Inductance, Capacitance and Resistance in Series and Parallel Questions in Gujarati

(A) કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જેમ $\omega$ વધે છે,તેમ $X_C$ સતત ઘટે છે. તેથી,$(A)-(iv)$.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જેમ $\omega$ વધે છે,તેમ $X_L$ સતત વધે છે. તેથી,$(B)-(i)$.
અવરોધ $R$ એ કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ થી સ્વતંત્ર છે. તેથી,$(C)-(ii)$.
$LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં કુલ ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. રેઝોનન્સ સમયે,$X_L = X_C$,તેથી $Z$ ન્યૂનતમ હોય છે. જેમ $\omega$ શૂન્યથી વધે છે,તેમ $Z$ પહેલા રેઝોનન્સ સુધી ઘટે છે અને પછી વધે છે. તેથી,$(D)-(iii)$.

(D) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં, કુલ લાગુ પાડવામાં આવેલ વોલ્ટેજ $V$ એ વ્યક્તિગત ઘટકોની આસપાસના વોલ્ટેજનો ફેઝર સરવાળો છે.
કુલ વોલ્ટેજ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$V = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2}$
આપેલ છે:
$V_L = 50 \,V$
$V_C = 20 \,V$
$V_R = 40 \,V$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$V = \sqrt{40^2 + (50 - 20)^2}$
$V = \sqrt{1600 + (30)^2}$
$V = \sqrt{1600 + 900}$
$V = \sqrt{2500}$
$V = 50 \,V$
તેથી, લાગુ પાડવામાં આવેલ $A.C.$ વોલ્ટેજ $50 \,V$ છે.

(B) શ્રેણી $LR$ સર્કિટનો ઈમ્પીડન્સ $Z_1 = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે આ સર્કિટમાં કેપેસિટરને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે નવો ઈમ્પીડન્સ $Z_2 = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ થાય છે.
કારણ કે $(X_L - X_C)^2 < X_L^2$ (ધારી લઈએ કે $X_C$ શૂન્ય નથી),તેથી નવો ઈમ્પીડન્સ $Z_2$ એ મૂળ ઈમ્પીડન્સ $Z_1$ કરતા ઓછો છે.
$AC$ સર્કિટ માટે ઓહ્મના નિયમ મુજબ,$I = \frac{V}{Z}$.
જેમ કે ઈમ્પીડન્સ $Z$ ઘટે છે,તેથી સર્કિટમાં વહેતો પ્રવાહ $I$ વધે છે.

(D) $50 \, Hz$ પર ઇન્ડક્ટર કોઈલ માટે:
$X_L = \frac{V}{I} = \frac{100}{8} = 12.5 \, \Omega$.
અવરોધ માટે:
$R = \frac{V}{I} = \frac{100}{10} = 10 \, \Omega$.
નવી આવૃત્તિ $f' = 40 \, Hz$ પર, નવો ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L'$:
$X_L' = X_L \times \frac{f'}{f} = 12.5 \times \frac{40}{50} = 10 \, \Omega$.
જ્યારે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે ત્યારે ઈમ્પીડન્સ $Z$:
$Z = \sqrt{R^2 + (X_L')^2} = \sqrt{10^2 + 10^2} = 10\sqrt{2} \, \Omega$.
શ્રેણી પરિપથમાં પ્રવાહ $I$:
$I = \frac{V}{Z} = \frac{100}{10\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2} \, A$.

(C) સર્કિટમાં $r.m.s.$ પ્રવાહ $I$ એ $I = \frac{V}{Z}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $V = 220 \ V$ અને $Z = 33 \ \Omega$ આપેલ છે,તેથી $I = \frac{220}{33} = \frac{20}{3} \ A$ મળે.
$a.c.$ સર્કિટમાં વપરાતો સાચો પાવર $P$ એ $P = I^2 R$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$P = \left(\frac{20}{3}\right)^2 \times 18$.
$P = \frac{400}{9} \times 18 = 400 \times 2 = 800 \ W$.

(B) આપેલ છે: $R=200 \Omega$, $L=663 \text{ mH}$, $C=26.5 \mu F$, $V_{0}=50 \text{ V}$, $X_{L}=250 \Omega$, $X_{C}=100 \Omega$.
શ્રેણી $LCR$ સર્કિટનો ઈમ્પીડન્સ $Z$ નીચે મુજબ મળે છે: $Z = \sqrt{R^{2} + (X_{L} - X_{C})^{2}}$.
કિંમતો મૂકતા: $Z = \sqrt{200^{2} + (250 - 100)^{2}} = \sqrt{40000 + 150^{2}}$.
$Z = \sqrt{40000 + 22500} = \sqrt{62500} = 250 \Omega$.
મહત્તમ પ્રવાહ $i_{0} = \frac{V_{0}}{Z}$ દ્વારા મળે છે.
$i_{0} = \frac{50}{250} = 0.2 \text{ A}$.

(C) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં વપરાતો સાચો પાવર $P$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P = V_{rms} \cdot I_{rms} \cdot \cos \phi$,જ્યાં $\cos \phi$ એ પાવર ફેક્ટર છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z}$.
વળી,$r.m.s.$ પ્રવાહ $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z}$ દ્વારા મળે છે.
આ કિંમતોને પાવરના સૂત્રમાં મૂકતા: $P = V_{rms} \cdot \left( \frac{V_{rms}}{Z} \right) \cdot \left( \frac{R}{Z} \right) = \frac{V_{rms}^2 \cdot R}{Z^2}$.
આપેલ કિંમતો: $V_{rms} = 220 \ V$,$R = 18 \ \Omega$,$Z = 33 \ \Omega$.
$P = \frac{220^2 \cdot 18}{33^2} = \frac{48400 \cdot 18}{1089}$.
$P = \frac{871200}{1089} = 800 \ W$.
તેથી,વપરાતો સાચો પાવર $800 \ W$ છે.

(C) આપેલ પરિપથ એ શ્રેણી $LCR$ પરિપથ છે જ્યાં બલ્બ અવરોધ $R$ તરીકે કાર્ય કરે છે.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V}{Z} = \frac{V}{\sqrt{R^2 + (\omega L - \frac{1}{\omega C})^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અનુનાદ (resonance) સમયે,કોણીય આવૃત્તિ $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ હોય છે. આ આવૃત્તિએ,ઈમ્પિડન્સ $Z$ ન્યૂનતમ $(Z = R)$ હોય છે અને પ્રવાહ $I$ મહત્તમ $(I = \frac{V}{R})$ હોય છે.
જેમ જેમ આવૃત્તિ નીચા મૂલ્યથી વધે છે,તેમ ઈમ્પિડન્સ $Z$ ઘટે છે જ્યાં સુધી તે અનુનાદ આવૃત્તિ સુધી ન પહોંચે,જેના કારણે પ્રવાહ $I$ અને બલ્બની તેજસ્વિતા વધીને મહત્તમ થાય છે.
જેમ જેમ આવૃત્તિ અનુનાદ આવૃત્તિથી આગળ વધે છે,તેમ ઈમ્પિડન્સ $Z$ ફરીથી વધે છે,જેના કારણે પ્રવાહ $I$ અને બલ્બની તેજસ્વિતા ઘટે છે.
તેથી,તેજસ્વિતા વધે છે,અનુનાદ સમયે મહત્તમ થાય છે અને પછી ઘટે છે.

(A) રિજેક્ટર સર્કિટ,જેને સમાંતર રેઝોનન્ટ સર્કિટ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે,તે એક એવી સર્કિટ છે જેમાં ઇન્ડક્ટર $(L)$ અને કેપેસિટર $(C)$ સમાંતરમાં જોડાયેલા હોય છે. રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી પર,આ સમાંતર જોડાણનો ઇમ્પિડન્સ મહત્તમ બને છે,જે તે ચોક્કસ ફ્રીક્વન્સી પર કરંટને અસરકારક રીતે રિજેક્ટ કરે છે અથવા બ્લોક કરે છે. તેથી,રિજેક્ટર સર્કિટ બનાવવા માટે $L-C-R$ ઘટકો સમાંતરમાં જોડાયેલા હોય છે.

(C) $LR$ પરિપથનો પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + X_L^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $X_L = 3R$,તેથી પાવર ફેક્ટર $X_1 = \frac{R}{\sqrt{R^2 + (3R)^2}} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + 9R^2}} = \frac{R}{\sqrt{10R^2}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$.
જ્યારે $X_C = R$ ધરાવતો કેપેસિટર શ્રેણીમાં ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે પરિપથ $LCR$ પરિપથ બને છે.
$LCR$ પરિપથનો ઈમ્પીડન્સ $Z' = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ છે.
અહીં $X_L = 3R$ અને $X_C = R$ હોવાથી,$X_L - X_C = 3R - R = 2R$.
તેથી,$Z' = \sqrt{R^2 + (2R)^2} = \sqrt{R^2 + 4R^2} = \sqrt{5R^2} = R\sqrt{5}$.
નવો પાવર ફેક્ટર $X_2 = \frac{R}{Z'} = \frac{R}{R\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
$X_1 : X_2$ નો ગુણોત્તર $\frac{X_1}{X_2} = \frac{1/\sqrt{10}}{1/\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,ગુણોત્તર $1: \sqrt{2}$ છે.

(D) પરિપથમાં આભાસી પાવર $P_{app} = V_{rms} I_{rms} = I_{rms}^2 Z$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
a.c. પરિપથમાં સાચો પાવર (અથવા સરેરાશ પાવર) $P_{true} = V_{rms} I_{rms} \cos \phi = I_{rms}^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આભાસી પાવર અને સાચા પાવરનો ગુણોત્તર $\frac{P_{app}}{P_{true}} = \frac{I_{rms}^2 Z}{I_{rms}^2 R} = \frac{Z}{R}$ થાય છે.
કારણ કે $\cos \phi = \frac{R}{Z}$,તેથી $\frac{Z}{R} = \frac{1}{\cos \phi} = \sec \phi$ મળે છે.

(A) આપેલ એસી વોલ્ટેજ સ્ત્રોત $V = 300 \sqrt{2} \sin(\omega t)$ છે।
મહત્તમ વોલ્ટેજ $V_m = 300 \sqrt{2} \text{ V}$ છે।
આરએમએસ $(RMS)$ વોલ્ટેજ $V_{rms} = \frac{V_m}{\sqrt{2}} = 300 \text{ V}$ છે।
$LCR$ શ્રેણી પરિપથનો ઈમ્પીડન્સ $Z$ એ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
અહીં $R = 30 \Omega$, $X_L = 10 \Omega$, અને $X_C = 10 \Omega$ આપેલ છે।
$Z = \sqrt{30^2 + (10 - 10)^2} = \sqrt{30^2 + 0^2} = 30 \Omega$.
આરએમએસ $(RMS)$ પ્રવાહ $I_{rms}$ એ $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
$I_{rms} = \frac{300}{30} = 10 \text{ A}$.

(D) $L-C-R$ શ્રેણી પરિપથ માટે,કળા તફાવત $\phi$ નું સૂત્ર $\tan \phi = \frac{|X_C - X_L|}{R}$ છે.
અહીં $\phi = 45^{\circ}$ અને $R = 100 \ \Omega$ આપેલ છે,તેથી $\tan 45^{\circ} = 1 = \frac{|X_C - X_L|}{R}$,જેનો અર્થ છે કે $|X_C - X_L| = R = 100 \ \Omega$.
પરિપથનો ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (X_C - X_L)^2} = \sqrt{R^2 + R^2} = R\sqrt{2} = 100\sqrt{2} \ \Omega$ થાય.
પીક વોલ્ટેજ $V_m = 240 \ V$ છે. તેથી $rms$ વોલ્ટેજ $V_{rms} = \frac{V_m}{\sqrt{2}} = \frac{240}{\sqrt{2}} \ V$ થાય.
$rms$ પ્રવાહ $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{240 / \sqrt{2}}{100\sqrt{2}} = \frac{240}{100 \times 2} = \frac{240}{200} = 1.2 \ A$ મળે.

(A) આપેલ છે: $X_L = 24 \ \Omega$,$X_C = 16 \ \Omega$,$R = 6 \ \Omega$,$V = 100 \ V$.
શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં,ઇમ્પિડન્સ $Z$ નીચે મુજબ મળે છે:
$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$
$Z = \sqrt{6^2 + (24 - 16)^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \ \Omega$.
સર્કિટમાં પ્રવાહ $i$:
$i = \frac{V}{Z} = \frac{100}{10} = 10 \ A$.
ઇન્ડક્ટર અને કેપેસિટરના શ્રેણી જોડાણ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત:
$V_{LC} = i |X_L - X_C|$
$V_{LC} = 10 \times |24 - 16| = 10 \times 8 = 80 \ V$.

(C) શ્રેણી $L-C-R$ સર્કિટમાં,જ્યારે કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C$ એ ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ કરતા વધારે હોય (એટલે કે $X_C > X_L$),ત્યારે સર્કિટ કેપેસિટીવ હોય છે.
આપેલ આલેખ પરથી,છેદબિંદુ $B$ એ રેઝોનન્સ આવૃત્તિ દર્શાવે છે જ્યાં $X_L = X_C$ થાય છે.
રેઝોનન્સ આવૃત્તિ કરતા ઓછી આવૃત્તિઓ માટે (એટલે કે બિંદુ $B$ ની ડાબી બાજુએ),$X_C$ નો વક્ર $X_L$ ના વક્રની ઉપર રહેલો છે,જેનો અર્થ છે કે $X_C > X_L$.
આપેલ વિકલ્પોમાંથી,બિંદુ $A$ એ બિંદુ $B$ ની ડાબી બાજુએ આવેલું છે,જ્યાં $X_C > X_L$ છે. તેથી,બિંદુ $A$ પર સર્કિટ કેપેસિટીવ છે.

(C) આપેલ છે કે,પીક વોલ્ટેજ $V_{C}=30 \,V$,$V_{L}=110 \,V$ અને $V_{R}=60 \,V$ છે.
શ્રેણી $L-C-R$ સર્કિટમાં પીક વોલ્ટેજ $(V_{0})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$V_{0} = \sqrt{V_{R}^{2} + (V_{L} - V_{C})^{2}}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$V_{0} = \sqrt{(60)^{2} + (110 - 30)^{2}}$
$V_{0} = \sqrt{60^{2} + 80^{2}}$
$V_{0} = \sqrt{3600 + 6400} = \sqrt{10000} = 100 \,V$
લાગુ પાડવામાં આવેલા વોલ્ટેજનું rms મૂલ્ય એ પીક વોલ્ટેજ સાથે $V_{\text{rms}} = \frac{V_{0}}{\sqrt{2}}$ દ્વારા સંબંધિત છે.
$V_{\text{rms}} = \frac{100}{\sqrt{2}} \approx 70.7 \,V$.

(A) વિદ્યુત પરિપથમાં વ્યય થતો તાત્ક્ષણિક પાવર $P = I^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શ્રેણી $LCR$ પરિપથમાં,ઇન્ડક્ટર $(L)$ અને કેપેસિટર $(C)$ એ રિએક્ટિવ ઘટકો છે જે અનુક્રમે ચુંબકીય અને વિદ્યુત ક્ષેત્રોમાં ઊર્જાનો સંગ્રહ કરે છે,પરંતુ તેઓ ઉષ્મા સ્વરૂપે ઊર્જાનો વ્યય કરતા નથી.
માત્ર અવરોધ $(R)$ એવો ઘટક છે જે વિદ્યુત ઊર્જાનું ઉષ્મામાં રૂપાંતર કરીને વ્યય કરે છે.
તેથી,શ્રેણી $LCR$ પરિપથમાં પાવરનો વ્યય માત્ર અવરોધ $R$ દ્વારા જ થાય છે.

(A) શરૂઆતમાં, દરેક ઘટક પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_R = V_L = V_C = 20 \, V$ છે. $V_L = V_C$ હોવાથી, પરિપથ અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં છે, જેનો અર્થ છે કે ઈમ્પીડન્સ $Z = R$ છે. ઉદગમ વોલ્ટેજ $V = V_R = 20 \, V$ છે.
જ્યારે અવરોધ $R$ ને બમણો કરીને $2R$ કરવામાં આવે છે, ત્યારે નવો ઈમ્પીડન્સ $Z' = \sqrt{(2R)^2 + (X_L - X_C)^2}$ થાય છે. અનુનાદ સમયે $X_L = X_C$ હોવાથી, $Z' = 2R$ થાય છે.
પરિપથમાં નવો પ્રવાહ $I' = V / Z' = V / (2R) = I / 2$ થાય છે, જ્યાં $I$ એ મૂળ પ્રવાહ છે.
અવરોધ પરનો નવો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_R' = I' \times (2R) = (I/2) \times (2R) = IR = 20 \, V$ છે.
ઈન્ડક્ટર પરનો નવો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_L' = I' X_L = (I/2) X_L = V_L / 2 = 20 / 2 = 10 \, V$ છે.
કેપેસિટર પરનો નવો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_C' = I' X_C = (I/2) X_C = V_C / 2 = 20 / 2 = 10 \, V$ છે.
આમ, નવો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $20 \, V, 10 \, V, 10 \, V$ છે.

(B) $LCR$ શ્રેણી સર્કિટમાં પ્રવાહ $I$ અને વોલ્ટેજ $V$ વચ્ચેનો ફેઝ એંગલ $\theta$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\tan \theta = \frac{X_L - X_C}{R}$
સૌ પ્રથમ,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ ની ગણતરી કરો:
$X_L = 2 \pi f L = 2 \pi \times 50 \times \left( \frac{200}{\pi} \times 10^{-3} \right) = 20 \, \Omega$
ત્યારબાદ,કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ ની ગણતરી કરો:
$X_C = \frac{1}{2 \pi f C} = \frac{1}{2 \pi \times 50 \times (10^{-3} / \pi)} = \frac{1}{0.1} = 10 \, \Omega$
આપેલ અવરોધ $R = 10 \, \Omega$ છે.
આ કિંમતોને ફેઝ એંગલના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\tan \theta = \frac{20 - 10}{10} = \frac{10}{10} = 1$
કારણ કે $\tan \theta = 1$,તેથી $\theta = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$ રેડિયન.
આમ,સર્કિટનો ફેઝ એંગલ $\frac{\pi}{4}$ છે.

(D) આપેલ છે: ઇન્ડક્ટન્સ $L = 1 \text{ H}$,કેપેસિટન્સ $C = 20 \mu\text{F} = 20 \times 10^{-6} \text{ F}$,અવરોધ $R = 300 \Omega$,આવૃત્તિ $f = \frac{50}{\pi} \text{ Hz}$.
સૌ પ્રથમ,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_{L}$ ની ગણતરી કરો:
$X_{L} = 2 \pi f L = 2 \pi \left(\frac{50}{\pi}\right) \times 1 = 100 \Omega$.
ત્યારબાદ,કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_{C}$ ની ગણતરી કરો:
$X_{C} = \frac{1}{2 \pi f C} = \frac{1}{2 \pi \left(\frac{50}{\pi}\right) \times 20 \times 10^{-6}} = \frac{1}{100 \times 20 \times 10^{-6}} = \frac{1}{2 \times 10^{-3}} = 500 \Omega$.
શ્રેણી $L-C-R$ સર્કિટનો ઈમ્પીડન્સ $Z$ નીચે મુજબ છે:
$Z = \sqrt{R^{2} + (X_{C} - X_{L})^{2}}$.
કિંમતો મૂકતા:
$Z = \sqrt{(300)^{2} + (500 - 100)^{2}} = \sqrt{300^{2} + 400^{2}} = \sqrt{90000 + 160000} = \sqrt{250000} = 500 \Omega$.

(D) કેપેસિટર ધરાવતી $AC$ સર્કિટમાં પ્રવાહ $i = \frac{V}{\sqrt{R^2 + X_C^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $X_C = \frac{1}{\omega C}$ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ છે.
જ્યારે કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચે ડાયઇલેક્ટ્રિક દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટન્સ $C$ વધે છે $(C = K C_0)$.
જેમ $C$ વધે છે,તેમ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C}$ ઘટે છે.
ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ ઘટતું હોવાથી,સર્કિટમાં પ્રવાહ $i$ વધે છે.
પરિણામે,બલ્બની તેજસ્વીતા,જે વપરાતી પાવર $(P = i^2 R)$ પર આધાર રાખે છે,તે વધે છે.

(C) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં,કુલ વૈકલ્પિક emf $(V)$ એ અવરોધ $(V_R)$,ઇન્ડક્ટર $(V_L)$,અને કેપેસિટર $(V_C)$ પરના વ્યક્તિગત વોલ્ટેજનો ફેઝર સરવાળો છે.
સૂત્ર આ મુજબ છે:
$V = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2}$
આપેલ કિંમતો:
$V_R = 80 \ V$
$V_L = 40 \ V$
$V_C = 100 \ V$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$V = \sqrt{(80)^2 + (40 - 100)^2}$
$V = \sqrt{6400 + (-60)^2}$
$V = \sqrt{6400 + 3600}$
$V = \sqrt{10000}$
$V = 100 \ V$
તેથી,વૈકલ્પિક emf નું મૂલ્ય $100 \ V$ છે.

(D) $LCR$ શ્રેણી પરિપથનો ઇમ્પિડન્સ $Z$ એ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $R = 40 \ \Omega$,$X_C = 20 \ \Omega$,$X_L = 50 \ \Omega$,અને $V = 100 \ V$.
કિંમતો મૂકતા:
$Z = \sqrt{40^2 + (50 - 20)^2}$
$Z = \sqrt{1600 + 30^2} = \sqrt{1600 + 900} = \sqrt{2500} = 50 \ \Omega$.
પરિપથમાં પ્રવાહ $i$ એ $i = \frac{V}{Z}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$i = \frac{100 \ V}{50 \ \Omega} = 2 \ A$.

(C) $L-C-R$ સર્કિટમાં,રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી $f_0$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$f_0 = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L C}}$
રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી સમાન રહે તે માટે,$LC$ નો ગુણાકાર અચળ રહેવો જોઈએ.
ધારો કે નવું ઇન્ડક્ટન્સ $L^{\prime}$ છે અને નવું કેપેસીટન્સ $C^{\prime} = 4C$ છે.
$f_0 = f_0^{\prime}$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$L C = L^{\prime} C^{\prime}$
સમીકરણમાં $C^{\prime} = 4C$ મૂકતા:
$L C = L^{\prime} (4 C)$
બંને બાજુ $4C$ વડે ભાગતા:
$L^{\prime} = \frac{L}{4}$
તેથી,ઇન્ડક્ટન્સને $L$ થી બદલીને $\frac{L}{4}$ કરવું જોઈએ.

(D) $R-L-C$ શ્રેણી સર્કિટમાં,આપેલી કિંમતો નીચે મુજબ છે:
$R = 150 \Omega$
$C = 20 \mu F = 2 \times 10^{-5} F$
$L = 500 mH = 0.5 H$
$\omega = 400 rad s^{-1}$
સૌ પ્રથમ,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ ની ગણતરી કરો:
$X_L = \omega L = 400 \times 0.5 = 200 \Omega$
ત્યારબાદ,કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ ની ગણતરી કરો:
$X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{400 \times 2 \times 10^{-5}} = 125 \Omega$
ફેઝ એંગલ $\phi$ શોધવા માટેનું સૂત્ર:
$\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$
કિંમતો મૂકતા:
$\tan \phi = \frac{200 - 125}{150} = \frac{75}{150} = 0.5$
તેથી,ફેઝ એંગલ $\phi = \tan^{-1}(0.5)$ થાય.

(A) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં, લાગુ પાડવામાં આવેલ વોલ્ટેજ $V$ એ ઘટકો પરના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતોના ફેઝર સરવાળા દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લાગુ પાડવામાં આવેલ વોલ્ટેજ માટેનું સૂત્ર $V = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2}$ છે.
આપેલ કિંમતો:
$V_R = 40 \,V$
$V_L = 60 \,V$
$V_C = 30 \,V$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$V = \sqrt{40^2 + (60 - 30)^2}$
$V = \sqrt{40^2 + 30^2}$
$V = \sqrt{1600 + 900}$
$V = \sqrt{2500}$
$V = 50 \,V$.
તેથી, લાગુ પાડવામાં આવેલ $AC$ વોલ્ટેજ $50 \,V$ છે.

(C) $L-C-R$ સર્કિટમાં,આપણને આપેલ છે:
$X_L = 2R$ અને $X_C = \frac{X_L}{3}$.
$X_L = 2R$ ને $X_C$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $X_C = \frac{2R}{3}$ મળે છે.
$L-C-R$ સર્કિટનો ઈમ્પિડન્સ $Z$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$.
$X_L$ અને $X_C$ ની કિંમતો મૂકતા:
$Z = \sqrt{R^2 + (2R - \frac{2R}{3})^2} = \sqrt{R^2 + (\frac{4R}{3})^2} = \sqrt{R^2 + \frac{16R^2}{9}} = \sqrt{\frac{25R^2}{9}} = \frac{5R}{3}$.
પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$Z$ ની કિંમત મૂકતા:
$\cos \phi = \frac{R}{5R/3} = \frac{3}{5} = 0.6$.

(C) $LR$ શ્રેણી પરિપથનો પાવર ફેક્ટર $(\cos \phi)$ $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $R$ એ અવરોધ છે અને $Z$ એ ઇમ્પિડન્સ છે。
આપેલ છે કે, $\cos \phi = 0.5 = \frac{1}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$, જ્યાં $X_L$ એ ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ છે。
તેથી, $\frac{R}{\sqrt{R^2 + X_L^2}} = \frac{1}{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા, આપણને $\frac{R^2}{R^2 + X_L^2} = \frac{1}{4}$ મળે છે。
$4R^2 = R^2 + X_L^2$.
$3R^2 = X_L^2$.
વર્ગમૂળ લેતા, $\sqrt{3}R = X_L$.
તેથી, અવરોધ અને રિએક્ટન્સનો ગુણોત્તર $\frac{R}{X_L} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ થાય。

(A) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં પ્રવાહ અને વોલ્ટેજ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\phi$ નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$
શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં,જ્યારે સર્કિટ કેપેસિટિવ સ્વભાવની હોય ત્યારે પ્રવાહ સ્ત્રોત વોલ્ટેજ કરતા આગળ હોય છે.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ એ ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ કરતા વધારે હોય,એટલે કે $X_C > X_L$.
આ સ્થિતિમાં,કળા કોણ $\phi$ ઋણ બને છે,જે દર્શાવે છે કે પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા આગળ છે.

(B) $AC$ સર્કિટમાં,ઉર્જાના વ્યયનો દર અથવા પાવર નીચે મુજબ છે:
$P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$
જ્યાં $\phi$ એ વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત છે.
આદર્શ ઇન્ડક્ટર $(L)$ અને કેપેસિટર $(C)$ માટે,વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત $90^{\circ}$ હોય છે.
તેથી,$L$ અથવા $C$ દ્વારા વ્યય થતો પાવર:
$P_{L \text{ or } C} = V I \cos 90^{\circ} = 0$ (કારણ કે $\cos 90^{\circ} = 0$).
અવરોધ $(R)$ માટે,વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ સમાન કળામાં હોય છે,તેથી કળા તફાવત $\phi = 0^{\circ}$ છે.
આમ,અવરોધ દ્વારા વ્યય થતો પાવર $P_R = V I \cos 0^{\circ} = V I$ છે.
તેથી,$L-C-R$ સર્કિટમાં માત્ર અવરોધ $(R)$ જ ઉર્જાનો વ્યય કરે છે.

(A) આપેલ છે કે,લાગુ પાડેલ ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ (emf) $E = 30 \sin 200 t$ છે.
આને $E = E_{\max} \sin \omega t$ સાથે સરખાવતા,આપણને $E_{\max} = 30 \text{ V}$ અને $\omega = 200 \text{ rad s}^{-1}$ મળે છે.
સર્કિટ ડાયાગ્રામ પરથી,અવરોધ $R = 10 \Omega$,ઇન્ડક્ટન્સ $L = 0.05 \text{ H}$,અને કેપેસિટન્સ $C = 500 \mu\text{F} = 500 \times 10^{-6} \text{ F}$ છે.
પ્રથમ,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સની ગણતરી કરો: $X_L = L \omega = 0.05 \times 200 = 10 \Omega$.
ત્યારબાદ,કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સની ગણતરી કરો: $X_C = \frac{1}{C \omega} = \frac{1}{500 \times 10^{-6} \times 200} = \frac{1}{0.1} = 10 \Omega$.
અહીં $X_L = X_C$ હોવાથી,સર્કિટ અનુનાદ (resonance) ની સ્થિતિમાં છે.
અનુનાદમાં,સર્કિટનો ઇમ્પિડન્સ $Z = R = 10 \Omega$ થાય છે.
પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર $I_{\max} = \frac{E_{\max}}{Z} = \frac{30}{10} = 3 \text{ A}$ દ્વારા મળે છે.

(A) આ સર્કિટમાં એક અવરોધ $R$ શ્રેણીમાં ઇન્ડક્ટર $L$ અને કેપેસિટર $C$ ના સમાંતર જોડાણ સાથે જોડાયેલ છે.
આપેલ આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L C}}$ પર,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi f = \frac{1}{\sqrt{L C}}$ થાય છે.
આ $L-C$ સમાંતર સર્કિટની અનુનાદિત આવૃત્તિ છે.
આ આવૃત્તિ પર,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L$ અને કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C}$ સમાન હોય છે,એટલે કે $X_L = X_C$.
સમાંતર $L-C$ સર્કિટ માટે,સમાંતર જોડાણનો કુલ રિએક્ટન્સ અનંત બને છે $(Z_{LC} \to \infty)$.
તેથી,સમાંતર $L-C$ જોડાણ ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે.
પરિણામે,અવરોધ $R$ સહિત સમગ્ર સર્કિટમાંથી વહેતો પ્રવાહ શૂન્ય થઈ જાય છે.

(A) આપેલ છે: $R = 10 \, \Omega$, $L = 6.0 \, \mu H = 6.0 \times 10^{-6} \, H$, $C = 10 \, \mu F = 10 \times 10^{-6} \, F$, $f = 50 \, Hz$, $V_m = 280 \, V$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi f = 2 \times 3.14 \times 50 = 314 \, rad/s$ છે.
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ: $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{314 \times 10 \times 10^{-6}} \approx 318.47 \, \Omega$.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ: $X_L = \omega L = 314 \times 6.0 \times 10^{-6} = 1.884 \times 10^{-3} \, \Omega$.
સર્કિટનો ઇમ્પિડન્સ: $Z = \sqrt{R^2 + (X_C - X_L)^2} = \sqrt{10^2 + (318.47 - 0.001884)^2} \approx 318.63 \, \Omega$.
$RMS$ વોલ્ટેજ: $V_{rms} = \frac{V_m}{\sqrt{2}} = \frac{280}{1.414} \approx 198 \, V$.
$RMS$ પ્રવાહ: $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{198}{318.63} \approx 0.621 \, A$.
અવરોધમાં ગરમી તરીકે વ્યય થતો સરેરાશ પાવર: $P = I_{rms}^2 R = (0.621)^2 \times 10 \approx 3.86 \, W$.
આમ, સાચો જવાબ $3.8 \, W$ છે.

(A) $LCR$ શ્રેણી સર્કિટમાં,વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\phi$ એ $\tan \phi = \frac{X_C - X_L}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા આગળ હોય,ત્યારે કળા કોણ $\phi = -45^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$\tan(-45^{\circ}) = \frac{X_C - X_L}{R} = -1$.
આનો અર્થ એ છે કે $X_C - X_L = -R$ અથવા $X_L - X_C = R$.
પરંતુ,પ્રવાહ આગળ હોય તે સ્થિતિ માટે $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\tan(-45^{\circ}) = -1 = \frac{X_L - X_C}{R}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $X_C - X_L = R$.
$X_C = \frac{1}{2 \pi f C}$ અને $X_L = 2 \pi f L$ મૂકતા:
$\frac{1}{2 \pi f C} - 2 \pi f L = R$
$\frac{1}{2 \pi f C} = R + 2 \pi f L$
$C = \frac{1}{2 \pi f (R + 2 \pi f L)}$.

(C) આપેલ છે: કેપેસીટન્સ $C = \frac{10^{-3}}{2 \pi} F$,ઇન્ડક્ટન્સ $L = \frac{100}{\pi} mH = \frac{100}{\pi} \times 10^{-3} H$,અવરોધ $R = 10 \Omega$,અને આવૃત્તિ $f = 50 Hz$.
સૌ પ્રથમ,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L = 2 \pi f L = 2 \pi \times 50 \times \frac{100}{\pi} \times 10^{-3} = 10 \Omega$ ગણો.
ત્યારબાદ,કેપેસીટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2 \pi f C} = \frac{1}{2 \pi \times 50 \times \frac{10^{-3}}{2 \pi}} = \frac{1}{50 \times 10^{-3}} = \frac{1000}{50} = 20 \Omega$ ગણો.
ફેઝ એંગલ $\phi$ નું સૂત્ર $\tan \phi = \frac{X_C - X_L}{R}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \phi = \frac{20 - 10}{10} = \frac{10}{10} = 1$.
તેથી,$\phi = \tan^{-1}(1) = 45^{\circ}$.

(D) આપેલ છે: પીક emf, $V_0 = 8 \, V$, આવૃત્તિ $f = \frac{30}{\pi} \, Hz$, અવરોધ $R = 8 \, \Omega$, સરેરાશ પાવર $P_{avg} = 0.4 \, W$.
$V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} \, V$.
સરેરાશ પાવરનું સૂત્ર $P_{avg} = V_{rms} I_{rms} \cos \phi = V_{rms} \left(\frac{V_{rms}}{Z}\right) \left(\frac{R}{Z}\right) = \frac{V_{rms}^2 R}{Z^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $0.4 = \frac{(8/\sqrt{2})^2 \times 8}{Z^2} = \frac{32 \times 8}{Z^2} = \frac{256}{Z^2}$.
$Z^2 = \frac{256}{0.4} = 640 \, \Omega^2$.
$Z^2 = R^2 + X_L^2$ હોવાથી, $640 = 8^2 + X_L^2 = 64 + X_L^2$.
$X_L^2 = 640 - 64 = 576$, તેથી $X_L = 24 \, \Omega$.
$X_L = 2 \pi f L$ નો ઉપયોગ કરતા, $24 = 2 \pi (\frac{30}{\pi}) L = 60 L$.
$L = \frac{24}{60} = 0.4 \, H$.

(D) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટ માટે ઇમ્પિડન્સ $Z$ નું સૂત્ર: $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ છે.
અહીં,$R = 5 \ \Omega$,$L = 20 \ mH = 20 \times 10^{-3} \ H$,અને $C = 500 \ \mu F = 500 \times 10^{-6} \ F$ છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times 50 = 100 \pi \ rad/s$ છે.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L = 100 \pi \times 20 \times 10^{-3} = 2 \pi \approx 6.28 \ \Omega$ છે.
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100 \pi \times 500 \times 10^{-6}} = \frac{1}{0.05 \pi} = \frac{20}{\pi} \approx 6.37 \ \Omega$ છે.
હવે,$Z = \sqrt{5^2 + (6.28 - 6.37)^2} = \sqrt{25 + (-0.09)^2} = \sqrt{25 + 0.0081} = \sqrt{25.0081} \approx 5 \ \Omega$ થાય.

(B) પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z} = 0.5$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $R = 100 \text{ } \Omega$ હોવાથી,$Z = \frac{R}{0.5} = \frac{100}{0.5} = 200 \text{ } \Omega$ મળે.
$LCR$ શ્રેણી પરિપથનું ઈમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$Z^2 = R^2 + (X_L - X_C)^2$.
કિંમતો મૂકતા,$200^2 = 100^2 + (X_L - X_C)^2$.
$40000 = 10000 + (X_L - X_C)^2$.
$(X_L - X_C)^2 = 30000$.
$|X_L - X_C| = \sqrt{30000} = 100\sqrt{3} \text{ } \Omega$.
આપેલ છે કે તફાવત $\sqrt{3}\alpha \text{ } \Omega$ છે,તેથી $\sqrt{3}\alpha = 100\sqrt{3}$ સરખાવતા.
આમ,$\alpha = 100$ મળે છે.