Scalar triple product and their applications Questions in Hindi

(B) चार बिंदुओं $A, B, C, D$ के समतलीय होने के लिए,सदिशों $\vec{AB}, \vec{AC},$ और $\vec{AD}$ का अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए,अर्थात $[\vec{AB} \ \vec{AC} \ \vec{AD}] = 0$।
सबसे पहले,हम सदिश ज्ञात करते हैं:
$\vec{AB} = (0-2)\hat{i} + (-1-1)\hat{j} + (0-(-1))\hat{k} = -2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$
$\vec{AC} = (4-2)\hat{i} + (0-1)\hat{j} + (4-(-1))\hat{k} = 2\hat{i} - \hat{j} + 5\hat{k}$
$\vec{AD} = (2-2)\hat{i} + (0-1)\hat{j} + (x-(-1))\hat{k} = 0\hat{i} - \hat{j} + (x+1)\hat{k}$
समतलीयता की शर्त सारणिक द्वारा दी जाती है:
$\begin{vmatrix} -2 & -2 & 1 \\ 2 & -1 & 5 \\ 0 & -1 & x+1 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$-2[(-1)(x+1) - (5)(-1)] - (-2)[(2)(x+1) - (5)(0)] + 1[(2)(-1) - (-1)(0)] = 0$
$-2[-x-1+5] + 2[2x+2] + 1[-2] = 0$
$-2[4-x] + 4x + 4 - 2 = 0$
$-8 + 2x + 4x + 2 = 0$
$6x - 6 = 0$
$6x = 6$
$x = 1$

(D) चूंकि तीनों सदिश समतलीय हैं,इसलिए उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए।
इन सदिशों के घटकों द्वारा निर्मित सारणिक है:
$\begin{vmatrix} a & a & c \\ 1 & 0 & 1 \\ c & c & b \end{vmatrix} = 0$
स्तंभ संक्रिया $C_1 \rightarrow C_1 - C_2$ लागू करने पर:
$\begin{vmatrix} 0 & a & c \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & c & b \end{vmatrix} = 0$
प्रथम स्तंभ $(C_1)$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$-1(ab - c^2) = 0$
$c^2 - ab = 0 \Rightarrow c^2 = ab$
यह दर्शाता है कि $c$,$a$ और $b$ का गुणोत्तर माध्य ($G$.$M$.) है।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या सदिश समतलीय हैं,हम अदिश त्रिक गुणनफल $[\bar{a} \ \bar{b} \ \bar{c}]$ की गणना करते हैं।
यदि अदिश त्रिक गुणनफल $0$ है,तो सदिश समतलीय हैं। यदि यह शून्य नहीं है,तो वे असमतलीय हैं।
दिया गया है $\bar{a} = 3\hat{\imath} + \hat{\jmath} - \hat{k}$,$\bar{b} = 2\hat{\imath} - \hat{\jmath} + 7\hat{k}$,और $\bar{c} = 7\hat{\imath} - \hat{\jmath} + 23\hat{k}$।
$[\bar{a} \ \bar{b} \ \bar{c}] = \begin{vmatrix} 3 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 7 \\ 7 & -1 & 23 \end{vmatrix}$
$= 3((-1)(23) - (7)(-1)) - 1((2)(23) - (7)(7)) - 1((2)(-1) - (7)(-1))$
$= 3(-23 + 7) - 1(46 - 49) - 1(-2 + 7)$
$= 3(-16) - 1(-3) - 1(5)$
$= -48 + 3 - 5 = -50$.
चूंकि अदिश त्रिक गुणनफल $-50 \neq 0$ है,इसलिए सदिश $\bar{a}, \bar{b},$ और $\bar{c}$ असमतलीय हैं। अतः,कथन $A$ सत्य है।

(C) यदि बिंदु $O(0,0,0)$,$P(2,3,4)$,$Q(1,2,3)$ और $R(x, y, z)$ समतलीय हैं,तो सदिशों $\vec{OR}$,$\vec{OP}$ और $\vec{OQ}$ का अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए।
$\implies [\vec{OR} \quad \vec{OP} \quad \vec{OQ}] = 0$
सारणिक रूप का उपयोग करते हुए:
$\left| \begin{array}{ccc} x & y & z \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} \right| = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$x(3 \times 3 - 4 \times 2) - y(2 \times 3 - 4 \times 1) + z(2 \times 2 - 3 \times 1) = 0$
$x(9 - 8) - y(6 - 4) + z(4 - 3) = 0$
$x(1) - y(2) + z(1) = 0$
$x - 2y + z = 0$
अतः,सही समीकरण $x - 2y + z = 0$ है।

(D) माना $\vec{a} = 2\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$ और $\vec{c} = 3\hat{i} + \lambda\hat{j} + 5\hat{k}$ है।
यदि ये सदिश समतलीय हैं,तो इनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होगा,अर्थात $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$।
अतः सारणिक का मान शून्य होगा:
$\begin{vmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 1 & 2 & -3 \\ 3 & \lambda & 5 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$2(10 + 3\lambda) + 1(5 + 9) - 1(\lambda - 6) = 0$
$20 + 6\lambda + 14 - \lambda + 6 = 0$
$5\lambda + 40 = 0$
$5\lambda = -40$
$\lambda = -8$।

(B) चूंकि सदिश $a$,$b$ और $c$ समतलीय हैं,इसलिए ऐसे अदिश $x$,$y$ और $z$ (जो सभी एक साथ शून्य न हों) का अस्तित्व होना चाहिए कि $x a + y b + z c = 0$ $(i)$ हो।
समीकरण $(i)$ के दोनों पक्षों को क्रमशः $a$ और $b$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x(a \cdot a) + y(a \cdot b) + z(a \cdot c) = 0$ $(ii)$
$x(b \cdot a) + y(b \cdot b) + z(b \cdot c) = 0$ $(iii)$
समीकरण $(i)$,$(ii)$ और $(iii)$ को $x$,$y$ और $z$ चरों में रैखिक समीकरणों के निकाय के रूप में लेने पर,चूंकि एक गैर-तुच्छ हल मौजूद है,इसलिए गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए।
अतः,$\left|\begin{array}{ccc} a & b & c \\ a \cdot a & a \cdot b & a \cdot c \\ b \cdot a & b \cdot b & b \cdot c \end{array}\right| = 0$।

(D) चूंकि दिए गए तीन सदिश समतलीय हैं,इसलिए उनका अदिश त्रिक गुणनफल (scalar triple product) शून्य होना चाहिए।
अतः,उनके गुणांकों का सारणिक शून्य होगा:
$\begin{vmatrix} 1 & \lambda & 3 \\ -2 & 3 & -4 \\ 1 & -3 & 5 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$1(15 - 12) - \lambda(-10 + 4) + 3(6 - 3) = 0$
$1(3) - \lambda(-6) + 3(3) = 0$
$3 + 6\lambda + 9 = 0$
$6\lambda + 12 = 0$
$6\lambda = -12$
$\lambda = -2$

(B) माना $\bar{v} = (2 \bar{a} - \bar{b}) \cdot [(\bar{a} \times \bar{b}) \times (\bar{a} + 2 \bar{b})]$ है।
सदिश त्रिक गुणनफल सर्वसमिका $(\bar{x} \times \bar{y}) \times \bar{z} = (\bar{x} \cdot \bar{z}) \bar{y} - (\bar{y} \cdot \bar{z}) \bar{x}$ का उपयोग करने पर:
$(\bar{a} \times \bar{b}) \times (\bar{a} + 2 \bar{b}) = (\bar{a} \cdot (\bar{a} + 2 \bar{b})) \bar{b} - (\bar{b} \cdot (\bar{a} + 2 \bar{b})) \bar{a}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\bar{a}$ और $\bar{b}$ इकाई सदिश हैं $(|\bar{a}| = 1, |\bar{b}| = 1)$,माना $\bar{a} \cdot \bar{b} = \cos \theta$ है।
अतः $\bar{a} \cdot \bar{a} = 1$ और $\bar{b} \cdot \bar{b} = 1$ है।
इस प्रकार,$(\bar{a} \times \bar{b}) \times (\bar{a} + 2 \bar{b}) = (1 + 2 \cos \theta) \bar{b} - (\cos \theta + 2) \bar{a}$ है।
अब,$(2 \bar{a} - \bar{b}) \cdot [(1 + 2 \cos \theta) \bar{b} - (\cos \theta + 2) \bar{a}] = 2(1 + 2 \cos \theta)(\bar{a} \cdot \bar{b}) - 2(\cos \theta + 2)(\bar{a} \cdot \bar{a}) - (1 + 2 \cos \theta)(\bar{b} \cdot \bar{b}) + (\cos \theta + 2)(\bar{b} \cdot \bar{a})$ है।
$= 2(1 + 2 \cos \theta) \cos \theta - 2(\cos \theta + 2) - (1 + 2 \cos \theta) + (\cos \theta + 2) \cos \theta$.
$= 2 \cos \theta + 4 \cos^2 \theta - 2 \cos \theta - 4 - 1 - 2 \cos \theta + \cos^2 \theta + 2 \cos \theta$.
$= 5 \cos^2 \theta - 5 = 5(\cos^2 \theta - 1) = -5 \sin^2 \theta$ है।
दिया गया है कि $\bar{a} = \frac{1}{\sqrt{10}}(3 \hat{i} + \hat{k})$ और $\bar{b} = \frac{1}{7}(2 \hat{i} + 3 \hat{j} - 6 \hat{k})$,अतः $\cos \theta = \bar{a} \cdot \bar{b} = \frac{1}{7\sqrt{10}}(6 + 0 - 6) = 0$ है।
अतः $\sin^2 \theta = 1 - 0^2 = 1$ है।
मान $-5(1) = -5$ है।

(D) दिया गया है $\bar{a} = \hat{i} - \hat{j}$,$\bar{b} = \hat{j} - \hat{k}$,और $\bar{c} = \hat{k} - \hat{i}$।
चूँकि $[\bar{b} \bar{c} \bar{d}] = 0$,सदिश $\bar{d}$ को $\bar{b}$ और $\bar{c}$ के साथ समतलीय होना चाहिए।
अतः,$\bar{d} = x\bar{b} + y\bar{c} = x(\hat{j} - \hat{k}) + y(\hat{k} - \hat{i}) = -y\hat{i} + x\hat{j} + (y - x)\hat{k}$।
दिया गया है $\bar{a} \cdot \bar{d} = 0$,इसलिए $(\hat{i} - \hat{j}) \cdot (-y\hat{i} + x\hat{j} + (y - x)\hat{k}) = 0$।
$-y - x = 0 \implies y = -x$।
$\bar{d}$ में $y = -x$ रखने पर,हमें $\bar{d} = x\hat{i} + x\hat{j} - 2x\hat{k} = x(\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k})$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\bar{d}$ एक इकाई सदिश है,$|\bar{d}| = 1 \implies |x| \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = 1 \implies |x| \sqrt{6} = 1 \implies x = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}$।
अतः,$\bar{d} = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}(\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k})$।

(B) हमें अदिश त्रिक गुणनफल $(\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}) \cdot [(\overline{a}+\overline{b}) \times (\overline{a}+\overline{c})]$ का मूल्यांकन करना है।
सबसे पहले,क्रॉस गुणनफल का विस्तार करें: $(\overline{a}+\overline{b}) \times (\overline{a}+\overline{c}) = \overline{a} \times \overline{a} + \overline{a} \times \overline{c} + \overline{b} \times \overline{a} + \overline{b} \times \overline{c} = 0 + \overline{a} \times \overline{c} + \overline{b} \times \overline{a} + \overline{b} \times \overline{c}$.
अब,$(\overline{a}+\overline{b}+\overline{c})$ के साथ डॉट गुणनफल लें:
$(\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}) \cdot (\overline{a} \times \overline{c} + \overline{b} \times \overline{a} + \overline{b} \times \overline{c})$.
अदिश त्रिक गुणनफल के गुण $[\overline{x} \overline{y} \overline{z}] = \overline{x} \cdot (\overline{y} \times \overline{z})$ का उपयोग करते हुए:
$= [\overline{a} \overline{a} \overline{c}] + [\overline{a} \overline{b} \overline{a}] + [\overline{a} \overline{b} \overline{c}] + [\overline{b} \overline{a} \overline{c}] + [\overline{b} \overline{b} \overline{a}] + [\overline{b} \overline{b} \overline{c}] + [\overline{c} \overline{a} \overline{c}] + [\overline{c} \overline{b} \overline{a}] + [\overline{c} \overline{b} \overline{c}]$.
चूंकि कोई भी अदिश त्रिक गुणनफल जिसमें दो सदिश समान हों,$0$ होता है:
$= 0 + 0 + [\overline{a} \overline{b} \overline{c}] - [\overline{a} \overline{b} \overline{c}] + 0 + 0 + 0 + [\overline{a} \overline{b} \overline{c}] + 0 = [\overline{a} \overline{b} \overline{c}]$.

(C) दिया गया है $\hat{a}=\frac{1}{\sqrt{10}}(3 \hat{i}+\hat{k})$ और $\hat{b}=\frac{1}{7}(2 \hat{i}+3 \hat{j}-6 \hat{k})$।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $\hat{a} \cdot \hat{b} = \frac{1}{7\sqrt{10}}(3 \times 2 + 0 \times 3 + 1 \times (-6)) = \frac{1}{7\sqrt{10}}(6 - 6) = 0$ की गणना करें।
चूंकि $\hat{a} \cdot \hat{b} = 0$,$\hat{a}$ और $\hat{b}$ लंबवत इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\hat{a}| = 1, |\hat{b}| = 1$ और $\hat{a} \times \hat{b}$ दोनों के लंबवत एक इकाई सदिश है।
हमें $(2 \hat{a}-\hat{b}) \cdot [(\hat{a} \times \hat{b}) \times (\hat{a}+2 \hat{b})]$ का मान ज्ञात करना है।
अदिश त्रिक गुणनफल गुणधर्म $[\vec{u} \quad \vec{v} \quad \vec{w}] = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})$ का उपयोग करते हुए,व्यंजक $[2 \hat{a}-\hat{b} \quad \hat{a} \times \hat{b} \quad \hat{a}+2 \hat{b}]$ बन जाता है।
अदिश त्रिक गुणनफल गुणधर्म $[\vec{u} \quad \vec{v} \quad \vec{w}] = -[\vec{v} \quad \vec{u} \quad \vec{w}]$ का उपयोग करते हुए,हमें $-[\hat{a} \times \hat{b} \quad 2 \hat{a}-\hat{b} \quad \hat{a}+2 \hat{b}]$ प्राप्त होता है।
अंदर के सदिश गुणनफल का विस्तार करने पर: $(2 \hat{a}-\hat{b}) \times (\hat{a}+2 \hat{b}) = 2(\hat{a} \times \hat{a}) + 4(\hat{a} \times \hat{b}) - (\hat{b} \times \hat{a}) - 2(\hat{b} \times \hat{b})$।
चूंकि $\hat{a} \times \hat{a} = 0$,$\hat{b} \times \hat{b} = 0$,और $\hat{b} \times \hat{a} = -(\hat{a} \times \hat{b})$,यह $0 + 4(\hat{a} \times \hat{b}) + (\hat{a} \times \hat{b}) - 0 = 5(\hat{a} \times \hat{b})$ बन जाता है।
इस प्रकार,व्यंजक $-(\hat{a} \times \hat{b}) \cdot [5(\hat{a} \times \hat{b})] = -5 |\hat{a} \times \hat{b}|^2$ है।
चूंकि $\hat{a} \perp \hat{b}$ और वे इकाई सदिश हैं,$|\hat{a} \times \hat{b}| = |\hat{a}| |\hat{b}| \sin(90^{\circ}) = 1 \times 1 \times 1 = 1$।
इसलिए,$-5(1)^2 = -5$।

(D) माना $\bar{r} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ है।
चूँकि $\bar{r}$,$\bar{q}$ के लंबवत है,इसलिए $\bar{r} \cdot \bar{q} = 0$ होगा।
इससे $a - 2b + c = 0$ प्राप्त होता है ... $(i)$।
चूँकि $\bar{r}$,$\bar{p}$ और $\bar{q}$ के साथ समतलीय है,इसलिए अदिश त्रिक गुणनफल $[\bar{p} \ \bar{q} \ \bar{r}] = 0$ होगा।
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ a & b & c \end{vmatrix} = 0$।
सारणिक का विस्तार करने पर: $1(-2c - b) - 1(c - a) + 1(b + 2a) = 0$।
$-2c - b - c + a + b + 2a = 0 \Rightarrow 3a - 3c = 0 \Rightarrow a = c$ ... $(ii)$।
$(ii)$ को $(i)$ में रखने पर: $a - 2b + a = 0 \Rightarrow 2a = 2b \Rightarrow a = b$।
अतः,$\bar{r} = a(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$।
$\bar{r}$ की दिशा में इकाई सदिश $\frac{\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{3}}$ है।
अभीष्ट सदिश का परिमाण $5\sqrt{3}$ है,इसलिए $\text{सदिश} = 5\sqrt{3} \times \frac{\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{3}} = 5(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$।

(C) दिया गया है $|(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}| = |\vec{a}||\vec{b}||\vec{c}|$.
चूंकि $|(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}| = |\vec{a} \times \vec{b}| |\vec{c}| |\cos \theta|$,जहाँ $\theta$ सदिश $(\vec{a} \times \vec{b})$ और $\vec{c}$ के बीच का कोण है,हमारे पास है $|\vec{a} \times \vec{b}| |\vec{c}| |\cos \theta| = |\vec{a}||\vec{b}||\vec{c}|$.
$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}| \sin \phi$ प्रतिस्थापित करने पर,जहाँ $\phi$ सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण है,हमें प्राप्त होता है: $|\vec{a}||\vec{b}| \sin \phi |\vec{c}| |\cos \theta| = |\vec{a}||\vec{b}||\vec{c}|$.
इसका अर्थ है $\sin \phi = 1$ और $|\cos \theta| = 1$.
अतः,$\phi = 90^{\circ}$ (अर्थात $\vec{a} \perp \vec{b}$) और $\theta = 0^{\circ}$ या $180^{\circ}$ (अर्थात $\vec{c}$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ वाले समतल के अभिलंब के समानांतर है)।
चूंकि $\vec{c}$,$\vec{a} \times \vec{b}$ के समानांतर है,इसलिए $\vec{c} \perp \vec{a}$ और $\vec{c} \perp \vec{b}$ होगा।
अतः,$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$,$\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$,और $\vec{c} \cdot \vec{a} = 0$।

(A) सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\bar{b} \times \bar{d}$ की गणना करें:
$\bar{b} \times \bar{d} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 0 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - (-3)) - \hat{j}(0 - 3) + \hat{k}(-2 - 0) = 3\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}$
इसके बाद,सदिश $\bar{c} - \bar{a}$ की गणना करें:
$\bar{c} - \bar{a} = (4\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) - (\hat{i} + 5\hat{k}) = 3\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$
अंत में,अदिश गुणनफल $(\bar{c} - \bar{a}) \cdot (\bar{b} \times \bar{d})$ की गणना करें:
$(\bar{c} - \bar{a}) \cdot (\bar{b} \times \bar{d}) = (3\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}) \cdot (3\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k})$
$= (3)(3) + (-1)(3) + (-3)(-2) = 9 - 3 + 6 = 12$

(A) सह-अंतिम किनारों $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ वाले चतुष्फलक का आयतन $V = \frac{1}{6} |[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]|$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $V = 12$,इसलिए $\frac{1}{6} |[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]| = 12$,जिसका अर्थ है कि $|[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]| = 72$ है।
अदिश त्रिक गुणन को $[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = \bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c})$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$\bar{b} \times \bar{c}$ पर $\bar{a}$ का अदिश प्रक्षेप $\frac{\bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c})}{|\bar{b} \times \bar{c}|} = 4$ है।
मान लीजिए $X = |\bar{b} \times \bar{c}|$ है। तब $\frac{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]}{X} = 4$,इसलिए $[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = 4X$ है।
इस मान को आयतन के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $|4X| = 72$ प्राप्त होता है।
अतः,$4X = 72$,जिससे $X = \frac{72}{4} = 18$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$|\bar{b} \times \bar{c}| = 18$ है।

(A) सदिशों $\vec{a}$,$\vec{b}$,और $\vec{c}$ द्वारा दर्शाए गए किनारों वाले समांतर षट्फलक का आयतन $V$ अदिश त्रिक गुणनफल के निरपेक्ष मान के बराबर होता है: $V = |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})|$.
यह सदिशों के घटकों द्वारा निर्मित सारणिक के बराबर है:
$V = |\det \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ \lambda & 1 & 1-\lambda \\ \mu & \lambda & 1+\lambda-\mu \end{bmatrix}|$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$V = |1(1(1+\lambda-\mu) - \lambda(1-\lambda)) - 0 + (-1)(\lambda(\lambda) - 1(\mu))|$.
$V = |(1+\lambda-\mu - \lambda + \lambda^2) - (\lambda^2 - \mu)|$.
$V = |1 + \lambda^2 - \mu - \lambda - \lambda^2 + \mu|$.
$V = |1 - \lambda|$.
अतः,आयतन $V = |1 - \lambda|$ केवल $\lambda$ पर निर्भर करता है और $\mu$ से स्वतंत्र है।

(A) दिया गया है कि $\bar{a}$ और $\bar{c}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\bar{a}| = 1$ और $|\bar{c}| = 1$ है। उनके बीच का कोण $\theta = \frac{\pi}{3}$ है,इसलिए $\bar{a} \cdot \bar{c} = |\bar{a}| |\bar{c}| \cos(\frac{\pi}{3}) = 1 \times 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।
सदिश त्रिक गुणन सूत्र का उपयोग करते हुए,$\bar{a} \times (\bar{b} \times \bar{c}) = (\bar{a} \cdot \bar{c})\bar{b} - (\bar{a} \cdot \bar{b})\bar{c}$ होता है।
इसे दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $((\bar{a} \cdot \bar{c})\bar{b} - (\bar{a} \cdot \bar{b})\bar{c}) \cdot (\bar{a} \times \bar{c}) = 5$ प्राप्त होता है।
चूंकि $(\bar{a} \times \bar{c})$,$\bar{a}$ और $\bar{c}$ दोनों के लंबवत है,इसलिए $\bar{c} \cdot (\bar{a} \times \bar{c}) = 0$ है।
इस प्रकार,समीकरण $(\bar{a} \cdot \bar{c}) \bar{b} \cdot (\bar{a} \times \bar{c}) = 5$ में सरल हो जाता है।
$\bar{a} \cdot \bar{c} = \frac{1}{2}$ रखने पर,हमें $\frac{1}{2} [\bar{b} \bar{a} \bar{c}] = 5$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $[\bar{b} \bar{a} \bar{c}] = 10$ है।
चूंकि अदिश त्रिक गुणन चक्रीय होता है,इसलिए $[\bar{b} \bar{a} \bar{c}] = [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = 10$ है।

(B) समांतर षट्फलक का आयतन $V$,किनारों $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ के अदिश त्रिक गुणनफल $|\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})|$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\vec{a} = \hat{i}+x \hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{j}+x \hat{k}$,और $\vec{c} = x \hat{i}+\hat{k}$ है।
आयतन सारणिक है:
$V = |\det \begin{bmatrix} 1 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \\ x & 0 & 1 \end{bmatrix}|$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$V = |1(1-0) - x(0-x^2) + 1(0-x)| = |1 + x^3 - x|$.
माना $f(x) = x^3 - x + 1$ है। चरम मान के लिए $f'(x) = 3x^2 - 1 = 0$ रखने पर,$x^2 = \frac{1}{3}$,अतः $x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ पर,$f(\frac{1}{\sqrt{3}}) = 1 - \frac{2}{3\sqrt{3}}$.
$x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ पर,$f(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = 1 + \frac{2}{3\sqrt{3}}$.
अतः,अधिकतम मान $1 + \frac{2}{3\sqrt{3}}$ और न्यूनतम मान $1 - \frac{2}{3\sqrt{3}}$ है।

(C) सह-अंतिम भुजाओं $\bar{a}$,$\bar{b}$,और $\bar{c}$ वाले चतुष्फलक का आयतन सूत्र $V = \frac{1}{6} |[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]|$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $V = 570$,इसलिए $|[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]| = 6 \times 570 = 3420$.
अदिश त्रिक गुणनफल $[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]$ सदिशों के घटकों द्वारा निर्मित सारणिक है:
$[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = \begin{vmatrix} -12 & 0 & p \\ 0 & 3 & -1 \\ 2 & 1 & -15 \end{vmatrix}$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = -12(3(-15) - (-1)(1)) - 0 + p(0(1) - 3(2))$
$= -12(-45 + 1) + p(-6)$
$= -12(-44) - 6p = 528 - 6p$.
अतः $|528 - 6p| = 3420$,जिसके दो मामले हैं:
स्थिति $1$: $528 - 6p = 3420 \implies -6p = 2892 \implies p = -482$.
स्थिति $2$: $528 - 6p = -3420 \implies -6p = -3948 \implies p = 658$.
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,$p = -482$ सही मान है।

(C) $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ सह-अंतिम किनारों वाले चतुष्फलक का आयतन $V_{tetra} = \frac{1}{6} |[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]|$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $V_{tetra} = \frac{64}{3}$,इसलिए $\frac{1}{6} |[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]| = \frac{64}{3}$,जिसका अर्थ है कि $|[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]| = 128$.
$\bar{a}+\bar{b}, \bar{b}+\bar{c}, \bar{c}+\bar{a}$ सह-अंतिम किनारों वाले समांतर षट्फलक का आयतन अदिश त्रिक गुणनफल $|[(\bar{a}+\bar{b}) (\bar{b}+\bar{c}) (\bar{c}+\bar{a})]|$ द्वारा प्राप्त होता है।
अदिश त्रिक गुणनफल के गुण का उपयोग करते हुए,$[(\bar{a}+\bar{b}) (\bar{b}+\bar{c}) (\bar{c}+\bar{a})] = 2 [\bar{a} \bar{b} \bar{c}]$.
अतः,आयतन $|2 [\bar{a} \bar{b} \bar{c}]| = 2 \times 128 = 256$ घन इकाई है।

(NONE) समांतर षट्फलक का आयतन अदिश त्रिक गुणनफल $|[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]|$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,अदिश त्रिक गुणनफल की गणना करें:
$[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & -1 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 1(12 - (-1)) - 1(6 - (-1)) + 1(2 - 4) = 1(13) - 1(7) + 1(-2) = 13 - 7 - 2 = 4$.
अतः,आयतन $V = 4$.
$\bar{a}$ और $\bar{b}$ द्वारा निर्मित आधार का क्षेत्रफल $|\bar{a} \times \bar{b}|$ है।
$\bar{a} \times \bar{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1 - 4) - \hat{j}(-1 - 2) + \hat{k}(4 - 2) = -5\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$.
आधार का क्षेत्रफल = $|-5\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}| = \sqrt{(-5)^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{25 + 9 + 4} = \sqrt{38}$.
ऊँचाई $h = V / \text{आधार का क्षेत्रफल} = 4 / \sqrt{38} = 4\sqrt{38}/38 = 2\sqrt{38}/19$.

(B) दिए गए सारणिक समीकरण:
$\left|\begin{array}{lll} a & a^2 & 1+a^3 \\ b & b^2 & 1+b^3 \\ c & c^2 & 1+c^3 \end{array}\right|=0$
इसे दो सारणिकों में विभाजित किया जा सकता है:
$\left|\begin{array}{lll} a & a^2 & 1 \\ b & b^2 & 1 \\ c & c^2 & 1 \end{array}\right| + \left|\begin{array}{lll} a & a^2 & a^3 \\ b & b^2 & b^3 \\ c & c^2 & c^3 \end{array}\right| = 0$
दूसरे सारणिक से $abc$ कॉमन लेने पर:
$\left|\begin{array}{lll} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{array}\right| + abc \left|\begin{array}{lll} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{array}\right| = 0$
$(1 + abc) \left|\begin{array}{lll} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{array}\right| = 0$
सारणिक $\left|\begin{array}{lll} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{array}\right|$ वेंडरमोंड सारणिक है,जिसका मान $(a-b)(b-c)(c-a)$ होता है।
चूंकि सदिश $\overline{p}, \overline{q}, \overline{r}$ असमतलीय हैं,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य नहीं है,जिसका अर्थ है कि $a, b, c$ अलग-अलग हैं,इसलिए $(a-b)(b-c)(c-a) \neq 0$।
अतः,$1 + abc = 0$,जिससे $abc = -1$ प्राप्त होता है।

(D) सदिशों $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक का आयतन $V$ अदिश त्रिक गुणनफल $|[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]|$ द्वारा दिया जाता है।
$V = \begin{vmatrix} 1 & m & 1 \\ 0 & 1 & m \\ m & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1(1 - 0) - m(0 - m^2) + 1(0 - m) = 1 + m^3 - m$.
न्यूनतम आयतन ज्ञात करने के लिए,हम $V$ का $m$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dV}{dm} = 3m^2 - 1$.
$\frac{dV}{dm} = 0$ रखने पर,हमें $3m^2 = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $m^2 = \frac{1}{3}$,इसलिए $m = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
चूंकि हम आयतन (जो धनात्मक होना चाहिए) देख रहे हैं,हम $m > 0$ के लिए $m = \frac{1}{\sqrt{3}}$ लेते हैं।
द्वितीय अवकलज की जाँच करने पर: $\frac{d^2V}{dm^2} = 6m$.
$m = \frac{1}{\sqrt{3}}$ के लिए,$\frac{d^2V}{dm^2} = 6(\frac{1}{\sqrt{3}}) > 0$,जो पुष्टि करता है कि $m = \frac{1}{\sqrt{3}}$ पर आयतन न्यूनतम है।

(A) दिया गया व्यंजक: $\overline{a} \cdot [(\overline{b} + \overline{c}) \times (\overline{a} + \overline{b} + \overline{c})]$
क्रॉस गुणन के वितरण नियम का उपयोग करते हुए:
$(\overline{b} + \overline{c}) \times (\overline{a} + \overline{b} + \overline{c}) = \overline{b} \times \overline{a} + \overline{b} \times \overline{b} + \overline{b} \times \overline{c} + \overline{c} \times \overline{a} + \overline{c} \times \overline{b} + \overline{c} \times \overline{c}$
चूंकि $\overline{x} \times \overline{x} = 0$ और $\overline{c} \times \overline{b} = -(\overline{b} \times \overline{c})$,इसलिए:
$= \overline{b} \times \overline{a} + 0 + \overline{b} \times \overline{c} + \overline{c} \times \overline{a} - (\overline{b} \times \overline{c}) + 0 = \overline{b} \times \overline{a} + \overline{c} \times \overline{a}$
अब,$\overline{a}$ के साथ डॉट गुणन करने पर:
$\overline{a} \cdot (\overline{b} \times \overline{a} + \overline{c} \times \overline{a}) = \overline{a} \cdot (\overline{b} \times \overline{a}) + \overline{a} \cdot (\overline{c} \times \overline{a})$
$= [\overline{a} \overline{b} \overline{a}] + [\overline{a} \overline{c} \overline{a}]$
अदिश त्रिक गुणन में यदि कोई दो सदिश समान हों तो उसका मान शून्य होता है:
$= 0 + 0 = 0$

(D) दिया गया है कि $|\overline{a}| = |\overline{c}| = 1$ और $\overline{a}$ तथा $\overline{c}$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{3}$ है।
$\overline{a} \cdot \overline{c} = |\overline{a}||\overline{c}| \cos \frac{\pi}{3} = 1 \times 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
सदिश त्रिक गुणन सूत्र $\overline{a} \times (\overline{b} \times \overline{c}) = (\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{b} - (\overline{a} \cdot \overline{b}) \overline{c}$ का उपयोग करते हुए.
इस मान को दिए गए समीकरण में रखने पर: $((\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{b} - (\overline{a} \cdot \overline{b}) \overline{c}) \cdot (\overline{a} \times \overline{c}) = 5$.
चूंकि $(\overline{c} \cdot (\overline{a} \times \overline{c})) = 0$ (क्योंकि दो समान सदिशों के साथ अदिश त्रिक गुणन शून्य होता है),इसलिए समीकरण सरल हो जाता है:
$(\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{b} \cdot (\overline{a} \times \overline{c}) = 5$.
$\frac{1}{2} [\overline{b} \overline{a} \overline{c}] = 5 \Rightarrow [\overline{b} \overline{a} \overline{c}] = 10$.
अदिश त्रिक गुणन के गुणधर्म के अनुसार,$[\overline{b} \overline{a} \overline{c}] = -[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]$.
अतः,$-[\overline{a} \overline{b} \overline{c}] = 10 \Rightarrow [\overline{a} \overline{b} \overline{c}] = -10$.
अंत में,$5[\overline{a} \overline{b} \overline{c}] = 5 \times (-10) = -50$.

(C) अदिश त्रिक गुणनफल $\overline{a} \cdot(\overline{b} \times \overline{c})$ सदिशों $\overline{a}, \overline{b},$ और $\overline{c}$ के घटकों के सारणिक द्वारा दिया जाता है।
$[\overline{a} \overline{b} \overline{c}] = \begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ x & 1 & 1-x \\ y & x & 1+x-y \end{vmatrix}$
स्तंभ संक्रिया $C_3 \rightarrow C_3 + C_1$ लागू करने पर:
$[\overline{a} \overline{b} \overline{c}] = \begin{vmatrix} 1 & 0 & -1+1 \\ x & 1 & 1-x+x \\ y & x & 1+x-y+y \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ x & 1 & 1 \\ y & x & 1+x \end{vmatrix}$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$= 1 \times \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ x & 1+x \end{vmatrix} - 0 + 0$
$= 1 \times ((1+x) - x) = 1 \times 1 = 1$
चूंकि परिणाम $1$ है,जो एक स्थिरांक है और $x$ या $y$ पर निर्भर नहीं करता है,इसलिए $\overline{a} \cdot(\overline{b} \times \overline{c})$ न तो $x$ और न ही $y$ पर निर्भर करता है।

(C) दिया गया है कि $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}$ परस्पर लंबवत सदिश हैं,इसलिए $\overline{a} \cdot \overline{b} = 0, \overline{b} \cdot \overline{c} = 0, \overline{c} \cdot \overline{a} = 0$ और उनके परिमाण $|\overline{a}|=1, |\overline{b}|=2, |\overline{c}|=3$ हैं।
अदिश त्रिक गुणन की परिभाषा के अनुसार,$[\overline{a}+\overline{b}+\overline{c} \quad \overline{b}-\overline{a} \quad \overline{c}] = (\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}) \cdot ((\overline{b}-\overline{a}) \times \overline{c})$।
क्रॉस गुणन का विस्तार करने पर: $(\overline{b}-\overline{a}) \times \overline{c} = \overline{b} \times \overline{c} - \overline{a} \times \overline{c}$।
अब,इस मान को रखने पर: $(\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}) \cdot (\overline{b} \times \overline{c} - \overline{a} \times \overline{c})$।
चूंकि $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}$ परस्पर लंबवत हैं,$\overline{a} \cdot (\overline{b} \times \overline{c}) = |\overline{a}| |\overline{b}| |\overline{c}| = 1 \times 2 \times 3 = 6$।
साथ ही,$\overline{b} \cdot (\overline{b} \times \overline{c}) = 0$ और $\overline{c} \cdot (\overline{b} \times \overline{c}) = 0$।
इसी प्रकार,$\overline{a} \cdot (\overline{a} \times \overline{c}) = 0, \overline{b} \cdot (\overline{a} \times \overline{c}) = 0, \overline{c} \cdot (\overline{a} \times \overline{c}) = 0$।
व्यंजक को सरल करने पर: $\overline{a} \cdot (\overline{b} \times \overline{c}) - \overline{a} \cdot (\overline{a} \times \overline{c}) + \overline{b} \cdot (\overline{b} \times \overline{c}) - \overline{b} \cdot (\overline{a} \times \overline{c}) + \overline{c} \cdot (\overline{b} \times \overline{c}) - \overline{c} \cdot (\overline{a} \times \overline{c})$।
यह व्यंजक $\overline{a} \cdot (\overline{b} \times \overline{c}) - (-\overline{b} \cdot (\overline{a} \times \overline{c})) = [\overline{a} \overline{b} \overline{c}] + [\overline{b} \overline{a} \overline{c}] = [\overline{a} \overline{b} \overline{c}] + [\overline{a} \overline{b} \overline{c}] = 2[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]$ में बदल जाता है।
चूंकि $[\overline{a} \overline{b} \overline{c}] = 1 \times 2 \times 3 = 6$,अंतिम मान $2 \times 6 = 12$ प्राप्त होता है।

(A) चतुष्फलक का आयतन $V = \frac{1}{6} |[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}]|$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिए गए शीर्ष: $A(1, -6, 10)$,$B(-1, -3, 7)$,$C(5, -1, k)$,$D(7, -4, 7)$।
सदिश हैं:
$\vec{AB} = -2\hat{i} + 3\hat{j} - 3\hat{k}$
$\vec{AC} = 4\hat{i} + 5\hat{j} + (k-10)\hat{k}$
$\vec{AD} = 6\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$
आयतन $= \frac{1}{6} |\det(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD})| = 11$।
सारणिक का मान $= \begin{vmatrix} -2 & 3 & -3 \\ 4 & 5 & k-10 \\ 6 & 2 & -3 \end{vmatrix} = 22k - 88$।
अतः,$\frac{1}{6} |22k - 88| = 11 \Rightarrow |22k - 88| = 66$।
स्थिति $1$: $22k - 88 = 66 \Rightarrow 22k = 154 \Rightarrow k = 7$।
स्थिति $2$: $22k - 88 = -66 \Rightarrow 22k = 22 \Rightarrow k = 1$।
विकल्पों के अनुसार,$k=7$ सही उत्तर है।

(A) माना कि अदिश त्रिक गुणनफल $[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = \bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c})$ है।
हमें $(\bar{u}+\bar{v}-\bar{w}) \cdot [(\bar{u}-\bar{v}) \times (\bar{v}-\bar{w})]$ का मूल्यांकन करना है।
सबसे पहले,क्रॉस गुणनफल का विस्तार करें: $(\bar{u}-\bar{v}) \times (\bar{v}-\bar{w}) = \bar{u} \times \bar{v} - \bar{u} \times \bar{w} - \bar{v} \times \bar{v} + \bar{v} \times \bar{w}$.
चूंकि $\bar{v} \times \bar{v} = 0$,यह $\bar{u} \times \bar{v} - \bar{u} \times \bar{w} + \bar{v} \times \bar{w}$ में सरल हो जाता है।
अब,$(\bar{u}+\bar{v}-\bar{w})$ के साथ डॉट गुणनफल लें:
$(\bar{u}+\bar{v}-\bar{w}) \cdot (\bar{u} \times \bar{v} - \bar{u} \times \bar{w} + \bar{v} \times \bar{w})$
$= \bar{u} \cdot (\bar{u} \times \bar{v}) - \bar{u} \cdot (\bar{u} \times \bar{w}) + \bar{u} \cdot (\bar{v} \times \bar{w}) + \bar{v} \cdot (\bar{u} \times \bar{v}) - \bar{v} \cdot (\bar{u} \times \bar{w}) + \bar{v} \cdot (\bar{v} \times \bar{w}) - \bar{w} \cdot (\bar{u} \times \bar{v}) + \bar{w} \cdot (\bar{u} \times \bar{w}) - \bar{w} \cdot (\bar{v} \times \bar{w})$.
अदिश त्रिक गुणनफल के गुण का उपयोग करते हुए कि यदि कोई दो सदिश समान हैं तो मान शून्य होता है:
$= 0 - 0 + [\bar{u} \bar{v} \bar{w}] + 0 - [\bar{v} \bar{u} \bar{w}] + 0 - [\bar{w} \bar{u} \bar{v}] + 0 - 0$.
$= [\bar{u} \bar{v} \bar{w}] + [\bar{u} \bar{v} \bar{w}] - [\bar{u} \bar{v} \bar{w}] = [\bar{u} \bar{v} \bar{w}] = \bar{u} \cdot (\bar{v} \times \bar{w})$.

(C) हम जानते हैं कि अदिश त्रिगुणनफल $[\bar{x} \quad \bar{y} \quad \bar{z}] = (\bar{x} \times \bar{y}) \cdot \bar{z}$ के रूप में परिभाषित होता है।
दी गई अभिव्यक्ति: $[\bar{a} \times \bar{b} \quad \bar{b} \times \bar{c} \quad \bar{c} \times \bar{a}] = ((\bar{a} \times \bar{b}) \times (\bar{b} \times \bar{c})) \cdot (\bar{c} \times \bar{a})$.
सदिश सर्वसमिका $(\bar{u} \times \bar{v}) \times \bar{w} = (\bar{u} \cdot \bar{w})\bar{v} - (\bar{v} \cdot \bar{w})\bar{u}$ का उपयोग करने पर:
$(\bar{a} \times \bar{b}) \times (\bar{b} \times \bar{c}) = [\bar{a} \quad \bar{b} \quad \bar{c}]\bar{b}$.
इस मान को अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करने पर:
$[\bar{a} \times \bar{b} \quad \bar{b} \times \bar{c} \quad \bar{c} \times \bar{a}] = ([\bar{a} \quad \bar{b} \quad \bar{c}]\bar{b}) \cdot (\bar{c} \times \bar{a})$
$= [\bar{a} \quad \bar{b} \quad \bar{c}] (\bar{b} \cdot (\bar{c} \times \bar{a}))$
$= [\bar{a} \quad \bar{b} \quad \bar{c}] [\bar{b} \quad \bar{c} \quad \bar{a}]$
चूंकि अदिश त्रिगुणनफल चक्रीय होता है,$[\bar{b} \quad \bar{c} \quad \bar{a}] = [\bar{a} \quad \bar{b} \quad \bar{c}]$.
अतः,$[\bar{a} \times \bar{b} \quad \bar{b} \times \bar{c} \quad \bar{c} \times \bar{a}] = [\bar{a} \quad \bar{b} \quad \bar{c}]^2$.
इसे $\lambda [\bar{a} \quad \bar{b} \quad \bar{c}]^2$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\lambda = 1$ प्राप्त होता है।

(A) चूंकि $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}$ समतलीय सदिश हैं,इसलिए उनका अदिश त्रिगुणित गुणनफल शून्य होता है,अर्थात $[\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}] = 0$।
माना $\overline{\alpha} = 2 \overline{a} - \overline{b}$,$\overline{\beta} = 2 \overline{b} - \overline{c}$,और $\overline{\gamma} = 2 \overline{c} - \overline{a}$।
अदिश त्रिगुणित गुणनफल $[\overline{\alpha}, \overline{\beta}, \overline{\gamma}]$ को गुणांकों के सारणिक और $[\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}]$ के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
$[\overline{\alpha}, \overline{\beta}, \overline{\gamma}] = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ -1 & 0 & 2 \end{vmatrix} [\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}]$।
सारणिक की गणना करने पर: $2(4 - 0) - (-1)(0 - 1) + 0 = 2(4) + 1(-1) = 8 - 1 = 7$।
अतः,$[\overline{\alpha}, \overline{\beta}, \overline{\gamma}] = 7 \times [\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}] = 7 \times 0 = 0$।

(B) सबसे पहले,ध्यान दें कि दाईं ओर का सारणिक अदिश त्रिक गुणनफल $[\bar{a} \quad \bar{b} \quad \bar{c}]$ के बराबर है।
$\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} = [\bar{a} \quad \bar{b} \quad \bar{c}]$.
अब,बाईं ओर के अदिश त्रिक गुणनफल की गणना करें:
$[3 \bar{a}+\bar{b} \quad 3 \bar{b}+\bar{c} \quad 3 \bar{c}+\bar{a}] = (3 \bar{a}+\bar{b}) \cdot ((3 \bar{b}+\bar{c}) \times (3 \bar{c}+\bar{a}))$.
सदिश गुणनफल (cross product) का विस्तार करने पर:
$(3 \bar{b}+\bar{c}) \times (3 \bar{c}+\bar{a}) = 9(\bar{b} \times \bar{c}) + 3(\bar{b} \times \bar{a}) + 3(\bar{c} \times \bar{c}) + (\bar{c} \times \bar{a}) = 9(\bar{b} \times \bar{c}) + 3(\bar{b} \times \bar{a}) + (\bar{c} \times \bar{a})$.
अब $(3 \bar{a}+\bar{b})$ के साथ अदिश गुणनफल (dot product) लेने पर:
$= (3 \bar{a}+\bar{b}) \cdot (9(\bar{b} \times \bar{c}) + 3(\bar{b} \times \bar{a}) + (\bar{c} \times \bar{a}))$
$= 27[\bar{a} \quad \bar{b} \quad \bar{c}] + 9[\bar{a} \quad \bar{b} \quad \bar{a}] + 3[\bar{a} \quad \bar{c} \quad \bar{a}] + 9[\bar{b} \quad \bar{b} \quad \bar{c}] + 3[\bar{b} \quad \bar{b} \quad \bar{a}] + [\bar{b} \quad \bar{c} \quad \bar{a}]$.
चूंकि दो समान सदिशों वाला कोई भी अदिश त्रिक गुणनफल $0$ होता है,इसलिए यह सरल होकर प्राप्त होता है:
$= 27[\bar{a} \quad \bar{b} \quad \bar{c}] + [\bar{b} \quad \bar{c} \quad \bar{a}] = 27[\bar{a} \quad \bar{b} \quad \bar{c}] + [\bar{a} \quad \bar{b} \quad \bar{c}] = 28[\bar{a} \quad \bar{b} \quad \bar{c}]$.
इसकी तुलना $\lambda [\bar{a} \quad \bar{b} \quad \bar{c}]$ से करने पर,हमें $\lambda = 28$ प्राप्त होता है।

(D) अदिश त्रिक गुणन को $\left[\bar{a} \bar{b} \bar{c}\right] = \bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c})$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूंकि $\bar{a}$,$\bar{b}$ और $\bar{c}$ दोनों के लंबवत है,इसलिए $\bar{a}$ को सदिश $\bar{b} \times \bar{c}$ के समानांतर होना चाहिए।
मान लीजिए $\hat{n}$,$\bar{b}$ और $\bar{c}$ के लंबवत इकाई सदिश है। तब $\bar{b} \times \bar{c} = |\bar{b}||\bar{c}| \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \hat{n} = 3 \times 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \hat{n} = 6\sqrt{3} \hat{n}$।
चूंकि $\bar{a}$,$\bar{b}$ और $\bar{c}$ के लंबवत है,इसलिए $\bar{a} = |\bar{a}| \hat{n} = 2 \hat{n}$।
अतः,$\left[\bar{a} \bar{b} \bar{c}\right] = \bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) = (2 \hat{n}) \cdot (6\sqrt{3} \hat{n}) = 12\sqrt{3} (\hat{n} \cdot \hat{n}) = 12\sqrt{3} \times 1 = 12\sqrt{3}$।

(B) समांतर षट्फलक का आयतन अदिश त्रिक गुणनफल $|[\bar{u} \bar{v} \bar{w}]| = 1$ द्वारा दिया जाता है।
सारणिक की गणना करने पर:
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & \lambda \\ 1 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \pm 1$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$1(1-3) - 1(1-6) + \lambda(1-2) = \pm 1$
$-2 + 5 - \lambda = \pm 1$
$3 - \lambda = \pm 1$.
स्थिति $1$: $3 - \lambda = 1 \Rightarrow \lambda = 2$.
स्थिति $2$: $3 - \lambda = -1 \Rightarrow \lambda = 4$.
यहाँ $\bar{u} = \hat{i} + \hat{j} + \lambda \hat{k}$ और $\bar{w} = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ है।
$\lambda = 2$ के लिए: $\bar{u} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$.
$\cos \theta = \frac{\bar{u} \cdot \bar{w}}{|\bar{u}| |\bar{w}|} = \frac{(1)(2) + (1)(1) + (2)(1)}{\sqrt{1^2+1^2+2^2} \sqrt{2^2+1^2+1^2}} = \frac{2+1+2}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{5}{6}$.

(C) माना कि अदिश त्रिगुणित गुणनफल $[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}] = V$ है।
दिया गया व्यंजक $[(\overline{a}+2 \overline{b}+3 \overline{c}) \times(\overline{b}+2 \overline{c}+3 \overline{a})] \cdot(\overline{c}+2 \overline{a}+3 \overline{b}) = 54$ है।
यह सदिशों $\overline{u} = \overline{a}+2 \overline{b}+3 \overline{c}$,$\overline{v} = \overline{b}+2 \overline{c}+3 \overline{a}$,और $\overline{w} = \overline{c}+2 \overline{a}+3 \overline{b}$ का अदिश त्रिगुणित गुणनफल है।
अदिश त्रिगुणित गुणनफल को गुणांकों के सारणिक के रूप में दर्शाया जा सकता है:
$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix} [\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}] = 54$.
सारणिक की गणना करने पर:
$1(1-6) - 2(3-4) + 3(9-2) = 1(-5) - 2(-1) + 3(7) = -5 + 2 + 21 = 18$.
अतः,$18 [\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}] = 54$.
इसलिए,$[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}] = \frac{54}{18} = 3$.

(A) सदिशों $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक का आयतन $V = |[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]|$ द्वारा दिया जाता है।
$V = \left| \begin{vmatrix} 1 & \alpha & 1 \\ 0 & 1 & \alpha \\ \alpha & 0 & 1 \end{vmatrix} \right| = |1(1-0) - \alpha(0-\alpha^2) + 1(0-\alpha)| = |1 + \alpha^3 - \alpha|$.
माना $f(\alpha) = 1 + \alpha^3 - \alpha$.
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $f(\alpha)$ का $\alpha$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$f'(\alpha) = 3\alpha^2 - 1$.
$f'(\alpha) = 0$ रखने पर,$3\alpha^2 = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
अब,हम द्वितीय अवकलज की जाँच करते हैं: $f''(\alpha) = 6\alpha$.
$\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$ के लिए,$f''(\alpha) = 6(\frac{1}{\sqrt{3}}) > 0$ (स्थानीय न्यूनतम)।
$\alpha = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ के लिए,$f''(\alpha) = 6(-\frac{1}{\sqrt{3}}) < 0$ (स्थानीय अधिकतम)।
अतः,$\alpha = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ पर आयतन अधिकतम है।

(C) माना व्यंजक $E = (\bar{a}+2 \bar{b}+\bar{c}) \cdot [(\bar{a}-\bar{b}) \times (\bar{a}-\bar{b}-\bar{c})]$ है।
सबसे पहले,क्रॉस प्रोडक्ट वाले भाग को सरल करें:
$(\bar{a}-\bar{b}) \times (\bar{a}-\bar{b}-\bar{c}) = (\bar{a} \times \bar{a}) - (\bar{a} \times \bar{b}) - (\bar{a} \times \bar{c}) - (\bar{b} \times \bar{a}) + (\bar{b} \times \bar{b}) + (\bar{b} \times \bar{c})$.
चूंकि $\bar{a} \times \bar{a} = 0$,$\bar{b} \times \bar{b} = 0$,और $\bar{b} \times \bar{a} = -(\bar{a} \times \bar{b})$,हमें प्राप्त होता है:
$= 0 - (\bar{a} \times \bar{b}) - (\bar{a} \times \bar{c}) + (\bar{a} \times \bar{b}) + 0 + (\bar{b} \times \bar{c}) = (\bar{b} \times \bar{c}) - (\bar{a} \times \bar{c}) = (\bar{b} \times \bar{c}) + (\bar{c} \times \bar{a})$.
अब,डॉट प्रोडक्ट की गणना करें:
$E = (\bar{a}+2 \bar{b}+\bar{c}) \cdot (\bar{b} \times \bar{c} + \bar{c} \times \bar{a})$.
$= \bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) + \bar{a} \cdot (\bar{c} \times \bar{a}) + 2\bar{b} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) + 2\bar{b} \cdot (\bar{c} \times \bar{a}) + \bar{c} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) + \bar{c} \cdot (\bar{c} \times \bar{a})$.
स्केलर ट्रिपल प्रोडक्ट के गुणों का उपयोग करते हुए,$\bar{a} \cdot (\bar{c} \times \bar{a}) = 0$ और $\bar{b} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) = 0$ जैसे पद शून्य हो जाते हैं।
$E = [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] + 0 + 0 + 2[\bar{b} \bar{c} \bar{a}] + 0 + 0$.
चूंकि $[\bar{b} \bar{c} \bar{a}] = [\bar{a} \bar{b} \bar{c}]$,हमें प्राप्त होता है:
$E = [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] + 2[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = 3[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]$.

(C) सदिशों $\vec{a} = \hat{i}+\alpha \hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{j}+\alpha \hat{k}$,और $\vec{c} = \alpha \hat{i}+\hat{k}$ द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक का आयतन $V$ अदिश त्रिक गुणनफल के मापांक के बराबर होता है:
$V = |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| = \left|\begin{array}{ccc} 1 & \alpha & 1 \\ 0 & 1 & \alpha \\ \alpha & 0 & 1 \end{array}\right|$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$V = 1(1 - 0) - \alpha(0 - \alpha^2) + 1(0 - \alpha) = 1 + \alpha^3 - \alpha$
न्यूनतम आयतन ज्ञात करने के लिए,हम $V$ का $\alpha$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dV}{d\alpha} = 3\alpha^2 - 1 = 0$
$\alpha^2 = \frac{1}{3} \implies \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$
अब,हम द्वितीय अवकलज की जाँच करते हैं:
$\frac{d^2V}{d\alpha^2} = 6\alpha$
$\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$ के लिए,$\frac{d^2V}{d\alpha^2} = 6(\frac{1}{\sqrt{3}}) > 0$,जो स्थानीय न्यूनतम मान को दर्शाता है।
अतः,$\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$ पर आयतन न्यूनतम है।

(C) माना शीर्षों के स्थिति सदिश $\vec{a} = \hat{i}-6 \hat{j}+10 \hat{k}$,$\vec{b} = -\hat{i}-3 \hat{j}+7 \hat{k}$,$\vec{c} = 5 \hat{i}-\hat{j}+\lambda \hat{k}$,और $\vec{d} = 7 \hat{i}-4 \hat{j}+7 \hat{k}$ हैं।
किनारों को दर्शाने वाले सदिश:
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = -2\hat{i} + 3\hat{j} - 3\hat{k}$
$\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a} = 4\hat{i} + 5\hat{j} + (\lambda-10)\hat{k}$
$\vec{AD} = \vec{d} - \vec{a} = 6\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$
चतुष्फलक का आयतन $V = \frac{1}{6} |[\vec{AB} \ \vec{AC} \ \vec{AD}]|$ होता है।
$V = 11$ दिया गया है,इसलिए $11 = \frac{1}{6} |\det(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD})|$.
$66 = |\det \begin{bmatrix} -2 & 3 & -3 \\ 4 & 5 & \lambda-10 \\ 6 & 2 & -3 \end{bmatrix}|$.
सारणिक का मान ज्ञात करने पर:
$-2(-15 - 2\lambda + 20) - 3(-12 - 6\lambda + 60) - 3(8 - 30) = 22\lambda - 88$.
चूंकि $|22\lambda - 88| = 66$,इसलिए $22\lambda - 88 = 66$ या $22\lambda - 88 = -66$ होगा।
स्थिति $1$: $22\lambda = 154 \Rightarrow \lambda = 7$.
स्थिति $2$: $22\lambda = 22 \Rightarrow \lambda = 1$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$\lambda = 7$ सही उत्तर है।

(A) समांतर षट्फलक का आयतन जिसके किनारे $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ हैं,अदिश त्रिक गुणनफल $|[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]|$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है,आयतन $= 158$.
$|\bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c})| = \left|\begin{vmatrix} 1 & 1 & n \\ 2 & 4 & -n \\ 1 & n & 3 \end{vmatrix}\right| = 158$.
सारणिक का विस्तार करने पर:
$1(12 + n^2) - 1(6 + n) + n(2n - 4) = \pm 158$.
$(12 + n^2) - (6 + n) + (2n^2 - 4n) = \pm 158$.
$3n^2 - 5n + 6 = \pm 158$.
स्थिति $1$: $3n^2 - 5n + 6 = 158 \Rightarrow 3n^2 - 5n - 152 = 0$.
द्विघात सूत्र $n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$n = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4(3)(-152)}}{6} = \frac{5 \pm \sqrt{1849}}{6} = \frac{5 \pm 43}{6}$.
चूंकि $n \geq 0$,इसलिए $n = \frac{48}{6} = 8$.
स्थिति $2$: $3n^2 - 5n + 6 = -158 \Rightarrow 3n^2 - 5n + 164 = 0$.
यहाँ विविक्तकर (discriminant) $D < 0$ है,इसलिए कोई वास्तविक हल नहीं है।
अतः,$n = 8$.

(C) चतुष्फलक का आयतन $V = \frac{1}{6} |(\vec{AB} \times \vec{AC}) \cdot \vec{AD}|$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
सदिशों की गणना करने पर:
$\vec{AB} = -4\hat{i} - 3\hat{j} - 2\hat{k}$
$\vec{AC} = 1\hat{i} - 1\hat{j} + 0\hat{k}$
$\vec{AD} = -2\hat{i} + 0\hat{j} + (x-3)\hat{k}$
सारणिक का मान:
$|\vec{AB} \vec{AC} \vec{AD}| = \begin{vmatrix} -4 & -3 & -2 \\ 1 & -1 & 0 \\ -2 & 0 & x-3 \end{vmatrix} = 7x - 17$
दिया गया है कि $V = \frac{11}{6}$,इसलिए $\frac{1}{6} |7x - 17| = \frac{11}{6} \implies |7x - 17| = 11$.
स्थिति $1$: $7x - 17 = 11 \implies 7x = 28 \implies x = 4$.
स्थिति $2$: $7x - 17 = -11 \implies 7x = 6 \implies x = \frac{6}{7}$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$x = 4$ सही मान है।

(D) दिया गया है कि $\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{a} = 0$,जिसका अर्थ है कि $\overrightarrow{r}$,$\overrightarrow{a}$ के लंबवत है।
$|\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{r}| |\overrightarrow{b}|$ से,हम जानते हैं कि $\sin \theta = 1$,जहाँ $\theta$ सदिश $\overrightarrow{r}$ और $\overrightarrow{b}$ के बीच का कोण है। अतः,$\overrightarrow{r}$,$\overrightarrow{b}$ के लंबवत है।
इसी प्रकार,$|\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{c}| = |\overrightarrow{r}| |\overrightarrow{c}|$ से,हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $\overrightarrow{r}$,$\overrightarrow{c}$ के लंबवत है।
चूंकि $\overrightarrow{r}$ एक शून्येतर सदिश है जो $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ और $\overrightarrow{c}$ तीनों के लंबवत है,इसलिए ये तीनों सदिश $\overrightarrow{r}$ के लंबवत एक ही समतल में स्थित होने चाहिए।
अतः,$\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ और $\overrightarrow{c}$ समतलीय हैं।
किन्हीं भी तीन समतलीय सदिशों के लिए,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होता है।
अतः,$[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}] = 0$.

(C) अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ के रूप में परिभाषित है।
चूंकि $\vec{a}$,$\vec{b}$ और $\vec{c}$ दोनों के लंबवत है,इसलिए $\vec{a}$ को $\vec{b} \times \vec{c}$ सदिश के समानांतर होना चाहिए।
अतः,$\vec{a}$ और $\vec{b} \times \vec{c}$ के बीच का कोण $0$ या $\pi$ है।
मान लीजिए कि $\vec{a}$,$\vec{b} \times \vec{c}$ की दिशा में है,तो हमें प्राप्त होता है:
$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = |\vec{a}| |\vec{b} \times \vec{c}| \cos(0) = |\vec{a}| |\vec{b}| |\vec{c}| \sin\left(\frac{5 \pi}{6}\right)$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 5 \times 3 \times 4 \times \sin\left(\frac{5 \pi}{6}\right)$.
चूंकि $\sin\left(\frac{5 \pi}{6}\right) = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$.
$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 60 \times \frac{1}{2} = 30$.

(A) अदिश त्रिक गुणन $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$ सदिशों $\vec{a}, \vec{b},$ और $\vec{c}$ के घटकों के सारणिक द्वारा दिया जाता है।
$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ x & 1 & 1-x \\ y & x & 1+x-y \end{vmatrix}$
स्तंभ संक्रिया $C_3 \to C_3 + C_1$ लागू करने पर:
$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ x & 1 & 1 \\ y & x & 1+x \end{vmatrix}$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ x & 1+x \end{vmatrix} - 0 + 0$
$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = (1+x) - x = 1$
चूंकि परिणाम $1$ है,जो एक स्थिरांक है,इसलिए $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$ का मान न तो $x$ पर और न ही $y$ पर निर्भर करता है।

(D) $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$,$C(x_3, y_3, z_3)$,और $D(x_4, y_4, z_4)$ शीर्षों वाले चतुष्फलक का आयतन निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$V = \frac{1}{6} |(\vec{AB}) \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD})| = \frac{1}{6} \left| \det \begin{bmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \\ x_4-x_1 & y_4-y_1 & z_4-z_1 \end{bmatrix} \right|$
दिए गए शीर्ष $A(1, -6, 10)$,$B(-1, -3, 7)$,$C(5, -1, \lambda)$,और $D(7, -4, 7)$ हैं।
सदिशों की गणना करने पर:
$\vec{AB} = (-2, 3, -3)$,$\vec{AC} = (4, 5, \lambda-10)$,$\vec{AD} = (6, 2, -3)$
आयतन $11$ है,इसलिए:
$11 = \frac{1}{6} \left| \det \begin{bmatrix} -2 & 3 & -3 \\ 4 & 5 & \lambda-10 \\ 6 & 2 & -3 \end{bmatrix} \right|$
$66 = | 22\lambda - 88 |$
$22$ से विभाजित करने पर: $3 = | \lambda - 4 |$
अतः $\lambda - 4 = 3 \Rightarrow \lambda = 7$ या $\lambda - 4 = -3 \Rightarrow \lambda = 1$.
विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $\lambda = 7$ है।

(A) सदिशों $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक का आयतन $V = |\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})|$ द्वारा दिया जाता है।
सदिश $\vec{u} = (1, a, 1)$,$\vec{v} = (0, 1, a)$ और $\vec{w} = (a, 0, 1)$ हैं।
अदिश त्रिक गुणनफल सारणिक द्वारा प्राप्त होता है:
$V(a) = \left|\begin{array}{ccc} 1 & a & 1 \\ 0 & 1 & a \\ a & 0 & 1 \end{array}\right|$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$V(a) = 1(1 - 0) - a(0 - a^2) + 1(0 - a) = 1 + a^3 - a = a^3 - a + 1$.
न्यूनतम आयतन ज्ञात करने के लिए,अवकलज $V'(a)$ ज्ञात करें और इसे $0$ के बराबर रखें:
$V'(a) = 3a^2 - 1 = 0$.
$3a^2 = 1 \Rightarrow a^2 = \frac{1}{3} \Rightarrow a = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
द्वितीय अवकलज परीक्षण का उपयोग करने पर: $V''(a) = 6a$.
$a = \frac{1}{\sqrt{3}}$ के लिए,$V''(a) = 6(\frac{1}{\sqrt{3}}) > 0$,जो स्थानीय न्यूनतम मान को दर्शाता है।
अतः,$a = \frac{1}{\sqrt{3}}$ पर आयतन न्यूनतम है।

(C) भुजाओं $\overline{u}, \overline{v}, \overline{w}$ वाले चतुष्फलक का आयतन $V = \frac{1}{6} |[\overline{u} \overline{v} \overline{w}]|$ द्वारा दिया जाता है।
दी गई भुजाएँ $\overline{a}+\overline{b}, \overline{b}+\overline{c}, \overline{c}+\overline{a}$ हैं।
अतः,$24 = \frac{1}{6} |(\overline{a}+\overline{b}) \cdot ((\overline{b}+\overline{c}) \times (\overline{c}+\overline{a}))|$.
$144 = |(\overline{a}+\overline{b}) \cdot (\overline{b} \times \overline{c} + \overline{b} \times \overline{a} + \overline{c} \times \overline{c} + \overline{c} \times \overline{a})|$.
चूंकि $\overline{c} \times \overline{c} = 0$,इसलिए $144 = |(\overline{a}+\overline{b}) \cdot (\overline{b} \times \overline{c} + \overline{b} \times \overline{a} + \overline{c} \times \overline{a})|$.
अदिश त्रिगुणन का विस्तार करने पर: $144 = |[\overline{a} \overline{b} \overline{c}] + [\overline{a} \overline{b} \overline{a}] + [\overline{a} \overline{c} \overline{a}] + [\overline{b} \overline{b} \overline{c}] + [\overline{b} \overline{b} \overline{a}] + [\overline{b} \overline{c} \overline{a}]|$.
$[\overline{a} \overline{b} \overline{a}]$ जैसे पद $0$ हो जाते हैं क्योंकि दो सदिश समान हैं।
अतः,$144 = |[\overline{a} \overline{b} \overline{c}] + [\overline{b} \overline{c} \overline{a}]|$.
चूंकि $[\overline{a} \overline{b} \overline{c}] = [\overline{b} \overline{c} \overline{a}]$,हमें $144 = 2 |[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]|$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$|[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]| = 72$,जो समांतर षट्फलक का आयतन है।

(D) अदिश त्रिक गुणनफल को $[\vec{u} \vec{v} \vec{w}] = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{v} \times \vec{w}$ की गणना करें:
$\vec{v} \times \vec{w} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(6 - 0) - \hat{j}(6 - (-1)) + \hat{k}(0 - 2) = 6\hat{i} - 7\hat{j} - 2\hat{k}$।
इस सदिश का परिमाण $|\vec{v} \times \vec{w}| = \sqrt{6^2 + (-7)^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 49 + 4} = \sqrt{89}$ है।
चूंकि $\vec{u}$ एक इकाई सदिश है $(|\vec{u}| = 1)$,इसलिए अदिश त्रिक गुणनफल $\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = |\vec{u}| |\vec{v} \times \vec{w}| \cos \theta$ होगा,जहाँ $\theta$ सदिश $\vec{u}$ और $(\vec{v} \times \vec{w})$ के बीच का कोण है।
अधिकतम मान तब प्राप्त होता है जब $\cos \theta = 1$ हो,अतः अधिकतम मान $|\vec{v} \times \vec{w}| = \sqrt{89}$ है।

(D) हमें व्यंजक $\bar{a} \cdot [(\bar{b} \times \bar{c}) \times (\bar{a} + \bar{b} + \bar{c})]$ दिया गया है।
क्रॉस प्रोडक्ट के वितरण नियम का उपयोग करते हुए,कोष्ठक के अंदर के पद का विस्तार करें:
$(\bar{b} \times \bar{c}) \times (\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}) = (\bar{b} \times \bar{c}) \times \bar{a} + (\bar{b} \times \bar{c}) \times \bar{b} + (\bar{b} \times \bar{c}) \times \bar{c}$.
अब,$\bar{a}$ के साथ डॉट प्रोडक्ट लेने पर:
$\bar{a} \cdot [(\bar{b} \times \bar{c}) \times \bar{a} + (\bar{b} \times \bar{c}) \times \bar{b} + (\bar{b} \times \bar{c}) \times \bar{c}]$
$= \bar{a} \cdot ((\bar{b} \times \bar{c}) \times \bar{a}) + \bar{a} \cdot ((\bar{b} \times \bar{c}) \times \bar{b}) + \bar{a} \cdot ((\bar{b} \times \bar{c}) \times \bar{c})$.
स्केलर ट्रिपल प्रोडक्ट के गुण $\bar{x} \cdot (\bar{y} \times \bar{z}) = [\bar{x} \bar{y} \bar{z}]$ का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि यदि ट्रिपल प्रोडक्ट में कोई भी दो सदिश समान हों,तो मान $0$ होता है।
$1$. $\bar{a} \cdot ((\bar{b} \times \bar{c}) \times \bar{a}) = [\bar{a} (\bar{b} \times \bar{c}) \bar{a}] = 0$ (क्योंकि $\bar{a}$ दोहराया गया है)।
$2$. $\bar{a} \cdot ((\bar{b} \times \bar{c}) \times \bar{b}) = [\bar{a} (\bar{b} \times \bar{c}) \bar{b}] = 0$ (क्योंकि $\bar{b}$ दोहराया गया है)।
$3$. $\bar{a} \cdot ((\bar{b} \times \bar{c}) \times \bar{c}) = [\bar{a} (\bar{b} \times \bar{c}) \bar{c}] = 0$ (क्योंकि $\bar{c}$ दोहराया गया है)।
अतः,पूरे व्यंजक का मान $0+0+0 = 0$ है।