Bohr's Model of Hydrogen Atom Questions in Hindi

(A) बोर की क्वांटाइजेशन शर्त के अनुसार,इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग: $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ है।
इससे,वेग $v = \frac{nh}{2\pi mr}$ प्राप्त होता है।
इलेक्ट्रॉन का कक्षीय त्वरण (अभिकेंद्र त्वरण): $a = \frac{v^2}{r}$ है।
$v$ का मान रखने पर: $a = \frac{(\frac{nh}{2\pi mr})^2}{r} = \frac{n^2 h^2}{4\pi^2 m^2 r^2 \cdot r} = \frac{n^2 h^2}{4\pi^2 m^2 r^3}$।

(B) हाइड्रोजन परमाणु की $n^{\text{वीं}}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का आवर्तकाल $T$ इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $T = \frac{4 \varepsilon_{0}^{2} n^{3} h^{3}}{m Z^{2} e^{4}}$.
चूंकि कक्षीय आवृत्ति $f$, आवर्तकाल का व्युत्क्रम होती है $(f = 1/T)$, इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$f \propto \frac{1}{n^{3}}$.
अतः, कक्षीय आवृत्ति $n^{-3}$ के समानुपाती होती है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन का रैखिक संवेग $p = mv = \frac{mZe^2}{2 \epsilon_0 nh}$ द्वारा दिया जाता है। हाइड्रोजन के लिए $Z=1$ है,इसलिए $p \propto \frac{1}{n}$ होता है।
$n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L$,बोहर के क्वांटमीकरण प्रतिबंध के अनुसार $L = \frac{nh}{2\pi}$ होता है। अतः,$L \propto n$ होता है।
रैखिक संवेग और कोणीय संवेग का गुणनफल $p \times L \propto \left(\frac{1}{n}\right) \times n = n^0$ होता है।
इसे $n^x$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 0$ प्राप्त होता है।

(A) बोहर की क्वांटाइजेशन शर्त के अनुसार,इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ द्वारा दिया जाता है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $2\pi r = n \left( \frac{h}{mv} \right)$ प्राप्त होता है।
चूंकि डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य को $\lambda = \frac{h}{mv}$ के रूप में परिभाषित किया गया है,हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करके $2\pi r = n\lambda$ प्राप्त कर सकते हैं।
पहली कक्षा के लिए,$n = 1$ है।
अतः,तरंगदैर्ध्य $\lambda = 2\pi r$ होगी।

(B) हाइड्रोजन परमाणु में कक्षा की त्रिज्या $r_n = a_0 n^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $a_0$ बोहर त्रिज्या $(5.3 \times 10^{-11} \ m)$ है और $n$ मुख्य क्वांटम संख्या है।
चूँकि $r \propto n^2$,हमारे पास अनुपात है:
$\frac{r_f}{r_i} = \left(\frac{n_f}{n_i}\right)^2$
यहाँ $r_i = 5.3 \times 10^{-11} \ m$ ($n_i = 1$ के लिए) और $r_f = 21.2 \times 10^{-11} \ m$ दिया गया है:
$\frac{21.2 \times 10^{-11}}{5.3 \times 10^{-11}} = \left(\frac{n}{1}\right)^2$
$4 = n^2$
$n = 2$
अतः,अंतिम अवस्था की मुख्य क्वांटम संख्या $n=2$ है।

(D) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को $\lambda = \frac{h}{p}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $p$ इलेक्ट्रॉन का संवेग है।
हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन के लिए,वेग $v$ मुख्य क्वांटम संख्या $n$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(v \propto \frac{1}{n})$।
चूंकि संवेग $p = mv$ है,इसलिए $p \propto \frac{1}{n}$ होता है।
इसे डी-ब्रोग्ली संबंध में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\lambda = \frac{h}{p} \propto n$ प्राप्त होता है।
मूल अवस्था $n = 1$ के अनुरूप है। तीसरी उत्तेजित अवस्था $n = 4$ के अनुरूप है।
चूंकि मुख्य क्वांटम संख्या $n$ का मान $1$ से बढ़कर $4$ हो जाता है,इसलिए डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ बढ़ जाएगी।

(B) $n$-वीं कक्षा की त्रिज्या $r_n = a_0 n^2$ द्वारा दी जाती है।
तीसरी कक्षा $(n=3)$ के लिए,त्रिज्या $r_3 = a_0 \times 3^2 = 9 a_0$ है।
बोर की क्वांटाइजेशन शर्त के अनुसार,कोणीय संवेग $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ होता है।
संवेग $mv$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$mv = \frac{nh}{2\pi r}$ प्राप्त होता है।
$n=3$ और $r=9a_0$ का मान रखने पर:
$mv = \frac{3h}{2\pi(9a_0)} = \frac{h}{6\pi a_0}$।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ होती है।
$mv$ का मान रखने पर:
$\lambda = \frac{h}{h / (6\pi a_0)} = 6\pi a_0$।

(D) हाइड्रोजन परमाणु की $n^{\text{वीं}}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $v \propto \frac{1}{n}$ द्वारा दिया जाता है。
चूंकि संवेग $p = mv$ होता है, इसलिए हमारे पास $p \propto \frac{1}{n}$ है。
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p}$ संबंध द्वारा दी जाती है。
संवेग के लिए आनुपातिकता को प्रतिस्थापित करने पर, हमें $\lambda \propto n$ प्राप्त होता है。
जैसे-जैसे इलेक्ट्रॉन उच्च उत्तेजित अवस्था में जाता है, मुख्य क्वांटम संख्या $n$ बढ़ती है。
इसलिए, डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ बढ़ जाएगी।

(C) बोहर के दूसरे अभिधारणा के अनुसार,कोणीय संवेग $\frac{nh}{2 \pi} = mvr_n$ द्वारा दिया जाता है।
इससे,डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_n = \frac{h}{mv} = \frac{2 \pi r_n}{n}$ होती है।
हम जानते हैं कि $n^{\text{th}}$ बोहर कक्षा की त्रिज्या $r_n = r_1 \times n^2$ होती है,जहाँ $r_1 = r$ है।
$4^{\text{th}}$ कक्षा $(n = 4)$ के लिए,त्रिज्या $r_4 = r \times 4^2 = 16r$ होगी।
इन मानों को तरंगदैर्ध्य के सूत्र में रखने पर:
$\lambda_4 = \frac{2 \pi r_4}{4} = \frac{2 \pi \times (16r)}{4} = 8 \pi r$.

(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $p$ इलेक्ट्रॉन का संवेग है।
चूंकि $p = mv$ और गतिज ऊर्जा $E_K = \frac{p^2}{2m}$ है,इसलिए $p = \sqrt{2mE_K}$ होता है।
हाइड्रोजन परमाणु में,$n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $\frac{1}{n^2}$ के समानुपाती होती है,अर्थात $E_K \propto \frac{1}{n^2}$।
इसलिए,संवेग $p = \sqrt{2mE_K} \propto \sqrt{\frac{1}{n^2}} = \frac{1}{n}$।
चूंकि $\lambda = \frac{h}{p}$,इसलिए $\lambda \propto n$ होता है।
जब इलेक्ट्रॉन तीसरी उत्तेजित अवस्था $(n = 4)$ से मूल अवस्था $(n = 1)$ में कूदता है,तो नई तरंगदैर्ध्य $\lambda_{final}$ और प्रारंभिक तरंगदैर्ध्य $\lambda_{initial}$ का अनुपात $\frac{\lambda_{final}}{\lambda_{initial}} = \frac{n_{final}}{n_{initial}} = \frac{1}{4}$ होता है।
अतः,डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य अपने प्रारंभिक मान की $\frac{1}{4}$ हो जाती है।

(B) डी-ब्रोग्ली परिकल्पना के अनुसार,एक कण की तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$m$ द्रव्यमान है और $v$ इलेक्ट्रॉन का वेग है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है $mv = \frac{h}{\lambda} \quad --- (1)$।
कोणीय संवेग के क्वांटाइजेशन के लिए बोहर की परिकल्पना के अनुसार,$n^{\text{th}}$ कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L = mvr = \frac{nh}{2\pi}$ द्वारा दिया जाता है।
इसे $mv$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है $mv = \frac{nh}{2\pi r} \quad --- (2)$।
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से $mv$ के व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{h}{\lambda} = \frac{nh}{2\pi r}$।
दोनों पक्षों से $h$ को हटाने पर,हमें मिलता है $\frac{1}{\lambda} = \frac{n}{2\pi r}$।
अतः,डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{2\pi r}{n}$ है।

(B) बोर के क्वांटाइजेशन अभिधारणा के अनुसार,एक स्थिर कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग इस प्रकार दिया जाता है:
$mvr = \frac{nh}{2\pi}$
इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2\pi r = \frac{nh}{mv}$
चूंकि डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य को $\lambda = \frac{h}{mv}$ के रूप में परिभाषित किया गया है,हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$2\pi r = n\lambda$
हाइड्रोजन परमाणु की मूल अवस्था के लिए,मुख्य क्वांटम संख्या $n = 1$ है।
समीकरण में $n = 1$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\lambda = 2\pi r$

(B) हाइड्रोजन परमाणु के लिए मूल अवस्था $(m=1)$ में संक्रमण हेतु रिडबर्ग सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{n^2} \right]$
$\frac{1}{\lambda R} = 1 - \frac{1}{n^2}$
$\frac{1}{n^2} = 1 - \frac{1}{\lambda R}$
$\frac{1}{n^2} = \frac{\lambda R - 1}{\lambda R}$
दोनों पक्षों का व्युत्क्रम लेने पर:
$n^2 = \frac{\lambda R}{\lambda R - 1}$
अतः,उत्तेजित अवस्था की क्वांटम संख्या है:
$n = \sqrt{\frac{\lambda R}{\lambda R - 1}}$

(B) मूल अवस्था $(n=1)$ में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_1 = -13.6 \text{ eV}$ होती है।
जब परमाणु $12.1 \text{ eV}$ ऊर्जा का फोटॉन अवशोषित करता है,तो नया ऊर्जा स्तर $E_n$ इस प्रकार होगा:
$E_n = E_1 + 12.1 \text{ eV} = -13.6 \text{ eV} + 12.1 \text{ eV} = -1.5 \text{ eV}$.
बोहर के सूत्र $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ का उपयोग करने पर:
$-1.5 = -\frac{13.6}{n^2} \implies n^2 = \frac{13.6}{1.5} \approx 9.06 \approx 9$.
अतः,$n = 3$.
इलेक्ट्रॉन $n=3$ स्तर में उत्तेजित हो जाता है। इलेक्ट्रॉन के मूल अवस्था में वापस आने के लिए संभावित संक्रमण इस प्रकार हैं:
$1$. $n=3$ से $n=2$
$2$. $n=3$ से $n=1$
$3$. $n=2$ से $n=1$
स्पेक्ट्रमी रेखाओं की संख्या ज्ञात करने का सूत्र $N = \frac{n(n-1)}{2} = \frac{3(3-1)}{2} = 3$ है।
अतः,$3$ स्पेक्ट्रमी रेखाएं उत्सर्जित होंगी।

(D) नाभिक और इलेक्ट्रॉन के बीच का स्थिर-विद्युत बल वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
स्थिर-विद्युत बल $=$ अभिकेंद्र बल
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Z e^{2}}{r^{2}} = \frac{m v^{2}}{r}$
वेग $v$ के लिए हल करने पर:
$v = \sqrt{\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Z e^{2}}{m r}}$
दिए गए मान: $Z = 1$, $e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$, $r = 0.1 \times 10^{-9} \,m$, $m = 9.1 \times 10^{-31} \,kg$, और $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} = 9 \times 10^{9} \,N \cdot m^{2} \cdot C^{-2}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$v = \sqrt{\frac{9 \times 10^{9} \times 1 \times (1.6 \times 10^{-19})^{2}}{9.1 \times 10^{-31} \times 0.1 \times 10^{-9}}}$
$v = \sqrt{\frac{23.04 \times 10^{-29}}{9.1 \times 10^{-41}}} \approx 1.59 \times 10^{6} \,ms^{-1}$.

(D) $n^{\text{th}}$ बोहर कक्षा की त्रिज्या $r_n \propto n^2$ है।
$n^{\text{th}}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $v_n \propto \frac{1}{n}$ है।
कोणीय वेग $\omega_n = \frac{v_n}{r_n} \propto \frac{1/n}{n^2} = \frac{1}{n^3}$ होता है।
परिक्रमण करते हुए इलेक्ट्रॉन द्वारा उत्पन्न धारा $I_n = \frac{e}{T_n} = \frac{e \omega_n}{2 \pi} \propto \omega_n \propto \frac{1}{n^3}$ है।
कक्षा के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_n = \frac{\mu_0 I_n}{2 r_n}$ है।
समानुपातिकता रखने पर: $B_n \propto \frac{I_n}{r_n} \propto \frac{1/n^3}{n^2} = \frac{1}{n^5}$।
अतः,$B_n \propto n^{-5}$।

(A) वृत्तीय धारा लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन $T$ आवर्तकाल के साथ घूमता है, इसलिए समतुल्य धारा $I = \frac{e}{T}$ है।
चूंकि $T = \frac{2\pi r}{v}$, इसलिए $I = \frac{ev}{2\pi r}$ प्राप्त होता है।
इस मान को चुंबकीय क्षेत्र के सूत्र में रखने पर: $B = \frac{\mu_0 (ev/2\pi r)}{2r} = \frac{\mu_0 ev}{4\pi r^2}$।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए मूल अवस्था $(n=1)$ में, बोहर के सिद्धांत के अनुसार वेग $v$ और त्रिज्या $r$ इस प्रकार हैं:
$v = \frac{e^2}{2\epsilon_0 h}$ और $r = \frac{\epsilon_0 h^2}{\pi m e^2}$।
इन मानों को $B$ के व्यंजक में रखने पर:
$B = \frac{\mu_0 e}{4\pi} \cdot \left( \frac{e^2}{2\epsilon_0 h} \right) \cdot \left( \frac{\pi m e^2}{\epsilon_0 h^2} \right)^2$
$B = \frac{\mu_0 e^3}{8\pi \epsilon_0 h} \cdot \frac{\pi^2 m^2 e^4}{\epsilon_0^2 h^4} = \frac{\mu_0 e^7 \pi m^2}{8 \epsilon_0^3 h^5}$।

(B) बोर के सिद्धांत के अनुसार,'$n^{th}$' कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग '$L$',$L = \frac{nh}{2\pi}$ द्वारा दिया जाता है।
परिक्रमण करते हुए इलेक्ट्रॉन से संबंधित चुंबकीय आघूर्ण '$M$',$M = \frac{e}{2m_e} L$ द्वारा दिया जाता है।
'$M$' के समीकरण में '$L$' का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$M = \frac{e}{2m_e} \left( \frac{nh}{2\pi} \right) = \frac{enh}{4\pi m_e}$।
चूंकि '$e$','$h$','$m_e$',और '$\pi$' स्थिरांक हैं,इसलिए $M \propto n$ प्राप्त होता है।

(D) वृत्ताकार कक्षा में गति करते हुए इलेक्ट्रॉन द्वारा उत्पन्न धारा $i = \frac{e}{T}$ है,जहाँ $T$ परिक्रमण काल है। चूँकि $T = \frac{2 \pi r}{v}$,इसलिए $i = \frac{ev}{2 \pi r}$ है।
धारा लूप का चुंबकीय आघूर्ण $M = iA$ होता है,जहाँ $A = \pi r^2$ कक्षा का क्षेत्रफल है।
मान रखने पर,$M = \left(\frac{ev}{2 \pi r}\right) (\pi r^2) = \frac{evr}{2}$ प्राप्त होता है।
इलेक्ट्रॉन के द्रव्यमान $m_{e}$ से गुणा और भाग करने पर,$M = \frac{e}{2 m_{e}} (m_{e}vr)$ प्राप्त होता है।
बोर की क्वांटमीकरण शर्त के अनुसार,कोणीय संवेग $L = m_{e}vr = \frac{nh}{2 \pi}$ है।
इस मान को $M$ के समीकरण में रखने पर,$M = \frac{e}{2 m_{e}} \left(\frac{nh}{2 \pi}\right)$ प्राप्त होता है।

(D) हाइड्रोजन जैसे परमाणु में $n^{\text{th}}$ कक्षा में स्थित इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा $E$ का सूत्र $E_n = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ है।
हाइड्रोजन परमाणु $(_1H^1)$ के लिए,$Z_H = 1$ और $n = 2$ है। अतः,$E_H = -13.6 \frac{1^2}{2^2} = -13.6 \times \frac{1}{4} \text{ eV}$।
हीलियम आयन $(He^+)$ के लिए,$Z_{He} = 2$ और $n = 2$ है। अतः,$E_{He} = -13.6 \frac{2^2}{2^2} = -13.6 \times 1 \text{ eV}$।
हाइड्रोजन परमाणु और हीलियम आयन की कुल ऊर्जा का अनुपात: $\frac{E_H}{E_{He}} = \frac{-13.6 \times (1/4)}{-13.6 \times 1} = \frac{1}{4}$ है।

(D) $n$-वीं कक्षा की त्रिज्या $r_{n} \propto \frac{n^{2}}{Z}$ द्वारा दी जाती है।
$H$-परमाणु के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 1$ है।
इसलिए,त्रिज्या मुख्य क्वांटम संख्या के वर्ग के समानुपाती होती है: $r_{n} \propto n^{2}$।
दूसरी कक्षा $(n_{2} = 2)$ और तीसरी कक्षा $(n_{3} = 3)$ के लिए:
$\frac{r_{2}}{r_{3}} = \left(\frac{n_{2}}{n_{3}}\right)^{2} = \left(\frac{2}{3}\right)^{2} = \frac{4}{9}$।
अतः,अनुपात $4: 9$ है।

(B) बोर के अभिधारणा के अनुसार,$n^{\text{वीं}}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L = \frac{nh}{2\pi}$ द्वारा दिया जाता है।
$5^{\text{वीं}}$ कक्षा $(n_1 = 5)$ के लिए,कोणीय संवेग $L_5 = \frac{5h}{2\pi}$ है।
$3^{\text{सरी}}$ कक्षा $(n_2 = 3)$ के लिए,कोणीय संवेग $L_3 = \frac{3h}{2\pi}$ है।
कोणीय संवेग में परिवर्तन $\Delta L$ इस प्रकार है:
$\Delta L = L_5 - L_3$
$\Delta L = \frac{5h}{2\pi} - \frac{3h}{2\pi}$
$\Delta L = \frac{h}{2\pi} (5 - 3)$
$\Delta L = \frac{2h}{2\pi} = \frac{h}{\pi}$.

(A) हाइड्रोजन जैसे परमाणु में इलेक्ट्रॉन कक्षा की त्रिज्या का सूत्र: $r_n = n^2 a_0$ है,जहाँ $n$ मुख्य क्वांटम संख्या है और $a_0$ बोहर त्रिज्या $(5.3 \times 10^{-11} \ m)$ है।
$n=4$ अवस्था के लिए,हम सूत्र में मान रखते हैं:
$r_4 = (4)^2 \times (5.3 \times 10^{-11} \ m)$
$r_4 = 16 \times 5.3 \times 10^{-11} \ m$
$r_4 = 84.8 \times 10^{-11} \ m$
$r_4 = 8.48 \times 10^{-10} \ m$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा $E$, उसकी गतिज ऊर्जा $K$ और स्थितिज ऊर्जा $U$ के योग के बराबर होती है।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए, कुल ऊर्जा $E$ और गतिज ऊर्जा $K$ के बीच का संबंध $E = -K$ होता है।
दिया गया है कि मूल अवस्था ऊर्जा $E = -13.6 \text{ eV}$ है।
इसलिए, गतिज ऊर्जा $K = -E = -(-13.6 \text{ eV}) = 13.6 \text{ eV}$ होगी।
अतः, सही विकल्प $C$ है।

(B) हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन के लिए,स्थिर-वैद्युत स्थितिज ऊर्जा $U$ और गतिज ऊर्जा $K$ के बीच का संबंध विरियल प्रमेय द्वारा दिया जाता है।
$U = -2K$
दिया गया है कि गतिज ऊर्जा $K = \frac{e^{2}}{8 \pi \varepsilon_{0} r}$ है।
इस मान को संबंध में रखने पर:
$U = -2 \times \left( \frac{e^{2}}{8 \pi \varepsilon_{0} r} \right)$
$U = -\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} r}$
अतः,स्थितिज ऊर्जा $-\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} r}$ है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा $(E)$,उसकी गतिज ऊर्जा $(K)$ और स्थितिज ऊर्जा $(U)$ का योग होती है।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,कुल ऊर्जा $(E)$,गतिज ऊर्जा $(K)$ और स्थितिज ऊर्जा $(U)$ के बीच संबंध $E = -K = U/2$ होता है।
दिया गया है कि मूल अवस्था ऊर्जा $E = -13.6 \ eV$ है।
इसलिए,स्थितिज ऊर्जा $U = 2 \times E$ होगी।
$U = 2 \times (-13.6 \ eV) = -27.2 \ eV$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु के बोहर मॉडल में, कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $(K)$, स्थितिज ऊर्जा $(U)$ और कुल ऊर्जा $(E)$ इस प्रकार संबंधित हैं:
$K = -E$
$U = 2E$
$K = -\frac{U}{2}$
दिया गया है कि गतिज ऊर्जा $K = x$ है।
चूंकि $K = -E$, इसलिए $x = -E$, जिसका अर्थ है कि $E = -x$।
अतः, इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा $-x$ है।

(C) कोणीय संवेग के लिए बोर की क्वांटाइजेशन शर्त के अनुसार,कक्षीय कोणीय संवेग $L$ इस प्रकार है:
$L = mvr = \frac{nh}{2\pi}$
जहाँ:
$m = 6.0 \times 10^{24} \ kg$ (पृथ्वी का द्रव्यमान)
$v = 3 \times 10^{4} \ m/s$ (कक्षीय गति)
$r = 1.5 \times 10^{11} \ m$ (कक्षीय त्रिज्या)
$h = 6.625 \times 10^{-34} \ J \ s$ (प्लांक नियतांक)
क्वांटम संख्या $n$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$n = \frac{2\pi mvr}{h}$
मान रखने पर:
$n = \frac{2 \times 3.14159 \times (6.0 \times 10^{24}) \times (3 \times 10^{4}) \times (1.5 \times 10^{11})}{6.625 \times 10^{-34}}$
$n = \frac{169.646 \times 10^{39}}{6.625 \times 10^{-34}}$
$n \approx 25.6 \times 10^{73} = 2.56 \times 10^{74} \approx 2.6 \times 10^{74}$
अतः,क्वांटम संख्या $2.6 \times 10^{74}$ है।

(D) हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा की त्रिज्या $r_{n} = n^{2} a_{0}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $a_{0}$ बोहर त्रिज्या है।
पहली कक्षा के लिए,$n = 1$,इसलिए $r_{1} = (1)^{2} a_{0} = a_{0}$।
तीसरी उत्तेजित अवस्था $n = 4$ के अनुरूप है (क्योंकि मूल अवस्था $n=1$ है,पहली उत्तेजित अवस्था $n=2$ है,दूसरी उत्तेजित अवस्था $n=3$ है,और तीसरी उत्तेजित अवस्था $n=4$ है)।
इसलिए,तीसरी उत्तेजित अवस्था में त्रिज्या $r_{4} = (4)^{2} a_{0} = 16 a_{0}$ होगी।

(B) बोर के अभिधारणा के अनुसार,$n$ कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$L = \frac{nh}{2\pi}$
यहाँ $n = 5$ और प्लांक नियतांक $h \approx 6.63 \times 10^{-34} \text{ J s}$ दिया गया है:
$L = \frac{5 \times 6.63 \times 10^{-34}}{2 \times 3.14}$
$L = \frac{33.15 \times 10^{-34}}{6.28}$
$L \approx 5.278 \times 10^{-34} \text{ J s}$
दो सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $L \approx 5.3 \times 10^{-34} \text{ J s}$ प्राप्त होता है।

(C) बोर के अभिधारणा के अनुसार,कक्षा $n$ में एक इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L = n \frac{h}{2 \pi}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभिक अवस्था $n_i = 4$ के लिए,कोणीय संवेग $L_i = 4 \frac{h}{2 \pi}$ है।
अंतिम अवस्था $n_f = 1$ के लिए,कोणीय संवेग $L_f = 1 \frac{h}{2 \pi}$ है।
कोणीय संवेग में परिवर्तन $\Delta L = L_i - L_f$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\Delta L = \frac{4 h}{2 \pi} - \frac{1 h}{2 \pi} = \frac{3 h}{2 \pi}$।

(A) जब एक इलेक्ट्रॉन कक्षा $n_1$ से $n_2$ में संक्रमण करता है,तो अवशोषित विकिरण की तरंग दैर्ध्य $\lambda$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है:
$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$
यहाँ $n_1 = 2$ और $n_2 = 4$ दिया गया है:
$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right]$
$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right]$
$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{4 - 1}{16} \right]$
$\frac{1}{\lambda} = \frac{3 R}{16}$
अतः,तरंग दैर्ध्य $\lambda = \frac{16}{3 R}$ होगी।

(A) जब एक इलेक्ट्रॉन ऊर्जा स्तर $n$ से निचले स्तरों में संक्रमण करता है,तो उत्सर्जित स्पेक्ट्रमी रेखाओं की संख्या $N = \frac{n(n-1)}{2}$ द्वारा दी जाती है।
प्रथम स्थिति के लिए,$N = 3$:
$3 = \frac{n_{1}(n_{1}-1)}{2} \Rightarrow n_{1}^2 - n_{1} - 6 = 0 \Rightarrow (n_{1}-3)(n_{1}+2) = 0$.
चूंकि $n_{1} > 0$,इसलिए $n_{1} = 3$ है।
द्वितीय स्थिति के लिए,$N = 6$:
$6 = \frac{n_{2}(n_{2}-1)}{2} \Rightarrow n_{2}^2 - n_{2} - 12 = 0 \Rightarrow (n_{2}-4)(n_{2}+3) = 0$.
चूंकि $n_{2} > 0$,इसलिए $n_{2} = 4$ है।
$n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की कक्षीय गति $v_n = \frac{Ze^2}{2\varepsilon_0 hn}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है कि $v \propto \frac{1}{n}$।
अतः,गति का अनुपात $\frac{v_1}{v_2} = \frac{n_2}{n_1} = \frac{4}{3}$ है।

(A) हाइड्रोजन जैसे आयन की आयनन ऊर्जा का सूत्र $E = R c h Z^2$ है,जहाँ $R$ रिडबर्ग नियतांक है,$c$ प्रकाश की गति है,$h$ प्लांक नियतांक है और $Z$ परमाणु क्रमांक है।
लिथियम आयन $Li^{2+}$ के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 3$ है।
सूत्र में $Z$ का मान रखने पर:
$E = R c h (3)^2 = 9 R c h$.
अतः,$Li^{2+}$ की आयनन ऊर्जा $9 h c R$ है।

(B) $n^{\text{वीं}}$ बोहर कक्षा की त्रिज्या का सूत्र $r_n = n^2 r_1$ है, जहाँ $r_1$ प्रथम कक्षा की त्रिज्या $(r_1 = r)$ है।
दूसरी बोहर कक्षा के लिए, $n = 2$ है।
सूत्र में $n$ का मान रखने पर:
$r_2 = (2)^2 \times r$
$r_2 = 4 r$
अतः, दूसरी बोहर कक्षा की त्रिज्या $4 r$ होगी।

(D) हाइड्रोजन परमाणु की $n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या $r_n \propto n^2$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि कक्षा का क्षेत्रफल $A = \pi r_n^2$ है,इसलिए $A_n \propto (n^2)^2 = n^4$ होगा।
मूल अवस्था (ground state) के लिए,$n_1 = 1$ है।
प्रथम उत्तेजित अवस्था (first excited state) के लिए,$n_2 = 2$ है।
प्रथम उत्तेजित अवस्था $(A_2)$ और मूल अवस्था $(A_1)$ के क्षेत्रफल का अनुपात है:
$\frac{A_2}{A_1} = \left(\frac{n_2}{n_1}\right)^4 = \left(\frac{2}{1}\right)^4 = 16$।
अतः,अनुपात $16: 1$ है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु की त्रिज्या का सूत्र $r_n = a_0 n^2$ है,जहाँ $a_0 = 0.53 \ Å$ बोहर त्रिज्या है और $n$ मुख्य क्वांटम संख्या है।
दिया गया है,ग्राउंड स्टेट त्रिज्या $r_1 = 0.53 \ Å$ ($n_1 = 1$ के लिए)।
उत्तेजित अवस्था की त्रिज्या $r_2 = 2.12 \ Å$ ($n_2 = n$ के लिए)।
$r \propto n^2$ संबंध का उपयोग करते हुए:
$\frac{r_2}{r_1} = \left(\frac{n_2}{n_1}\right)^2$
मान रखने पर:
$\frac{2.12}{0.53} = \left(\frac{n}{1}\right)^2$
$4 = n^2$
$n = \sqrt{4} = 2$
अतः,अंतिम अवस्था की मुख्य क्वांटम संख्या $n=2$ है।

(C) दिया गया है:
कक्षीय गति $v = 3 \times 10^4 \ m/s$
त्रिज्या $r = 1.5 \times 10^{11} \ m$
पृथ्वी का द्रव्यमान $m_e = 6 \times 10^{24} \ kg$
प्लांक नियतांक $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$
कोणीय संवेग के लिए बोहर की क्वांटाइजेशन शर्त के अनुसार:
$L = m_e v r = \frac{n h}{2 \pi}$
क्वांटम संख्या $n$ के लिए सूत्र:
$n = \frac{2 \pi m_e v r}{h}$
मान रखने पर:
$n = \frac{2 \times 3.14159 \times (6 \times 10^{24}) \times (3 \times 10^4) \times (1.5 \times 10^{11})}{6.626 \times 10^{-34}}$
$n = \frac{169.646 \times 10^{39}}{6.626 \times 10^{-34}}$
$n \approx 2.56 \times 10^{74}$
अतः,क्वांटम संख्या $2.57 \times 10^{74}$ है।

(B) हाइड्रोजन जैसे परमाणु की $n$वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की त्रिज्या का सूत्र $r_n = n^2 r_1$ है,जहाँ $r_1$ बोहर त्रिज्या (पहली कक्षा की त्रिज्या) है।
दिया गया है,$r_1 = 0.529 Å$।
हमें तीसरी कक्षा की त्रिज्या ज्ञात करनी है,इसलिए $n = 3$।
सूत्र में मान रखने पर:
$r_3 = 3^2 \times r_1$
$r_3 = 9 \times 0.529 Å$
$r_3 = 4.761 Å$.

(B) बोर के अभिधारणा के अनुसार, कोणीय संवेग $L = \frac{n h}{2 \pi}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $L = \frac{3 h}{2 \pi}$, जिससे हमें $n = 3$ प्राप्त होता है।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ द्वारा दी जाती है।
कोणीय संवेग के क्वांटीकरण से, $mvr = \frac{nh}{2\pi} = \frac{3h}{2\pi}$, इसलिए $mv = \frac{3h}{2\pi r}$।
इसे तरंगदैर्ध्य के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $\lambda = \frac{h}{mv} = \frac{h \cdot 2\pi r}{3h} = \frac{2}{3} \pi r$।
हाइड्रोजन जैसे आयन के लिए $n$-वीं कक्षा की त्रिज्या $r = a_{0} \frac{n^2}{Z}$ होती है।
$Li^{2+}$ के लिए, $Z = 3$ और $n = 3$, इसलिए $r = a_{0} \frac{3^2}{3} = 3 a_{0}$।
$r$ का मान $\lambda$ के व्यंजक में रखने पर: $\lambda = \frac{2}{3} \pi (3 a_{0}) = 2 \pi a_{0}$।
इसे दिए गए रूप $p \pi a_{0}$ के साथ तुलना करने पर, हमें $p = 2$ प्राप्त होता है।

(B) $r$ त्रिज्या की कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग बोहर की क्वांटाइजेशन शर्त के अनुसार है:
$mvr = \frac{nh}{2\pi}$
मूल अवस्था $(n=1)$ के लिए,संवेग $p = mv$ है:
$p = \frac{h}{2\pi r}$
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$\lambda = \frac{h}{p}$
कोणीय संवेग समीकरण से $p$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\lambda = \frac{h}{(h / 2\pi r)} = 2\pi r$
हाइड्रोजन परमाणु की मूल अवस्था में,बोहर त्रिज्या $r = 0.53 \text{ Å}$ होती है।
अतः,$\lambda = 2 \times 3.14 \times 0.53 \text{ Å} \approx 3.33 \text{ Å}$।
इस प्रकार,सही विकल्प $3.3 \text{ Å}$ है।

(C) $n$-वीं कक्षा में परिक्रमा कर रहे इलेक्ट्रॉन का परिक्रमण काल $T$,कक्षा की परिधि और इलेक्ट्रॉन के कक्षीय वेग के अनुपात के रूप में परिभाषित होता है: $T = \frac{2 \pi r_{n}}{v_{n}}$.
बोर के सिद्धांत के अनुसार,$n$-वीं कक्षा की त्रिज्या $r_{n} \propto n^{2}$ होती है और $n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $v_{n} \propto \frac{1}{n}$ होता है।
इन समानुपातियों को परिक्रमण काल के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$T_{n} \propto \frac{r_{n}}{v_{n}} \propto \frac{n^{2}}{1/n} = n^{3}$.
अतः,परिक्रमण काल $n^{3}$ के समानुपाती होता है।

(C) बोर के मॉडल के अनुसार,$n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $v \propto 1/n$ होता है।
$n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या $r \propto n^2$ होती है।
परिक्रमण आवृत्ति $f$ को $f = v / (2 \pi r)$ द्वारा दिया जाता है।
समानुपाती मान रखने पर: $f \propto (1/n) / n^2 = 1/n^3$।
अतः,परिक्रमण आवृत्ति $1/n^3$ के समानुपाती होती है।

(B) हाइड्रोजन परमाणु में $ n $-वीं कक्षा की ऊर्जा $ E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV} $ द्वारा दी जाती है।
ग्राउंड स्टेट $( n_1 = 1 )$ के लिए,$ E_1 = -13.6 \text{ eV} $ है।
जब परमाणु $ 10.2 \text{ eV} $ ऊर्जा अवशोषित करता है,तो नई ऊर्जा $ E_2 = -13.6 + 10.2 = -3.4 \text{ eV} $ हो जाती है।
चूंकि $ E_2 = -\frac{13.6}{n_2^2} = -3.4 \text{ eV} $,हमें $ n_2^2 = 4 $ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $ n_2 = 2 $।
कक्षीय कोणीय संवेग $ L = \frac{nh}{2\pi} $ द्वारा दिया जाता है।
कोणीय संवेग में वृद्धि $ \Delta L = L_2 - L_1 = \frac{n_2 h}{2\pi} - \frac{n_1 h}{2\pi} = \frac{(n_2 - n_1)h}{2\pi} $ है।
$ n_2 = 2 $,$ n_1 = 1 $,और $ h = 6.626 \times 10^{-34} \text{ Js} $ रखने पर:
$ \Delta L = \frac{(2 - 1) \times 6.626 \times 10^{-34}}{2 \times 3.14159} \approx 1.054 \times 10^{-34} \text{ Js} $।
अतः,वृद्धि $ 1.05 \times 10^{-34} \text{ Js} $ है।

(D) बोर कक्षा में इलेक्ट्रॉन के परिक्रमण का आवर्तकाल $T = \frac{2\pi r}{v}$ द्वारा दिया जाता है।
हम जानते हैं कि कक्षा की त्रिज्या $r \propto n^2$ और इलेक्ट्रॉन का वेग $v \propto \frac{1}{n}$ होता है।
इन संबंधों को आवर्तकाल के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $T \propto \frac{n^2}{1/n} = n^3$ प्राप्त होता है।
मूल अवस्था $(n_1 = 1)$ के लिए,आवर्तकाल $T_1 = T$ है।
प्रथम उत्तेजित अवस्था $(n_2 = 2)$ के लिए,आवर्तकाल $T_2$ है।
समानुपातिकता $T \propto n^3$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास $\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{n_2}{n_1}\right)^3$ है।
$\frac{T_2}{T} = \left(\frac{2}{1}\right)^3 = 8$।
अतः,$T_2 = 8T$।

(C) बोर के सिद्धांत के अनुसार,कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ के रूप में क्वांटीकृत होता है।
इसका तात्पर्य यह है कि कक्षीय वेग $v$,त्रिज्या $r$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है,अर्थात $v \propto \frac{1}{r}$।
मान लीजिए $v_1$ और $r_1$ मूल अवस्था में वेग और त्रिज्या हैं,और $v_2$ और $r_2$ उत्तेजित अवस्था में वेग और त्रिज्या हैं।
दिया गया है कि $v_1 = v$,$r_1 = R$,और $v_2 = \frac{v}{3}$।
संबंध $\frac{v_1}{v_2} = \frac{r_2}{r_1}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{v}{v/3} = \frac{r_2}{R}$।
$r_2$ के लिए हल करने पर,हमें $3 = \frac{r_2}{R}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $r_2 = 3R$।

(D) $n$वीं कक्षा से निचली कक्षाओं में इलेक्ट्रॉन के संक्रमण के कारण प्राप्त स्पेक्ट्रल रेखाओं की संख्या $N$ का सूत्र है: $N = \frac{n(n-1)}{2}$।
प्रथम स्थिति के लिए,$N = 6$:
$6 = \frac{n_1(n_1-1)}{2} \Rightarrow n_1^2 - n_1 - 12 = 0 \Rightarrow (n_1-4)(n_1+3) = 0$। चूँकि $n > 0$,इसलिए $n_1 = 4$ है।
दूसरी स्थिति के लिए,$N = 3$:
$3 = \frac{n_2(n_2-1)}{2} \Rightarrow n_2^2 - n_2 - 6 = 0 \Rightarrow (n_2-3)(n_2+2) = 0$। चूँकि $n > 0$,इसलिए $n_2 = 3$ है।
हाइड्रोजन परमाणु की $n$वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $v_n \propto \frac{1}{n}$ होता है।
अतः,वेगों का अनुपात: $\frac{v_1}{v_2} = \frac{n_2}{n_1} = \frac{3}{4}$ होगा।

(A) इलेक्ट्रॉन के परिक्रमण की आवृत्ति $f = \frac{v}{2 \pi r}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मानों को रखने पर: $f = \frac{2.2 \times 10^{6}}{2 \pi (5 \times 10^{-11})} \approx 7.0 \times 10^{15} \, Hz$.
इलेक्ट्रॉन की गति से संबद्ध धारा $i = qf$ है, जहाँ $q$ इलेक्ट्रॉन का आवेश $(1.6 \times 10^{-19} \, C)$ है।
$i = (1.6 \times 10^{-19} \, C) \times (7.0 \times 10^{15} \, Hz) = 11.2 \times 10^{-4} \, A$.
मिलीएम्पियर में बदलने पर: $i = 1.12 \times 10^{-3} \, A = 1.12 \, mA$.