Spectral Series of Hydrogen Atom Questions in Gujarati

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુની વર્ણપટ રેખાઓ ઇલેક્ટ્રોનના ઉર્જા સ્તરના સંક્રમણના આધારે વિવિધ શ્રેણીઓમાં વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે.
લાયમન શ્રેણી માટે,ઇલેક્ટ્રોન કોઈપણ ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તર $(n_2 = 2, 3, 4, ...)$ થી ધરાસ્થિતિ $(n_1 = 1)$ માં સંક્રમણ કરે છે.
આ સંક્રમણો માટે ઉર્જાનો તફાવત $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સંક્રમણોને પરિણામે ઉચ્ચ ઉર્જા ધરાવતા ફોટોનનું ઉત્સર્જન થાય છે,જે વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટના અલ્ટ્રાવાયોલેટ $(UV)$ વિસ્તારને અનુરૂપ છે.

(B) હાઇડ્રોજન વર્ણપટમાં વર્ણપટ રેખાઓની ઘણી શ્રેણીઓ હોય છે.
$1$. લાયમન શ્રેણી એ ભૂમિ અવસ્થા $(n_f = 1)$ માં થતા સંક્રમણને અનુરૂપ છે અને તે પારજાંબલી વિભાગમાં આવેલી છે.
$2$. બામર શ્રેણી એ બીજા ઉર્જા સ્તર $(n_f = 2)$ માં થતા સંક્રમણને અનુરૂપ છે અને તે દ્રશ્યમાન વિભાગમાં આવેલી છે.
$3$. પાશ્ચન,બ્રેકેટ અને ફંડ શ્રેણીઓ ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તરો ($n_f = 3, 4, 5$ અનુક્રમે) માં થતા સંક્રમણને અનુરૂપ છે અને તે ઇન્ફ્રારેડ વિભાગમાં આવેલી છે.
તેથી,સાચો જવાબ બામર શ્રેણી છે.

(C) સંક્રમણ $A$ એ $n = \infty$ થી $n = 1$ સુધી થાય છે. આ લાયમન શ્રેણીની શ્રેણી મર્યાદા દર્શાવે છે.
સંક્રમણ $B$ એ $n = 5$ થી $n = 2$ સુધી થાય છે. બામર શ્રેણીની વર્ણપટ રેખાઓ $n_i > 2$ થી $n_f = 2$ ના સંક્રમણ દ્વારા મળે છે. પ્રથમ રેખા $n=3 \to 2$ છે,બીજી $n=4 \to 2$ છે,અને ત્રીજી $n=5 \to 2$ છે. આમ,$B$ એ બામર શ્રેણીની ત્રીજી વર્ણપટ રેખા છે.
સંક્રમણ $C$ એ $n = 5$ થી $n = 3$ સુધી થાય છે. પાશ્ચન શ્રેણીની વર્ણપટ રેખાઓ $n_i > 3$ થી $n_f = 3$ ના સંક્રમણ દ્વારા મળે છે. પ્રથમ રેખા $n=4 \to 3$ છે,અને બીજી $n=5 \to 3$ છે. આમ,$C$ એ પાશ્ચન શ્રેણીની બીજી વર્ણપટ રેખા છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) હાઇડ્રોજન વર્ણપટ એ અસતત રેખાઓનો બનેલો છે,સતત વર્ણપટ નથી.
$1$. લાયમેન શ્રેણી અલ્ટ્રાવાયોલેટ વિભાગમાં આવેલી છે.
$2$. બામર શ્રેણી દ્રશ્ય વિભાગમાં આવેલી છે.
$3$. પાશ્ચન શ્રેણી ઇન્ફ્રારેડ વિભાગમાં આવેલી છે.
$4$. વર્ણપટ શ્રેણીનું સૂત્ર બોહરના મોડેલ પરથી મેળવવામાં આવે છે,રધરફોર્ડના મોડેલ પરથી નહીં.
તેથી,સાચું વિધાન એ છે કે પાશ્ચન શ્રેણી ઇન્ફ્રારેડ વિભાગમાં રેખીય વર્ણપટ છે.

(C) વર્ણપટ રેખાઓની તરંગલંબાઇ માટેનું રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$ છે.
તરંગલંબાઇની ઉપલી સીમા માટે,ઉર્જાનો તફાવત લઘુત્તમ હોવો જોઈએ,જે $n_2 = n_1 + 1$ થી $n_1$ માં થતા સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{(n_1+1)^2} = \frac{1}{R \lambda}$.
અહીં $\lambda = 18752 \mathring{A} = 18752 \times 10^{-10} \ m$ અને $R = 1.097 \times 10^7 \ m^{-1}$ આપેલ છે.
$\frac{1}{R \lambda} = \frac{1}{1.097 \times 10^7 \times 18752 \times 10^{-10}} \approx 0.0486$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{7}{144} \approx 0.0486$. આને $\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{(n_1+1)^2}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n_1 = 3$ મળે છે.
આમ,$\frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} = \frac{1}{9} - \frac{1}{16} = \frac{7}{144}$.
$n_1 = 3$ હોવાથી,આ પાશ્ચન શ્રેણી છે.

(C) બામર શ્રેણીમાં વર્ણપટ રેખાની તરંગલંબાઇ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right]$
બામર શ્રેણીની પ્રથમ રેખા માટે,$n = 3$:
$\frac{1}{\lambda_1} = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right] = R \left[ \frac{5}{36} \right]$
આપેલ છે કે $\lambda_1 = 6561 \; \mathring{A}$,તેથી $\frac{1}{6561} = \frac{5R}{36} \implies R = \frac{36}{5 \times 6561}$.
બામર શ્રેણીની બીજી રેખા માટે,$n = 4$:
$\frac{1}{\lambda_2} = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right] = R \left[ \frac{3}{16} \right]$
$R$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{1}{\lambda_2} = \left( \frac{36}{5 \times 6561} \right) \times \frac{3}{16} = \frac{108}{80 \times 6561} = \frac{27}{20 \times 6561}$
$\lambda_2 = \frac{20 \times 6561}{27} = 20 \times 243 = 4860 \; \mathring{A}$.

(D) હાઇડ્રોજન પરમાણુની વર્ણપટ શ્રેણીઓ ઇલેક્ટ્રોનના ઉર્જા સ્તરના સંક્રમણના આધારે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે.
- $Lyman$ શ્રેણી એ ધરા અવસ્થા $(n_f = 1)$ માં થતા સંક્રમણને અનુરૂપ છે,જેમાં ઉચ્ચ ઉર્જા ધરાવતા ફોટોન પારજાંબલી $(UV)$ વિભાગમાં આવે છે.
- $Balmer$ શ્રેણી $n_f = 2$ માં થતા સંક્રમણને અનુરૂપ છે,જે દ્રશ્ય પ્રકાશના વિભાગમાં આવે છે.
- $Paschen$,$Brackett$ અને $Pfund$ શ્રેણીઓ અનુક્રમે $n_f = 3, 4$ અને $5$ માં થતા સંક્રમણને અનુરૂપ છે,જે ઇન્ફ્રારેડ $(IR)$ વિભાગમાં આવે છે.
તેથી,પારજાંબલી વિભાગમાં આવતી સાચી શ્રેણી $Lyman$ શ્રેણી છે.

(A) આવૃત્તિ $\nu$ એ $\nu = \frac{c}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. લાંબી તરંગલંબાઇની સીમા એ શ્રેણી માટે ન્યૂનતમ ઉર્જા સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
લાયમન શ્રેણી માટે,સંક્રમણ $n_2 = 2$ થી $n_1 = 1$ છે:
$\nu_L = Rc \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = Rc \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3Rc}{4}$
બામર શ્રેણી માટે,સંક્રમણ $n_2 = 3$ થી $n_1 = 2$ છે:
$\nu_B = Rc \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = Rc \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = Rc \left( \frac{9-4}{36} \right) = \frac{5Rc}{36}$
આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર:
$\frac{\nu_L}{\nu_B} = \frac{3Rc/4}{5Rc/36} = \frac{3}{4} \times \frac{36}{5} = \frac{3 \times 9}{5} = \frac{27}{5}$
આમ,ગુણોત્તર $27:5$ છે.

(C) તરંગ આંક $\bar{\nu}$ રિડબર્ગના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\bar{\nu} = \frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
બામર શ્રેણી માટે,સંક્રમણ $n_1 = 2$ ઉર્જા સ્તર પર થાય છે.
બામર શ્રેણીની પ્રથમ રેખા $n_2 = 3$ થી $n_1 = 2$ ના સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\bar{\nu} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right)$
$\bar{\nu} = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right)$
$\bar{\nu} = R \left( \frac{9 - 4}{36} \right) = \frac{5R}{36}$.

(C) તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટે રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ છે.
લાયમન શ્રેણીની પ્રથમ રેખા માટે,$n_1 = 1$ અને $n_2 = 2$ છે. તેથી,$\frac{1}{\lambda_L} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4}$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda_L = \frac{4}{3R}$.
બામર શ્રેણીની પ્રથમ રેખા માટે,$n_1 = 2$ અને $n_2 = 3$ છે. તેથી,$\frac{1}{\lambda_B} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{5}{36} \right)$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda_B = \frac{36}{5R}$.
ગુણોત્તર $\frac{\lambda_L}{\lambda_B} = \frac{4/3R}{36/5R} = \frac{4}{3} \times \frac{5}{36} = \frac{5}{27}$ થાય છે.

(A) બામર શ્રેણી માટે રિડબર્ગનું સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ છે.
બામર શ્રેણીની પ્રથમ રેખા માટે, $n_1 = 2$ અને $n_2 = 3$ લેતા.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{9-4}{36} \right) = \frac{5R}{36}$.
આપેલ છે કે $\lambda = 6563 \; Å = 6563 \times 10^{-10} \; m$.
$R$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $R = \frac{36}{5 \lambda} = \frac{36}{5 \times 6563 \times 10^{-10}} \approx 1.097 \times 10^7 \; m^{-1}$.
આમ, રિડબર્ગ અચળાંક આશરે $1.09 \times 10^7 \; m^{-1}$ છે.

(D) હાઇડ્રોજનના સમગ્ર ઉત્સર્જન વર્ણપટમાં સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ $(\lambda_{\min})$ $n = \infty$ થી $n = 1$ (લાઇમન શ્રેણીની સીમા) ના સંક્રમણ માટે મળે છે.
રિડબર્ગ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{\lambda_{\min}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R$.
તેથી, $\lambda_{\min} = \frac{1}{R}$.
પાંચ શ્રેણીઓ (લાઇમન, બામર, પાશ્ચન, બ્રેકેટ, ફંડ) માં સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ $(\lambda_{\max})$ $n = 6$ થી $n = 5$ (ફંડ શ્રેણીની છેલ્લી રેખા) ના સંક્રમણ માટે મળે છે.
રિડબર્ગ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{\lambda_{\max}} = R \left( \frac{1}{5^2} - \frac{1}{6^2} \right) = R \left( \frac{1}{25} - \frac{1}{36} \right) = R \left( \frac{36 - 25}{900} \right) = \frac{11R}{900}$.
તેથી, $\lambda_{\max} = \frac{900}{11R}$.
સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ અને સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}} = \frac{900/11R}{1/R} = \frac{900}{11}$ થાય છે.

(B) પાશ્ચન શ્રેણી માટે,રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ છે,જ્યાં $n_1 = 3$ અને $n_2 = 4, 5, 6, \dots, \infty$ છે.
મહત્તમ તરંગલંબાઈ (ન્યૂનતમ ઉર્જા સંક્રમણ) માટે,આપણે $n_1 = 3$ અને $n_2 = 4$ લઈએ છીએ:
$\frac{1}{\lambda_{\max}} = R \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right) = \frac{7R}{144}$.
$\lambda_{\max} = \frac{144}{7R} = \frac{144}{7 \times 1.097 \times 10^7 \, \text{m}^{-1}} \approx 1.89 \,\mu m$.
ન્યૂનતમ તરંગલંબાઈ (મહત્તમ ઉર્જા સંક્રમણ) માટે,આપણે $n_1 = 3$ અને $n_2 = \infty$ લઈએ છીએ:
$\frac{1}{\lambda_{\min}} = R \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = \frac{R}{9}$.
$\lambda_{\min} = \frac{9}{R} = \frac{9}{1.097 \times 10^7 \, \text{m}^{-1}} \approx 0.818 \,\mu m$.
આમ,અંતિમ તરંગલંબાઈઓ $0.818 \,\mu m$ અને $1.89 \,\mu m$ છે.

(B) જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ ધરાવતી ઉત્તેજિત અવસ્થામાંથી ધરાસ્થિતિમાં સંક્રમણ કરે ત્યારે ઉત્સર્જાતી વર્ણપટ રેખાઓની સંખ્યા નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$N = \frac{n(n - 1)}{2}$
અહીં આપેલ છે કે ઇલેક્ટ્રોન મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n = 4$ ધરાવતી અવસ્થામાં ઉત્તેજિત થાય છે,તેથી આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$N = \frac{4(4 - 1)}{2}$
$N = \frac{4 \times 3}{2}$
$N = \frac{12}{2} = 6$
તેથી,ઉત્સર્જન વર્ણપટમાં કુલ વર્ણપટ રેખાઓની સંખ્યા $6$ થશે.

(A) વર્ણપટ રેખાની તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટે રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ છે.
બામર શ્રેણીની પ્રથમ રેખા માટે,$n_1 = 2$ અને $n_2 = 3$:
$\frac{1}{\lambda_{Balmer}} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = \frac{5R}{36}$.
આપેલ છે કે $\lambda_{Balmer} = 6563 \mathring{A}$,તેથી $\frac{1}{6563} = \frac{5R}{36} \implies R = \frac{36}{5 \times 6563}$.
લાયમન શ્રેણીની પ્રથમ રેખા માટે,$n_1 = 1$ અને $n_2 = 2$:
$\frac{1}{\lambda_{Lyman}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4}$.
$R$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{1}{\lambda_{Lyman}} = \frac{3}{4} \times \left( \frac{36}{5 \times 6563} \right) = \frac{27}{5 \times 6563} = \frac{27}{32815}$.
$\lambda_{Lyman} = \frac{32815}{27} \approx 1215.4 \mathring{A}$.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં વર્ણપટ રેખાઓની તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટેનું રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R_H \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$ છે,જ્યાં $R_H$ એ રિડબર્ગ અચળાંક છે.
લાયમન શ્રેણી માટે,સંક્રમણ ધરાવસ્થિતિમાં થાય છે,તેથી $n_1 = 1$. સૌથી મોટી તરંગલંબાઈ (પ્રથમ રેખા) માટે $n_2 = 2$ લેવામાં આવે છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{\lambda} = R_H \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right] = R_H \left[ 1 - \frac{1}{4} \right] = R_H \left( \frac{3}{4} \right)$.
તેથી,$\lambda = \frac{4}{3 R_H}$.
અહીં $R_H \approx 10967 \text{ cm}^{-1}$ આપેલ હોવાથી,$\lambda = \frac{4}{3 \times 10967} \text{ cm}$ મળે છે.

(B) જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન ઉત્તેજિત અવસ્થા $n$ માંથી ધરાસ્થિતિમાં સંક્રમણ કરે છે ત્યારે ઉત્સર્જિત વર્ણપટ રેખાઓની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $N = \frac{n(n - 1)}{2}$ છે.
અહીં $n = 3$ આપેલ છે,તેથી સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$N = \frac{3(3 - 1)}{2} = \frac{3 \times 2}{2} = 3$.
શક્ય સંક્રમણો $n = 3 \to n = 2$,$n = 3 \to n = 1$,અને $n = 2 \to n = 1$ છે. આમ,કુલ $3$ વર્ણપટ રેખાઓ મળે છે.

(D) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં, ઇલેક્ટ્રોન મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n = 1, 2, 3, \dots, \infty$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત અનંત સંખ્યાના ઉર્જા સ્તરોમાંના કોઈપણમાં અસ્તિત્વ ધરાવી શકે છે।
કારણ કે સંક્રમણ કોઈપણ ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તર $n_2$ થી કોઈપણ નીચલા ઉર્જા સ્તર $n_1$ માં થઈ શકે છે, અને $n$ ના મૂલ્ય માટે કોઈ ઉપલી મર્યાદા નથી, તેથી શક્ય વર્ણપટ રેખાઓની સંખ્યા અનંત છે।

(B) ઉત્સર્જિત વિકિરણની તરંગલંબાઇ માટે રીડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$ છે.
$n_2 = 3$ થી $n_1 = 2$ ના સંક્રમણ માટે,તરંગલંબાઇ ${\lambda _0}$ છે:
$\frac{1}{\lambda_0} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right] = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right] = \frac{5R}{36}$.
$n_2 = 4$ થી $n_1 = 2$ ના સંક્રમણ માટે,ધારો કે તરંગલંબાઇ $\lambda$ છે:
$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right] = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right] = \frac{3R}{16}$.
બંને સમીકરણોનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{\lambda}{\lambda_0} = \frac{5R/36}{3R/16} = \frac{5}{36} \times \frac{16}{3} = \frac{20}{27}$.
તેથી,$\lambda = \frac{20}{27}{\lambda _0}$.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં વર્ણપટ રેખાઓની તરંગલંબાઇ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
બામર શ્રેણી માટે,$n_1 = 2$ હોય છે. હાઇડ્રોજન વર્ણપટનો દ્રશ્યમાન વિભાગ બામર શ્રેણીને અનુરૂપ છે.
$4860 \mathring A$ (અથવા $486 \ nm$) ની તરંગલંબાઇ બામર શ્રેણીની $H_{\beta}$ રેખાને અનુરૂપ છે,જે ત્યારે મળે છે જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન $n_2 = 4$ થી $n_1 = 2$ માં સંક્રમણ કરે છે.
આ તરંગલંબાઇ દ્રશ્યમાન વર્ણપટમાં આવતી હોવાથી,તે બામર શ્રેણીનો ભાગ છે.

(A) બામર શ્રેણી માટે, રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right)$ છે, જ્યાં $n = 3, 4, 5, \dots$
પ્રથમ રેખા (મહત્તમ તરંગલંબાઈ) માટે, $n = 3$ છે।
બીજી રેખા માટે, $n = 4$ છે।
સૂત્રમાં $n = 4$ મૂકતા:
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right)$
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{4 - 1}{16} \right) = \frac{3R}{16}$
તેથી, $\lambda = \frac{16}{3R}$.

(B) લાયમન શ્રેણી માટે,તરંગ આંક $\bar{\nu}$ રિડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\bar{\nu} = \frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$
જ્યાં $n_1 = 1$ અને $n_2 = 2, 3, 4, \dots$
લાયમન શ્રેણીની પ્રથમ રેખા માટે,આપણે $n_1 = 1$ અને $n_2 = 2$ લઈએ છીએ.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\bar{\nu} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right)$
$\bar{\nu} = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right)$
$\bar{\nu} = R \left( \frac{3}{4} \right) = \frac{3R}{4}$

(C) પાશ્ચન શ્રેણી માટે,રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{n^2} \right)$ છે,જ્યાં $n = 4, 5, 6, \dots$.
પાશ્ચન શ્રેણીના પ્રથમ સભ્ય માટે,$n = 4$:
$\frac{1}{\lambda_1} = R \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right) = R \left( \frac{16-9}{144} \right) = \frac{7R}{144}$.
આપેલ છે કે $\lambda_1 = 18,800 \,\mathring{A}$,તેથી $R = \frac{144}{7 \times 18,800} \,\mathring{A}^{-1}$.
ટૂંકી તરંગલંબાઇની સીમા (શ્રેણી સીમા) માટે,$n = \infty$:
$\frac{1}{\lambda_{\infty}} = R \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = \frac{R}{9}$.
તેથી,$\lambda_{\infty} = \frac{9}{R} = 9 \times \left( \frac{7 \times 18,800}{144} \right) = \frac{63 \times 18,800}{144} = 8,225 \,\mathring{A}$.

(D) લાયમન શ્રેણી માટે,તરંગલંબાઇ $\lambda$ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$,જ્યાં $n_1 = 1$ અને $n_2 = 2, 3, 4, \dots$
સૌથી મોટી તરંગલંબાઇ $(\lambda_{\max})$ માટે,આપણે $n_2 = 2$ થી $n_1 = 1$ સુધીનું સંક્રમણ લઈએ છીએ:
$\frac{1}{\lambda_{\max}} = R \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right] = R \left[ 1 - \frac{1}{4} \right] = \frac{3R}{4} \implies \lambda_{\max} = \frac{4}{3R}$.
સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ $(\lambda_{\min})$ માટે,આપણે $n_2 = \infty$ થી $n_1 = 1$ સુધીનું સંક્રમણ લઈએ છીએ:
$\frac{1}{\lambda_{\min}} = R \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right] = R [1 - 0] = R \implies \lambda_{\min} = \frac{1}{R}$.
સૌથી મોટી અને સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર:
$\frac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}} = \frac{4/3R}{1/R} = \frac{4}{3}$.

(A) બ્રેકેટ શ્રેણી માટે,તરંગલંબાઇ $\lambda$ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$,જ્યાં $n_1 = 4$ અને $n_2 = 5, 6, 7, \dots$
સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ $(\lambda_{\max})$ એ $n_2 = 5$ થી $n_1 = 4$ ના સંક્રમણને અનુરૂપ છે:
$\frac{1}{\lambda_{\max}} = R \left[ \frac{1}{4^2} - \frac{1}{5^2} \right] = R \left[ \frac{1}{16} - \frac{1}{25} \right] = R \left[ \frac{25 - 16}{400} \right] = \frac{9R}{400}$
$\lambda_{\max} = \frac{400}{9R}$
સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ $(\lambda_{\min})$ એ $n_2 = \infty$ થી $n_1 = 4$ ના સંક્રમણને અનુરૂપ છે:
$\frac{1}{\lambda_{\min}} = R \left[ \frac{1}{4^2} - \frac{1}{\infty^2} \right] = R \left[ \frac{1}{16} - 0 \right] = \frac{R}{16}$
$\lambda_{\min} = \frac{16}{R}$
સૌથી લાંબી અને સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર:
$\frac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}} = \frac{400/9R}{16/R} = \frac{400}{9 \times 16} = \frac{25}{9}$

(A) વર્ણપટ રેખાઓની તરંગલંબાઇ માટેનું રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$ છે,જ્યાં $R$ એ રિડબર્ગ અચળાંક છે.
બામર શ્રેણી માટે,$n_1 = 2$ છે.
મહત્તમ તરંગલંબાઇ $(\lambda_{\max})$ માટે,સંક્રમણ $n_2 = 3$ થી $n_1 = 2$ થાય છે:
$\frac{1}{\lambda_{\max}} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right] = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right] = R \left[ \frac{5}{36} \right] \Rightarrow \lambda_{\max} = \frac{36}{5R}$.
ન્યૂનતમ તરંગલંબાઇ $(\lambda_{\min})$ માટે,સંક્રમણ $n_2 = \infty$ થી $n_1 = 2$ થાય છે:
$\frac{1}{\lambda_{\min}} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right] = R \left[ \frac{1}{4} - 0 \right] = \frac{R}{4} \Rightarrow \lambda_{\min} = \frac{4}{R}$.
ન્યૂનતમ અને મહત્તમ તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_{\min}}{\lambda_{\max}} = \frac{4/R}{36/5R} = \frac{4}{1} \times \frac{5}{36} = \frac{5}{9}$ છે.

(B) ઉત્તેજિત અવસ્થા $n$ થી નીચલી અવસ્થા $n_f$ માં સંક્રમણ માટે શક્ય વર્ણપટ રેખાઓની સંખ્યા $N = \frac{(n - n_f)(n - n_f + 1)}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જેમ આપણે લાયમન શ્રેણી $(n_f = 1)$ થી ફંડ શ્રેણી $(n_f = 5)$ તરફ જઈએ છીએ,તેમ નિશ્ચિત ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તર $n$ માટે ઉપલબ્ધ સંક્રમણોની સંખ્યા ઘટે છે કારણ કે ઉચ્ચ સ્તર અને નીચલા સ્તર વચ્ચેનો તફાવત નાનો થતો જાય છે. તેથી,વર્ણપટ રેખાઓની સંખ્યા ઘટે છે.

(B) તરંગ આંક $\bar{\nu}$ એ તરંગલંબાઈ $\lambda$ નો વ્યસ્ત છે.
આપેલ છે: $\lambda = 5896 \mathring{A} = 5896 \times 10^{-8} \, \text{સેમી}$.
સૂત્ર: $\bar{\nu} = \frac{1}{\lambda}$.
ગણતરી: $\bar{\nu} = \frac{1}{5896 \times 10^{-8}} \, \text{સેમી}^{-1}$.
$\bar{\nu} = \frac{10^8}{5896} \approx 16960.65 \, \text{સેમી}^{-1}$.
નજીકની પૂર્ણાંક સંખ્યામાં લેતા, $\bar{\nu} = 16961 \, \text{સેમી}^{-1}$ મળે છે.

(D) વર્ણપટ રેખાઓની તરંગલંબાઈ માટેનું રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ છે.
Lyman શ્રેણીની પ્રથમ રેખા માટે,$n_1 = 1$ અને $n_2 = 2$ છે. તેથી,$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4}$. એટલે કે,$\lambda = \frac{4}{3R}$.
Balmer શ્રેણીની પ્રથમ રેખા માટે,$n_1 = 2$ અને $n_2 = 3$ છે. તેથી,$\frac{1}{\lambda_B} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{9-4}{36} \right) = \frac{5R}{36}$. એટલે કે,$\lambda_B = \frac{36}{5R}$.
$\lambda_B$ ને $\lambda$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે: $\frac{\lambda_B}{\lambda} = \frac{36/5R}{4/3R} = \frac{36}{5R} \times \frac{3R}{4} = \frac{9 \times 3}{5} = \frac{27}{5}$.
આમ,$\lambda_B = \frac{27}{5} \lambda$.

(C) જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન $n=2$ ઉર્જા સ્તર (બામર શ્રેણી) પર સંક્રમણ કરે છે,ત્યારે જો $n > 2$ હોય તો તે ઉત્તેજિત અવસ્થામાં હોય છે.
અંતે,ઇલેક્ટ્રોને ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n=1)$ સુધી પહોંચવા માટે નીચલા ઉર્જા સ્તરોમાં સંક્રમણ કરવું જ પડે છે.
$n=1$ સ્તર પરના સંક્રમણો લાયમન શ્રેણીમાં ફોટોનનું ઉત્સર્જન કરે છે.
તેથી,બામર શ્રેણીમાં ફોટોન ઉત્સર્જિત કર્યા પછી,ઇલેક્ટ્રોન અંતે ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટમાં સંક્રમણ કરશે અને લાયમન શ્રેણીમાં ફોટોનનું ઉત્સર્જન કરશે.

(A) ઉત્સર્જિત વિકિરણની તરંગલંબાઇ માટેનું રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$ છે.
પ્રથમ સંક્રમણ માટે ($n_2 = 2$ થી $n_1 = 1$):
$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right] = R \left[ 1 - \frac{1}{4} \right] = \frac{3R}{4}$.
આથી,$R = \frac{4}{3\lambda}$.
બીજા સંક્રમણ માટે ($n_2 = 3$ થી $n_1 = 1$):
$\frac{1}{\lambda'} = R \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} \right] = R \left[ 1 - \frac{1}{9} \right] = \frac{8R}{9}$.
$R$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{1}{\lambda'} = \left( \frac{4}{3\lambda} \right) \times \frac{8}{9} = \frac{32}{27\lambda}$.
તેથી,$\lambda' = \frac{27}{32}\lambda$.

(A) તરંગ સંખ્યા $\bar{\nu}$ એ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\bar{\nu} = R \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$.
અહીં,ઇલેક્ટ્રોન અનંત $(n_2 = \infty)$ થી પ્રથમ કક્ષા $(n_1 = 1)$ માં સંક્રમણ કરે છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\bar{\nu} = R \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right] = R \times (1 - 0) = R$.
રીડબર્ગ અચળાંક $R$ નું મૂલ્ય આશરે $1.097 \times 10^7 \ m^{-1}$ છે.
આને $cm^{-1}$ માં ફેરવતા: $R = 1.097 \times 10^7 \times 10^{-2} \ cm^{-1} = 1.097 \times 10^5 \ cm^{-1} = 109700 \ cm^{-1}$.

(A) હાઇડ્રોજન વર્ણપટ માટે તરંગલંબાઇ $\lambda$ નું સૂત્ર રીડબર્ગના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
લાયમન શ્રેણી માટે,$n_1 = 1$. સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ માટે,$n_2 = \infty$. તેથી,$\frac{1}{\lambda_L} = R(1 - 0) = R$,એટલે કે $\lambda_L = \frac{1}{R} = 912 \ \mathring{A}$.
બામર શ્રેણી માટે,$n_1 = 2$. સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ માટે,$n_2 = \infty$. તેથી,$\frac{1}{\lambda_B} = R \left( \frac{1}{2^2} - 0 \right) = \frac{R}{4}$.
આના પરથી $\lambda_B = \frac{4}{R} = 4 \times \lambda_L$ મળે છે.
કિંમત મૂકતા: $\lambda_B = 4 \times 912 \ \mathring{A} = 3648 \ \mathring{A}$.

(A) બામર શ્રેણી એ સંક્રમણોને અનુરૂપ છે જ્યાં ઇલેક્ટ્રોન $n=2$ કક્ષામાં કૂદકો મારે છે.
પ્રથમ રેખા $n=3$ થી $n=2$ ના સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
બીજી રેખા $n=4$ થી $n=2$ ના સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
તરંગલંબાઇ $\lambda$ ની ગણતરી રિડબર્ગ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = R \left( \frac{3}{16} \right)$.
આની ગણતરી કરતા $\lambda \approx 486.1 \ nm$ મળે છે.
આ તરંગલંબાઇ દ્રશ્યમાન વર્ણપટના વાદળી-લીલા વિસ્તારમાં આવે છે,જેને સામાન્ય રીતે વાદળી તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

(D) તરંગલંબાઇ $\lambda$ માટેનું રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R_H \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$ છે.
બામર શ્રેણી માટે,$n_1 = 2$ છે.
પ્રથમ તરંગલંબાઇ (પ્રથમ રેખા) માટે,$n_2 = 3$:
$\frac{1}{\lambda_1} = 1.097 \times 10^7 \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right] = 1.097 \times 10^7 \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right] = 1.097 \times 10^7 \left[ \frac{5}{36} \right]$.
$\lambda_1 = \frac{36}{5 \times 1.097 \times 10^7} \approx 6.563 \times 10^{-7} \ m = 6563 \ \mathring{A}$.
દ્વિતીય તરંગલંબાઇ (દ્વિતીય રેખા) માટે,$n_2 = 4$:
$\frac{1}{\lambda_2} = 1.097 \times 10^7 \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right] = 1.097 \times 10^7 \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right] = 1.097 \times 10^7 \left[ \frac{3}{16} \right]$.
$\lambda_2 = \frac{16}{3 \times 1.097 \times 10^7} \approx 4.861 \times 10^{-7} \ m = 4861 \ \mathring{A}$.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં સંક્રમણ માટે તરંગલંબાઇ $\lambda$ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
લાયમન શ્રેણી માટે,$n_1 = 1$. સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ સૌથી ઓછા ઉર્જાના સંક્રમણને અનુરૂપ છે,જે $n_2 = 2$ થી થાય છે. તેથી,$\frac{1}{\lambda_{L, \max}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4}$,એટલે કે $\lambda_{L, \max} = \frac{4}{3R}$.
બામર શ્રેણી માટે,$n_1 = 2$. સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ $n_2 = 3$ થી થતા સંક્રમણને અનુરૂપ છે. તેથી,$\frac{1}{\lambda_{B, \max}} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{9-4}{36} \right) = \frac{5R}{36}$,એટલે કે $\lambda_{B, \max} = \frac{36}{5R}$.
લાયમન શ્રેણીની સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ અને બામર શ્રેણીની સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_{L, \max}}{\lambda_{B, \max}} = \frac{4/3R}{36/5R} = \frac{4}{3R} \times \frac{5R}{36} = \frac{4 \times 5}{3 \times 36} = \frac{20}{108} = \frac{5}{27}$ થાય છે.

(B) ઉત્સર્જિત વિકિરણની તરંગલંબાઇ $\lambda$ માટે રિડબર્ગનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$
અહીં,ઇલેક્ટ્રોન $n_2 = 4$ થી $n_1 = 2$ માં સંક્રમણ કરે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right]$
$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right]$
$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{4 - 1}{16} \right] = R \left[ \frac{3}{16} \right]$
તેથી,$\lambda = \frac{16}{3R}$.

(B) ઇલેક્ટ્રોનિક સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત વિકિરણની તરંગલંબાઇ $\lambda$ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$,જ્યાં $R$ એ રીડબર્ગ અચળાંક છે.
$n_2 = 4$ થી $n_1 = 2$ ના સંક્રમણ માટે: $\frac{1}{\lambda_1} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right] = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right] = R \left[ \frac{4-1}{16} \right] = \frac{3R}{16}$. તેથી,$\lambda_1 = \frac{16}{3R}$.
$n_2 = 3$ થી $n_1 = 2$ ના સંક્રમણ માટે: $\frac{1}{\lambda_2} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right] = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right] = R \left[ \frac{9-4}{36} \right] = \frac{5R}{36}$. તેથી,$\lambda_2 = \frac{36}{5R}$.
તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{16}{3R} \times \frac{5R}{36} = \frac{16 \times 5}{3 \times 36} = \frac{80}{108} = \frac{20}{27}$.
તેથી,ગુણોત્તર $20 : 27$ છે.

(D) જ્યારે સતત વર્ણપટ કોઈ પદાર્થમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે કેટલીક તરંગલંબાઇઓનું શોષણ થાય છે,જેના પરિણામે ઘેરી રેખાઓ રચાય છે,જેને શોષણ રેખા વર્ણપટ કહેવામાં આવે છે.
આ શોષણ એટલા માટે થાય છે કારણ કે પ્રકાશના માર્ગમાં રહેલા ચોક્કસ તત્વોની ઠંડી વરાળ તેમની લાક્ષણિક તરંગલંબાઇને અનુરૂપ ઉર્જાનું શોષણ કરે છે.
તેથી,સતત વર્ણપટમાં ગેરહાજર રેખાઓ પ્રકાશના સ્ત્રોતની આસપાસ કેટલાક તત્વોની ઠંડી વરાળની હાજરી સૂચવે છે.

(B) રેખીય વર્ણપટ વાયુ અવસ્થામાં રહેલા પરમાણુઓ દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે. જ્યારે વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણ વાયુમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે પરમાણુઓ તેમના અલગ-અલગ ઇલેક્ટ્રોનિક ઉર્જા સ્તરો વચ્ચેના ઉર્જા તફાવતને અનુરૂપ ચોક્કસ તરંગલંબાઇનું શોષણ કરે છે. આના પરિણામે સતત વર્ણપટમાં ઘેરી રેખાઓ (શોષણ વર્ણપટ) જોવા મળે છે અથવા જ્યારે ઉત્તેજિત પરમાણુઓ વિકિરણનું ઉત્સર્જન કરે છે ત્યારે તેજસ્વી રેખાઓ (ઉત્સર્જન વર્ણપટ) જોવા મળે છે. પરમાણુઓમાં ઉર્જા સ્તરો ચોક્કસ અને અલગ હોવાથી,મળતું વર્ણપટ સતત પટ્ટાને બદલે અલગ-અલગ રેખાઓનું બનેલું હોય છે.

(B) ઉર્જા સ્તરો $n_i$ અને $n_f$ વચ્ચેની સંક્રાંતિ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right) \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઈન્ફ્રારેડ વિકિરણ એ પાશ્ચન શ્રેણી $(n_f = 3)$,બ્રેકેટ શ્રેણી $(n_f = 4)$,અથવા ફંડ શ્રેણી $(n_f = 5)$ ને અનુરૂપ છે.
$n = 4$ થી $n = 3$ ની સંક્રાંતિ પાશ્ચન શ્રેણીમાં આવે છે,જે ઈન્ફ્રારેડ વિભાગમાં છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$5 \rightarrow 4$ ની સંક્રાંતિ બ્રેકેટ શ્રેણીમાં આવે છે,જે પણ ઈન્ફ્રારેડ વિભાગમાં છે.
તેથી,સાચી સંક્રાંતિ $5 \rightarrow 4$ છે.

(D) લાયમન શ્રેણી એ સંક્રમણોને અનુરૂપ છે જ્યાં ઈલેક્ટ્રોન ધરા સ્થિતિ $(n_1 = 1)$ માં આવે છે.
લાયમન શ્રેણી માટે તરંગલંબાઈનો વિસ્તાર આશરે $912 \, \mathring{A}$ થી $1216 \, \mathring{A}$ સુધીનો હોય છે.
આ સમગ્ર વિસ્તાર દ્રશ્ય પ્રકાશના વર્ણપટ ($4000 \, \mathring{A}$ થી $7000 \, \mathring{A}$) કરતા ઓછો હોવાથી,તે સંપૂર્ણપણે પારજાંબલી વિભાગમાં આવે છે.

(B) હાઈડ્રોજન વર્ણપટની બાલ્મર શ્રેણી વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટના દ્રશ્યમાન વિભાગમાં આવેલી છે.
આ શ્રેણીની તરંગલંબાઈઓ રીડબર્ગના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right)$,જ્યાં $n = 3, 4, 5, \dots$.
સૌથી મોટી તરંગલંબાઈ ($n=3$ માટે) $6563 \, \mathring{A}$ છે અને સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઈ ($n=\infty$ માટે) $3646 \, \mathring{A}$ છે.
આ બંને મૂલ્યો દ્રશ્ય પ્રકાશની શ્રેણીમાં આવે છે.

(A) જ્યારે ઈલેક્ટ્રોન ઉત્તેજિત અવસ્થા $n$ માંથી ધરા અવસ્થા $n=1$ માં સંક્રમણ કરે ત્યારે ઉત્સર્જાતી વર્ણપટ રેખાઓની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર: $N = \frac{n(n-1)}{2}$ છે.
અહીં આપેલ છે કે ઈલેક્ટ્રોન $n = 4$ અવસ્થામાં ઉત્તેજિત થાય છે,તેથી સૂત્રમાં $n = 4$ મૂકતા:
$N = \frac{4(4-1)}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = \frac{12}{2} = 6$.
આમ,કુલ વર્ણપટ રેખાઓની સંખ્યા $6$ થશે.

(D) જ્યારે ઈલેક્ટ્રોન ઉત્તેજિત અવસ્થા $n$ માંથી ધરા અવસ્થામાં પાછો ફરે ત્યારે ઉત્સર્જિત થતી વર્ણપટ રેખાઓની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $N = \frac{n(n-1)}{2}$ છે.
અહીં ઈલેક્ટ્રોન $5$ મી કક્ષામાં છે $(n = 5)$,તેથી વર્ણપટ રેખાઓની સંખ્યા $N = \frac{5(5-1)}{2} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$ થશે.
શક્ય સંક્રમણો નીચે મુજબ છે:
$n=5$ માંથી: $(5 \to 4), (5 \to 3), (5 \to 2), (5 \to 1)$
$n=4$ માંથી: $(4 \to 3), (4 \to 2), (4 \to 1)$
$n=3$ માંથી: $(3 \to 2), (3 \to 1)$
$n=2$ માંથી: $(2 \to 1)$
કુલ રેખાઓની સંખ્યા = $4 + 3 + 2 + 1 = 10$.

(A) તરંગ સંખ્યા $\bar{\nu}$ એ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\bar{\nu} = \frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
લાયમેન શ્રેણીની શ્રેણી મર્યાદા માટે,ઇલેક્ટ્રોન $n_2 = \infty$ થી $n_1 = 1$ કક્ષામાં સંક્રમણ કરે છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\bar{\nu} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R(1 - 0) = R$.
રીડબર્ગ અચળાંક $R$ ની કિંમત આશરે $1.097 \times 10^7 \, m^{-1}$ છે.
તેથી,તરંગ સંખ્યા $1.097 \times 10^7 \, m^{-1}$ મળે છે.

(C) વર્ણપટ રેખાની તરંગલંબાઈ માટેનું રિડબર્ગ સૂત્ર: $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ છે.
પ્રથમ લાયમેન રેખા માટે,$n_1 = 1$ અને $n_2 = 2$ લેતા,$\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = R Z^2 \left( \frac{3}{4} \right)$ મળે.
આથી,$\lambda \propto \frac{1}{Z^2}$ થાય.
હાઈડ્રોજન $(Z=1)$,$He^+$ $(Z=2)$ અને $Li^{2+}$ $(Z=3)$ માટે:
$\lambda_1 : \lambda_2 : \lambda_3 = \frac{1}{1^2} : \frac{1}{2^2} : \frac{1}{3^2} = 1 : \frac{1}{4} : \frac{1}{9}$.
ગુણોત્તરને સરળ બનાવવા માટે $36$ વડે ગુણતા:
$\lambda_1 : \lambda_2 : \lambda_3 = 36 : 9 : 4$.

(A) તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટેનું રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ છે.
લાયમેન શ્રેણીની પ્રથમ રેખા માટે,$n_1 = 1$ અને $n_2 = 2$ છે.
ડ્યુટેરિયમ $(D)$ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z_D = 1$ છે. તેથી,$\frac{1}{\lambda_D} = R (1)^2 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4}$.
દ્વિ આયનીકૃત લિથિયમ $(Li^{2+})$ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z_{Li} = 3$ છે. તેથી,$\frac{1}{\lambda_{Li}} = R (3)^2 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = 9R \left( \frac{3}{4} \right) = \frac{27R}{4}$.
તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર લેતા: $\frac{\lambda_{Li}}{\lambda_D} = \frac{4/27R}{4/3R} = \frac{3}{27} = \frac{1}{9}$.
આમ,ગુણોત્તર $1 : 9$ છે.

(C) હાઈડ્રોજન પરમાણુ માટે ઉર્જા સ્તરનું સૂત્ર $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ છે.
$n=2$ થી $n=1$ માટે ઉર્જાનો તફાવત $\Delta E = E_2 - E_1 = -3.4 - (-13.6) = 10.2 \text{ eV}$ થાય છે.
તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{hc}{\Delta E}$ મુજબ,$\lambda = \frac{1240}{10.2} \approx 121.6 \text{ nm}$.
આમ,આશરે $122 \text{ nm}$ જવાબ મળે છે.