Bohr's Model of Hydrogen Atom Questions in Gujarati

(D) હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,${n^{th}}$ બોહર કક્ષાની ત્રિજ્યા ${r_n} \propto {n^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,${r_n}$ વિરુદ્ધ ${n}$ નો આલેખ પરવલય છે,જે વિકલ્પ $(a)$ ને સાચો બનાવે છે.
ગુણોત્તર લેતા,આપણી પાસે $\frac{r_n}{r_1} = n^2$ છે. બંને બાજુ લઘુગણક લેતા,આપણને $\log \left( \frac{r_n}{r_1} \right) = 2 \log n$ મળે છે. આ $y = mx$ ના સ્વરૂપમાં છે,જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા દર્શાવે છે. આમ,વિકલ્પ $(b)$ પણ સાચો છે.
પરિભ્રમણની આવૃત્તિ માટે,${f_n} \propto \frac{1}{n^3}$ છે. ગુણોત્તર લેતા,આપણી પાસે $\frac{f_n}{f_1} = \frac{1}{n^3} = n^{-3}$ છે. બંને બાજુ લઘુગણક લેતા,આપણને $\log \left( \frac{f_n}{f_1} \right) = -3 \log n$ મળે છે. આ પણ ઋણ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા છે,તેથી વિકલ્પ $(c)$ પણ તકનીકી રીતે સીધી રેખા છે. જોકે,આવા પ્રશ્નોના પ્રમાણિત માળખાને જોતા,$(d)$ એ હેતુપૂર્વકનો જવાબ છે કારણ કે $(a)$ અને $(b)$ પ્રમાણિત પાઠ્યપુસ્તક રજૂઆતો છે.

(A) $n^{th}$ કક્ષા દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $A_n = \pi r_n^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુમાં $n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $n^2$ ના પ્રમાણમાં હોય છે (એટલે કે $r_n \propto n^2$), તેથી આપણી પાસે છે:
$\frac{A_n}{A_1} = \left( \frac{r_n}{r_1} \right)^2 = \left( \frac{n^2}{1^2} \right)^2 = n^4$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક $(\ln)$ લેતા:
$\ln \left( \frac{A_n}{A_1} \right) = \ln (n^4) = 4 \ln (n)$.
આને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા, જ્યાં $y = \ln \left| \frac{A_n}{A_1} \right|$, $x = \ln |n|$, $m = 4$, અને $c = 0$ છે, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે આલેખ એ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી $4$ ના ઢાળવાળી સીધી રેખા છે.
આપેલ આલેખ જોતા, વક્ર $4$ એ $4$ ના ઢાળવાળી સીધી રેખા દર્શાવે છે (કારણ કે $\ln |n| = 1$ પર, $\ln \left| \frac{A_n}{A_1} \right| = 4$ છે).
તેથી, સાચો વક્ર $4$ છે.

(D) બોહરનું મોડેલ હાઇડ્રોજન પરમાણુ અને એક-ઇલેક્ટ્રોન ધરાવતી પ્રજાતિઓના રેખા વર્ણપટને સૈદ્ધાંતિક રીતે સમજાવનાર પ્રથમ મોડેલ હતું.
આ સમજૂતી એ ધારણા પર આધારિત છે કે ઇલેક્ટ્રોન માત્ર ચોક્કસ ઉર્જા ધરાવતી કક્ષાઓમાં જ રહી શકે છે.
આ કક્ષાઓ વચ્ચે ઇલેક્ટ્રોનિક સંક્રમણ દરમિયાન ઉર્જાનું ઉત્સર્જન અથવા શોષણ અલગ-અલગ પેકેટો (ક્વોન્ટા) સ્વરૂપે થાય છે.
વધુમાં,કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન ક્વોન્ટાઈઝ્ડ હોય છે,જે અલગ-અલગ વર્ણપટ રેખાઓના નિર્માણ તરફ દોરી જાય છે.

(D) ફોટોનની ઉર્જા $E$ એ સૂત્ર $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
$h = 6.63 \times 10^{-34}\,J\cdot s$
$c = 3 \times 10^8\,m/s$
$\lambda = 21\,cm = 0.21\,m = 21 \times 10^{-2}\,m$
આ કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{21 \times 10^{-2}}$
$E = \frac{19.89 \times 10^{-26}}{21 \times 10^{-2}}$
$E \approx 0.947 \times 10^{-24}\,J$
$E \approx 10^{-24}\,J$.

(B) હાઈડ્રોજન પરમાણુના બોહરના સિદ્ધાંત મુજબ,$n$ મી કક્ષામાં ઈલેક્ટ્રોનની ઝડપ $(v)$ નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v \propto \frac{1}{n}$.
આ દર્શાવે છે કે ઈલેક્ટ્રોનની ઝડપ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $(n)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
જેમ $n$ નું મૂલ્ય વધે છે,તેમ ઝડપ $(v)$ ઘટે છે.
આપેલ આલેખમાં,વક્ર $B$ એ $n$ વધવાની સાથે ઘટતો ટ્રેન્ડ દર્શાવે છે,જે $v \propto \frac{1}{n}$ સંબંધ સાથે સુસંગત છે.
તેથી,આલેખ $B$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંકના વિધેય તરીકે ઈલેક્ટ્રોનની ઝડપને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(C) પરમાણુ માટે રિડબર્ગ અચળાંક $R$ એ $R = \frac{\mu e^{4}}{8 \epsilon_{0}^{2} h^{3} c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu$ એ ઇલેક્ટ્રોન-ન્યુક્લિયસ તંત્રનું રિડ્યુસ્ડ દળ (reduced mass) છે. રિડ્યુસ્ડ દળ $\mu$ ને $\mu = \frac{m_{e} M}{m_{e} + M}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $m_{e}$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે અને $M$ એ ન્યુક્લિયસનું દળ છે. ડ્યુટેરોન ન્યુક્લિયસનું દળ $(M_{D} \approx 2M_{H})$ એ હાઇડ્રોજન ન્યુક્લિયસના દળ $(M_{H})$ કરતા અલગ હોવાથી,ડ્યુટેરોન માટેનું રિડ્યુસ્ડ દળ $\mu$ હાઇડ્રોજન કરતા અલગ હોય છે. પરિણામે,રિડબર્ગ અચળાંક $R$ અને તેના કારણે મળતી વર્ણપટ રેખાઓની તરંગલંબાઈ $(\frac{1}{\lambda} = R Z^{2} (\frac{1}{n_{1}^{2}} - \frac{1}{n_{2}^{2}}))$ બંને વચ્ચે સહેજ અલગ પડે છે.

(C) બોહરના મોડેલ મુજબ,$n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n \propto n^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $r_1 = r_0$ અને $r_2 = 4r_0$ આપેલ છે,તેથી $n_1^2 \propto r_0$ અને $n_2^2 \propto 4r_0$ થાય.
આમ,$n_2/n_1 = \sqrt{4r_0/r_0} = 2$.
$n^{th}$ કક્ષામાં ઈલેક્ટ્રોનનો વેગ $v_n \propto 1/n$ હોય છે.
ભ્રમણની આવૃત્તિ $f$ એ $f = v / (2\pi r)$ દ્વારા મળે છે.
$v \propto 1/n$ અને $r \propto n^2$ મૂકતા,આપણને $f \propto (1/n) / n^2 = 1/n^3$ મળે છે.
તેથી,આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $f_1/f_2 = (n_2/n_1)^3 = (2)^3 = 8/1$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $8:1$ છે.

(A) બોહરના અધિતર્ક મુજબ,ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$mvr = \frac{nh}{2\pi}$
આના પરથી,વેગ $v$ થશે:
$v = \frac{nh}{2\pi mr}$
કેન્દ્રગામી (કક્ષીય) પ્રવેગ $a$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$a = \frac{v^2}{r}$
$v$ ની કિંમત મૂકતા:
$a = \frac{(\frac{nh}{2\pi mr})^2}{r} = \frac{n^2 h^2}{4 \pi^2 m^2 r^2 \cdot r} = \frac{n^2 h^2}{4 \pi^2 m^2 r^3}$

(B) રીડબર્ગ અચળાંક $R$ એ હાઇડ્રોજન પરમાણુની ધરા-સ્થિતિની ઊર્જા સાથે સંબંધિત છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુની ધરા-સ્થિતિની ઊર્જા $E_1 = -13.6 \ eV$ છે.
ઊર્જા સ્તર માટેનું સૂત્ર $E_n = -\frac{Rhc}{n^2}$ છે,જ્યાં $R$ એ રીડબર્ગ અચળાંક છે.
ધરા-સ્થિતિ $(n=1)$ માટે,$E_1 = -Rhc$ થાય.
$E_1 = -13.6 \ eV$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $Rhc = 13.6 \ eV$ મળે છે.
આમ,રીડબર્ગ અચળાંકને સમતુલ્ય ઊર્જા $13.6 \ eV$ છે.

(A) બે દળો $m_1$ અને $m_2$ જે $r$ અંતરે છે,તેમની દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ પરિભ્રમણ ગતિઊર્જા $(RKE)$ નું સૂત્ર $RKE = \frac{L^2}{2I}$ છે,જ્યાં $L$ એ કોણીય વેગમાન છે અને $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
રિડ્યુસ્ડ માસ (ઘટાડેલું દળ) $\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \mu r^2 = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} r^2$ છે.
બોહરના ક્વોન્ટાઈઝેશનના નિયમ મુજબ,કોણીય વેગમાન $L = \frac{nh}{2\pi}$ છે.
આ કિંમતોને $RKE$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$RKE = \frac{(nh/2\pi)^2}{2I} = \frac{n^2 h^2}{4\pi^2 \cdot 2 \cdot (\frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} r^2)} = \frac{n^2 h^2 (m_1 + m_2)}{8\pi^2 m_1 m_2 r^2}$.

(A) હાઈડ્રોજન જેવા આયનની $n^{th}$ કક્ષામાં ઈલેક્ટ્રોનની ઊર્જાનું સૂત્ર: $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ છે.
$Li^{++}$ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 3$ છે.
$1^{st}$ કક્ષા $(n_1 = 1)$ માં ઊર્જા: $E_1 = -13.6 \times \frac{3^2}{1^2} = -13.6 \times 9 = -122.4 \ eV$.
$3^{rd}$ કક્ષા $(n_2 = 3)$ માં ઊર્જા: $E_3 = -13.6 \times \frac{3^2}{3^2} = -13.6 \times 1 = -13.6 \ eV$.
ઉત્તેજના માટે જરૂરી ઊર્જા: $\Delta E = E_3 - E_1 = -13.6 - (-122.4) = 108.8 \ eV$.

(B) કુલંબના નિયમ મુજબ,ન્યુક્લિયસ અને ઈલેક્ટ્રોન વચ્ચેનું સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Ze^2}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $F \propto \frac{1}{r^2}$ હોવાથી,આપણે ત્રિજ્યા $r$ અને મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ વચ્ચેનો સંબંધ શોધવો પડે.
બોહરના નમૂનામાં,$n$-મી કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n \propto n^2$ હોય છે.
આ કિંમતને બળના સમીકરણમાં મૂકતા: $F \propto \frac{1}{(n^2)^2} = \frac{1}{n^4}$.
તેથી,ઈલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ $1/n^4$ ના પ્રમાણમાં હોય છે.

(C) તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટે રીડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ છે.
હાઈડ્રોજન $(H)$ ના પ્રથમ લાયમેન સંક્રમણ માટે,$Z_H = 1$,$n_1 = 1$,અને $n_2 = 2$. તેથી,$\frac{1}{\lambda_H} = R(1)^2 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4}$.
$He^+$ માટે,$Z_{He} = 2$. આપણે એવા $n_1$ અને $n_2$ શોધવા માંગીએ છીએ કે જેથી $\frac{1}{\lambda_{He}} = \frac{1}{\lambda_H} = \frac{3R}{4}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $R(2)^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) = \frac{3R}{4}$.
$4R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) = \frac{3R}{4} \implies \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) = \frac{3}{16}$.
આની સરખામણી $\left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = \frac{4-1}{16} = \frac{3}{16}$ સાથે કરતા.
આમ,સંક્રમણ $n = 4$ થી $n = 2$ છે.

(B) તટસ્થ હિલિયમ પરમાણુમાંથી એક ઇલેક્ટ્રોન દૂર થયા પછી તે $He^+$ આયન બને છે.
$He^+$ આયન એ હાઇડ્રોજન જેવો પરમાણુ છે જેનો પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 2$ છે.
હાઇડ્રોજન જેવા આયનની ધરા અવસ્થા $(n = 1)$ માંથી બાકી રહેલા ઇલેક્ટ્રોનને દૂર કરવા માટે જરૂરી ઊર્જા નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$E = 13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \, eV$
અહીં $Z = 2$ અને $n = 1$ કિંમતો મૂકતા:
$E = 13.6 \times \frac{2^2}{1^2} \, eV$
$E = 13.6 \times 4 \, eV$
$E = 54.4 \, eV$

(A) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઊર્જા નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$E_n = - \left( \frac{me^4}{8 \epsilon_0^2 h^2} \right) \frac{Z^2}{n^2}$
આ સમીકરણમાં $hc$ વડે ગુણતા અને ભાગતા,આપણને મળે છે:
$E_n = - \left( \frac{me^4}{8 \epsilon_0^2 h^3 c} \right) hc \frac{Z^2}{n^2} = - Rch \frac{Z^2}{n^2}$
જ્યાં $R$ એ રિડબર્ગ અચળાંક છે.
આયનીકરણ ઊર્જા એ ઇલેક્ટ્રોનને ધરા સ્થિતિ $(n=1)$ માંથી અનંત $(n=\infty)$ સુધી લઈ જવા માટે જરૂરી ઊર્જા છે:
$E_{ion} = E_{\infty} - E_1 = 0 - (- Rch \frac{Z^2}{1^2}) = Rch Z^2$
$Li^{++}$ આયન માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 3$ છે.
તેથી,$E_{ion} = Rch (3)^2 = 9 \,hcR$.

(B) કોણીય વેગમાનના ક્વોન્ટાઈઝેશન માટે બોહરના અધિતર્ક મુજબ,$n^{th}$ કક્ષામાં ઈલેક્ટ્રોનનું કક્ષીય કોણીય વેગમાન $L_n = \frac{nh}{2\pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આથી,$L_n \propto n$.
હાઈડ્રોજન પરમાણુમાં $n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = \frac{n^2 h^2 \epsilon_0}{\pi m e^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આથી,$r_n \propto n^2$,જેનો અર્થ છે કે $n \propto \sqrt{r_n}$.
$L_n \propto n$ સંબંધમાં $n \propto \sqrt{r_n}$ મૂકતા,આપણને $L_n \propto \sqrt{r_n}$ મળે છે.

(B) બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n = 3$ ને અનુરૂપ છે.
ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $l = \frac{nh}{2\pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. હાઇડ્રોજન પરમાણુ અને $Li^{2+}$ આયન બંને સમાન અવસ્થા $(n = 3)$ માં હોવાથી,તેમના કોણીય વેગમાન સમાન છે: $l_{H} = l_{Li}$.
હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જા $E = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હાઇડ્રોજન $(Z_H = 1)$ અને $Li^{2+}$ $(Z_{Li} = 3)$ માટે,ઊર્જાનું મૂલ્ય $|E| \propto Z^2$ થાય (કારણ કે $n$ અચળ છે).
આમ,$|E_{Li}| = Z_{Li}^2 |E_H| = 3^2 |E_H| = 9 |E_H|$.
તેથી,$|E_H| < |E_{Li}|$.

(D) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુમાં $n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v_n = \frac{Ze^2}{2\epsilon_0 nh}$
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે આપેલ પરમાણુ માટે ($Z$ અચળ છે):
$v_n \propto \frac{1}{n}$
અહીં બીજી કક્ષા $(n=2)$ માં વેગ $v$ આપેલ છે,તેથી:
$v_2 = v$
પાંચમી કક્ષા $(n=5)$ માટે:
$\frac{v_5}{v_2} = \frac{n_2}{n_5} = \frac{2}{5}$
તેથી,પાંચમી કક્ષામાં વેગ:
$v_5 = \frac{2}{5}v_2 = \frac{2}{5}v$

(C) કોણીય વેગ $\omega$ એ સંબંધ $\omega = \frac{v}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હાઈડ્રોજન પરમાણુ માટે બોહરના સિદ્ધાંત મુજબ:
$1$. $n^{th}$ કક્ષામાં ઈલેક્ટ્રોનનો કક્ષીય વેગ $v_n \propto \frac{1}{n}$ છે.
$2$. $n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n \propto n^2$ છે.
આ પ્રમાણસરતાઓને કોણીય વેગના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\omega_n = \frac{v_n}{r_n} \propto \frac{1/n}{n^2} = \frac{1}{n^3}$.
તેથી,$\omega_n \propto \frac{1}{n^3}$.

(D) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 0.5 \, \mathring{A} = 0.5 \times 10^{-10} \, m$,વેગ $v = 2.2 \times 10^6 \, m/s$,વિદ્યુતભાર $e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$.
પરિભ્રમણ કરતા ઈલેક્ટ્રોનને કારણે કેન્દ્ર (પ્રોટોન) પર ઉદ્દભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $I = \frac{e}{T}$ અને $T = \frac{2\pi r}{v}$ હોવાથી,$I = \frac{ev}{2\pi r}$ મળે.
$B$ ના સૂત્રમાં $I$ ની કિંમત મૂકતા: $B = \frac{\mu_0}{2r} \left( \frac{ev}{2\pi r} \right) = \frac{\mu_0 ev}{4\pi r^2}$.
$\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7} \, T \cdot m/A$ લેતા:
$B = \frac{10^{-7} \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (2.2 \times 10^6)}{(0.5 \times 10^{-10})^2}$.
$B = \frac{10^{-7} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 2.2 \times 10^6}{0.25 \times 10^{-20}}$.
$B = \frac{3.52 \times 10^{-20}}{0.25 \times 10^{-20}} = 14.08 \, T$.

(C) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુની $n$-મી કક્ષામાં ઈલેક્ટ્રોનનો વેગ શોધવાનું સૂત્ર $v_n = \frac{Z}{n} \times \frac{c}{137}$ છે,જ્યાં $c$ એ પ્રકાશની ગતિ છે અને $Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક છે.
$He^+$ આયન માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 2$ છે.
પ્રથમ બોહર કક્ષા માટે,$n = 1$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$v = \frac{2}{1} \times \frac{c}{137} = \frac{2c}{137}$.

(A) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઊર્જાનું સૂત્ર $E_n = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 1$ છે,તેથી $E_n \propto \frac{1}{n^2}$.
$He^+$ આયન માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 2$ છે. ધારો કે તેની ઊર્જા $E'_n$ છે.
તેથી,$E'_n \propto \frac{Z^2}{n^2} = \frac{2^2}{n^2} = 4 \left( \frac{1}{n^2} \right)$.
અહીં $E_n \propto \frac{1}{n^2}$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ કે $E'_n = 4 E_n$.

(A) બોહર નમૂના મુજબ,$n$ મી કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = \frac{n^2 h^2}{4 \pi^2 m k Z e^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હાઈડ્રોજન પરમાણુ માટે,$Z = 1$,તેથી $r_n \propto n^2$.
$n$ મી કક્ષામાં ઈલેક્ટ્રોનનો વેગ $v_n = \frac{2 \pi k Z e^2}{nh}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $Z = 1$ હોવાથી,$v_n \propto \frac{1}{n}$ મળે છે.
રેખીય વેગમાન $p_n$ ને $p_n = m v_n$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
અહીં $m$ અચળ હોવાથી,$p_n \propto v_n$ થાય.
તેથી,$p_n \propto \frac{1}{n}$.

(D) બોહરના સિદ્ધાંત મુજબ,$n$-મી કક્ષામાં ઈલેક્ટ્રોનની કુલ ઊર્જા $E_n = -\frac{13.6 \text{ eV}}{n^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $E_n \propto \frac{1}{n^2}$.
$n$-મી કક્ષામાં ઈલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $J_n = \frac{nh}{2\pi}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $J_n \propto n$.
ઊર્જાના સંબંધમાં $n \propto J_n$ મૂકતા,આપણને $E_n \propto \frac{1}{J_n^2}$ મળે છે.

(B) હાઈડ્રોજન પરમાણુમાં $n$ મી કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n \propto n^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કક્ષાનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r_n^2$ છે.
$r_n$ માટેનું સૂત્ર મૂકતા,આપણને $A \propto (n^2)^2 = n^4$ મળે છે.
ભૂમિ અવસ્થા માટે,$n_1 = 1$ અને પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા માટે,$n_2 = 2$ છે.
ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $\frac{A_2}{A_1} = \left( \frac{n_2}{n_1} \right)^4 = \left( \frac{2}{1} \right)^4 = \frac{16}{1}$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $16 : 1$ છે.

(A) કક્ષામાં પરિભ્રમણ કરતા ઈલેક્ટ્રોન દ્વારા ઉત્પન્ન થતો સમતુલ્ય વિદ્યુત પ્રવાહ $I = \frac{e}{T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ આવર્તકાળ છે.
$T = \frac{2\pi r}{v}$ અને $r \propto n^2$,$v \propto \frac{1}{n}$ હોવાથી,$T \propto \frac{n^2}{1/n} = n^3$ મળે.
તેથી,$I \propto \frac{1}{n^3}$.
પ્રથમ અને દ્વિતીય કક્ષા માટે $(n_1 = 1, n_2 = 2)$:
$\frac{I_1}{I_2} = \left( \frac{n_2}{n_1} \right)^3 = \left( \frac{2}{1} \right)^3 = 8$.
આમ,ગુણોત્તર $8 : 1$ છે.

(A) ઈલેક્ટ્રોનની ગતિ ઊર્જા $(K)$ નું સૂત્ર $K = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
બોહરના સિદ્ધાંત મુજબ,$n$-મી કક્ષામાં ઈલેક્ટ્રોનનો વેગ $(v)$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $v \propto \frac{1}{n}$.
આ કિંમત ગતિ ઊર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા: $K \propto v^2 \propto \left(\frac{1}{n}\right)^2$.
તેથી,$K \propto \frac{1}{n^2}$.

(A) ઉર્જા સ્તરો વચ્ચે સંક્રાંતિ દરમિયાન ઉત્સર્જાતા ફોટોનની તરંગલંબાઈ $\lambda$ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
બંને પરમાણુઓ માટે સંક્રાંતિ સમાન ઉત્તેજિત અવસ્થા $n$ થી ધરા અવસ્થા $(n_1 = 1, n_2 = n)$ માં થતી હોવાથી,પદ $\left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{n^2} \right)$ અચળ રહે છે.
તેથી,$\frac{1}{\lambda} \propto Z^2$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda \propto \frac{1}{Z^2}$.
હાઈડ્રોજન $(Z_H = 1)$ અને હિલિયમ $(Z_{He} = 2)$ માટે:
$\frac{\lambda_H}{\lambda_{He}} = \frac{Z_{He}^2}{Z_H^2} = \frac{2^2}{1^2} = \frac{4}{1}$.
આમ,તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર $4:1$ થશે.

(C) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુની આયનીકરણ ઉર્જાનું સૂત્ર $E_n = 13.6 \times Z^2 \, eV$ છે.
આપેલ આયનીકરણ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = 122.4 \, V$ હોવાથી,આયનીકરણ ઉર્જા $E = 122.4 \, eV$ થાય.
સંબંધ $E = 13.6 \times Z^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$122.4 = 13.6 \times Z^2$
$Z^2 = \frac{122.4}{13.6}$
$Z^2 = 9$
$Z = \sqrt{9} = 3$.
તેથી,પરમાણુ ક્રમાંક $3$ છે.

(A) $n_i$ થી $n_k$ માં સંક્રાંતિ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $\Delta E = \frac{hc}{\lambda} = 13.6 \ Z^2 \left( \frac{1}{n_k^2} - \frac{1}{n_i^2} \right) \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $n_i = 2$ અને $n_k = 1$ બધા કિસ્સાઓ માટે અચળ હોવાથી,$\frac{hc}{\lambda} \propto Z^2$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\lambda \propto \frac{1}{Z^2}$ અથવા $\lambda Z^2 = \text{અચળ}$.
હાઇડ્રોજન $(Z=1)$,ડ્યુટેરોન $(Z=1)$,$He^+$ $(Z=2)$ અને $Li^{++}$ $(Z=3)$ માટે:
$\lambda_1 (1)^2 = \lambda_2 (1)^2 = \lambda_3 (2)^2 = \lambda_4 (3)^2$.
તેથી,$\lambda_1 = \lambda_2 = 4\lambda_3 = 9\lambda_4$.

(C) બોહરની $n$ મી કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r_n = r_1 \cdot n^2$ છે,જ્યાં $r_1$ એ પ્રથમ કક્ષાની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે: $r_1 = 0.53 \, \mathring A$ અને $n = 3$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$r_3 = r_1 \cdot (3)^2$
$r_3 = 0.53 \, \mathring A \cdot 9$
$r_3 = 4.77 \, \mathring A$.
તેથી,બોહરની ત્રીજી કક્ષાની ત્રિજ્યા $4.77 \, \mathring A$ થશે.

(C) કેન્દ્રગામી બળ એ આકર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે: $mv^2/r = k/r$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ $mv^2 = k$ થાય છે.
ગતિ-ઊર્જા $K_n = (1/2)mv^2 = k/2$.
અહીં $k$ અચળાંક હોવાથી,ગતિ-ઊર્જા $K_n$ એ ક્વોન્ટમ આંક $n$ થી સ્વતંત્ર છે.
બોહરની ક્વોન્ટાઈઝેશન શરત મુજબ,$mvr_n = nh/(2\pi)$.
$v = \sqrt{k/m}$ કિંમત મૂકતા,$m \sqrt{k/m} \cdot r_n = nh/(2\pi)$.
આના પરથી $r_n = [h/(2\pi \sqrt{mk})] \cdot n$ મળે છે.
તેથી,$r_n \propto n$.

(A) તંત્રની સ્થિતિ-ઊર્જા $U = eV = eV_0 \ln \left( \frac{r}{r_0} \right)$ છે.
બળ $F = -\frac{dU}{dr} = -\frac{eV_0}{r}$ દ્વારા મળે છે.
આ બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$\frac{mv^2}{r} = \frac{eV_0}{r} \implies v = \sqrt{\frac{eV_0}{m}}$.
બોહરની ક્વૉન્ટાઇઝેશન શરત મુજબ,કોણીય વેગમાન $mvr = n \frac{h}{2\pi}$ છે.
$v$ ની કિંમત મૂકતા:
$mr \left( \sqrt{\frac{eV_0}{m}} \right) = n \frac{h}{2\pi}$.
અહીં $m, e, V_0, h$ અચળ હોવાથી,$r \propto n$ મળે છે.
તેથી,$r_n \propto n$.

(B) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુની $m$-મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જા $E_m = \frac{E_1}{m^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E_1$ એ ધરા અવસ્થાની ઊર્જા છે (જે ઋણ હોય છે).
$2n$-મી અવસ્થામાંથી ઉત્સર્જિત થતા ફોટોનની મહત્તમ ઊર્જા ધરા અવસ્થા $(m=1)$ માં થતી સંક્રાંતિને અનુરૂપ છે.
આપેલ છે: $E_{2n} - E_1 = 204 \ eV$.
$\frac{E_1}{(2n)^2} - E_1 = 204 \ eV \implies E_1 \left( \frac{1}{4n^2} - 1 \right) = 204 \ eV \quad \dots(1)$
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન $2n$ કક્ષામાંથી $n$ કક્ષામાં સંક્રાંતિ કરે છે,ત્યારે ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઊર્જા $40.8 \ eV$ છે.
આપેલ છે: $E_{2n} - E_n = 40.8 \ eV$.
$\frac{E_1}{4n^2} - \frac{E_1}{n^2} = 40.8 \ eV \implies E_1 \left( \frac{1 - 4}{4n^2} \right) = 40.8 \ eV \implies E_1 \left( -\frac{3}{4n^2} \right) = 40.8 \ eV \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{E_1 (\frac{1-4n^2}{4n^2})}{E_1 (-\frac{3}{4n^2})} = \frac{204}{40.8}$
$\frac{1-4n^2}{-3} = 5 \implies 1 - 4n^2 = -15 \implies 4n^2 = 16 \implies n^2 = 4 \implies n = 2$.

(A) તંત્રનું રિડ્યુસ્ડ દળ $\mu_{red} = \frac{m_p m_{\mu}}{m_p + m_{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $m_p \approx 1836 \, m_e$ અને $m_{\mu} = 207 \, m_e$ આપેલ છે, તેથી $\mu_{red} = \frac{1836 \times 207}{1836 + 207} \, m_e \approx 186 \, m_e$.
હાઈડ્રોજન જેવા પરમાણુની ઉર્જા સ્તરો $E_n = -\frac{\mu_{red}}{m_e} \times \frac{13.6 \, eV}{n^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
ભૂમિ અવસ્થા $(n=1)$ માટે, ઉર્જા $E_1 = -186 \times 13.6 \, eV = -2529.6 \, eV$ થાય.
આયનીકરણ ઉર્જા એ મ્યુઓનને ભૂમિ અવસ્થામાંથી અનંત સુધી લઈ જવા માટે જરૂરી ઉર્જા છે, જે $-E_1 = 2529.6 \, eV \approx 2.53 \, keV$ છે.

(B) આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{12400}{975} \approx 12.718 \, \text{eV}$ છે.
આ ઉર્જા $n=1$ થી $n=4$ સ્તરના સંક્રમણને અનુરૂપ છે,કારણ કે $E_4 - E_1 = 12.75 \, \text{eV}$.
જ્યારે પરમાણુ $n=4$ માંથી પાછો આવે છે,ત્યારે શક્ય સંક્રમણો $4 \to 3, 4 \to 2, 4 \to 1, 3 \to 2, 3 \to 1, 2 \to 1$ છે.
મહત્તમ તરંગલંબાઈ ન્યૂનતમ ઉર્જાના તફાવત $(4 \to 3)$ ને અનુરૂપ છે.
$E_{4 \to 3} = 0.66 \, \text{eV}$.
$\lambda_{max} = \frac{12400}{0.66} \approx 18787.8 \, \mathring{A}$.
લઘુત્તમ તરંગલંબાઈ મહત્તમ ઉર્જાના તફાવત $(4 \to 1)$ ને અનુરૂપ છે.
$\lambda_{min} = \frac{12400}{12.75} \approx 972.5 \, \mathring{A} \approx 975 \, \mathring{A}$.
તેથી,સાચો જવાબ $18787 \, \mathring{A}$ અને $975 \, \mathring{A}$ છે.

(B) બોહર મોડેલ મુજબ,$n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v_n = \frac{Z e^2}{2 \epsilon_0 n h}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$CGS$ એકમ પદ્ધતિમાં,કુલંબ અચળાંક $k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} = 1$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\epsilon_0 = \frac{1}{4 \pi}$.
હવે $Z=1$ અને $n=1$ (ધરાઅવસ્થા) માટે વેગના સૂત્રમાં $\epsilon_0 = \frac{1}{4 \pi}$ મૂકતા:
$v_1 = \frac{1 \cdot e^2}{2 (1/4 \pi) (1) h} = \frac{4 \pi e^2}{2 h} = \frac{2 \pi e^2}{h}$.
આ વેગ અને પ્રકાશના વેગ $c$ નો ગુણોત્તર $\frac{v_1}{c} = \frac{2 \pi e^2}{hc}$ થાય.

(A) બોહરના અધિતર્ક મુજબ,ઈલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $mvr = nh/2\pi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કક્ષા માટે,$n = 1$,તેથી $mvr = h/2\pi$.
આ પદને ગોઠવતા,આપણને $mv = h/(2\pi r)$ મળે છે.
દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ ની વ્યાખ્યા $\lambda = h/p = h/(mv)$ છે.
$mv$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\lambda = h / (h / 2\pi r) = 2\pi r$ મળે છે.
આમ,પ્રથમ બોહર કક્ષામાં ઈલેક્ટ્રોનની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ કક્ષાના પરિઘ જેટલી એટલે કે $2\pi r$ છે.

(A) બોહરના અધિતર્ક મુજબ, $n$ મી કક્ષાનો પરિઘ એ દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોય છે:
$2\pi r_n = n\lambda$
હાઈડ્રોજન પરમાણુ $(Z=1)$ માટે, $n$ મી કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = a_0 n^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ કિંમતને બોહરની ક્વોન્ટાઈઝેશન શરતમાં મૂકતા:
$2\pi (a_0 n^2) = n\lambda$
$2\pi a_0 n = \lambda$
ત્રીજી કક્ષા $(n=3)$ માટે:
$\lambda = 2\pi a_0 (3)$
$\lambda = 6\pi a_0$

(B) આપાત ફોટોનની ઊર્જા $E = \frac{1240}{\lambda \text{ (nm માં)}} \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\lambda = 60 \text{ nm}$ મૂકતા,આપણને $E = \frac{1240}{60} \approx 20.67 \text{ eV}$ મળે છે.
ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n=1)$ માં હાઈડ્રોજન પરમાણુની આયનીકરણ ઊર્જા $13.6 \text{ eV}$ છે.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K_{\max})$ એ $K_{\max} = E - \text{આયનીકરણ ઊર્જા}$ છે.
$K_{\max} = 20.67 \text{ eV} - 13.6 \text{ eV} = 7.07 \text{ eV}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $7.1 \text{ eV}$ છે.

(A) કોણીય વેગમાનના ક્વોન્ટાઈઝેશન માટે બોહરના પૂર્વધારણા મુજબ,$n$ મી કક્ષામાં ઈલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $L = mvr = \frac{nh}{2\pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દ બ્રોગ્લી ઉત્કલ્પના મુજબ,તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે.
કોણીય વેગમાનના સમીકરણમાં $mv = \frac{h}{\lambda}$ મૂકતા,આપણને $\frac{h}{\lambda} \cdot r = \frac{nh}{2\pi}$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $2\pi r = n\lambda$ મળે છે.
અહીં $2\pi r$ એ $n$ મી કક્ષાનો પરિઘ છે,તેથી $2\pi r = n\lambda$ સમીકરણ સૂચવે છે કે કક્ષાનો પરિઘ એ દ બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈના $n$ ગણો છે.
તેથી,$n$ મી કક્ષામાં દ બ્રોગ્લી તરંગોની સંખ્યા $n$ છે.

(B) દ બ્રોગ્લીના સિદ્ધાંત મુજબ,બોહરની કક્ષા માટે પરિઘનું સૂત્ર $2\pi r_n = n\lambda$ છે,જ્યાં $n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે અને $\lambda$ એ દ બ્રોગ્લી તરંગ લંબાઈ છે.
અહીં $n = 2$ (બીજી કક્ષા) અને $\lambda = 10^{-9} \ m$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
પરિઘ $= n \times \lambda = 2 \times 10^{-9} \ m$.
આમ,કક્ષાનો પરિઘ $2 \times 10^{-9} \ m$ થાય છે.

(C) બોહરના ક્વોન્ટાઈઝેશનના નિયમ મુજબ,કક્ષાનો પરિઘ એ દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોવો જોઈએ:
$2\pi r = n\lambda$
જ્યાં $r = 5.3 \times 10^{-11} \ m$,$\lambda = 10^{-10} \ m$,અને $n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે.
$n$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$n = \frac{2\pi r}{\lambda}$
કિંમતો મૂકતા:
$n = \frac{2 \times 3.14 \times 5.3 \times 10^{-11}}{10^{-10}}$
$n = \frac{33.284 \times 10^{-11}}{10^{-10}}$
$n = 33.284 \times 10^{-1} = 3.3284$
$n$ એ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી આપેલ પરિમાણોના આધારે નજીકની પૂર્ણાંક કિંમત $n = 3$ મળે છે.

(D) ન્યૂનતમ અંતર $(r)$ પર,પ્રોટોનની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $(K)$ સંપૂર્ણપણે સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા $(U)$ માં રૂપાંતરિત થાય છે.
$K = U = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r}$
અહીં,$q_1 = e$ (પ્રોટોનનો વીજભાર) અને $q_2 = 120e$ (ન્યુક્લિયસનો વીજભાર).
$K = (9 \times 10^9) \times \frac{e \times 120e}{10 \times 10^{-15}} = 108 \times 10^{23} e^2 \ J$.
દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m_p K}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2 \times (5/3 \times 10^{-27}) \times (108 \times 10^{23} e^2)}}$
ગણતરી કરતા,$\lambda = 7 \ fm$ મળે છે.

(A) બોહરની ક્વોન્ટાઈઝેશન શરત મુજબ,કક્ષામાં ઈલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $L = mvr = \frac{nh}{2\pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $2\pi r = n \frac{h}{mv}$ મળે છે.
દ બ્રોગ્લી તરંગ લંબાઈ $\lambda = \frac{h}{mv}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત હોવાથી,આપણે આ સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા $2\pi r = n\lambda$ મળે છે.
પ્રથમ કક્ષા માટે,$n = 1$ લેતા,$2\pi r = \lambda$ મળે છે.
તેથી,દ બ્રોગ્લી તરંગ લંબાઈ એ પ્રથમ કક્ષાના પરિઘ જેટલી હોય છે.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$-મી કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n \propto n^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કક્ષાનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r_n^2$ છે.
તેથી,$A \propto (n^2)^2 = n^4$.
ધરા-સ્થિતિ (ground state) માટે,$n_1 = 1$.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા (first excited state) માટે,$n_2 = 2$.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થાના ક્ષેત્રફળ $(A_2)$ અને ધરા-સ્થિતિના ક્ષેત્રફળ $(A_1)$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{A_2}{A_1} = \frac{n_2^4}{n_1^4} = \frac{2^4}{1^4} = \frac{16}{1}$.
આમ,ગુણોત્તર $16 : 1$ થાય છે.

(A) સ્થિતિઊર્જા $U = eV = eV_0 \ln(r/r_0)$ છે.
બળ $F = -\frac{dU}{dr} = -\frac{d}{dr} [eV_0 \ln(r/r_0)] = -\frac{eV_0}{r}$.
કેન્દ્રગામી બળ આ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે: $\frac{mv^2}{r} = \frac{eV_0}{r}$.
આના પરથી,$v^2 = \frac{eV_0}{m}$,એટલે કે $v = \sqrt{\frac{eV_0}{m}}$. અહીં $v$ એ $r$ અને $n$ થી સ્વતંત્ર છે.
બોહરની ક્વોન્ટાઈઝેશન શરત મુજબ,કોણીય વેગમાન $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ છે.
$v$ ની કિંમત મૂકતા: $mr \sqrt{\frac{eV_0}{m}} = \frac{nh}{2\pi}$.
$r$ માટે સાદું રૂપ આપતા: $r = \frac{nh}{2\pi} \sqrt{\frac{1}{meV_0}}$.
આમ,$h, m, e, V_0$ અચળ હોવાથી,$r_n \propto n$ મળે છે.

(D) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r_n = r_1 \cdot n^2$ છે,જ્યાં $r_1$ એ પ્રથમ કક્ષા (ધરા-સ્થિતિ) ની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે: $r_1 = 1.06 \, \mathring{A}$ અને $n = 10$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$r_{10} = 1.06 \times (10)^2$
$r_{10} = 1.06 \times 100$
$r_{10} = 106 \, \mathring{A}$.
તેથી,$10$ મી કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ત્રિજ્યા $106 \, \mathring{A}$ થશે.

(C) ઉત્સર્જિત વિકિરણની તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટે રિડબર્ગ સૂત્ર આ મુજબ છે: $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
$2 \to 1$ સંક્રાંતિ માટે,પદ $\left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3}{4}$ ત્રણેય માટે સમાન છે.
તેથી,$\lambda \propto \frac{1}{Z^2}$.
પરમાણુ ક્રમાંક $Z_{Li} = 3$,$Z_{He} = 2$,અને $Z_{H} = 1$ છે.
આમ,તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર $\lambda_{Li} : \lambda_{He^+} : \lambda_{H} = \frac{1}{3^2} : \frac{1}{2^2} : \frac{1}{1^2}$ થાય.
આનું સાદું રૂપ $\frac{1}{9} : \frac{1}{4} : 1$ મળે.
છેદ દૂર કરવા માટે $36$ વડે ગુણતા,આપણને $4 : 9 : 36$ મળે છે.

(D) હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,મુખ્ય ક્વોન્ટમ અંક $n$ ના સંદર્ભમાં ત્રિજ્યા $R$,વેગ $v$ અને કુલ ઊર્જા $E$ ના સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$R = \frac{\varepsilon_0 n^2 h^2}{\pi m Z e^2} \implies R \propto n^2$
$v = \frac{Z e^2}{2 \varepsilon_0 n h} \implies v \propto \frac{1}{n}$
$E = -\frac{m Z^2 e^4}{8 \varepsilon_0^2 n^2 h^2} \implies E \propto \frac{1}{n^2}$
હવે,ગુણાકાર $vR$ ધ્યાનમાં લો:
$vR \propto \left(\frac{1}{n}\right) \cdot (n^2) = n$
તેથી,$n \propto vR$.