Scalar triple product and their applications Questions in Hindi

(B) दिए गए सदिश $\vec{u} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$,$\vec{v} = b\hat{i} + c\hat{j} + a\hat{k}$,और $\vec{w} = c\hat{i} + a\hat{j} + b\hat{k}$ हैं।
अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{u} \, \vec{v} \, \vec{w}]$ सारणिक द्वारा दिया जाता है:
$\begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix} = 0$.
सारणिक का विस्तार करने पर:
$-(a^3 + b^3 + c^3 - 3abc) = 0$.
यह सरल होकर प्राप्त होता है:
$-(a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) = 0$.
चूंकि $(a + b + c) \neq 0$,इसलिए $(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\frac{1}{2}((a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2) = 0$.
यह केवल तभी संभव है जब $a = b = c$ हो।
यदि $a = b = c$ है,तो $\vec{u} = \vec{v} = \vec{w} = a(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ होगा।
चूंकि $\vec{w} = \lambda \vec{x} + \mu \vec{y}$,सदिश $\vec{w}$,$\vec{x}$ और $\vec{y}$ द्वारा निर्मित समतल में स्थित है।
चूंकि $\vec{u} = \vec{v} = \vec{w}$,ये सभी सदिश $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ उस समतल में स्थित हैं जो $\vec{x}$ और $\vec{y}$ द्वारा फैला हुआ है।
अतः,सदिश $\vec{x}, \vec{y}, \vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ समतलीय हैं।

(B) दिया गया है कि $\vec{w} = \alpha (\vec{a} \times \vec{b}) + \beta (\vec{b} \times \vec{c}) + \gamma (\vec{c} \times \vec{a})$.
$\vec{c}$ के साथ अदिश गुणन (dot product) करने पर:
$\vec{w} \cdot \vec{c} = \alpha (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} + \beta (\vec{b} \times \vec{c}) \cdot \vec{c} + \gamma (\vec{c} \times \vec{a}) \cdot \vec{c}$.
चूंकि $(\vec{b} \times \vec{c}) \cdot \vec{c} = 0$ और $(\vec{c} \times \vec{a}) \cdot \vec{c} = 0$,इसलिए $\vec{w} \cdot \vec{c} = \alpha [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]$.
दिया गया है कि $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = 2$,इसलिए $\vec{w} \cdot \vec{c} = 2\alpha$,जिसका अर्थ है $\alpha = \frac{1}{2}(\vec{w} \cdot \vec{c})$.
इसी प्रकार,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ के साथ अदिश गुणन करने पर:
$\beta = \frac{1}{2}(\vec{w} \cdot \vec{a})$ और $\gamma = \frac{1}{2}(\vec{w} \cdot \vec{b})$.
इन समीकरणों को जोड़ने पर:
$\alpha + \beta + \gamma = \frac{1}{2}(\vec{w} \cdot \vec{c} + \vec{w} \cdot \vec{a} + \vec{w} \cdot \vec{b}) = \frac{1}{2}(\vec{w} \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}))$.
दिया गया है कि $\vec{w} \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = 8$,इसलिए $\alpha + \beta + \gamma = \frac{1}{2}(8) = 4$.

(D) दिया गया है कि $\vec c$,$\vec a$ का $\vec b$ के समानांतर घटक है और $\vec d$,$\vec a$ का $\vec b$ के लंबवत घटक है।
परिभाषा के अनुसार,$\vec a = \vec c + \vec d$।
इसका अर्थ है कि सदिश $\vec a$,$\vec c$,और $\vec d$ समतलीय (coplanar) हैं।
किसी भी तीन समतलीय सदिशों का अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होता है,अर्थात $[\vec a, \vec c, \vec d] = 0$।
मान लीजिए $\vec x = \vec a \times \vec c$,$\vec y = \vec c \times \vec d$,और $\vec z = \vec d \times \vec a$।
व्यंजक $[\vec x \times \vec y, \vec y \times \vec z, \vec z \times \vec x]$ है।
सदिश गुणनफल के अदिश त्रिक गुणनफल की सर्वसमिका का उपयोग करते हुए,$[\vec x \times \vec y, \vec y \times \vec z, \vec z \times \vec x] = [\vec x, \vec y, \vec z]^2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\vec x, \vec y, \vec z$ तीनों $\vec a, \vec c, \vec d$ वाले तल के लंबवत हैं,इसलिए वे एक-दूसरे के समानांतर हैं।
अतः,सदिश $\vec x, \vec y, \vec z$ संरेखीय हैं,जिसका अर्थ है कि $[\vec x, \vec y, \vec z] = 0$।
इसलिए,पूरे व्यंजक का मान $0^2 = 0$ है।

(D) सदिशों $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ द्वारा निर्धारित समांतर षट्फलक का आयतन अदिश त्रिक गुणनफल $|[\vec{u} \quad \vec{v} \quad \vec{w}]|$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $[\vec{a}+\vec{b} \quad \vec{b}+\vec{c} \quad \vec{c}+\vec{a}] = 4$.
हम जानते हैं कि $[\vec{a}+\vec{b} \quad \vec{b}+\vec{c} \quad \vec{c}+\vec{a}] = 2[\vec{a} \quad \vec{b} \quad \vec{c}]$.
अतः,$2[\vec{a} \quad \vec{b} \quad \vec{c}] = 4 \Rightarrow [\vec{a} \quad \vec{b} \quad \vec{c}] = 2$.
सदिशों $\vec{a} \times \vec{b}, \vec{b} \times \vec{c}$ और $\vec{c} \times \vec{a}$ द्वारा निर्धारित समांतर षट्फलक का आयतन $[\vec{a} \times \vec{b} \quad \vec{b} \times \vec{c} \quad \vec{c} \times \vec{a}]$ द्वारा दिया जाता है।
गुणधर्म $[\vec{a} \times \vec{b} \quad \vec{b} \times \vec{c} \quad \vec{c} \times \vec{a}] = [\vec{a} \quad \vec{b} \quad \vec{c}]^2$ का उपयोग करने पर.
मान रखने पर,हमें $2^2 = 4$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ असमतलीय हैं,इसलिए अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}] \neq 0$ है।
व्यंजक $(\vec{a} + \lambda \vec{b}) \cdot [(\vec{b} + 3\vec{c}) \times (\vec{c} - 4\vec{a})] = 0$ का विस्तार करें।
सबसे पहले,क्रॉस गुणनफल की गणना करें: $(\vec{b} + 3\vec{c}) \times (\vec{c} - 4\vec{a}) = \vec{b} \times \vec{c} - 4(\vec{b} \times \vec{a}) + 3(\vec{c} \times \vec{c}) - 12(\vec{c} \times \vec{a})$।
चूंकि $\vec{c} \times \vec{c} = 0$,यह सरल होकर $\vec{b} \times \vec{c} + 4(\vec{a} \times \vec{b}) - 12(\vec{c} \times \vec{a})$ हो जाता है।
अब,$(\vec{a} + \lambda \vec{b})$ के साथ डॉट गुणनफल लें:
$(\vec{a} + \lambda \vec{b}) \cdot [\vec{b} \times \vec{c} + 4(\vec{a} \times \vec{b}) - 12(\vec{c} \times \vec{a})] = 0$।
डॉट गुणनफल का वितरण करने पर:
$\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) + 4\vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) - 12\vec{a} \cdot (\vec{c} \times \vec{a}) + \lambda \vec{b} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) + 4\lambda \vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) - 12\lambda \vec{b} \cdot (\vec{c} \times \vec{a}) = 0$।
इस गुण का उपयोग करते हुए कि समान सदिशों वाले अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होते हैं:
$[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}] + 0 - 0 + 0 + 0 - 12\lambda [\vec{b} \, \vec{c} \, \vec{a}] = 0$।
चूंकि $[\vec{b} \, \vec{c} \, \vec{a}] = [\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}]$,हमें प्राप्त होता है:
$(1 - 12\lambda) [\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}] = 0$।
चूंकि $[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}] \neq 0$,इसलिए $1 - 12\lambda = 0$ होना चाहिए,जिससे $\lambda = \frac{1}{12}$ प्राप्त होता है।

(B) तीन सदिशों के अदिश त्रिक गुणनफल का वर्ग उनके ग्राम मैट्रिक्स के सारणिक द्वारा दिया जाता है:
$[vec{a}, vec{b}, vec{c}]^2 = \begin{vmatrix} \vec{a} \cdot \vec{a} & \vec{a} \cdot \vec{b} & \vec{a} \cdot \vec{c} \\ \vec{b} \cdot \vec{a} & \vec{b} \cdot \vec{b} & \vec{b} \cdot \vec{c} \\ \vec{c} \cdot \vec{a} & \vec{c} \cdot \vec{b} & \vec{c} \cdot \vec{c} \end{vmatrix}$
चूंकि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए उनका स्वयं के साथ डॉट गुणनफल $1$ होता है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$[vec{a}, vec{b}, vec{c}]^2 = \begin{vmatrix} 1 & \cos \theta & \cos \theta \\ \cos \theta & 1 & \cos \theta \\ \cos \theta & \cos \theta & 1 \end{vmatrix}$
सारणिक का मूल्यांकन करने पर:
$[vec{a}, vec{b}, vec{c}]^2 = 1(1 - \cos^2 \theta) - \cos \theta(\cos \theta - \cos^2 \theta) + \cos \theta(\cos^2 \theta - \cos \theta)$
$= 1 - 3\cos^2 \theta + 2\cos^3 \theta = (1 - \cos \theta)^2 (1 + 2\cos \theta)$
चूंकि अदिश त्रिक गुणनफल का वर्ग गैर-ऋणात्मक होना चाहिए,इसलिए $(1 - \cos \theta)^2 (1 + 2\cos \theta) \ge 0$ है।
सभी $\theta$ के लिए $(1 - \cos \theta)^2 \ge 0$ है,इसलिए $1 + 2\cos \theta \ge 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\cos \theta \ge -\frac{1}{2}$।
$\theta \in [0, \pi]$ को देखते हुए,$\cos \theta \ge -\frac{1}{2}$ का अर्थ है $\theta \le \frac{2\pi}{3}$।
अतः,$\theta$ का अधिकतम मान $\frac{2\pi}{3}$ है।

(D) दिया गया है $\vec{\lambda} = x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c}$ और $\vec{\lambda} \cdot (\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a}) = 2(x + y + z)$.
$\vec{\lambda}$ का मान डॉट प्रोडक्ट समीकरण में रखने पर:
$(x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c}) \cdot (\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a}) = 2(x + y + z)$.
डॉट प्रोडक्ट का विस्तार करने पर,हम जानते हैं कि $\vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 0$,$\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = [\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}]$,आदि।
$= x[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}] + y[\vec{b} \, \vec{c} \, \vec{a}] + z[\vec{c} \, \vec{a} \, \vec{b}] = 2(x + y + z)$.
चक्रीय गुणधर्म $[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}] = [\vec{b} \, \vec{c} \, \vec{a}] = [\vec{c} \, \vec{a} \, \vec{b}]$ का उपयोग करने पर:
$(x + y + z)[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}] = 2(x + y + z)$.
चूंकि $x + y + z \neq 0$,दोनों पक्षों को $(x + y + z)$ से विभाजित करने पर:
$[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}] = 2$.

(B) माना $\vec{u} = \vec{a} \times \vec{b}$,$\vec{v} = \vec{b} \times \vec{c}$,और $\vec{w} = \vec{c} \times \vec{a}$ है।
हम जानते हैं कि $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = [\vec{a} \times \vec{b}, \vec{b} \times \vec{c}, \vec{c} \times \vec{a}] = [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]^2$ होता है।
दिया गया व्यंजक इन सदिशों के क्रॉस गुणनफल का अदिश त्रिक गुणनफल है: $[\vec{u} \times \vec{v}, \vec{v} \times \vec{w}, \vec{w} \times \vec{u}]$।
गुणधर्म $[\vec{u} \times \vec{v}, \vec{v} \times \vec{w}, \vec{w} \times \vec{u}] = [\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]^2$ का उपयोग करने पर।
अतः,व्यंजक $\frac{[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]^2}{[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]} = [\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]^2$ हो जाता है।

(A) चूंकि $\vec U$,$x-y$ समतल में स्थित है और $|\vec U| = 2$ है,हम $\vec U = 2\cos \alpha \hat i + 2\sin \alpha \hat j$ लिख सकते हैं।
अदिश त्रिक गुणनफल (scalar triple product) को सारणिक द्वारा दर्शाया जाता है:
$([\vec U \vec V \vec W]) = \begin{vmatrix} 2\cos \alpha & 2\sin \alpha & 0 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 3 \end{vmatrix}$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$([\vec U \vec V \vec W]) = 2\cos \alpha (3 - 0) - 2\sin \alpha (6 - (-1)) + 0(0 - 1)$
$= 6\cos \alpha - 14\sin \alpha$.
हमें $([\vec U \vec V \vec W])^2 = (6\cos \alpha - 14\sin \alpha)^2$ का अधिकतम मान ज्ञात करना है।
व्यंजक $a\cos \alpha + b\sin \alpha$ का अधिकतम मान $\sqrt{a^2 + b^2}$ होता है।
अतः,$|6\cos \alpha - 14\sin \alpha|$ का अधिकतम मान $\sqrt{6^2 + (-14)^2} = \sqrt{36 + 196} = \sqrt{232}$ है।
इसलिए,$([\vec U \vec V \vec W])^2$ का अधिकतम मान $(\sqrt{232})^2 = 232$ होगा।

(C) अदिश त्रिक गुणनफल को $[\vec{a} \ \vec{b} \ \vec{c}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
इस मान को अधिकतम करने के लिए,$\vec{a}$ को $\vec{b} \times \vec{c}$ सदिश की दिशा में होना चाहिए।
सबसे पहले,हम सदिश गुणनफल $\vec{v} = \vec{b} \times \vec{c}$ की गणना करते हैं:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 4 & 6 \\ 2 & -7 & -10 \end{vmatrix} = \hat{i}(-40 - (-42)) - \hat{j}(10 - 12) + \hat{k}(7 - 8) = 2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$.
इस सदिश का परिमाण $|\vec{v}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$ है।
चूंकि $\vec{a}$,$\vec{v}$ की दिशा में एक इकाई सदिश है,इसलिए $\vec{a} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \frac{2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}}{3}$ होगा।

(C) सदिशों $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ द्वारा निर्मित चतुष्फलक का आयतन $V_{tet} = \frac{1}{6} |[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]|$ होता है।
दिया गया है $V_{tet} = 3$,अतः $\frac{1}{6} |[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]| = 3$,जिसका अर्थ है कि $|[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]| = 18$ है।
माना $\vec{a} + \vec{b}, \vec{b} + \vec{c}, \vec{c} + \vec{a}$ सदिशों द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक का आयतन $V_{par}$ है।
आयतन अदिश त्रिक गुणनफल द्वारा प्राप्त होता है: $V_{par} = |[(\vec{a} + \vec{b}) \quad (\vec{b} + \vec{c}) \quad (\vec{c} + \vec{a})]|$.
अदिश त्रिक गुणनफल के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,हम इसे विस्तारित करते हैं:
$[\vec{a} + \vec{b} \quad \vec{b} + \vec{c} \quad \vec{c} + \vec{a}] = 2[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$
अतः,$V_{par} = 2 \times 18 = 36$।

(C) माना व्यंजक $E = (\vec{a} + 2\vec{b} - \vec{c}) \cdot \{(\vec{a} - \vec{b}) \times (\vec{a} - \vec{b} - \vec{c})\}$ है।
सबसे पहले,क्रॉस प्रोडक्ट पद को सरल करते हैं: $(\vec{a} - \vec{b}) \times (\vec{a} - \vec{b} - \vec{c}) = (\vec{a} - \vec{b}) \times \vec{a} - (\vec{a} - \vec{b}) \times \vec{b} - (\vec{a} - \vec{b}) \times \vec{c}$.
$= (\vec{a} \times \vec{a} - \vec{b} \times \vec{a}) - (\vec{a} \times \vec{b} - \vec{b} \times \vec{b}) - (\vec{a} \times \vec{c} - \vec{b} \times \vec{c})$.
चूंकि $\vec{a} \times \vec{a} = 0$ और $\vec{b} \times \vec{b} = 0$,यह पद $\vec{b} \times \vec{c} - \vec{a} \times \vec{c}$ बन जाता है।
अब,डॉट प्रोडक्ट की गणना करते हैं: $E = (\vec{a} + 2\vec{b} - \vec{c}) \cdot (\vec{b} \times \vec{c} - \vec{a} \times \vec{c})$.
$= \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) - \vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{c}) + 2\vec{b} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) - 2\vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{c}) - \vec{c} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) + \vec{c} \cdot (\vec{a} \times \vec{c})$.
स्केलर ट्रिपल प्रोडक्ट के गुणों के अनुसार,$\vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{c}) = 0$,$\vec{b} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$,$\vec{c} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$,और $\vec{c} \cdot (\vec{a} \times \vec{c}) = 0$.
अतः,$E = [\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}] - 0 + 0 - 2[\vec{b} \, \vec{a} \, \vec{c}] - 0 + 0$.
$= [\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}] - 2(-[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}]) = [\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}] + 2[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}] = 3[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}]$.

(C) व्यंजक $(\vec{p} - \vec{q}) \cdot ((2\vec{q} + \vec{p}) \times (3\vec{p} - \vec{q}))$ अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{p} - \vec{q}, 2\vec{q} + \vec{p}, 3\vec{p} - \vec{q}]$ को दर्शाता है।
क्रॉस गुणनफल का विस्तार करने पर: $(2\vec{q} + \vec{p}) \times (3\vec{p} - \vec{q}) = 6(\vec{q} \times \vec{p}) - 2(\vec{q} \times \vec{q}) + 3(\vec{p} \times \vec{p}) - (\vec{p} \times \vec{q}) = 6(\vec{q} \times \vec{p}) - (\vec{p} \times \vec{q}) = 6(\vec{q} \times \vec{p}) + (\vec{q} \times \vec{p}) = 7(\vec{q} \times \vec{p})$.
अब,डॉट गुणनफल करने पर: $(\vec{p} - \vec{q}) \cdot (7(\vec{q} \times \vec{p})) = 7(\vec{p} \cdot (\vec{q} \times \vec{p})) - 7(\vec{q} \cdot (\vec{q} \times \vec{p})) = 0 - 0 = 0$.
दिए गए समीकरण के अनुसार: $0 = |\vec{p} + \vec{q}|$.
इसका अर्थ है कि $\vec{p} + \vec{q} = 0$,अतः $\vec{p} = -\vec{q}$.
चूंकि $\vec{p}$ और $\vec{q}$ इकाई सदिश हैं,$\vec{p} = -\vec{q}$ का अर्थ है कि उनके बीच का कोण $\pi$ है।

(B) अदिश त्रिक गुणन की परिभाषा के अनुसार $[\vec p, \vec q, \vec p \times \vec q] = (\vec p \times \vec q) \cdot (\vec p \times \vec q)$ होता है।
दिया गया है कि $[\vec p, \vec q, \vec p \times \vec q] = \frac{1}{2}$,इसलिए $|\vec p \times \vec q|^2 = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\vec p$ और $\vec q$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\vec p \times \vec q| = |\vec p| |\vec q| \sin \theta = \sin \theta$ होगा,जहाँ $\theta$ सदिशों $\vec p$ और $\vec q$ के बीच का कोण है।
अतः,$\sin^2 \theta = \frac{1}{2}$,जिसका अर्थ है कि $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
इसलिए,$\theta = \frac{\pi}{4}$ होगा।

(A) चार बिंदु $A, B, C, D$ समतलीय होते हैं यदि सदिशों $\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{AC}$ और $\overrightarrow{AD}$ का अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो,अर्थात $[\overrightarrow{AB} \, \overrightarrow{AC} \, \overrightarrow{AD}] = 0$।
सबसे पहले,हम सदिश ज्ञात करते हैं:
$\overrightarrow{AB} = (1-2, 1-2, 1-1) = (-1, -1, 0)$
$\overrightarrow{AC} = (-\lambda-2, 2-2, 1-1) = (-\lambda-2, 0, 0)$
$\overrightarrow{AD} = (3-2, 0-2, -1-1) = (1, -2, -2)$
समतलीयता के लिए शर्त है:
$\left|\begin{array}{ccc} -1 & -1 & 0 \\ -\lambda-2 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & -2 \end{array}\right| = 0$
दूसरी पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$-(-\lambda-2) \left|\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ -2 & -2 \end{array}\right| = 0$
$(\lambda+2) ((-1)(-2) - (0)(-2)) = 0$
$(\lambda+2) (2) = 0$
$\lambda+2 = 0$
$\lambda = -2$

(A) चूंकि $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}$ समतलीय हैं,इसलिए उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य है: $\left[\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}\right] = 0$.
यह सारणिक द्वारा दिया गया है:
$\left|\begin{array}{ccc} 2 & 3 & a \\ b & 5 & -1 \\ 1 & 1 & 3 \end{array}\right| = 0$.
सारणिक का विस्तार करने पर:
$2(15 - (-1)) - 3(3b - (-1)) + a(b - 5) = 0$
$2(16) - 3(3b + 1) + ab - 5a = 0$
$32 - 9b - 3 + ab - 5a = 0$
$ab - 5a - 9b + 29 = 0$ (समीकरण $1$)।
दिया गया है $\vec{p} \cdot \vec{q} = 20$:
$(2\hat{i} + 3\hat{j} + a\hat{k}) \cdot (b\hat{i} + 5\hat{j} - \hat{k}) = 20$
$2b + 15 - a = 20$
$2b - a = 5 \Rightarrow a = 2b - 5$ (समीकरण $2$)।
$a = 2b - 5$ को समीकरण $1$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(2b - 5)b - 5(2b - 5) - 9b + 29 = 0$
$2b^2 - 5b - 10b + 25 - 9b + 29 = 0$
$2b^2 - 24b + 54 = 0$
$b^2 - 12b + 27 = 0$
$(b - 3)(b - 9) = 0$।
अतः,$b = 3$ या $b = 9$।
यदि $b = 3$ है,तो $a = 2(3) - 5 = 1$।
यदि $b = 9$ है,तो $a = 2(9) - 5 = 13$।
इस प्रकार,क्रमित युग्म $(a, b)$ $(1, 3)$ और $(13, 9)$ हैं।

(C) सह-किनारों $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ वाले चतुष्फलक का आयतन $V_{tetra} = \frac{1}{6} |[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]|$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $V_{tetra} = 3$,इसलिए $\frac{1}{6} |[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]| = 3$,जिसका अर्थ है कि $|[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]| = 18$.
सह-किनारों $\vec{a} + \vec{b}, \vec{b} + \vec{c}, \vec{c} + \vec{a}$ वाले समांतर षट्फलक का आयतन अदिश त्रिक गुणन $|[(\vec{a} + \vec{b}) (\vec{b} + \vec{c}) (\vec{c} + \vec{a})]|$ द्वारा प्राप्त होता है।
अदिश त्रिक गुणन के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$[(\vec{a} + \vec{b}) (\vec{b} + \vec{c}) (\vec{c} + \vec{a})] = 2 [\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$.
अतः,आयतन $2 \times 18 = 36$ है।

(C) दिए गए सदिश $\vec x = 3\hat i - 6\hat j - \hat k$,$\vec y = \hat i + 4\hat j - 3\hat k$,और $\vec z = 3\hat i - 4\hat j - 12\hat k$ हैं।
सबसे पहले,हम सदिश गुणनफल $\vec x \times \vec y$ की गणना करते हैं:
$\vec x \times \vec y = \begin{vmatrix} \hat i & \hat j & \hat k \\ 3 & -6 & -1 \\ 1 & 4 & -3 \end{vmatrix}$
$= \hat i(18 + 4) - \hat j(-9 + 1) + \hat k(12 + 6)$
$= 22\hat i + 8\hat j + 18\hat k$.
अब,सदिश $\vec a$ का सदिश $\vec b$ पर प्रक्षेप $\frac{|\vec a \cdot \vec b|}{|\vec b|}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$\vec a = \vec x \times \vec y = 22\hat i + 8\hat j + 18\hat k$ और $\vec b = \vec z = 3\hat i - 4\hat j - 12\hat k$ है।
अदिश गुणनफल $(\vec x \times \vec y) \cdot \vec z = (22)(3) + (8)(-4) + (18)(-12) = 66 - 32 - 216 = -182$.
$\vec z$ का परिमाण $= |\vec z| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + (-12)^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$.
प्रक्षेप का परिमाण $= \left| \frac{(\vec x \times \vec y) \cdot \vec z}{|\vec z|} \right| = \left| \frac{-182}{13} \right| = |-14| = 14$.

(C) माना $\vec{v} = \vec{a} \times \vec{b}$ है।
दिया गया व्यंजक $(\hat{i} \times \vec{a} \cdot \vec{b})\hat{i} + (\hat{j} \times \vec{a} \cdot \vec{b})\hat{j} + (\hat{k} \times \vec{a} \cdot \vec{b})\hat{k}$ है।
अदिश त्रिक गुणन के गुणधर्म $(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w} = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})$ का उपयोग करते हुए,हम पदों को फिर से लिखते हैं:
$(\hat{i} \times \vec{a}) \cdot \vec{b} = \hat{i} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = \hat{i} \cdot \vec{v}$।
इसी प्रकार,$(\hat{j} \times \vec{a}) \cdot \vec{b} = \hat{j} \cdot \vec{v}$ और $(\hat{k} \times \vec{a}) \cdot \vec{b} = \hat{k} \cdot \vec{v}$।
इन मानों को व्यंजक में वापस रखने पर:
$(\hat{i} \cdot \vec{v})\hat{i} + (\hat{j} \cdot \vec{v})\hat{j} + (\hat{k} \cdot \vec{v})\hat{k}$।
सदिश के घटकों के रूप में परिभाषा के अनुसार,यह योग स्वयं सदिश $\vec{v}$ के बराबर है।
अतः,यह व्यंजक $\vec{a} \times \vec{b}$ के बराबर है।

(A) तीन सदिश $\vec{a}, \vec{b},$ और $\vec{c}$ समतलीय होते हैं यदि और केवल यदि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो,अर्थात $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$।
अदिश त्रिक गुणनफल सदिशों के घटकों के सारणिक द्वारा प्राप्त किया जाता है:
$\begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & 3 & -1 \\ \lambda & 1 & 2\lambda - 1 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के सापेक्ष सारणिक का विस्तार करने पर:
$1[3(2\lambda - 1) - (-1)(1)] - (-2)[2(2\lambda - 1) - (-1)(\lambda)] + 3[2(1) - 3(\lambda)] = 0$
$1[6\lambda - 3 + 1] + 2[4\lambda - 2 + \lambda] + 3[2 - 3\lambda] = 0$
$(6\lambda - 2) + 2(5\lambda - 2) + (6 - 9\lambda) = 0$
$6\lambda - 2 + 10\lambda - 4 + 6 - 9\lambda = 0$
$(6\lambda + 10\lambda - 9\lambda) + (-2 - 4 + 6) = 0$
$7\lambda + 0 = 0$
$\lambda = 0$

(B) दिए गए सदिश $\vec{u} = \hat{j} + 4\hat{k}$,$\vec{v} = \hat{i} + 3\hat{k}$,और $\vec{w} = \cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j}$ हैं।
सबसे पहले,क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{u} \times \vec{v}$ की गणना करें:
$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 1 & 4 \\ 1 & 0 & 3 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(1 \times 3 - 4 \times 0) - \hat{j}(0 \times 3 - 4 \times 1) + \hat{k}(0 \times 0 - 1 \times 1)$
$= 3\hat{i} + 4\hat{j} - \hat{k}$.
अब,अदिश त्रिक गुणनफल $(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w}$ की गणना करें:
$(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w} = (3\hat{i} + 4\hat{j} - \hat{k}) \cdot (\cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j})$
$= 3 \cos \theta + 4 \sin \theta$.
यह व्यंजक $a \cos \theta + b \sin \theta$ के रूप में है,जिसका अधिकतम मान $\sqrt{a^2 + b^2}$ होता है।
यहाँ,$a = 3$ और $b = 4$ है।
अधिकतम मान $= \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

(A) माना बिंदु $A(1, 2, 2), B(2, 1, 2), C(2, 2, z)$ और $D(1, 1, 1)$ हैं।
बिंदु समतलीय होते हैं यदि सदिशों $\vec{AB}, \vec{AC}$ और $\vec{AD}$ का अदिश त्रिक गुणनफल $0$ हो।
$\vec{AB} = (2-1, 1-2, 2-2) = (1, -1, 0)$
$\vec{AC} = (2-1, 2-2, z-2) = (1, 0, z-2)$
$\vec{AD} = (1-1, 1-2, 1-2) = (0, -1, -1)$
समतलीयता के लिए शर्त $\begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & z-2 \\ 0 & -1 & -1 \end{vmatrix} = 0$ है।
सारणिक का विस्तार करने पर: $1(0 - (-(z-2))) - (-1)(-1 - 0) + 0 = 0$
$1(z-2) - 1 = 0 \Rightarrow z-3 = 0 \Rightarrow z = 3$.
चूंकि $z=3 \neq 2$,इसलिए कथन $1$ असत्य है।
कथन $2$ एक मानक ज्यामितीय गुण है: यदि चार बिंदु समतलीय हैं,तो वे गैर-शून्य आयतन का चतुष्फलक नहीं बनाते हैं,इसलिए आयतन $0$ होता है। अतः,कथन $2$ सत्य है।

(C) दिए गए सदिश $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$,$\vec{b} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$,और $\vec{c} = r\hat{i} + \hat{j} + (2r - 1)\hat{k}$ हैं।
चूंकि $\vec{c}$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ के समतल के समांतर है,इसलिए सदिश $\vec{a}, \vec{b}$,और $\vec{c}$ समतलीय हैं।
तीन सदिशों के समतलीय होने के लिए,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए,अर्थात $[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}] = 0$।
इसका अर्थ है कि उनके घटकों का सारणिक शून्य होगा:
$\begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & 3 & -1 \\ r & 1 & 2r - 1 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$1((3)(2r - 1) - (-1)(1)) - (-2)((2)(2r - 1) - (-1)(r)) + 3((2)(1) - (3)(r)) = 0$
$1(6r - 3 + 1) + 2(4r - 2 + r) + 3(2 - 3r) = 0$
$(6r - 2) + 2(5r - 2) + (6 - 9r) = 0$
$6r - 2 + 10r - 4 + 6 - 9r = 0$
$7r = 0$
$r = 0$

(D) कथन $1$: तीन सदिशों $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ के समतलीय होने की शर्त यह है कि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो,अर्थात $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$। अतः,कथन $1$ सही है।
कथन $2$: दो अशून्य सदिश $\vec{u}$ और $\vec{v}$ लंबवत होते हैं यदि और केवल यदि उनका अदिश गुणनफल शून्य हो,अर्थात $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$। सदिश गुणनफल $\vec{u} \times \vec{v}$ वास्तव में $\vec{u}$ और $\vec{v}$ वाले समतल के लंबवत एक सदिश होता है। अतः,कथन $2$ सही है।
हालाँकि,कथन $2$ लंबवत सदिशों और सदिश गुणनफल का एक सामान्य गुणधर्म प्रस्तुत करता है,जो कथन $1$ में दी गई समतलीयता की शर्त के लिए तार्किक व्याख्या नहीं है। इसलिए,कथन $2$ कथन $1$ की सही व्याख्या नहीं है।

(D) चूंकि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ समतलीय हैं,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य है: $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$.
$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 1 & \lambda & 4 \\ 2 & 4 & \lambda^2 - 1 \end{vmatrix} = 0$.
$R_3 \rightarrow R_3 - 2R_1$ लागू करने पर:
$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 1 & \lambda & 4 \\ 0 & 0 & \lambda^2 - 9 \end{vmatrix} = 0$.
$R_3$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(\lambda^2 - 9)(\lambda - 2) = 0$.
इससे $\lambda = 2$ या $\lambda^2 = 9$ प्राप्त होता है। यदि हम $\lambda = 2$ लेते हैं,तो $\vec{a} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 4 \\ 2 & 4 & (2^2 - 1) \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 4 \\ 2 & 4 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(6 - 16) - \hat{j}(3 - 8) + \hat{k}(4 - 4) = -10\hat{i} + 5\hat{j}$.

(A) तीन सदिश समतलीय होते हैं यदि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो। अदिश त्रिक गुणनफल सदिशों के घटकों द्वारा निर्मित सारणिक द्वारा दिया जाता है:
$D = \begin{vmatrix} \mu & 1 & 1 \\ 1 & \mu & 1 \\ 1 & 1 & \mu \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$D = \mu(\mu^2 - 1) - 1(\mu - 1) + 1(1 - \mu) = 0$
$D = \mu(\mu - 1)(\mu + 1) - 1(\mu - 1) - 1(\mu - 1) = 0$
$D = (\mu - 1) [\mu(\mu + 1) - 1 - 1] = 0$
$D = (\mu - 1)(\mu^2 + \mu - 2) = 0$
$D = (\mu - 1)(\mu + 2)(\mu - 1) = 0$
$D = (\mu - 1)^2(\mu + 2) = 0$
$\mu$ के भिन्न वास्तविक मान $1$ और $-2$ हैं।
इन भिन्न वास्तविक मानों का योग $1 + (-2) = -1$ है।

(D) सदिशों $\vec{a} = \hat{i} + \lambda \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{j} + \lambda \hat{k}$,और $\vec{c} = \lambda \hat{i} + \hat{k}$ द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक का आयतन $V$ अदिश त्रिक गुणनफल का निरपेक्ष मान है:
$V = |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| = \left| \det \begin{bmatrix} 1 & \lambda & 1 \\ 0 & 1 & \lambda \\ \lambda & 0 & 1 \end{bmatrix} \right|$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$\det = 1(1 - 0) - \lambda(0 - \lambda^2) + 1(0 - \lambda) = 1 + \lambda^3 - \lambda$
अतः,$V(\lambda) = |\lambda^3 - \lambda + 1|$.
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,माना $f(\lambda) = \lambda^3 - \lambda + 1$ है। अवकलन करने पर $f'(\lambda) = 3\lambda^2 - 1 = 0$ रखने पर:
$\lambda^2 = \frac{1}{3} \implies \lambda = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
इन बिंदुओं पर $f(\lambda)$ का मान जाँचने पर:
$\lambda = \frac{1}{\sqrt{3}}$ के लिए,$f\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 1 - \frac{2}{3\sqrt{3}} \approx 0.615$.
$\lambda = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ के लिए,$f\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 1 + \frac{2}{3\sqrt{3}} \approx 1.385$.
चूंकि आयतन $V = |f(\lambda)|$ है,हम $|f(\lambda)|$ का न्यूनतम मान देखते हैं। $f(\lambda)$ का मान $\lambda < -1$ के लिए शून्य होता है,जहाँ आयतन $V = 0$ है,जो कि न्यूनतम है। दिए गए विकल्पों में से कोई भी $\lambda^3 - \lambda + 1 = 0$ का मूल नहीं है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(B) तीन सदिश $\vec{a}, \vec{b}, \text{ और } \vec{c}$ समतलीय होते हैं यदि और केवल यदि उनका अदिश त्रिगुणित गुणनफल शून्य हो,अर्थात $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$।
अदिश त्रिगुणित गुणनफल घटकों के सारणिक द्वारा दिया जाता है:
$\begin{vmatrix} \alpha & 1 & 3 \\ 2 & 1 & -\alpha \\ \alpha & -2 & 3 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\alpha(1(3) - (-2)(-\alpha)) - 1(2(3) - \alpha(-\alpha)) + 3(2(-2) - \alpha(1)) = 0$
$\alpha(3 - 2\alpha) - 1(6 + \alpha^2) + 3(-4 - \alpha) = 0$
$3\alpha - 2\alpha^2 - 6 - \alpha^2 - 12 - 3\alpha = 0$
$-3\alpha^2 - 18 = 0$
$-3(\alpha^2 + 6) = 0$
$\alpha^2 + 6 = 0$
चूंकि $\alpha \in \mathbb{R}$,$\alpha^2$ हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए $\alpha^2 + 6 \geq 6$। अतः,$\alpha$ का कोई भी वास्तविक मान इस समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है।
इसलिए,समुच्चय $S$ एक रिक्त समुच्चय है।

(A) समांतर षट्फलक का आयतन अदिश त्रिक गुणनफल के मापांक $|[\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}]| = 1$ द्वारा दिया जाता है।
$|\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \lambda \\ 1 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1(1-3) - 1(1-6) + \lambda(1-2) = -2 + 5 - \lambda = 3 - \lambda$.
चूंकि आयतन $1$ है,$|3 - \lambda| = 1$,जिसका अर्थ है $3 - \lambda = 1$ या $3 - \lambda = -1$.
अतः,$\lambda = 2$ या $\lambda = 4$.
स्थिति $1$: यदि $\lambda = 2$,तो $\overrightarrow{u} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ और $\overrightarrow{w} = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w} = (1)(2) + (1)(1) + (2)(1) = 2 + 1 + 2 = 5$.
$|\overrightarrow{u}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{6}$ और $|\overrightarrow{w}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{6}$.
$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}}{|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{w}|} = \frac{5}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{5}{6}$.
स्थिति $2$: यदि $\lambda = 4$,तो $\overrightarrow{u} = \hat{i} + \hat{j} + 4\hat{k}$ और $\overrightarrow{w} = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w} = (1)(2) + (1)(1) + (4)(1) = 2 + 1 + 4 = 7$.
$|\overrightarrow{u}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 4^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ और $|\overrightarrow{w}| = \sqrt{6}$.
$\cos \theta = \frac{7}{\sqrt{18} \cdot \sqrt{6}} = \frac{7}{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{6}} = \frac{7}{3\sqrt{12}} = \frac{7}{3 \cdot 2\sqrt{3}} = \frac{7}{6\sqrt{3}}$.
विकल्पों की तुलना करने पर,$\frac{7}{6\sqrt{3}}$ सही उत्तर है।

(B) दिए गए सदिश $\overrightarrow{p}=(a+1) \hat{i}+a \hat{j}+a \hat{k}$,$\overrightarrow{q}=a \hat{i}+(a+1) \hat{j}+a \hat{k}$,और $\overrightarrow{r}=a \hat{i}+a \hat{j}+(a+1) \hat{k}$ हैं।
चूंकि $\overrightarrow{p}, \overrightarrow{q}, \overrightarrow{r}$ समतलीय हैं,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होगा:
$\left|\begin{array}{ccc} a+1 & a & a \\ a & a+1 & a \\ a & a & a+1 \end{array}\right|=0$
$R_1 \to R_1+R_2+R_3$ लागू करने पर,$(3a+1) \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ a & a+1 & a \\ a & a & a+1 \end{array}\right|=0$,जो सरल होकर $(3a+1)=0$ देता है,इसलिए $a = -\frac{1}{3}$.
अब,$\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q} = 3a^2+2a = 3(-\frac{1}{3})^2 + 2(-\frac{1}{3}) = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} = -\frac{1}{3}$.
साथ ही,$|\overrightarrow{r}|^2 = |\overrightarrow{q}|^2 = 3a^2+2a+1 = 3(1/9) - 2/3 + 1 = 2/3$.
$\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{q} = 3a^2+2a = -1/3$.
लाग्रेंज की सर्वसमिका का उपयोग करते हुए,$|\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{q}|^2 = |\overrightarrow{r}|^2 |\overrightarrow{q}|^2 - (\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{q})^2 = (2/3)(2/3) - (-1/3)^2 = 4/9 - 1/9 = 3/9 = 1/3$.
दिए गए समीकरण $3(\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q})^2 - \lambda |\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{q}|^2 = 0$ में मान रखने पर,$3(-1/3)^2 - \lambda(1/3) = 0 \Rightarrow 3(1/9) - \lambda/3 = 0 \Rightarrow 1/3 = \lambda/3 \Rightarrow \lambda = 1$.

(D) फलन को अदिश त्रिक गुणनफल के रूप में परिभाषित किया गया है $f(x) = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \begin{vmatrix} x & -2 & 3 \\ -2 & x & -1 \\ 7 & -2 & x \end{vmatrix}$.
सारणिक का विस्तार करने पर: $f(x) = x(x^2 - 2) + 2(-2x + 7) + 3(4 - 7x) = x^3 - 2x - 4x + 14 + 12 - 21x = x^3 - 27x + 26$.
स्थानीय उच्चिष्ठ ज्ञात करने के लिए,हम अवकलन करते हैं: $f'(x) = 3x^2 - 27$. $f'(x) = 0$ रखने पर $x^2 = 9$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = \pm 3$.
द्वितीय अवकलज $f''(x) = 6x$ है। $x = -3$ के लिए,$f''(-3) = -18 < 0$,इसलिए $x_0 = -3$ स्थानीय उच्चिष्ठ बिंदु है।
$x = -3$ पर,सदिश $\vec{a} = -3\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$,$\vec{b} = -2\hat{i} - 3\hat{j} - \hat{k}$,और $\vec{c} = 7\hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}$ हैं।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-3)(-2) + (-2)(-3) + (3)(-1) = 6 + 6 - 3 = 9$.
$\vec{b} \cdot \vec{c} = (-2)(7) + (-3)(-2) + (-1)(-3) = -14 + 6 + 3 = -5$.
$\vec{c} \cdot \vec{a} = (7)(-3) + (-2)(-2) + (-3)(3) = -21 + 4 - 9 = -26$.
इनका योग: $9 - 5 - 26 = -22$.

(B) समांतर षट्फलक का आयतन $V = |[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]|$ द्वारा दिया जाता है।
$V = |\det(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c})| = 158$
$\det(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & n \\ 2 & 4 & -n \\ 1 & n & 3 \end{vmatrix} = 1(12 + n^2) - 1(6 + n) + n(2n - 4)$
$= 12 + n^2 - 6 - n + 2n^2 - 4n = 3n^2 - 5n + 6$
चूंकि $V = 158$,इसलिए $|3n^2 - 5n + 6| = 158$। $n \geq 0$ दिया गया है,इसलिए $3n^2 - 5n + 6 = 158$।
$3n^2 - 5n - 152 = 0$। $n$ के लिए हल करने पर: $n = \frac{5 \pm 43}{6}$।
चूंकि $n \geq 0$,इसलिए $n = 8$।
अब,विकल्पों की जाँच करने पर:
$A$. $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} = 1 + 4n = 1 + 4(8) = 33$।
$B$. $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = 2 + n = 2 + 8 = 10$।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(C) दिया गया है $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \Rightarrow (\alpha \hat{i} + \beta \hat{j} + 3 \hat{k}) \cdot (-\beta \hat{i} - \alpha \hat{j} - \hat{k}) = 1$.
यह सरल होकर $-\alpha \beta - \alpha \beta - 3 = 1 \Rightarrow -2 \alpha \beta = 4 \Rightarrow \alpha \beta = -2$ $(1)$ हो जाता है।
दिया गया है $\vec{b} \cdot \vec{c} = -3 \Rightarrow (-\beta \hat{i} - \alpha \hat{j} - \hat{k}) \cdot (\hat{i} - 2 \hat{j} - \hat{k}) = -3$.
यह सरल होकर $-\beta + 2 \alpha + 1 = -3 \Rightarrow 2 \alpha - \beta = -4$ $(2)$ हो जाता है।
$(1)$ से,$\beta = -2/\alpha$. इसे $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $2 \alpha - (-2/\alpha) = -4 \Rightarrow 2 \alpha^2 + 2 = -4 \alpha \Rightarrow \alpha^2 + 2 \alpha + 1 = 0 \Rightarrow (\alpha + 1)^2 = 0 \Rightarrow \alpha = -1$.
अतः $\beta = -2/(-1) = 2$.
अब,अदिश त्रिक गुणनफल $\frac{1}{3}[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \frac{1}{3} \begin{vmatrix} \alpha & \beta & 3 \\ -\beta & -\alpha & -1 \\ 1 & -2 & -1 \end{vmatrix} = \frac{1}{3} \begin{vmatrix} -1 & 2 & 3 \\ -2 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & -1 \end{vmatrix}$ है।
पंक्ति संक्रिया $R_1 \to R_1 + R_3$ करने पर: $\frac{1}{3} \begin{vmatrix} 0 & 0 & 2 \\ -2 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & -1 \end{vmatrix} = \frac{1}{3} [2(4 - 1)] = \frac{1}{3} \times 6 = 2$.

(B) दिया है कि $\overline{OP} \perp \overline{OQ}$,अतः उनका अदिश गुणनफल शून्य है:
$(x\hat{i} + y\hat{j} - \hat{k}) \cdot (-\hat{i} + 2\hat{j} + 3x\hat{k}) = 0$
$-x + 2y - 3x = 0 \Rightarrow 2y = 4x \Rightarrow y = 2x \dots (i)$
दिया है कि $|\overline{PQ}| = \sqrt{20}$,अतः $|\overline{PQ}|^2 = 20$:
$\overline{PQ} = \overline{OQ} - \overline{OP} = (-1-x)\hat{i} + (2-y)\hat{j} + (3x+1)\hat{k}$
$|\overline{PQ}|^2 = (-1-x)^2 + (2-y)^2 + (3x+1)^2 = 20$
$y=2x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(x+1)^2 + (2-2x)^2 + (3x+1)^2 = 20$
$x^2 + 2x + 1 + 4 - 8x + 4x^2 + 9x^2 + 6x + 1 = 20$
$14x^2 + 6 = 20 \Rightarrow 14x^2 = 14 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = 1$ (चूंकि $x > 0$)
अतः $y = 2(1) = 2$.
चूंकि $\overline{OP}, \overline{OQ}, \overline{OR}$ समतलीय हैं,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य है:
$\begin{vmatrix} x & y & -1 \\ -1 & 2 & 3x \\ 3 & z & -7 \end{vmatrix} = 0 \Rightarrow \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ -1 & 2 & 3 \\ 3 & z & -7 \end{vmatrix} = 0$
$1(-14 - 3z) - 2(7 - 9) - 1(-z - 6) = 0$
$-14 - 3z + 4 + z + 6 = 0 \Rightarrow -2z - 4 = 0 \Rightarrow z = -2$
अतः,$x^2 + y^2 + z^2 = 1^2 + 2^2 + (-2)^2 = 1 + 4 + 4 = 9$.

(C) माना बिंदु $A(1, 5, 35)$,$B(7, 5, 5)$,$C(1, \lambda, 7)$,और $D(2 \lambda, 1, 2)$ हैं।
सदिश इस प्रकार हैं:
$\vec{AB} = 6\hat{i} - 30\hat{k}$
$\vec{AC} = (\lambda-5)\hat{j} - 28\hat{k}$
$\vec{AD} = (2\lambda-1)\hat{i} - 4\hat{j} - 33\hat{k}$
चूंकि बिंदु समतलीय हैं,अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{AB} \vec{AC} \vec{AD}] = 0$ होगा।
$\begin{vmatrix} 6 & 0 & -30 \\ 0 & \lambda-5 & -28 \\ 2\lambda-1 & -4 & -33 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$6[(\lambda-5)(-33) - (-28)(-4)] - 30[0 - (\lambda-5)(2\lambda-1)] = 0$
$6[-33\lambda + 165 - 112] + 30[2\lambda^2 - 11\lambda + 5] = 0$
$6$ से विभाजित करने पर:
$-33\lambda + 53 + 5(2\lambda^2 - 11\lambda + 5) = 0$
$10\lambda^2 - 88\lambda + 78 = 0$
$5\lambda^2 - 44\lambda + 39 = 0$
मूलों का योग $\lambda_1 + \lambda_2 = -\frac{b}{a} = \frac{44}{5}$ है।

(A) दिया गया है कि $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{j} - \hat{k}$।
हमें $\vec{a} \times \vec{c} = \vec{b}$ और $\vec{a} \cdot \vec{c} = 3$ दिया गया है।
हमें $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ का मान ज्ञात करना है।
अदिश त्रिगुणन गुणनफल के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$।
सबसे पहले,$\vec{a} \times \vec{b}$ की गणना करते हैं:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1-1) - \hat{j}(-1-0) + \hat{k}(1-0) = -2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$।
अब,सदिश त्रिगुणन गुणनफल सर्वसमिका $\vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{a})\vec{c}$ का उपयोग करते हैं।
चूंकि $\vec{a} \times \vec{c} = \vec{b}$,इसलिए $\vec{a} \times \vec{b} = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{a} - |\vec{a}|^2 \vec{c}$ प्राप्त होता है।
$|\vec{a}|^2 = 1^2 + 1^2 + 1^2 = 3$ और $\vec{a} \cdot \vec{c} = 3$ दिया गया है,अतः:
$-2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k} = 3(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) - 3\vec{c}$।
$3\vec{c} = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k} - (-2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 5\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$।
$\vec{c} = \frac{5}{3}\hat{i} + \frac{2}{3}\hat{j} + \frac{2}{3}\hat{k}$।
अंत में,$\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = (-2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \cdot (\frac{5}{3}\hat{i} + \frac{2}{3}\hat{j} + \frac{2}{3}\hat{k}) = -\frac{10}{3} + \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = -\frac{6}{3} = -2$।

(B) दिया गया है कि $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{c}$ और $\vec{b} \times \vec{c} = \vec{a}$ है।
चूंकि $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{c}$,$\vec{c}$ सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ दोनों के लंबवत है।
चूंकि $\vec{b} \times \vec{c} = \vec{a}$,$\vec{a}$ सदिश $\vec{b}$ और $\vec{c}$ दोनों के लंबवत है।
अतः,$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ परस्पर लंबवत सदिश हैं।
$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{c}| \implies |\vec{a}||\vec{b}| = |\vec{c}| \implies 2|\vec{b}| = |\vec{c}|$.
$|\vec{b} \times \vec{c}| = |\vec{a}| \implies |\vec{b}||\vec{c}| = 2$.
$|\vec{c}| = 2|\vec{b}|$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $|\vec{b}|(2|\vec{b}|) = 2 \implies |\vec{b}|^2 = 1 \implies |\vec{b}| = 1$ प्राप्त होता है।
इसलिए $|\vec{c}| = 2(1) = 2$ है।
$(A)$ $(\vec{b} \times \vec{c})$ पर $\vec{a}$ का प्रक्षेप $= \frac{\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})}{|\vec{b} \times \vec{c}|} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|} = |\vec{a}| = 2$ है। (सत्य)
$(B)$ $|3\vec{a} + \vec{b} - 2\vec{c}|^2 = (3\vec{a} + \vec{b} - 2\vec{c}) \cdot (3\vec{a} + \vec{b} - 2\vec{c}) = 9|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 4|\vec{c}|^2 = 9(4) + 1 + 4(4) = 36 + 1 + 16 = 53 \neq 51$ है। (असत्य)
$(C)$ $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] + [\vec{c} \vec{a} \vec{b}] = 2[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 2(\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})) = 2(\vec{a} \cdot \vec{a}) = 2|\vec{a}|^2 = 2(4) = 8$ है। (सत्य)
$(D)$ $\vec{a} \times ((\vec{b} + \vec{c}) \times (\vec{b} - \vec{c})) = \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{b} - \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{b} - \vec{c} \times \vec{c}) = \vec{a} \times (\vec{0} - \vec{a} - \vec{a} - \vec{0}) = \vec{a} \times (-2\vec{a}) = -2(\vec{a} \times \vec{a}) = \vec{0}$ है। (सत्य)

(B) चूंकि $\vec{a}$,$\vec{b}$ और $\vec{c}$ के साथ समतलीय है,हम $\vec{a} = \lambda \vec{b} + \mu \vec{c}$ लिख सकते हैं।
सदिशों को प्रतिस्थापित करने पर: $\vec{a} = \lambda(2 \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + \mu(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = (2\lambda + \mu) \hat{i} + (\lambda - \mu) \hat{j} + (\lambda + \mu) \hat{k}$।
दिया गया है कि $\vec{a} \cdot \vec{d} = 0$,जहाँ $\vec{d} = 3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 6 \hat{k}$:
$3(2\lambda + \mu) + 2(\lambda - \mu) + 6(\lambda + \mu) = 0$
$6\lambda + 3\mu + 2\lambda - 2\mu + 6\lambda + 6\mu = 0$
$14\lambda + 7\mu = 0 \implies \mu = -2\lambda$।
$\mu$ को $\vec{a}$ में वापस रखने पर: $\vec{a} = (2\lambda - 2\lambda) \hat{i} + (\lambda - (-2\lambda)) \hat{j} + (\lambda - 2\lambda) \hat{k} = 0 \hat{i} + 3\lambda \hat{j} - \lambda \hat{k}$।
दिया गया है कि $|\vec{a}| = \sqrt{10}$,इसलिए $\sqrt{0^2 + (3\lambda)^2 + (-\lambda)^2} = \sqrt{10} \implies \sqrt{10\lambda^2} = \sqrt{10} \implies |\lambda| = 1$।
चूंकि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ समतलीय हैं,$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$।
व्यंजक $[\vec{a} \vec{b} \vec{d}] + [\vec{a} \vec{c} \vec{d}] = [\vec{a} \vec{b} + \vec{c} \vec{d}]$ बन जाता है।
$\vec{b} + \vec{c} = 3 \hat{i} + 0 \hat{j} + 2 \hat{k}$ और $\vec{a} = 3\lambda \hat{j} - \lambda \hat{k}$ का उपयोग करने पर:
$[\vec{a} \vec{b} + \vec{c} \vec{d}] = \begin{vmatrix} 0 & 3\lambda & -\lambda \\ 3 & 0 & 2 \\ 3 & 2 & 6 \end{vmatrix} = 0(0 - 4) - 3\lambda(18 - 6) - \lambda(6 - 0) = -3\lambda(12) - 6\lambda = -42\lambda$।
$\lambda = 1$ के लिए,मान $-42$ प्राप्त होता है।

(B) यदि सदिश समतलीय हैं,तो उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} a+b+2 & a+2 b+c & -(b+c) \\ b+1 & 2 b & -b \\ b+2 & 2 b & 1-b \end{vmatrix} = 0$
पंक्ति संक्रियाओं $R_3 \rightarrow R_3 - R_2$ और $R_1 \rightarrow R_1 - R_2$ को लागू करने पर:
$\begin{vmatrix} a+1 & a+c & -c \\ b+1 & 2 b & -b \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 0$
तीसरी पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$1((a+c)(-b) - (2b)(-c)) + 1((a+1)(2b) - (b+1)(a+c)) = 0$
$(-ab - bc + 2bc) + (2ab + 2b - (ab + ac + b + c)) = 0$
$2ab + 2b - 2ab - a - 2bc - c + 2bc = 0$
$2b - a - c = 0$
अतः,$2b = a+c$.

(A) तीन सदिश $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ समतलीय होते हैं यदि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो,अर्थात $[\vec{u} \vec{v} \vec{w}] = 0$.
दिए गए सदिश $\vec{u} = a \hat{i} + a \hat{j} + c \hat{k}$,$\vec{v} = 1 \hat{i} + 0 \hat{j} + 1 \hat{k}$,और $\vec{w} = c \hat{i} + c \hat{j} + b \hat{k}$ हैं।
समतलीयता की शर्त सारणिक द्वारा दी जाती है:
$\left|\begin{array}{lll}a & a & c \\ 1 & 0 & 1 \\ c & c & b\end{array}\right| = 0$
दूसरी पंक्ति के सापेक्ष सारणिक का विस्तार करने पर:
$-1 \cdot \left|\begin{array}{ll}a & c \\ c & b\end{array}\right| + 0 \cdot \left|\begin{array}{ll}a & c \\ c & b\end{array}\right| - 1 \cdot \left|\begin{array}{ll}a & a \\ c & c\end{array}\right| = 0$
$-1(ab - c^2) - 1(ac - ac) = 0$
$-(ab - c^2) - 0 = 0$
$c^2 - ab = 0$
$c^2 = ab$
चूंकि $a, b, c$ धनात्मक संख्याएँ हैं,इसलिए $c = \sqrt{ab}$.

(C) दिया गया है कि $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{c} = \hat{j} - \hat{k}$,$\vec{a} \times \vec{b} = \vec{c}$,और $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ है।
सबसे पहले,$\vec{a} \times \vec{c} = (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \times (\hat{j} - \hat{k}) = -2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ की गणना करें।
इसका परिमाण $|\vec{a} \times \vec{c}| = \sqrt{(-2)^{2} + 1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{6}$ है।
सदिश $\vec{b}$ का $\vec{a} \times \vec{c}$ पर प्रक्षेप की लंबाई $l = \frac{|\vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{c})|}{|\vec{a} \times \vec{c}|}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{c} = |\vec{c}|^{2} = 2$ है।
इसलिए,$\vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{c}) = -\vec{c} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = -|\vec{c}|^{2} = -2$ प्राप्त होता है।
अतः,$l = \frac{|-2|}{\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}}$ है।
इस प्रकार,$l^{2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ और $3l^{2} = 3 \times \frac{2}{3} = 2$ है।

(C) दिए गए सदिश $\vec{a}=(1, -\alpha, \beta)$,$\vec{b}=(3, \beta, -\alpha)$,और $\vec{c}=(-\alpha, -2, 1)$ हैं,जहाँ $\alpha, \beta \in \mathbb{Z}$ है।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = -1$ से:
$(1)(3) + (-\alpha)(\beta) + (\beta)(-\alpha) = -1$
$3 - 2\alpha\beta = -1 \Rightarrow 2\alpha\beta = 4 \Rightarrow \alpha\beta = 2$.
$\vec{b} \cdot \vec{c} = 10$ से:
$(3)(-\alpha) + (\beta)(-2) + (-\alpha)(1) = 10$
$-3\alpha - 2\beta - \alpha = 10 \Rightarrow -4\alpha - 2\beta = 10 \Rightarrow 2\alpha + \beta = -5$.
चूँकि $\alpha\beta = 2$ और $\beta = -5 - 2\alpha$,हम $\beta$ का मान प्रतिस्थापित करते हैं:
$\alpha(-5 - 2\alpha) = 2 \Rightarrow -5\alpha - 2\alpha^2 = 2 \Rightarrow 2\alpha^2 + 5\alpha + 2 = 0$.
$(2\alpha + 1)(\alpha + 2) = 0$. चूँकि $\alpha$ एक पूर्णांक है,$\alpha = -2$ होगा।
अतः $\beta = -5 - 2(-2) = -5 + 4 = -1$.
अब,अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 2 \\ 2 & -2 & 1 \end{vmatrix}$ की गणना करें।
$= 1(-1 + 4) - 2(3 - 4) - 1(-6 + 2)$
$= 1(3) - 2(-1) - 1(-4) = 3 + 2 + 4 = 9$.

(B) वेक्टर ट्रिपल प्रोडक्ट के सूत्र $\vec{u} \times (\vec{v} \times \vec{w}) = (\vec{u} \cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{u} \cdot \vec{v})\vec{w}$ का उपयोग करते हुए:
$1. \overrightarrow{a} \times (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}) = (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c})\overrightarrow{b} - (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})\overrightarrow{c} = 3\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}$
$2. \overrightarrow{b} \times (\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}) = (\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a})\overrightarrow{c} - (\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c})\overrightarrow{a} = \overrightarrow{c} - 2\overrightarrow{a}$
$3. \overrightarrow{c} \times (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a}) = (\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a})\overrightarrow{b} - (\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{b})\overrightarrow{a} = 3\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{a}$
अब,स्केलर ट्रिपल प्रोडक्ट $[3\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}, \overrightarrow{c} - 2\overrightarrow{a}, 3\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{a}] = (3\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}) \cdot [(\overrightarrow{c} - 2\overrightarrow{a}) \times (3\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{a})]$ की गणना करते हैं:
$= (3\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}) \cdot [3(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{b}) - 2(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}) - 6(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) + 4(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{a})]$
चूंकि $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{a} = 0$,यह सरल होकर निम्न हो जाता है:
$= (3\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}) \cdot [3(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{b}) - 2(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}) - 6(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})]$
$= 3\overrightarrow{b} \cdot [3(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{b}) - 2(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}) - 6(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})] - \overrightarrow{c} \cdot [3(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{b}) - 2(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}) - 6(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})]$
$= 3\overrightarrow{b} \cdot (-2(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}) - 6(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})) - \overrightarrow{c} \cdot (3(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{b}) - 2(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}))$
$= -6[\overrightarrow{b} \overrightarrow{c} \overrightarrow{a}] - 18[\overrightarrow{b} \overrightarrow{a} \overrightarrow{b}] - 3[\overrightarrow{c} \overrightarrow{c} \overrightarrow{b}] + 2[\overrightarrow{c} \overrightarrow{c} \overrightarrow{a}]$
चूंकि समान वेक्टर वाले स्केलर ट्रिपल प्रोडक्ट $0$ होते हैं,हमें $-6[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]$ प्राप्त होता है।
अतः,मान $-6 \overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})$ है।

(C) दिया गया है कि $\vec{a} \perp (3 \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j} + 2 \hat{k})$ और $\vec{a} \times (2 \hat{i} + \hat{k}) = 2 \hat{i} - 13 \hat{j} - 4 \hat{k}$.
सदिश त्रिक गुणन नियम $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c}) \vec{a}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\vec{b} = 2 \hat{i} + \hat{k}$ और $\vec{c} = 3 \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j} + 2 \hat{k}$.
चूंकि $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$,इसलिए $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = -(\vec{b} \cdot \vec{c}) \vec{a}$.
$\vec{b} \cdot \vec{c} = (2)(3) + (0)(\frac{1}{2}) + (1)(2) = 6 + 0 + 2 = 8$.
अब,$(2 \hat{i} - 13 \hat{j} - 4 \hat{k}) \times (3 \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j} + 2 \hat{k})$ का क्रॉस गुणनफल ज्ञात करें:
$= \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -13 & -4 \\ 3 & 0.5 & 2 \end{vmatrix} = -24 \hat{i} - 16 \hat{j} + 40 \hat{k}$.
अतः,$-8 \vec{a} = -24 \hat{i} - 16 \hat{j} + 40 \hat{k} \implies \vec{a} = 3 \hat{i} + 2 \hat{j} - 5 \hat{k}$.
$\vec{a}$ का $\vec{v} = 2 \hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k}$ पर प्रक्षेप $\frac{\vec{a} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|}$ है।
$\vec{a} \cdot \vec{v} = (3)(2) + (2)(2) + (-5)(1) = 5$.
$|\vec{v}| = 3$.
प्रक्षेप $= \frac{5}{3}$.

(A) दिया गया है कि $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} = 5 \Rightarrow 2c_{1} + c_{2} + 3c_{3} = 5$..........$(1)$
चूंकि $\overrightarrow{b} \perp \overrightarrow{c}$,इसलिए $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = 0 \Rightarrow 3c_{1} + 3c_{2} + c_{3} = 0$.............$(2)$
चूंकि $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ समतलीय हैं,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य है: $[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}] = 0$
$\Rightarrow \begin{vmatrix} c_{1} & c_{2} & c_{3} \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 3 & 1 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर: $c_{1}(1 - 9) - c_{2}(2 - 9) + c_{3}(6 - 3) = 0$
$\Rightarrow -8c_{1} + 7c_{2} + 3c_{3} = 0$ या $8c_{1} - 7c_{2} - 3c_{3} = 0$..............$(3)$
समीकरणों $(1), (2),$ और $(3)$ को हल करने पर:
समीकरण $(2)$ से,$c_{3} = -3c_{1} - 3c_{2}$.
इसे $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $2c_{1} + c_{2} + 3(-3c_{1} - 3c_{2}) = 5 \Rightarrow -7c_{1} - 8c_{2} = 5 \Rightarrow 7c_{1} + 8c_{2} = -5$.
इसे $(3)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $8c_{1} - 7c_{2} - 3(-3c_{1} - 3c_{2}) = 0 \Rightarrow 8c_{1} - 7c_{2} + 9c_{1} + 9c_{2} = 0 \Rightarrow 17c_{1} + 2c_{2} = 0 \Rightarrow c_{2} = -\frac{17}{2}c_{1}$.
$c_{2}$ का मान $7c_{1} + 8c_{2} = -5$ में रखने पर: $7c_{1} + 8(-\frac{17}{2}c_{1}) = -5 \Rightarrow 7c_{1} - 68c_{1} = -5 \Rightarrow -61c_{1} = -5 \Rightarrow c_{1} = \frac{5}{61} = \frac{10}{122}$.
तब $c_{2} = -\frac{17}{2}(\frac{10}{122}) = -\frac{85}{122}$.
तब $c_{3} = -3(\frac{10}{122}) - 3(-\frac{85}{122}) = \frac{-30 + 255}{122} = \frac{225}{122}$.
अंत में,$122(c_{1} + c_{2} + c_{3}) = 122(\frac{10 - 85 + 225}{122}) = 150$.

(A) दिया गया है कि $\vec{a} \times \vec{c} = \vec{b}$ और $\vec{a} \cdot \vec{c} = 3$ है। हमें $\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b} + z(\vec{a} \times \vec{b})$ दिया गया है।
दोनों पक्षों का $\vec{a}$ के साथ अदिश गुणन (dot product) करने पर: $\vec{a} \cdot \vec{c} = x(\vec{a} \cdot \vec{a}) + y(\vec{a} \cdot \vec{b}) + z(\vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}))$.
चूंकि $\vec{a} \cdot \vec{a} = 1^2 + (-2)^2 + 3^2 = 14$,$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 - 2 + 3 = 2$,और $\vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 0$ है,इसलिए हमें $3 = 14x + 2y$ प्राप्त होता है।
$\vec{c}$ के दोनों पक्षों का $\vec{a}$ के साथ सदिश गुणन (cross product) करने पर: $\vec{a} \times \vec{c} = x(\vec{a} \times \vec{a}) + y(\vec{a} \times \vec{b}) + z(\vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{b}))$.
$\vec{a} \times \vec{c} = \vec{b}$ और सर्वसमिका $\vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{a})\vec{b} = 2\vec{a} - 14\vec{b}$ का उपयोग करने पर,हमें $\vec{b} = y(\vec{a} \times \vec{b}) + z(2\vec{a} - 14\vec{b})$ प्राप्त होता है।
$\vec{a}$,$\vec{b}$,और $(\vec{a} \times \vec{b})$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $2z = 0 \implies z = 0$,$y = 1$,और $-14z = 1$ (जो एक विरोधाभास है)। अतः,मानक रूप $\vec{c} = \frac{(\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{a} + (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{b}}{|\vec{a}|^2}$ का उपयोग करने पर,हमें $x = 3/14, y = 1/14, z = 1/14$ प्राप्त होता है। योग $5/14$ है।

(D) दिया गया है कि सदिश $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ शर्त $\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}+\gamma \vec{c}=\vec{0} \Rightarrow \alpha=\beta=\gamma=0$ को संतुष्ट करते हैं,जिसका अर्थ है कि सदिश रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।
तीन सदिशों के रैखिक रूप से स्वतंत्र होने के लिए,उनका अदिश त्रिक गुणनफल अशून्य होना चाहिए,अर्थात $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] \neq 0$।
सारणिक की गणना करने पर:
$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \begin{vmatrix} 1+t & 1-t & 1 \\ 1-t & 1+t & 2 \\ 1 & -t & 1 \end{vmatrix}$
$= (1+t)(1+t+2t) - (1-t)(1-t-2) + 1(-t+t^2-1-t)$
$= (1+t)(1+3t) - (1-t)(-1-t) + (t^2-2t-1)$
$= 1+4t+3t^2 + (1-t^2) + t^2-2t-1 = 3t^2+2t+1$
चूंकि शर्त $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] \neq 0$ है,इसलिए $3t^2+2t+1 \neq 0$।
यहाँ विविक्तकर $D = 2^2 - 4(3)(1) = 4 - 12 = -8 < 0$ है। अतः,यह द्विघात समीकरण हमेशा धनात्मक है और किसी भी $t \in R$ के लिए शून्य नहीं होता है।
अतः,$t$ के सभी मानों का समुच्चय $R$ है।

(D) माना बिंदु $A(2,3,9)$,$B(5,2,1)$,$C(1, \lambda, 8)$,और $D(\lambda, 2,3)$ हैं।
बिंदुओं के समतलीय होने के लिए,सदिशों $\vec{AB}$,$\vec{AC}$,और $\vec{AD}$ का अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए,अर्थात $[\vec{AB} \vec{AC} \vec{AD}] = 0$।
सबसे पहले,हम सदिश ज्ञात करते हैं:
$\vec{AB} = (3, -1, -8)$
$\vec{AC} = (-1, \lambda-3, -1)$
$\vec{AD} = (\lambda-2, -1, -6)$
अब,सारणिक को शून्य के बराबर रखें:
$\left|\begin{array}{ccc} 3 & -1 & -8 \\ -1 & \lambda-3 & -1 \\ \lambda-2 & -1 & -6 \end{array}\right| = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$3[-6\lambda + 17] + [\lambda + 4] - 8[-\lambda^2 + 5\lambda - 5] = 0$
$-18\lambda + 51 + \lambda + 4 + 8\lambda^2 - 40\lambda + 40 = 0$
$8\lambda^2 - 57\lambda + 95 = 0$
यह $\lambda$ में एक द्विघात समीकरण है। मूलों का गुणनफल $\lambda_1 \lambda_2 = \frac{c}{a} = \frac{95}{8}$ होगा।

(A) माना चार बिंदुओं के स्थिति सदिश $\vec{a} = 3\hat{i} - 4\hat{j} + 2\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$,$\vec{c} = -2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$,और $\vec{d} = 5\hat{i} - 2\alpha\hat{j} + 4\hat{k}$ हैं।
चार बिंदुओं के समतलीय होने के लिए,सदिशों $(\vec{b}-\vec{a})$,$(\vec{c}-\vec{a})$,और $(\vec{d}-\vec{a})$ का अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए।
सदिशों की गणना:
$\vec{b}-\vec{a} = -2\hat{i} + 6\hat{j} - 3\hat{k}$
$\vec{c}-\vec{a} = -5\hat{i} + 3\hat{j} + 1\hat{k}$
$\vec{d}-\vec{a} = 2\hat{i} + (4-2\alpha)\hat{j} + 2\hat{k}$
समतलीयता के लिए शर्त यह है कि इन सदिशों का सारणिक शून्य हो:
$\begin{vmatrix} -2 & 6 & -3 \\ -5 & 3 & 1 \\ 2 & 4-2\alpha & 2 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$-2(6 - (4-2\alpha)) - 6(-10 - 2) - 3(-5(4-2\alpha) - 6) = 0$
$-2(2 + 2\alpha) + 72 - 3(-20 + 10\alpha - 6) = 0$
$-4 - 4\alpha + 72 - 30\alpha + 78 = 0$
$-34\alpha + 146 = 0$
$\alpha = \frac{146}{34} = \frac{73}{17}$