$LC$ સર્કિટના મુક્ત દોલનોમાં,કેપેસિટર અને ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનો સરવાળો સમય સાથે અચળ રહે છે તેમ દર્શાવો.

ધારો કે કેપેસિટર પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $q_{0}$ છે. ધારો કે ચાર્જ થયેલ કેપેસિટરને $L$ ઇન્ડક્ટન્સ ધરાવતા ઇન્ડક્ટર સાથે જોડવામાં આવે છે. આ $LC$ સર્કિટ $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ આવૃત્તિ સાથે દોલનો જાળવી રાખશે.
કોઈ ક્ષણ $t$ પર,કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q$ અને પ્રવાહ $i$ નીચે મુજબ છે:
$q(t) = q_{0} \cos(\omega t)$
$i(t) = -q_{0} \omega \sin(\omega t)$
સમય $t$ પર કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા:
$U_{E} = \frac{q^{2}}{2C} = \frac{q_{0}^{2}}{2C} \cos^{2}(\omega t)$
સમય $t$ પર ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા:
$U_{M} = \frac{1}{2} L i^{2} = \frac{1}{2} L (q_{0} \omega \sin(\omega t))^{2} = \frac{1}{2} L q_{0}^{2} \omega^{2} \sin^{2}(\omega t)$
કારણ કે $\omega^{2} = \frac{1}{LC}$,તેથી:
$U_{M} = \frac{1}{2} L q_{0}^{2} \left(\frac{1}{LC}\right) \sin^{2}(\omega t) = \frac{q_{0}^{2}}{2C} \sin^{2}(\omega t)$
ઉર્જાનો સરવાળો:
$U = U_{E} + U_{M} = \frac{q_{0}^{2}}{2C} \cos^{2}(\omega t) + \frac{q_{0}^{2}}{2C} \sin^{2}(\omega t)$
$U = \frac{q_{0}^{2}}{2C} (\cos^{2}(\omega t) + \sin^{2}(\omega t)) = \frac{q_{0}^{2}}{2C}$
અહીં $q_{0}$ અને $C$ અચળ હોવાથી,કુલ ઉર્જા $U$ સમય સાથે અચળ રહે છે.