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Scalar triple product and their applications Questions in Hindi
Class 12 Mathematics · Vector Algebra · Scalar triple product and their applications
439+
Questions
Hindi
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100%
With Solutions
Showing 40 of 439 questions in Hindi
351
DifficultMCQ
सदिशों $u = a \hat{i} + b \hat{j} + c \hat{k}$,$v = a^2 \hat{i} + b^2 \hat{j} + c^2 \hat{k}$ और $w = a^3 \hat{i} + b^3 \hat{j} + c^3 \hat{k}$ पर विचार करें। ये सदिश समतलीय हैं यदि और केवल यदि
A
सभी $a, b$ और $c$ समान हैं
B
$a, b$ और $c$ में से कोई एक शून्य है
C
$a, b$ और $c$ में से कोई भी दो समान हैं
D
$a, b$ और $c$ में से कोई एक शून्य है,या $a, b$ और $c$ में से कोई भी दो समान हैं
Solution
(D) सदिश $u, v, w$ समतलीय होते हैं यदि और केवल यदि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो,जो उनके घटकों द्वारा निर्मित सारणिक के शून्य होने के बराबर है:
$\begin{vmatrix} a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \\ a^3 & b^3 & c^3 \end{vmatrix} = 0$
क्रमशः पहले,दूसरे और तीसरे स्तंभ से $a, b, c$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$abc \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix} = 0$
यह सारणिक एक मानक वेंडरमोंड सारणिक है:
$abc(a-b)(b-c)(c-a) = 0$
यह गुणनफल शून्य होता है यदि $a=0$ या $b=0$ या $c=0$ हो,या यदि $a=b$ या $b=c$ या $c=a$ हो।
अतः,सदिश समतलीय हैं यदि $a, b, c$ में से कोई एक शून्य है,या $a, b, c$ में से कोई भी दो समान हैं।
$\begin{vmatrix} a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \\ a^3 & b^3 & c^3 \end{vmatrix} = 0$
क्रमशः पहले,दूसरे और तीसरे स्तंभ से $a, b, c$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$abc \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix} = 0$
यह सारणिक एक मानक वेंडरमोंड सारणिक है:
$abc(a-b)(b-c)(c-a) = 0$
यह गुणनफल शून्य होता है यदि $a=0$ या $b=0$ या $c=0$ हो,या यदि $a=b$ या $b=c$ या $c=a$ हो।
अतः,सदिश समतलीय हैं यदि $a, b, c$ में से कोई एक शून्य है,या $a, b, c$ में से कोई भी दो समान हैं।
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DifficultMCQ
यदि सदिश $a \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\hat{i}+b \hat{j}+\hat{k}$ और $\hat{i}+\hat{j}+c \hat{k}$ समतलीय हैं,जहाँ $(a, b, c \neq 1)$,तो $\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{1-c}$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$2$
B
$0$
C
$-1$
D
$1$
Solution
(D) समतलीय सदिशों के लिए,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होता है: $\left|\begin{array}{ccc} a & 1 & 1 \\ 1 & b & 1 \\ 1 & 1 & c \end{array}\right| = 0$.
सारणिक का विस्तार करने पर: $a(bc - 1) - 1(c - 1) + 1(1 - b) = 0$.
$abc - a - c + 1 + 1 - b = 0 \Rightarrow abc - (a + b + c) + 2 = 0$.
वैकल्पिक रूप से,पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ का उपयोग करने पर:
$\left|\begin{array}{ccc} a & 1 & 1 \\ 1-a & b-1 & 0 \\ 1-a & 0 & c-1 \end{array}\right| = 0$.
$a(b-1)(c-1) - (1-a)(c-1) - (1-a)(b-1) = 0$.
$(1-a)(1-b)(1-c)$ से विभाजित करने पर (चूंकि $a, b, c \neq 1$):
$\frac{a(b-1)(c-1)}{(1-a)(1-b)(1-c)} - \frac{(1-a)(c-1)}{(1-a)(1-b)(1-c)} - \frac{(1-a)(b-1)}{(1-a)(1-b)(1-c)} = 0$.
$\frac{a}{(1-a)} + \frac{1}{(1-b)} + \frac{1}{(1-c)} = 0$.
चूंकि $\frac{a}{1-a} = \frac{a-1+1}{1-a} = -1 + \frac{1}{1-a}$,यह मान रखने पर:
$-1 + \frac{1}{1-a} + \frac{1}{1-b} + \frac{1}{1-c} = 0$.
अतः,$\frac{1}{1-a} + \frac{1}{1-b} + \frac{1}{1-c} = 1$.
सारणिक का विस्तार करने पर: $a(bc - 1) - 1(c - 1) + 1(1 - b) = 0$.
$abc - a - c + 1 + 1 - b = 0 \Rightarrow abc - (a + b + c) + 2 = 0$.
वैकल्पिक रूप से,पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ का उपयोग करने पर:
$\left|\begin{array}{ccc} a & 1 & 1 \\ 1-a & b-1 & 0 \\ 1-a & 0 & c-1 \end{array}\right| = 0$.
$a(b-1)(c-1) - (1-a)(c-1) - (1-a)(b-1) = 0$.
$(1-a)(1-b)(1-c)$ से विभाजित करने पर (चूंकि $a, b, c \neq 1$):
$\frac{a(b-1)(c-1)}{(1-a)(1-b)(1-c)} - \frac{(1-a)(c-1)}{(1-a)(1-b)(1-c)} - \frac{(1-a)(b-1)}{(1-a)(1-b)(1-c)} = 0$.
$\frac{a}{(1-a)} + \frac{1}{(1-b)} + \frac{1}{(1-c)} = 0$.
चूंकि $\frac{a}{1-a} = \frac{a-1+1}{1-a} = -1 + \frac{1}{1-a}$,यह मान रखने पर:
$-1 + \frac{1}{1-a} + \frac{1}{1-b} + \frac{1}{1-c} = 0$.
अतः,$\frac{1}{1-a} + \frac{1}{1-b} + \frac{1}{1-c} = 1$.
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MediumMCQ
यदि $3 \hat{i}-2 \hat{j}-\hat{k}$,$2 \hat{i}+3 \hat{j}-4 \hat{k}$,$-\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}$ और $4 \hat{i}+5 \hat{j}+\lambda \hat{k}$ क्रमशः चार समतलीय बिंदुओं $P, Q, R$ और $S$ के स्थिति सदिश हैं,तो $\lambda=$
A
$\frac{46}{17}$
B
$-\frac{46}{17}$
C
$\frac{146}{17}$
D
$-\frac{146}{17}$
Solution
(D) दिए गए स्थिति सदिश हैं:
$P = 3 \hat{i} - 2 \hat{j} - \hat{k}$
$Q = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} - 4 \hat{k}$
$R = -\hat{i} + \hat{j} + 2 \hat{k}$
$S = 4 \hat{i} + 5 \hat{j} + \lambda \hat{k}$
चूंकि बिंदु $P, Q, R, S$ समतलीय हैं,इसलिए सदिशों $\vec{PQ}, \vec{PR}, \vec{PS}$ का अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होगा,अर्थात $\vec{PS} \cdot (\vec{PQ} \times \vec{PR}) = 0$.
सदिशों की गणना:
$\vec{PQ} = Q - P = -\hat{i} + 5\hat{j} - 3\hat{k}$
$\vec{PR} = R - P = -4\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}$
$\vec{PS} = S - P = \hat{i} + 7\hat{j} + (\lambda+1)\hat{k}$
अब,क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{PQ} \times \vec{PR}$ ज्ञात करें:
$\vec{PQ} \times \vec{PR} = 24\hat{i} + 15\hat{j} + 17\hat{k}$
अब,डॉट प्रोडक्ट $\vec{PS} \cdot (\vec{PQ} \times \vec{PR}) = 0$ का उपयोग करें:
$1(24) + 7(15) + 17(\lambda+1) = 0$
$24 + 105 + 17\lambda + 17 = 0$
$146 + 17\lambda = 0$
$\lambda = -\frac{146}{17}$
$P = 3 \hat{i} - 2 \hat{j} - \hat{k}$
$Q = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} - 4 \hat{k}$
$R = -\hat{i} + \hat{j} + 2 \hat{k}$
$S = 4 \hat{i} + 5 \hat{j} + \lambda \hat{k}$
चूंकि बिंदु $P, Q, R, S$ समतलीय हैं,इसलिए सदिशों $\vec{PQ}, \vec{PR}, \vec{PS}$ का अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होगा,अर्थात $\vec{PS} \cdot (\vec{PQ} \times \vec{PR}) = 0$.
सदिशों की गणना:
$\vec{PQ} = Q - P = -\hat{i} + 5\hat{j} - 3\hat{k}$
$\vec{PR} = R - P = -4\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}$
$\vec{PS} = S - P = \hat{i} + 7\hat{j} + (\lambda+1)\hat{k}$
अब,क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{PQ} \times \vec{PR}$ ज्ञात करें:
$\vec{PQ} \times \vec{PR} = 24\hat{i} + 15\hat{j} + 17\hat{k}$
अब,डॉट प्रोडक्ट $\vec{PS} \cdot (\vec{PQ} \times \vec{PR}) = 0$ का उपयोग करें:
$1(24) + 7(15) + 17(\lambda+1) = 0$
$24 + 105 + 17\lambda + 17 = 0$
$146 + 17\lambda = 0$
$\lambda = -\frac{146}{17}$
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EasyMCQ
यदि $a=\hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}, b=2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}, c=\hat{i}+3 \hat{j}-2 \hat{k}$ है,तो $[(a \times b) \times(b \times c), (b \times c) \times(c \times a), (c \times a) \times(a \times b)] = $
A
$160000$
B
$-8000$
C
$400$
D
$-40$
Solution
(A) दिए गए सदिश $a=\hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}$,$b=2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$,और $c=\hat{i}+3 \hat{j}-2 \hat{k}$ हैं।
सदिश त्रिक गुणन सर्वसमिका $(u \times v) \times w = (u \cdot w)v - (v \cdot w)u$ का उपयोग करते हुए:
$(a \times b) \times (b \times c) = [a b c]b$
$(b \times c) \times (c \times a) = [b c a]c = [a b c]c$
$(c \times a) \times (a \times b) = [c a b]a = [a b c]a$
अब,अदिश त्रिक गुणन $[a b c]$ की गणना करें:
$[a b c] = \begin{vmatrix} 1 & -2 & -3 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & -2 \end{vmatrix} = 1(-2+3) + 2(-4+1) - 3(6-1) = 1 - 6 - 15 = -20$.
माना $k = [a b c] = -20$ है। तब व्यंजक $[kb, kc, ka]$ बन जाता है।
अदिश त्रिक गुणन के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$[kb, kc, ka] = k^3 [b c a] = k^3 [a b c] = k^3 \cdot k = k^4$।
$k = -20$ रखने पर:
$(-20)^4 = 160000$।
सदिश त्रिक गुणन सर्वसमिका $(u \times v) \times w = (u \cdot w)v - (v \cdot w)u$ का उपयोग करते हुए:
$(a \times b) \times (b \times c) = [a b c]b$
$(b \times c) \times (c \times a) = [b c a]c = [a b c]c$
$(c \times a) \times (a \times b) = [c a b]a = [a b c]a$
अब,अदिश त्रिक गुणन $[a b c]$ की गणना करें:
$[a b c] = \begin{vmatrix} 1 & -2 & -3 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & -2 \end{vmatrix} = 1(-2+3) + 2(-4+1) - 3(6-1) = 1 - 6 - 15 = -20$.
माना $k = [a b c] = -20$ है। तब व्यंजक $[kb, kc, ka]$ बन जाता है।
अदिश त्रिक गुणन के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$[kb, kc, ka] = k^3 [b c a] = k^3 [a b c] = k^3 \cdot k = k^4$।
$k = -20$ रखने पर:
$(-20)^4 = 160000$।
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EasyMCQ
यदि $a, b$ और $c$ असमतलीय सदिश हैं और $2a+3b-c$,$a-2b+3c$,$3a+4b-2c$ और $ka-6b+6c$ स्थिति सदिश वाले चार बिंदु समतलीय हैं,तो $k=$
A
$0$
B
$1$
C
$2$
D
$3$
Solution
(B) माना कि चार बिंदुओं के स्थिति सदिश $A = 2a + 3b - c$,$B = a - 2b + 3c$,$C = 3a + 4b - 2c$,और $D = ka - 6b + 6c$ हैं।
बिंदु $A, B, C, D$ समतलीय हैं यदि सदिश $\vec{AB}$,$\vec{AC}$,और $\vec{AD}$ समतलीय हैं,जिसका अर्थ है कि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य है: $[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] = 0$.
सदिशों की गणना करते हैं:
$\vec{AB} = B - A = -a - 5b + 4c$
$\vec{AC} = C - A = a + b - c$
$\vec{AD} = D - A = (k-2)a - 9b + 7c$
समतलीयता की शर्त सारणिक द्वारा:
$\begin{vmatrix} -1 & -5 & 4 \\ 1 & 1 & -1 \\ k-2 & -9 & 7 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$-1(7 - 9) + 5(7 - (-k+2)) + 4(-9 - (k-2)) = 0$
$2 + 5(5+k) + 4(-7-k) = 0$
$2 + 25 + 5k - 28 - 4k = 0$
$k - 1 = 0 \Rightarrow k = 1$.
बिंदु $A, B, C, D$ समतलीय हैं यदि सदिश $\vec{AB}$,$\vec{AC}$,और $\vec{AD}$ समतलीय हैं,जिसका अर्थ है कि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य है: $[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] = 0$.
सदिशों की गणना करते हैं:
$\vec{AB} = B - A = -a - 5b + 4c$
$\vec{AC} = C - A = a + b - c$
$\vec{AD} = D - A = (k-2)a - 9b + 7c$
समतलीयता की शर्त सारणिक द्वारा:
$\begin{vmatrix} -1 & -5 & 4 \\ 1 & 1 & -1 \\ k-2 & -9 & 7 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$-1(7 - 9) + 5(7 - (-k+2)) + 4(-9 - (k-2)) = 0$
$2 + 5(5+k) + 4(-7-k) = 0$
$2 + 25 + 5k - 28 - 4k = 0$
$k - 1 = 0 \Rightarrow k = 1$.
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DifficultMCQ
यदि $\hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}$ और $\lambda \hat{i}+3 \hat{j}$ एक तीसरे सदिश के साथ समतलीय हैं,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए। यदि हम तीसरे सदिश को $\hat{k}$ मानें,तो $\lambda$ किसके बराबर है?
A
-$1$
B
$1/2$
C
$-3/2$
D
$2$
Solution
(A) तीन सदिशों $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ के समतलीय होने के लिए,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए,अर्थात $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$.
दिए गए सदिश $\vec{a} = \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b} = \lambda \hat{i}+3 \hat{j}$ हैं और तीसरा सदिश $\vec{c} = \hat{k}$ मानने पर.
समतलीयता के लिए शर्त:
$\left|\begin{array}{ccc} 1 & -3 & 1 \\ \lambda & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right| = 0$
तीसरी पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$1 \cdot \left|\begin{array}{cc} 1 & -3 \\ \lambda & 3 \end{array}\right| = 0$
$1(3 - (-3\lambda)) = 0$
$3 + 3\lambda = 0$
$\lambda = -1$.
दिए गए सदिश $\vec{a} = \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b} = \lambda \hat{i}+3 \hat{j}$ हैं और तीसरा सदिश $\vec{c} = \hat{k}$ मानने पर.
समतलीयता के लिए शर्त:
$\left|\begin{array}{ccc} 1 & -3 & 1 \\ \lambda & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right| = 0$
तीसरी पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$1 \cdot \left|\begin{array}{cc} 1 & -3 \\ \lambda & 3 \end{array}\right| = 0$
$1(3 - (-3\lambda)) = 0$
$3 + 3\lambda = 0$
$\lambda = -1$.
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DifficultMCQ
यदि $3 \hat{i}+3 \hat{j}+\sqrt{3} \hat{k}$,$\hat{i}+\hat{k}$,और $\sqrt{3} \hat{i}+\sqrt{3} \hat{j}+\lambda \hat{k}$ समतलीय हैं,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$1$
B
$2$
C
$3$
D
$4$
Solution
(A) माना कि $\vec{a} = 3 \hat{i} + 3 \hat{j} + \sqrt{3} \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} + \hat{k}$,और $\vec{c} = \sqrt{3} \hat{i} + \sqrt{3} \hat{j} + \lambda \hat{k}$ है।
चूंकि ये सदिश समतलीय हैं,इसलिए इनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए,अर्थात $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$।
यह घटकों के सारणिक (determinant) के शून्य होने के बराबर है:
$\begin{vmatrix} 3 & 3 & \sqrt{3} \\ 1 & 0 & 1 \\ \sqrt{3} & \sqrt{3} & \lambda \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$3(0 - \sqrt{3}) - 3(\lambda - \sqrt{3}) + \sqrt{3}(\sqrt{3} - 0) = 0$
$-3\sqrt{3} - 3\lambda + 3\sqrt{3} + 3 = 0$
$-3\lambda + 3 = 0$
$3\lambda = 3$
$\lambda = 1$
चूंकि ये सदिश समतलीय हैं,इसलिए इनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए,अर्थात $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$।
यह घटकों के सारणिक (determinant) के शून्य होने के बराबर है:
$\begin{vmatrix} 3 & 3 & \sqrt{3} \\ 1 & 0 & 1 \\ \sqrt{3} & \sqrt{3} & \lambda \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$3(0 - \sqrt{3}) - 3(\lambda - \sqrt{3}) + \sqrt{3}(\sqrt{3} - 0) = 0$
$-3\sqrt{3} - 3\lambda + 3\sqrt{3} + 3 = 0$
$-3\lambda + 3 = 0$
$3\lambda = 3$
$\lambda = 1$
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MediumMCQ
$(\bar{a}+2 \bar{b}-\bar{c}) \cdot \{(\bar{a}-\bar{b}) \times (\bar{a}-\bar{b}-\bar{c})\} = $
A
$[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]$
B
$3[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]$
C
$[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]^2$
D
$2[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]$
Solution
(B) माना कि दी गई व्यंजक $E = (\bar{a}+2 \bar{b}-\bar{c}) \cdot \{(\bar{a}-\bar{b}) \times (\bar{a}-\bar{b}-\bar{c})\}$ है।
सबसे पहले,क्रॉस प्रोडक्ट पद को सरल करें: $(\bar{a}-\bar{b}) \times (\bar{a}-\bar{b}-\bar{c})$।
क्रॉस प्रोडक्ट के वितरण गुण का उपयोग करते हुए:
$= (\bar{a}-\bar{b}) \times \bar{a} - (\bar{a}-\bar{b}) \times \bar{b} - (\bar{a}-\bar{b}) \times \bar{c}$
$= (\bar{a} \times \bar{a} - \bar{b} \times \bar{a}) - (\bar{a} \times \bar{b} - \bar{b} \times \bar{b}) - (\bar{a} \times \bar{c} - \bar{b} \times \bar{c})$
चूंकि $\bar{a} \times \bar{a} = 0$ और $\bar{b} \times \bar{b} = 0$:
$= (0 + \bar{a} \times \bar{b}) - (\bar{a} \times \bar{b} - 0) - (\bar{a} \times \bar{c} - \bar{b} \times \bar{c})$
$= \bar{a} \times \bar{b} - \bar{a} \times \bar{b} - \bar{a} \times \bar{c} + \bar{b} \times \bar{c}$
$= \bar{b} \times \bar{c} - \bar{a} \times \bar{c} = \bar{b} \times \bar{c} + \bar{c} \times \bar{a}$।
अब,इसे व्यंजक $E$ में प्रतिस्थापित करें:
$E = (\bar{a}+2 \bar{b}-\bar{c}) \cdot (\bar{b} \times \bar{c} + \bar{c} \times \bar{a})$
$= \bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) + \bar{a} \cdot (\bar{c} \times \bar{a}) + 2\bar{b} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) + 2\bar{b} \cdot (\bar{c} \times \bar{a}) - \bar{c} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) - \bar{c} \cdot (\bar{c} \times \bar{a})$
स्केलर ट्रिपल प्रोडक्ट के गुण $[\bar{x} \bar{y} \bar{z}] = \bar{x} \cdot (\bar{y} \times \bar{z})$ का उपयोग करते हुए:
$= [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] + 0 + 0 + 2[\bar{b} \bar{c} \bar{a}] - 0 - 0$
चूंकि $[\bar{b} \bar{c} \bar{a}] = [\bar{a} \bar{b} \bar{c}]$:
$E = [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] + 2[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = 3[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।
सबसे पहले,क्रॉस प्रोडक्ट पद को सरल करें: $(\bar{a}-\bar{b}) \times (\bar{a}-\bar{b}-\bar{c})$।
क्रॉस प्रोडक्ट के वितरण गुण का उपयोग करते हुए:
$= (\bar{a}-\bar{b}) \times \bar{a} - (\bar{a}-\bar{b}) \times \bar{b} - (\bar{a}-\bar{b}) \times \bar{c}$
$= (\bar{a} \times \bar{a} - \bar{b} \times \bar{a}) - (\bar{a} \times \bar{b} - \bar{b} \times \bar{b}) - (\bar{a} \times \bar{c} - \bar{b} \times \bar{c})$
चूंकि $\bar{a} \times \bar{a} = 0$ और $\bar{b} \times \bar{b} = 0$:
$= (0 + \bar{a} \times \bar{b}) - (\bar{a} \times \bar{b} - 0) - (\bar{a} \times \bar{c} - \bar{b} \times \bar{c})$
$= \bar{a} \times \bar{b} - \bar{a} \times \bar{b} - \bar{a} \times \bar{c} + \bar{b} \times \bar{c}$
$= \bar{b} \times \bar{c} - \bar{a} \times \bar{c} = \bar{b} \times \bar{c} + \bar{c} \times \bar{a}$।
अब,इसे व्यंजक $E$ में प्रतिस्थापित करें:
$E = (\bar{a}+2 \bar{b}-\bar{c}) \cdot (\bar{b} \times \bar{c} + \bar{c} \times \bar{a})$
$= \bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) + \bar{a} \cdot (\bar{c} \times \bar{a}) + 2\bar{b} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) + 2\bar{b} \cdot (\bar{c} \times \bar{a}) - \bar{c} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) - \bar{c} \cdot (\bar{c} \times \bar{a})$
स्केलर ट्रिपल प्रोडक्ट के गुण $[\bar{x} \bar{y} \bar{z}] = \bar{x} \cdot (\bar{y} \times \bar{z})$ का उपयोग करते हुए:
$= [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] + 0 + 0 + 2[\bar{b} \bar{c} \bar{a}] - 0 - 0$
चूंकि $[\bar{b} \bar{c} \bar{a}] = [\bar{a} \bar{b} \bar{c}]$:
$E = [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] + 2[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = 3[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।
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MediumMCQ
यदि $\vec{a}=2 \hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k}$,$\vec{b}=\hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}$ और $\vec{c}=3 \hat{i}-\hat{j}-2 \hat{k}$ है,तो $\left|\begin{array}{lll}\vec{a} \cdot \vec{a} & \vec{a} \cdot \vec{b} & \vec{a} \cdot \vec{c} \\ \vec{b} \cdot \vec{a} & \vec{b} \cdot \vec{b} & \vec{b} \cdot \vec{c} \\ \vec{c} \cdot \vec{a} & \vec{c} \cdot \vec{b} & \vec{c} \cdot \vec{c}\end{array}\right|$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$2020$
B
$2025$
C
$2030$
D
$1849$
Solution
(B) दिए गए सदिश $\vec{a}=2 \hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k}$,$\vec{b}=\hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}$ और $\vec{c}=3 \hat{i}-\hat{j}-2 \hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,हम अदिश गुणन (dot products) की गणना करते हैं:
$\vec{a} \cdot \vec{a} = (2)^2 + (1)^2 + (3)^2 = 4 + 1 + 9 = 14$
$\vec{b} \cdot \vec{b} = (1)^2 + (3)^2 + (-1)^2 = 1 + 9 + 1 = 11$
$\vec{c} \cdot \vec{c} = (3)^2 + (-1)^2 + (-2)^2 = 9 + 1 + 4 = 14$
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} = (2)(1) + (1)(3) + (3)(-1) = 2 + 3 - 3 = 2$
$\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a} = (2)(3) + (1)(-1) + (3)(-2) = 6 - 1 - 6 = -1$
$\vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{b} = (1)(3) + (3)(-1) + (-1)(-2) = 3 - 3 + 2 = 2$
अब,इन मानों को सारणिक (determinant) में रखने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 14 & 2 & -1 \\ 2 & 11 & 2 \\ -1 & 2 & 14 \end{array}\right|$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = 14(154 - 4) - 2(28 + 2) - 1(4 + 11)$
$\Delta = 14(150) - 2(30) - 1(15)$
$\Delta = 2100 - 60 - 15 = 2025$.
सबसे पहले,हम अदिश गुणन (dot products) की गणना करते हैं:
$\vec{a} \cdot \vec{a} = (2)^2 + (1)^2 + (3)^2 = 4 + 1 + 9 = 14$
$\vec{b} \cdot \vec{b} = (1)^2 + (3)^2 + (-1)^2 = 1 + 9 + 1 = 11$
$\vec{c} \cdot \vec{c} = (3)^2 + (-1)^2 + (-2)^2 = 9 + 1 + 4 = 14$
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} = (2)(1) + (1)(3) + (3)(-1) = 2 + 3 - 3 = 2$
$\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a} = (2)(3) + (1)(-1) + (3)(-2) = 6 - 1 - 6 = -1$
$\vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{b} = (1)(3) + (3)(-1) + (-1)(-2) = 3 - 3 + 2 = 2$
अब,इन मानों को सारणिक (determinant) में रखने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 14 & 2 & -1 \\ 2 & 11 & 2 \\ -1 & 2 & 14 \end{array}\right|$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = 14(154 - 4) - 2(28 + 2) - 1(4 + 11)$
$\Delta = 14(150) - 2(30) - 1(15)$
$\Delta = 2100 - 60 - 15 = 2025$.
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EasyMCQ
यदि $a(\alpha \times \beta)+b(\beta \times \gamma)+c(\gamma \times \alpha)=0$ और अदिश $a, b, c$ में से कम से कम एक अशून्य है,तो सदिश $\alpha, \beta, \gamma$ हैं
A
समांतर
B
अतलीय
C
समतलीय
D
परस्पर लंबवत
Solution
(C) दिया गया समीकरण: $a(\alpha \times \beta)+b(\beta \times \gamma)+c(\gamma \times \alpha)=0$.
पूरे समीकरण का सदिश $\gamma$ के साथ अदिश गुणनफल लेने पर:
$a(\alpha \times \beta) \cdot \gamma + b(\beta \times \gamma) \cdot \gamma + c(\gamma \times \alpha) \cdot \gamma = 0$.
चूंकि दोहराए गए घटकों वाले सदिशों का अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होता है,इसलिए $(\beta \times \gamma) \cdot \gamma = 0$ और $(\gamma \times \alpha) \cdot \gamma = 0$ है।
यह समीकरण $a(\alpha \times \beta) \cdot \gamma = 0$ में सरल हो जाता है,जो $a[\alpha \beta \gamma] = 0$ है।
इसी प्रकार,$\alpha$ के साथ अदिश गुणनफल लेने पर $b[\beta \gamma \alpha] = 0$ प्राप्त होता है,और $\beta$ के साथ लेने पर $c[\gamma \alpha \beta] = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a, b, c$ में से कम से कम एक अशून्य है,इसलिए अदिश त्रिक गुणनफल $[\alpha \beta \gamma]$ शून्य होना चाहिए।
अतः,सदिश $\alpha, \beta, \gamma$ समतलीय हैं।
पूरे समीकरण का सदिश $\gamma$ के साथ अदिश गुणनफल लेने पर:
$a(\alpha \times \beta) \cdot \gamma + b(\beta \times \gamma) \cdot \gamma + c(\gamma \times \alpha) \cdot \gamma = 0$.
चूंकि दोहराए गए घटकों वाले सदिशों का अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होता है,इसलिए $(\beta \times \gamma) \cdot \gamma = 0$ और $(\gamma \times \alpha) \cdot \gamma = 0$ है।
यह समीकरण $a(\alpha \times \beta) \cdot \gamma = 0$ में सरल हो जाता है,जो $a[\alpha \beta \gamma] = 0$ है।
इसी प्रकार,$\alpha$ के साथ अदिश गुणनफल लेने पर $b[\beta \gamma \alpha] = 0$ प्राप्त होता है,और $\beta$ के साथ लेने पर $c[\gamma \alpha \beta] = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a, b, c$ में से कम से कम एक अशून्य है,इसलिए अदिश त्रिक गुणनफल $[\alpha \beta \gamma]$ शून्य होना चाहिए।
अतः,सदिश $\alpha, \beta, \gamma$ समतलीय हैं।
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DifficultMCQ
यदि $x, y$ और $z$ शून्येतर वास्तविक संख्याएँ हैं और $\vec{a}=x \hat{i}+2 \hat{j}, \vec{b}=y \hat{j}+3 \hat{k}$ तथा $\vec{c}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$ इस प्रकार हैं कि $\vec{a} \times \vec{b}=z \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}$ है,तो $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$3$
B
$10$
C
$9$
D
$6$
Solution
(C) दिए गए सदिश $\vec{a}=x \hat{i}+2 \hat{j}$,$\vec{b}=y \hat{j}+3 \hat{k}$,और $\vec{c}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$ की गणना करें:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ x & 2 & 0 \\ 0 & y & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-0) - \hat{j}(3x-0) + \hat{k}(xy-0) = 6 \hat{i} - 3x \hat{j} + xy \hat{k}$.
दिया गया है कि $\vec{a} \times \vec{b} = z \hat{i} - 3 \hat{j} + \hat{k}$.
गुणांकों की तुलना करने पर,हमें $z=6$,$3x=3 \Rightarrow x=1$,और $xy=1 \Rightarrow y=1$ प्राप्त होता है।
अब,अदिश त्रिगुणन $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$ होता है।
$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = (6 \hat{i} - 3 \hat{j} + \hat{k}) \cdot (x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k})$.
$x=1, y=1, z=6$ रखने पर:
$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = (6 \hat{i} - 3 \hat{j} + \hat{k}) \cdot (1 \hat{i} + 1 \hat{j} + 6 \hat{k}) = (6)(1) + (-3)(1) + (1)(6) = 6 - 3 + 6 = 9$.
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$ की गणना करें:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ x & 2 & 0 \\ 0 & y & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-0) - \hat{j}(3x-0) + \hat{k}(xy-0) = 6 \hat{i} - 3x \hat{j} + xy \hat{k}$.
दिया गया है कि $\vec{a} \times \vec{b} = z \hat{i} - 3 \hat{j} + \hat{k}$.
गुणांकों की तुलना करने पर,हमें $z=6$,$3x=3 \Rightarrow x=1$,और $xy=1 \Rightarrow y=1$ प्राप्त होता है।
अब,अदिश त्रिगुणन $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$ होता है।
$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = (6 \hat{i} - 3 \hat{j} + \hat{k}) \cdot (x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k})$.
$x=1, y=1, z=6$ रखने पर:
$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = (6 \hat{i} - 3 \hat{j} + \hat{k}) \cdot (1 \hat{i} + 1 \hat{j} + 6 \hat{k}) = (6)(1) + (-3)(1) + (1)(6) = 6 - 3 + 6 = 9$.
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DifficultMCQ
$(a+b) \cdot(b+c) \times(a+b+c)$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$0$
B
$[a b c]$
C
$2[a b c]$
D
$[a b c] + [b c a]$
Solution
(B) हमें व्यंजक $(a+b) \cdot ((b+c) \times (a+b+c))$ दिया गया है।
सबसे पहले,क्रॉस प्रोडक्ट पद का विस्तार करें: $(b+c) \times (a+b+c) = (b \times a) + (b \times b) + (b \times c) + (c \times a) + (c \times b) + (c \times c)$.
चूंकि किसी सदिश का स्वयं के साथ क्रॉस प्रोडक्ट शून्य होता है ($b \times b = 0$ और $c \times c = 0$) और $c \times b = -(b \times c)$,हमें प्राप्त होता है:
$(b+c) \times (a+b+c) = (b \times a) + (b \times c) + (c \times a) - (b \times c) = (b \times a) + (c \times a)$.
अब,$(a+b)$ के साथ डॉट प्रोडक्ट लें:
$(a+b) \cdot ((b \times a) + (c \times a)) = a \cdot (b \times a) + a \cdot (c \times a) + b \cdot (b \times a) + b \cdot (c \times a)$.
स्केलर ट्रिपल प्रोडक्ट $[x y z] = x \cdot (y \times z)$ के गुणों का उपयोग करते हुए:
$a \cdot (b \times a) = [a b a] = 0$ (क्योंकि दो सदिश समान हैं)।
$a \cdot (c \times a) = [a c a] = 0$.
$b \cdot (b \times a) = [b b a] = 0$.
$b \cdot (c \times a) = [b c a]$.
चूंकि $[b c a] = [a b c]$,अंतिम परिणाम $[a b c]$ है।
सबसे पहले,क्रॉस प्रोडक्ट पद का विस्तार करें: $(b+c) \times (a+b+c) = (b \times a) + (b \times b) + (b \times c) + (c \times a) + (c \times b) + (c \times c)$.
चूंकि किसी सदिश का स्वयं के साथ क्रॉस प्रोडक्ट शून्य होता है ($b \times b = 0$ और $c \times c = 0$) और $c \times b = -(b \times c)$,हमें प्राप्त होता है:
$(b+c) \times (a+b+c) = (b \times a) + (b \times c) + (c \times a) - (b \times c) = (b \times a) + (c \times a)$.
अब,$(a+b)$ के साथ डॉट प्रोडक्ट लें:
$(a+b) \cdot ((b \times a) + (c \times a)) = a \cdot (b \times a) + a \cdot (c \times a) + b \cdot (b \times a) + b \cdot (c \times a)$.
स्केलर ट्रिपल प्रोडक्ट $[x y z] = x \cdot (y \times z)$ के गुणों का उपयोग करते हुए:
$a \cdot (b \times a) = [a b a] = 0$ (क्योंकि दो सदिश समान हैं)।
$a \cdot (c \times a) = [a c a] = 0$.
$b \cdot (b \times a) = [b b a] = 0$.
$b \cdot (c \times a) = [b c a]$.
चूंकि $[b c a] = [a b c]$,अंतिम परिणाम $[a b c]$ है।
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MediumMCQ
यदि $3 \hat{i}-2 \hat{j}-\hat{k}, 2 \hat{i}+3 \hat{j}-4 \hat{k}, -\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}$ और $4 \hat{i}+5 \hat{j}+\lambda \hat{k}$ स्थिति सदिश वाले बिंदु समतलीय हैं,तो $\lambda=$
A
$\frac{46}{17}$
B
$8$
C
$-8$
D
$\frac{146}{17}$
Solution
(D) मान लीजिए कि चार बिंदुओं के स्थिति सदिश $\vec{a} = 3\hat{i}-2\hat{j}-\hat{k}$,$\vec{b} = 2\hat{i}+3\hat{j}-4\hat{k}$,$\vec{c} = -\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}$,और $\vec{d} = 4\hat{i}+5\hat{j}+\lambda\hat{k}$ हैं।
चार बिंदुओं के समतलीय होने के लिए,सदिशों $\vec{AB}$,$\vec{AC}$,और $\vec{AD}$ का अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए।
सबसे पहले,सदिशों की गणना करें:
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = -\hat{i} + 5\hat{j} - 3\hat{k}$
$\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a} = -4\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}$
$\vec{AD} = \vec{d} - \vec{a} = \hat{i} + 7\hat{j} + (\lambda+1)\hat{k}$
अब,इन सदिशों के सारणिक को शून्य के बराबर रखें:
$\begin{vmatrix} -1 & 5 & -3 \\ -4 & 3 & 3 \\ 1 & 7 & \lambda+1 \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$-1(3(\lambda+1) - 21) - 5(-4(\lambda+1) - 3) - 3(-28 - 3) = 0$
$-1(3\lambda + 3 - 21) - 5(-4\lambda - 4 - 3) - 3(-31) = 0$
$-3\lambda + 18 + 20\lambda + 35 + 93 = 0$
$17\lambda + 146 = 0$
$\lambda = -\frac{146}{17}$
चार बिंदुओं के समतलीय होने के लिए,सदिशों $\vec{AB}$,$\vec{AC}$,और $\vec{AD}$ का अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए।
सबसे पहले,सदिशों की गणना करें:
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = -\hat{i} + 5\hat{j} - 3\hat{k}$
$\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a} = -4\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}$
$\vec{AD} = \vec{d} - \vec{a} = \hat{i} + 7\hat{j} + (\lambda+1)\hat{k}$
अब,इन सदिशों के सारणिक को शून्य के बराबर रखें:
$\begin{vmatrix} -1 & 5 & -3 \\ -4 & 3 & 3 \\ 1 & 7 & \lambda+1 \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$-1(3(\lambda+1) - 21) - 5(-4(\lambda+1) - 3) - 3(-28 - 3) = 0$
$-1(3\lambda + 3 - 21) - 5(-4\lambda - 4 - 3) - 3(-31) = 0$
$-3\lambda + 18 + 20\lambda + 35 + 93 = 0$
$17\lambda + 146 = 0$
$\lambda = -\frac{146}{17}$
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MediumMCQ
यदि चार बिंदु $A(6,2,4)$,$B(1,3,5)$,$C(1,-2,3)$ और $D(6, k, 2)$ समतलीय हैं,तो $k=$
A
-$5$
B
$4$
C
-$3$
D
$1$
Solution
(C) मान लीजिए बिंदु $A(6,2,4)$,$B(1,3,5)$,$C(1,-2,3)$ और $D(6, k, 2)$ हैं।
ये चार बिंदु समतलीय हैं यदि सदिश $\vec{AB}$,$\vec{AC}$ और $\vec{AD}$ समतलीय हैं,जिसका अर्थ है कि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य है: $[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] = 0$.
सबसे पहले,सदिशों की गणना करें:
$\vec{AB} = -5\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$
$\vec{AC} = -5\hat{i} - 4\hat{j} - \hat{k}$
$\vec{AD} = 0\hat{i} + (k-2)\hat{j} - 2\hat{k}$
अदिश त्रिक गुणनफल सारणिक द्वारा दिया जाता है:
$\begin{vmatrix} -5 & 1 & 1 \\ -5 & -4 & -1 \\ 0 & k-2 & -2 \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$-5[8 + k - 2] - 1[10] + 1[-5k + 10] = 0$
$-5[k + 6] - 10 - 5k + 10 = 0$
$-5k - 30 - 5k = 0$
$-10k = 30$
$k = -3$
अतः,सही विकल्प $C$ है।
ये चार बिंदु समतलीय हैं यदि सदिश $\vec{AB}$,$\vec{AC}$ और $\vec{AD}$ समतलीय हैं,जिसका अर्थ है कि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य है: $[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] = 0$.
सबसे पहले,सदिशों की गणना करें:
$\vec{AB} = -5\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$
$\vec{AC} = -5\hat{i} - 4\hat{j} - \hat{k}$
$\vec{AD} = 0\hat{i} + (k-2)\hat{j} - 2\hat{k}$
अदिश त्रिक गुणनफल सारणिक द्वारा दिया जाता है:
$\begin{vmatrix} -5 & 1 & 1 \\ -5 & -4 & -1 \\ 0 & k-2 & -2 \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$-5[8 + k - 2] - 1[10] + 1[-5k + 10] = 0$
$-5[k + 6] - 10 - 5k + 10 = 0$
$-5k - 30 - 5k = 0$
$-10k = 30$
$k = -3$
अतः,सही विकल्प $C$ है।
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MediumMCQ
चार बिंदु जिनके स्थिति सदिश $2\bar{a}+3\bar{b}-\bar{c}$,$\bar{a}-2\bar{b}+3\bar{c}$,$3\bar{a}+4\bar{b}-2\bar{c}$ और $\bar{a}-6\bar{b}+6\bar{c}$ हैं,वे हैं
A
संरेख
B
समतलीय
C
एक वर्ग के शीर्ष
D
एक आयत के शीर्ष
Solution
(B) माना कि चार बिंदुओं के स्थिति सदिश $\vec{P} = 2\bar{a}+3\bar{b}-\bar{c}$,$\vec{Q} = \bar{a}-2\bar{b}+3\bar{c}$,$\vec{R} = 3\bar{a}+4\bar{b}-2\bar{c}$,और $\vec{S} = \bar{a}-6\bar{b}+6\bar{c}$ हैं।
यह जांचने के लिए कि क्या ये बिंदु समतलीय हैं,हम सदिशों $\vec{PQ}$,$\vec{PR}$,और $\vec{PS}$ का उपयोग करते हैं।
$\vec{PQ} = \vec{Q} - \vec{P} = -\bar{a}-5\bar{b}+4\bar{c}$.
$\vec{PR} = \vec{R} - \vec{P} = \bar{a}+\bar{b}-\bar{c}$.
$\vec{PS} = \vec{S} - \vec{P} = -\bar{a}-9\bar{b}+7\bar{c}$.
चार बिंदु समतलीय होते हैं यदि उनका अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{PQ}, \vec{PR}, \vec{PS}] = 0$ हो।
सारणिक $D = \begin{vmatrix} -1 & -5 & 4 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & -9 & 7 \end{vmatrix} = -1(7-9) + 5(7-1) + 4(-9+1) = 2 + 30 - 32 = 0$.
अतः,ये चार बिंदु समतलीय हैं।
यह जांचने के लिए कि क्या ये बिंदु समतलीय हैं,हम सदिशों $\vec{PQ}$,$\vec{PR}$,और $\vec{PS}$ का उपयोग करते हैं।
$\vec{PQ} = \vec{Q} - \vec{P} = -\bar{a}-5\bar{b}+4\bar{c}$.
$\vec{PR} = \vec{R} - \vec{P} = \bar{a}+\bar{b}-\bar{c}$.
$\vec{PS} = \vec{S} - \vec{P} = -\bar{a}-9\bar{b}+7\bar{c}$.
चार बिंदु समतलीय होते हैं यदि उनका अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{PQ}, \vec{PR}, \vec{PS}] = 0$ हो।
सारणिक $D = \begin{vmatrix} -1 & -5 & 4 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & -9 & 7 \end{vmatrix} = -1(7-9) + 5(7-1) + 4(-9+1) = 2 + 30 - 32 = 0$.
अतः,ये चार बिंदु समतलीय हैं।
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EasyMCQ
यदि $\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$,$2 \hat{i}-\hat{k}$,$\hat{j}+2 \hat{k}$ और $\hat{i}+\hat{j}+\lambda \hat{k}$ स्थिति सदिश वाले बिंदु समतलीय हैं,तो सदिश $6 \lambda \hat{i}-3 \hat{j}+6 \hat{k}$ का परिमाण ज्ञात कीजिए।
A
$\sqrt{54}$
B
$\sqrt{46}$
C
$7$
D
$9$
Solution
(C) माना बिंदुओं के स्थिति सदिश $\vec{A} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{B} = 2\hat{i} - \hat{k}$,$\vec{C} = \hat{j} + 2\hat{k}$,और $\vec{D} = \hat{i} + \hat{j} + \lambda\hat{k}$ हैं।
बिंदुओं के समतलीय होने के लिए,सदिशों $\vec{AB}$,$\vec{AC}$,और $\vec{AD}$ का अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए।
$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = \hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$.
$\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = -\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$.
$\vec{AD} = \vec{D} - \vec{A} = 2\hat{j} + (\lambda-1)\hat{k}$.
समतलीयता की शर्त $\begin{vmatrix} 1 & 1 & -2 \\ -1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & \lambda-1 \end{vmatrix} = 0$ है।
सारणिक का विस्तार करने पर: $1(2(\lambda-1) - 2) - 1(-1(\lambda-1) - 0) - 2(-2 - 0) = 0$.
$1(2\lambda - 4) + 1(\lambda - 1) + 4 = 0$.
$3\lambda - 1 = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{3}$.
अब,सदिश $6\lambda\hat{i} - 3\hat{j} + 6\hat{k} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 6\hat{k}$ है।
इसका परिमाण $\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$ है।
बिंदुओं के समतलीय होने के लिए,सदिशों $\vec{AB}$,$\vec{AC}$,और $\vec{AD}$ का अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए।
$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = \hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$.
$\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = -\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$.
$\vec{AD} = \vec{D} - \vec{A} = 2\hat{j} + (\lambda-1)\hat{k}$.
समतलीयता की शर्त $\begin{vmatrix} 1 & 1 & -2 \\ -1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & \lambda-1 \end{vmatrix} = 0$ है।
सारणिक का विस्तार करने पर: $1(2(\lambda-1) - 2) - 1(-1(\lambda-1) - 0) - 2(-2 - 0) = 0$.
$1(2\lambda - 4) + 1(\lambda - 1) + 4 = 0$.
$3\lambda - 1 = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{3}$.
अब,सदिश $6\lambda\hat{i} - 3\hat{j} + 6\hat{k} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 6\hat{k}$ है।
इसका परिमाण $\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$ है।
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यदि $2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}$,$-12 \hat{i}-\hat{j}-3 \hat{k}$,$-\hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}$ और $\lambda \hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$ चार समतलीय बिंदुओं के स्थिति सदिश हैं,तो $\lambda=$
A
$9$
B
$-2$
C
$8$
D
$6$
Solution
(D) माना कि चार बिंदुओं के स्थिति सदिश $\vec{a} = 2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}$,$\vec{b} = -12 \hat{i}-\hat{j}-3 \hat{k}$,$\vec{c} = -\hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}$,और $\vec{d} = \lambda \hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$ हैं।
बिंदु समतलीय होते हैं यदि सदिश $\vec{b}-\vec{a}$,$\vec{c}-\vec{a}$,और $\vec{d}-\vec{a}$ समतलीय हों,जिसका अर्थ है कि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य है: $(\vec{b}-\vec{a}) \cdot ((\vec{c}-\vec{a}) \times (\vec{d}-\vec{a})) = 0$.
सदिशों की गणना:
$\vec{b}-\vec{a} = -14\hat{i} - 6\hat{k}$
$\vec{c}-\vec{a} = -3\hat{i} + 3\hat{j} - 7\hat{k}$
$\vec{d}-\vec{a} = (\lambda-2)\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}$
समतलीयता के लिए शर्त यह है कि इन सदिशों का सारणिक शून्य हो:
$\begin{vmatrix} -14 & 0 & -6 \\ -3 & 3 & -7 \\ \lambda-2 & 3 & -4 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$-14(3(-4) - (-7)(3)) - 0 + (-6)(-3(3) - 3(\lambda-2)) = 0$
$-14(9) - 6(-3 - 3\lambda) = 0$
$-126 + 18 + 18\lambda = 0$
$18\lambda = 108 \implies \lambda = 6$.
बिंदु समतलीय होते हैं यदि सदिश $\vec{b}-\vec{a}$,$\vec{c}-\vec{a}$,और $\vec{d}-\vec{a}$ समतलीय हों,जिसका अर्थ है कि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य है: $(\vec{b}-\vec{a}) \cdot ((\vec{c}-\vec{a}) \times (\vec{d}-\vec{a})) = 0$.
सदिशों की गणना:
$\vec{b}-\vec{a} = -14\hat{i} - 6\hat{k}$
$\vec{c}-\vec{a} = -3\hat{i} + 3\hat{j} - 7\hat{k}$
$\vec{d}-\vec{a} = (\lambda-2)\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}$
समतलीयता के लिए शर्त यह है कि इन सदिशों का सारणिक शून्य हो:
$\begin{vmatrix} -14 & 0 & -6 \\ -3 & 3 & -7 \\ \lambda-2 & 3 & -4 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$-14(3(-4) - (-7)(3)) - 0 + (-6)(-3(3) - 3(\lambda-2)) = 0$
$-14(9) - 6(-3 - 3\lambda) = 0$
$-126 + 18 + 18\lambda = 0$
$18\lambda = 108 \implies \lambda = 6$.
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माना $\vec{c}$ इकाई सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के साथ समतलीय एक सदिश है और $\vec{d}$,$\vec{a}$,$\vec{b}$ और $\vec{c}$ के लंबवत इकाई सदिश है। यदि $[\vec{a} \vec{b} \vec{d}] \vec{c} - [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] \vec{d} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{a}$ तथा $\vec{b}$ के बीच का कोण $30^{\circ}$ है,तो $|\vec{c}| =$
A
$3$
B
$\frac{3}{2}$
C
$6$
D
$1$
Solution
(C) दिया गया है कि $\vec{c}$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ के साथ समतलीय है,इसलिए अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$ है।
चूंकि $\vec{d}$,$\vec{a}$,$\vec{b}$ और $\vec{c}$ के लंबवत है,यह $\vec{a} \times \vec{b}$ की दिशा में इकाई सदिश है।
अतः,$[\vec{a} \vec{b} \vec{d}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{d}) = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{d} = |\vec{a} \times \vec{b}| |\vec{d}| \cos 0^{\circ} = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin 30^{\circ} (1) = (1)(1)(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.
दिया गया समीकरण $\frac{1}{2} \vec{c} - 0 \cdot \vec{d} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ बन जाता है।
इसलिए,$\vec{c} = 2\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}$.
अतः,$|\vec{c}| = \sqrt{2^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6$.
चूंकि $\vec{d}$,$\vec{a}$,$\vec{b}$ और $\vec{c}$ के लंबवत है,यह $\vec{a} \times \vec{b}$ की दिशा में इकाई सदिश है।
अतः,$[\vec{a} \vec{b} \vec{d}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{d}) = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{d} = |\vec{a} \times \vec{b}| |\vec{d}| \cos 0^{\circ} = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin 30^{\circ} (1) = (1)(1)(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.
दिया गया समीकरण $\frac{1}{2} \vec{c} - 0 \cdot \vec{d} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ बन जाता है।
इसलिए,$\vec{c} = 2\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}$.
अतः,$|\vec{c}| = \sqrt{2^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6$.
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यदि $\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}$,$2 \hat{i}+3 \hat{j}-4 \hat{k}$,$-3 \hat{i}+\hat{j}-5 \hat{k}$ और $a \hat{i}-2 \hat{j}+4 \hat{k}$ स्थिति सदिश वाले बिंदु समतलीय हैं,तो $a=$
A
$\frac{-4}{19}$
B
$\frac{42}{19}$
C
$\frac{-42}{19}$
D
$\frac{4}{19}$
Solution
(B) माना $A, B, C$ और $D$ वे बिंदु हैं जिनके स्थिति सदिश $\vec{A} = \hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}$,$\vec{B} = 2 \hat{i}+3 \hat{j}-4 \hat{k}$,$\vec{C} = -3 \hat{i}+\hat{j}-5 \hat{k}$ और $\vec{D} = a \hat{i}-2 \hat{j}+4 \hat{k}$ हैं।
प्राप्त सदिश:
$\overrightarrow{AB} = \vec{B} - \vec{A} = \hat{i} + 5\hat{j} - 7\hat{k}$
$\overrightarrow{AC} = \vec{C} - \vec{A} = -4\hat{i} + 3\hat{j} - 8\hat{k}$
$\overrightarrow{AD} = \vec{D} - \vec{A} = (a-1)\hat{i} + 0\hat{j} + \hat{k}$
चूंकि बिंदु समतलीय हैं,इसलिए इनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होगा:
$[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}] = 0 \Rightarrow \begin{vmatrix} 1 & 5 & -7 \\ -4 & 3 & -8 \\ a-1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 0$
तीसरी पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(a-1)(-40 + 21) + 1(3 + 20) = 0$
$(a-1)(-19) + 23 = 0$
$-19a + 19 + 23 = 0$
$-19a + 42 = 0$
$a = \frac{42}{19}$
प्राप्त सदिश:
$\overrightarrow{AB} = \vec{B} - \vec{A} = \hat{i} + 5\hat{j} - 7\hat{k}$
$\overrightarrow{AC} = \vec{C} - \vec{A} = -4\hat{i} + 3\hat{j} - 8\hat{k}$
$\overrightarrow{AD} = \vec{D} - \vec{A} = (a-1)\hat{i} + 0\hat{j} + \hat{k}$
चूंकि बिंदु समतलीय हैं,इसलिए इनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होगा:
$[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}] = 0 \Rightarrow \begin{vmatrix} 1 & 5 & -7 \\ -4 & 3 & -8 \\ a-1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 0$
तीसरी पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(a-1)(-40 + 21) + 1(3 + 20) = 0$
$(a-1)(-19) + 23 = 0$
$-19a + 19 + 23 = 0$
$-19a + 42 = 0$
$a = \frac{42}{19}$
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मान लीजिए कि $\hat{i}-\hat{j}-2\hat{k}$,$-2\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}$,$-\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$,और $2\hat{i}+2\hat{j}+a\hat{k}$ शीर्षों वाले चतुष्फलक का आयतन $\frac{20}{3}$ है। तो $a$ का पूर्णांक मान ज्ञात कीजिए।
A
-$2$
B
$1$
C
-$1$
D
$2$
Solution
(C) मान लीजिए चतुष्फलक के शीर्ष $A = (1, -1, -2)$,$B = (-2, 1, -2)$,$C = (-1, -2, 1)$,और $D = (2, 2, a)$ हैं।
चतुष्फलक का आयतन $V = \frac{1}{6} |(\vec{b}-\vec{a}) \cdot ((\vec{c}-\vec{a}) \times (\vec{d}-\vec{a}))|$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
सदिशों की गणना करें:
$\vec{AB} = -3\hat{i} + 2\hat{j} + 0\hat{k}$
$\vec{AC} = -2\hat{i} - 1\hat{j} + 3\hat{k}$
$\vec{AD} = 1\hat{i} + 3\hat{j} + (a+2)\hat{k}$
आयतन $\frac{1}{6} |\det(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD})| = \frac{20}{3}$ है,इसलिए $|\det(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD})| = 40$ होगा।
सारणिक की गणना:
$\det = \begin{vmatrix} -3 & 2 & 0 \\ -2 & -1 & 3 \\ 1 & 3 & a+2 \end{vmatrix} = 7a + 47$.
$|7a + 47| = 40$ रखने पर:
स्थिति $1$: $7a + 47 = 40 \implies 7a = -7 \implies a = -1$.
स्थिति $2$: $7a + 47 = -40 \implies 7a = -87 \implies a = -87/7$ (पूर्णांक नहीं है)।
अतः,$a$ का पूर्णांक मान $-1$ है।
चतुष्फलक का आयतन $V = \frac{1}{6} |(\vec{b}-\vec{a}) \cdot ((\vec{c}-\vec{a}) \times (\vec{d}-\vec{a}))|$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
सदिशों की गणना करें:
$\vec{AB} = -3\hat{i} + 2\hat{j} + 0\hat{k}$
$\vec{AC} = -2\hat{i} - 1\hat{j} + 3\hat{k}$
$\vec{AD} = 1\hat{i} + 3\hat{j} + (a+2)\hat{k}$
आयतन $\frac{1}{6} |\det(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD})| = \frac{20}{3}$ है,इसलिए $|\det(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD})| = 40$ होगा।
सारणिक की गणना:
$\det = \begin{vmatrix} -3 & 2 & 0 \\ -2 & -1 & 3 \\ 1 & 3 & a+2 \end{vmatrix} = 7a + 47$.
$|7a + 47| = 40$ रखने पर:
स्थिति $1$: $7a + 47 = 40 \implies 7a = -7 \implies a = -1$.
स्थिति $2$: $7a + 47 = -40 \implies 7a = -87 \implies a = -87/7$ (पूर्णांक नहीं है)।
अतः,$a$ का पूर्णांक मान $-1$ है।
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EasyMCQ
सदिशों $\vec{a}=2 \hat{i}+3 \hat{j}-6 \hat{k}$,$\vec{b}=6 \hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}$ और $\vec{c}=3 \hat{i}-6 \hat{j}-2 \hat{k}$ पर विचार करें।
अभिकथन $(A):$ ये तीन सदिश एक त्रिभुज नहीं बनाते हैं।
कारण $(R):$ ये तीन सदिश असमतलीय हैं।
निम्नलिखित में से सही विकल्प है:
अभिकथन $(A):$ ये तीन सदिश एक त्रिभुज नहीं बनाते हैं।
कारण $(R):$ ये तीन सदिश असमतलीय हैं।
निम्नलिखित में से सही विकल्प है:
A
$(A)$ सत्य है,$(R)$ सत्य है और $(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या है
B
$(A)$ सत्य है,$(R)$ सत्य है लेकिन $(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या नहीं है
C
$(A)$ सत्य है लेकिन $(R)$ असत्य है
D
$(A)$ असत्य है लेकिन $(R)$ सत्य है
Solution
(A) तीन सदिश एक त्रिभुज बनाते हैं यदि उनका योग शून्य हो,अर्थात $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$।
योग की गणना करने पर: $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = (2+6+3)\hat{i} + (3-2-6)\hat{j} + (-6+3-2)\hat{k} = 11\hat{i} - 5\hat{j} - 5\hat{k}$।
चूंकि $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} \neq \vec{0}$,सदिश त्रिभुज नहीं बनाते हैं। अतः,$(A)$ सत्य है।
यह जांचने के लिए कि क्या वे असमतलीय हैं,हम अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ की गणना करते हैं।
$\vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 6 & -2 & 3 \\ 3 & -6 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(4+18) - \hat{j}(-12-9) + \hat{k}(-36+6) = 22\hat{i} + 21\hat{j} - 30\hat{k}$।
$\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = (2)(22) + (3)(21) + (-6)(-30) = 44 + 63 + 180 = 287 \neq 0$।
चूंकि अदिश त्रिक गुणनफल शून्य नहीं है,सदिश असमतलीय हैं। अतः,$(R)$ सत्य है।
चूंकि सदिश असमतलीय हैं,वे एक समतल में त्रिभुज नहीं बना सकते हैं। इसलिए,$(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या है।
योग की गणना करने पर: $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = (2+6+3)\hat{i} + (3-2-6)\hat{j} + (-6+3-2)\hat{k} = 11\hat{i} - 5\hat{j} - 5\hat{k}$।
चूंकि $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} \neq \vec{0}$,सदिश त्रिभुज नहीं बनाते हैं। अतः,$(A)$ सत्य है।
यह जांचने के लिए कि क्या वे असमतलीय हैं,हम अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ की गणना करते हैं।
$\vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 6 & -2 & 3 \\ 3 & -6 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(4+18) - \hat{j}(-12-9) + \hat{k}(-36+6) = 22\hat{i} + 21\hat{j} - 30\hat{k}$।
$\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = (2)(22) + (3)(21) + (-6)(-30) = 44 + 63 + 180 = 287 \neq 0$।
चूंकि अदिश त्रिक गुणनफल शून्य नहीं है,सदिश असमतलीय हैं। अतः,$(R)$ सत्य है।
चूंकि सदिश असमतलीय हैं,वे एक समतल में त्रिभुज नहीं बना सकते हैं। इसलिए,$(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या है।
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EasyMCQ
यदि $2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}$,$-12 \hat{i}-\hat{j}-3 \hat{k}$,$-\hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}$ और $\lambda \hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$ चार समतलीय बिंदुओं के स्थिति सदिश हैं,तो $\lambda=$
A
-$2$
B
$6$
C
$3$
D
-$6$
Solution
(B) माना स्थिति सदिश $\vec{a} = 2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}$,$\vec{b} = -12 \hat{i}-\hat{j}-3 \hat{k}$,$\vec{c} = -\hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}$,और $\vec{d} = \lambda \hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$ हैं।
चार बिंदुओं के समतलीय होने के लिए,सदिशों $(\vec{b}-\vec{a})$,$(\vec{c}-\vec{a})$,और $(\vec{d}-\vec{a})$ का अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए।
$\vec{b}-\vec{a} = -14\hat{i} + 0\hat{j} - 6\hat{k}$
$\vec{c}-\vec{a} = -3\hat{i} + 3\hat{j} - 7\hat{k}$
$\vec{d}-\vec{a} = (\lambda-2)\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}$
शर्त के अनुसार $\begin{vmatrix} -14 & 0 & -6 \\ -3 & 3 & -7 \\ \lambda-2 & 3 & -4 \end{vmatrix} = 0$.
सारणिक का विस्तार करने पर:
$-14(-12 + 21) - 6(-9 - 3\lambda + 6) = 0$
$-14(9) - 6(-3 - 3\lambda) = 0$
$-126 + 18 + 18\lambda = 0$
$18\lambda = 108$
$\lambda = 6$.
चार बिंदुओं के समतलीय होने के लिए,सदिशों $(\vec{b}-\vec{a})$,$(\vec{c}-\vec{a})$,और $(\vec{d}-\vec{a})$ का अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए।
$\vec{b}-\vec{a} = -14\hat{i} + 0\hat{j} - 6\hat{k}$
$\vec{c}-\vec{a} = -3\hat{i} + 3\hat{j} - 7\hat{k}$
$\vec{d}-\vec{a} = (\lambda-2)\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}$
शर्त के अनुसार $\begin{vmatrix} -14 & 0 & -6 \\ -3 & 3 & -7 \\ \lambda-2 & 3 & -4 \end{vmatrix} = 0$.
सारणिक का विस्तार करने पर:
$-14(-12 + 21) - 6(-9 - 3\lambda + 6) = 0$
$-14(9) - 6(-3 - 3\lambda) = 0$
$-126 + 18 + 18\lambda = 0$
$18\lambda = 108$
$\lambda = 6$.
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EasyMCQ
सदिश $2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}, \hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}$ और $3 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$
A
रैखिक रूप से आश्रित हैं
B
रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं
C
एक त्रिभुज की भुजाएँ बनाते हैं
D
समतलीय हैं
Solution
(B) मान लीजिए कि तीन सदिश $\vec{a} = 2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}$,और $\vec{c} = 3 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$ हैं।
यह जांचने के लिए कि क्या वे रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं,हम अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$ की गणना करते हैं,जो इन सदिशों द्वारा गठित आव्यूह का सारणिक है:
$\Delta = \begin{vmatrix} 2 & -3 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \\ 3 & 1 & -2 \end{vmatrix}$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = 2((-2)(-2) - (3)(1)) - (-3)((1)(-2) - (3)(3)) + 1((1)(1) - (-2)(3))$
$\Delta = 2(4 - 3) + 3(-2 - 9) + 1(1 + 6)$
$\Delta = 2(1) + 3(-11) + 1(7)$
$\Delta = 2 - 33 + 7 = -24$
चूंकि अदिश त्रिक गुणनफल $\Delta \neq 0$ है,इसलिए दिए गए सदिश रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।
यह जांचने के लिए कि क्या वे रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं,हम अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$ की गणना करते हैं,जो इन सदिशों द्वारा गठित आव्यूह का सारणिक है:
$\Delta = \begin{vmatrix} 2 & -3 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \\ 3 & 1 & -2 \end{vmatrix}$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = 2((-2)(-2) - (3)(1)) - (-3)((1)(-2) - (3)(3)) + 1((1)(1) - (-2)(3))$
$\Delta = 2(4 - 3) + 3(-2 - 9) + 1(1 + 6)$
$\Delta = 2(1) + 3(-11) + 1(7)$
$\Delta = 2 - 33 + 7 = -24$
चूंकि अदिश त्रिक गुणनफल $\Delta \neq 0$ है,इसलिए दिए गए सदिश रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।
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EasyMCQ
यदि $\hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}$ और $\lambda \hat{i}+3 \hat{j}$ समतलीय हैं,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए:
A
-$1$
B
$1/2$
C
$-3/2$
D
$2$
Solution
(C) तीन सदिशों $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ के समतलीय होने के लिए,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए,अर्थात $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$।
दिए गए सदिशों $\vec{a} = \hat{i}-2 \hat{j}$,$\vec{b} = 3 \hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{c} = \lambda \hat{i}+3 \hat{j}$ के लिए:
$\begin{vmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ \lambda & 3 & 0 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$1(0 - 3) + 2(0 - \lambda) = 0$
$-3 - 2\lambda = 0$
$2\lambda = -3$
$\lambda = -3/2$.
दिए गए सदिशों $\vec{a} = \hat{i}-2 \hat{j}$,$\vec{b} = 3 \hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{c} = \lambda \hat{i}+3 \hat{j}$ के लिए:
$\begin{vmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ \lambda & 3 & 0 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$1(0 - 3) + 2(0 - \lambda) = 0$
$-3 - 2\lambda = 0$
$2\lambda = -3$
$\lambda = -3/2$.
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MediumMCQ
निम्नलिखित कथनों का अवलोकन करें:
$A$. तीन सदिश समतलीय होते हैं यदि उनमें से एक को अन्य दो के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सके।
$R$. कोई भी तीन समतलीय सदिश रैखिक रूप से आश्रित होते हैं।
तो,निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?
$A$. तीन सदिश समतलीय होते हैं यदि उनमें से एक को अन्य दो के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सके।
$R$. कोई भी तीन समतलीय सदिश रैखिक रूप से आश्रित होते हैं।
तो,निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?
A
$A$ और $R$ दोनों सत्य हैं और $R$,$A$ की सही व्याख्या है
B
$A$ और $R$ दोनों सत्य हैं लेकिन $R$,$A$ की सही व्याख्या नहीं है
C
$A$ सत्य है,लेकिन $R$ असत्य है
D
$A$ असत्य है,लेकिन $R$ सत्य है
Solution
(B) कथन $A$ सत्य है क्योंकि तीन सदिश $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ समतलीय होते हैं यदि और केवल यदि ऐसे अदिश $x, y$ मौजूद हों कि $\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}$ हो (यह मानते हुए कि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ असंरेख हैं)।
कथन $R$ सत्य है क्योंकि $3D$ अंतरिक्ष में तीन समतलीय सदिशों का कोई भी समूह रैखिक रूप से आश्रित होता है,क्योंकि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होता है।
हालाँकि,$R$ समतलीय सदिशों का एक सामान्य गुण है और यह $A$ में बताई गई विशिष्ट स्थिति के लिए परिभाषा या प्रत्यक्ष तार्किक व्युत्पत्ति के रूप में कार्य नहीं करता है। अतः,$R$,$A$ की सही व्याख्या नहीं है।
कथन $R$ सत्य है क्योंकि $3D$ अंतरिक्ष में तीन समतलीय सदिशों का कोई भी समूह रैखिक रूप से आश्रित होता है,क्योंकि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होता है।
हालाँकि,$R$ समतलीय सदिशों का एक सामान्य गुण है और यह $A$ में बताई गई विशिष्ट स्थिति के लिए परिभाषा या प्रत्यक्ष तार्किक व्युत्पत्ति के रूप में कार्य नहीं करता है। अतः,$R$,$A$ की सही व्याख्या नहीं है।
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DifficultMCQ
$\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ तीन इकाई सदिश इस प्रकार हैं कि $x \bar{a} + y \bar{b} + z \bar{c} = p(\bar{b} \times \bar{c}) + q(\bar{c} \times \bar{a}) + r(\bar{a} \times \bar{b})$. यदि $(\bar{a}, \bar{b}) = (\bar{b}, \bar{c}) = (\bar{c}, \bar{a}) = \frac{\pi}{3}$,$(\bar{a}, \bar{b} \times \bar{c}) = \frac{\pi}{6}$ और $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ एक दाहिने हाथ की प्रणाली (right-handed system) बनाते हैं,तो $\frac{x+y+z}{p+q+r} = $
A
$\frac{3}{4}$
B
$\frac{1}{\sqrt{2}}$
C
$2 \sqrt{2}$
D
$\frac{3}{8}$
Solution
(A) दिया गया है कि $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ इकाई सदिश हैं जिनके बीच का कोण $\frac{\pi}{3}$ है।
अदिश त्रिक गुणनफल $[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = |\bar{a}| |\bar{b} \times \bar{c}| \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{3\sqrt{3}}{8}$ है।
समीकरण $x \bar{a} + y \bar{b} + z \bar{c} = p(\bar{b} \times \bar{c}) + q(\bar{c} \times \bar{a}) + r(\bar{a} \times \bar{b})$ में सदिशों की समरूपता का उपयोग करने पर,$x=y=z$ और $p=q=r$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $\frac{x+y+z}{p+q+r} = \frac{3}{4}$ है।
अदिश त्रिक गुणनफल $[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = |\bar{a}| |\bar{b} \times \bar{c}| \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{3\sqrt{3}}{8}$ है।
समीकरण $x \bar{a} + y \bar{b} + z \bar{c} = p(\bar{b} \times \bar{c}) + q(\bar{c} \times \bar{a}) + r(\bar{a} \times \bar{b})$ में सदिशों की समरूपता का उपयोग करने पर,$x=y=z$ और $p=q=r$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $\frac{x+y+z}{p+q+r} = \frac{3}{4}$ है।
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MediumMCQ
यदि एक चतुष्फलक जिसके सह-अंतिम किनारे $\bar{i}+2 \bar{j}-3 \bar{k}$,$2 \bar{i}+\bar{j}-3 \bar{k}$ और $3 \bar{i}-\bar{j}+p \bar{k}$ हैं,का आयतन $2$ है,तो $p$ के मान किस समीकरण के मूल हैं?
A
$x^2+4 x-12=0$
B
$x^2+8 x+12=0$
C
$x^2-4 x-12=0$
D
$x^2-8 x+12=0$
Solution
(A) चतुष्फलक का आयतन जिसके किनारे $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ हैं,$V = \frac{1}{6} |[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]|$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\vec{a} = \bar{i}+2 \bar{j}-3 \bar{k}$,$\vec{b} = 2 \bar{i}+\bar{j}-3 \bar{k}$,और $\vec{c} = 3 \bar{i}-\bar{j}+p \bar{k}$ है।
अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 2 & 1 & -3 \\ 3 & -1 & p \end{vmatrix}$ है।
सारणिक का विस्तार करने पर: $1(p-3) - 2(2p+9) - 3(-2-3) = p-3 - 4p-18 + 15 = -3p-6$.
दिया गया आयतन $V = 2$ है,इसलिए $\frac{1}{6} |-3p-6| = 2$.
$|-3p-6| = 12$.
इसका अर्थ है $-3p-6 = 12$ या $-3p-6 = -12$.
स्थिति $1$: $-3p = 18 \implies p = -6$.
स्थिति $2$: $-3p = -6 \implies p = 2$.
$p$ के मान $2$ और $-6$ हैं।
वह द्विघात समीकरण जिसके मूल $2$ और $-6$ हैं,$(x-2)(x+6) = 0$ है।
$x^2+6x-2x-12 = 0 \implies x^2+4x-12 = 0$.
यहाँ $\vec{a} = \bar{i}+2 \bar{j}-3 \bar{k}$,$\vec{b} = 2 \bar{i}+\bar{j}-3 \bar{k}$,और $\vec{c} = 3 \bar{i}-\bar{j}+p \bar{k}$ है।
अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 2 & 1 & -3 \\ 3 & -1 & p \end{vmatrix}$ है।
सारणिक का विस्तार करने पर: $1(p-3) - 2(2p+9) - 3(-2-3) = p-3 - 4p-18 + 15 = -3p-6$.
दिया गया आयतन $V = 2$ है,इसलिए $\frac{1}{6} |-3p-6| = 2$.
$|-3p-6| = 12$.
इसका अर्थ है $-3p-6 = 12$ या $-3p-6 = -12$.
स्थिति $1$: $-3p = 18 \implies p = -6$.
स्थिति $2$: $-3p = -6 \implies p = 2$.
$p$ के मान $2$ और $-6$ हैं।
वह द्विघात समीकरण जिसके मूल $2$ और $-6$ हैं,$(x-2)(x+6) = 0$ है।
$x^2+6x-2x-12 = 0 \implies x^2+4x-12 = 0$.
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MediumMCQ
$\vec{a}=2 \hat{i}-\hat{j}$,$\vec{b}=2 \hat{j}-\hat{k}$,$\vec{c}=2 \hat{k}-\hat{i}$ तीन सदिश हैं और $\vec{d}$,$\vec{c}$ के लंबवत एक इकाई सदिश है। यदि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{d}$ समतलीय सदिश हैं,तो $|\vec{d} \cdot \vec{b}|=$
A
$0$
B
$\frac{1}{\sqrt{14}}$
C
$\sqrt{\frac{2}{7}}$
D
$\sqrt{\frac{7}{2}}$
Solution
(D) दिया गया है $\vec{a}=2 \hat{i}-\hat{j}$,$\vec{b}=2 \hat{j}-\hat{k}$,$\vec{c}=-\hat{i}+2 \hat{k}$.
माना $\vec{d} = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$ एक इकाई सदिश है ताकि $x^2+y^2+z^2=1$.
चूंकि $\vec{d} \perp \vec{c}$,इसलिए $\vec{d} \cdot \vec{c} = 0 \Rightarrow -x + 2z = 0 \Rightarrow x = 2z$.
चूंकि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{d}$ समतलीय हैं,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य है: $[\vec{a} \vec{b} \vec{d}] = 0$.
$\begin{vmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ x & y & z \end{vmatrix} = 0$.
सारणिक का विस्तार करने पर: $2(2z + y) - (-1)(0 + x) = 0 \Rightarrow 4z + 2y + x = 0$.
$x = 2z$ रखने पर: $4z + 2y + 2z = 0 \Rightarrow 2y = -6z \Rightarrow y = -3z$.
अब,इकाई सदिश की शर्त $x^2+y^2+z^2=1$ का उपयोग करने पर: $(2z)^2 + (-3z)^2 + z^2 = 1 \Rightarrow 4z^2 + 9z^2 + z^2 = 1 \Rightarrow 14z^2 = 1 \Rightarrow z^2 = \frac{1}{14}$.
हमें $|\vec{d} \cdot \vec{b}| = |(x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}) \cdot (2 \hat{j} - \hat{k})| = |2y - z|$ ज्ञात करना है।
$y = -3z$ रखने पर: $|2(-3z) - z| = |-7z| = 7|z|$.
चूंकि $z^2 = \frac{1}{14}$,इसलिए $|z| = \frac{1}{\sqrt{14}}$.
अतः,$|\vec{d} \cdot \vec{b}| = 7 \times \frac{1}{\sqrt{14}} = \frac{7}{\sqrt{14}} = \sqrt{\frac{49}{14}} = \sqrt{\frac{7}{2}}$.
माना $\vec{d} = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$ एक इकाई सदिश है ताकि $x^2+y^2+z^2=1$.
चूंकि $\vec{d} \perp \vec{c}$,इसलिए $\vec{d} \cdot \vec{c} = 0 \Rightarrow -x + 2z = 0 \Rightarrow x = 2z$.
चूंकि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{d}$ समतलीय हैं,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य है: $[\vec{a} \vec{b} \vec{d}] = 0$.
$\begin{vmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ x & y & z \end{vmatrix} = 0$.
सारणिक का विस्तार करने पर: $2(2z + y) - (-1)(0 + x) = 0 \Rightarrow 4z + 2y + x = 0$.
$x = 2z$ रखने पर: $4z + 2y + 2z = 0 \Rightarrow 2y = -6z \Rightarrow y = -3z$.
अब,इकाई सदिश की शर्त $x^2+y^2+z^2=1$ का उपयोग करने पर: $(2z)^2 + (-3z)^2 + z^2 = 1 \Rightarrow 4z^2 + 9z^2 + z^2 = 1 \Rightarrow 14z^2 = 1 \Rightarrow z^2 = \frac{1}{14}$.
हमें $|\vec{d} \cdot \vec{b}| = |(x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}) \cdot (2 \hat{j} - \hat{k})| = |2y - z|$ ज्ञात करना है।
$y = -3z$ रखने पर: $|2(-3z) - z| = |-7z| = 7|z|$.
चूंकि $z^2 = \frac{1}{14}$,इसलिए $|z| = \frac{1}{\sqrt{14}}$.
अतः,$|\vec{d} \cdot \vec{b}| = 7 \times \frac{1}{\sqrt{14}} = \frac{7}{\sqrt{14}} = \sqrt{\frac{49}{14}} = \sqrt{\frac{7}{2}}$.
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EasyMCQ
मान लीजिए कि $\bar{a}=\lambda \bar{i}+3 \bar{j}+4 \bar{k}$,$\bar{b}=3 \bar{i}-\bar{j}+\lambda \bar{k}$ और $\bar{c}=\lambda \bar{i}+\bar{j}-3 \bar{k}$ किसी पूर्णांक $\lambda$ के लिए तीन सदिश हैं। यदि $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ को सह-आदि किनारों के रूप में लेने वाले समांतर षट्फलक का आयतन $61$ घन इकाई है,तो $\lambda$ के संभावित मानों की संख्या है
A
$4$
B
$3$
C
$2$
D
$1$
Solution
(D) सह-आदि किनारों $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ वाले समांतर षट्फलक का आयतन अदिश त्रिगुणन $|[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]|$ के निरपेक्ष मान द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $|[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]| = 61$.
$\begin{vmatrix} \lambda & 3 & 4 \\ 3 & -1 & \lambda \\ \lambda & 1 & -3 \end{vmatrix} = \pm 61$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$\lambda(3 - \lambda) - 3(-9 - \lambda^2) + 4(3 + \lambda) = \pm 61$.
$3\lambda - \lambda^2 + 27 + 3\lambda^2 + 12 + 4\lambda = \pm 61$.
$2\lambda^2 + 7\lambda + 39 = \pm 61$.
स्थिति $1$: $2\lambda^2 + 7\lambda + 39 = 61 \Rightarrow 2\lambda^2 + 7\lambda - 22 = 0$.
द्विघाती सूत्र का उपयोग करने पर: $\lambda = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 4(2)(-22)}}{2(2)} = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 176}}{4} = \frac{-7 \pm \sqrt{225}}{4} = \frac{-7 \pm 15}{4}$.
$\lambda = \frac{8}{4} = 2$ या $\lambda = \frac{-22}{4} = -5.5$.
चूंकि $\lambda$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $\lambda = 2$ एक हल है।
स्थिति $2$: $2\lambda^2 + 7\lambda + 39 = -61 \Rightarrow 2\lambda^2 + 7\lambda + 100 = 0$.
विविक्तकर $D = 7^2 - 4(2)(100) = 49 - 800 = -751 < 0$. इस स्थिति के लिए कोई वास्तविक हल मौजूद नहीं है।
अतः,$\lambda$ के लिए केवल एक संभावित पूर्णांक मान $2$ है। संभावित मानों की संख्या $1$ है।
दिया गया है $|[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]| = 61$.
$\begin{vmatrix} \lambda & 3 & 4 \\ 3 & -1 & \lambda \\ \lambda & 1 & -3 \end{vmatrix} = \pm 61$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$\lambda(3 - \lambda) - 3(-9 - \lambda^2) + 4(3 + \lambda) = \pm 61$.
$3\lambda - \lambda^2 + 27 + 3\lambda^2 + 12 + 4\lambda = \pm 61$.
$2\lambda^2 + 7\lambda + 39 = \pm 61$.
स्थिति $1$: $2\lambda^2 + 7\lambda + 39 = 61 \Rightarrow 2\lambda^2 + 7\lambda - 22 = 0$.
द्विघाती सूत्र का उपयोग करने पर: $\lambda = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 4(2)(-22)}}{2(2)} = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 176}}{4} = \frac{-7 \pm \sqrt{225}}{4} = \frac{-7 \pm 15}{4}$.
$\lambda = \frac{8}{4} = 2$ या $\lambda = \frac{-22}{4} = -5.5$.
चूंकि $\lambda$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $\lambda = 2$ एक हल है।
स्थिति $2$: $2\lambda^2 + 7\lambda + 39 = -61 \Rightarrow 2\lambda^2 + 7\lambda + 100 = 0$.
विविक्तकर $D = 7^2 - 4(2)(100) = 49 - 800 = -751 < 0$. इस स्थिति के लिए कोई वास्तविक हल मौजूद नहीं है।
अतः,$\lambda$ के लिए केवल एक संभावित पूर्णांक मान $2$ है। संभावित मानों की संख्या $1$ है।
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EasyMCQ
मान लीजिए $a=\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$ और $b=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ है। यदि $p$ एक ऐसा इकाई सदिश है कि $[a b p]$ अधिकतम है,तो $p=$
A
$\frac{1}{\sqrt{6}}(\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k})$
B
$\frac{1}{\sqrt{3}}(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})$
C
$\frac{1}{\sqrt{14}}(3 \hat{i}-2 \hat{j}-\hat{k})$
D
$\frac{1}{\sqrt{14}}(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k})$
Solution
(C) दिए गए सदिश $a=\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$ और $b=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,हम सदिश गुणनफल $a \times b$ की गणना करते हैं:
$a \times b = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 - (-1)) - \hat{j}(1 - (-1)) + \hat{k}(1 - 2) = 3\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}$.
अदिश त्रिक गुणनफल को $[a b p] = p \cdot (a \times b)$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
चूंकि $p$ एक इकाई सदिश है,$|p| = 1$ है। मान लीजिए $p$ और $(a \times b)$ के बीच का कोण $\theta$ है।
तब $[a b p] = |p| |a \times b| \cos \theta = |a \times b| \cos \theta$ होगा।
यह व्यंजक तब अधिकतम होता है जब $\cos \theta = 1$ हो,जिसका अर्थ है कि $p$ को $(a \times b)$ की दिशा में होना चाहिए।
अतः,$p = \frac{a \times b}{|a \times b|} = \frac{3\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{3^2 + (-2)^2 + (-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{14}}(3\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k})$.
सबसे पहले,हम सदिश गुणनफल $a \times b$ की गणना करते हैं:
$a \times b = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 - (-1)) - \hat{j}(1 - (-1)) + \hat{k}(1 - 2) = 3\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}$.
अदिश त्रिक गुणनफल को $[a b p] = p \cdot (a \times b)$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
चूंकि $p$ एक इकाई सदिश है,$|p| = 1$ है। मान लीजिए $p$ और $(a \times b)$ के बीच का कोण $\theta$ है।
तब $[a b p] = |p| |a \times b| \cos \theta = |a \times b| \cos \theta$ होगा।
यह व्यंजक तब अधिकतम होता है जब $\cos \theta = 1$ हो,जिसका अर्थ है कि $p$ को $(a \times b)$ की दिशा में होना चाहिए।
अतः,$p = \frac{a \times b}{|a \times b|} = \frac{3\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{3^2 + (-2)^2 + (-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{14}}(3\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k})$.
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EasyMCQ
मान लीजिए $a=\hat{i}+\hat{j}$,$b=\hat{j}+\hat{k}$ और $c=\hat{i}+\hat{k}$ है। यदि $d$ एक ऐसा इकाई सदिश है कि $a \cdot d=0$ और $b \cdot(c \times d)=0$ है,तो $d=$
A
$\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{i}+\hat{j})$
B
$\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{i}-\hat{j})$
C
$\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i}+\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j}+\frac{1}{\sqrt{3}} \hat{k}$
D
$\pm\left(\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j}+\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{k}\right)$
Solution
(B) मान लीजिए $d = d_1 \hat{i} + d_2 \hat{j} + d_3 \hat{k}$ है।
चूंकि $d$ एक इकाई सदिश है,$d_1^2 + d_2^2 + d_3^2 = 1$ $(i)$।
दिया गया है $a \cdot d = 0$,जहाँ $a = \hat{i} + \hat{j}$,अतः $(\hat{i} + \hat{j}) \cdot (d_1 \hat{i} + d_2 \hat{j} + d_3 \hat{k}) = 0$,जिसका अर्थ है $d_1 + d_2 = 0$,अर्थात $d_2 = -d_1$ (ii)।
दिया गया है $b \cdot (c \times d) = 0$,जो अदिश त्रिक गुणनफल $[b, c, d] = 0$ है।
सारणिक की गणना करने पर:
$[b, c, d] = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ d_1 & d_2 & d_3 \end{vmatrix} = 0$।
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$0(0 - d_2) - 1(d_3 - d_1) + 1(d_2 - 0) = 0$।
$-d_3 + d_1 + d_2 = 0$।
इस समीकरण में $d_2 = -d_1$ रखने पर,हमें $-d_3 + d_1 - d_1 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $d_3 = 0$ (iii)।
समीकरण (ii) और (iii) को $(i)$ में रखने पर:
$d_1^2 + (-d_1)^2 + 0^2 = 1 \Rightarrow 2d_1^2 = 1 \Rightarrow d_1 = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$।
अतः,$d_1 = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $d_2 = \mp \frac{1}{\sqrt{2}}$।
इसलिए,$d = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{i} - \hat{j})$।
चूंकि $d$ एक इकाई सदिश है,$d_1^2 + d_2^2 + d_3^2 = 1$ $(i)$।
दिया गया है $a \cdot d = 0$,जहाँ $a = \hat{i} + \hat{j}$,अतः $(\hat{i} + \hat{j}) \cdot (d_1 \hat{i} + d_2 \hat{j} + d_3 \hat{k}) = 0$,जिसका अर्थ है $d_1 + d_2 = 0$,अर्थात $d_2 = -d_1$ (ii)।
दिया गया है $b \cdot (c \times d) = 0$,जो अदिश त्रिक गुणनफल $[b, c, d] = 0$ है।
सारणिक की गणना करने पर:
$[b, c, d] = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ d_1 & d_2 & d_3 \end{vmatrix} = 0$।
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$0(0 - d_2) - 1(d_3 - d_1) + 1(d_2 - 0) = 0$।
$-d_3 + d_1 + d_2 = 0$।
इस समीकरण में $d_2 = -d_1$ रखने पर,हमें $-d_3 + d_1 - d_1 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $d_3 = 0$ (iii)।
समीकरण (ii) और (iii) को $(i)$ में रखने पर:
$d_1^2 + (-d_1)^2 + 0^2 = 1 \Rightarrow 2d_1^2 = 1 \Rightarrow d_1 = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$।
अतः,$d_1 = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $d_2 = \mp \frac{1}{\sqrt{2}}$।
इसलिए,$d = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{i} - \hat{j})$।
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EasyMCQ
यदि $a=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$ है,तो $(a \times \hat{i}) \cdot(\hat{i}+\hat{j})+(a \times \hat{j}) \cdot(\hat{j}+\hat{k})+(a \times \hat{k}) \cdot(\hat{k}+\hat{i})=$
A
$x-y+z$
B
$x+y+z$
C
$x+y-z$
D
$-x+y+z$
Solution
(B) दिया गया है $a = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$.
हमें व्यंजक $E = (a \times \hat{i}) \cdot (\hat{i} + \hat{j}) + (a \times \hat{j}) \cdot (\hat{j} + \hat{k}) + (a \times \hat{k}) \cdot (\hat{k} + \hat{i})$ का मान ज्ञात करना है।
अदिश त्रिक गुणन के गुण $[a, b, c] = (a \times b) \cdot c$ का उपयोग करते हुए,हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$E = [a, \hat{i}, \hat{i}] + [a, \hat{i}, \hat{j}] + [a, \hat{j}, \hat{j}] + [a, \hat{j}, \hat{k}] + [a, \hat{k}, \hat{k}] + [a, \hat{k}, \hat{i}]$.
चूंकि अदिश त्रिक गुणन शून्य होता है यदि कोई भी दो सदिश समान हों,इसलिए $[a, \hat{i}, \hat{i}] = [a, \hat{j}, \hat{j}] = [a, \hat{k}, \hat{k}] = 0$.
अतः,$E = [a, \hat{i}, \hat{j}] + [a, \hat{j}, \hat{k}] + [a, \hat{k}, \hat{i}]$.
चक्रीय गुण $[a, b, c] = a \cdot (b \times c)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$E = a \cdot (\hat{i} \times \hat{j}) + a \cdot (\hat{j} \times \hat{k}) + a \cdot (\hat{k} \times \hat{i})$.
चूंकि $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,$\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$,और $\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}$,इसलिए:
$E = a \cdot \hat{k} + a \cdot \hat{i} + a \cdot \hat{j} = a \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$.
$a = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$E = (x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = x + y + z$.
हमें व्यंजक $E = (a \times \hat{i}) \cdot (\hat{i} + \hat{j}) + (a \times \hat{j}) \cdot (\hat{j} + \hat{k}) + (a \times \hat{k}) \cdot (\hat{k} + \hat{i})$ का मान ज्ञात करना है।
अदिश त्रिक गुणन के गुण $[a, b, c] = (a \times b) \cdot c$ का उपयोग करते हुए,हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$E = [a, \hat{i}, \hat{i}] + [a, \hat{i}, \hat{j}] + [a, \hat{j}, \hat{j}] + [a, \hat{j}, \hat{k}] + [a, \hat{k}, \hat{k}] + [a, \hat{k}, \hat{i}]$.
चूंकि अदिश त्रिक गुणन शून्य होता है यदि कोई भी दो सदिश समान हों,इसलिए $[a, \hat{i}, \hat{i}] = [a, \hat{j}, \hat{j}] = [a, \hat{k}, \hat{k}] = 0$.
अतः,$E = [a, \hat{i}, \hat{j}] + [a, \hat{j}, \hat{k}] + [a, \hat{k}, \hat{i}]$.
चक्रीय गुण $[a, b, c] = a \cdot (b \times c)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$E = a \cdot (\hat{i} \times \hat{j}) + a \cdot (\hat{j} \times \hat{k}) + a \cdot (\hat{k} \times \hat{i})$.
चूंकि $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,$\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$,और $\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}$,इसलिए:
$E = a \cdot \hat{k} + a \cdot \hat{i} + a \cdot \hat{j} = a \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$.
$a = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$E = (x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = x + y + z$.
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EasyMCQ
$a$, $b$ और $c$ दोनों के लंबवत है। $b$ और $c$ के बीच का कोण $\frac{2 \pi}{3}$ है। यदि $|a|=2$, $|b|=3$, और $|c|=4$ है, तो $c \cdot (a \times b)$ का मान ज्ञात कीजिए। ($\sqrt{3}$ में)
A
$18$
B
$12$
C
$8$
D
$6$
Solution
(B) दिया गया है कि $a$, $b$ और $c$ दोनों के लंबवत है, इसलिए $a$, सदिश $b \times c$ के समानांतर है। अतः, हम $a = k(b \times c)$ लिख सकते हैं।
अदिश त्रिक गुणनफल $c \cdot (a \times b)$ को चक्रीय क्रम के गुण का उपयोग करके फिर से लिखा जा सकता है: $c \cdot (a \times b) = a \cdot (b \times c)$।
चूंकि $a$, $b \times c$ के समानांतर है, $a$ और $b \times c$ के बीच का कोण $0$ या $\pi$ है। $|a|=2$ दिया गया है, इसलिए $a = \pm 2 \frac{b \times c}{|b \times c|}$।
सबसे पहले, क्रॉस प्रोडक्ट $b \times c$ का परिमाण ज्ञात करें:
$|b \times c| = |b| |c| \sin\left(\frac{2 \pi}{3}\right) = 3 \times 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \sqrt{3}$।
अब, इस मान को अदिश त्रिक गुणनफल के समीकरण में रखने पर:
$c \cdot (a \times b) = a \cdot (b \times c) = |a| |b \times c| \cos(0) = 2 \times 6 \sqrt{3} = 12 \sqrt{3}$।
अदिश त्रिक गुणनफल $c \cdot (a \times b)$ को चक्रीय क्रम के गुण का उपयोग करके फिर से लिखा जा सकता है: $c \cdot (a \times b) = a \cdot (b \times c)$।
चूंकि $a$, $b \times c$ के समानांतर है, $a$ और $b \times c$ के बीच का कोण $0$ या $\pi$ है। $|a|=2$ दिया गया है, इसलिए $a = \pm 2 \frac{b \times c}{|b \times c|}$।
सबसे पहले, क्रॉस प्रोडक्ट $b \times c$ का परिमाण ज्ञात करें:
$|b \times c| = |b| |c| \sin\left(\frac{2 \pi}{3}\right) = 3 \times 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \sqrt{3}$।
अब, इस मान को अदिश त्रिक गुणनफल के समीकरण में रखने पर:
$c \cdot (a \times b) = a \cdot (b \times c) = |a| |b \times c| \cos(0) = 2 \times 6 \sqrt{3} = 12 \sqrt{3}$।
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EasyMCQ
यदि $x, y$ और $z$ शून्येतर वास्तविक संख्याएँ हैं और $\vec{a}=x \hat{i}+2 \hat{j}, \vec{b}=y \hat{j}+3 \hat{k}$ तथा $\vec{c}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$ इस प्रकार हैं कि $\vec{a} \times \vec{b}=z \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}$,तो $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$3$
B
$10$
C
$9$
D
$6$
Solution
(C) दिया गया है,$\vec{a}=x \hat{i}+2 \hat{j}, \vec{b}=y \hat{j}+3 \hat{k}$ और $\vec{c}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$.
सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$ इस प्रकार है:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ x & 2 & 0 \\ 0 & y & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-0) - \hat{j}(3x-0) + \hat{k}(xy-0) = 6\hat{i} - 3x\hat{j} + xy\hat{k}$.
इसे दिए गए $\vec{a} \times \vec{b} = z\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$ से तुलना करने पर:
$6 = z$,$-3x = -3 \Rightarrow x = 1$,और $xy = 1$.
चूंकि $x=1$,इसलिए $1 \cdot y = 1 \Rightarrow y = 1$.
अतः,$\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j}$,$\vec{b} = \hat{j} + 3\hat{k}$,और $\vec{c} = \hat{i} + \hat{j} + 6\hat{k}$.
अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$,$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ के घटकों का सारणिक है:
$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 6 \end{vmatrix} = 1(6-3) - 2(0-3) + 0(0-1) = 3 + 6 = 9$.
सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$ इस प्रकार है:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ x & 2 & 0 \\ 0 & y & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-0) - \hat{j}(3x-0) + \hat{k}(xy-0) = 6\hat{i} - 3x\hat{j} + xy\hat{k}$.
इसे दिए गए $\vec{a} \times \vec{b} = z\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$ से तुलना करने पर:
$6 = z$,$-3x = -3 \Rightarrow x = 1$,और $xy = 1$.
चूंकि $x=1$,इसलिए $1 \cdot y = 1 \Rightarrow y = 1$.
अतः,$\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j}$,$\vec{b} = \hat{j} + 3\hat{k}$,और $\vec{c} = \hat{i} + \hat{j} + 6\hat{k}$.
अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$,$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ के घटकों का सारणिक है:
$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 6 \end{vmatrix} = 1(6-3) - 2(0-3) + 0(0-1) = 3 + 6 = 9$.
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MediumMCQ
यदि $4 \hat{i} + 5 \hat{j} + \hat{k}$,$-\hat{j} + \hat{k}$ और $3 \hat{i} + 9 \hat{j} + p \hat{k}$ किनारों वाले समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन $34$ घन इकाई है,तो $p$ का मान ज्ञात कीजिए:
A
$4$
B
$-13$
C
$13$
D
$6$
Solution
(B) समांतर षट्फलक का आयतन उसके तीन किनारों $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ के अदिश त्रिक गुणन (scalar triple product) के मापांक के बराबर होता है,अर्थात $|[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]|$.
यहाँ किनारे $\vec{a} = 4 \hat{i} + 5 \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = 0 \hat{i} - 1 \hat{j} + 1 \hat{k}$,और $\vec{c} = 3 \hat{i} + 9 \hat{j} + p \hat{k}$ हैं।
आयतन $= |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| = 34$.
$\left|\begin{array}{ccc} 4 & 5 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 3 & 9 & p \end{array}\right| = \pm 34$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$4(-p - 9) - 5(0 - 3) + 1(0 - (-3)) = \pm 34$.
$4(-p - 9) - 5(-3) + 1(3) = \pm 34$.
$-4p - 36 + 15 + 3 = \pm 34$.
$-4p - 18 = \pm 34$.
स्थिति $1$: $-4p - 18 = 34 \Rightarrow -4p = 52 \Rightarrow p = -13$.
स्थिति $2$: $-4p - 18 = -34 \Rightarrow -4p = -16 \Rightarrow p = 4$.
चूंकि विकल्पों में $-13$ दिया गया है,इसलिए सही उत्तर $-13$ है।
यहाँ किनारे $\vec{a} = 4 \hat{i} + 5 \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = 0 \hat{i} - 1 \hat{j} + 1 \hat{k}$,और $\vec{c} = 3 \hat{i} + 9 \hat{j} + p \hat{k}$ हैं।
आयतन $= |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| = 34$.
$\left|\begin{array}{ccc} 4 & 5 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 3 & 9 & p \end{array}\right| = \pm 34$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$4(-p - 9) - 5(0 - 3) + 1(0 - (-3)) = \pm 34$.
$4(-p - 9) - 5(-3) + 1(3) = \pm 34$.
$-4p - 36 + 15 + 3 = \pm 34$.
$-4p - 18 = \pm 34$.
स्थिति $1$: $-4p - 18 = 34 \Rightarrow -4p = 52 \Rightarrow p = -13$.
स्थिति $2$: $-4p - 18 = -34 \Rightarrow -4p = -16 \Rightarrow p = 4$.
चूंकि विकल्पों में $-13$ दिया गया है,इसलिए सही उत्तर $-13$ है।
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EasyMCQ
सदिश $c \cdot (b+c) \times (a+b+c)$ किसके बराबर है?
A
$c \cdot (b \times a)$
B
$0$
C
$c \cdot (a \times b)$
D
$c \cdot (a \times c)$
Solution
(A) हमें व्यंजक $c \cdot ((b+c) \times (a+b+c))$ दिया गया है।
क्रॉस प्रोडक्ट के वितरण गुणधर्म का उपयोग करते हुए:
$(b+c) \times (a+b+c) = b \times a + b \times b + b \times c + c \times a + c \times b + c \times c$
चूंकि किसी भी सदिश का स्वयं के साथ क्रॉस प्रोडक्ट शून्य होता है ($b \times b = 0$ और $c \times c = 0$),व्यंजक सरल होकर निम्न हो जाता है:
$b \times a + b \times c + c \times a + c \times b$
अब,$c$ के साथ डॉट प्रोडक्ट लेने पर:
$c \cdot (b \times a + b \times c + c \times a + c \times b)$
$= c \cdot (b \times a) + c \cdot (b \times c) + c \cdot (c \times a) + c \cdot (c \times b)$
स्केलर ट्रिपल प्रोडक्ट $[x \ y \ z] = x \cdot (y \times z)$ के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,जहाँ यदि कोई भी दो सदिश समान हों तो गुणनफल शून्य होता है:
$= [c \ b \ a] + [c \ b \ c] + [c \ c \ a] + [c \ c \ b]$
$= [c \ b \ a] + 0 + 0 + 0$
$= c \cdot (b \times a)$
अतः,सही विकल्प $A$ है.
क्रॉस प्रोडक्ट के वितरण गुणधर्म का उपयोग करते हुए:
$(b+c) \times (a+b+c) = b \times a + b \times b + b \times c + c \times a + c \times b + c \times c$
चूंकि किसी भी सदिश का स्वयं के साथ क्रॉस प्रोडक्ट शून्य होता है ($b \times b = 0$ और $c \times c = 0$),व्यंजक सरल होकर निम्न हो जाता है:
$b \times a + b \times c + c \times a + c \times b$
अब,$c$ के साथ डॉट प्रोडक्ट लेने पर:
$c \cdot (b \times a + b \times c + c \times a + c \times b)$
$= c \cdot (b \times a) + c \cdot (b \times c) + c \cdot (c \times a) + c \cdot (c \times b)$
स्केलर ट्रिपल प्रोडक्ट $[x \ y \ z] = x \cdot (y \times z)$ के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,जहाँ यदि कोई भी दो सदिश समान हों तो गुणनफल शून्य होता है:
$= [c \ b \ a] + [c \ b \ c] + [c \ c \ a] + [c \ c \ b]$
$= [c \ b \ a] + 0 + 0 + 0$
$= c \cdot (b \times a)$
अतः,सही विकल्प $A$ है.
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MediumMCQ
एक चतुष्फलक का आयतन,जिसकी कोरें $\hat{i}-\lambda \hat{j}+\hat{k}$,$\lambda \hat{i}-\hat{j}-\hat{k}$ और $\hat{i}+\hat{j}+\lambda \hat{k}$ हैं,$2$ है। यदि $\lambda$ एक पूर्णांक है,तो $|\lambda \hat{i}-3 \lambda \hat{j}+3 \hat{k}|=$
A
$3$
B
$\sqrt{19}$
C
$7$
D
$13$
Solution
(C) एक चतुष्फलक का आयतन जिसकी कोरें $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ हैं,$V = \frac{1}{6} |[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]|$ द्वारा दिया जाता है।
दी गई कोरें $\vec{a} = \hat{i}-\lambda \hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b} = \lambda \hat{i}-\hat{j}-\hat{k}$,और $\vec{c} = \hat{i}+\hat{j}+\lambda \hat{k}$ हैं।
आयतन $2$ है,इसलिए $\frac{1}{6} |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| = 2$,जिसका अर्थ है कि $|\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| = 12$ है।
अदिश त्रिक गुणनफल सारणिक द्वारा दिया जाता है:
$|\det \begin{bmatrix} 1 & -\lambda & 1 \\ \lambda & -1 & -1 \\ 1 & 1 & \lambda \end{bmatrix}| = 12$.
सारणिक का विस्तार करने पर:
$1(-\lambda - (-1)) -(-\lambda)(\lambda^2 - (-1)) + 1(\lambda - (-1)) = \pm 12$.
$(1-\lambda) + \lambda(\lambda^2+1) + (\lambda+1) = \pm 12$.
$2 + \lambda^3 + \lambda = \pm 12$.
स्थिति $1$: $\lambda^3 + \lambda + 2 = 12 \Rightarrow \lambda^3 + \lambda - 10 = 0$. $\lambda = 2$ के लिए,$8 + 2 - 10 = 0$ है। अतः $\lambda = 2$ एक हल है।
स्थिति $2$: $\lambda^3 + \lambda + 2 = -12 \Rightarrow \lambda^3 + \lambda + 14 = 0$. इस समीकरण के लिए कोई पूर्णांक हल मौजूद नहीं है।
अतः,$\lambda = 2$ है।
हमें $|\lambda \hat{i} - 3\lambda \hat{j} + 3\hat{k}| = |2\hat{i} - 6\hat{j} + 3\hat{k}|$ ज्ञात करना है।
परिमाण $= \sqrt{2^2 + (-6)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 36 + 9} = \sqrt{49} = 7$।
दी गई कोरें $\vec{a} = \hat{i}-\lambda \hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b} = \lambda \hat{i}-\hat{j}-\hat{k}$,और $\vec{c} = \hat{i}+\hat{j}+\lambda \hat{k}$ हैं।
आयतन $2$ है,इसलिए $\frac{1}{6} |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| = 2$,जिसका अर्थ है कि $|\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| = 12$ है।
अदिश त्रिक गुणनफल सारणिक द्वारा दिया जाता है:
$|\det \begin{bmatrix} 1 & -\lambda & 1 \\ \lambda & -1 & -1 \\ 1 & 1 & \lambda \end{bmatrix}| = 12$.
सारणिक का विस्तार करने पर:
$1(-\lambda - (-1)) -(-\lambda)(\lambda^2 - (-1)) + 1(\lambda - (-1)) = \pm 12$.
$(1-\lambda) + \lambda(\lambda^2+1) + (\lambda+1) = \pm 12$.
$2 + \lambda^3 + \lambda = \pm 12$.
स्थिति $1$: $\lambda^3 + \lambda + 2 = 12 \Rightarrow \lambda^3 + \lambda - 10 = 0$. $\lambda = 2$ के लिए,$8 + 2 - 10 = 0$ है। अतः $\lambda = 2$ एक हल है।
स्थिति $2$: $\lambda^3 + \lambda + 2 = -12 \Rightarrow \lambda^3 + \lambda + 14 = 0$. इस समीकरण के लिए कोई पूर्णांक हल मौजूद नहीं है।
अतः,$\lambda = 2$ है।
हमें $|\lambda \hat{i} - 3\lambda \hat{j} + 3\hat{k}| = |2\hat{i} - 6\hat{j} + 3\hat{k}|$ ज्ञात करना है।
परिमाण $= \sqrt{2^2 + (-6)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 36 + 9} = \sqrt{49} = 7$।
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EasyMCQ
माना कि $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b}=\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{c}=\hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k}$,और $\vec{d}=2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ चार सदिश हैं। माना कि $l=\vec{b} \cdot \vec{c}$ और $m=\vec{b} \cdot \vec{a}$ है। तो अदिश त्रिक गुणन $[(m\vec{b}+l\vec{a}) \quad \vec{b} \quad \vec{d}]$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$79$
B
$-63$
C
$0$
D
$1$
Solution
(B) दिए गए सदिश $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b}=\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{c}=\hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k}$,और $\vec{d}=2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,$l = \vec{b} \cdot \vec{c} = (1)(1) + (-2)(3) + (1)(-2) = 1 - 6 - 2 = -7$ की गणना करें।
इसके बाद,$m = \vec{b} \cdot \vec{a} = (1)(1) + (-2)(1) + (1)(1) = 1 - 2 + 1 = 0$ की गणना करें।
हमें अदिश त्रिक गुणन $[(m\vec{b}+l\vec{a}) \quad \vec{b} \quad \vec{d}]$ का मान ज्ञात करना है।
$m=0$ और $l=-7$ रखने पर,व्यंजक $[-7\vec{a} \quad \vec{b} \quad \vec{d}]$ बन जाता है।
अदिश त्रिक गुणन के गुणों के अनुसार,यह $-7 [\vec{a} \quad \vec{b} \quad \vec{d}]$ के बराबर है।
अब,अदिश त्रिक गुणन $[\vec{a} \quad \vec{b} \quad \vec{d}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{d})$ की गणना करें।
$\vec{b} \times \vec{d} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-1) - \hat{j}(-1-2) + \hat{k}(1+4) = \hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$.
अतः,$\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{d}) = (\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) \cdot (\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}) = 1(1) + 1(3) + 1(5) = 1 + 3 + 5 = 9$.
अंत में,मान $-7 \times 9 = -63$ प्राप्त होता है।
सबसे पहले,$l = \vec{b} \cdot \vec{c} = (1)(1) + (-2)(3) + (1)(-2) = 1 - 6 - 2 = -7$ की गणना करें।
इसके बाद,$m = \vec{b} \cdot \vec{a} = (1)(1) + (-2)(1) + (1)(1) = 1 - 2 + 1 = 0$ की गणना करें।
हमें अदिश त्रिक गुणन $[(m\vec{b}+l\vec{a}) \quad \vec{b} \quad \vec{d}]$ का मान ज्ञात करना है।
$m=0$ और $l=-7$ रखने पर,व्यंजक $[-7\vec{a} \quad \vec{b} \quad \vec{d}]$ बन जाता है।
अदिश त्रिक गुणन के गुणों के अनुसार,यह $-7 [\vec{a} \quad \vec{b} \quad \vec{d}]$ के बराबर है।
अब,अदिश त्रिक गुणन $[\vec{a} \quad \vec{b} \quad \vec{d}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{d})$ की गणना करें।
$\vec{b} \times \vec{d} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-1) - \hat{j}(-1-2) + \hat{k}(1+4) = \hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$.
अतः,$\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{d}) = (\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) \cdot (\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}) = 1(1) + 1(3) + 1(5) = 1 + 3 + 5 = 9$.
अंत में,मान $-7 \times 9 = -63$ प्राप्त होता है।
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EasyMCQ
$(\vec{a}+2 \vec{b}-\vec{c}) \cdot \{(\vec{a}-\vec{b}) \times (\vec{a}-\vec{b}-\vec{c})\} =$
A
$2[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$
B
$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$
C
$3[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$
D
$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]^2$
Solution
(C) माना दिया गया व्यंजक $E = (\vec{a}+2 \vec{b}-\vec{c}) \cdot \{(\vec{a}-\vec{b}) \times (\vec{a}-\vec{b}-\vec{c})\}$ है।
सबसे पहले,क्रॉस प्रोडक्ट पद को सरल करें: $(\vec{a}-\vec{b}) \times (\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}) = (\vec{a}-\vec{b}) \times \vec{a} - (\vec{a}-\vec{b}) \times \vec{b} - (\vec{a}-\vec{b}) \times \vec{c}$.
$= (\vec{a} \times \vec{a} - \vec{b} \times \vec{a}) - (\vec{a} \times \vec{b} - \vec{b} \times \vec{b}) - (\vec{a} \times \vec{c} - \vec{b} \times \vec{c})$.
चूँकि $\vec{a} \times \vec{a} = 0$ और $\vec{b} \times \vec{b} = 0$,यह $0 + \vec{a} \times \vec{b} - \vec{a} \times \vec{b} + 0 - \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c} = \vec{b} \times \vec{c} - \vec{a} \times \vec{c}$ हो जाता है।
अब,इस मान को व्यंजक में वापस रखें: $E = (\vec{a}+2 \vec{b}-\vec{c}) \cdot (\vec{b} \times \vec{c} - \vec{a} \times \vec{c})$.
$= \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) - \vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{c}) + 2 \vec{b} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) - 2 \vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{c}) - \vec{c} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) + \vec{c} \cdot (\vec{a} \times \vec{c})$.
स्केलर ट्रिपल प्रोडक्ट के गुणों का उपयोग करते हुए,$\vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{c}) = 0$,$\vec{b} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$,$\vec{c} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$ और $\vec{c} \cdot (\vec{a} \times \vec{c}) = 0$ होता है।
अतः,$E = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] - 2[\vec{b} \vec{a} \vec{c}] = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] + 2[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 3[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$.
सबसे पहले,क्रॉस प्रोडक्ट पद को सरल करें: $(\vec{a}-\vec{b}) \times (\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}) = (\vec{a}-\vec{b}) \times \vec{a} - (\vec{a}-\vec{b}) \times \vec{b} - (\vec{a}-\vec{b}) \times \vec{c}$.
$= (\vec{a} \times \vec{a} - \vec{b} \times \vec{a}) - (\vec{a} \times \vec{b} - \vec{b} \times \vec{b}) - (\vec{a} \times \vec{c} - \vec{b} \times \vec{c})$.
चूँकि $\vec{a} \times \vec{a} = 0$ और $\vec{b} \times \vec{b} = 0$,यह $0 + \vec{a} \times \vec{b} - \vec{a} \times \vec{b} + 0 - \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c} = \vec{b} \times \vec{c} - \vec{a} \times \vec{c}$ हो जाता है।
अब,इस मान को व्यंजक में वापस रखें: $E = (\vec{a}+2 \vec{b}-\vec{c}) \cdot (\vec{b} \times \vec{c} - \vec{a} \times \vec{c})$.
$= \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) - \vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{c}) + 2 \vec{b} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) - 2 \vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{c}) - \vec{c} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) + \vec{c} \cdot (\vec{a} \times \vec{c})$.
स्केलर ट्रिपल प्रोडक्ट के गुणों का उपयोग करते हुए,$\vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{c}) = 0$,$\vec{b} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$,$\vec{c} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$ और $\vec{c} \cdot (\vec{a} \times \vec{c}) = 0$ होता है।
अतः,$E = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] - 2[\vec{b} \vec{a} \vec{c}] = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] + 2[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 3[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$.
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EasyMCQ
यदि $\vec{r}$ एक सदिश है जो सदिशों $2 \hat{i}+3 \hat{j}-4 \hat{k}$ और $3 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ दोनों के लंबवत है और $\vec{r} \cdot(3 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k})=5$ को संतुष्ट करता है,तो $|\vec{r}|=$
A
$\sqrt{366}$
B
$\sqrt{222}$
C
$\sqrt{318}$
D
$\sqrt{246}$
Solution
(C) चूंकि $\vec{r}$,$\vec{a}=2 \hat{i}+3 \hat{j}-4 \hat{k}$ और $\vec{b}=3 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ दोनों के लंबवत है,इसलिए $\vec{r}$ उनके सदिश गुणनफल के समानांतर होना चाहिए: $\vec{r}=\lambda(\vec{a} \times \vec{b})$.
दिया गया है $\vec{r} \cdot(3 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k})=5$,मान लीजिए $\vec{c}=3 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k}$. तब $\lambda(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = 5$,जो $\lambda[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]=5$ है।
अदिश त्रिगुण गुणनफल की गणना करने पर: $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \begin{vmatrix} 2 & 3 & -4 \\ 3 & -1 & 1 \\ 3 & -3 & 4 \end{vmatrix} = 2(-4+3) - 3(12-3) - 4(-9+3) = 2(-1) - 3(9) - 4(-6) = -2 - 27 + 24 = -5$.
अतः,$\lambda(-5) = 5 \Rightarrow \lambda = -1$.
अब,$\vec{r} = -(\vec{a} \times \vec{b}) = -\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -4 \\ 3 & -1 & 1 \end{vmatrix} = -[\hat{i}(3-4) - \hat{j}(2+12) + \hat{k}(-2-9)] = -[-\hat{i} - 14\hat{j} - 11\hat{k}] = \hat{i} + 14\hat{j} + 11\hat{k}$.
अंत में,$|\vec{r}| = \sqrt{1^2 + 14^2 + 11^2} = \sqrt{1 + 196 + 121} = \sqrt{318}$.
दिया गया है $\vec{r} \cdot(3 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k})=5$,मान लीजिए $\vec{c}=3 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k}$. तब $\lambda(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = 5$,जो $\lambda[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]=5$ है।
अदिश त्रिगुण गुणनफल की गणना करने पर: $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \begin{vmatrix} 2 & 3 & -4 \\ 3 & -1 & 1 \\ 3 & -3 & 4 \end{vmatrix} = 2(-4+3) - 3(12-3) - 4(-9+3) = 2(-1) - 3(9) - 4(-6) = -2 - 27 + 24 = -5$.
अतः,$\lambda(-5) = 5 \Rightarrow \lambda = -1$.
अब,$\vec{r} = -(\vec{a} \times \vec{b}) = -\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -4 \\ 3 & -1 & 1 \end{vmatrix} = -[\hat{i}(3-4) - \hat{j}(2+12) + \hat{k}(-2-9)] = -[-\hat{i} - 14\hat{j} - 11\hat{k}] = \hat{i} + 14\hat{j} + 11\hat{k}$.
अंत में,$|\vec{r}| = \sqrt{1^2 + 14^2 + 11^2} = \sqrt{1 + 196 + 121} = \sqrt{318}$.
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View SolutionVector Algebra — Scalar triple product and their applications · Frequently Asked Questions
1Are these Vector Algebra questions useful for JEE and NEET?
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3How do I generate a question paper from this subtopic?
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