Electron Energy and Electron Energy Levels in Hydrogen Atom Questions in Gujarati

(A) $n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જા $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ છે.
પ્રથમ કક્ષા $(n=1)$ માટે: $E_1 = -\frac{13.6}{1^2} = -13.6 \text{ eV}$.
બીજી કક્ષા $(n=2)$ માટે: $E_2 = -\frac{13.6}{2^2} = -\frac{13.6}{4} = -3.4 \text{ eV}$.
ઇલેક્ટ્રોનને પ્રથમ કક્ષામાંથી બીજી કક્ષામાં ઉત્તેજિત કરવા માટે જરૂરી ઊર્જા ઊર્જા સ્તરોના તફાવત દ્વારા મળે છે:
$\Delta E = E_2 - E_1$
$\Delta E = -3.4 \text{ eV} - (-13.6 \text{ eV})$
$\Delta E = -3.4 + 13.6 = 10.2 \text{ eV}$.
તેથી,જરૂરી ઊર્જા $10.2 \text{ eV}$ છે.

(A) એ $n=2$ કક્ષામાંથી $n=4$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનું ઉત્તેજન દર્શાવે છે,જે બામર શ્રેણીમાં શોષણ રેખાને અનુરૂપ છે.
$E$ એ $\infty$ કક્ષામાંથી $n=1$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનું સંક્રમણ દર્શાવે છે,જે હાઇડ્રોજનના આયનીકરણ પોટેન્શિયલ $(13.6 \ eV)$ જેટલી મુક્ત થતી ઉર્જાને અનુરૂપ છે.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n^{th}$ કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \ eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઇલેક્ટ્રોનને બહાર કાઢવા માટે (એટલે કે તેને આયનીકૃત કરવા માટે),આપણે તે કક્ષાની બંધન ઉર્જા જેટલી ઉર્જા આપવી પડે છે.
$n^{th}$ કક્ષામાંથી ઇલેક્ટ્રોનને દૂર કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા $E = +\frac{13.6}{n^2} \ eV$ છે.
ત્રીજી કક્ષા માટે,$n = 3$ છે.
તેથી,જરૂરી ઉર્જા $E = +\frac{13.6}{3^2} \ eV = +\frac{13.6}{9} \ eV$ થશે.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ છે.
$n = 10$ અવસ્થામાંથી ઇલેક્ટ્રોનને અનંત $(E_{\infty} = 0)$ સુધી દૂર કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા એ તે અવસ્થા માટેની આયનીકરણ ઉર્જા છે.
જરૂરી ઉર્જા $= E_{\infty} - E_{10} = 0 - \left(-\frac{13.6}{10^2}\right) \text{ eV}$.
જરૂરી ઉર્જા $= \frac{13.6}{100} \text{ eV} = 0.136 \text{ eV}$.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n^{\text{મી}}$ કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -\frac{13.6 \text{ eV}}{n^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા માટે, મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n_1 = 2$ છે.
બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા માટે, મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n_2 = 3$ છે.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થામાં ઉર્જા $E_2 = -\frac{13.6}{2^2} = -\frac{13.6}{4} \text{ eV}$ છે.
બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થામાં ઉર્જા $E_3 = -\frac{13.6}{3^2} = -\frac{13.6}{9} \text{ eV}$ છે.
ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E_2}{E_3} = \frac{-13.6/4}{-13.6/9} = \frac{9}{4}$ થાય છે.

(C) તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટે રિડબર્ગ સૂત્ર: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
અહીં $n_1 = 2$,$n_2 = 4$,અને $R = 10^5 \text{ cm}^{-1} = 10^7 \text{ m}^{-1}$ છે.
$\frac{1}{\lambda} = 10^5 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = 10^5 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = 10^5 \left( \frac{3}{16} \right) \text{ cm}^{-1}$.
તેથી,$\lambda = \frac{16}{3} \times 10^{-5} \text{ cm} = \frac{16}{3} \times 10^{-7} \text{ m}$.
આવૃત્તિ $\nu = \frac{c}{\lambda}$,જ્યાં $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ છે.
$\nu = \frac{3 \times 10^8}{\frac{16}{3} \times 10^{-7}} = \frac{9}{16} \times 10^{15} \text{ Hz}$.

(D) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \, eV$ છે.
$n = 2$ અવસ્થામાંથી ઇલેક્ટ્રોનને દૂર કરવા માટે,આપણે તે અવસ્થામાં તેની બંધન ઉર્જાના મૂલ્ય જેટલી ઉર્જા આપવી પડે.
જરૂરી ઉર્જા $E = |E_2| = |-\frac{13.6}{2^2}| \, eV$ છે.
$E = \frac{13.6}{4} \, eV = 3.4 \, eV$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) $2E$ થી $E$ ના સંક્રમણ માટે:
$\Delta E_1 = 2E - E = E = \frac{hc}{\lambda} \implies E = \frac{hc}{\lambda}$ (સમીકરણ $1$)
$\frac{4E}{3}$ થી $E$ ના સંક્રમણ માટે:
$\Delta E_2 = \frac{4E}{3} - E = \frac{E}{3} = \frac{hc}{\lambda'}$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ માંથી $E$ ની કિંમત સમીકરણ $2$ માં મૂકતા:
$\frac{1}{3} \left( \frac{hc}{\lambda} \right) = \frac{hc}{\lambda'}$
$\frac{1}{3\lambda} = \frac{1}{\lambda'} \implies \lambda' = 3\lambda$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(D) સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વાદળી પ્રકાશની તરંગલંબાઇ લાલ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ કરતા ઓછી હોવાથી $(\lambda_{\text{blue}} < \lambda_{\text{red}})$,વાદળી રેખા માટેના ફોટોનની ઉર્જા લાલ રેખા માટેના ફોટોનની ઉર્જા કરતા વધારે હોવી જોઈએ $(E_{\text{blue}} > E_{\text{red}})$.
આપેલ છે કે $Q$ થી $S$ નું સંક્રમણ લાલ રેખાને અનુરૂપ છે,તેથી આપણે $E_{Q \to S}$ કરતા વધારે ઉર્જા તફાવત ધરાવતું સંક્રમણ જોઈએ.
ઉર્જા સ્તરની આકૃતિ જોતા,$R$ થી $G$ નું સંક્રમણ $Q$ થી $S$ ની સરખામણીમાં મોટો ઉર્જા તફાવત ધરાવે છે.
તેથી,$R$ થી $G$ નું સંક્રમણ ઉચ્ચ ઉર્જા ધરાવતો ફોટોન ઉત્સર્જિત કરશે,જે વાદળી રેખાને અનુરૂપ છે.
આમ,વિકલ્પ $(d)$ સાચો છે.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$-મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જા $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \ eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા માટે,$n_1 = 2$.
ત્રીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા માટે,$n_2 = 4$.
ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઊર્જા ઊર્જાના તફાવત દ્વારા મળે છે: $\Delta E = E_{n_2} - E_{n_1} = 13.6 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) \ eV$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = 13.6 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = 13.6 \left( \frac{4-1}{16} \right) = 13.6 \times \frac{3}{16} = 2.55 \ eV$.

(C) શોષણ વર્ણપટમાં,પરમાણુઓ ધરાસ્થિતિમાંથી ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તરોમાં સંક્રમણ કરવા માટે ફોટોનનું શોષણ કરે છે.
આપેલ આકૃતિમાં,ધરાસ્થિતિને સ્તર $X$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવી છે.
તેથી,માત્ર સ્તર $X$ થી શરૂ થતા સંક્રમણો જ શોષણ વર્ણપટમાં દેખાશે.
આકૃતિ જોતા,સ્તર $X$ માંથી ઉદ્ભવતા સંક્રમણો રેખાઓ $1, 2$ અને $3$ છે.
આમ,રેખાઓ $1, 2$ અને $3$ શોષણ વર્ણપટમાં જોવા મળશે.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,$r$ ત્રિજ્યાની કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ ઊર્જા $(K.E.)$ અને સ્થિતિ ઊર્જા $(P.E.)$ નીચે મુજબ છે:
$K.E. = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{e^2}{2r}$
$P.E. = -\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{e^2}{r}$
જ્યારે હાઇડ્રોજન પરમાણુને ધરા સ્થિતિમાંથી ઉત્તેજિત સ્થિતિમાં લઈ જવામાં આવે છે,ત્યારે મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ વધે છે,જેના કારણે કક્ષાની ત્રિજ્યા $r$ વધે છે $(r \propto n^2)$.
$K.E. \propto \frac{1}{r}$ હોવાથી,જેમ $r$ વધે છે,તેમ $K.E.$ ઘટે છે.
$P.E. \propto -\frac{1}{r}$ હોવાથી,જેમ $r$ વધે છે,તેમ $P.E.$ નું મૂલ્ય વધે છે (તે ઓછું ઋણ બને છે).
તેથી,$P.E.$ વધે છે અને $K.E.$ ઘટે છે.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુના બોહર મોડેલ મુજબ,$n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \, eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સૌથી નીચી કક્ષા માટે,$n = 1$ છે.
સૂત્રમાં $n = 1$ મૂકતા,આપણને $E_1 = -\frac{13.6}{1^2} = -13.6 \, eV$ મળે છે.
કારણ કે $-13.6 \, eV$ એ હાઇડ્રોજન પરમાણુના ઉર્જા સ્તરો માટે શક્ય સૌથી વધુ ઋણ મૂલ્ય છે,તે ન્યૂનતમ ઉર્જા અવસ્થા (ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ) દર્શાવે છે.

(D) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \, eV$ છે.
$n = 3$ અવસ્થા માટે,ઉર્જા $E_3 = -\frac{13.6}{3^2} = -\frac{13.6}{9} \, eV$ થાય.
$E_3 = -1.51 \, eV$.
પરમાણુને આયનીકૃત કરવા માટે,આપણે ઇલેક્ટ્રોનને $n = \infty$ અવસ્થામાં લાવવા માટે પૂરતી ઉર્જા આપવી પડે,જ્યાં ઉર્જા $0 \, eV$ હોય છે.
જરૂરી આયનીકરણ ઉર્જા $\Delta E = E_{\infty} - E_3 = 0 - (-1.51) = 1.51 \, eV$ છે.

(B) ઉત્સર્જિત ફોટોનની આવૃત્તિ $\nu = \frac{\Delta E}{h}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta E$ એ બે સ્તરો વચ્ચેનો ઉર્જા તફાવત છે. $\nu \propto \Delta E$ હોવાથી,સૌથી ઓછી આવૃત્તિ સૌથી ઓછા ઉર્જા તફાવત ધરાવતા સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
ઉર્જા સ્તરના આકૃતિ પરથી:
$n = 2$ થી $n = 1$ માટે: $\Delta E = -3.4 - (-13.6) = 10.2 \, eV$
$n = 4$ થી $n = 3$ માટે: $\Delta E = -0.85 - (-1.51) = 0.66 \, eV$
$n = 3$ થી $n = 1$ માટે: $\Delta E = -1.51 - (-13.6) = 12.09 \, eV$
$n = 4$ થી $n = 2$ માટે: $\Delta E = -0.85 - (-3.4) = 2.55 \, eV$
સંક્રમણ $n = 4$ થી $n = 3$ માં સૌથી ઓછો ઉર્જા તફાવત $(0.66 \, eV)$ છે,અને તેથી તે સૌથી ઓછી આવૃત્તિનો ફોટોન ઉત્સર્જિત કરે છે. આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n_i$ થી $n_f$ સંક્રમણ માટે ઉર્જાનો ફેરફાર $\Delta E = E_{n_i} - E_{n_f} = 13.6 \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right) \text{ eV}$ છે.
દરેક વિકલ્પ માટે ઉર્જાના ફેરફારની ગણતરી:
$(A)$ $n = 2$ થી $n = 1$: $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = 13.6 \times (1 - 0.25) = 10.2 \text{ eV}$.
$(B)$ $n = 3$ થી $n = 1$: $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} \right) = 13.6 \times (1 - 0.111) = 12.09 \text{ eV}$.
$(C)$ $n = 4$ થી $n = 2$: $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = 13.6 \times (0.25 - 0.0625) = 2.55 \text{ eV}$.
$(D)$ $n = 3$ થી $n = 2$: $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = 13.6 \times (0.25 - 0.111) = 1.89 \text{ eV}$.
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,$n = 3$ થી $n = 1$ ના સંક્રમણમાં $12.09 \text{ eV}$ નો મહત્તમ ઉર્જા ફેરફાર થાય છે. તેથી,વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.

(D) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$-મી કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \; eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n=1)$ માટે,ઉર્જા $E_1 = -13.6 \; eV$ છે.
પરમાણુને પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n=2)$ માં ઉત્તેજિત કરવા માટે,ઉર્જા $E_2 = -\frac{13.6}{2^2} = -3.4 \; eV$ છે.
ઉત્તેજન માટે જરૂરી લઘુત્તમ ઉર્જા $\Delta E = E_2 - E_1 = -3.4 - (-13.6) = 10.2 \; eV$ છે.

(D) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર: $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \, eV$ છે.
$3^{rd}$ કક્ષા $(n=3)$ માટે: $E_3 = -\frac{13.6}{3^2} = -\frac{13.6}{9} \approx -1.51 \, eV$.
$4^{th}$ કક્ષા $(n=4)$ માટે: $E_4 = -\frac{13.6}{4^2} = -\frac{13.6}{16} = -0.85 \, eV$.
$4^{th}$ અને $3^{rd}$ કક્ષા વચ્ચેના સંક્રમણ માટે ઉર્જાનો તફાવત: $\Delta E = E_4 - E_3 = -0.85 - (-1.51) = 0.66 \, eV$ થાય.

(D) ઉર્જા સ્તર $n_i$ અને $n_f$ વચ્ચેના સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right) \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n = 4$ થી $n = 2$ ના સંક્રમણ માટે,ઉત્સર્જિત ઉર્જા વાદળી પ્રકાશને અનુરૂપ છે.
$n = 5$ થી $n = 2$ ના સંક્રમણ માટે,ઉર્જાનો તફાવત $\Delta E_{5 \to 2} = 13.6 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{5^2} \right) = 13.6 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{25} \right) = 13.6 \left( \frac{21}{100} \right) = 2.856 \text{ eV}$ છે.
$n = 4$ થી $n = 2$ ના સંક્રમણ માટે,ઉર્જાનો તફાવત $\Delta E_{4 \to 2} = 13.6 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = 13.6 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = 13.6 \left( \frac{3}{16} \right) = 2.55 \text{ eV}$ છે.
ચૂકી $\Delta E_{5 \to 2} > \Delta E_{4 \to 2}$ હોવાથી,ઉત્સર્જિત પ્રકાશની આવૃત્તિ વધારે હશે અને તરંગલંબાઇ ટૂંકી હશે.
દ્રશ્યમાન વર્ણપટમાં,જાંબલી પ્રકાશની આવૃત્તિ વાદળી પ્રકાશ કરતા વધારે અને તરંગલંબાઇ ટૂંકી હોય છે. તેથી,પરમાણુ જાંબલી પ્રકાશનું ઉત્સર્જન કરશે.

(D) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જા નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $E_n = \frac{-13.6 \ eV}{n^2}$.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા માટે,ક્વોન્ટમ નંબર $n = 2$ છે.
સૂત્રમાં $n = 2$ મૂકતા:
$E_2 = \frac{-13.6 \ eV}{2^2} = \frac{-13.6 \ eV}{4} = -3.4 \ eV$.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોન માટે,કુલ ઊર્જા $(E)$,ગતિઊર્જા $(K)$ અને સ્થિતિઊર્જા $(U)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$E = -K$
$U = 2E = -2K$
અહીં આપેલ છે કે પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઊર્જા $E = -3.4 \ eV$ છે.
તેથી,ગતિઊર્જા $K = -E = -(-3.4 \ eV) = +3.4 \ eV$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$-મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \, eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n = 1)$ માટે,$E_1 = -13.6 \, eV$.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n = 2)$ માટે,$E_2 = -\frac{13.6}{2^2} = -3.4 \, eV$.
ઇલેક્ટ્રોનને $n = 1$ થી $n = 2$ માં ઉત્તેજિત કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા $\Delta E = E_2 - E_1 = -3.4 \, eV - (-13.6 \, eV) = 10.2 \, eV$ છે.
આ ઉર્જાને જૂલમાં ફેરવવા માટે,આપણે તેને $1.6 \times 10^{-19} \, J/eV$ ના રૂપાંતરણ પરિબળ વડે ગુણીએ છીએ:
$\Delta E = 10.2 \times 1.6 \times 10^{-19} \, J = 16.32 \times 10^{-19} \, J = 1.632 \times 10^{-18} \, J$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) પરમાણુઓના ઉત્સર્જન અથવા શોષણ વર્ણપટમાં અલગ-અલગ વર્ણપટ રેખાઓનું અસ્તિત્વ એ ઇલેક્ટ્રોન ઉર્જા સ્તરોના ક્વોન્ટાઈઝેશન માટે સીધો પુરાવો પૂરો પાડે છે. બોહરના મોડેલ મુજબ,જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન બે ઉર્જા સ્તરો $E_2$ અને $E_1$ વચ્ચે સંક્રમણ કરે છે,ત્યારે તે $h\nu = E_2 - E_1$ ઉર્જા ધરાવતો ફોટોન ઉત્સર્જિત અથવા શોષિત કરે છે. માત્ર ચોક્કસ ઉર્જા સ્તરો જ માન્ય હોવાથી,પ્રકાશની માત્ર ચોક્કસ આવૃત્તિઓ જ જોવા મળે છે,જેના પરિણામે સ્પષ્ટ વર્ણપટ રેખાઓ મળે છે.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$-મી કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઊર્જા નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$.
અહીં $n$ (મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક) હંમેશા ધન પૂર્ણાંક $(n = 1, 2, 3, ...)$ હોવાથી,પદ $\frac{13.6}{n^2}$ હંમેશા ધન રહે છે.
તેથી,કુલ ઊર્જા $E_n$ હંમેશા ઋણ હોય છે,જે દર્શાવે છે કે ઇલેક્ટ્રોન ન્યુક્લિયસ સાથે બંધાયેલો છે.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$-મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જા $E_n = -\frac{13.6 \text{ eV}}{n^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n=2$ અને $n=3$ વચ્ચેનો ઊર્જા તફાવત $E = E_3 - E_2$ તરીકે આપેલ છે.
$E = -\frac{13.6}{3^2} - \left( -\frac{13.6}{2^2} \right) = 13.6 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = 13.6 \left( \frac{5}{36} \right)$.
આમ,$13.6 = E \times \frac{36}{5} = 7.2 E$.
હાઇડ્રોજન પરમાણુની આયનીકરણ ઊર્જા એ ઇલેક્ટ્રોનને $n=1$ થી $n=\infty$ સુધી લઈ જવા માટે જરૂરી ઊર્જા છે,જે $E_{\infty} - E_1 = 0 - (-13.6) = 13.6 \text{ eV}$ છે.
તેથી,આયનીકરણ ઊર્જા $7.2 E$ છે.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,કુલ ઊર્જા $E_n$,સ્થિતિ ઊર્જા $U_n$,અને ગતિ ઊર્જા $K_n$ નીચે મુજબ છે:
$E_n = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$
$U_n = 2E_n = -27.2 \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$
$K_n = |E_n| = 13.6 \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n > 1)$ માંથી ધરા અવસ્થા $(n = 1)$ માં સંક્રમણ કરે છે,ત્યારે $n$ નું મૂલ્ય ઘટે છે.
જેમ $n$ ઘટે છે,તેમ $K_n$ વધે છે કારણ કે તે $1/n^2$ ના પ્રમાણમાં છે.
ચૂક કે $E_n$ અને $U_n$ ઋણ છે અને જેમ $n$ ઘટે છે તેમ તેમના મૂલ્યો વધુ ઋણ બને છે,જેનો અર્થ છે કે તેઓ ઘટે છે.
તેથી,ગતિ ઊર્જા વધે છે,જ્યારે સ્થિતિ ઊર્જા અને કુલ ઊર્જા ઘટે છે.

(D) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જા નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E_n = \frac{-13.6}{n^2} \, eV$
અહીં ક્વોન્ટમ નંબર $n = 5$ આપેલ છે,તેથી આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$E_5 = \frac{-13.6}{5^2} \, eV$
$E_5 = \frac{-13.6}{25} \, eV$
$E_5 = -0.544 \, eV$
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $E_5 = -0.54 \, eV$ મળે છે.

(D) ઉર્જા સ્તરો $n_i$ અને $n_f$ વચ્ચેના સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right) \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આવૃત્તિ $\nu$ એ ઉર્જા સાથે $\nu = \frac{\Delta E}{h}$ દ્વારા સંબંધિત છે.
આપેલ સંક્રમણો માટે ઉર્જાનો તફાવત ગણતા:
$(a)$ $3 \rightarrow 2$: $\Delta E \propto \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = \frac{5}{36} \approx 0.138$
$(b)$ $4 \rightarrow 3$: $\Delta E \propto \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right) = \frac{7}{144} \approx 0.048$
$(c)$ $4 \rightarrow 2$: $\Delta E \propto \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = \frac{3}{16} = 0.1875$
$(d)$ $3 \rightarrow 1$: $\Delta E \propto \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{9} \right) = \frac{8}{9} \approx 0.888$
જેમ કે સંક્રમણ $3 \rightarrow 1$ સૌથી મોટો ઉર્જા તફાવત ધરાવે છે,તેથી તે સૌથી વધુ આવૃત્તિ ધરાવે છે.

(C) ઉત્સર્જિત વિકિરણની આવૃત્તિ $\nu$ માટેનું સૂત્ર: $\nu = RC \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$
અહીં,$R = 10^7 \ m^{-1}$,$C = 3 \times 10^8 \ m/s$,$n_1 = 4$,અને $n_2 = 5$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\nu = (10^7) \times (3 \times 10^8) \left[ \frac{1}{4^2} - \frac{1}{5^2} \right]$
$\nu = 3 \times 10^{15} \left[ \frac{1}{16} - \frac{1}{25} \right]$
$\nu = 3 \times 10^{15} \left[ \frac{25 - 16}{400} \right]$
$\nu = 3 \times 10^{15} \left[ \frac{9}{400} \right]$
$\nu = \frac{27}{400} \times 10^{15} = 0.0675 \times 10^{15} \ Hz = 6.75 \times 10^{13} \ Hz$.

(D) જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન ઉત્તેજિત અવસ્થા $n$ માંથી નીચી ઉર્જા અવસ્થાઓમાં સંક્રમણ કરે છે ત્યારે શક્ય ઉત્સર્જન રેખાઓની સંખ્યા નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$N = \frac{n(n - 1)}{2}$
અહીં,સૌથી ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તર $n = 4$ છે.
સૂત્રમાં $n = 4$ મૂકતા:
$N = \frac{4(4 - 1)}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = \frac{12}{2} = 6$
આમ,$6$ શક્ય ઉત્સર્જન રેખાઓ છે જે નીચે મુજબના સંક્રમણોને અનુરૂપ છે: $4 \to 3, 4 \to 2, 4 \to 1, 3 \to 2, 3 \to 1,$ અને $2 \to 1$.

(C) $n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = - \frac{13.6}{n^2} \ eV$ છે.
પ્રથમ કક્ષા $(n = 1)$ માટે:
$E_1 = - \frac{13.6}{1^2} = - 13.6 \ eV$.
ત્રીજી કક્ષા $(n = 3)$ માટે:
$E_3 = - \frac{13.6}{3^2} = - \frac{13.6}{9} = - 1.51 \ eV$.
ઇલેક્ટ્રોનને પ્રથમ કક્ષામાંથી ત્રીજી કક્ષામાં લઈ જવા માટે જરૂરી ઉર્જા $\Delta E = E_3 - E_1$ છે.
$\Delta E = - 1.51 - (- 13.6) = - 1.51 + 13.6 = 12.09 \ eV$.

(D) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \ eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન પ્રારંભિક કક્ષા $n_1 = 2$ થી અંતિમ કક્ષા $n_2 = 1$ માં કૂદકો મારે છે,ત્યારે ઉત્સર્જિત ઉર્જા ઉર્જા સ્તરોના તફાવત જેટલી હોય છે:
$\Delta E = E_{n_1} - E_{n_2} = -13.6 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ (ઉત્સર્જિત ઉર્જા માટે,આપણે ફેરફારનું મૂલ્ય લઈએ છીએ).
$\Delta E = -13.6 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{1^2} \right) \ eV$
$\Delta E = -13.6 \left( \frac{1}{4} - 1 \right) \ eV$
$\Delta E = -13.6 \left( -\frac{3}{4} \right) \ eV$
$\Delta E = 10.2 \ eV$.
પ્રશ્નમાં ઉત્સર્જિત ઉર્જા પૂછવામાં આવી હોવાથી,સાચો જવાબ $10.2 \ eV$ છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ આ પરિણામ સાથે મેળ ખાતું નથી.

(D) સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $\Delta E = E_i - E_f = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેથી $\lambda = \frac{hc}{\Delta E}$,તરંગલંબાઇ $\lambda$ એ સંક્રમણના ઉર્જા તફાવત $\Delta E$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તરથી નીચા ઉર્જા સ્તરમાં જાય ત્યારે ઉત્સર્જન થાય છે.
આપેલા સંક્રમણોની સરખામણી કરતા:
$(A)$ $n = 2$ થી $n = 1$: મોટો ઉર્જા તફાવત.
$(B)$ $n = 1$ થી $n = 2$: શોષણ (absorption),ઉત્સર્જન નહીં.
$(C)$ $n = 2$ થી $n = 5$: શોષણ (absorption),ઉત્સર્જન નહીં.
$(D)$ $n = 5$ થી $n = 2$: $n = 2$ થી $n = 1$ ની સરખામણીમાં નાનો ઉર્જા તફાવત.
$n = 5 \to 2$ માટે $\Delta E$ એ $n = 2 \to 1$ માટેના $\Delta E$ કરતા ઓછું હોવાથી,$n = 5 \to 2$ સંક્રમણ માટે તરંગલંબાઇ $\lambda$ વધુ હશે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે ક્રમિક સ્તરો $n$ અને $n+1$ વચ્ચેનો ઉર્જા તફાવત $\Delta E = E_{n+1} - E_n = -13.6 \left( \frac{1}{(n+1)^2} - \frac{1}{n^2} \right) = 13.6 \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2} \right) = 13.6 \left( \frac{(n+1)^2 - n^2}{n^2(n+1)^2} \right) = 13.6 \left( \frac{2n+1}{n^2(n+1)^2} \right)$ છે.
જેમ જેમ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ વધે છે,તેમ છેદ $n^2(n+1)^2$ એ અંશ $(2n+1)$ કરતા વધુ ઝડપથી વધે છે.
તેથી,જેમ $n$ વધે છે તેમ ઉર્જા તફાવત $\Delta E$ ઘટે છે.
આપેલ આકૃતિ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે જેમ આપણે ઉચ્ચ ઉર્જા અવસ્થાઓ તરફ જઈએ છીએ તેમ ઉર્જાનો તફાવત ઘટે છે: $E_1 > E_2 > E_3$.

(B) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર $E_n = -\frac{13.6 \ Z^2}{n^2} \ eV$ છે.
$Li^{++}$ (લિથિયમ આયન) માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 3$ છે.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $n = 2$ ને અનુરૂપ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા,પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_2 = -\frac{13.6 \times 3^2}{2^2} = -\frac{13.6 \times 9}{4} = -30.6 \ eV$ મળે છે.
બંધન ઉર્જા (ઇલેક્ટ્રોનને દૂર કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા) એ આ ઉર્જાનું મૂલ્ય છે,જે $30.6 \ eV$ છે.

(D) $n$-મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જા $E_n = \frac{-13.6}{n^2} \; eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n = 3$ માટે,$E_3 = \frac{-13.6}{3^2} = \frac{-13.6}{9} \approx -1.51 \; eV$.
$n = 2$ માટે,$E_2 = \frac{-13.6}{2^2} = \frac{-13.6}{4} = -3.4 \; eV$.
ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઊર્જા એ બે અવસ્થાઓ વચ્ચેના ઊર્જાના તફાવત જેટલી હોય છે:
$\Delta E = E_3 - E_2 = -1.51 - (-3.4) = -1.51 + 3.4 = 1.89 \; eV$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,ઊર્જા આશરે $1.9 \; eV$ મળે છે.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઊર્જા નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $E = 13.6 \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right] eV$.
બામર શ્રેણી માટે,સંક્રમણ $n_1 = 2$ ઊર્જા સ્તર પર સમાપ્ત થાય છે.
સૌથી વધુ ઊર્જા ધરાવતો ફોટોન શક્ય તેવા સૌથી ઊંચા ઊર્જા સ્તર એટલે કે $n_2 = \infty$ થી થતા સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$E = 13.6 \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right] eV$
$E = 13.6 \left[ \frac{1}{4} - 0 \right] eV$
$E = \frac{13.6}{4} eV = 3.4 eV$.
તેથી,બામર શ્રેણીના સૌથી વધુ ઊર્જા ધરાવતા ફોટોનની ઊર્જા $3.4 eV$ છે.

(A) બોહરના અભિધારણાઓ મુજબ,$m$ દળ અને $v$ વેગ ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોન માટે $r$ ત્રિજ્યાની કક્ષામાં ફરવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ,ન્યુક્લિયસ (વીજભાર $+e$) અને ઇલેક્ટ્રોન (વીજભાર $-e$) વચ્ચેના સ્થિત-વિદ્યુત આકર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે:
$\frac{mv^2}{r} = \frac{ke^2}{r^2} \implies mv^2 = \frac{ke^2}{r} \quad (1)$
બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત મુજબ,કોણીય વેગમાન ક્વોન્ટાઇઝ્ડ હોય છે:
$mvr = \frac{nh}{2\pi} \implies v = \frac{nh}{2\pi mr} \quad (2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$m\left(\frac{nh}{2\pi mr}\right)^2 = \frac{ke^2}{r} \implies \frac{n^2h^2}{4\pi^2mr^2} = \frac{ke^2}{r} \implies r = \frac{n^2h^2}{4\pi^2kme^2}$
ગતિ ઉર્જા $E_K$ છે:
$E_K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}\left(\frac{ke^2}{r}\right) = \frac{ke^2}{2} \left(\frac{4\pi^2kme^2}{n^2h^2}\right) = \frac{2\pi^2k^2me^4}{n^2h^2}$
સ્થિતિ ઉર્જા $E_p$ છે:
$E_p = -\frac{ke^2}{r} = -ke^2 \left(\frac{4\pi^2kme^2}{n^2h^2}\right) = -\frac{4\pi^2k^2me^4}{n^2h^2}$
કુલ ઉર્જા $E$ એ ગતિ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જાનો સરવાળો છે:
$E = E_K + E_p = \frac{2\pi^2k^2me^4}{n^2h^2} - \frac{4\pi^2k^2me^4}{n^2h^2} = -\frac{2\pi^2k^2me^4}{n^2h^2}$

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,કુલ ઊર્જા $(E)$,ગતિ ઊર્જા $(K)$,અને સ્થિતિ ઊર્જા $(U)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$E = -K$
$U = 2E$
આપેલ છે કે ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ ઊર્જા $E = -13.6 \, eV$ છે.
તેથી,સ્થિતિ ઊર્જા $U = 2 \times (-13.6 \, eV) = -27.2 \, eV$ થાય.

(D) ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $\Delta E = E_{initial} - E_{final}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તરથી નીચા ઉર્જા સ્તરમાં સંક્રમણ કરે છે ત્યારે ઉત્સર્જન થાય છે.
સંક્રમણ $II$ અને $IV$ ઉત્સર્જન દર્શાવે છે.
સંક્રમણ $II$ એ $n=4$ થી $n=3$ સુધીનું છે,અને સંક્રમણ $IV$ એ $n=4$ થી $n=2$ સુધીનું છે.
ઉર્જાનો તફાવત $\Delta E$ એ ઉર્જા સ્તરો વચ્ચેના તફાવત (ગેપ) ના પ્રમાણમાં હોય છે.
$n=4$ અને $n=2$ વચ્ચેનો ગેપ $n=4$ અને $n=3$ વચ્ચેના ગેપ કરતા મોટો હોવાથી,સંક્રમણ $IV$ એ સંક્રમણ $II$ કરતા વધુ ઉર્જા મુક્ત કરે છે.
તેથી,સંક્રમણ $IV$ સૌથી વધુ ઉર્જા ધરાવતા ફોટોનનું ઉત્સર્જન દર્શાવે છે.

(A) વાયુના ગતિવાદ મુજબ,$T$ તાપમાને વાયુના અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા $E = \frac{3}{2} kT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $(k = 1.38 \times 10^{-23} \, J/K)$ છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુને પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થામાં ઉત્તેજિત કરવા માટે,અથડાતા કણોની ગતિઊર્જા ઓછામાં ઓછી $10.2 \, eV$ હોવી જોઈએ.
ઊર્જાને જૂલમાં રૂપાંતરિત કરતા: $E = 10.2 \times 1.6 \times 10^{-19} \, J = 1.632 \times 10^{-18} \, J$.
ઊર્જાને સરખાવતા: $1.632 \times 10^{-18} = \frac{3}{2} \times (1.38 \times 10^{-23}) \times T$.
$T$ માટે ઉકેલતા: $T = \frac{1.632 \times 10^{-18} \times 2}{3 \times 1.38 \times 10^{-23}} \approx 7.88 \times 10^4 \, K$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$T \approx 7.9 \times 10^4 \, K$ મળે છે.

(C) હાઈડ્રોજન પરમાણુને પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થામાં ઉત્તેજિત કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા $\Delta E = 10.2 \ eV$ છે.
તાપમાન $T$ શોધવા માટે,આપણે વાયુના પરમાણુઓની સરેરાશ ગતિ ઉર્જાને ઉત્તેજન ઉર્જા સાથે સરખાવીએ છીએ: $\frac{3}{2} kT = \Delta E$.
અહીં,$k = 1.38 \times 10^{-23} \ J/K$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $\Delta E = 10.2 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $T = \frac{2 \Delta E}{3k} = \frac{2 \times 10.2 \times 1.6 \times 10^{-19}}{3 \times 1.38 \times 10^{-23}}$.
$T = \frac{32.64 \times 10^{-19}}{4.14 \times 10^{-23}} \approx 7.88 \times 10^4 \ K$.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોન માટે,સ્થિતિ-ઊર્જા $U$ એ $U = -\frac{ke^2}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $U \propto -\frac{1}{r}$.
ગતિ-ઊર્જા $K$ એ $K = \frac{ke^2}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $K \propto \frac{1}{r}$.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન ધરા સ્થિતિમાંથી ઉત્તેજિત અવસ્થામાં જાય છે,ત્યારે મુખ્ય ક્વાન્ટમ આંક $n$ વધે છે,જેનો અર્થ છે કે કક્ષીય ત્રિજ્યા $r$ વધે છે.
જેમ $r$ વધે છે,તેમ ગતિ-ઊર્જા $K$ ઘટે છે.
સ્થિતિ-ઊર્જા $U$ ઋણ છે અને $-1/r$ ના પ્રમાણમાં છે,તેથી જેમ $r$ વધે છે,તેમ $U$ નું મૂલ્ય શૂન્યની નજીક જાય છે (એટલે કે તે વધે છે).
તેથી,સ્થિતિ-ઊર્જા વધે છે અને ગતિ-ઊર્જા ઘટે છે.

(A) હાઈડ્રોજન પરમાણુની $n$-મી કક્ષામાં ઈલેક્ટ્રોનની ઊર્જાનું સૂત્ર: $E_n = -\frac{13.6 \ eV}{n^2}$ છે.
ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ માટે,$n = 1$,તેથી ઊર્જા $E_1 = -13.6 \ eV$ થાય.
પરમાણુમાંથી ઈલેક્ટ્રોનને દૂર કરવા (આયનીકરણ) માટે,આપણે તેને એવી સ્થિતિમાં લાવવા માટે પૂરતી ઊર્જા આપવી પડે જ્યાં $n = \infty$ હોય,જ્યાં ઊર્જા $E_{\infty} = 0 \ eV$ છે.
જરૂરી ઊર્જા $\Delta E = E_{\infty} - E_1 = 0 - (-13.6 \ eV) = 13.6 \ eV$ છે.

(A) હાઈડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં ઈલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -\frac{13.6 \text{ eV}}{n^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે ઈલેક્ટ્રોન $(n+1)$ થી $n$ માં સંક્રાંતિ કરે છે,ત્યારે ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $\Delta E = E_{n+1} - E_n = 13.6 \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2} \right) \text{ eV}$ થાય છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\Delta E = 13.6 \left( \frac{(n+1)^2 - n^2}{n^2(n+1)^2} \right) = 13.6 \left( \frac{2n+1}{n^2(n+1)^2} \right)$ મળે છે.
મોટા $n$ માટે,$2n+1 \approx 2n$ અને $n^2(n+1)^2 \approx n^4$ થાય.
તેથી,$\Delta E \approx 13.6 \left( \frac{2n}{n^4} \right) = \frac{27.2}{n^3}$.
ફોટોનની ઉર્જા અને તરંગલંબાઈ વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$ હોવાથી,$\lambda = \frac{hc}{\Delta E}$ મળે.
$\Delta E \propto \frac{1}{n^3}$ મૂકતા,આપણને $\lambda \propto n^3$ મળે છે.

(C) ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $E = h\nu$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $\nu$ એ આવૃત્તિ છે.
કારણ કે $\nu = E/h$,સૌથી વધુ આવૃત્તિ એ સૌથી વધુ ઉર્જા તફાવત $\Delta E$ ધરાવતી સંક્રાંતિને અનુરૂપ છે.
હાઈડ્રોજન પરમાણુ માટે,$n$ સ્તરની ઉર્જા $E_n = -13.6/n^2 \ eV$ છે.
શોષણ કરતી સંક્રાંતિઓ (જેમ કે $n=1$ થી $n=2$ અથવા $n=2$ થી $n=6$) ફોટોનનું ઉત્સર્જન કરતી નથી.
ઉત્સર્જન સંક્રાંતિઓની સરખામણી:
$n=6$ થી $n=2$ માટે,$\Delta E = 13.6 \times (1/2^2 - 1/6^2) = 13.6 \times (1/4 - 1/36) = 13.6 \times (8/36) \approx 3.02 \ eV$.
$n=2$ થી $n=1$ માટે,$\Delta E = 13.6 \times (1/1^2 - 1/2^2) = 13.6 \times (1 - 1/4) = 13.6 \times (3/4) = 10.2 \ eV$.
$10.2 \ eV > 3.02 \ eV$ હોવાથી,$n=2$ થી $n=1$ ની સંક્રાંતિ સૌથી વધુ ઉર્જા મુક્ત કરે છે અને તેથી સૌથી વધુ આવૃત્તિના ફોટોનનું ઉત્સર્જન કરે છે.

(A) ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઊર્જા સંક્રાંતિમાં સામેલ બે સ્તરો વચ્ચેના ઊર્જાના તફાવત દ્વારા આપવામાં આવે છે: $E = E_{initial} - E_{final} = h\nu$.
ઉત્સર્જન થવા માટે,ઈલેક્ટ્રોને ઉચ્ચ ઊર્જા સ્તરથી નીચા ઊર્જા સ્તરમાં સંક્રાંતિ કરવી આવશ્યક છે.
સંક્રાંતિ $II$ અને $III$ એ ઉત્સર્જન સંક્રાંતિ છે (નીચે તરફના તીર).
સંક્રાંતિ $I$ એ શોષણ સંક્રાંતિ છે (ઉપર તરફનું તીર).
સંક્રાંતિ $IV$ પણ એક ઉત્સર્જન સંક્રાંતિ છે.
ઊર્જાના તફાવતોની સરખામણી કરતા:
સંક્રાંતિ $II$ એ $n=4$ થી $n=3$ સુધીની છે.
સંક્રાંતિ $III$ એ $n=2$ થી $n=1$ સુધીની છે.
સંક્રાંતિ $IV$ એ $n=4$ થી $n=2$ સુધીની છે.
ઊર્જાનો તફાવત સ્તરો વચ્ચેના ગાળાના પ્રમાણમાં હોય છે. $n=2$ અને $n=1$ વચ્ચેનો ગાળો એ $n=4$ અને $n=3$ અથવા $n=4$ અને $n=2$ વચ્ચેના ગાળા કરતા ઘણો મોટો છે.
તેથી,સંક્રાંતિ $III$ સૌથી મોટો ઊર્જા ફેરફાર દર્શાવે છે અને તેથી તે સૌથી વધુ ઊર્જા ધરાવતા ફોટોનનું ઉત્સર્જન કરશે.

(D) હાઈડ્રોજન પરમાણુમાં ઉત્સર્જિત ફોટોનની તરંગલંબાઈ $\lambda$ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$.
આનો અર્થ એ છે કે $\lambda$ એ સંક્રાતિના ઉર્જા તફાવત $\Delta E$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,જ્યાં $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right) \text{ eV}$.
ન્યૂનતમ તરંગલંબાઈ મેળવવા માટે,ઉર્જા તફાવત $\Delta E$ મહત્તમ હોવો જોઈએ.
સંક્રાતિઓની સરખામણી કરતા:
$(A)$ $\Delta E \propto (1/16 - 1/25) = 0.0225$
$(B)$ $\Delta E \propto (1/9 - 1/16) = 0.0486$
$(C)$ $\Delta E \propto (1/4 - 1/9) = 0.1389$
$(D)$ $\Delta E \propto (1/1 - 1/4) = 0.7500$
$n = 2$ થી $n = 1$ ની સંક્રાતિ સૌથી મોટો ઉર્જા ફેરફાર આપે છે,અને તેથી,તેની તરંગલંબાઈ ન્યૂનતમ હશે.