Bohr's Model of Hydrogen Atom Questions in Hindi

(B) बोहर की क्वांटमीकरण अभिधारणा के अनुसार,कोणीय संवेग $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रथम कक्षा $(n=1)$ के लिए,वेग $v = \frac{h}{2\pi mr}$ होता है।
अभिकेंद्र त्वरण $a_c = \frac{v^2}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
त्वरण के सूत्र में $v$ का मान रखने पर:
$a_c = \frac{(\frac{h}{2\pi mr})^2}{r} = \frac{h^2}{4\pi^2 m^2 r^2 \cdot r} = \frac{h^2}{4\pi^2 m^2 r^3}$.
चूंकि $4\pi^2$ एक नियतांक है,इसलिए $a_c \propto \frac{h^2}{m^2 r^3}$ प्राप्त होता है।

(D) डी-ब्रोग्ली की परिकल्पना के अनुसार,तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ है।
कोणीय संवेग के क्वांटीकरण के लिए बोहर के अभिधारणा के अनुसार,$L = mvr_n = \frac{nh}{2\pi}$ है।
इस समीकरण को संवेग $mv$ के लिए व्यवस्थित करने पर,हमें $mv = \frac{nh}{2\pi r_n}$ प्राप्त होता है।
$mv$ के इस मान को डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य के सूत्र में रखने पर:
$\lambda = \frac{h}{mv} = \frac{h}{(nh / 2\pi r_n)} = \frac{2\pi r_n}{n}$।
अतः,$n^{\text{th}}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\frac{2\pi r}{n}$ है।

(B) अभिकेंद्र त्वरण $a = \frac{v^2}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
बोहर मॉडल में,वेग $v \propto \frac{1}{n}$ और त्रिज्या $r \propto n^2$ होती है।
इन मानों को त्वरण के सूत्र में रखने पर: $a \propto \frac{(1/n)^2}{n^2} = \frac{1}{n^4}$ प्राप्त होता है।
अतः,$3^{\text{rd}}$ कक्षा $(n_1 = 3)$ और $5^{\text{th}}$ कक्षा $(n_2 = 5)$ के लिए अभिकेंद्र त्वरण का अनुपात:
$\frac{a_3}{a_5} = \frac{n_2^4}{n_1^4} = \frac{5^4}{3^4} = \frac{625}{81}$ होगा।

(D) बोर के सिद्धांत के अनुसार,मूल अवस्था $(n=1)$ में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L = mvr = \frac{h}{2 \pi}$ होता है।
इससे,वेग $v = \frac{h}{2 \pi mR}$ प्राप्त होता है।
कक्षा में घूम रहे इलेक्ट्रॉन का आवर्तकाल $T = \frac{2 \pi R}{v} = \frac{2 \pi R}{h / (2 \pi mR)} = \frac{4 \pi^2 mR^2}{h}$ है।
घूमते हुए इलेक्ट्रॉन के कारण समतुल्य धारा $I = \frac{e}{T} = \frac{e}{4 \pi^2 mR^2 / h} = \frac{eh}{4 \pi^2 mR^2}$ है।
कक्षीय चुंबकीय आघूर्ण $M = I \times A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A = \pi R^2$ कक्षा का क्षेत्रफल है।
मान रखने पर,$M = \left( \frac{eh}{4 \pi^2 mR^2} \right) \times (\pi R^2) = \frac{eh}{4 \pi m}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) इलेक्ट्रॉन की कक्षीय गति के कारण चुंबकीय आघूर्ण $M_0$ को इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $M_0 = \frac{e}{2m_e} L_0$,जहाँ $e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है,$m_e$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है,और $L_0$ कक्षीय कोणीय संवेग है।
बोर की क्वांटमीकरण शर्त के अनुसार,कक्षीय कोणीय संवेग $L_0 = \frac{nh}{2\pi}$ होता है,जहाँ $n$ मुख्य क्वांटम संख्या है और $h$ प्लांक नियतांक है।
इस मान को चुंबकीय आघूर्ण के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $M_0 = \frac{e}{2m_e} \times \frac{nh}{2\pi}$.
चूँकि $e$,$m_e$,$h$,और $\pi$ नियतांक हैं,इसलिए यह सिद्ध होता है कि $M_0 \propto n$।

(D) बोहर के मॉडल के अनुसार,$n^{\text{th}}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $v_n \propto \frac{1}{n}$ होता है।
$n^{\text{th}}$ कक्षा की त्रिज्या $r_n \propto n^2$ होती है।
परिक्रमण की आवृत्ति $f$ का सूत्र $f = \frac{v}{2\pi r}$ है।
आनुपातिकता को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f \propto \frac{(1/n)}{n^2} = \frac{1}{n^3}$ प्राप्त होता है।
अतः,परिक्रमण की आवृत्ति $n^3$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है।

(A) बोर के अभिधारणा के अनुसार,$n$ वीं कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L = \frac{nh}{2\pi}$ द्वारा दिया जाता है।
$n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $v = \frac{v_0}{n}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $v_0$ एक स्थिरांक है।
हमें अनुपात $\frac{L}{v}$ ज्ञात करना है।
इन व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{L}{v} = \frac{nh/2\pi}{v_0/n}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर,$\frac{L}{v} = \frac{h}{2\pi v_0} \cdot n^2$ प्राप्त होता है।
चूँकि $h$,$\pi$ और $v_0$ स्थिरांक हैं,इसलिए अनुपात $\frac{L}{v}$,$n^2$ के समानुपाती है।

(D) वृत्ताकार धारा लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ धारा है और $r$ कक्षा की त्रिज्या है।
कक्षा में घूमते हुए इलेक्ट्रॉन के लिए,धारा $I = \frac{e}{T} = \frac{ev}{2\pi r}$,जहाँ $v$ वेग है और $T$ आवर्तकाल है।
चुंबकीय क्षेत्र के सूत्र में $I$ का मान रखने पर: $B = \frac{\mu_0 ev}{4\pi r^2}$ प्राप्त होता है।
बोहर के मॉडल के अनुसार,त्रिज्या $r \propto n^2$ और वेग $v \propto n^{-1}$ होता है।
इन समानुपातियों को रखने पर: $B \propto \frac{v}{r^2} \propto \frac{n^{-1}}{(n^2)^2} = \frac{n^{-1}}{n^4} = n^{-5}$।
अतः,केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $n^{-5}$ के समानुपाती होता है।

(D) हाइड्रोजन परमाणु में,$n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कक्षीय वेग $v_n = \frac{v_1}{n}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $v_1$ मूल अवस्था $(n=1)$ में वेग है।
यह दिया गया है कि नया वेग $v_n = \frac{1}{3} v_1$ है,इसलिए $\frac{v_1}{n} = \frac{v_1}{3}$,जिसका अर्थ है कि $n = 3$ है।
$n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या $r_n = n^2 r_1$ द्वारा दी जाती है।
सूत्र में $n = 3$ रखने पर,हमें $r_3 = (3)^2 r_1 = 9 r_1$ प्राप्त होता है।
अतः,उस कक्षा की त्रिज्या $9 r_1$ है।

(A) बोर की क्वांटाइजेशन शर्त के अनुसार,कोणीय संवेग $L = n \frac{h}{2 \pi}$ द्वारा दिया जाता है।
दूसरी कक्षा के लिए,$n = 2$,इसलिए $L = 2 \frac{h}{2 \pi} = \frac{h}{\pi}$।
एक द्विपरमाणुक अणु की घूर्णन ऊर्जा $E = \frac{L^2}{2I}$ द्वारा दी जाती है।
$L$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $E = \frac{(\frac{h}{\pi})^2}{2I} = \frac{h^2}{\pi^2 \cdot 2I} = \frac{h^2}{2 I \pi^2}$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) बोर के सिद्धांत के अनुसार,$n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कक्षीय कोणीय संवेग $L = \frac{nh}{2\pi}$ द्वारा दिया जाता है।
कक्षीय इलेक्ट्रॉन से संबंधित चुंबकीय आघूर्ण $\mu = \frac{e}{2m} L$ होता है।
$L$ का मान रखने पर,हमें $\mu = \frac{e}{2m} \left( \frac{nh}{2\pi} \right)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $e$,$m$,$h$ और $\pi$ स्थिरांक हैं,इसलिए $\mu \propto n$ होता है।
अतः,चुंबकीय आघूर्ण मुख्य क्वांटम संख्या $n$ के समानुपाती होता है।

(A) बोर के मॉडल के अनुसार, हाइड्रोजन परमाणु की $n^{\text{वीं}}$ कक्षा की त्रिज्या $r_n = n^2 r_1$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $r_1$ सबसे आंतरिक कक्षा (मूल अवस्था) की त्रिज्या है।
दिया गया है कि $r_1 = 5.3 \times 10^{-11} \ m = 0.53 \ Å$।
चौथी कक्षा के लिए, $n = 4$।
अतः, $r_4 = (4)^2 \times r_1 = 16 \times 0.53 \ Å$।
$r_4 = 8.48 \ Å$।

(D) बोहर मॉडल में,$n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$ $P.E. = -\frac{kZe^2}{r_n}$ द्वारा दी जाती है। चूंकि $r_n \propto n^2$,इसलिए $P.E. \propto -\frac{1}{n^2}$ होता है।
जैसे-जैसे $n$ बढ़ता है,ऋणात्मक स्थितिज ऊर्जा का परिमाण घटता है,जिसका अर्थ है कि मान कम ऋणात्मक हो जाता है (अर्थात यह बढ़ता है)।
$n=1$ के लिए,$P.E. = -27.2 \text{ eV}$।
$n=2$ के लिए,$P.E. = -6.8 \text{ eV}$।
चूंकि $-6.8 \text{ eV} > -27.2 \text{ eV}$,इसलिए $n=2$ कक्षा में स्थितिज ऊर्जा $n=1$ कक्षा की तुलना में अधिक है।
अतः,विकल्प $D$ में दिया गया कथन गलत है।

(D) बोहर के क्वांटमीकरण प्रतिबंध के अनुसार,कोणीय संवेग $L = \frac{nh}{2 \pi}$ होता है।
चूंकि $L = I \omega$,इसलिए $I \omega = \frac{nh}{2 \pi}$,जिसका अर्थ है $\omega = \frac{nh}{2 \pi I}$।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $E_r = \frac{1}{2} I \omega^2$ होती है।
$\omega$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $E_r = \frac{1}{2} I \left(\frac{nh}{2 \pi I}\right)^2$।
इस व्यंजक को सरल करने पर,$E_r = \frac{1}{2} I \left(\frac{n^2 h^2}{4 \pi^2 I^2}\right) = \frac{n^2 h^2}{8 \pi^2 I}$।

(C) $n^{\text{वीं}}$ बोहर कक्षा की त्रिज्या का सूत्र $r_n = n^2 r_0$ है,जहाँ $r_0$ पहली बोहर कक्षा की त्रिज्या $(n=1)$ है।
पहली बोहर कक्षा $(n=1)$ के लिए,$r_1 = 1^2 r_0 = r_0$ है।
दूसरी बोहर कक्षा $(n=2)$ के लिए,$r_2 = 2^2 r_0 = 4 r_0$ है।
पहली बोहर कक्षा की त्रिज्या और दूसरी बोहर कक्षा की त्रिज्या का अनुपात $\frac{r_1}{r_2} = \frac{r_0}{4 r_0} = \frac{1}{4}$ है।
अतः,अनुपात $1:4$ है।

(B) हाइड्रोजन परमाणु की $n^{\text{th}}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कक्षीय वेग इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $V_n = \frac{e^2}{2 \varepsilon_0 h n}$.
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि वेग मुख्य क्वांटम संख्या $n$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है,अर्थात $V_n \propto \frac{1}{n}$.
इसलिए,$p^{\text{th}}$ और $n^{\text{th}}$ कक्षा के लिए,हमारे पास अनुपात है:
$\frac{V_p}{V_n} = \frac{1/p}{1/n} = \frac{n}{p}$.
अतः,$V_p : V_n$ का अनुपात $n : p$ है।

(C) बोहर मॉडल में,इलेक्ट्रॉन की वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल नाभिक (प्रोटॉन) और इलेक्ट्रॉन के बीच स्थिर वैद्युत कूलम्ब आकर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है।
संतुलन के लिए शर्त है:
$\text{अभिकेंद्र बल} = \text{कूलम्ब बल}$
$\frac{mv^2}{r_0} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{e \cdot e}{r_0^2}$
$v^2$ के लिए समीकरण को सरल करने पर:
$v^2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{e^2}{r_0 m}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$v = \sqrt{\frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 r_0 m}} = \frac{e}{\sqrt{4 \pi \varepsilon_0 r_0 m}}$
अतः,इलेक्ट्रॉन की गति $\frac{e}{\sqrt{4 \pi \varepsilon_0 r_0 m}}$ है।

(B) बोहर के अभिधारणा के अनुसार,$n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L$ इस प्रकार दिया जाता है:
$L = \frac{nh}{2\pi}$
इसका अर्थ है कि $L \propto n$.
तीसरी बोहर कक्षा $(n_1 = 3)$ के लिए,कोणीय संवेग $L_1 = l$ है।
चौथी बोहर कक्षा $(n_2 = 4)$ के लिए,मान लीजिए कोणीय संवेग $L_2 = L'$ है।
समानुपातिकता $L \propto n$ का उपयोग करने पर:
$\frac{L_1}{L_2} = \frac{n_1}{n_2}$
$\frac{l}{L'} = \frac{3}{4}$
$L' = \frac{4}{3} l$

(C) $n^{th}$ बोहर कक्षा में इलेक्ट्रॉन की कक्षीय गति $v_n \propto \frac{1}{n}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि प्रारंभिक अवस्था मूल अवस्था $(n_1 = 1)$ है जिसकी गति $v_1$ है,और अंतिम गति $v_2 = \frac{v_1}{3}$ है।
संबंध $\frac{v_1}{v_2} = \frac{n_2}{n_1}$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{v_1}{v_1/3} = \frac{n_2}{1}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $n_2 = 3$।
$n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या $r_n \propto n^2$ द्वारा दी जाती है।
इसलिए,$\frac{r_2}{r_1} = \left(\frac{n_2}{n_1}\right)^2 = \left(\frac{3}{1}\right)^2 = 9$।
अतः,उत्तेजित अवस्था में कक्षा की त्रिज्या $r_2 = 9 r_1$ है।

(D) हाइड्रोजन परमाणु के लिए,$n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या $r_n \propto n^2$ द्वारा दी जाती है।
चूँकि कक्षा का क्षेत्रफल $A_n = \pi r_n^2$ होता है,इसलिए $A_n \propto (n^2)^2 = n^4$ होगा।
पहली उत्तेजित अवस्था $n = 2$ के अनुरूप है और दूसरी उत्तेजित अवस्था $n = 3$ के अनुरूप है।
अतः,दूसरी उत्तेजित अवस्था $(A_3)$ और पहली उत्तेजित अवस्था $(A_2)$ के क्षेत्रफलों का अनुपात:
$\frac{A_3}{A_2} = \left(\frac{3}{2}\right)^4 = \frac{81}{16}$ होगा।

(C) हाइड्रोजन जैसे परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र: $E_n = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ है।
चूंकि $E \propto \frac{Z^2}{n^2}$,हम दोनों स्थितियों के लिए अनुपात लिख सकते हैं।
हाइड्रोजन परमाणु $(Z_H = 1)$ के लिए दूसरी कक्षा $(n_H = 2)$: $E_H = E \propto \frac{1^2}{2^2} = \frac{1}{4}$।
हीलियम परमाणु $(Z_{He} = 2)$ के लिए तीसरी कक्षा $(n_{He} = 3)$: $E_{He} \propto \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}$।
अब,अनुपात लेने पर: $\frac{E_{He}}{E_H} = \frac{4/9}{1/4} = \frac{4}{9} \times 4 = \frac{16}{9}$।
अतः,$E_{He} = \frac{16}{9} E$।

(B) इलेक्ट्रॉन पर कार्य करने वाला अभिकेंद्री बल $F = \frac{mv^2}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
बोर के सिद्धांत के अनुसार,$n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $v$,$\frac{1}{n}$ के समानुपाती होता है $(v \propto \frac{1}{n})$।
$n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या $r$,$n^2$ के समानुपाती होती है $(r \propto n^2)$।
इन समानुपातियों को बल के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$F \propto \frac{v^2}{r}$
$F \propto \frac{(1/n)^2}{n^2}$
$F \propto \frac{1/n^2}{n^2}$
$F \propto \frac{1}{n^4}$ या $F \propto n^{-4}$।

(B) $n^{th}$ बोहर कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $v_n = \frac{Ze^2}{2 \varepsilon_0 nh}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
इस व्यंजक से,हम देख सकते हैं कि वेग मुख्य क्वांटम संख्या $n$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है,अर्थात $v_n \propto \frac{1}{n}$।
पहली कक्षा के लिए $n_1 = 1$ और दूसरी कक्षा के लिए $n_2 = 2$ है।
इसलिए,वेगों का अनुपात $\frac{v_1}{v_2} = \frac{n_2}{n_1} = \frac{2}{1}$ होगा।
अतः,अनुपात $2:1$ है।

(C) $r$ त्रिज्या की कक्षा में गति कर रहे $m$ द्रव्यमान के इलेक्ट्रॉन का जड़त्व आघूर्ण $I = mr^2$ द्वारा दिया जाता है।
$n$-वीं बोहर कक्षा की त्रिज्या का सूत्र है:
$r_n = \frac{\varepsilon_0 h^2 n^2}{\pi m e^2}$
दूसरी बोहर कक्षा के लिए,$n = 2$ है। सूत्र में $n = 2$ रखने पर:
$r_2 = \frac{\varepsilon_0 h^2 (2)^2}{\pi m e^2} = \frac{4 \varepsilon_0 h^2}{\pi m e^2}$
अब,दूसरी कक्षा के लिए जड़त्व आघूर्ण $I$ की गणना करते हैं:
$I = m \times (r_2)^2$
$I = m \times \left( \frac{4 \varepsilon_0 h^2}{\pi m e^2} \right)^2$
$I = m \times \frac{16 \varepsilon_0^2 h^4}{\pi^2 m^2 e^4}$
$I = \frac{16 \varepsilon_0^2 h^4}{\pi^2 m e^4}$

(C) बोर के अभिधारणा के अनुसार,$n^{\text{th}}$ कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L = \frac{nh}{2\pi}$ द्वारा दिया जाता है।
कोणीय संवेग में परिवर्तन $\Delta L = L_2 - L_1$ है।
यहाँ,$n_1 = 4$ और $n_2 = 5$ है।
$\Delta L = \frac{n_2 h}{2\pi} - \frac{n_1 h}{2\pi} = \frac{h}{2\pi} (n_2 - n_1)$।
मान रखने पर: $\Delta L = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{2 \times 3.14} (5 - 4)$।
$\Delta L = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{6.28} \approx 1.055 \times 10^{-34} \text{ J s}$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,परिवर्तन लगभग $1 \times 10^{-34} \text{ J s}$ है।

(D) अवधारणा: बोहर कक्षा की त्रिज्या।
बोहर के मॉडल में, $n^{\text{वीं}}$ कक्षा की त्रिज्या का सूत्र है:
$r_n = a_0 \cdot \frac{n^2}{Z}$
हाइड्रोजन परमाणु के लिए, परमाणु क्रमांक $Z = 1$ है।
इसलिए, $n^{\text{वीं}}$ कक्षा की त्रिज्या $r_n = a_0 n^2$ होती है।
सबसे छोटी कक्षा (मूल अवस्था) के लिए, $n = 1$, अतः $r_1 = a_0 (1)^2 = a_0$।
तीसरी कक्षा के लिए, $n = 3$, अतः त्रिज्या होगी:
$r_3 = a_0 (3)^2 = 9 a_0$।
अतः, सही विकल्प $D$ है।

(D) कक्षीय चुंबकीय आघूर्ण को $m_{orb} = iA$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $i = \frac{e}{T}$ धारा है,$A = \pi r^2$ क्षेत्रफल है,और $T$ इलेक्ट्रॉन के परिक्रमण का समय अंतराल है।
$i$ और $A$ का मान रखने पर,हमें $m_{orb} = e \left( \frac{\pi r^2}{T} \right) \dots (1)$ प्राप्त होता है।
कोणीय संवेग के लिए बोहर की क्वांटाइजेशन शर्त के अनुसार,$mvr = \frac{nh}{2\pi} \dots (2)$।
साथ ही,समय अंतराल $T$ वेग $v$ और त्रिज्या $r$ से $T = \frac{2\pi r}{v}$ द्वारा संबंधित है,जिसका अर्थ है कि $\frac{r}{T} = \frac{v}{2\pi}$।
इसे $m_{orb}$ के समीकरण में रखने पर,हमें $m_{orb} = e \pi r \left( \frac{r}{T} \right) = e \pi r \left( \frac{v}{2\pi} \right) = \frac{evr}{2}$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(2)$ से,$vr = \frac{nh}{2\pi m}$।
इसे $m_{orb}$ के समीकरण में रखने पर,हमें $m_{orb} = \frac{e}{2} \left( \frac{nh}{2\pi m} \right) = n \left( \frac{eh}{4\pi m} \right)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $e, h, \pi,$ और $m$ स्थिरांक हैं,इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $m_{orb} \propto n$।

(B) हाइड्रोजन परमाणु में,स्थिर-वैद्युत बल इलेक्ट्रॉन को $r$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में घूमने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है:
$\frac{m v^2}{r} = \frac{e^2}{r^2}$
दोनों पक्षों को $\frac{r}{2}$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{2} m v^2 = \frac{e^2}{2 r}$
चूंकि गतिज ऊर्जा $K$ को $\frac{1}{2} m v^2$ के रूप में परिभाषित किया गया है,इसलिए:
$K = \frac{e^2}{2 r}$
अतः,गतिज ऊर्जा $\frac{e^2}{2 r}$ के समानुपाती है।

(C) अभिकेंद्री बल स्थिर-वैद्युत बल द्वारा प्रदान किया जाता है: $\frac{mv^2}{r} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{e^2}{r^2} \implies mv^2 = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}$.
बोर की क्वांटमीकरण शर्त के अनुसार: $mvr = \frac{nh}{2\pi}$. मूल अवस्था $(n=1)$ के लिए,$mvr = \frac{h}{2\pi} \implies v = \frac{h}{2\pi mr}$.
बल समीकरण में $v$ का मान रखने पर: $m(\frac{h}{2\pi mr})^2 = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r} \implies \frac{h^2}{4\pi^2 mr^2} = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r} \implies r = \frac{\varepsilon_0 h^2}{\pi m e^2}$.
परिक्रमा करने वाले इलेक्ट्रॉन के कारण धारा $I = \frac{e}{T} = \frac{ev}{2\pi r}$ है।
केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2r} = \frac{\mu_0 ev}{4\pi r^2}$ है।
$v = \frac{h}{2\pi mr}$ और $r = \frac{\varepsilon_0 h^2}{\pi m e^2}$ का मान रखने पर:
$B = \frac{\mu_0 e}{4\pi r^2} \cdot \frac{h}{2\pi mr} = \frac{\mu_0 e h}{8\pi^2 m r^3}$.
$r^3 = (\frac{\varepsilon_0 h^2}{\pi m e^2})^3 = \frac{\varepsilon_0^3 h^6}{\pi^3 m^3 e^6}$ रखने पर:
$B = \frac{\mu_0 e h}{8\pi^2 m} \cdot \frac{\pi^3 m^3 e^6}{\varepsilon_0^3 h^6} = \frac{\mu_0 e^7 \pi m^2}{8 \varepsilon_0^3 h^5}$.

(A) बोहर के सिद्धांत के अनुसार,$n^{\text{वीं}}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा $E = -\frac{13.6 Z^2}{n^2} \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $E \propto \frac{1}{n^2}$.
$n^{\text{वीं}}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L = \frac{nh}{2\pi}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $L \propto n$.
संबंध $L \propto n$ से,हमें प्राप्त होता है $n \propto L$.
इस मान को ऊर्जा के संबंध में प्रतिस्थापित करने पर: $E \propto \frac{1}{n^2} \implies E \propto \frac{1}{L^2}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $\sqrt{E} \propto \frac{1}{L}$ प्राप्त होता है,जिसे पुनर्व्यवस्थित करने पर $L \propto \frac{1}{\sqrt{E}}$ मिलता है।

(B) अभिकेंद्र त्वरण $a = \frac{v^2}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
बोहर मॉडल में,$n^{\text{th}}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $v \propto \frac{1}{n}$ और त्रिज्या $r \propto n^2$ होती है।
इन समानुपातों को त्वरण के व्यंजक में रखने पर,हमें $a \propto \frac{(1/n)^2}{n^2} = \frac{1}{n^4}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$3^{\text{rd}}$ कक्षा $(n_1 = 3)$ और $5^{\text{th}}$ कक्षा $(n_2 = 5)$ के लिए अभिकेंद्र त्वरण का अनुपात $\frac{a_3}{a_5} = \frac{n_2^4}{n_1^4} = \frac{5^4}{3^4}$ होगा।
मानों की गणना करने पर,हमें $\frac{625}{81}$ प्राप्त होता है।

(A) $n^{\text{th}}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन के परिक्रमण का कक्षीय आवर्तकाल $T_n = \frac{2 \pi r_n}{v_n}$ है।
बोहर के मॉडल के अनुसार,$n^{\text{th}}$ कक्षा की त्रिज्या $r_n = \left(\frac{h^2 \varepsilon_0}{\pi m e^2}\right) n^2$ है (जहाँ $Z=1$ है)।
$n^{\text{th}}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $v_n = \left(\frac{e^2}{2 h \varepsilon_0}\right) \frac{1}{n}$ है।
इन मानों को $T_n$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$T_n = 2 \pi \left(\frac{h^2 \varepsilon_0 n^2}{\pi m e^2}\right) \div \left(\frac{e^2}{2 h \varepsilon_0 n}\right)$
$T_n = 2 \pi \left(\frac{h^2 \varepsilon_0 n^2}{\pi m e^2}\right) \times \left(\frac{2 h \varepsilon_0 n}{e^2}\right)$
$T_n = \frac{4 \varepsilon_0^2 n^3 h^3}{m e^4}$.

(B) जाइरोमैग्नेटिक अनुपात को इलेक्ट्रॉन के चुंबकीय आघूर्ण $\mu$ और कोणीय संवेग $L$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$\text{जाइरोमैग्नेटिक अनुपात} = \frac{\mu}{L} = \frac{iA}{mvr}$
बोहर मॉडल का उपयोग करते हुए,धारा $i = \frac{e}{T} = \frac{e \omega}{2 \pi}$ और क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है।
कोणीय संवेग $L = mvr = mr(r \omega) = mr^2 \omega$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\mu}{L} = \frac{(\frac{e \omega}{2 \pi})(\pi r^2)}{mr^2 \omega} = \frac{e}{2m}$
चूंकि $e$ और $m$ स्थिरांक हैं,इसलिए जाइरोमैग्नेटिक अनुपात इलेक्ट्रॉन की कक्षा $n$ से स्वतंत्र है।

(B) अभिकेंद्र त्वरण $a = \frac{v^2}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,$n^{\text{th}}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $v \propto \frac{1}{n}$ और त्रिज्या $r \propto n^2$ होती है।
इन मानों को त्वरण के समीकरण में रखने पर:
$a \propto \frac{(1/n)^2}{n^2} = \frac{1}{n^4}$.
अतः,$3^{\text{rd}}$ और $5^{\text{th}}$ कक्षा के लिए अभिकेंद्र त्वरण का अनुपात:
$\frac{a_3}{a_5} = \left(\frac{5}{3}\right)^4 = \frac{625}{81}$ होगा।

(B) परमाणु के बोहर मॉडल के अनुसार,$n^{\text{th}}$ कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $(K)$ का सूत्र $K = \frac{kZe^2}{2r_n}$ है।
$n^{\text{th}}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा $(E)$ का सूत्र $E = -\frac{kZe^2}{2r_n}$ है।
इन दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $K = -E$।
अतः,गतिज ऊर्जा और कुल ऊर्जा का अनुपात $\frac{K}{E} = \frac{-E}{E} = -1$ है।
इसे $1:-1$ के अनुपात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु के बोहर मॉडल में,$n^{\text{th}}$ कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा $E$ को $E \propto \frac{1}{n^2}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
बोहर के क्वांटाइजेशन सिद्धांत के अनुसार,$n^{\text{th}}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L = \frac{nh}{2\pi}$ होता है,जिसका अर्थ है कि $L \propto n$।
ऊर्जा के व्यंजक में $n \propto L$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $E \propto \frac{1}{L^2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$E \propto L^{-2}$।

(A) डी-ब्रोग्ली परिकल्पना के अनुसार,तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ द्वारा दी जाती है।
$n^{th}$ बोहर कक्षा में इलेक्ट्रॉन के लिए,क्वांटाइजेशन शर्त $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ है,जिसका अर्थ है $mv = \frac{nh}{2\pi r}$।
इसे तरंगदैर्ध्य के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $\lambda = \frac{h}{nh / (2\pi r)} = \frac{2\pi r}{n}$।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,$n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या $r_n = a_0 n^2$ है,जहाँ $a_0$ बोहर त्रिज्या है।
अतः,$\lambda_n = \frac{2\pi (a_0 n^2)}{n} = 2\pi a_0 n$।
इसलिए,पहली $(n=1)$ और दूसरी $(n=2)$ कक्षाओं के लिए तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{2\pi a_0 (1)}{2\pi a_0 (2)} = \frac{1}{2}$ है।

(D) हाइड्रोजन परमाणु की बोहर कक्षा में नाभिक से $r$ दूरी पर परिक्रमा कर रहे इलेक्ट्रॉन के लिए:
गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ $K = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \cdot \frac{e^{2}}{2r} = \frac{e^{2}}{8 \pi \epsilon_{0} r}$ द्वारा दी जाती है।
स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$ $P = -\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \cdot \frac{e^{2}}{r}$ द्वारा दी जाती है।
$K.E.$ और $P.E.$ का अनुपात लेने पर:
$\frac{K}{P} = \frac{\frac{e^{2}}{8 \pi \epsilon_{0} r}}{-\frac{e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} r}} = -\frac{4 \pi \epsilon_{0} r}{8 \pi \epsilon_{0} r} = -\frac{1}{2}$।

(D) दिया गया है: त्रिज्या $r = 0.53 \text{ Å} = 0.53 \times 10^{-10} \text{ m}$.
समय अवधि $T = 1.571 \times 10^{-16} \text{ s}$.
इलेक्ट्रॉन का वेग $v$ सूत्र $v = \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{2 \pi r}{T}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $v = \frac{2 \times 3.142 \times 0.53 \times 10^{-10}}{1.571 \times 10^{-16}}$.
चूंकि $2 \times 3.142 = 6.284$,इसलिए $v = \frac{6.284 \times 0.53 \times 10^{-10}}{1.571 \times 10^{-16}}$.
यहाँ $\frac{6.284}{1.571} = 4$ है।
अतः,$v = 4 \times 0.53 \times 10^{6} \text{ m/s}$.
$v = 2.12 \times 10^{6} \text{ m/s}$.

(C) बोर के मॉडल के अनुसार,$n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_{n} = -\frac{13.6}{n^{2}} \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$E_{n} \propto \frac{1}{n^{2}}$.
$n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L_{n} = \frac{nh}{2\pi}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$L_{n} \propto n$,जिसका अर्थ है कि $n \propto L_{n}$.
ऊर्जा संबंध में $n \propto L_{n}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $E_{n} \propto \frac{1}{L_{n}^{2}}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,सही संबंध $E_{n} \propto \frac{1}{L_{n}^{2}}$ है।

(A) बोहर के क्वांटाइजेशन प्रतिबंध के अनुसार,कोणीय संवेग $L = \frac{nh}{2\pi}$ होता है।
दूसरी कक्षा के लिए,$n = 2$,इसलिए $L = \frac{2h}{2\pi} = \frac{h}{\pi}$ होगा।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $E = \frac{L^{2}}{2I}$ द्वारा दी जाती है।
$L$ का मान रखने पर,हमें $E = \frac{(h/\pi)^{2}}{2I} = \frac{h^{2}}{2I\pi^{2}}$ प्राप्त होता है।

(C) बोर के सिद्धांत के अनुसार,इलेक्ट्रॉन पर कार्य करने वाला अभिकेंद्री बल $F = \frac{mv^2}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
बोर मॉडल से,इलेक्ट्रॉन का वेग $v \propto \frac{1}{n}$ और कक्षा की त्रिज्या $r \propto n^2$ होती है।
इन समानुपातों को बल के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$F \propto \frac{(1/n)^2}{n^2} = \frac{1/n^2}{n^2} = \frac{1}{n^4}$.
अतः,बल मुख्य क्वांटम संख्या से $F \propto n^{-4}$ के रूप में संबंधित है।

(C) बोहर के सिद्धांत के अनुसार,$n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $(v)$ $v = \frac{e^{2}}{2 \epsilon_{0} n h}$ द्वारा दिया जाता है।
पहली कक्षा के लिए,$n = 1$,इसलिए वेग $v = \frac{e^{2}}{2 \epsilon_{0} h}$ है।
इलेक्ट्रॉन के वेग $(v)$ और प्रकाश के वेग $(c)$ का अनुपात $\frac{v}{c} = \frac{e^{2}}{2 \epsilon_{0} h c}$ है।

(B) कक्षीय आवर्तकाल $T$ का सूत्र $T = \frac{2 \pi r}{v}$ है।
बोहर के मॉडल के अनुसार,$n^{\text{th}}$ कक्षा की त्रिज्या $r = \frac{n^{2} h^{2} \epsilon_{0}}{\pi m e^{2}}$ होती है।
$n^{\text{th}}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $v = \frac{e^{2}}{2 \epsilon_{0} n h}$ होता है।
इन मानों को $T$ के सूत्र में रखने पर:
$T = \frac{2 \pi \left( \frac{n^{2} h^{2} \epsilon_{0}}{\pi m e^{2}} \right)}{\left( \frac{e^{2}}{2 \epsilon_{0} n h} \right)}$
$T = \frac{2 n^{2} h^{2} \epsilon_{0}}{m e^{2}} \times \frac{2 \epsilon_{0} n h}{e^{2}}$
$T = \frac{4 \epsilon_{0}^{2} n^{3} h^{3}}{m e^{4}}$.

(B) बोहर के मॉडल के अनुसार, हाइड्रोजन परमाणु की $n^{\text{वीं}}$ कक्षा की त्रिज्या का सूत्र $r_n = a_0 n^2$ है, जहाँ $a_0$ बोहर त्रिज्या है और $n$ मुख्य क्वांटम संख्या है।
यह दर्शाता है कि त्रिज्या $r$ मुख्य क्वांटम संख्या के वर्ग के समानुपाती होती है, अर्थात $r \propto n^2$।
पहली चार कक्षाओं $(n = 1, 2, 3, 4)$ के लिए, त्रिज्याएँ $1^2, 2^2, 3^2, 4^2$ के अनुपात में होंगी।
इन मानों की गणना करने पर, हमें $1: 4: 9: 16$ प्राप्त होता है।
अतः, सही विकल्प $B$ है।

(C) $r$ त्रिज्या की कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन से जुड़ी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को संबंध $2\pi r = n\lambda$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ मुख्य क्वांटम संख्या है।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,$n$-वीं कक्षा की त्रिज्या $r_n \propto n^2$ होती है।
इसे डी-ब्रोग्ली संबंध में प्रतिस्थापित करने पर: $2\pi (k n^2) = n\lambda$,जो सरल होकर $\lambda \propto n$ देता है।
मूल अवस्था $n = 1$ के अनुरूप है।
तीसरी उत्तेजित अवस्था $n = 1 + 3 = 4$ के अनुरूप है।
चूंकि मुख्य क्वांटम संख्या $n$ का मान $1$ से बढ़कर $4$ हो जाता है,इसलिए डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ बढ़ जाएगी।

(B) हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की चाल $v_n = \frac{v_1}{n}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v_1$ मूल अवस्था $(n=1)$ में चाल है।
दिया गया है,$v_1 = 2.2 \times 10^6 \ m/s$.
तीसरी उत्तेजित अवस्था का अर्थ है $n = 4$ (क्योंकि मूल अवस्था $n=1$ है,प्रथम उत्तेजित अवस्था $n=2$ है,दूसरी $n=3$ है,और तीसरी $n=4$ है)।
संबंध $v_n = \frac{v_1}{n}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$v_4 = \frac{v_1}{4} = \frac{2.2 \times 10^6 \ m/s}{4}$.
$v_4 = 0.55 \times 10^6 \ m/s = 5.5 \times 10^5 \ m/s$.

(A) हाइड्रोजन परमाणु के लिए बोहर के अभिधारणाओं के अनुसार,एक इलेक्ट्रॉन नाभिक के चारों ओर विशिष्ट कक्षाओं में घूमता है जिन्हें स्थिर कक्षाएं कहा जाता है।
इन स्थिर कक्षाओं में,इलेक्ट्रॉन ऊर्जा का उत्सर्जन नहीं करता है,भले ही वह अपनी वृत्तीय गति के कारण त्वरित हो (उसका वेग सदिश लगातार बदलता रहता है)।
इसलिए,स्थिर कक्षा में घूमते समय इलेक्ट्रॉन प्रकाश का उत्सर्जन नहीं करता है।

(A) बोहर के सिद्धांत के अनुसार,उत्सर्जित विकिरण की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{p^2} - \frac{1}{n^2} \right)$.
चूंकि $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$,इसलिए तरंगदैर्ध्य $\lambda$ कक्षाओं के बीच ऊर्जा अंतर $\Delta E$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
अधिकतम तरंगदैर्ध्य प्राप्त करने के लिए,ऊर्जा अंतर $\Delta E$ न्यूनतम होना चाहिए।
मुख्य क्वांटम संख्या बढ़ने के साथ क्रमिक कक्षाओं के बीच ऊर्जा का अंतर कम होता जाता है।
ऊर्जा अंतराल की तुलना करने पर: $(E_5 - E_4) < (E_4 - E_3) < (E_3 - E_2) < (E_2 - E_1)$.
अतः,$n=5$ से $p=4$ के संक्रमण के लिए ऊर्जा अंतर सबसे कम है,जिसके परिणामस्वरूप तरंगदैर्ध्य अधिकतम होगी।

(A) वृत्ताकार धारा लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ है।
यहाँ,$I$ विद्युत धारा है,जो $I = \frac{e}{T} = \frac{ev}{2\pi r}$ है,जहाँ $v$ कक्षीय वेग है और $r$ कक्षा की त्रिज्या है।
बोहर के सिद्धांत के अनुसार,$r \propto n^2$ और $v \propto \frac{1}{n}$ है।
इन मानों को धारा के सूत्र में रखने पर: $I \propto \frac{(1/n)}{n^2} = n^{-3}$ प्राप्त होता है।
अब,$I$ और $r$ के मानों को चुंबकीय क्षेत्र के सूत्र में रखने पर: $B \propto \frac{I}{r} \propto \frac{n^{-3}}{n^2} = n^{-5}$ प्राप्त होता है।
अतः,केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $n^{-5}$ के समानुपाती है।