RL, RC and LC AC Circuits Questions in Gujarati

(C) શ્રેણી $R-C$ પરિપથમાં પ્રવાહ $i$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$i = \frac{V_0}{Z} = \frac{V_0}{\sqrt{R^2 + X_C^2}} = \frac{V_0}{\sqrt{R^2 + (1/\omega C)^2}}$
કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ $V = i X_C = i \cdot \frac{1}{\omega C}$ છે.
$i$ નું સૂત્ર મૂકતા:
$V = \frac{V_0}{\sqrt{R^2 + (1/\omega C)^2}} \cdot \frac{1}{\omega C} = \frac{V_0}{\sqrt{R^2 \omega^2 C^2 + 1}}$
જ્યારે કેપેસિટર માઈકા (ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક $K > 1$) થી ભરવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું કેપેસિટન્સ વધે છે,તેથી $C_b > C_a$.
$1$. પ્રવાહ માટે: જેમ $C$ વધે છે,તેમ $X_C = 1/\omega C$ ઘટે છે,તેથી ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ ઘટે છે. આમ,$i_b > i_a$.
$2$. કેપેસિટર પરના વોલ્ટેજ માટે: $V = \frac{V_0}{\sqrt{R^2 \omega^2 C^2 + 1}}$ પરથી,જેમ $C$ વધે છે,તેમ છેદ વધે છે,જેનો અર્થ છે કે $V$ ઘટે છે. તેથી,$V_b < V_a$,અથવા $V_a > V_b$.

(A) કિસ્સો $I$: શુદ્ધ અવરોધક પરિપથ દ્વારા વપરાતો પાવર $P = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $I_{\text{rms}} = \frac{V_{\text{rms}}}{R}$,તેથી $P = \frac{V_{\text{rms}}^2}{R}$,જેનો અર્થ છે કે $V_{\text{rms}}^2 = P R$ ... $(i)$.
કિસ્સો $II$: જ્યારે ઇન્ડક્ટન્સ $L$ ને અવરોધ $R$ સાથે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે પરિપથ $LR$ પરિપથ બને છે જેનો ઇમ્પિડન્સ $Z$ છે.
$AC$ પરિપથમાં વપરાતો પાવર $P' = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ એ પાવર ફેક્ટર છે.
અહીં,$I_{\text{rms}} = \frac{V_{\text{rms}}}{Z}$.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $P' = V_{\text{rms}} \times \left( \frac{V_{\text{rms}}}{Z} \right) \times \left( \frac{R}{Z} \right) = V_{\text{rms}}^2 \frac{R}{Z^2}$ મળે છે.
સમીકરણ $(i)$ નો ઉપયોગ કરતા,$V_{\text{rms}}^2 = P R$,તેથી $P' = (P R) \frac{R}{Z^2} = P \left( \frac{R}{Z} \right)^2$.

(C) જ્યારે સોલેનોઇડમાં નરમ લોખંડની કોર દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ વધે છે કારણ કે કોરના દ્રવ્યની પરમિએબિલિટી વધે છે.
સોલેનોઇડનો ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ $L$ વધે છે,તેમ ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ વધે છે.
પરિપથનો કુલ ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ છે,જ્યાં $R$ એ બલ્બનો અવરોધ છે.
$X_L$ વધતું હોવાથી,પરિપથનો કુલ ઈમ્પીડન્સ $Z$ વધે છે.
$A.C.$ પરિપથ માટે ઓહ્મના નિયમ મુજબ,પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V}{Z}$ છે.
જેમ $Z$ વધે છે,તેમ પરિપથમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ ઘટે છે.
બલ્બની તેજસ્વીતા વ્યય થતા પાવર $(P = I^2 R)$ પર આધારિત હોવાથી,પ્રવાહ $I$ માં ઘટાડો થવાથી બલ્બની તેજસ્વીતામાં ઘટાડો થાય છે. તેથી,બલ્બ મંદ થશે.

(B) કેપેસિટર ધરાવતા પરિપથનો ઈમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $X_C = \frac{1}{2\pi \nu C}$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ છે.
જ્યારે $ac$ સોર્સની આવૃત્તિ $\nu$ વધારવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ ઘટે છે.
જેમ $X_C$ ઘટે છે તેમ પરિપથનો કુલ ઈમ્પિડન્સ $Z$ ઘટે છે,તેથી પરિપથમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V}{Z}$ વધે છે.
જેમ બલ્બમાંથી વહેતો પ્રવાહ વધે છે,તેમ વપરાતો પાવર $(P = I^2 R)$ વધે છે,જેના કારણે બલ્બનો પ્રકાશ વધે છે.

(A) $RL$ સર્કિટનો પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{1}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $\cos \phi = 1/2$,તેથી ફેઝ એંગલ $\phi = 60^\circ$ થાય.
$RL$ સર્કિટમાં,$\tan \phi = \frac{\omega L}{R}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$\tan 60^\circ = \sqrt{3} = \frac{2\pi f L}{R}$.
અહીં $f = 50\,Hz$ અને $R = 100\,\Omega$ આપેલ છે,તેથી $\sqrt{3} = \frac{2 \times \pi \times 50 \times L}{100}$.
$\sqrt{3} = \frac{100\pi L}{100} = \pi L$.
તેથી,$L = \frac{\sqrt{3}}{\pi}\,H$ મળે.

(D) $LR$ શ્રેણી પરિપથમાં કળા તફાવત $\phi$ માટેનું સૂત્ર $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ છે.
અહીં,$X_L = 2\pi \nu L$,જ્યાં $\nu = 50 \, Hz$ અને $R = \pi \sqrt{3} \, \Omega$ છે.
આપેલ છે કે $\phi = 30^o$,તેથી $\tan 30^o = \frac{2\pi \times 50 \times L}{\pi \sqrt{3}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 30^o = \frac{1}{\sqrt{3}}$,તેથી સમીકરણ $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{100\pi L}{\pi \sqrt{3}}$ બનશે.
બંને બાજુના છેદમાંથી $\sqrt{3}$ દૂર કરતા,આપણને $1 = 100L$ મળે છે.
તેથી,$L = \frac{1}{100} = 0.01 \, H$.

(A) બલ્બની તેજસ્વીતા વપરાતી પાવર પર આધાર રાખે છે,જે $P = I^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. બલ્બ સમાન હોવાથી,તેમનો અવરોધ $R$ સમાન છે. તેથી,જે બલ્બમાંથી વધુ પ્રવાહ $I$ વહેશે તે વધુ તેજસ્વી રીતે પ્રકાશિત થશે.
પરિપથમાં,બલ્બ $A$ એ $100 \ mH$ ના ઇન્ડક્ટર સાથે શ્રેણીમાં છે અને બલ્બ $B$ એ $10 \ pF$ ના કેપેસિટર સાથે શ્રેણીમાં છે. દરેક શાખામાં પ્રવાહ ઇમ્પિડન્સ દ્વારા નક્કી થાય છે: $I_A = V / Z_A$ અને $I_B = V / Z_B$,જ્યાં $Z_A = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ અને $Z_B = \sqrt{R^2 + X_C^2}$.
સામાન્ય $AC$ સ્ત્રોતની આવૃત્તિ માટે,કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C = 1 / (\omega C)$ એ ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L$ કરતા ઘણો મોટો હોય છે. જોકે,આ ચોક્કસ પરિપથમાં,કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ ખૂબ ઓછું $(10 \ pF)$ હોવાથી,$X_C$ એ $X_L$ ની સરખામણીમાં અત્યંત મોટું છે. પરિણામે,ઇમ્પિડન્સ $Z_B$ એ $Z_A$ કરતા ઘણો મોટો છે.
$Z_A < Z_B$ હોવાથી,પ્રવાહ $I_A$ એ $I_B$ કરતા વધારે છે. તેથી,બલ્બ $A$ વધુ તેજસ્વી રીતે પ્રકાશિત થાય છે.

(C) સપ્લાય વોલ્ટેજ $E = 10 \sin \omega t$ છે। આ એક $RL$ શ્રેણી સર્કિટ છે.
સર્કિટનું ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \, \Omega$ છે.
સર્કિટમાં પ્રવાહ $I = I_0 \sin(\omega t - \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_0 = E_0 / Z = 10 / 5 = 2 \, \text{A}$ અને $\tan \phi = X_L / R = 4/3$,તેથી $\phi = \tan^{-1}(4/3)$.
ઇન્ડક્ટર પરનો વોલ્ટેજ $V_L = I X_L = (I_0 \sin(\omega t - \phi + \pi/2)) X_L = I_0 X_L \sin(\omega t - \phi + \pi/2)$ છે.
$t = \pi / \omega$ સમયે,ઇન્ડક્ટર પરનો વોલ્ટેજ $V_L = I_0 X_L \sin(\omega \cdot \frac{\pi}{\omega} - \phi + \frac{\pi}{2}) = I_0 X_L \sin(\pi - \phi + \frac{\pi}{2}) = I_0 X_L \sin(\frac{3\pi}{2} - \phi) = -I_0 X_L \cos \phi$ થાય.
કારણ કે $\cos \phi = R / Z = 3 / 5 = 0.6$,તેથી $V_L = -(2)(4)(0.6) = -4.8 \, \text{V}$ મળે.
ઇન્ડક્ટર પરના વોલ્ટેજનું મૂલ્ય $|V_L| = 4.8 \, \text{V}$ છે.

(D) $DC$ સપ્લાય માટે,સોલેનોઇડ શુદ્ધ અવરોધ $R$ તરીકે કાર્ય કરે છે. આપેલ છે $V = 100\, V$ અને $I = 1\, A$,તેથી અવરોધ $R = \frac{V}{I} = \frac{100}{1} = 100\, \Omega$ છે.
$AC$ સપ્લાય માટે,ઈમ્પીડન્સ $Z = \frac{V_{rms}}{I_{rms}} = \frac{100}{0.5} = 200\, \Omega$ છે.
$RL$ સર્કિટનો ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ છે,જ્યાં $X_L = 2\pi f L$.
કિંમતો મૂકતા: $200 = \sqrt{100^2 + (2 \cdot \pi \cdot 50 \cdot L)^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $200^2 = 100^2 + (100\pi L)^2$.
$40000 = 10000 + (100\pi L)^2$.
$30000 = (100\pi L)^2$.
વર્ગમૂળ લેતા: $100\pi L = \sqrt{30000} = 100\sqrt{3} \approx 173.2$.
$L = \frac{173.2}{100\pi} \approx \frac{1.732}{3.14} \approx 0.55\, H$.
આમ,ઈમ્પીડન્સ $200\, \Omega$ અને ઇન્ડક્ટન્સ $0.55\, H$ છે.

(C) $RL$ શ્રેણી સર્કિટનો ઇમ્પિડન્સ $(Z)$ સૂત્ર $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$R = 10 \, \Omega$,$L = 2.0 \, H$,$f = 60 \, Hz$,અને $V = 120 \, V$ છે.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = 2 \pi f L = 2 \times \pi \times 60 \times 2 = 240 \pi \, \Omega$ છે.
$X_L \approx 240 \times 3.1416 = 753.98 \, \Omega$ ગણતા.
હવે,$Z = \sqrt{10^2 + (753.98)^2} = \sqrt{100 + 568485.8} \approx \sqrt{568585.8} \approx 754.05 \, \Omega$.
પ્રવાહ $I = \frac{V}{Z} = \frac{120}{754.05} \approx 0.159 \, A$ છે.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,પ્રવાહ આશરે $0.16 \, A$ મળે છે.

(A) $AC$ સ્ત્રોત સાથે જોડાયેલ $RC$ શ્રેણી સર્કિટમાં,ત્વરિત $emf$ $E$ એ અવરોધ $(V_R)$ પરના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત અને કેપેસિટર $(V_C)$ પરના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતના સદિશ સરવાળા દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અવરોધ અને કેપેસિટરમાં પ્રવાહ સમાન હોવાથી,અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ પ્રવાહ સાથે સમાન કળામાં હોય છે,જ્યારે કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ પ્રવાહ કરતા $90^\circ$ પાછળ હોય છે.
તેથી,ત્વરિત મૂલ્યો વચ્ચેનો સંબંધ $E^2 = V_R^2 + V_C^2$ છે.
આપેલ છે: $E = 5 \, V$ અને $V_C = 4 \, V$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$5^2 = V_R^2 + 4^2$
$25 = V_R^2 + 16$
$V_R^2 = 25 - 16 = 9$
$V_R = 3 \, V$.
આમ,$R$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $3 \, V$ છે.

(A) શ્રેણી $CR$ સર્કિટમાં,કુલ લાગુ પાડવામાં આવેલ વોલ્ટેજ $V$ એ અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ $(V_R)$ અને કેપેસિટર પરના વોલ્ટેજ $(V_C)$ ના ફેઝર સરવાળા દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$V = \sqrt{V_R^2 + V_C^2}$
અહીં $V = 10 \, V$ અને $V_C = 8 \, V$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$10 = \sqrt{V_R^2 + 8^2}$
$100 = V_R^2 + 64$
$V_R^2 = 36 \implies V_R = 6 \, V$.
$CR$ સર્કિટમાં પ્રવાહ અને લાગુ પાડેલા વોલ્ટેજ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\phi$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\tan \phi = \frac{V_C}{V_R} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$
તેથી,$\phi = \tan^{-1} \left( \frac{4}{3} \right)$.
આમ,$R$ પરનો વોલ્ટેજ $6 \, V$ છે અને કળા તફાવત $\tan^{-1} \left( \frac{4}{3} \right)$ છે.

(B) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં,પ્રવાહ $I$ એ અવરોધક વોલ્ટેજ $V_R$ સાથે સમાન કળામાં હોય છે. કુલ વોલ્ટેજ $V$ એ $V_R$,$V_L$ અને $V_C$ નો સદિશ સરવાળો છે.
ધારો કે પ્રવાહ $x$-અક્ષ પર છે. તો $V_R$ એ $x$-અક્ષ પર,$V_L$ એ ધન $y$-અક્ષ પર અને $V_C$ એ ઋણ $y$-અક્ષ પર છે.
કુલ રિએક્ટિવ વોલ્ટેજ $V_L - V_C = 3 \text{ V} - 2 \text{ V} = 1 \text{ V}$ (ધન $y$-અક્ષ પર) છે.
રેઝિસ્ટિવ વોલ્ટેજ $V_R = \sqrt{3} \text{ V}$ ($x$-અક્ષ પર) છે.
સ્ત્રોત વોલ્ટેજ $V$ અને પ્રવાહ $I$ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\phi$ એ $\tan \phi = \frac{V_L - V_C}{V_R} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,$\phi = 30^\circ = \pi/6$.
કુલ વોલ્ટેજ પ્રવાહ કરતા $\phi = \pi/6$ જેટલો આગળ હોવાથી,પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા $\pi/6$ જેટલો પાછળ રહેશે.
જો $V = V_0 \cos(\omega t')$,તો $I = I_0 \cos(\omega t' - \pi/6)$.

(D) ઇન્ડક્ટર અને કેપેસિટર ધરાવતી શ્રેણી $AC$ સર્કિટમાં:
$1$. બંને ઘટકોમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ સમાન હોય છે.
$2$. ઇન્ડક્ટરમાં,વોલ્ટેજ $V_L$ એ પ્રવાહ $I$ કરતા $\frac{\pi}{2}$ જેટલા કળા તફાવતથી આગળ હોય છે.
$3$. કેપેસિટરમાં,વોલ્ટેજ $V_C$ એ પ્રવાહ $I$ કરતા $\frac{\pi}{2}$ જેટલા કળા તફાવતથી પાછળ હોય છે.
$4$. તેથી,જો આપણે પ્રવાહ $I$ ને ધન $x$-અક્ષ પર દર્શાવીએ,તો સદિશ $V_L$ ધન $y$-અક્ષ પર અને સદિશ $V_C$ ઋણ $y$-અક્ષ પર હોવો જોઈએ.
$5$. આ વિકલ્પ $D$ માં દર્શાવેલ રજૂઆત સાથે સુસંગત છે.

(D) $AC$ સર્કિટમાં,અલ્ટરનેટિંગ કરંટ અને ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(emf)$ વચ્ચેનો ફેઝ તફાવત $\phi$ એ $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શુદ્ધ ઇન્ડક્ટર (માત્ર $L$) માટે,$\phi = \frac{\pi}{2}$ છે.
શુદ્ધ કેપેસિટર (માત્ર $C$) માટે,$\phi = -\frac{\pi}{2}$ છે (જેનું મૂલ્ય $\frac{\pi}{2}$ છે).
$L-C$ સર્કિટ માટે,જો $X_L \neq X_C$ હોય,તો ફેઝ તફાવત $\frac{\pi}{2}$ હોય છે.
$R-L$ સર્કિટ માટે,ફેઝ તફાવત $\phi$ એ $0 < \phi < \frac{\pi}{2}$ ની રેન્જમાં હોય છે.
તેથી,$R-L$ સર્કિટમાં ફેઝ તફાવત $\frac{\pi}{2}$ હોઈ શકે નહીં.

(B) આર્ક લેમ્પનો અવરોધ $R = \frac{V}{I} = \frac{80\ V}{10\ A} = 8\ \Omega$ છે.
જ્યારે તેને $AC$ સપ્લાય સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે $RL$ સર્કિટનો ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $X_L = 2\pi f L$ છે.
$AC$ સર્કિટમાં પ્રવાહ $I = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{V_{rms}}{\sqrt{R^2 + (2\pi f L)^2}}$ છે.
આપેલ છે કે $I = 10\ A$,$V_{rms} = 220\ V$,$f = 50\ Hz$,અને $R = 8\ \Omega$:
$10 = \frac{220}{\sqrt{8^2 + (2 \cdot \pi \cdot 50 \cdot L)^2}}$
$\sqrt{64 + (100\pi L)^2} = 22$
$64 + (100\pi L)^2 = 484$
$(100\pi L)^2 = 420$
$100\pi L = \sqrt{420} \approx 20.49$
$L = \frac{20.49}{314} \approx 0.065\ H$.

(A) આપેલ વોલ્ટેજ $V = V_0 \sin(\omega t) + \frac{V_0}{2} \cos(\omega t)$ છે.
આને $V = V_{eq} \sin(\omega t + \phi)$ તરીકે લખી શકાય,જ્યાં કંપવિસ્તાર $V_{eq} = \sqrt{V_0^2 + (V_0/2)^2} = \sqrt{V_0^2 + V_0^2/4} = \sqrt{\frac{5V_0^2}{4}} = \frac{\sqrt{5}V_0}{2}$ છે.
$LR$ સર્કિટનો ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (\omega L)^2}$ છે.
પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર $I_0 = \frac{V_{eq}}{Z}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$I_0 = \frac{\sqrt{5}V_0 / 2}{\sqrt{R^2 + \omega^2L^2}} = \sqrt{\frac{5V_0^2}{4(R^2 + \omega^2L^2)}}$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) આપેલ છે: ઈમ્પિડન્સ $Z = 10 \Omega$,આવૃત્તિ $f = 1000 \ Hz$,ફેઝ એંગલ $\phi = 45^\circ$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\pi f = 2\pi \times 1000 = 2000\pi \ rad/s$ છે.
$RL$ સર્કિટમાં,ફેઝ એંગલ $\phi$ એ $\tan \phi = \frac{\omega L}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\phi = 45^\circ$ હોવાથી,$\tan 45^\circ = 1$,તેથી $\frac{\omega L}{R} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $R = \omega L$.
ઈમ્પિડન્સ $Z$ એ $Z = \sqrt{R^2 + (\omega L)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R = \omega L$ મૂકતા,આપણને $Z = \sqrt{(\omega L)^2 + (\omega L)^2} = \sqrt{2(\omega L)^2} = \omega L \sqrt{2}$ મળે છે.
$Z = 10 \Omega$ આપેલ છે,તેથી $10 = \omega L \sqrt{2}$.
તેથી,$\omega L = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}$.
$\omega L = 2000\pi L$ હોવાથી,$2000\pi L = 5\sqrt{2}$.
$L = \frac{5\sqrt{2}}{2000\pi} = \frac{\sqrt{2}}{400\pi} = \frac{1}{\sqrt{2} \times 200\pi} \ H$.

(C) $DC$ સ્ત્રોત માટે,ઇન્ડક્ટર સાદા અવરોધ તરીકે કાર્ય કરે છે કારણ કે આવૃત્તિ $0$ છે. અવરોધ $R = V / I = 12\,V / 2\,A = 6\,\Omega$ છે.
જ્યારે $AC$ સ્ત્રોત સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે ઇમ્પિડન્સ $Z = V_{rms} / I_{rms} = 12\,V / 1\,A = 12\,\Omega$ છે.
$RL$ સર્કિટનો ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $X_L = \omega L = 2\pi f L$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $Z^2 = R^2 + (2\pi f L)^2$.
કિંમતો મૂકતા: $12^2 = 6^2 + (2 \pi \times 50 \times L)^2$.
$144 = 36 + (100\pi L)^2$.
$(100\pi L)^2 = 108$.
$100\pi L = \sqrt{108} \approx 10.39$.
$L = 10.39 / (100 \times 3.14159) \approx 0.033\,H$.
મિલીહેન્રીમાં રૂપાંતરિત કરતા: $L = 0.033 \times 1000 = 33\,mH$.

(D) આપેલ છે કે શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં,$V_R = V_L = V_C = 10 \, V$ છે. $V = IR$ હોવાથી,આનો અર્થ એ છે કે $R = X_L = X_C$ છે.
સ્ત્રોત વોલ્ટેજ $E$ એ $V_R$ જેટલો છે કારણ કે અનુનાદમાં $(X_L = X_C)$ $V_L$ અને $V_C$ એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે. તેથી,$E = 10 \, V$.
જ્યારે ઇન્ડક્ટરને શોર્ટ-સર્કિટ કરવામાં આવે છે,ત્યારે સર્કિટ સમાન સ્ત્રોત વોલ્ટેજ $E = 10 \, V$ સાથે $RC$ શ્રેણી સર્કિટ બની જાય છે.
સર્કિટનો નવો ઇમ્પિડન્સ $Z' = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ છે. $R = X_C$ હોવાથી,$Z' = \sqrt{R^2 + R^2} = R\sqrt{2}$ થાય.
સર્કિટમાં નવો પ્રવાહ $i' = \frac{E}{Z'} = \frac{10}{R\sqrt{2}}$ છે.
કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ $V_C' = i' X_C = \left( \frac{10}{R\sqrt{2}} \right) \times R = \frac{10}{\sqrt{2}} \, V$ થશે.

(C) $RC$ પરિપથનો સમય અચળાંક $\tau = RC$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $AC$ સ્ત્રોતની કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{1}{\tau}$ છે,તેથી $\tau = RC$ મૂકતા આપણને $\omega = \frac{1}{RC}$ મળે છે.
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C}$ છે.
$\omega = \frac{1}{RC}$ મૂકતા,આપણને $X_C = \frac{1}{(1/RC)C} = R$ મળે છે.
શ્રેણી $RC$ પરિપથનો ઈમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$X_C = R$ મૂકતા,આપણને $Z = \sqrt{R^2 + R^2} = \sqrt{2R^2} = \sqrt{2}R$ મળે છે.

(C) $RC$ પરિપથનો સમય અચળાંક $\tau = RC$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $AC$ સ્ત્રોતની કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{1}{\tau}$ છે,તેથી $\tau = RC$ મૂકતા આપણને $\omega = \frac{1}{RC}$ મળે છે.
શ્રેણી $RC$ પરિપથનો ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $X_C = \frac{1}{\omega C}$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ છે.
$X_C$ ના સૂત્રમાં $\omega = \frac{1}{RC}$ મૂકતા,આપણને $X_C = \frac{1}{(1/RC)C} = R$ મળે છે.
હવે,ઈમ્પીડન્સના સૂત્રમાં $X_C = R$ મૂકતા,આપણને $Z = \sqrt{R^2 + R^2} = \sqrt{2R^2} = \sqrt{2}R$ મળે છે.

(B) કેપેસિટર શાખામાં,પ્રવાહ $I_1$ એ વોલ્ટેજ $V$ કરતા $\frac{\pi}{2}$ જેટલો આગળ (leads) છે.
તેથી,વોલ્ટેજની સાપેક્ષે $I_1$ નો ફેઝ $\phi_1 = +\frac{\pi}{2}$ છે.
$RL$ શાખામાં,પ્રવાહ $I_2$ એ વોલ્ટેજ $V$ કરતા $\phi_2$ જેટલો પાછળ (lags) છે,જ્યાં $\tan \phi_2 = \frac{X_L}{R}$ છે.
તેથી,વોલ્ટેજની સાપેક્ષે $I_2$ નો ફેઝ $\phi_2 = -\tan^{-1}\left(\frac{X_L}{R}\right)$ છે.
$I_1$ અને $I_2$ વચ્ચેનો ફેઝ તફાવત $\Delta \phi = \phi_1 - \phi_2$ દ્વારા મળે છે.
$\Delta \phi = \frac{\pi}{2} - \left[-\tan^{-1}\left(\frac{X_L}{R}\right)\right] = \frac{\pi}{2} + \tan^{-1}\left(\frac{X_L}{R}\right)$.

(A) $L-R$ શ્રેણી સર્કિટમાં,પ્રવાહ $I$ ઇન્ડક્ટર અને અવરોધક બંનેમાંથી સમાન વહે છે.
જોકે,અવરોધક પરનો વોલ્ટેજ $(V_R)$ પ્રવાહ સાથે સમાન કળામાં હોય છે,જ્યારે ઇન્ડક્ટર પરનો વોલ્ટેજ $(V_L)$ પ્રવાહ કરતા $90^{\circ}$ જેટલો આગળ હોય છે.
તેથી,વોલ્ટેજનો ફેઝર સરવાળો સ્ત્રોત વોલ્ટેજ $V_{AC}$ જેટલો હોવો જોઈએ.
ફેઝર ડાયાગ્રામ મુજબ,રૂટ-મીન-સ્ક્વેર $(RMS)$ મૂલ્યો વચ્ચેનો સંબંધ $V_{AC}^2 = V_L^2 + V_R^2$ છે.
પ્રશ્ન કોઈ પણ ક્ષણે સંબંધ વિશે પૂછે છે,અને $V_L$ અને $V_R$ વચ્ચેનો કળા તફાવત $90^{\circ}$ હોવાથી,તત્કાલિન સ્ત્રોત વોલ્ટેજ એ ઘટકો પરના તત્કાલિન વોલ્ટેજનો સદિશ સરવાળો છે,જે પાયથાગોરસના સંબંધ $V_{AC}^2 = V_L^2 + V_R^2$ ને અનુસરે છે.

(B) શ્રેણી $RLC$ પરિપથનો ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (\omega L - 1/(\omega C))^2}$ છે. પરિપથમાં પ્રવાહ $I = V_S / Z$ છે.
$V_{RL}$ ($RL$ પરનો વોલ્ટેજ) માટે: $V_{RL} = I \times \sqrt{R^2 + (\omega L)^2} = V_S \times \frac{\sqrt{R^2 + \omega^2 L^2}}{\sqrt{R^2 + (\omega L - 1/(\omega C))^2}}$.
$V_C$ ($C$ પરનો વોલ્ટેજ) માટે: $V_C = I \times (1/(\omega C)) = V_S \times \frac{1/(\omega C)}{\sqrt{R^2 + (\omega L - 1/(\omega C))^2}} = V_S \times \frac{1}{\sqrt{(\omega RC)^2 + (\omega^2 LC - 1)^2}}$.
$1$. ઓછી આવૃત્તિની મર્યાદામાં $(\omega \to 0)$:
$V_{RL} \approx V_S \times \frac{R}{1/(\omega C)} = V_S \omega RC \propto \omega$.
$V_C \approx V_S \times \frac{1/(\omega C)}{1/(\omega C)} = V_S$. આમ,$V_C$ એ $V_S$ ની નજીક પહોંચે છે.
$2$. વધારે આવૃત્તિની મર્યાદામાં $(\omega \to \infty)$:
$V_{RL} \approx V_S \times \frac{\omega L}{\omega L} = V_S$. આમ,$V_{RL}$ એ $V_S$ ની નજીક પહોંચે છે.
$V_C \approx V_S \times \frac{1/(\omega C)}{\omega L} = \frac{V_S}{\omega^2 LC} \propto 1/\omega^2$.
આ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) $L-C-R$ શ્રેણી પરિપથમાં,બધા ઘટકોમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ સમાન હોય છે.
અવરોધક પરનો વોલ્ટેજ $V_R$ એ પ્રવાહ $I$ ની કળામાં હોય છે.
ઇન્ડક્ટર પરનો વોલ્ટેજ $V_L$ એ પ્રવાહ કરતા $90^\circ$ આગળ હોય છે.
કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ $V_C$ એ પ્રવાહ કરતા $90^\circ$ પાછળ હોય છે.
ફેઝર સરવાળાનો ઉપયોગ કરતા,પરિણામી વોલ્ટેજ $V$ એ આ વોલ્ટેજોના સદિશ સરવાળા દ્વારા મળે છે:
$V = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2}$
આનું કારણ એ છે કે $V_L$ અને $V_C$ શિરોલંબ અક્ષ પર વિરુદ્ધ દિશામાં છે,જ્યારે $V_R$ સમક્ષિતિજ અક્ષ પર છે.

(D) આપેલ વોલ્ટેજ સમીકરણ $V = 20 \sin(10t + 30^\circ)$ પરથી,પીક વોલ્ટેજ $V_0 = 20 \text{ V}$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 10 \text{ rad/s}$ છે.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L = 10 \times 1 = 10 \, \Omega$ છે.
$RL$ સર્કિટમાં વ્યય થતો પાવર $P = I_{rms}^2 R = \frac{V_{rms}^2 R}{R^2 + X_L^2} = \frac{V_0^2 R}{2(R^2 + X_L^2)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ પાવર શોધવા માટે,આપણે $P$ નું $R$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ અને તેને શૂન્ય લઈએ છીએ,જે $R = X_L = 10 \, \Omega$ ની શરત આપે છે.
$R = 10 \, \Omega$ અને $X_L = 10 \, \Omega$ ને પાવરના સૂત્રમાં મૂકતા:
$P_{\max} = \frac{V_0^2 R}{2(R^2 + X_L^2)} = \frac{20^2 \times 10}{2(10^2 + 10^2)} = \frac{400 \times 10}{2(100 + 100)} = \frac{4000}{400} = 10 \text{ W}$.

(A) $RLC$ શ્રેણી સર્કિટમાં મહત્તમ પ્રવાહ $I_0 = \frac{V_0}{Z}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Z$ એ સર્કિટનો ઈમ્પીડન્સ છે.
સર્કિટમાં પ્રવાહ $i(t) = I_0 \sin(\omega t + \phi)$ છે.
કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q(t)$ અને પ્રવાહ $i(t)$ વચ્ચેનો સંબંધ $i = \frac{dq}{dt}$ છે.
પ્રવાહનું સંકલન કરતા,આપણને $q(t) = \int i dt = \int I_0 \sin(\omega t + \phi) dt = -\frac{I_0}{\omega} \cos(\omega t + \phi)$ મળે છે.
કેપેસિટર પરનો મહત્તમ વિદ્યુતભાર $Q_0$ એ આ દોલનનો કંપવિસ્તાર છે,જે $Q_0 = \frac{I_0}{\omega}$ છે.
$I_0 = \frac{V_0}{Z}$ મૂકતા,આપણને $Q_0 = \frac{V_0}{\omega Z}$ મળે છે.

(B) $L-C-R$ શ્રેણી સર્કિટમાં,ઇન્ડક્ટર $(V_L)$ અને અવરોધ $(V_R)$ પરનો વોલ્ટેજ ફેઝર ડાયાગ્રામમાં એકબીજાને લંબ હોય છે.
$L-R$ સંયોજન પરનો વોલ્ટેજ $V_L$ અને $V_R$ ના સદિશ સરવાળા દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$V_{LR} = \sqrt{V_L^2 + V_R^2}$
આપેલ છે કે $V_L = 50\,V$ અને $V_R = 50\,V$,આ કિંમતો મૂકતા:
$V_{LR} = \sqrt{(50)^2 + (50)^2}$
$V_{LR} = \sqrt{2500 + 2500}$
$V_{LR} = \sqrt{5000}$
$V_{LR} = 50\sqrt{2}\,V$

(A) $LCR$ શ્રેણી સર્કિટમાં ફેઝ એંગલ $\phi$ નું સૂત્ર $\tan \phi = \frac{X_C - X_L}{R}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\tan \phi = \frac{8 - 5}{4} = \frac{3}{4}$.
તેથી,$\phi = \tan^{-1}(3/4)$.
અહીં $X_C > X_L$ હોવાથી,સર્કિટ કેપેસિટીવ પ્રકારની છે.
કેપેસિટીવ સર્કિટમાં,પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા ફેઝ એંગલ $\phi$ જેટલો આગળ હોય છે.
આમ,પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા $\tan^{-1}(3/4)$ જેટલો આગળ છે.

(C) શ્રેણી $LCR$ પરિપથમાં,કુલ એસી (alternating) emf $E$ એ અવરોધ $(V_R)$,ઇન્ડક્ટર $(V_L)$ અને કેપેસિટર $(V_C)$ ના વોલ્ટેજના ફેઝર સરવાળા દ્વારા મળે છે.
સૂત્ર $E = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2}$ છે.
આપેલ કિંમતો $V_R = 80 \, V$,$V_L = 40 \, V$ અને $V_C = 100 \, V$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$E = \sqrt{(80)^2 + (40 - 100)^2}$
$E = \sqrt{6400 + (-60)^2}$
$E = \sqrt{6400 + 3600}$
$E = \sqrt{10000}$
$E = 100 \, V$.

(A) $DC$ સપ્લાય માટે,ઇન્ડક્ટર શુદ્ધ અવરોધ તરીકે કાર્ય કરે છે. તેથી,અવરોધ $R = \frac{V}{I_{DC}} = \frac{100}{1} = 100\, \Omega$ મળે છે.
$AC$ સપ્લાય માટે,ઇમ્પિડન્સ $Z = \frac{V}{I_{AC}} = \frac{100}{0.5} = 200\, \Omega$ મળે છે.
$LR$ સર્કિટનો ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $200 = \sqrt{100^2 + X_L^2} \Rightarrow 40000 = 10000 + X_L^2 \Rightarrow X_L^2 = 30000$.
$X_L = \sqrt{30000} = 100\sqrt{3} \approx 173.2\, \Omega$.
$X_L = 2\pi f L$ હોવાથી,$L = \frac{X_L}{2\pi f} = \frac{173.2}{2 \times 3.14 \times 50} = \frac{173.2}{314} \approx 0.55\, H$ મળે છે.

(D) $DC$ સપ્લાય માટે,ઇન્ડક્ટર સાદા અવરોધ તરીકે વર્તે છે કારણ કે $X_L = 2\pi fL$ અને $f = 0$. તેથી,$R = \frac{V}{I_1} = \frac{200}{1} = 200\,\Omega$.
$AC$ સપ્લાય માટે,ઈમ્પિડન્સ $Z = \frac{V}{I_2} = \frac{200}{0.5} = 400\,\Omega$.
$RL$ સર્કિટનો ઈમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $400 = \sqrt{200^2 + X_L^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $160000 = 40000 + X_L^2$,જે $X_L^2 = 120000$ આપે છે.
$X_L = \sqrt{120000} = 200\sqrt{3}\,\Omega$.
$X_L = 2\pi fL$ હોવાથી,$200\sqrt{3} = 2\pi f \left( \frac{2\sqrt{3}}{\pi} \right)$.
$200\sqrt{3} = 4\sqrt{3} f$.
$f = \frac{200\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = 50\,Hz$.

(A) $RC$ શ્રેણી પરિપથનો ઇમ્પિડન્સ $Z$ એ $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2} = \sqrt{R^2 + (\frac{1}{\omega C})^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પરિપથમાં પ્રવાહ $I$ એ $I = \frac{V}{Z}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બલ્બની તેજસ્વિતા વપરાતા પાવર પર આધાર રાખે છે,જે $P = I^2 R$ છે.
જેમ $AC$ સ્ત્રોતની આવૃત્તિ $f$ વધે છે,તેમ કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\pi f$ પણ વધે છે.
કારણ કે $X_C = \frac{1}{\omega C}$,$\omega$ માં વધારો થવાથી કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ માં ઘટાડો થાય છે.
જેમ $X_C$ ઘટે છે,તેમ કુલ ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ ઘટે છે.
કારણ કે $I = \frac{V}{Z}$,$Z$ માં ઘટાડો થવાથી પરિપથમાંથી વહેતા પ્રવાહ $I$ માં વધારો થાય છે.
જેમ પ્રવાહ $I$ વધે છે,તેમ વપરાતો પાવર $P = I^2 R$ વધે છે,અને તેથી બલ્બની તેજસ્વિતા વધે છે.

(A) $RL$ શ્રેણી પરિપથમાં,ઇમ્પિડન્સ $Z$ એ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$X_L = \omega L$ એ ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ છે.
તેથી,$Z = \sqrt{R^2 + (\omega L)^2} = \sqrt{R^2 + \omega^2 L^2}$.
પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર $I_0$ એ પીક વોલ્ટેજ $V_0$ અને ઇમ્પિડન્સ $Z$ ના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે.
$I_0 = \frac{V_0}{Z} = \frac{V_0}{\sqrt{R^2 + \omega^2 L^2}}$.

(C) $LR$ શ્રેણી સર્કિટનો ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $X_L = \omega L$ એ ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ છે.
ઓછી આવૃત્તિ માટે,$\omega \to 0$,તેથી $X_L = \omega L \to 0$. આમ,$Z = \sqrt{R^2 + 0^2} = R$.
વધારે આવૃત્તિ માટે,$\omega \to \infty$,તેથી $X_L = \omega L \to \infty$. આમ,$Z \approx X_L = \omega L$.
આપેલા વિકલ્પો જોતા,ઓછી આવૃત્તિ પર ઇમ્પિડન્સ $R$ તરફ જાય છે.

(C) $RL$ શ્રેણી સર્કિટમાં,સોર્સ વોલ્ટેજ $V_s$ એ અવરોધક $(V_R)$ અને ઇન્ડક્ટર $(V_L)$ ના વોલ્ટેજનો ફેઝર સરવાળો છે:
$V_s = \sqrt{V_R^2 + V_L^2}$
આપેલ છે $V_R = 70 \, V$ અને $V_L = 20 \, V$:
$V_s = \sqrt{70^2 + 20^2} = \sqrt{4900 + 400} = \sqrt{5300} \approx 72.8 \, V$.
આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
પ્રવાહ અને સોર્સ વોલ્ટેજ વચ્ચેનો ફેઝ એંગલ $\phi$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\tan \phi = \frac{V_L}{V_R} = \frac{20}{70} = \frac{2}{7}$
તેથી,$\phi = \tan^{-1} (2/7)$.
આમ,વિધાન $(B)$ પણ સાચું છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.

(B) આપેલ છે: પ્રવાહ $I = 11 \, A$,લાગુ પાડવામાં આવેલ વોલ્ટેજ $V = 220 \, V$,અવરોધ $R = 20 \, \Omega$,કેપેસિટરની આસપાસનો વોલ્ટેજ $V_C = 200 \, V$.
$L-C-R$ સર્કિટનો ઇમ્પિડન્સ $Z = \frac{V}{I} = \frac{220}{11} = 20 \, \Omega$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$.
કિંમતો મૂકતા: $20 = \sqrt{20^2 + (X_L - X_C)^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $400 = 400 + (X_L - X_C)^2$,જેનો અર્થ છે કે $(X_L - X_C)^2 = 0$,તેથી $X_L = X_C$.
કારણ કે $V_L = I X_L$ અને $V_C = I X_C$,શરત $X_L = X_C$ નો અર્થ છે કે $V_L = V_C$.
તેથી,$V_L = 200 \, V$.

(C) આપેલ સોર્સ વોલ્ટેજ $V = 100\sqrt{2} \sin(\omega t) \, V$ છે.
આને $V = V_0 \sin(\omega t)$ સાથે સરખાવતા,પીક વોલ્ટેજ $V_0 = 100\sqrt{2} \, V$ મળે છે.
$RMS$ વોલ્ટેજ $V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}} = \frac{100\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 100 \, V$ થાય.
$RL$ શ્રેણી સર્કિટમાં,કુલ $RMS$ વોલ્ટેજ $V_{rms}^2 = V_R^2 + V_L^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $V_R = 60 \, V$ અને $V_{rms} = 100 \, V$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(100)^2 = (60)^2 + V_L^2$.
$V_L^2 = 10000 - 3600 = 6400$.
$V_L = \sqrt{6400} = 80 \, V$.

(D) બલ્બનો અવરોધ $R = \frac{V^2}{P} = \frac{60^2}{10} = 360 \, \Omega$ દ્વારા મળે છે.
બલ્બ પરનો વોલ્ટેજ $V_R = 60 \, V$ છે અને સ્ત્રોત વોલ્ટેજ $V_S = 100 \, V$ છે.
$RC$ શ્રેણી પરિપથમાં,વોલ્ટેજ વચ્ચેનો સંબંધ $V_S^2 = V_R^2 + V_C^2$ છે,જ્યાં $V_C$ એ કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ છે.
$100^2 = 60^2 + V_C^2 \Rightarrow V_C^2 = 10000 - 3600 = 6400 \Rightarrow V_C = 80 \, V$.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V_R}{R} = \frac{60}{360} = \frac{1}{6} \, A$ છે.
કેપેસિટર માટે ઓહ્મનો નિયમ વાપરતા,$V_C = I X_C$,જ્યાં $X_C$ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ છે.
$X_C = \frac{V_C}{I} = \frac{80}{1/6} = 480 \, \Omega$.

(A) જ્યારે $D.C.$ સ્ત્રોત સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કોઈલ શુદ્ધ અવરોધ તરીકે કાર્ય કરે છે કારણ કે આવૃત્તિ શૂન્ય છે.
ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $V = I R$
$R = \frac{V}{I} = \frac{100}{25} = 4\, \Omega$
જ્યારે $A.C.$ સ્ત્રોત સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કોઈલ $LR$ સર્કિટ (શ્રેણીમાં અવરોધ અને ઇન્ડક્ટર) તરીકે કાર્ય કરે છે.
ઇમ્પીડન્સ $Z$ નીચે મુજબ મળે છે: $Z = \frac{V}{I} = \frac{100}{20} = 5\, \Omega$
ઇમ્પીડન્સ,અવરોધ અને ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ વચ્ચેનો સંબંધ: $Z = \sqrt{X_{L}^{2} + R^{2}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $Z^{2} = X_{L}^{2} + R^{2}$
$5^{2} = X_{L}^{2} + 4^{2}$
$25 = X_{L}^{2} + 16$
$X_{L}^{2} = 25 - 16 = 9$
$X_{L} = 3\, \Omega$
આમ,કોઈલનું રિએક્ટન્સ $3\, \Omega$ છે.

(A) $RL$ શ્રેણી પરિપથમાં કળા તફાવત $\varphi$ શોધવાનું સૂત્ર: $\tan \varphi = \frac{X_L}{R}$ છે.
અહીં,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L = 2\pi f L$ થાય.
આપેલ છે: $R = 300\,\Omega$,$L = \frac{1}{\pi}\,H$,અને $f = 200\,Hz$.
કિંમતો મૂકતા:
$X_L = 2 \times \pi \times 200 \times \frac{1}{\pi} = 400\,\Omega$.
હવે,કળા તફાવતની ગણતરી કરતા:
$\tan \varphi = \frac{400}{300} = \frac{4}{3}$.
તેથી,$\varphi = \tan^{-1}(\frac{4}{3})$.

(B) આપેલ છે: પીક વોલ્ટેજ $V_0 = 283 \, V$,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 320 \, rad/s$,અવરોધ $R = 5 \, \Omega$,ઇન્ડક્ટન્સ $L = 25 \, mH = 25 \times 10^{-3} \, H$,અને કેપેસીટન્સ $C = 1000 \, \mu F = 10^{-3} \, F$.
પ્રથમ,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ ની ગણતરી કરો:
$X_L = \omega L = 320 \times 25 \times 10^{-3} = 8 \, \Omega$.
ત્યારબાદ,કેપેસીટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ ની ગણતરી કરો:
$X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{320 \times 10^{-3}} = 3.125 \, \Omega$.
સર્કિટનો કુલ ઈમ્પીડન્સ $Z$:
$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{5^2 + (8 - 3.125)^2} = \sqrt{25 + (4.875)^2} \approx 7 \, \Omega$.
ફેઝ તફાવત $\phi$:
$\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R} = \frac{4.875}{5} \approx 0.975 \approx 1$.
આમ,$\phi \approx 45^{\circ}$ થાય છે.

(C) શ્રેણી $LC$ સર્કિટમાં,ઇન્ડક્ટર $(V_L)$ અને કેપેસિટર $(V_C)$ ની આસપાસનો વોલ્ટેજ વિરુદ્ધ કળામાં હોય છે,એટલે કે,તેમની વચ્ચે $180^{\circ}$ નો કળા તફાવત હોય છે.
$AC$ સ્ત્રોતનો કુલ વોલ્ટેજ $E$ એ વ્યક્તિગત વોલ્ટેજના તફાવતના મૂલ્ય દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E = |V_L - V_C|$
આપેલ છે:
$V_L = 300\, V$
$V_C = 400\, V$
કિંમતો મૂકતા:
$E = |300\, V - 400\, V|$
$E = |-100\, V|$
$E = 100\, V$

(A) $RL$ અથવા $RC$ સર્કિટમાં કળા તફાવત $\phi$ એ $\tan \phi = \frac{X}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\phi = \frac{\pi}{4}$,તેથી $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$,જેનો અર્થ છે કે $X = R$.
અહીં,$\omega = 1000 \text{ rad/s}$ અને $R = 1000 \Omega$ છે.
$RC$ સર્કિટ માટે,$X_C = \frac{1}{\omega C} = R \implies C = \frac{1}{\omega R} = \frac{1}{1000 \times 1000} = 10^{-6} \text{ F} = 1 \mu\text{F}$.
$RL$ સર્કિટ માટે,$X_L = \omega L = R \implies L = \frac{R}{\omega} = \frac{1000}{1000} = 1 \text{ H}$.
વિકલ્પો તપાસતા:
વિકલ્પ $(A)$: $R = 1000 \Omega$,$C = 1 \mu\text{F}$. $X_C = \frac{1}{1000 \times 10^{-6}} = 1000 \Omega$. $X_C = R$ હોવાથી,કળા તફાવત $\frac{\pi}{4}$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $(A)$ સાચો છે.

(A) કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ પર,$RC$ શ્રેણી પરિપથમાં પ્રવાહ $I$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$I = \frac{V}{\sqrt{R^2 + X_C^2}} = \frac{V}{\sqrt{R^2 + (\frac{1}{\omega C})^2}}$ ..........$(i)$
જ્યારે આવૃત્તિ બદલીને $\omega' = \frac{\omega}{3}$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવો કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C' = \frac{1}{\omega' C} = \frac{1}{(\omega/3)C} = \frac{3}{\omega C} = 3X_C$ થાય છે.
આપેલ છે કે નવો પ્રવાહ $I' = \frac{I}{2}$ છે,તેથી:
$\frac{I}{2} = \frac{V}{\sqrt{R^2 + (3X_C)^2}}$ ..........$(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $(ii)$ વડે ભાગતા:
$2 = \frac{\sqrt{R^2 + 9X_C^2}}{\sqrt{R^2 + X_C^2}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$4 = \frac{R^2 + 9X_C^2}{R^2 + X_C^2}$
$4R^2 + 4X_C^2 = R^2 + 9X_C^2$
$3R^2 = 5X_C^2$
$\frac{X_C^2}{R^2} = \frac{3}{5}$
$\frac{X_C}{R} = \sqrt{\frac{3}{5}}$

(B) શ્રેણી $L-C-R$ સર્કિટમાં,સપ્લાય વોલ્ટેજ $V$ એ દરેક ઘટક પરના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતના ફેઝર સરવાળા જેટલો હોય છે.
સપ્લાય વોલ્ટેજ માટેનું સૂત્ર $V = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2}$ છે.
આપેલ છે:
$V_L = 60\,V$
$V_C = 30\,V$
$V_R = 40\,V$
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$V = \sqrt{40^2 + (60 - 30)^2}$
$V = \sqrt{40^2 + 30^2}$
$V = \sqrt{1600 + 900}$
$V = \sqrt{2500}$
$V = 50\,V$.
તેથી,સપ્લાય વોલ્ટેજ $50\,V$ છે.

(B) પરિપથમાં શ્રેણીમાં એક $AC$ સ્ત્રોત,એક અવરોધ (બલ્બ) અને એક ઇન્ડક્ટર $L$ જોડાયેલા છે.
જ્યારે ઇન્ડક્ટરમાં લોખંડનો સળિયો દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેની આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ વધે છે કારણ કે કોરની પરમિયેબિલિટી વધે છે.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ $L$ વધે છે,તેમ $X_L$ વધે છે.
પરિપથનો કુલ ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ છે. જેમ $X_L$ વધે છે,તેમ પરિપથનો કુલ ઈમ્પીડન્સ $Z$ વધે છે.
સ્ત્રોત વોલ્ટેજ $V$ અચળ હોવાથી,પરિપથમાં પ્રવાહ $I = \frac{V}{Z}$ ઘટે છે.
બલ્બની તેજસ્વીતા વપરાતા પાવર $P = I^2 R$ પર આધાર રાખે છે.
જેમ પ્રવાહ $I$ ઘટે છે,તેમ બલ્બ દ્વારા વપરાતો પાવર ઘટે છે,અને તેથી,બલ્બ ઝાંખો પડે છે.

(B) $L-R$ શ્રેણી સર્કિટમાં ફેઝ એંગલ $\phi$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\tan \phi = \frac{X_L}{R} = \frac{\omega L}{R} = \frac{2 \pi f L}{R}$
આપેલ કિંમતો:
$f = \frac{100}{\pi} \ Hz$
$L = 0.025 \ H$
$R = 5 \ \Omega$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\tan \phi = \frac{2 \pi \times (100/\pi) \times 0.025}{5}$
$\tan \phi = \frac{2 \times 100 \times 0.025}{5}$
$\tan \phi = \frac{200 \times 0.025}{5} = \frac{5}{5} = 1$
તેથી,$\tan \phi = 1$ હોવાથી,ફેઝ એંગલ $\phi = \tan^{-1}(1) = 45^{\circ}$ થાય.

(A) શ્રેણી $L-C-R$ સર્કિટમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i$ નીચે મુજબ છે:
$i = \frac{V_{rms}}{\sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}}$
આપેલ છે: $V_{rms} = 10 \, V$,$R = 3 \, \Omega$,$X_L = 15 \, \Omega$,$X_C = 11 \, \Omega$.
કિંમતો મૂકતા:
$i = \frac{10}{\sqrt{3^2 + (15 - 11)^2}} = \frac{10}{\sqrt{9 + 4^2}} = \frac{10}{\sqrt{25}} = \frac{10}{5} = 2 \, A$.
ઇન્ડક્ટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_L = i X_L = 2 \times 15 = 30 \, V$ છે.
કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_C = i X_C = 2 \times 11 = 22 \, V$ છે.
ઇન્ડક્ટર અને કેપેસિટર શ્રેણીમાં હોવાથી,તેમના સંયોજન પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $|V_L - V_C| = |30 - 22| = 8 \, V$ થશે.