Bohr's Model of Hydrogen Atom Questions in Gujarati

(C) $H$-પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જા $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \, eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $E_n = -1.5 \, eV$,તેથી $-1.5 = -\frac{13.6}{n^2}$.
$n^2 = \frac{13.6}{1.5} \approx 9.06$,જેનો અર્થ છે કે $n \approx 3$.
બોહરના અધિતર્ક મુજબ,કોણીય વેગમાન $L = n \frac{h}{2\pi}$ છે.
$n = 3$ અને $h = 6.626 \times 10^{-34} \, J \cdot s$ મૂકતા:
$L = 3 \times \frac{6.626 \times 10^{-34}}{2 \times 3.14159} \approx 3 \times 1.054 \times 10^{-34} \approx 3.16 \times 10^{-34} \, J \cdot s$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $3.15 \times 10^{-34} \, J \cdot s$ છે.

(B) પરિભ્રમણનો સમયગાળો $T$ એ $T = \frac{2\pi r}{v}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n^{th}$ બોહર કક્ષાની ત્રિજ્યા $r = \frac{n^2 h^2 \varepsilon_0}{\pi m Z e^2}$ છે.
$n^{th}$ બોહર કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v = \frac{Z e^2}{2 \varepsilon_0 n h}$ છે.
આ કિંમતોને $T$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$T = \frac{2\pi (\frac{n^2 h^2 \varepsilon_0}{\pi m Z e^2})}{(\frac{Z e^2}{2 \varepsilon_0 n h})} = \frac{4 \varepsilon_0^2 n^3 h^3}{m Z^2 e^4}$.
અહીં $h, \varepsilon_0, m,$ અને $e$ અચળાંકો હોવાથી,$T \propto \frac{n^3}{Z^2}$ મળે છે.

(D) બોહરના મોડેલ મુજબ,$n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા ${r_n} \propto {n^2}$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે પ્રથમ કક્ષા $(n=1)$ ની ત્રિજ્યા ${r_0}$ છે,તેથી ${r_1} = {r_0}$.
ચોથી કક્ષા $(n=4)$ માટે,ત્રિજ્યા ${r_4}$ ની ગણતરી નીચે મુજબ થાય છે:
${r_4} = {r_1} \times {n^2} = {r_0} \times {4^2}$.
${r_4} = {r_0} \times 16 = 16{r_0}$.

(C) બોહર મોડેલ મુજબ,$n$-મી કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n \propto n^2$ છે અને $n$-મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v_n \propto 1/n$ છે.
પરિભ્રમણનો આવર્તકાળ $T$ એ $T = \frac{2\pi r_n}{v_n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રમાણસરતા મૂકતા,આપણને $T \propto \frac{n^2}{1/n} = n^3$ મળે છે.
તેથી,$n = 2$ અને $n = 1$ માટે આવર્તકાળનો ગુણોત્તર $\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{2}{1}\right)^3 = \frac{8}{1}$ થાય છે.
આમ,ગુણોત્તર $8 : 1$ છે.

(B) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુની $n^{\text{મી}}$ કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર: $r_n = r_0 \frac{n^2}{Z}$ છે, જ્યાં $r_0$ એ હાઇડ્રોજનની પ્રથમ બોહર કક્ષાની ત્રિજ્યા $(0.5 \ \mathring{A})$ છે, $n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે અને $Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક છે.
$He^+$ ની ત્રીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા માટે, મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n = 3 + 1 = 4$ છે.
હિલિયમનો પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 2$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$r_4 = 0.5 \times \frac{4^2}{2} = 0.5 \times \frac{16}{2} = 0.5 \times 8 = 4 \ \mathring{A}$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુની $n^{th}$ બોહર કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઝડપ $v_n = \frac{2\pi Z e^2}{nh}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હાઇડ્રોજનની પ્રથમ બોહર કક્ષા માટે,$n = 1$ અને $Z = 1$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,ઇલેક્ટ્રોનની ઝડપ $v = \frac{2\pi e^2}{h}$ મળે છે.
આપણે આ ઝડપ અને પ્રકાશની ઝડપ $c$ નો ગુણોત્તર શોધવાનો છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{v}{c} = \frac{2\pi e^2}{hc}$ થાય છે.

(A) બોહરના અભિધારણા મુજબ,ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન આ રીતે ક્વોન્ટાઇઝ્ડ થાય છે: $mvr = \frac{nh}{2\pi}$.
આના પરથી,કક્ષીય વેગ $v$ આ મુજબ મળે છે: $v = \frac{nh}{2\pi mr}$.
કેન્દ્રગામી (કક્ષીય) પ્રવેગ $a$ ની વ્યાખ્યા આ મુજબ છે: $a = \frac{v^2}{r}$.
પ્રવેગના સૂત્રમાં $v$ નું પદ મૂકતા:
$a = \frac{(\frac{nh}{2\pi mr})^2}{r} = \frac{n^2 h^2}{4 \pi^2 m^2 r^2 \cdot r} = \frac{n^2 h^2}{4 \pi^2 m^2 r^3}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનની $n$ મી કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r_n = n^2 r_1$ છે,જ્યાં $r_1 = 0.53 \; \mathring{A}$ એ પ્રથમ કક્ષાની ત્રિજ્યા છે.
ત્રીજી કક્ષા માટે,$n = 3$ લેતા.
સૂત્રમાં $n$ ની કિંમત મૂકતા:
$r_3 = 3^2 \times r_1$
$r_3 = 9 \times 0.53 \; \mathring{A}$
$r_3 = 4.77 \; \mathring{A}$.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે બોહરના અધિતર્ક મુજબ,ઇલેક્ટ્રોન ફક્ત એવી જ કક્ષાઓમાં ભ્રમણ કરી શકે છે જેના માટે તેનું કોણીય વેગમાન $(L)$ એ $\frac{h}{2\pi}$ નો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોય.
ગાણિતિક રીતે,આને આ રીતે દર્શાવવામાં આવે છે: $L = n \cdot \frac{h}{2\pi}$,જ્યાં $n = 1, 2, 3, ...$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે,$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,અને $L$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) ઓર્બિટલ ક્વોન્ટમ આંક $l$ એ $0$ થી $n - 1$ સુધીની પૂર્ણાંક કિંમતો ધારણ કરી શકે છે.
મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n = 3$ માટે,$l$ ના શક્ય મૂલ્યો $0, 1, 2, ..., (3 - 1)$ છે.
તેથી,$l = 0, 1, 2$ મળે છે.
આ અનુક્રમે $3s, 3p,$ અને $3d$ ઓર્બિટલ્સ દર્શાવે છે.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $E_n = -3.4 \text{ eV}$ આપેલ છે,તેથી $-\frac{13.6}{n^2} = -3.4$,જેનો અર્થ છે કે $n^2 = \frac{13.6}{3.4} = 4$,એટલે કે $n = 2$.
બોહરના અધિતર્ક મુજબ,કોણીય વેગમાન $L = \frac{nh}{2\pi}$ છે.
$n = 2$ અને $h = 6.626 \times 10^{-34} \text{ J s}$ મૂકતા,આપણને $L = \frac{2h}{2\pi} = \frac{h}{\pi}$ મળે છે.
$L = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{3.1416} \approx 2.11 \times 10^{-34} \text{ J s}$.

(C) તરંગલંબાઇ $\lambda$ માટે રીડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ છે.
અહીં $2 \to 1$ સંક્રમણ ત્રણેય માટે સમાન હોવાથી,પદ $\left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ અચળ રહે છે.
તેથી,$\lambda \propto \frac{1}{Z^2}$.
$Li^{++}$ માટે,$Z = 3$,તેથી $\lambda_{Li^{++}} \propto \frac{1}{9}$.
$He^{+}$ માટે,$Z = 2$,તેથી $\lambda_{He^{+}} \propto \frac{1}{4}$.
$H$ માટે,$Z = 1$,તેથી $\lambda_{H} \propto \frac{1}{1}$.
આમ,$\lambda_{Li^{++}} : \lambda_{He^{+}} : \lambda_{H} = \frac{1}{9} : \frac{1}{4} : 1$.
બંને બાજુ $36$ વડે ગુણતા,આપણને $4 : 9 : 36$ મળે છે.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$-મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \ eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કક્ષા $(n_1 = 1)$ માટે,$E_1 = -13.6 \ eV$.
બીજી કક્ષા $(n_2 = 2)$ માટે,$E_2 = -\frac{13.6}{2^2} = -3.4 \ eV$.
ઉર્જાનો તફાવત $\Delta E = E_2 - E_1 = -3.4 - (-13.6) = 10.2 \ eV$ છે.
આને જૂલમાં ફેરવતા: $\Delta E = 10.2 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J = 1.632 \times 10^{-18} \ J$.
સંબંધ $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$ અને $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ છે:
$\lambda = \frac{hc}{\Delta E} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{1.632 \times 10^{-18}} \ m \approx 1.215 \times 10^{-7} \ m$.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$-મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઝડપ $v_n = \frac{e^2}{2\varepsilon_0 nh}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ માટે,$n = 1$ લેતા,$v_1 = \frac{e^2}{2\varepsilon_0 h}$ મળે છે.
આ ઝડપ અને પ્રકાશના વેગ $c$ નો ગુણોત્તર $\frac{v_1}{c} = \frac{e^2}{2\varepsilon_0 hc}$ થાય છે.
આ ગુણોત્તરને ફાઇન-સ્ટ્રક્ચર અચળાંક તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે,જેને $\alpha$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.

(D) બોહરની ક્વોન્ટાઈઝેશન શરત મુજબ,$n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $mvr_n = \frac{nh}{2\pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગમાન $p = mv = \frac{h}{\lambda}$ હોવાથી,આપણે આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકી શકીએ:
$\frac{h}{\lambda} \times r_n = \frac{nh}{2\pi}$.
તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટે સાદું રૂપ આપતા,$\lambda = \frac{2\pi r_n}{n}$ મળે છે.
પ્રથમ બોહર કક્ષા માટે,$n = 1$,તેથી $\lambda = 2\pi r_1$.
પ્રથમ કક્ષાનો પરિઘ $2\pi r_1$ હોવાથી,ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ પ્રથમ કક્ષાના પરિઘ જેટલી થાય છે.

(B) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર: $E_n = -\frac{13.6 Z^2}{n^2} \; eV$ છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,$Z = 1$ અને $n = 1$,તેથી ભૂમિ અવસ્થાની ઉર્જા $E_1 = -13.6 \; eV$ છે. આયનીકરણ ઉર્જા એ ઇલેક્ટ્રોનને દૂર કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા છે,જે $13.6 \; eV$ છે.
સિંગલી આયનાઇઝ્ડ હિલિયમ પરમાણુ $(He^+)$ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 2$ છે. ભૂમિ અવસ્થાની ઉર્જા $E_1 = -\frac{13.6 \times (2)^2}{(1)^2} = -13.6 \times 4 = -54.4 \; eV$ છે.
તેથી,$He^+$ ની ભૂમિ અવસ્થામાંથી ઇલેક્ટ્રોનને દૂર કરવા માટે જરૂરી આયનીકરણ ઉર્જા $54.4 \; eV$ છે.

(B) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુમાં વર્ણપટ રેખાની આવૃત્તિ રિડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\nu = R c Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
બામર શ્રેણીની પ્રથમ રેખા માટે,$n_1 = 2$ અને $n_2 = 3$ છે.
આમ,$\nu \propto Z^2$.
હાઇડ્રોજન $({H_2})$ માટે,$Z = 1$,તેથી $\nu_{H} = k(1)^2 = \nu_0$.
સિંગલી આયોનાઇઝ્ડ હિલિયમ $({He^+})$ માટે,$Z = 2$,તેથી $\nu_{He} = k(2)^2 = 4k = 4\nu_0$.
તેથી,${He^+}$ માટે અનુરૂપ રેખાની આવૃત્તિ $4\nu_0$ છે.

(B) $3d$ ઓર્બિટલમાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોન માટે,મુખ્ય ક્વોન્ટમ નંબર $n = 3$ છે.
$d$ સબશેલ માટે,એઝિમુથલ ક્વોન્ટમ નંબર $l$ હંમેશા $2$ હોય છે.
ચુંબકીય ક્વોન્ટમ નંબર $m_l$ એ $-l$ થી $+l$ સુધીની કોઈપણ પૂર્ણાંક કિંમત લઈ શકે છે,એટલે કે $m_l \in \{-2, -1, 0, +1, +2\}$.
સ્પિન ક્વોન્ટમ નંબર $m_s$ એ $+1/2$ અથવા $-1/2$ હોઈ શકે છે.
આ શરતોને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $B$ $(n=3, l=2, m_l=+2, m_s=-1/2)$ તમામ શરતોનું પાલન કરે છે.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુના બોહર મોડેલ મુજબ,$n$ મી કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r_n = n^2 a_0$ છે,જ્યાં $a_0$ એ પ્રથમ કક્ષાની ત્રિજ્યા $(n=1)$ છે.
બીજી કક્ષા માટે,$n = 2$ લેતા.
સૂત્રમાં $n$ ની કિંમત મૂકતા: $r_2 = (2)^2 a_0 = 4a_0$.
તેથી,બીજી કક્ષાની ત્રિજ્યા $4a_0$ થશે.

(D) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુની $n$-મી કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r_n = a_0 \frac{n^2}{Z}$ છે,જ્યાં $a_0$ એ બોહર ત્રિજ્યા છે,$n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે અને $Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક છે.
પ્રથમ કક્ષા માટે,$n = 1$,તેથી $r_1 \propto \frac{1}{Z}$.
આપેલ સિસ્ટમો માટે પરમાણુ ક્રમાંક $(Z)$ ની સરખામણી:
- હાઇડ્રોજન પરમાણુ $(H)$: $Z = 1$
- ડ્યુટેરિયમ પરમાણુ $(D)$: $Z = 1$
- સિંગલ આયોનાઇઝ્ડ હિલિયમ $(He^+)$: $Z = 2$
- ડબલ આયોનાઇઝ્ડ લિથિયમ $(Li^{2+})$: $Z = 3$
જેમ કે ત્રિજ્યા $r$ એ $Z$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,તેથી સૌથી વધુ પરમાણુ ક્રમાંક ધરાવતી સિસ્ટમની ત્રિજ્યા લઘુત્તમ હશે.
તેથી,ડબલ આયોનાઇઝ્ડ લિથિયમ $(Z = 3)$ ની ત્રિજ્યા લઘુત્તમ છે.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે બોહરના અભિધારણાઓ અનુસાર,ઇલેક્ટ્રોન ફક્ત તે જ કક્ષાઓમાં પરિભ્રમણ કરી શકે છે જેના માટે તેનું કોણીય વેગમાન $(L)$ એ $h / 2\pi$ નો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોય.
આ શરત નીચે મુજબ છે: $L = n(h / 2\pi)$,જ્યાં $n = 1, 2, 3, ...$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે અને $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે.
આને કોણીય વેગમાન માટે બોહરની ક્વોન્ટાઈઝેશન શરત તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

(A) બોહરની પૂર્વધારણા મુજબ,ઇલેક્ટ્રોન ફક્ત તે જ કક્ષાઓમાં ભ્રમણ કરી શકે છે જેમાં તેનું કોણીય વેગમાન $\frac{h}{2 \pi}$ નો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોય,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે.
આ કક્ષાઓમાં,ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $\frac{h}{2 \pi}, \frac{2h}{2 \pi}, \frac{3h}{2 \pi}, \dots$ વગેરે જેવું મૂલ્ય ધરાવી શકે છે,પરંતુ ક્યારેય $\frac{1.5h}{2 \pi}, \frac{2.5h}{2 \pi}, \dots$ વગેરે જેવું મૂલ્ય ધરાવી શકતું નથી.
આ સ્થિતિને કોણીય વેગમાનનું ક્વોન્ટાઇઝેશન કહેવામાં આવે છે,જે બોહર મોડેલની મૂળભૂત પૂર્વધારણા છે.

(C) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુ માટે $n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$r_n = r_0 \left( \frac{n^2}{Z} \right)$
જ્યાં $r_0$ એ હાઇડ્રોજન પરમાણુની પ્રથમ કક્ષાની ત્રિજ્યા છે અને $Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક છે.
બેરિલિયમ $(Be^{+++})$ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 4$ છે.
આપણે ઇચ્છીએ છીએ કે કક્ષીય ત્રિજ્યા $r_n$ એ હાઇડ્રોજનની ધરા અવસ્થાની ત્રિજ્યા $r_0$ જેટલી હોય.
$r_n = r_0$ લેતા,આપણને મળે છે:
$r_0 = r_0 \left( \frac{n^2}{4} \right)$
$1 = \frac{n^2}{4}$
$n^2 = 4$
$n = 2$
તેથી,ટ્રિપલી આયોનાઇઝ્ડ બેરિલિયમની $n = 2$ અવસ્થાની કક્ષીય ત્રિજ્યા હાઇડ્રોજનની ધરા અવસ્થા જેટલી હોય છે.

(D) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં $n^{\text{મી}}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = a_0 n^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $a_0$ એ બોહર ત્રિજ્યા છે અને $n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે.
કક્ષાનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r_n^2 = \pi (a_0 n^2)^2 = \pi a_0^2 n^4$ થાય.
આમ, ક્ષેત્રફળ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંકની ચતુર્થ ઘાતના સમપ્રમાણમાં છે: $A_n \propto n^4$.
ધરા અવસ્થા માટે, $n_1 = 1$. પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા માટે, $n_2 = 2$.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(A_2)$ અને ધરા અવસ્થા $(A_1)$ ના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર:
$\frac{A_2}{A_1} = \left( \frac{n_2}{n_1} \right)^4 = \left( \frac{2}{1} \right)^4 = \frac{16}{1}$.
તેથી, ગુણોત્તર $16 : 1$ છે.

(D) કેન્દ્રની આસપાસ ભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોન માટે,કુલ ઊર્જા $E$,ગતિઊર્જા $K.E.$ અને સ્થિતિઊર્જા $P.E.$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$K.E. = -E$
$P.E. = 2E$
આ સંબંધો પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $K.E. = -\frac{1}{2} P.E.$
મૂલ્યની દ્રષ્ટિએ,ગતિઊર્જા એ સ્થિતિઊર્જા કરતા અડધી હોય છે.
$|K.E.| = \frac{1}{2} |P.E.|$
તેથી,ગતિઊર્જા તેની $P.E.$ કરતા અડધી હોય છે.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n^{th}$ કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઊર્જા $(E_n)$ નું સૂત્ર $E_n = -13.6 / n^2 \, eV$ છે.
પ્રથમ બોહર કક્ષા માટે,$n = 1$,તેથી $E_1 = -13.6 \, eV$ મળે.
ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $(K.E.)$ તેની કુલ ઊર્જાના ઋણ મૂલ્ય જેટલી હોય છે,એટલે કે $K.E. = -E_n$.
તેથી,$K.E. = -(-13.6 \, eV) = +13.6 \, eV$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) બોહરના પરમાણુ સિદ્ધાંત મુજબ,ઇલેક્ટ્રોન ફક્ત એવી જ કક્ષાઓમાં ભ્રમણ કરી શકે છે જેમાં તેમનું કોણીય વેગમાન $\frac{h}{2 \pi}$ નો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોય (જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે). તેથી,કોણીય વેગમાન ક્વોન્ટાઈઝ્ડ છે: $L = n \frac{h}{2 \pi}$.
વધુમાં,હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$-મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E = -\frac{13.6}{n^2} \, \text{eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેহেতু $n$ ફક્ત પૂર્ણાંક મૂલ્યો જ લઈ શકે છે $(n = 1, 2, 3, ...)$,તેથી ઉર્જા સ્તરો પણ ક્વોન્ટાઈઝ્ડ છે. આમ,ઉર્જા અને કોણીય વેગમાન બંને ક્વોન્ટાઈઝ્ડ છે.

(C) બોહરના સિદ્ધાંત મુજબ,$n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n \propto n^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે અને $n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v_n \propto \frac{1}{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમયગાળો $(T)$ એ કક્ષાના પરિઘ અને ઇલેક્ટ્રોનના વેગનો ગુણોત્તર છે:
$T = \frac{2\pi r_n}{v_n}$
પ્રમાણસરતા મૂકતા:
$T \propto \frac{n^2}{1/n}$
$T \propto n^3$
તેથી,સાચો સંબંધ $T \propto n^3$ છે.

(A) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુની $n^{th}$ કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જાનું સૂત્ર: ${E_n} = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z_H = 1$ છે,તેથી ઊર્જા ${E_n} = -13.6 \times \frac{1^2}{n^2} = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ થાય.
સિંગલી આયોનાઇઝ્ડ હિલિયમ પરમાણુ $(He^+)$ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z_{He} = 2$ છે. $n^{th}$ કક્ષામાં ઊર્જા: ${E'_{n}} = -13.6 \times \frac{Z_{He}^2}{n^2} = -13.6 \times \frac{2^2}{n^2} = 4 \times \left( -\frac{13.6}{n^2} \right)$ થાય.
હાઇડ્રોજન પરમાણુની ઊર્જા ${E_n}$ નું પદ મૂકતા,આપણને મળે છે: ${E'_{n}} = 4{E_n}$.

(A) $n$-મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઊર્જા $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n = 2$ માટે,$E_2 = -\frac{13.6}{4} = -3.4 \text{ eV}$.
$n = 1$ માટે,$E_1 = -\frac{13.6}{1} = -13.6 \text{ eV}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ગતિઊર્જા $K = -E$ અને સ્થિતિઊર્જા $U = 2E$ છે.
$n = 2$ પર: $K_2 = 3.4 \text{ eV}$ અને $U_2 = -6.8 \text{ eV}$.
$n = 1$ પર: $K_1 = 13.6 \text{ eV}$ અને $U_1 = -27.2 \text{ eV}$.
ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર: $\frac{K_1}{K_2} = \frac{13.6}{3.4} = 4$.
સ્થિતિઊર્જાનો ગુણોત્તર: $\frac{U_1}{U_2} = \frac{-27.2}{-6.8} = 4$.
આમ,ગતિઊર્જા અને સ્થિતિઊર્જા બંને $4$ ના ગુણાંકમાં વધે છે.

(D) $1913$ માં,નીલ્સ બોહરે હાઈડ્રોજન પરમાણુ માટે એક મોડેલ પ્રસ્તાવિત કર્યું. બોહરનું મોડેલ નીચેની ધારણાઓ પર આધારિત છે:
$1$. ન્યુક્લિયસ અનંત દળ ધરાવે છે અને સ્થિર છે.
$2$. ક્વોન્ટાઈઝ્ડ કક્ષામાં રહેલા ઈલેક્ટ્રોન ઉર્જાનું ઉત્સર્જન કરતા નથી.
$3$. ઈલેક્ટ્રોનનું દળ અચળ રહે છે.
આ તમામ વિધાનો બોહરના મોડેલના મૂળભૂત પૂર્વધારણાઓ હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(C) $n^{th}$ બોહર કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r_n = r_0 n^2$ છે,જ્યાં $r_0$ એ પ્રથમ કક્ષાની ત્રિજ્યા $(n=1)$ છે.
આપેલ છે કે પ્રથમ કક્ષાની ત્રિજ્યા $(n=1)$ $r$ છે,તેથી $r = r_0(1)^2$,એટલે કે $r_0 = r$.
$2^{nd}$ બોહર કક્ષા $(n=2)$ માટે,ત્રિજ્યા $r_2 = r_0(2)^2 = 4r_0$ થશે.
$r_0 = r$ મૂકતા,આપણને $r_2 = 4r$ મળે છે.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઝડપનું સૂત્ર $v = \frac{e^2}{2\varepsilon_0 nh}$ છે.
ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ માટે,મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n = 1$ છે.
$n = 1$ મૂકતા,આપણને ઝડપ $v = \frac{e^2}{2\varepsilon_0 h}$ મળે છે.
ઇલેક્ટ્રોનની ઝડપ $(v)$ અને પ્રકાશની ઝડપ $(c)$ નો ગુણોત્તર શોધવા માટે,આપણે $\frac{v}{c} = \frac{e^2}{2\varepsilon_0 ch}$ ની ગણતરી કરીએ છીએ.
ભૌતિક અચળાંકો મૂકતા: $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,$\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \ F/m$,$c = 3 \times 10^8 \ m/s$,અને $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J\cdot s$.
$\frac{v}{c} = \frac{(1.6 \times 10^{-19})^2}{2 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 3 \times 10^8 \times 6.63 \times 10^{-34}} \approx \frac{1}{137}$.
આમ,ગુણોત્તર $1/137$ છે.

(B) $H$ પરમાણુનું રિકોઇલ વેગમાન ઉત્સર્જિત ફોટોનના વેગમાન જેટલું હોય છે.
ફોટોનનું વેગમાન $p = \frac{h}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તરંગ સંખ્યા માટે રિડબર્ગ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
આને વેગમાનના સમીકરણમાં મૂકતા: $p = hR \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
અહીં $n_1 = 1$ અને $n_2 = 4$ આપેલ છે,તેથી:
$p = hR \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{4^2} \right) = hR \left( 1 - \frac{1}{16} \right) = \frac{15hR}{16}$.
$h = 6.63 \times 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}$ અને $R = 1.097 \times 10^7 \text{ m}^{-1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$p = \frac{15 \times (6.63 \times 10^{-34}) \times (1.097 \times 10^7)}{16} \approx 6.8 \times 10^{-27} \text{ kg} \cdot \text{m/s}$ (અથવા $\text{N} \cdot \text{s}$).

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુની ધરા અવસ્થાની ઊર્જા $E_1 = -13.6 \ eV$ છે.
જ્યારે તે $10.2 \ eV$ ઊર્જાનું શોષણ કરે છે,ત્યારે તેની નવી ઊર્જા $E = -13.6 \ eV + 10.2 \ eV = -3.4 \ eV$ થાય છે.
આ પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા દર્શાવે છે,જ્યાં મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n = 2$ છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $L = \frac{nh}{2\pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધરા અવસ્થામાં $(n_1 = 1)$,કોણીય વેગમાન $L_1 = \frac{1 \cdot h}{2\pi}$ છે.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થામાં $(n_2 = 2)$,કોણીય વેગમાન $L_2 = \frac{2 \cdot h}{2\pi} = \frac{h}{\pi}$ છે.
કોણીય વેગમાનમાં થતો વધારો $\Delta L = L_2 - L_1 = \frac{2h}{2\pi} - \frac{h}{2\pi} = \frac{h}{2\pi}$ છે.
પ્લાન્ક અચળાંક $h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \cdot s$ ની કિંમત મૂકતા:
$\Delta L = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{2 \times 3.14} \approx \frac{6.6 \times 10^{-34}}{6.28} \approx 1.05 \times 10^{-34} \ J \cdot s$.

(A) $n_2$ થી $n_1$ સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $\Delta E = 13.6 Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $n=2$ થી $n=1$ સંક્રમણ બધા માટે સમાન છે,તેથી $\Delta E \propto Z^2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$,તેથી $\frac{hc}{\lambda} \propto Z^2$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda Z^2 = \text{અચળ}$.
હાઇડ્રોજન $(Z=1)$ માટે,$\lambda_1 Z_1^2 = \lambda_1 (1)^2 = \lambda_1$.
ડ્યુટેરિયમ $(Z=1)$ માટે,$\lambda_2 Z_2^2 = \lambda_2 (1)^2 = \lambda_2$.
હિલિયમ $(Z=2)$ માટે,$\lambda_3 Z_3^2 = \lambda_3 (2)^2 = 4\lambda_3$.
લિથિયમ $(Z=3)$ માટે,$\lambda_4 Z_4^2 = \lambda_4 (3)^2 = 9\lambda_4$.
આ બધાને સરખાવતા,આપણને $\lambda_1 = \lambda_2 = 4\lambda_3 = 9\lambda_4$ મળે છે.

(D) બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત મુજબ,કોણીય વેગમાન $L = mvr = \frac{h}{2\pi}$ છે.
જ્યાં $v = r\omega = r(2\pi\nu)$ અને $\nu$ એ પરિભ્રમણની આવૃત્તિ છે:
$m(r \cdot 2\pi\nu)r = \frac{h}{2\pi}$
$\Rightarrow \nu = \frac{h}{4\pi^2 mr^2}$
કિંમતો મૂકતા: $h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$m = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$,અને $r = 0.53 \times 10^{-10} \ m$:
$\nu = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{4 \times (3.14)^2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times (0.53 \times 10^{-10})^2}$
$\nu \approx 6.5 \times 10^{15} \ \text{rev/sec}$.
આમ,પરિભ્રમણની સંખ્યાનો ક્રમ $10^{15}$ છે.

(A) બોહરના મોડેલમાં $n$-મી કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = \frac{n^2 h^2 \epsilon_0}{\pi m e^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કારણ કે $r \propto 1/m$,જો દળ $m$ બમણું કરવામાં આવે,તો નવી ત્રિજ્યા $r_0$ એ $r_0 = a_0/2$ થશે.
$n$-મી કક્ષાની ઉર્જા $E_n = -\frac{m e^4}{8 \epsilon_0^2 n^2 h^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કારણ કે $E \propto m$,જો દળ $m$ બમણું કરવામાં આવે,તો નવી ઉર્જા $E_0$ એ $E_0 = 2 \times (-13.6 \text{ eV}) = -27.2 \text{ eV}$ થશે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આયોડિન $(Z=53)$ ની ઇલેક્ટ્રોનિક ગોઠવણી $2, 8, 18, 18, 7$ છે. સંયોજકતા કક્ષા $n=5$ છે.
હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુ માટે બોહર ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r_n = (0.053 \times 10^{-9} \ m) \frac{n^2}{Z}$ છે.
$n=5$ અને $Z=53$ મૂકતા:
$r_5 = (0.053 \times 10^{-9} \ m) \times \frac{5^2}{53}$
$r_5 = (0.053 \times 10^{-9} \ m) \times \frac{25}{53}$
$r_5 \approx 0.025 \times 10^{-9} \ m = 2.5 \times 10^{-11} \ m$.

(D) હાઇડ્રોજન જેવી સ્પીસીઝ માટે $n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \, eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$Li^{++}$ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 3$ છે.
$n_1 = 1$ થી $n_2 = 3$ સંક્રમણ માટે જરૂરી ઉર્જા:
$\Delta E = E_3 - E_1 = 13.6 \times Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$
$\Delta E = 13.6 \times 3^2 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} \right) = 13.6 \times 9 \times \left( 1 - \frac{1}{9} \right) = 13.6 \times 9 \times \frac{8}{9} = 108.8 \, eV$.
સંબંધ $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $h = 6.626 \times 10^{-34} \, J \cdot s$,$c = 3 \times 10^8 \, m/s$,અને $1 \, eV = 1.602 \times 10^{-19} \, J$:
$\lambda = \frac{hc}{\Delta E} = \frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{108.8 \times 1.602 \times 10^{-19}} \approx 1.1374 \times 10^{-8} \, m$.
$\lambda = 113.74 \, \mathring{A}$.

(C) આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $E = \frac{12400 \, eV \cdot \mathring{A}}{970.6 \, \mathring{A}} \approx 12.77 \, eV$.
હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં $n$-મી અવસ્થાની ઉર્જા $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \, eV$ છે.
ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n=1)$ થી $n$ અવસ્થામાં ઉત્તેજિત કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા $\Delta E = 13.6 \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)$ છે.
$\Delta E = 12.77 \, eV$ લેતા,આપણને $1 - \frac{1}{n^2} = \frac{12.77}{13.6} \approx 0.939$ મળે છે.
$\frac{1}{n^2} = 1 - 0.939 = 0.061 \Rightarrow n^2 \approx 16 \Rightarrow n = 4$.
ઇલેક્ટ્રોન $n$ અવસ્થામાંથી નીચલી અવસ્થાઓમાં સંક્રમણ કરે ત્યારે ઉત્સર્જન રેખાઓની સંખ્યા $N = \frac{n(n-1)}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n=4$ માટે,$N = \frac{4(4-1)}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = 6$.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં,$n$ માં સ્તરની ઉર્જા $E_n = -\frac{Rhc}{n^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉર્જા $E_n$ એ ભ્રમણકક્ષામાં રહેલા કણના દળના સીધા પ્રમાણમાં હોવાથી $(E_n \propto m)$,અને નવા કણનું દળ $m' = 2m_e$ હોવાથી,આ કાલ્પનિક પરમાણુ માટે ઉર્જા સ્તરો $E'_n = -\frac{2Rhc}{n^2}$ થશે.
સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ ધરાવતો ફોટોન ન્યૂનતમ ઉર્જાના સંક્રમણને અનુરૂપ છે,જે $n = 3$ થી $n = 2$ વચ્ચે થાય છે.
ઉર્જાનો તફાવત $\Delta E = E'_3 - E'_2 = -\frac{2Rhc}{3^2} - (-\frac{2Rhc}{2^2}) = 2Rhc \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right)$ છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$\Delta E = 2Rhc \left( \frac{5}{36} \right) = \frac{5Rhc}{18}$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$,તેથી $\frac{hc}{\lambda} = \frac{5Rhc}{18}$.
આમ,$\lambda = \frac{18}{5R}$ મળે છે.

(D) હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે બોહર મોડેલ મુજબ:
$1$. $n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $R_n = \frac{\varepsilon_0 n^2 h^2}{\pi m Z e^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે સૂચવે છે કે $R \propto n^2$.
$2$. $n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઝડપ $v_n = \frac{Z e^2}{2 \varepsilon_0 n h}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે સૂચવે છે કે $v \propto \frac{1}{n}$.
$3$. $n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઉર્જા $E_n = -\frac{m Z^2 e^4}{8 \varepsilon_0^2 n^2 h^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે સૂચવે છે કે $E \propto \frac{1}{n^2}$.
હવે,ચાલો આપેલા વિકલ્પો માટે સમપ્રમાણતા તપાસીએ:
- $vR$ માટે: $v \cdot R \propto (\frac{1}{n}) \cdot (n^2) = n$.
તેથી,રાશિ $vR$ એ ક્વોન્ટમ નંબર $n$ ના સમપ્રમાણમાં છે.

(B) બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n = 3$ ને અનુરૂપ છે.
બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત મુજબ,કોણીય વેગમાન $l = n \left( \frac{h}{2\pi} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને સમાન અવસ્થા $n = 3$ માં હોવાથી,તેમના કોણીય વેગમાન સમાન છે: $l_H = l_{Li} = 3 \left( \frac{h}{2\pi} \right)$.
હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
હાઇડ્રોજન $(Z_H = 1)$ અને $Li^{++}$ $(Z_{Li} = 3)$ માટે,ઉર્જા $E_H = -13.6 \frac{1^2}{3^2}$ અને $E_{Li} = -13.6 \frac{3^2}{3^2}$ છે.
તેમના મૂલ્યો લેતા,$|E_H| = \frac{13.6}{9} \text{ eV}$ અને $|E_{Li}| = 13.6 \text{ eV}$ મળે છે.
સ્પષ્ટપણે,$|E_H| < |E_{Li}|$. તેથી,વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.

(D) વર્ણપટની રેખાઓની તરંગલંબાઈ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{1}{\lambda} = R_M \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$
જ્યાં $R_M = \frac{R_{\infty}}{1 + \frac{m}{M}}$,$m$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે અને $M$ એ ન્યુક્લિયસનું દળ છે.
ડ્યુટેરિયમ ન્યુક્લિયસનું દળ $(M_D \approx 2M_H)$ હાઇડ્રોજન ન્યુક્લિયસના દળ $(M_H)$ કરતા અલગ હોવાથી,ડ્યુટેરિયમ માટે રીડબર્ગ અચળાંક $R_M$ હાઇડ્રોજન કરતા થોડો અલગ હોય છે.
પરિણામે,ડ્યુટેરિયમ માટેની વર્ણપટ રેખાઓની તરંગલંબાઈ હાઇડ્રોજન કરતા અલગ પડે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(A) સ્થિતિ ઉર્જા $U = eV = eV_0 \ln(r/r_0)$ છે.
બળ $F = -dU/dr = -d/dr(eV_0 \ln(r/r_0)) = -eV_0/r$. બળનું મૂલ્ય $F = eV_0/r$ છે.
આ બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $mv^2/r = eV_0/r$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$mv^2 = eV_0$,જેનો અર્થ છે કે $v = \sqrt{eV_0/m}$. નોંધો કે $v$ એ $r$ અને $n$ થી સ્વતંત્ર છે.
બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત મુજબ,કોણીય વેગમાન $mvr = nh/(2\pi)$ છે.
$v = \sqrt{eV_0/m}$ ને ક્વોન્ટાઇઝેશન શરતમાં મૂકતા,આપણને $m(\sqrt{eV_0/m})r_n = nh/(2\pi)$ મળે છે.
$r_n$ માટે ઉકેલતા,$r_n = (nh / (2\pi)) \cdot \sqrt{1/(meV_0)}$ મળે છે.
જેથી $h, m, e, V_0$ અચળાંકો હોવાથી,આપણે કહી શકીએ કે $r_n \propto n$.

(D) બોહર મોડેલમાં કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = n^2 \frac{a_0}{Z}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a_0$ એ બોહર ત્રિજ્યા $(0.529 \ \mathring{A})$ છે,$n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ નંબર છે અને $Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક છે.
આપેલ પરમાણુ $_{100}Fm^{257}$ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 100$ છે.
ફર્મિયમ $(Z=100)$ માટે સૌથી બહારની કક્ષા $5f$ કક્ષા છે,તેથી મુખ્ય ક્વોન્ટમ નંબર $n_{shell} = 5$ છે.
સૌથી બહારની કક્ષાની ત્રિજ્યા $r = (5)^2 \frac{a_0}{100} = \frac{25}{100} a_0 = 0.25 a_0$ થાય.
આમ,ત્રિજ્યા એ બોહર ત્રિજ્યા કરતા $0.25$ ગણી છે,તેથી $n = 0.25$.

(A) હાઇડ્રોજન જેવા આયનની $n$-મી કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \, eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $n=2$ ને અનુરૂપ છે,અને ભૂમિ અવસ્થા $n=1$ ને અનુરૂપ છે.
ઉત્તેજન ઉર્જા $\Delta E = E_2 - E_1 = -13.6 Z^2 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{1^2} \right) = -13.6 Z^2 \left( \frac{1}{4} - 1 \right) = 13.6 Z^2 \times \frac{3}{4}$ છે.
આપેલ છે કે $\Delta E = 40.8 \, eV$,તેથી $40.8 = 13.6 \times Z^2 \times 0.75$.
$40.8 = 10.2 \times Z^2 \Rightarrow Z^2 = 4 \Rightarrow Z = 2$.
ભૂમિ અવસ્થામાંથી ઇલેક્ટ્રોનને દૂર કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા એ આયનીકરણ ઉર્જા છે,$E_{ion} = |E_1| = 13.6 \times Z^2 \, eV$.
$E_{ion} = 13.6 \times (2)^2 = 13.6 \times 4 = 54.4 \, eV$.

(B) ધારો કે હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુની ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ ઉર્જા $E_0 = -13.6 Z^2 \ eV$ છે. $k$ અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_k = \frac{E_0}{k^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે પરમાણુ $2n$ અવસ્થામાં છે અને ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(k=1)$ પર આવવા માટે $204 \ eV$ નો મહત્તમ ઉર્જા ધરાવતો ફોટોન ઉત્સર્જિત કરે છે:
$E_{2n} - E_1 = 204 \ eV$
$\frac{E_0}{(2n)^2} - E_0 = 204 \ eV$
$E_0 \left( \frac{1}{4n^2} - 1 \right) = 204 \ eV$ --- $(i)$
આપેલ છે કે પરમાણુ $2n$ અવસ્થામાંથી $n$ અવસ્થામાં સંક્રમણ કરે છે ત્યારે $40.8 \ eV$ નો ફોટોન ઉત્સર્જિત થાય છે:
$E_{2n} - E_n = 40.8 \ eV$
$\frac{E_0}{4n^2} - \frac{E_0}{n^2} = 40.8 \ eV$
$E_0 \left( \frac{1 - 4}{4n^2} \right) = 40.8 \ eV$
$E_0 \left( -\frac{3}{4n^2} \right) = 40.8 \ eV$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{E_0 \left( \frac{1 - 4n^2}{4n^2} \right)}{E_0 \left( -\frac{3}{4n^2} \right)} = \frac{204}{40.8}$
$\frac{1 - 4n^2}{-3} = 5$
$1 - 4n^2 = -15$
$4n^2 = 16$
$n^2 = 4$
$n = 2$

(A) પરમાણુની ઊર્જા $E_n = -\frac{13.6 Z^2}{n^2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે. ધારો કે $E_1 = -13.6 Z^2$.
સૌથી વધુ ઊર્જા ધરાવતો ફોટોન $n^{th}$ અવસ્થાથી ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n=1)$ માં સંક્રમણ દરમિયાન મળે છે:
$E_{max} = E_n - E_1 = -\frac{E_1}{n^2} - E_1 = -E_1 \left( \frac{1}{n^2} - 1 \right) = 52.224 \ eV$ ... $(i)$
સૌથી ઓછી ઊર્જા ધરાવતો ફોટોન નજીકની અવસ્થાઓ ($n$ થી $n-1$) વચ્ચેના સંક્રમણ દરમિયાન મળે છે:
$E_{min} = E_n - E_{n-1} = -\frac{E_1}{n^2} - \left( -\frac{E_1}{(n-1)^2} \right) = E_1 \left( \frac{1}{(n-1)^2} - \frac{1}{n^2} \right) = 1.224 \ eV$ ... $(ii)$
$(i)$ ને $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{1 - 1/n^2}{1/(n-1)^2 - 1/n^2} = \frac{52.224}{1.224} = 42.666... \approx 42.67$
$n$ માટે ઉકેલતા, આપણને $n=5$ મળે છે.
$n=5$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$-E_1 (1/25 - 1) = 52.224 \implies E_1 (24/25) = 52.224 \implies E_1 = 54.4 \ eV$.
કારણ કે $E_1 = -13.6 Z^2 = -54.4$, તેથી $Z^2 = 4$, એટલે કે $Z = 2$.