહત્તમ તરંગલંબાઇને અનુરૂપ છે.
સંક્રમણ $D$ માં ઉર્જાનો તફાવત મહત્તમ હોવાથી,તે ન્યૂનતમ તરંગલંબાઇને અનુરૂપ છે.
તેથી,મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તરંગલંબાઇ માટેના સંક્રમણો અનુક્રમે $A$ અને $D$ છે.

(D) બોહરના હાઇડ્રોજન પરમાણુના સિદ્ધાંત મુજબ,$n^{th}$ સ્થિર કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઉર્જા $E_n$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$E_n = -\frac{m Z^2 e^4}{8 \varepsilon_0^2 h^2 n^2}$
જ્યાં $m$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે,$Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક છે,$e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે,$\varepsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે,$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે કુલ ઉર્જા $E_n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ ના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.
તેથી,$E_n \propto \frac{1}{n^2}$.

(D) ઉત્સર્જિત ફોટોનની આવૃત્તિ $\Delta E = h\nu$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta E$ એ બે ઉર્જા સ્તરો વચ્ચેનો ઉર્જા તફાવત છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,$n$ માં સ્તરની ઉર્જા $E_n = -\frac{13.6 \ eV}{n^2}$ છે.
$n_i$ થી $n_f$ માં સંક્રમણ માટે ઉર્જા તફાવત $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right) \ eV$ છે.
સૌથી વધુ આવૃત્તિ મેળવવા માટે,આપણે સૌથી મોટો ઉર્જા તફાવત $\Delta E$ જોઈએ.
દરેક વિકલ્પ માટે $\Delta E$ ની ગણતરી:
$A$: $n=1$ થી $n=3$ (શોષણ,ઉત્સર્જન નહીં)
$B$: $n=2$ થી $n=4$ (શોષણ,ઉત્સર્જન નહીં)
$C$: $n=5$ થી $n=3$: $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{5^2} \right) = 13.6 \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{25} \right) \approx 0.96 \ eV$.
$D$: $n=2$ થી $n=1$: $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = 13.6 \times 0.75 = 10.2 \ eV$.
$10.2 \ eV > 0.96 \ eV$ હોવાથી,$n=2$ થી $n=1$ નું સંક્રમણ સૌથી વધુ ઉર્જા મુક્ત કરે છે અને તેથી સૌથી વધુ આવૃત્તિ ધરાવતા ફોટોનનું ઉત્સર્જન કરે છે.

(B) ઇલેક્ટ્રોનિક સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની આવૃત્તિ $E = h\nu = E_i - E_f$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E_i$ એ પ્રારંભિક ઉર્જા સ્તર છે અને $E_f$ એ અંતિમ ઉર્જા સ્તર છે.
ઉત્સર્જન થવા માટે,ઇલેક્ટ્રોન ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તરથી નીચા ઉર્જા સ્તર $(n_i > n_f)$ માં સંક્રમણ કરવું જોઈએ.
આમ,વિકલ્પો $A$ ($n=1$ થી $n=2$) અને $C$ ($n=2$ થી $n=6$) માં શોષણ થાય છે,ઉત્સર્જન નહીં,તેથી તેમને દૂર કરી શકાય છે.
ઉત્સર્જન સંક્રમણોની તુલના કરતા:
$1$. $n=2$ થી $n=1$ માટે: $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = 13.6 \times 0.75 = 10.2 \text{ eV}$.
$2$. $n=6$ થી $n=2$ માટે: $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{6^2} \right) = 13.6 \left( 0.25 - 0.0277 \right) = 13.6 \times 0.2223 \approx 3.02 \text{ eV}$.
આવૃત્તિ $\nu = \frac{\Delta E}{h}$ હોવાથી,સૌથી મોટો ઉર્જા તફાવત $\Delta E$ ધરાવતું સંક્રમણ સૌથી વધુ આવૃત્તિ ધરાવતા ફોટોનનું ઉત્સર્જન કરશે.
તેથી,$n=2$ થી $n=1$ નું સંક્રમણ સૌથી વધુ આવૃત્તિ ધરાવતા ફોટોનનું ઉત્સર્જન કરે છે.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n^{\text{મી}}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર: $E_n = \frac{E_0}{n^2}$ છે, જ્યાં $E_0 = -13.6 \ eV$.
પ્રથમ કક્ષા $(n=1)$ માટે: $E_1 = \frac{E_0}{1^2} = E_0$.
ત્રીજી કક્ષા $(n=3)$ માટે: $E_3 = \frac{E_0}{3^2} = \frac{E_0}{9}$.
આપેલ સંબંધ $E_3 = x E_1$ માં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{E_0}{9} = x E_0$.
બંને બાજુ $E_0$ વડે ભાગતા, આપણને $x = \frac{1}{9}$ મળે છે.

(B) ઊર્જા સ્તર $n_2$ થી $n_1$ માં સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઊર્જા $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સંક્રમણ $(i)$ માટે,$n_2 = 3$ થી $n_1 = 2$:
$\Delta E_1 = 13.6 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = 13.6 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = 13.6 \left( \frac{5}{36} \right) \text{ eV}$.
સંક્રમણ (ii) માટે,$n_2 = \infty$ થી $n_1 = 3$:
$\Delta E_2 = 13.6 \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = 13.6 \left( \frac{1}{9} - 0 \right) = 13.6 \left( \frac{1}{9} \right) \text{ eV}$.
ગુણોત્તર $\frac{\Delta E_1}{\Delta E_2} = \frac{13.6 \times (5/36)}{13.6 \times (1/9)} = \frac{5}{36} \times 9 = \frac{5}{4}$ થાય છે.

(B) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુની $n$-મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર $E_n = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ છે.
આમ,$E \propto \frac{Z^2}{n^2}$.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ $(Z_H = 1)$ માટે ત્રીજી કક્ષા $(n_H = 3)$ માં ઉર્જા $E = k \frac{1^2}{3^2} = \frac{k}{9}$ છે,જ્યાં $k$ અચળાંક છે.
હિલિયમ આયન $(Z_{He} = 2)$ માટે પાંચમી કક્ષા $(n_{He} = 5)$ માં ઉર્જા $E_{He} = k \frac{2^2}{5^2} = \frac{4k}{25}$ છે.
બંને સમીકરણોનો ગુણોત્તર લેતા: $\frac{E_{He}}{E} = \frac{4k/25}{k/9} = \frac{4}{25} \times 9 = \frac{36}{25}$.
તેથી,$E_{He} = \frac{36}{25} E$.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ ઊર્જા $(K.E.)$ નું સૂત્ર $K.E. = \frac{kZe^2}{2r}$ છે.
અહીં $K.E. \propto \frac{1}{r}$ હોવાથી,જેમ ઇલેક્ટ્રોન ઉચ્ચ ઊર્જા સ્તર (ઉત્તેજિત અવસ્થા) માં જાય છે,તેમ ત્રિજ્યા $r$ વધે છે,જેના કારણે $K.E.$ ઘટે છે.
સ્થિતિ ઊર્જા $(P.E.)$ નું સૂત્ર $P.E. = -\frac{kZe^2}{r}$ છે.
અહીં $P.E. \propto -\frac{1}{r}$ હોવાથી,જેમ $r$ વધે છે,તેમ ઋણ મૂલ્યનું માન ઘટે છે,જેનો અર્થ છે કે $P.E.$ નું મૂલ્ય ઓછું ઋણ બને છે (એટલે કે તે વધે છે).
તેથી,જ્યારે હાઇડ્રોજન પરમાણુને ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટમાંથી ઉત્તેજિત અવસ્થામાં લાવવામાં આવે છે,ત્યારે તેની સ્થિતિ ઊર્જા વધે છે અને તેની ગતિ ઊર્જા ઘટે છે.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \ eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ માટે,$n_1 = 1$,તેથી $E_1 = -13.6 \ eV$.
તેના પછીના ઉચ્ચ સ્ટેટ (પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા) માટે,$n_2 = 2$,તેથી $E_2 = -\frac{13.6}{2^2} = -3.4 \ eV$.
પરમાણુને ઉત્તેજિત કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા $\Delta E = E_2 - E_1$ છે.
$\Delta E = -3.4 \ eV - (-13.6 \ eV) = 10.2 \ eV$.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -\frac{13.6 \text{ eV}}{n^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ સંક્રમણ માટે (બીજાથી પ્રથમ સ્તર): $n_i = 2$ થી $n_f = 1$.
ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $\Delta E_1 = E_2 - E_1 = -\frac{13.6}{2^2} - (-\frac{13.6}{1^2}) = 13.6(1 - \frac{1}{4}) = 13.6 \times \frac{3}{4} \text{ eV}$ છે.
બીજા સંક્રમણ માટે (અનંતથી બીજા સ્તર): $n_i = \infty$ થી $n_f = 2$.
ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $\Delta E_2 = E_{\infty} - E_2 = 0 - (-\frac{13.6}{2^2}) = \frac{13.6}{4} \text{ eV}$ છે.
ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{\Delta E_1}{\Delta E_2} = \frac{13.6 \times \frac{3}{4}}{13.6 \times \frac{1}{4}} = \frac{3}{1}$ થાય છે.
આમ,ગુણોત્તર $3: 1$ છે.

(B) ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા રિડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta E = h c R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
અહીં,સંક્રમણ $n_2 = 4$ થી $n_1 = 1$ સુધીનું છે.
$\Delta E = R h c \left( 1 - \frac{1}{4^2} \right) = R h c \left( 1 - \frac{1}{16} \right) = \frac{15}{16} R h c$.
ફોટોનની ઉર્જાને તેના સાપેક્ષ દળ $m$ નો ઉપયોગ કરીને $E = m c^2$ તરીકે પણ દર્શાવી શકાય છે.
ઉર્જા માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $m c^2 = \frac{15}{16} R h c$.
બંને બાજુને $m c$ વડે ભાગતા,આપણને ફોટોનનો વેગ $c = \frac{15 R h}{16 m}$ મળે છે.

(C) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુમાં,$r$ ત્રિજ્યાની કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની સ્થિતિ ઉર્જા $U$ અને ગતિ ઉર્જા $K$ વચ્ચેનો સંબંધ વિરિયલ પ્રમેય દ્વારા દર્શાવી શકાય છે.
કુલંબ સ્થિતિ ઉર્જા $U = -\frac{kZe^2}{r}$ માટે,સ્થિત-વિદ્યુત બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$\frac{kZe^2}{r^2} = \frac{mv^2}{r}$
બંને બાજુ $\frac{r}{2}$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$\frac{kZe^2}{2r} = \frac{1}{2} mv^2 = K$
સ્થિતિ ઉર્જા $U = -\frac{kZe^2}{r}$ હોવાથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $K = -\frac{U}{2}$ થાય.
અહીં સ્થિતિ ઉર્જા $U = -E$ આપેલી છે,તેથી ગતિ ઉર્જા:
$K = -\frac{(-E)}{2} = \frac{E}{2}$ થાય.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ન્યુક્લિયસથી $r$ અંતરે રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની સ્થિતિ ઊર્જા $U$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$U = -\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{e^2}{r}$
જેમ ઇલેક્ટ્રોન ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n=1)$ થી $5^{\text{મી}}$ કક્ષા $(n=5)$ માં જાય છે,તેમ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r$ વધે છે $(r \propto n^2)$.
સ્થિતિ ઊર્જા $U$ એ $r$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે અને ઋણ નિશાની ધરાવે છે,તેથી જેમ $r$ વધે છે તેમ $U$ નું મૂલ્ય ઓછું ઋણ બને છે,જેનો અર્થ છે કે તે વધે છે.
તેથી,ઇલેક્ટ્રોનની સ્થિતિ ઊર્જામાં વધારો થાય છે.

(C) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર: $E_n = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુની બીજી કક્ષા માટે $(Z=1, n=2)$: $E = -13.6 \frac{1^2}{2^2} = -\frac{13.6}{4} \text{ eV}$.
તેથી,$13.6 \text{ eV} = 4E$.
હિલિયમ આયનની ત્રીજી કક્ષા માટે $(Z=2, n=3)$: $E_3 = -13.6 \frac{2^2}{3^2} = -13.6 \frac{4}{9} \text{ eV}$.
$13.6 = -4E$ કિંમત મૂકતા: $E_3 = -(-4E) \frac{4}{9} = \frac{16E}{9}$.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -\frac{13.6 \ eV}{n^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ સંક્રમણ માટે (ii થી i): $n_i = 2$ થી $n_f = 1$.
ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $\Delta E_1 = E_2 - E_1 = -\frac{13.6}{2^2} - (-\frac{13.6}{1^2}) = 13.6(1 - \frac{1}{4}) = 13.6 \times \frac{3}{4} \ eV$ છે.
બીજા સંક્રમણ માટે (સૌથી ઉચ્ચ થી ii): $n_i = \infty$ થી $n_f = 2$.
ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $\Delta E_2 = E_{\infty} - E_2 = 0 - (-\frac{13.6}{2^2}) = \frac{13.6}{4} \ eV$ છે.
ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{\Delta E_1}{\Delta E_2} = \frac{13.6 \times \frac{3}{4}}{\frac{13.6}{4}} = \frac{3}{1} = 3:1$ થાય છે.

(C) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુ માટે,ઉર્જા સ્તરો નીચે મુજબ છે:
$T.E. = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$
$P.E. = 2 \times T.E. = -27.2 \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$
$K.E. = -T.E. = 13.6 \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન ઉત્તેજિત અવસ્થામાંથી ધરા અવસ્થામાં સંક્રમણ કરે છે,ત્યારે મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ ઘટે છે.
જેમ $n$ ઘટે છે તેમ:
$1$. $K.E. = 13.6 \frac{Z^2}{n^2}$ વધે છે.
$2$. $T.E. = -13.6 \frac{Z^2}{n^2}$ વધુ ઋણ બને છે,તેથી તે ઘટે છે.
$3$. $P.E. = -27.2 \frac{Z^2}{n^2}$ વધુ ઋણ બને છે,તેથી તે ઘટે છે.
તેથી,$K.E.$ વધે છે,જ્યારે $P.E.$ અને $T.E.$ ઘટે છે.

(D) ઇલેક્ટ્રોનિક સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $E = Rhc \left( \frac{1}{n_{1}^{2}} - \frac{1}{n_{2}^{2}} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$R$ એ રિડબર્ગ અચળાંક છે,$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $c$ એ પ્રકાશની ગતિ છે.
$(i)$ બીજા $(n_2 = 2)$ થી પ્રથમ $(n_1 = 1)$ ઉર્જા સ્તર માટે:
$E_{1} = Rhc \left( \frac{1}{1^{2}} - \frac{1}{2^{2}} \right) = Rhc \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3}{4} Rhc$.
$(ii)$ સૌથી ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તર $(n_2 = \infty)$ થી બીજા $(n_1 = 2)$ ઉર્જા સ્તર માટે:
$E_{2} = Rhc \left( \frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{\infty^{2}} \right) = Rhc \left( \frac{1}{4} - 0 \right) = \frac{1}{4} Rhc$.
ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E_{1}}{E_{2}} = \frac{\frac{3}{4} Rhc}{\frac{1}{4} Rhc} = \frac{3}{1}$ છે.
તેથી,ગુણોત્તર $3: 1$ છે.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,$n$ મી કક્ષાની ઉર્જા $E_n = \frac{-13.6}{n^2} \ eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા માટે,$n = 3$ લેવામાં આવે છે.
તેથી,કુલ ઉર્જા $E_3 = \frac{-13.6}{3^2} = \frac{-13.6}{9} \approx -1.51 \ eV$.
કોઈપણ બોહર કક્ષામાં,ગતિ ઉર્જા $(K.E.)$ એ કુલ ઉર્જા $(E)$ ના ઋણ મૂલ્ય જેટલી હોય છે: $K.E. = -E = -(-1.51 \ eV) = +1.51 \ eV$.
સ્થિતિ ઉર્જા $(P.E.)$ એ કુલ ઉર્જા $(E)$ ના બમણા જેટલી હોય છે: $P.E. = 2E = 2 \times (-1.51 \ eV) = -3.02 \ eV$.
આમ,ગતિ ઉર્જા $+1.51 \ eV$ છે અને સ્થિતિ ઉર્જા $-3.02 \ eV$ છે.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n=1)$ માટે,$E_1 = -13.6 \text{ eV}$ છે.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $n=2$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી,પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_2 = -\frac{13.6}{2^2} = -\frac{13.6}{4} = -3.4 \text{ eV}$ છે.
ઇલેક્ટ્રોનને ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટમાંથી પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થામાં લઈ જવા માટે જરૂરી ઉત્તેજન ઉર્જા $\Delta E = E_2 - E_1$ છે.
$\Delta E = -3.4 \text{ eV} - (-13.6 \text{ eV}) = 10.2 \text{ eV}$.

(B) બે સ્તરો વચ્ચેનો ઉર્જા તફાવત $\Delta E = 5.4 \ eV$ છે.
આ ઉર્જાને જૂલમાં રૂપાંતરિત કરતા: $\Delta E = 5.4 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J = 8.64 \times 10^{-19} \ J$.
ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા અને આવૃત્તિ $\nu$ વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta E = h\nu$ છે.
તેથી,આવૃત્તિ $\nu = \frac{\Delta E}{h}$.
કિંમતો મૂકતા: $\nu = \frac{8.64 \times 10^{-19}}{6.625 \times 10^{-34}} \ Hz$.
પરિણામની ગણતરી કરતા: $\nu \approx 1.304 \times 10^{15} \ Hz$.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોન માટે,કુલ ઉર્જા $(E)$,ગતિ ઉર્જા $(K)$ અને સ્થિતિ ઉર્જા $(U)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$E = -K = \frac{U}{2}$
તેથી,સ્થિતિ ઉર્જા $U = 2 \times E$ થાય.
આપેલ છે કે કુલ ઉર્જા $E = -3.4 \ eV$,તેથી:
$U = 2 \times (-3.4 \ eV) = -6.8 \ eV$.
આમ,પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રોનની સ્થિતિ ઉર્જા $-6.8 \ eV$ છે.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઊર્જાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$E_{n} = \frac{-13.6}{n^{2}} \text{ eV}$
આના પરથી જોઈ શકાય છે કે ઊર્જા એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંકના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે:
$E_{n} \propto \frac{1}{n^{2}}$
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા માટે $n = 2$ અને ત્રીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા માટે $n = 4$ લેતા.
તેથી,પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(E_{2})$ અને ત્રીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $(E_{4})$ માં ઊર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{E_{2}}{E_{4}} = \frac{n_{4}^{2}}{n_{2}^{2}} = \left(\frac{4}{2}\right)^{2}$
$\frac{E_{2}}{E_{4}} = (2)^{2} = \frac{4}{1}$
આમ,ગુણોત્તર $4: 1$ છે.

(D) આપેલ ઉર્જા સ્તર આકૃતિ પરથી,સંક્રમણ માટે ઉર્જાનો તફાવત નીચે મુજબ છે:
$E_2 - E_1 = \frac{hc}{\lambda_1}$ $(i)$
$E_3 - E_2 = \frac{hc}{\lambda_3}$ (ii)
$E_3 - E_1 = \frac{hc}{\lambda_2}$ (iii)
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:
$(E_2 - E_1) + (E_3 - E_2) = \frac{hc}{\lambda_1} + \frac{hc}{\lambda_3}$
$E_3 - E_1 = \frac{hc}{\lambda_1} + \frac{hc}{\lambda_3}$
સમીકરણ (iii) પરથી કિંમત મૂકતા:
$\frac{hc}{\lambda_2} = \frac{hc}{\lambda_1} + \frac{hc}{\lambda_3}$
બંને બાજુ $hc$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{\lambda_2} = \frac{1}{\lambda_1} + \frac{1}{\lambda_3}$
$\frac{1}{\lambda_2} = \frac{\lambda_3 + \lambda_1}{\lambda_1 \lambda_3}$
તેથી,$\lambda_2 = \frac{\lambda_1 \lambda_3}{\lambda_1 + \lambda_3}$.

(B) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$E_{n} = -13.6 \text{ eV} \times \frac{Z^{2}}{n^{2}}$
આનો અર્થ એ છે કે $E_{n} \propto \frac{Z^{2}}{n^{2}}$.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 1$ છે. તેથી,બીજી કક્ષા $(n = 2)$ માટે:
$E_{2} = k \times \frac{1^{2}}{2^{2}} = \frac{k}{4}$,જ્યાં $k = -13.6 \text{ eV}$.
$He^{+}$ આયન માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 2$ છે. ત્રીજી કક્ષા $(n = 3)$ માટે:
$E_{3} = k \times \frac{2^{2}}{3^{2}} = \frac{4k}{9}$.
હવે,$E_{3}$ અને $E_{2}$ નો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{E_{3}}{E_{2}} = \frac{4k/9}{k/4} = \frac{4}{9} \times 4 = \frac{16}{9}$.
તેથી,$E_{3} = \frac{16}{9} E_{2}$.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$-મી કક્ષામાં પરિભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઊર્જા નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E_{n} = \frac{-13.6}{n^{2}} \text{ eV}$
બીજી કક્ષા માટે,$n = 2$ છે.
સૂત્રમાં $n$ ની કિંમત મૂકતા:
$E_{2} = \frac{-13.6}{2^{2}} \text{ eV}$
$E_{2} = \frac{-13.6}{4} \text{ eV}$
$E_{2} = -3.4 \text{ eV}$
આમ,બીજી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઊર્જા $-3.4 \text{ eV}$ છે.

(A) જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન $3E$ થી $E$ પર સંક્રાંતિ કરે છે,ત્યારે ઉર્જાનો તફાવત $\Delta E_1 = 3E - E = 2E$ છે.
ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $\frac{hc}{\lambda} = 2E$ દ્વારા આપવામાં આવે છે ... $(i)$
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન $\frac{5E}{3}$ થી $E$ પર સંક્રાંતિ કરે છે,ત્યારે ઉર્જાનો તફાવત $\Delta E_2 = \frac{5E}{3} - E = \frac{2E}{3}$ છે.
ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $\frac{hc}{\lambda'} = \frac{2E}{3}$ છે ... (ii)
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ (ii) વડે ભાગતા:
$\frac{hc/\lambda}{hc/\lambda'} = \frac{2E}{2E/3}$
$\frac{\lambda'}{\lambda} = \frac{2E \times 3}{2E} = 3$
$\lambda' = 3\lambda$

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$.
જેમ $n$ નું મૂલ્ય વધે છે,તેમ છેદ $n^2$ વધે છે,જેનાથી અપૂર્ણાંક $\frac{13.6}{n^2}$ નું મૂલ્ય નાનું થાય છે.
ઉર્જા ઋણ હોવાથી,નાનું મૂલ્ય એટલે કે તે શૂન્યની નજીક જાય છે (એટલે કે તે વધે છે).
તેથી,જેમ $n$ વધે છે તેમ ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા વધે છે.

(B) આપેલ છે,ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઉર્જા $(E)$ $= -3.4 \text{ eV}$.
હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોન માટે,કુલ ઉર્જા $(E)$,ગતિ ઉર્જા $(K)$ અને સ્થિતિ ઉર્જા $(U)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$E = -K$
$U = 2E$
તેથી,ગતિ ઉર્જા $K = -E = -(-3.4 \text{ eV}) = 3.4 \text{ eV}$.
સ્થિતિ ઉર્જા $U = 2 \times E = 2 \times (-3.4 \text{ eV}) = -6.8 \text{ eV}$.
આમ,આ અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ ઉર્જા $3.4 \text{ eV}$ અને સ્થિતિ ઉર્જા $-6.8 \text{ eV}$ છે.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં,$n$ અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઇલેક્ટ્રોનને $n_i = 2$ અવસ્થામાંથી $n_f = 4$ અવસ્થામાં ઉત્તેજિત કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા $\Delta E = E_4 - E_2$ છે.
પ્રથમ,$n=2$ અવસ્થાની ઉર્જાની ગણતરી કરો: $E_2 = -\frac{13.6}{2^2} = -\frac{13.6}{4} = -3.4 \text{ eV}$.
ત્યારબાદ,$n=4$ અવસ્થાની ઉર્જાની ગણતરી કરો: $E_4 = -\frac{13.6}{4^2} = -\frac{13.6}{16} = -0.85 \text{ eV}$.
જરૂરી ઉર્જા $\Delta E = -0.85 - (-3.4) = 3.4 - 0.85 = 2.55 \text{ eV}$ છે.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $ n^{\text{th}} $ કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર: $ E_n = \frac{-13.6 \ eV}{n^2} $ છે.
ત્રીજી કક્ષા માટે,આપણે સમીકરણમાં $ n = 3 $ મૂકીએ છીએ:
$ E_3 = \frac{-13.6}{3^2} = \frac{-13.6}{9} $.
આની ગણતરી કરતા,આપણને $ E_3 \approx -1.51 \ eV $ મળે છે.
આમ,ત્રીજી કક્ષામાં પરિભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $ -1.51 \ eV $ છે.

(D) જ્યારે પરમાણુની આંતરિક કક્ષાના ઇલેક્ટ્રોન ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તરથી નીચા ઉર્જા સ્તરમાં સંક્રમણ કરે છે,ત્યારે તેઓ ઉચ્ચ ઉર્જા ધરાવતા ફોટોન સ્વરૂપે વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણનું ઉત્સર્જન કરે છે.
આ સંક્રમણોમાં ઉર્જાનો તફાવત ઘણો મોટો હોય છે,જે વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટના અલ્ટ્રાવાયોલેટ વિસ્તારને અનુરૂપ હોય છે.

(D) ઉર્જા સ્તરની આકૃતિ પરથી,$C$ થી $A$ ના સંક્રમણ માટેનો ઉર્જા તફાવત એ $C$ થી $B$ અને $B$ થી $A$ ના સંક્રમણો માટેના ઉર્જા તફાવતોના સરવાળા જેટલો છે.
$(E_C - E_A) = (E_C - E_B) + (E_B - E_A)$
સંબંધ $E = \frac{hc}{\lambda}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે લખી શકીએ:
$\frac{hc}{\lambda_3} = \frac{hc}{\lambda_1} + \frac{hc}{\lambda_2}$
બંને બાજુને $hc$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{\lambda_3} = \frac{1}{\lambda_1} + \frac{1}{\lambda_2}$
$\frac{1}{\lambda_3} = \frac{\lambda_2 + \lambda_1}{\lambda_1 \lambda_2}$
તેથી,$\lambda_3 = \frac{\lambda_1 \lambda_2}{\lambda_1 + \lambda_2}$.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n=1)$ માટે, $E_1 = -13.6 \text{ eV}$ છે.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $n=2$ ને અનુરૂપ છે.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_2 = -\frac{13.6}{2^2} = -\frac{13.6}{4} = -3.4 \text{ eV}$ છે.
આ અવસ્થામાંથી પરમાણુને આયનીકૃત કરવા માટે, આપણે ઇલેક્ટ્રોનને $0 \text{ eV}$ ના ઉર્જા સ્તર (અનંત) સુધી લાવવા માટે પૂરતી ઉર્જા આપવી પડે.
તેથી, જરૂરી ઉર્જા $\Delta E = 0 - (-3.4 \text{ eV}) = 3.4 \text{ eV}$ છે.

(B) બે ઉર્જા સ્તરો $E_i$ અને $E_f$ વચ્ચેના સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $\Delta E = E_i - E_f = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ ઉર્જા સ્તરની આકૃતિ પરથી,$C$ થી $A$ નું સંક્રમણ એ $C$ થી $B$ અને $B$ થી $A$ ના સંક્રમણોનો સરવાળો છે.
તેથી,ઉર્જાનો તફાવત છે:
$E_C - E_A = (E_C - E_B) + (E_B - E_A)$
ઉર્જા-તરંગલંબાઇ સંબંધ $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$ મૂકતા:
$\frac{hc}{\lambda_3} = \frac{hc}{\lambda_1} + \frac{hc}{\lambda_2}$
બંને બાજુને $hc$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{\lambda_3} = \frac{1}{\lambda_1} + \frac{1}{\lambda_2}$
$\frac{1}{\lambda_3} = \frac{\lambda_2 + \lambda_1}{\lambda_1 \lambda_2}$
વ્યસ્ત લેતા,આપણને મળે છે:
$\lambda_3 = \frac{\lambda_1 \lambda_2}{\lambda_1 + \lambda_2}$

(D) ઇલેક્ટ્રોનિક સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n$ મી કક્ષામાંથી પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n=2)$ માં સંક્રમણ માટે:
$\frac{hc}{\lambda_1} = 13.6 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right) = 13.6 \left( \frac{n^2-4}{4n^2} \right) \quad \dots(1)$
$n$ મી કક્ષામાંથી ધરા અવસ્થા $(n=1)$ માં સંક્રમણ માટે:
$\frac{hc}{\lambda_2} = 13.6 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{n^2} \right) = 13.6 \left( \frac{n^2-1}{n^2} \right) \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{4(n^2-1)}{n^2-4}$
આને ઉકેલતા,$n = \sqrt{\frac{4(\lambda_2-\lambda_1)}{4\lambda_2-\lambda_1}}$ મળે છે.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં $n_2$ થી $n_1$ ઉર્જા સ્તરમાં સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $E = 13.6 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) \text{ eV}$.
પ્રથમ સંક્રમણ માટે ($n_2 = 2$ થી $n_1 = 1$): $E_1 = 13.6 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = 13.6 \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = 13.6 \times \frac{3}{4} \text{ eV}$.
બીજા સંક્રમણ માટે ($n_2 = 5$ થી $n_1 = 2$): $E_2 = 13.6 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{5^2} \right) = 13.6 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{25} \right) = 13.6 \left( \frac{25 - 4}{100} \right) = 13.6 \times \frac{21}{100} \text{ eV}$.
ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E_1}{E_2} = \frac{13.6 \times (3/4)}{13.6 \times (21/100)} = \frac{3}{4} \times \frac{100}{21} = \frac{25}{7}$ થાય છે.

(D) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,બંધન ઉર્જા એ ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n=1)$ માંથી ઇલેક્ટ્રોનને દૂર કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા છે,જે $13.6 \ eV$ છે.
$Li^{2+}$ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 3$ છે.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $n = 2$ ને અનુરૂપ છે.
$Li^{2+}$ ની પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_2 = -13.6 \times \frac{3^2}{2^2} \ eV = -13.6 \times \frac{9}{4} \ eV = -30.6 \ eV$ છે.
ઇલેક્ટ્રોનને દૂર કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા (બંધન ઉર્જા) એ તેને અનંત ($n = \infty$,જ્યાં $E = 0$) સુધી લઈ જવા માટે જરૂરી ઉર્જા છે.
તેથી,$\Delta E = E_{\infty} - E_2 = 0 - (-30.6 \ eV) = 30.6 \ eV$.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં સંક્રમણ દરમિયાન મુક્ત થતી ઉર્જાનું સૂત્ર: $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) \text{ eV}$ છે.
અહીં,અંતિમ કક્ષા $n_1 = 1$ અને પ્રારંભિક કક્ષા $n_2 = n$ છે.
મુક્ત થતી ઉર્જા $\Delta E = 12.75 \text{ eV}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $12.75 = 13.6 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{n^2} \right)$.
બંને બાજુ $13.6$ વડે ભાગતા: $\frac{12.75}{13.6} = 1 - \frac{1}{n^2}$.
$0.9375 = 1 - \frac{1}{n^2}$.
$\frac{1}{n^2} = 1 - 0.9375 = 0.0625$.
$n^2 = \frac{1}{0.0625} = 16$.
તેથી,$n = 4$.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોન માટે,ગતિ ઊર્જા $(K.E.)$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે: $K.E. = \frac{kZe^2}{2r}$.
સ્થિતિ ઊર્જા $(P.E.)$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે: $P.E. = -\frac{kZe^2}{r}$.
કુલ ઊર્જા $(E)$ એ ગતિ ઊર્જા અને સ્થિતિ ઊર્જાનો સરવાળો છે: $E = K.E. + P.E.$
સૂત્રો મૂકતા: $E = \frac{kZe^2}{2r} - \frac{kZe^2}{r} = -\frac{kZe^2}{2r}$.
કુલ ઊર્જા $(E)$ અને સ્થિતિ ઊર્જા $(P.E.)$ ના સૂત્રોની સરખામણી કરતા:
$E = \frac{P.E.}{2}$.
તેથી,$P.E. = 2E$.