Bohr's Model of Hydrogen Atom Questions in Hindi

(A) हाइड्रोजन परमाणु में $n^{\text{वीं}}$ कक्षा की त्रिज्या का सूत्र $r_n = r_1 \times n^2$ है,जहाँ $r_1$ पहली कक्षा की त्रिज्या (बोर त्रिज्या) है।
दिया गया है कि $r_1 = 5.3 \times 10^{-11} \ m = 0.53 \ \mathring{A}$।
तीसरी कक्षा के लिए,$n = 3$ है।
अतः,$r_3 = r_1 \times (3)^2$।
$r_3 = 0.53 \ \mathring{A} \times 9 = 4.77 \ \mathring{A}$।

(B) बोर के मॉडल के अनुसार,किसी दिए गए परमाणु के लिए $n$ वीं कक्षा की त्रिज्या $r_n \propto n^2$ द्वारा दी जाती है (जहाँ $Z$ स्थिर है)।
यह दिया गया है कि तीसरी कक्षा $(n=3)$ की त्रिज्या $R$ है,इसलिए $r_3 = R$ है।
चौथी कक्षा $(n=4)$ की त्रिज्या $r_4$ है।
समानुपातिकता $r_n \propto n^2$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं:
$\frac{r_4}{r_3} = \frac{4^2}{3^2}$
$\frac{r_4}{R} = \frac{16}{9}$
अतः,$r_4 = \frac{16}{9} R$।

(B) कक्षा में घूमते हुए इलेक्ट्रॉन का चुंबकीय आघूर्ण $\mu = iA$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $i$ धारा है और $A$ कक्षा का क्षेत्रफल है।
$i = \frac{e}{T} = \frac{ev}{2\pi r}$,जहाँ $v$ वेग है और $r$ त्रिज्या है।
$A = \pi r^2$.
अतः,$\mu = \left(\frac{ev}{2\pi r}\right) \pi r^2 = \frac{evr}{2}$.
बोहर के सिद्धांत के अनुसार,$r \propto n^2$ और $v \propto \frac{1}{n}$.
इन संबंधों को प्रतिस्थापित करने पर: $\mu \propto \left(\frac{1}{n}\right) \cdot n^2 = n^1$.
$\mu \propto n^1$ की तुलना $\mu \propto n^x$ से करने पर,हमें $x = 1$ प्राप्त होता है।

(A) उत्सर्जित विकिरण की आवृत्ति $\nu = R c Z^2 \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$ द्वारा दी जाती है।
$n=2$ से $n=1$ संक्रमण के लिए:
$\nu_1 = K \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = K \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = K \left( \frac{3}{4} \right) = 3 \times 10^{15} \,Hz$.
$n=3$ से $n=1$ संक्रमण के लिए:
$\nu_2 = K \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} \right) = K \left( 1 - \frac{1}{9} \right) = K \left( \frac{8}{9} \right)$.
अनुपात लेने पर:
$\frac{\nu_2}{\nu_1} = \frac{K(8/9)}{K(3/4)} = \frac{8}{9} \times \frac{4}{3} = \frac{32}{27}$.
अतः, $\nu_2 = \frac{32}{27} \times 3 \times 10^{15} \,Hz = \frac{32}{9} \times 10^{15} \,Hz$.
इसकी तुलना $\frac{x}{9} \times 10^{15} \,Hz$ से करने पर, हमें $X = 32$ प्राप्त होता है।

(B) $n=3$ से $n=2$ संक्रमण के लिए ऊर्जा का अंतर $\Delta E = 13.6 \left(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}\right) = 1.9 \text{ eV}$ है।
उत्सर्जित फोटॉन की तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{hc}{\Delta E}$ है।
संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,परमाणु $v$ वेग के साथ रिकॉइल करता है,इसलिए $mv = \frac{h}{\lambda'}$,जहाँ $\lambda'$ रिकॉइल को ध्यान में रखते हुए उत्सर्जित फोटॉन की तरंगदैर्ध्य है।
ऊर्जा संतुलन समीकरण $\Delta E = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{hc}{\lambda'}$ है।
$v = \frac{h}{m\lambda'}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\Delta E = \frac{h^2}{2m\lambda'^2} + \frac{hc}{\lambda'}$ प्राप्त होता है।
$\lambda'$ के लिए हल करने पर,हमें $\lambda' \approx \lambda \left(1 + \frac{\Delta E}{2mc^2}\right)$ मिलता है।
तरंगदैर्ध्य में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{\lambda' - \lambda}{\lambda} = \frac{\Delta E}{2mc^2}$ है।
मान रखने पर: $\Delta E = 1.9 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J}$,$m = 1.67 \times 10^{-27} \text{ kg}$,$c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$.
$\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{1.9 \times 1.6 \times 10^{-19}}{2 \times 1.67 \times 10^{-27} \times (3 \times 10^8)^2} \approx 10^{-9}$.
चूंकि प्रश्न में प्रतिशत परिवर्तन पूछा गया है,$\% \text{ परिवर्तन} = \frac{\Delta \lambda}{\lambda} \times 100 \approx 10^{-9} \times 10^2 = 10^{-7}$.
अतः,$n = 7$ है।

(C) बोर के अभिधारणा के अनुसार,$n^{\text{th}}$ कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग (moment of momentum) निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$L = \frac{nh}{2\pi}$
यह दिया गया है कि इलेक्ट्रॉन $4^{\text{th}}$ कक्षा में है,इसलिए $n = 4$ है।
सूत्र में $n$ का मान रखने पर:
$L = \frac{4h}{2\pi}$
$L = \frac{2h}{\pi}$
अतः,कोणीय संवेग $\frac{2h}{\pi}$ है।

(D) स्थिर वैद्युत बल इलेक्ट्रॉन को वृत्ताकार कक्षा में घूमने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है:
$F = \frac{k(Ze)(e)}{r^2} = \frac{mv^2}{r}$
इससे,गतिज ऊर्जा $(KE)$:
$KE = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{kZe^2}{2r}$
स्थितिज ऊर्जा $(U)$ इस प्रकार है:
$U = -\frac{kZe^2}{r}$
कुल ऊर्जा $(E)$ गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग है:
$E = KE + U = \frac{kZe^2}{2r} - \frac{kZe^2}{r} = -\frac{kZe^2}{2r}$
$E$ और $U$ की तुलना करने पर:
$E = \frac{1}{2} \left( -\frac{kZe^2}{r} \right) = \frac{U}{2}$
अतः,$2E = U$.

(A) इलेक्ट्रॉन को नाभिक के चारों ओर घूमने के लिए आवश्यक अभिकेंद्री बल स्थिर-वैद्युत आकर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है: $F_{C} = F_{e}$।
अभिकेंद्री बल $F_{C} = \frac{mv^2}{r}$ और कूलम्ब के नियम $F_{e} = \frac{kZe^2}{r^2}$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है: $\frac{mv^2}{r} = \frac{kZe^2}{r^2}$।
दोनों पक्षों को $mr^2$ से गुणा करने पर,हमें मिलता है: $m^2v^2r^2 = mkZe^2r$।
चूंकि कोणीय संवेग $L = mvr$ है,हम लिख सकते हैं: $L^2 = mkZe^2r$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें प्राप्त होता है: $L = \sqrt{mkZe^2r}$।
चूंकि $m$,$k$,$Z$,और $e$ स्थिरांक हैं,इसलिए कोणीय संवेग त्रिज्या के वर्गमूल के समानुपाती होता है: $L \propto \sqrt{r}$।

(C) हाइड्रोजन परमाणु की $n^{\text{वीं}}$ कक्षा की त्रिज्या $r_n = a_0 n^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $a_0 = 0.529 \mathring{A}$ है।
दिया गया है $r_n = 8.48 \mathring{A}$,इसलिए $8.48 = 0.529 \times n^2$ है।
$n^2 = \frac{8.48}{0.529} \approx 16$ है।
अतः,$n = 4$ है।
$n^{\text{वीं}}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = \frac{E}{n^2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $E$ मूल अवस्था की ऊर्जा $(-13.6 \text{ eV})$ है।
$n = 4$ रखने पर,हमें $E_4 = \frac{E}{4^2} = \frac{E}{16}$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $E/x$ से करने पर,हमें $x = 16$ प्राप्त होता है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु को पहले उत्तेजित स्तर पर उत्तेजित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा उस वोल्टेज द्वारा दी जाती है जहाँ पहला डिप देखा जाता है, जो $E = 10.2 \, eV$ है।
उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा उसकी तरंगदैर्ध्य $\lambda$ से $E = \frac{hc}{\lambda}$ समीकरण द्वारा संबंधित है।
दिए गए मानों को रखने पर: $10.2 \, eV = \frac{1245 \, eV \cdot nm}{\lambda}$.
$\lambda$ के लिए हल करने पर: $\lambda = \frac{1245}{10.2} \, nm \approx 122.06 \, nm$.
निकटतम पूर्णांक में, तरंगदैर्ध्य $122 \, nm$ है।

(C) भाग $1$: $n=2$ अवस्था में $H$ परमाणु की ऊर्जा $E_H = -13.6 \times (1^2/2^2) = -3.4 \ eV$ है। मूल अवस्था $-13.6 \ eV$ है। उत्तेजना ऊर्जा $\Delta E_H = -3.4 - (-13.6) = 10.2 \ eV$ है। $n=2$ अवस्था में $He^{+}$ की ऊर्जा $E_{He^+} = -13.6 \times (2^2/2^2) = -13.6 \ eV$ है। मूल अवस्था $-54.4 \ eV$ है। स्थानांतरण के बाद $He^{+}$ की कुल ऊर्जा = $-13.6 + 10.2 = -3.4 \ eV$ है। चूंकि $E_n = -13.6 \times (Z^2/n^2) = -13.6 \times (4/n^2)$,इसलिए $-3.4 = -54.4/n^2 \implies n^2 = 16 \implies n = 4$। सही विकल्प $(C)$ है।
भाग $2$: $He^{+}$ के लिए,दृश्य क्षेत्र $(n=2)$ में संक्रमण $n=4$ से $n=2$ होता है। $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 (\frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2}) = 1.097 \times 10^7 \times 4 \times (\frac{1}{4} - \frac{1}{16}) = 0.82275 \times 10^7 \ m^{-1}$। अतः $\lambda \approx 4.8 \times 10^{-7} \ m$। सही विकल्प $(C)$ है।
भाग $3$: $KE = |E| = 13.6 \frac{Z^2}{n^2}$। $H$ $(Z=1, n=2)$ के लिए,$KE_H = 13.6/4 = 3.4 \ eV$। $He^{+}$ $(Z=2, n=2)$ के लिए,$KE_{He^+} = 13.6 \times (4/4) = 13.6 \ eV$। अनुपात $3.4/13.6 = 1/4$ है। सही विकल्प $(A)$ है।

(D) हाइड्रोजन परमाणु की $1s$ कक्षक के लिए, त्रिज्यीय तरंग फलन $R(r) = 2(Z/a_0)^{3/2} e^{-Zr/a_0}$ द्वारा दिया जाता है।
त्रिज्यीय प्रायिकता वितरण फलन $P(r)$ को नाभिक से $r$ दूरी पर $dr$ मोटाई के गोलीय कोश में इलेक्ट्रॉन के पाए जाने की प्रायिकता के रूप में परिभाषित किया गया है।
$P(r) = 4\pi r^2 R^2(r) dr$.
$R(r)$ का व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है $P(r) = 4\pi r^2 [2(Z/a_0)^{3/2} e^{-Zr/a_0}]^2 dr = 16\pi (Z/a_0)^3 r^2 e^{-2Zr/a_0} dr$.
$r = 0$ पर, $r^2$ पद के कारण $P(r) = 0$ होता है।
जैसे-जैसे $r \to \infty$, घातांकीय क्षय पद $e^{-2Zr/a_0}$ के कारण $P(r) \to 0$ होता है।
फलन $P(r)$ शून्य से शुरू होता है, $r = a_0/Z$ पर अधिकतम मान तक बढ़ता है, और फिर शून्य की ओर घटता है।
यह आरेख $D$ में दिखाए गए आकार के अनुरूप है।

(B) एकल इलेक्ट्रॉन प्रणाली के लिए, $n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या $r_n = a_0 \times \frac{n^2}{Z}$ द्वारा दी जाती है।
$He^{+}$ के लिए $Z=2$ दिया गया है।
प्रारंभिक कक्षा के लिए, $r_2 = 105.8 \ pm$:
$105.8 = 52.9 \times \frac{n_2^2}{2} \implies n_2^2 = \frac{105.8 \times 2}{52.9} = 4 \implies n_2 = 2$.
अंतिम कक्षा के लिए, $r_1 = 26.45 \ pm$:
$26.45 = 52.9 \times \frac{n_1^2}{2} \implies n_1^2 = \frac{26.45 \times 2}{52.9} = 1 \implies n_1 = 1$.
अतः संक्रमण $n=2$ से $n=1$ में होता है।
उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E = R_H Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ है।
$\Delta E = 2.2 \times 10^{-18} \times (2)^2 \times \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = 2.2 \times 10^{-18} \times 4 \times \left( 1 - 0.25 \right) = 8.8 \times 10^{-18} \times 0.75 = 6.6 \times 10^{-18} \ J$.
$\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$ का उपयोग करने पर, $\lambda = \frac{hc}{\Delta E} = \frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{6.6 \times 10^{-18}} = 3 \times 10^{-8} \ m = 30 \ nm$.

(A) हाइड्रोजन-समान परमाणु में $n_2$ से $n_1$ संक्रमण के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E = 13.6 Z^2 \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right] \ eV$ द्वारा दी जाती है।
$n = 2$ से $n = 1$ संक्रमण के लिए:
$E_1 = 13.6 Z^2 \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right] = 13.6 Z^2 \left( \frac{3}{4} \right)$.
$n = 3$ से $n = 2$ संक्रमण के लिए:
$E_2 = 13.6 Z^2 \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right] = 13.6 Z^2 \left( \frac{5}{36} \right)$.
प्रश्न के अनुसार,$E_1 - E_2 = 74.8 \ eV$:
$13.6 Z^2 \left( \frac{3}{4} - \frac{5}{36} \right) = 74.8$.
कोष्ठक में पद की गणना करने पर:
$\frac{3}{4} - \frac{5}{36} = \frac{27 - 5}{36} = \frac{22}{36} = \frac{11}{18}$.
मान रखने पर:
$13.6 Z^2 \times \frac{11}{18} = 74.8$.
$Z^2 = \frac{74.8 \times 18}{13.6 \times 11} = 5.5 \times \frac{18}{11} = 9$.
$Z = 3$.

(A) अवशोषित फोटॉन की ऊर्जा $\frac{hc}{\lambda_{a}} = 13.6 \text{ eV} \times \left[\frac{1}{1^2} - \frac{1}{4^2}\right] = 13.6 \times \frac{15}{16} \text{ eV} \quad (i)$
उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\frac{hc}{\lambda_{e}} = 13.6 \text{ eV} \times \left[\frac{1}{m^2} - \frac{1}{4^2}\right] \quad (ii)$
दिया गया है $\frac{\lambda_{a}}{\lambda_{e}} = \frac{1}{5}$,इसलिए $(ii)$ को $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\lambda_{a}}{\lambda_{e}} = \frac{13.6 \times [1 - 1/16]}{13.6 \times [1/m^2 - 1/16]} = 5 \implies \frac{15/16}{1/m^2 - 1/16} = 5$
$\frac{15}{16} = 5 \times \left(\frac{1}{m^2} - \frac{1}{16}\right) \implies \frac{3}{16} = \frac{1}{m^2} - \frac{1}{16}$
$\frac{1}{m^2} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} \implies m = 2$. अतः,विकल्प $(3)$ सही है।
गतिज ऊर्जा के लिए,$K_n \propto \frac{1}{n^2}$. इसलिए,$\frac{K_{m=2}}{K_{n=1}} = \frac{1/2^2}{1/1^2} = \frac{1}{4}$. अतः,विकल्प $(2)$ सही है।
संवेग के लिए,$\Delta p = \frac{h}{\lambda}$. इसलिए,$\frac{\Delta p_{a}}{\Delta p_{e}} = \frac{\lambda_{e}}{\lambda_{a}} = 5$. अतः,विकल्प $(4)$ गलत है।

(B) स्थितिज ऊर्जा $V(r) = Fr$ है। अभिकेंद्री बल का परिमाण $F_c = |-\frac{dV}{dr}| = F$ है।
वृत्तीय गति के लिए,$F = \frac{mv^2}{R} \implies v^2 = \frac{FR}{m}$।
बोहर की क्वांटाइजेशन शर्त का उपयोग करते हुए,$mvr = \frac{nh}{2\pi} \implies v = \frac{nh}{2\pi mR}$।
बल समीकरण में $v$ का मान रखने पर: $F = \frac{m}{R} \left( \frac{n^2 h^2}{4 \pi^2 m^2 R^2} \right) = \frac{n^2 h^2}{4 \pi^2 m R^3}$।
अतः,$R^3 = \frac{n^2 h^2}{4 \pi^2 mF} \implies R \propto n^{2/3}$।
$v = \frac{nh}{2\pi mR}$ से,चूंकि $R \propto n^{2/3}$,हमें $v \propto \frac{n}{n^{2/3}} = n^{1/3}$ प्राप्त होता है। इसलिए,$(B)$ सही है।
कुल ऊर्जा $E = K.E. + P.E. = \frac{1}{2}mv^2 + FR$।
चूंकि $mv^2 = FR$,इसलिए $E = \frac{1}{2}FR + FR = \frac{3}{2}FR$।
$R = \left( \frac{n^2 h^2}{4 \pi^2 mF} \right)^{1/3}$ रखने पर,हमें $E = \frac{3}{2} F \left( \frac{n^2 h^2}{4 \pi^2 mF} \right)^{1/3} = \frac{3}{2} \left( \frac{n^2 h^2 F^2}{4 \pi^2 m} \right)^{1/3}$ प्राप्त होता है। इसलिए,$(C)$ सही है।

(D) $d = d_0$ पर, इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन प्रतिकर्षण और नाभिक-नाभिक प्रतिकर्षण अनुपस्थित हैं। स्थितिज ऊर्जा मुख्य रूप से प्रत्येक $H$ परमाणु में प्रोटॉन और इलेक्ट्रॉन के बीच आकर्षण के कारण है।
एक $H$ परमाणु के लिए स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$ इस प्रकार है:
$P.E. = \frac{-K q_1 q_2}{r} = \frac{-(9 \times 10^9) \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{0.529 \times 10^{-10}} \ J$
$P.E. = -4.355 \times 10^{-18} \ J$
इसे एक मोल $H$ परमाणुओं के लिए $kJ \ mol^{-1}$ में बदलने के लिए:
$E_0 = (-4.355 \times 10^{-18} \ J) \times (6.023 \times 10^{23} \ mol^{-1}) \times 10^{-3} \ kJ/J$
$E_0 = -2623.249 \ kJ \ mol^{-1}$
चूंकि प्रश्न में चित्र में दर्शाई गई स्थितिज ऊर्जा $E_0$ के परिमाण के बारे में पूछा गया है, इसलिए मान $2623.249 \ kJ \ mol^{-1}$ है।

(C) कक्षा की त्रिज्या $r_n = a_0 \frac{n^2}{Z} = 4.5 a_0$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया कोणीय संवेग $L = \frac{nh}{2\pi} = \frac{3h}{2\pi}$ है,इसलिए $n = 3$ है।
त्रिज्या के सूत्र में $n=3$ रखने पर: $4.5 = \frac{3^2}{Z} = \frac{9}{Z}$,जिससे $Z = 2$ प्राप्त होता है।
यह परमाणु हीलियम आयन $(He^+)$ है।
जब परमाणु $n=3$ से नीचे आता है,तो संभावित संक्रमण $3 \rightarrow 2$,$3 \rightarrow 1$,और $2 \rightarrow 1$ हैं।
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
$3 \rightarrow 1$ के लिए: $\frac{1}{\lambda_{3 \rightarrow 1}} = R(2^2) \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} \right) = 4R \left( 1 - \frac{1}{9} \right) = 4R \left( \frac{8}{9} \right) = \frac{32R}{9} \Rightarrow \lambda_{3 \rightarrow 1} = \frac{9}{32R}$.
$3 \rightarrow 2$ के लिए: $\frac{1}{\lambda_{3 \rightarrow 2}} = R(2^2) \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = 4R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = 4R \left( \frac{5}{36} \right) = \frac{5R}{9} \Rightarrow \lambda_{3 \rightarrow 2} = \frac{9}{5R}$.
$2 \rightarrow 1$ के लिए: $\frac{1}{\lambda_{2 \rightarrow 1}} = R(2^2) \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = 4R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = 4R \left( \frac{3}{4} \right) = 3R \Rightarrow \lambda_{2 \rightarrow 1} = \frac{1}{3R}$.
संभावित तरंगदैर्ध्य $\frac{9}{32R}$ और $\frac{9}{5R}$ हैं। अतः,सही विकल्प $(C)$ है।

(B) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E_{\text{photon}} = \frac{hc}{\lambda} = \frac{1242 \ eV \ nm}{90 \ nm} = 13.8 \ eV$ द्वारा दी जाती है।
$n^{\text{th}}$ कक्षा से हाइड्रोजन परमाणु को आयनित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा $E_n = \frac{13.6 \ eV}{n^2}$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,फोटॉन की ऊर्जा आयनीकरण ऊर्जा और उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा के योग के बराबर होती है:
$E_{\text{photon}} = E_n + K.E.$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$13.8 \ eV = \frac{13.6 \ eV}{n^2} + 10.4 \ eV$.
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{13.6}{n^2} = 13.8 - 10.4 = 3.4$.
$n^2$ के लिए हल करने पर:
$n^2 = \frac{13.6}{3.4} = 4$.
अतः,$n = 2$ प्राप्त होता है।

(B) केंद्रीय बल आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है: $kr = \frac{mv^2}{r} \implies kr^2 = mv^2$ $(1)$.
बोहर के क्वांटमीकरण नियम के अनुसार: $L = mvr = n\hbar \implies v = \frac{n\hbar}{mr}$ $(2)$.
$(2)$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $kr^2 = m(\frac{n\hbar}{mr})^2 = \frac{n^2\hbar^2}{mr^2}$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर $r^4 = \frac{n^2\hbar^2}{mk}$ प्राप्त होता है,अतः $r^2 = n\hbar \sqrt{\frac{1}{mk}}$. इस प्रकार,$(A)$ सही है।
$(1)$ से,$v^2 = \frac{kr^2}{m} = \frac{k}{m} (n\hbar \sqrt{\frac{1}{mk}}) = n\hbar \sqrt{\frac{k}{m^2}} = n\hbar \sqrt{\frac{k}{m^3}}$. इस प्रकार,$(B)$ सही है।
$(1)$ से,$\frac{v^2}{r^2} = \frac{k}{m}$,अतः $\frac{v}{r} = \sqrt{\frac{k}{m}}$. चूँकि $L = mvr$,$\frac{L}{mr^2} = \frac{mvr}{mr^2} = \frac{v}{r} = \sqrt{\frac{k}{m}}$. इस प्रकार,$(C)$ सही है।
कुल ऊर्जा $E = K + V = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kr^2 = \frac{1}{2}(kr^2) + \frac{1}{2}kr^2 = kr^2 = k(n\hbar \sqrt{\frac{1}{mk}}) = n\hbar \sqrt{\frac{k}{m}}$. इस प्रकार,$(D)$ गलत है।

(B) हाइड्रोजन जैसे परमाणु की $n^{\text{वीं}}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र है: $KE = 13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$।
प्रत्येक विकल्प के लिए गणना:
$(A)$ $H$ परमाणु की पहली कक्षा के लिए $(Z=1, n=1)$: $KE = 13.6 \times \frac{1^2}{1^2} = 13.6 \text{ eV}$।
$(B)$ $He^{+}$ की पहली कक्षा के लिए $(Z=2, n=1)$: $KE = 13.6 \times \frac{2^2}{1^2} = 13.6 \times 4 = 54.4 \text{ eV}$।
$(C)$ $He^{+}$ की दूसरी कक्षा के लिए $(Z=2, n=2)$: $KE = 13.6 \times \frac{2^2}{2^2} = 13.6 \text{ eV}$।
$(D)$ $Li^{2+}$ की दूसरी कक्षा के लिए $(Z=3, n=2)$: $KE = 13.6 \times \frac{3^2}{2^2} = 13.6 \times 2.25 = 30.6 \text{ eV}$।
मानों की तुलना करने पर, उच्चतम गतिज ऊर्जा $54.4 \text{ eV}$ है, जो $He^{+}$ की पहली कक्षा के लिए है।

(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ द्वारा दी जाती है।
बोर की क्वांटाइजेशन शर्त के अनुसार,$mvr = \frac{nh}{2\pi}$,जिसका अर्थ है $mv = \frac{nh}{2\pi r}$।
इसे तरंगदैर्ध्य के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $\lambda = \frac{h}{nh / (2\pi r)} = \frac{2\pi r}{n}$।
अतः,$\lambda \propto \frac{r}{n}$।
मूल अवस्था के लिए,$n_1 = 1$ और $r_1 = 5.3 \times 10^{-11} \ m$।
तीसरी उत्तेजित अवस्था के लिए,$n_4 = 4$ और $r_4 = 8.48 \times 10^{-10} \ m = 84.8 \times 10^{-11} \ m$।
अनुपात $\frac{\lambda_1}{\lambda_4} = \frac{r_1}{n_1} \times \frac{n_4}{r_4} = \frac{5.3 \times 10^{-11}}{1} \times \frac{4}{84.8 \times 10^{-11}} = \frac{5.3 \times 4}{84.8} = \frac{21.2}{84.8} = \frac{1}{4}$।

(B) बोहर के मॉडल के अनुसार,$n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $v_n \propto 1/n$ द्वारा दिया जाता है।
$n$ वीं कक्षा की त्रिज्या $r_n \propto n^2$ द्वारा दी जाती है।
परिक्रमण की आवृत्ति $f$ को $f = v / (2 \pi r)$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
समानुपातिकता को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f \propto (1/n) / n^2 = 1/n^3$ प्राप्त होता है।
अतः,परिक्रमण की आवृत्ति $1/n^3$ के अनुसार बदलती है।

(B) हाइड्रोजन जैसे परमाणु में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
$H$ परमाणु $(Z=1)$ के लिए मूल अवस्था $(n=1)$: $E = -13.6 \times \frac{1^2}{1^2} = -13.6 \text{ eV}$.
$He^{+}$ आयन $(Z=2)$ के लिए:
मूल अवस्था $(n=1)$: $E = -13.6 \times \frac{2^2}{1^2} = -54.4 \text{ eV}$.
प्रथम उत्तेजित अवस्था $(n=2)$: $E = -13.6 \times \frac{2^2}{2^2} = -13.6 \text{ eV}$.
$Li^{++}$ आयन $(Z=3)$ के लिए:
मूल अवस्था $(n=1)$: $E = -13.6 \times \frac{3^2}{1^2} = -122.4 \text{ eV}$.
प्रथम उत्तेजित अवस्था $(n=2)$: $E = -13.6 \times \frac{3^2}{2^2} = -30.6 \text{ eV}$.
द्वितीय उत्तेजित अवस्था $(n=3)$: $E = -13.6 \times \frac{3^2}{3^2} = -13.6 \text{ eV}$.
मानों की तुलना करने पर:
कथन $(A)$: $H$ (मूल) = $-13.6 \text{ eV}$,$He^{+}$ (प्रथम उत्तेजित) = $-13.6 \text{ eV}$. (सही)
कथन $(B)$: $H$ (मूल) = $-13.6 \text{ eV}$,$Li^{++}$ (द्वितीय उत्तेजित) = $-13.6 \text{ eV}$. (सही)
कथन $(C)$: $H$ (मूल) = $-13.6 \text{ eV}$,$He^{+}$ (मूल) = $-54.4 \text{ eV}$. (गलत)
कथन $(D)$: $He^{+}$ (प्रथम उत्तेजित) = $-13.6 \text{ eV}$,$Li^{++}$ (मूल) = $-122.4 \text{ eV}$. (गलत)
अतः,केवल $(A)$ और $(B)$ सही हैं।

(C) बोहर के मॉडल के अनुसार,हाइड्रोजन जैसे आयन के लिए कक्षा की त्रिज्या का सूत्र: $r_n = a_0 \frac{n^2}{Z}$ है।
$Li^{++}$ आयन के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 3$ है।
मूल अवस्था के लिए,मुख्य क्वांटम संख्या $n = 1$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$r = a_0 \frac{1^2}{3} = \frac{1}{3} a_0$.
दी गई अभिव्यक्ति $\frac{1}{X} a_0$ के साथ तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $X = 3$।

(C) बोहर मॉडल एक नाभिक के चारों ओर घूमने वाले एकल इलेक्ट्रॉन की धारणा पर आधारित है। यह केवल नाभिक और इलेक्ट्रॉन के बीच स्थिर वैद्युत आकर्षण बल को ध्यान में रखता है। यह बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणुओं में होने वाले इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन प्रतिकर्षण को ध्यान में नहीं रखता है। इसलिए,यह मॉडल केवल हाइड्रोजन जैसे परमाणुओं (एक इलेक्ट्रॉन वाले परमाणु,जैसे $H$,$He^+$,$Li^{2+}$) पर ही सख्ती से लागू होता है। चूंकि कारण $R$ सही ढंग से बताता है कि यह मॉडल केवल एकल-इलेक्ट्रॉन प्रणालियों तक ही सीमित क्यों है,इसलिए अभिकथन $A$ और कारण $R$ दोनों सत्य हैं,और $R$,$A$ की सही व्याख्या है।

(D) हाइड्रोजन परमाणु की $n^{\text{वीं}}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6 \ eV}{n^2}$ द्वारा दी जाती है।
चौथी उत्तेजित अवस्था का अर्थ है $n_1 = 5$ (क्योंकि मूल अवस्था $n=1$ है,प्रथम उत्तेजित अवस्था $n=2$ है,...,चौथी उत्तेजित अवस्था $n=5$ है)।
$n_1$ से $n$ में संक्रमण के दौरान उत्सर्जित ऊर्जा $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{n_1^2} \right) \ eV$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ $\Delta E = 2.86 \ eV$ और $n_1 = 5$ दिया गया है,इसलिए:
$2.86 = 13.6 \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{5^2} \right)$
$\frac{2.86}{13.6} = \frac{1}{n^2} - \frac{1}{25}$
$0.2103 \approx \frac{1}{n^2} - 0.04$
$\frac{1}{n^2} = 0.2103 + 0.04 = 0.2503 \approx \frac{1}{4}$
$n^2 = 4 \implies n = 2$.

(D) हाइड्रोजन जैसे परमाणु के लिए $n^{\text{वीं}}$ कक्षा की त्रिज्या का सूत्र: $r_n = a_0 \cdot \frac{n^2}{Z}$ है,जहाँ $a_0$ बोहर त्रिज्या है,$n$ मुख्य क्वांटम संख्या है और $Z$ परमाणु क्रमांक है।
$Li^{2+}$ के लिए,परमाणु क्रमांक $Z_1 = 3$ और कक्षा $n = 5$ है। अतः,$r_{Li^{2+}} = a_0 \cdot \frac{5^2}{3} = a_0 \cdot \frac{25}{3}$.
$He^{+}$ के लिए,परमाणु क्रमांक $Z_2 = 2$ और कक्षा $n = 5$ है। अतः,$r_{He^{+}} = a_0 \cdot \frac{5^2}{2} = a_0 \cdot \frac{25}{2}$.
त्रिज्याओं का अनुपात: $\frac{r_{Li^{2+}}}{r_{He^{+}}} = \frac{a_0 \cdot \frac{25}{3}}{a_0 \cdot \frac{25}{2}} = \frac{25}{3} \cdot \frac{2}{25} = \frac{2}{3}$.

(C) कथन $(I):$ फोटॉन की ऊर्जा $E = hf$ द्वारा दी जाती है। प्लांक नियतांक $h$ की विमाएँ $[h] = [E]/[f] = [ML^2T^{-2}]/[T^{-1}] = [ML^2T^{-1}]$ हैं। कोणीय संवेग $L = mvr$ की विमाएँ $[L] = [M][LT^{-1}][L] = [ML^2T^{-1}]$ हैं। अतः,कथन $(I)$ सही है।
कथन $(II):$ बोहर की अभिधारणा के अनुसार,एक स्थिर कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L$,$h/(2\pi)$ का एक पूर्णांक गुणज होता है,अर्थात $L = nh/(2\pi)$,जहाँ $n$ एक पूर्णांक है। कथन में दावा किया गया है कि यह $h$ का पूर्णांक गुणज है,जो गलत है क्योंकि इसमें $1/(2\pi)$ कारक अनुपस्थित है। इसलिए,कथन $(II)$ गलत है।

(D) हाइड्रोजन-समान आयन में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ द्वारा दी जाती है।
मूल अवस्था के लिए,$n_1 = 1$ है। $2^{\text{nd}}$ उत्तेजित अवस्था के लिए,$n_2 = 3$ है (क्योंकि $1^{\text{st}}$ उत्तेजित अवस्था $n=2$ है और $2^{\text{nd}}$ उत्तेजित अवस्था $n=3$ है)।
ऊर्जा का अंतर $\Delta E = E_3 - E_1 = 13.6 Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $108.8 = 13.6 Z^2 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} \right)$.
$108.8 = 13.6 Z^2 \left( 1 - \frac{1}{9} \right) = 13.6 Z^2 \left( \frac{8}{9} \right)$.
$Z^2 = \frac{108.8 \times 9}{13.6 \times 8} = 8 \times 9 = 9$.
$Z = 3$.

(C) अभिकेंद्र बल मूल बिंदु की ओर कार्य करने वाले स्थिर बल $F$ द्वारा प्रदान किया जाता है:
$\frac{m v^2}{r} = F \quad ....(1)$
कोणीय संवेग के लिए बोहर की क्वांटाइजेशन शर्त के अनुसार:
$mvr = \frac{nh}{2\pi} \Rightarrow v = \frac{nh}{2\pi mr} \quad ....(2)$
समीकरण $(2)$ से $v$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$\frac{m}{r} \left( \frac{nh}{2\pi mr} \right)^2 = F$
$\frac{m}{r} \cdot \frac{n^2 h^2}{4\pi^2 m^2 r^2} = F$
$\frac{n^2 h^2}{4\pi^2 m r^3} = F$
$r^3$ के लिए व्यवस्थित करने पर:
$r^3 = \frac{n^2 h^2}{4\pi^2 m F}$
चूंकि $h, m, F$ स्थिरांक हैं,इसलिए $r^3 \propto n^2$,जिसका अर्थ है $r \propto n^{2/3}$।
अब,समीकरण $(2)$ से $v$ के व्यंजक में $r \propto n^{2/3}$ रखने पर:
$v \propto \frac{n}{r} \propto \frac{n}{n^{2/3}} \propto n^{1 - 2/3} \propto n^{1/3}$।
अतः,$r \propto n^{2/3}$ और $v \propto n^{1/3}$ है।

(B) बोहर के क्वांटाइजेशन प्रतिबंध के अनुसार,कक्षा की परिधि डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का एक पूर्णांक गुणज होती है: $2 \pi r_n = n \lambda$.
$n$-वीं कक्षा की त्रिज्या $r_n = a_0 \frac{n^2}{Z}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $a_0 = 0.052 \ nm$ और हाइड्रोजन के लिए $Z = 1$ है।
$n=2$ के लिए,त्रिज्या $r_2 = 0.052 \times \frac{2^2}{1} = 0.052 \times 4 = 0.208 \ nm$ है।
इस मान को क्वांटाइजेशन प्रतिबंध में रखने पर: $2 \pi (0.208) = 2 \lambda$.
$\lambda$ के लिए हल करने पर: $\lambda = \pi \times 0.208 \approx 3.14159 \times 0.208 \approx 0.653 \ nm$.
दिए गए विकल्पों में निकटतम मान $0.67 \ nm$ है।

(B) $n$-वीं कक्षा में परिक्रमा कर रहे इलेक्ट्रॉन का चुंबकीय आघूर्ण $M$ सूत्र $M = \frac{n e h}{4 \pi m}$ द्वारा दिया जाता है।
इस व्यंजक से, हम देख सकते हैं कि चुंबकीय आघूर्ण मुख्य क्वांटम संख्या $n$ के सीधे आनुपातिक है, अर्थात $M \propto n$.
पहली कक्षा $(n = 1)$ के लिए, चुंबकीय आघूर्ण $M_1 = \mu_{B}$ है।
दूसरी कक्षा $(n = 2)$ के लिए, चुंबकीय आघूर्ण $M_2 = 2 \times M_1$ होगा।
अतः, $M_2 = 2 \mu_{B}$ प्राप्त होता है।

(D) जब एक इलेक्ट्रॉन उत्तेजित अवस्था $n_1$ से मूल अवस्था $n=1$ में संक्रमण करता है,तो उत्सर्जित स्पेक्ट्रल रेखाओं की संख्या $N = \frac{n_1(n_1-1)}{2}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि उत्सर्जित तरंग दैर्ध्य की संख्या $6$ है,इसलिए $\frac{n_1(n_1-1)}{2} = 6$,जिसे सरल करने पर $n_1^2 - n_1 - 12 = 0$ प्राप्त होता है।
इस द्विघात समीकरण को हल करने पर,हमें $(n_1-4)(n_1+3) = 0$ प्राप्त होता है। चूंकि $n_1$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $n_1 = 4$ है।
इलेक्ट्रॉन शुरू में अवस्था $n_2$ में था और $n_1 = 4$ तक पहुँचने के लिए एक फोटॉन को अवशोषित किया। $n_1$ तक पहुँचने के बाद,यह मूल अवस्था $(n=1)$ में वापस आ गया और $6$ रेखाएँ उत्सर्जित कीं। इसका अर्थ है कि संक्रमण श्रृंखला $4$ से $1$ तक के सभी स्तरों को कवर करती है।
चूंकि परमाणु उत्तेजित अवस्था $n_2$ में था और $n_1=4$ पर कूद गया,और कुल उत्सर्जन स्पेक्ट्रम $n=4$ से $n=1$ तक के संक्रमणों के अनुरूप है,इसलिए प्रारंभिक अवस्था $n_2=2$ होनी चाहिए ताकि $n_1=4$ तक पहुँचने के लिए फोटॉन का अवशोषण संभव हो सके।

(B) नाभिक और इलेक्ट्रॉन के बीच स्थिरवैद्युत बल $F$ कूलम्ब के नियम द्वारा दिया जाता है: $F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Ze^2}{r^2}$,जिसका अर्थ है कि $F \propto \frac{1}{r^2}$।
बोहर मॉडल के अनुसार,$n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या $r_n = a_0 n^2$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है कि $r \propto n^2$।
$r \propto n^2$ संबंध को बल के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $F \propto \frac{1}{(n^2)^2} = \frac{1}{n^4}$ प्राप्त होता है।
अतः,इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला बल मुख्य क्वांटम संख्या $n$ की चौथी घात के व्युत्क्रमानुपाती होता है।

(D) बोर के क्वांटमीकरण प्रतिबंध के अनुसार,कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ द्वारा दिया जाता है।
हाइड्रोजन परमाणु की मूल अवस्था के लिए,$n = 1$ है।
अतः,$mvr = \frac{h}{2\pi}$,जिसका अर्थ है $2\pi r = \frac{h}{mv}$।
चूंकि डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य को $\lambda = \frac{h}{mv}$ के रूप में परिभाषित किया गया है,इसलिए हमारे पास $\lambda = 2\pi r$ है।
मूल अवस्था के लिए,पहली कक्षा की त्रिज्या $r = 0.53 \mathring A$ है।
मान रखने पर,हमें $\lambda = 2 \times 3.14 \times 0.53 \mathring A = 3.33 \mathring A$ प्राप्त होता है।

(B) हाइड्रोजन परमाणु में कक्षा की त्रिज्या $R_n = n^2 a_0$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $a_0 = 0.53 \mathring{A}$ है।
प्रारंभिक अवस्था के लिए: $2.12 = n_1^2 \times 0.53 \implies n_1^2 = 4 \implies n_1 = 2$.
अंतिम अवस्था के लिए: $4.77 = n_2^2 \times 0.53 \implies n_2^2 = 9 \implies n_2 = 3$.
चूंकि त्रिज्या बढ़ रही है,इलेक्ट्रॉन निम्न ऊर्जा स्तर से उच्च ऊर्जा स्तर में स्थानांतरित हुआ है,जिसका अर्थ है कि परमाणु ने एक फोटॉन अवशोषित किया है।
अवशोषित फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E = E_3 - E_2 = -13.6 \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{2^2} \right) \ eV$ है।
$\Delta E = -13.6 \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{4} \right) = -13.6 \left( \frac{4-9}{36} \right) = -13.6 \left( -\frac{5}{36} \right) \ eV$.
$\Delta E = \frac{68}{36} \ eV \approx 1.89 \ eV$.

(B) बोर के अभिधारणा के अनुसार,कोणीय संवेग $L = \frac{nh}{2\pi}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $L = \frac{3h}{2\pi}$,जिससे मुख्य क्वांटम संख्या $n = 3$ प्राप्त होती है।
$n$-वीं कक्षा की त्रिज्या $r_n = n^2 r_0$ होती है,जहाँ $r_0 = 0.529 \mathring{A}$ है।
$n = 3$ के लिए,$r_3 = 3^2 \times 0.529 \mathring{A} = 9 \times 0.529 \mathring{A} = 4.761 \mathring{A}$।
डी-ब्रोग्ली परिकल्पना के अनुसार,कक्षा की परिधि तरंगदैर्ध्य की $n$ गुनी होती है: $2\pi r_n = n\lambda$।
अतः,$\lambda = \frac{2\pi r_n}{n} = \frac{2\pi \times 9r_0}{3} = 6\pi r_0$।
$r_0 = 0.529 \mathring{A}$ का मान रखने पर,$\lambda = 6 \times 3.1416 \times 0.529 \mathring{A} \approx 9.97 \mathring{A} \approx 10 \mathring{A}$ प्राप्त होता है।

(A) $n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $v = \frac{Z e^2}{2 \epsilon_0 n h}$ द्वारा दिया जाता है।
इलेक्ट्रॉन के लिए,डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_e = \frac{h}{m v} = \frac{2 \epsilon_0 n h^2}{m Z e^2}$ है।
$E = k_B T$ ऊष्मीय ऊर्जा वाले न्यूट्रॉन के लिए,डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_n = \frac{h}{\sqrt{2 m_N k_B T}}$ है।
$\lambda_e = \lambda_n$ को बराबर करने पर,हमें $\frac{h}{m v} = \frac{h}{\sqrt{2 m_N k_B T}}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $m^2 v^2 = 2 m_N k_B T$।
$v = \frac{Z e^2}{2 \epsilon_0 n h}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $T = \frac{m^2 Z^2 e^4}{8 \epsilon_0^2 n^2 h^2 m_N k_B}$ प्राप्त होता है।
$n=3$ रखने पर,$T = \frac{m^2 Z^2 e^4}{72 \epsilon_0^2 h^2 m_N k_B}$।
चूंकि $a_0 = \frac{h^2 \epsilon_0}{\pi m e^2}$,इसलिए $a_0^2 = \frac{h^4 \epsilon_0^2}{\pi^2 m^2 e^4}$।
$\frac{m^2 e^4}{\epsilon_0^2} = \frac{h^4}{\pi^2 a_0^2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $T = \frac{Z^2 h^2}{72 \pi^2 a_0^2 m_N k_B}$ प्राप्त होता है।
इसे दिए गए समीकरण $T = \frac{Z^2 h^2}{\alpha \pi^2 a_0^2 m_N k_B}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = 72$ प्राप्त होता है।

(B) $1$. आपतित फोटॉन $h v_1$ की ऊर्जा का उपयोग हाइड्रोजन परमाणु के आयनीकरण और इलेक्ट्रॉन को गतिज ऊर्जा प्रदान करने के लिए किया जाता है:
$h v_1 = E_{ionization} + KE_{electron} = 13.6 eV + 10 eV = 23.6 eV$.
$2$. पॉज़िट्रोनियम परमाणु एक इलेक्ट्रॉन और एक पॉज़िट्रॉन की प्रणाली है। इसका समान द्रव्यमान (reduced mass) $\mu = \frac{m_e}{2}$ है।
$3$. पॉज़िट्रोनियम परमाणु की मूल अवस्था ऊर्जा $E_p = -13.6 eV \times \frac{1}{2} = -6.8 eV$ है।
$4$. जब इलेक्ट्रॉन ($10 eV$ गतिज ऊर्जा के साथ) एक स्थिर पॉज़िट्रॉन के साथ जुड़ता है,तो कुल उपलब्ध ऊर्जा $10 eV$ होती है। इस ऊर्जा का उपयोग पॉज़िट्रोनियम परमाणु बनाने ($6.8 eV$ फोटॉन के रूप में मुक्त होता है) और द्रव्यमान केंद्र की गतिज ऊर्जा $(5 eV)$ प्रदान करने के लिए किया जाता है।
$5$. ऊर्जा संरक्षण के नियम से: $KE_{electron} + |E_p| = h v_2 + KE_{COM}$.
$10 eV + 6.8 eV = h v_2 + 5 eV \implies h v_2 = 11.8 eV$.
$6$. दोनों फोटॉन ऊर्जाओं के बीच का अंतर $|h v_1 - h v_2| = |23.6 eV - 11.8 eV| = 11.8 eV$ है।

(A) हाइड्रोजन जैसे आयनों के लिए रिडबर्ग के सूत्र के अनुसार,उत्सर्जित विकिरण की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ इस प्रकार दी जाती है:
$\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$
चूंकि दोनों आयनों के लिए संक्रमण $n_2 = 2$ से $n_1 = 1$ है,इसलिए पद $\left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right] = \frac{3}{4}$ स्थिर रहता है।
अतः,$\lambda \propto \frac{1}{Z^2}$।
हीलियम $(He^+)$ के लिए,$Z_{He} = 2$,इसलिए $\lambda_{He} \propto \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$।
लिथियम $(Li^{++})$ के लिए,$Z_{Li} = 3$,इसलिए $\lambda_{Li} \propto \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$।
तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_{He}}{\lambda_{Li}} = \frac{1/4}{1/9} = \frac{9}{4}$ है।
इस प्रकार,अनुपात $9:4$ है।

(B) $n^{\text{th}}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $v_n = \frac{e^2}{2 \varepsilon_0 nh}$ द्वारा दिया जाता है।
इसका अर्थ है $v_n \propto \frac{1}{n}$।
मूल अवस्था के लिए $n_1 = 1$ और पहली उत्तेजित अवस्था के लिए $n_2 = 2$ है।
अतः,वेग का अनुपात $\frac{v_2}{v_1} = \frac{n_1}{n_2} = \frac{1}{2}$ है,जिसका अर्थ है $v_2 = 0.5 v_1$।
वेग में परिवर्तन $\Delta v = |v_2 - v_1| = |0.5 v_1 - v_1| = 0.5 v_1$ है।
प्रतिशत परिवर्तन $\frac{\Delta v}{v_1} \times 100\% = \frac{0.5 v_1}{v_1} \times 100\% = 50\%$ है।

(A) बोर की क्वांटाइजेशन शर्त के अनुसार,कोणीय संवेग $L = \frac{nh}{2\pi}$ द्वारा दिया जाता है।
$2^{\text{nd}}$ कक्षा के लिए,$n = 2$,इसलिए $L = \frac{2h}{2\pi} = \frac{h}{\pi}$।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $E = \frac{L^2}{2I}$ द्वारा दी जाती है।
$L$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $E = \frac{(\frac{h}{\pi})^2}{2I} = \frac{h^2}{2I\pi^2}$ प्राप्त होता है।

(A) वृत्तीय धारा लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_{0} I}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
कक्षा में घूमते हुए इलेक्ट्रॉन के लिए,समतुल्य धारा $I = ef = e \left( \frac{v}{2 \pi r} \right) = \frac{ev}{2 \pi r}$ है।
इसे चुंबकीय क्षेत्र के सूत्र में रखने पर: $B = \frac{\mu_{0} ev}{4 \pi r^{2}}$।
हाइड्रोजन परमाणु की ग्राउंड स्टेट के लिए,वेग $v = \frac{e^{2}}{2 \epsilon_{0} h}$ और त्रिज्या $r = \frac{h^{2} \epsilon_{0}}{\pi m e^{2}}$ है।
$v$ और $r$ के मानों को $B$ के व्यंजक में रखने पर:
$B = \frac{\mu_{0} e}{4 \pi r^{2}} \left( \frac{e^{2}}{2 \epsilon_{0} h} \right) = \frac{\mu_{0} e^{3}}{8 \pi \epsilon_{0} h r^{2}}$।
अब,$r = \frac{h^{2} \epsilon_{0}}{\pi m e^{2}}$ रखने पर:
$B = \frac{\mu_{0} e^{3}}{8 \pi \epsilon_{0} h} \left( \frac{\pi m e^{2}}{h^{2} \epsilon_{0}} \right)^{2} = \frac{\mu_{0} e^{3}}{8 \pi \epsilon_{0} h} \cdot \frac{\pi^{2} m^{2} e^{4}}{h^{4} \epsilon_{0}^{2}} = \frac{\mu_{0} \pi m^{2} e^{7}}{8 \epsilon_{0}^{3} h^{5}}$।

(A) बोर की क्वांटाइजेशन शर्त के अनुसार,कोणीय संवेग $L$ को $L = n \frac{h}{2 \pi}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ कक्षा की संख्या है।
तीसरी कक्षा के लिए,$n = 3$,इसलिए $L = 3 \frac{h}{2 \pi} = \frac{3h}{2 \pi}$ होगा।
जड़त्व आघूर्ण $I$ वाले द्विपरमाणुक अणु की घूर्णन गतिज ऊर्जा $K$ का सूत्र $K = \frac{L^2}{2I}$ है।
ऊर्जा के सूत्र में $L$ का मान रखने पर:
$K = \frac{(\frac{3h}{2 \pi})^2}{2I} = \frac{\frac{9h^2}{4 \pi^2}}{2I} = \frac{9h^2}{8 \pi^2 I}$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) कोणीय संवेग के क्वांटाइजेशन के लिए बोहर की परिकल्पना के अनुसार,$mvr = \frac{nh}{2\pi}$ होता है।
डी-ब्रोग्ली परिकल्पना के अनुसार,तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ द्वारा दी जाती है।
कोणीय संवेग समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $mv = \frac{nh}{2\pi r}$ प्राप्त होता है।
इस मान को डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $\lambda = \frac{h}{nh / (2\pi r)} = \frac{2\pi r}{n}$।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,$n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या $r_n \propto n^2$ होती है।
तरंगदैर्ध्य के समीकरण में $r \propto n^2$ रखने पर: $\lambda \propto \frac{n^2}{n} = n$।
अतः,$\lambda \propto n$।

(A) बोहर की पहली अभिधारणा के अनुसार,इलेक्ट्रॉन की वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्री बल,नाभिक और इलेक्ट्रॉन के बीच स्थिर-वैद्युत आकर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है।
स्थिर-वैद्युत बल $F_e = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{(Ze)(e)}{r^2} = K \frac{Ze^2}{r^2}$ है।
अभिकेंद्री बल $F_c = \frac{mv^2}{r}$ है।
दोनों बलों को बराबर करने पर: $\frac{mv^2}{r} = K \frac{Ze^2}{r^2}$।
दोनों पक्षों को $\frac{r}{2}$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} K \frac{Ze^2}{r}$।
चूंकि गतिज ऊर्जा $E_k = \frac{1}{2} mv^2$ है,इसलिए $E_k = \frac{Ze^2}{2r} K$ होगा।

(C) $n^{\text{th}}$ कक्षा की त्रिज्या $r_n = \frac{n^2 h^2 \varepsilon_0}{\pi m e^2 Z}$ द्वारा दी जाती है।
$n^{\text{th}}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $v_n = \frac{Z e^2}{2 \varepsilon_0 n h}$ द्वारा दिया जाता है।
कक्षीय आवर्तकाल $T$ को $T = \frac{2 \pi r_n}{v_n}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$r_n$ और $v_n$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$T = \frac{2 \pi (n^2 h^2 \varepsilon_0 / \pi m e^2 Z)}{(Z e^2 / 2 \varepsilon_0 n h)}$.
$T = \frac{2 n^2 h^2 \varepsilon_0}{m e^2 Z} \times \frac{2 \varepsilon_0 n h}{Z e^2} = \frac{4 \varepsilon_0^2 n^3 h^3}{m Z^2 e^4}$.
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 1$ है।
अतः,$T = \frac{4 \varepsilon_0^2 n^3 h^3}{m e^4}$.

(B) वृत्ताकार कक्षा में घूम रहे इलेक्ट्रॉन का चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $(m)$ इस प्रकार दिया जाता है: $m = -\frac{e}{2m_e} L$,जहाँ $e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है,$m_e$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है और $L$ कोणीय संवेग है।
जाइरोमैग्नेटिक अनुपात $(R)$ को चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण और कोणीय संवेग के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है:
$R = \left| \frac{m}{L} \right| = \frac{e}{2m_e}$.
अतः,चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $(m)$,जाइरोमैग्नेटिक अनुपात $(R)$ और कोणीय संवेग $(L)$ के बीच का संबंध है:
$m = -RL$.