Scalar triple product and their applications Questions in Hindi

(C) चूंकि सदिश $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ समतलीय हैं,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य है: $\begin{vmatrix} \lambda & \mu & 4 \\ 2 & 4 & -2 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix} = 0$.
सारणिक का विस्तार करने पर: $\lambda(4+6) - \mu(2+4) + 4(6-8) = 0 \Rightarrow 10\lambda - 6\mu - 8 = 0 \Rightarrow 5\lambda - 3\mu = 4$.
सदिश $\vec{b}$ पर $\vec{a}$ का प्रक्षेप $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} = \sqrt{54}$ द्वारा दिया जाता है।
$|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+16+4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2\lambda + 4\mu - 8$.
अतः,$\frac{2\lambda + 4\mu - 8}{2\sqrt{6}} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} \Rightarrow 2\lambda + 4\mu - 8 = 36 \Rightarrow 2\lambda + 4\mu = 44 \Rightarrow \lambda + 2\mu = 22$.
इन समीकरणों को हल करने पर,$\lambda+\mu$ के संभावित मानों का योग $24$ प्राप्त होता है।

(C) स्थिति सदिश इस प्रकार दिए गए हैं:
$\vec{OA} = \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$
$\vec{OB} = \lambda \vec{a} - 3 \vec{b} + 4 \vec{c}$
$\vec{OC} = -\vec{a} + 2 \vec{b} - 3 \vec{c}$
$\vec{OD} = 2 \vec{a} - 4 \vec{b} + 6 \vec{c}$
अब,सदिश $\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{AC}$ और $\overrightarrow{AD}$ ज्ञात करें:
$\overrightarrow{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (\lambda - 1)\vec{a} - 2\vec{b} + 3\vec{c}$
$\overrightarrow{AC} = \vec{OC} - \vec{OA} = -2\vec{a} + 3\vec{b} - 4\vec{c}$
$\overrightarrow{AD} = \vec{OD} - \vec{OA} = \vec{a} - 3\vec{b} + 5\vec{c}$
चूंकि $\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{AC}$ और $\overrightarrow{AD}$ समतलीय हैं,इसलिए उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} \lambda - 1 & -2 & 3 \\ -2 & 3 & -4 \\ 1 & -3 & 5 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$(\lambda - 1)(15 - 12) + 2(-10 + 4) + 3(6 - 3) = 0$
$(\lambda - 1)(3) + 2(-6) + 3(3) = 0$
$3\lambda - 3 - 12 + 9 = 0$
$3\lambda - 6 = 0 \Rightarrow \lambda = 2$

(C) अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{u} \vec{v} \vec{w}] = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})$ द्वारा दिया जाता है।
अदिश त्रिक गुणनफल का न्यूनतम मान $-|\vec{u}| |\vec{v} \times \vec{w}| = -\alpha \sqrt{3401}$ है।
दिया गया है $|\vec{u}| = \alpha$,इसलिए $|\vec{v} \times \vec{w}| = \sqrt{3401}$ है।
सदिश गुणनफल $\vec{v} \times \vec{w}$ की गणना करने पर:
$\vec{v} \times \vec{w} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \alpha & 2 & -3 \\ 2\alpha & 1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2 + 3) - \hat{j}(-\alpha + 6\alpha) + \hat{k}(\alpha - 4\alpha) = \hat{i} - 5\alpha \hat{j} - 3\alpha \hat{k}$.
अब,$|\vec{v} \times \vec{w}|^2 = 1^2 + (-5\alpha)^2 + (-3\alpha)^2 = 1 + 25\alpha^2 + 9\alpha^2 = 1 + 34\alpha^2$.
इसे $3401$ के बराबर रखने पर: $1 + 34\alpha^2 = 3401 \implies 34\alpha^2 = 3400 \implies \alpha^2 = 100 \implies \alpha = 10$.
न्यूनतम मान तब प्राप्त होता है जब $\vec{u}$,$\vec{v} \times \vec{w}$ की विपरीत दिशा में हो,इसलिए $\vec{u} = -k(\hat{i} - 5\alpha \hat{j} - 3\alpha \hat{k})$ जहाँ $k > 0$.
$|\vec{u}| = k \sqrt{1 + 34\alpha^2} = k \sqrt{3401} = \alpha = 10 \implies k = \frac{10}{\sqrt{3401}}$.
अतः $\vec{u} = -\frac{10}{\sqrt{3401}}(\hat{i} - 50\hat{j} - 30\hat{k})$.
$|\vec{u} \cdot \hat{i}|^2 = |-\frac{10}{\sqrt{3401}}|^2 = \frac{100}{3401}$.
इस प्रकार $m = 100$ और $n = 3401$ है। चूँकि $m$ और $n$ सह-अभाज्य हैं,$m + n = 100 + 3401 = 3501$.

(A) बिंदु $A, B, C, D$ समतलीय होते हैं यदि और केवल यदि सदिशों $\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}$ का अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो,अर्थात $[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] = 0$.
सबसे पहले,हम सदिश ज्ञात करते हैं:
$\vec{AB} = -4\hat{i} - 3\hat{j} + (3-2\lambda)\hat{k}$
$\vec{AC} = -7\hat{i} + (\lambda-5)\hat{j} + (4-2\lambda)\hat{k}$
$\vec{AD} = -6\hat{i} + 0\hat{j} + (6-2\lambda)\hat{k}$
सारणिक को शून्य के बराबर रखने पर:
$\begin{vmatrix} -4 & -3 & 3-2\lambda \\ -7 & \lambda-5 & 4-2\lambda \\ -6 & 0 & 6-2\lambda \end{vmatrix} = 0$
तीसरी पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$-6[(-3)(4-2\lambda) - (3-2\lambda)(\lambda-5)] + (6-2\lambda)[(-4)(\lambda-5) - (-3)(-7)] = 0$
इस समीकरण को हल करने पर हमें $\lambda^2 - 5\lambda + 6 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$\lambda = 2, 3$ अर्थात $S = \{2, 3\}$.
योगफल की गणना करने पर: $\sum_{\lambda \in S}(\lambda+2)^2 = (2+2)^2 + (3+2)^2 = 16 + 25 = 41$.

(D) माना कि दिए गए बिंदु $P, Q, R,$ और $S$ हैं जिनके स्थिति सदिश इस प्रकार हैं:
$\vec{p} = \hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}$
$\vec{q} = 2 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k}$
$\vec{r} = (\alpha+1) \hat{i}+2 \hat{k}$
$\vec{s} = 9 \hat{i}+(\alpha-8) \hat{j}+6 \hat{k}$
बिंदु समतलीय होते हैं यदि सदिश $\vec{PQ}, \vec{PR},$ और $\vec{PS}$ समतलीय हों,जिसका अर्थ है कि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य है:
$\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$
$\vec{PR} = \vec{r} - \vec{p} = \alpha\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$
$\vec{PS} = \vec{s} - \vec{p} = 8\hat{i} + (\alpha-6)\hat{j} + 3\hat{k}$
समतलीयता के लिए,इन सदिशों का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ \alpha & 2 & -1 \\ 8 & \alpha-6 & 3 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$1(6 + \alpha - 6) + 1(3\alpha + 8) + (\alpha^2 - 6\alpha - 16) = 0$
$\alpha^2 - 2\alpha - 8 = 0$
$(\alpha - 4)(\alpha + 2) = 0$
अतः,$\alpha$ के मान $4$ और $-2$ हैं।
इन मानों का योग $4 + (-2) = 2$ है।

(C) सदिशों $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक का आयतन अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = V$ द्वारा दिया जाता है।
नए समांतर षट्फलक का आयतन जिसके किनारे $\vec{a}, \vec{b}+\vec{c}$ और $\vec{a}+2\vec{b}+3\vec{c}$ हैं,अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{a}, \vec{b}+\vec{c}, \vec{a}+2\vec{b}+3\vec{c}]$ द्वारा दिया जाता है।
अदिश त्रिक गुणनफल के गुणों का उपयोग करते हुए,हम इसे सदिशों $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ के गुणांकों के सारणिक (determinant) के रूप में व्यक्त कर सकते हैं:
$[\vec{a}, \vec{b}+\vec{c}, \vec{a}+2\vec{b}+3\vec{c}] = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]$.
सारणिक की गणना करने पर:
$1(1 \times 3 - 1 \times 2) - 0 + 0 = 1(3 - 2) = 1$.
अतः,आयतन $1 \times V = V$ है।

(C) चूंकि $\overrightarrow{u}_1, \overrightarrow{u}_2, \overrightarrow{u}_3$ समतलीय हैं,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य है:
$\left[\overrightarrow{u}_1 \overrightarrow{u}_2 \overrightarrow{u}_3\right] = \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & a \\ 1 & b & 1 \\ c & 1 & 1 \end{array}\right| = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर: $1(b-1) - 1(1-c) + a(1-bc) = 0$
$b - 1 - 1 + c + a - abc = 0 \Rightarrow abc = a + b + c - 2$ $(1)$
चूंकि $\overrightarrow{v}_1, \overrightarrow{v}_2, \overrightarrow{v}_3$ समतलीय हैं,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य है:
$\left[\overrightarrow{v}_1 \overrightarrow{v}_2 \overrightarrow{v}_3\right] = \left|\begin{array}{ccc} a+b & c & c \\ a & b+c & a \\ b & b & c+a \end{array}\right| = 0$
$R_3 \rightarrow R_3 - (R_1 + R_2)$ लागू करने पर:
$\left|\begin{array}{ccc} a+b & c & c \\ a & b+c & a \\ -2a & -2c & 0 \end{array}\right| = 0$
$R_3$ के अनुदिश विस्तार करने पर: $-2a(ac - c(b+c)) + 2c(a(b+c) - ac) = 0$
$-2a(ac - bc - c^2) + 2c(ab + ac - ac) = 0$
$-2a^2c + 2abc + 2ac^2 + 2abc = 0$
$4abc - 2a^2c + 2ac^2 = 0 \Rightarrow 2abc - a^2c + ac^2 = 0$
इस समीकरण से $abc = 0$ प्राप्त होता है।
$abc = 0$ को $(1)$ में रखने पर: $0 = a + b + c - 2 \Rightarrow a + b + c = 2$
अतः,$6(a + b + c) = 6(2) = 12$.

(C) दिया गया है $\vec{a}=2 \hat{i}+7 \hat{j}-\hat{k}$,$\vec{b}=3 \hat{i}+5 \hat{k}$,और $\vec{c}=\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$।
चूंकि $\vec{d}$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ दोनों के लंबवत है,इसलिए $\vec{d} = \lambda(\vec{a} \times \vec{b})$।
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 7 & -1 \\ 3 & 0 & 5 \end{vmatrix} = 35\hat{i} - 13\hat{j} - 21\hat{k}$।
अतः,$\vec{d} = \lambda(35\hat{i} - 13\hat{j} - 21\hat{k})$।
$\vec{c} \cdot \vec{d} = 12$ दिया गया है,इसलिए $\lambda(\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}) \cdot (35\hat{i} - 13\hat{j} - 21\hat{k}) = 12$।
$\lambda(35 + 13 - 42) = 12 \implies 6\lambda = 12 \implies \lambda = 2$।
इस प्रकार,$\vec{d} = 70\hat{i} - 26\hat{j} - 42\hat{k}$।
अब,$(-\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) \cdot (\vec{c} \times \vec{d}) = \begin{vmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 70 & -26 & -42 \end{vmatrix} = 44$।

(D) चूंकि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ स्थिति सदिश वाले चार बिंदु समतलीय हैं,इसलिए सदिश $(\vec{b}-\vec{a}), (\vec{c}-\vec{a}),$ और $(\vec{d}-\vec{a})$ समतलीय हैं।
अतः,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होगा: $[\vec{b}-\vec{a}, \vec{c}-\vec{a}, \vec{d}-\vec{a}] = 0$.
इसका विस्तार करने पर,$(\vec{b}-\vec{a}) \cdot ((\vec{c}-\vec{a}) \times (\vec{d}-\vec{a})) = 0$ प्राप्त होता है।
अदिश त्रिक गुणनफल के गुणों का उपयोग करते हुए,यह $[\vec{b} \vec{c} \vec{d}] - [\vec{b} \vec{c} \vec{a}] - [\vec{b} \vec{a} \vec{d}] - [\vec{a} \vec{c} \vec{d}] = 0$ में विस्तारित होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = [\vec{b} \vec{c} \vec{d}] + [\vec{d} \vec{a} \vec{c}] + [\vec{d} \vec{b} \vec{a}]$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(A) दिया गया है $\vec{a}=\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$ और $\vec{b}=\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$।
हम जानते हैं कि $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(1) + (2)(1) + (3)(-1) = 1 + 2 - 3 = 0$,अतः $\vec{a} \perp \vec{b}$।
साथ ही,$|\vec{b}| = \sqrt{1^2+1^2+(-1)^2} = \sqrt{3}$।
दिया गया है $\vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{c}) = 27$। यह अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{b}, \vec{a}, \vec{c}] = 27$ है।
सदिश त्रिक गुणनफल के नियम का उपयोग करते हुए $\vec{b} \times (\vec{a} \times \vec{c}) = (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a} - (\vec{b} \cdot \vec{a})\vec{c}$।
चूंकि $\vec{b} \cdot \vec{a} = 0$,इसलिए $\vec{b} \times (\vec{a} \times \vec{c}) = (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a}$।
दिया गया है $\vec{b} \cdot \vec{c} = -\sqrt{3}|\vec{b}| = -\sqrt{3}(\sqrt{3}) = -3$।
अतः,$\vec{b} \times (\vec{a} \times \vec{c}) = -3\vec{a}$।
दोनों पक्षों का परिमाण लेने पर: $|\vec{b}| |\vec{a} \times \vec{c}| \sin \theta = |-3\vec{a}| = 3|\vec{a}|$,जहाँ $\theta$ सदिश $\vec{b}$ और $\vec{a} \times \vec{c}$ के बीच का कोण है।
$|\vec{a}| = \sqrt{1^2+2^2+3^2} = \sqrt{14}$।
अतः,$\sqrt{3} |\vec{a} \times \vec{c}| \sin \theta = 3\sqrt{14}$।
साथ ही,$\vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{c}) = |\vec{b}| |\vec{a} \times \vec{c}| \cos \theta = 27$।
$\sqrt{3} |\vec{a} \times \vec{c}| \cos \theta = 27 \implies |\vec{a} \times \vec{c}| \cos \theta = \frac{27}{\sqrt{3}} = 9\sqrt{3}$।
वर्ग करके जोड़ने पर: $(|\vec{a} \times \vec{c}| \sin \theta)^2 + (|\vec{a} \times \vec{c}| \cos \theta)^2 = (\frac{3\sqrt{14}}{\sqrt{3}})^2 + (9\sqrt{3})^2$।
$|\vec{a} \times \vec{c}|^2 = 3(14) + 81(3) = 42 + 243 = 285$।

(A) चूंकि सदिश समतलीय हैं,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होगा:
$\left|\begin{array}{lll}a & 1 & 1 \\ 1 & b & 1 \\ 1 & 1 & c\end{array}\right|=0$
स्तंभ संक्रियाओं $C_2 \rightarrow C_2 - C_1$ और $C_3 \rightarrow C_3 - C_1$ का उपयोग करने पर:
$\left|\begin{array}{lll}a & 1-a & 1-a \\ 1 & b-1 & 0 \\ 1 & 0 & c-1\end{array}\right|=0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$a(b-1)(c-1) - (1-a)(c-1) + (1-a)(1-b) = 0$
पूरे समीकरण को $(1-a)(1-b)(1-c)$ से विभाजित करने पर (ध्यान दें कि $a, b, c \neq 1$):
$\frac{a(b-1)(c-1)}{(1-a)(1-b)(1-c)} - \frac{(1-a)(c-1)}{(1-a)(1-b)(1-c)} + \frac{(1-a)(1-b)}{(1-a)(1-b)(1-c)} = 0$
$\frac{a}{(1-a)} + \frac{1}{(1-b)} + \frac{1}{(1-c)} = 0$
चूंकि $\frac{a}{1-a} = \frac{a-1+1}{1-a} = -1 + \frac{1}{1-a}$,इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$-1 + \frac{1}{1-a} + \frac{1}{1-b} + \frac{1}{1-c} = 0$
अतः,$\frac{1}{1-a} + \frac{1}{1-b} + \frac{1}{1-c} = 1$.

(C) सदिशों के समतलीय होने के लिए,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} \lambda & -1 & 1 \\ 1 & 2 & \mu \\ 3 & -4 & 5 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$\lambda(10 + 4\mu) - (-1)(5 - 3\mu) + 1(-4 - 6) = 0$
$10\lambda + 4\lambda\mu + 5 - 3\mu - 10 = 0$
$10\lambda + 4\lambda\mu - 3\mu - 5 = 0$
दिया गया है $\lambda - \mu = 5$,इसलिए $\lambda = \mu + 5$. इस मान को समीकरण में रखने पर:
$10(\mu + 5) + 4(\mu + 5)\mu - 3\mu - 5 = 0$
$10\mu + 50 + 4\mu^2 + 20\mu - 3\mu - 5 = 0$
$4\mu^2 + 27\mu + 45 = 0$
$(4\mu + 15)(\mu + 3) = 0$
अतः,$\mu_1 = -15/4$ और $\mu_2 = -3$.
संगत $\lambda$ के मान $\lambda_1 = -15/4 + 5 = 5/4$ और $\lambda_2 = -3 + 5 = 2$ हैं।
समुच्चय $S = \{(5/4, -15/4), (2, -3)\}$ है।
अब,$\sum_{(\lambda, \mu) \in S} 80(\lambda^2 + \mu^2)$ की गणना करने पर:
$= 80[((5/4)^2 + (-15/4)^2) + (2^2 + (-3)^2)]$
$= 80[(25/16 + 225/16) + (4 + 9)]$
$= 80[250/16 + 13] = 80[15.625 + 13] = 80[28.625] = 2290$.

(B) हमें व्यंजक $\vec{a} \cdot ((\vec{c} \times \vec{b})-\vec{b}-\vec{c})$ का मान ज्ञात करना है।
अदिश गुणन (dot product) के वितरण नियम का उपयोग करने पर:
$\vec{a} \cdot ((\vec{c} \times \vec{b})-\vec{b}-\vec{c}) = \vec{a} \cdot (\vec{c} \times \vec{b}) - \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{c} \quad ........(i)$
दिया है कि $\vec{a} \times \vec{c} = \vec{b}$ है।
दोनों पक्षों का $\vec{b}$ के साथ अदिश गुणन करने पर:
$(\vec{a} \times \vec{c}) \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\vec{b} = 3\hat{i}-3\hat{j}+3\hat{k}$ है,इसलिए $|\vec{b}|^2 = 3^2 + (-3)^2 + 3^2 = 9+9+9 = 27$ होगा।
अतः,$\vec{a} \cdot (\vec{c} \times \vec{b}) = [\vec{a} \vec{c} \vec{b}] = (\vec{a} \times \vec{c}) \cdot \vec{b} = 27 \quad ........(ii)$
अब,$\vec{a} \cdot \vec{b}$ की गणना करते हैं:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(3) + (2)(-3) + (1)(3) = 3 - 6 + 3 = 0 \quad ........(iii)$
दिया है कि $\vec{a} \cdot \vec{c} = 3 \quad ........(iv)$
समीकरण $(ii), (iii),$ और $(iv)$ के मानों को $(i)$ में रखने पर:
$27 - 0 - 3 = 24$।

(D) दिया गया है $\vec{d} = \frac{\vec{b}+\vec{c}}{|\vec{b}+\vec{c}|}$.
चूंकि $\vec{a} \cdot \vec{d} = 1$,हमारे पास $\vec{a} \cdot \frac{\vec{b}+\vec{c}}{|\vec{b}+\vec{c}|} = 1$ है,जिसका अर्थ है $\vec{a} \cdot (\vec{b}+\vec{c}) = |\vec{b}+\vec{c}|$.
$\vec{a} \cdot (\vec{b}+\vec{c}) = (\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) \cdot ((x+2)\hat{i} + 6\hat{j} - 2\hat{k}) = x+2+6-2 = x+6$ की गणना करें।
$|\vec{b}+\vec{c}| = |(x+2)\hat{i} + 6\hat{j} - 2\hat{k}| = \sqrt{(x+2)^2 + 6^2 + (-2)^2} = \sqrt{x^2+4x+4+36+4} = \sqrt{x^2+4x+44}$ की गणना करें।
दोनों को बराबर करने पर: $x+6 = \sqrt{x^2+4x+44}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(x+6)^2 = x^2+4x+44 \implies x^2+12x+36 = x^2+4x+44$.
$8x = 8 \implies x = 1$.
अब,अदिश त्रिक गुणनफल $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & -5 \\ x & 2 & 3 \end{vmatrix}$ की गणना करें।
$x=1$ प्रतिस्थापित करने पर: $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & -5 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 1(12+10) - 1(6+5) + 1(4-4) = 22 - 11 + 0 = 11$.
अतः,मान $11$ है।

(C) तीन सदिश समतलीय होते हैं यदि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो।
अदिश त्रिक गुणनफल सारणिक द्वारा दिया जाता है:
$\left|\begin{array}{ccc}-\lambda^2 & 1 & 1 \\ 1 & -\lambda^2 & 1 \\ 1 & 1 & -\lambda^2\end{array}\right| = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$-\lambda^2(\lambda^4 - 1) - 1(-\lambda^2 - 1) + 1(1 + \lambda^2) = 0$
$-\lambda^6 + \lambda^2 + \lambda^2 + 1 + 1 + \lambda^2 = 0$
$-\lambda^6 + 3\lambda^2 + 2 = 0$
$\lambda^6 - 3\lambda^2 - 2 = 0$
मान लीजिए $x = \lambda^2$. तब $x^3 - 3x - 2 = 0$.
गुणनखंड करने पर,$(x+1)^2(x-2) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$(\lambda^2+1)^2(\lambda^2-2) = 0$.
वास्तविक $\lambda$ के लिए,$\lambda^2+1$ शून्य नहीं हो सकता।
इस प्रकार,$\lambda^2 - 2 = 0$,जिससे $\lambda = \pm \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
$\lambda$ के $2$ भिन्न वास्तविक मान हैं।

(A) सदिशों $\hat{a}, \hat{b}, \hat{c}$ द्वारा परिभाषित समांतर षट्फलक का आयतन अदिश त्रिक गुणनफल $|\hat{a} \cdot (\hat{b} \times \hat{c})|$ द्वारा दिया जाता है।
यह ग्राम मैट्रिक्स के सारणिक के वर्गमूल के बराबर होता है:
आयतन $= \sqrt{\det \begin{bmatrix} \hat{a} \cdot \hat{a} & \hat{a} \cdot \hat{b} & \hat{a} \cdot \hat{c} \\ \hat{b} \cdot \hat{a} & \hat{b} \cdot \hat{b} & \hat{b} \cdot \hat{c} \\ \hat{c} \cdot \hat{a} & \hat{c} \cdot \hat{b} & \hat{c} \cdot \hat{c} \end{bmatrix}}$.
दिया गया है कि $\hat{a} \cdot \hat{a} = \hat{b} \cdot \hat{b} = \hat{c} \cdot \hat{c} = 1$ और $\hat{a} \cdot \hat{b} = \hat{b} \cdot \hat{c} = \hat{c} \cdot \hat{a} = 1/2$,इसलिए:
आयतन $= \sqrt{\det \begin{bmatrix} 1 & 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 & 1 \end{bmatrix}}$.
सारणिक की गणना करने पर: $1(1 - 1/4) - 1/2(1/2 - 1/4) + 1/2(1/4 - 1/2) = 1(3/4) - 1/2(1/4) + 1/2(-1/4) = 3/4 - 1/8 - 1/8 = 3/4 - 2/8 = 3/4 - 1/4 = 1/2$.
अतः,आयतन $\sqrt{1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।

(A) दिया गया है $2 \sin ^2 \theta + \sin ^2 2 \theta = 2$। $\sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $2 \sin ^2 \theta + 4 \sin ^2 \theta \cos ^2 \theta = 2$।
$2$ से विभाजित करने पर,$\sin ^2 \theta + 2 \sin ^2 \theta (1 - \sin ^2 \theta) = 1$।
$3 \sin ^2 \theta - 2 \sin ^4 \theta - 1 = 0 \Rightarrow 2 \sin ^4 \theta - 3 \sin ^2 \theta + 1 = 0$।
$(2 \sin ^2 \theta - 1)(\sin ^2 \theta - 1) = 0$।
अतः $\sin ^2 \theta = \frac{1}{2}$ या $\sin ^2 \theta = 1$।
इस प्रकार $\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}$।
$(B)$ मान लीजिए $y = \frac{3x}{\pi}$। तो $f(x) = [2y] \cos [y]$। फलन $[2y]$ बिंदु $2y = k \in \mathbb{Z}$ पर असातत्य है,अर्थात $y = \frac{k}{2}$। फलन $\cos [y]$ बिंदु $y = k \in \mathbb{Z}$ पर असातत्य है।
$x \in [0, \pi]$ के लिए,$y \in [0, 3]$।
असातत्य बिंदु $y \in \{0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3\}$ पर प्राप्त होते हैं।
$x = \frac{y\pi}{3}$ में बदलने पर,हमें $x \in \{\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}, \pi\}$ प्राप्त होता है।
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,बिंदुओं का समुच्चय $\{\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}, \pi\}$ है।
$(C)$ आयतन = $|(\hat{i}+\hat{j}) \cdot ((\hat{i}+2\hat{j}) \times (\hat{i}+\hat{j}+\pi\hat{k}))| = |\det \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & \pi \end{bmatrix}| = |\pi(2-1)| = \pi$।
$(D)$ $\vec{a} + \vec{b} = -\sqrt{3}\vec{c}$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} = 3|\vec{c}|^2$।
$1 + 1 + 2 \cos \alpha = 3(1) \Rightarrow 2 \cos \alpha = 1 \Rightarrow \cos \alpha = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = \frac{\pi}{3}$।

(C) दिया गया है,$|\overrightarrow{u}|=1, |\overrightarrow{v}|=1, \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} \neq 0, \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}=1, \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{w}=1, \overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{w}=4$ है।
समांतर षट्फलक का आयतन अदिश त्रिक गुणनफल $|[\overrightarrow{u} \overrightarrow{v} \overrightarrow{w}]| = \sqrt{2}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$[\overrightarrow{u} \overrightarrow{v} \overrightarrow{w}]^2 = 2$ है।
ग्राम सारणिक (Gram determinant) के गुण का उपयोग करते हुए:
$[\overrightarrow{u} \overrightarrow{v} \overrightarrow{w}]^2 = \begin{vmatrix} \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} & \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} & \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w} \\ \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u} & \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v} & \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{w} \\ \overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{u} & \overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{v} & \overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{w} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} & 1 \\ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 4 \end{vmatrix} = 2$ है।
सारणिक का विस्तार करने पर:
$1(4 - 1) - (\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v})(4\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} - 1) + 1(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} - 1) = 2$ है।
$3 - 4(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v})^2 + \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} - 1 = 2$ है।
$-4(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v})^2 + 2(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}) = 0$ है।
$2(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v})(1 - 2(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v})) = 0$ है।
चूँकि $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} \neq 0$,इसलिए $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \frac{1}{2}$ है।
अब,$|3\overrightarrow{u} + 5\overrightarrow{v}|^2 = 9|\overrightarrow{u}|^2 + 25|\overrightarrow{v}|^2 + 30(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}) = 9(1) + 25(1) + 30(\frac{1}{2}) = 9 + 25 + 15 = 49$ है।
अतः,$|3\overrightarrow{u} + 5\overrightarrow{v}| = \sqrt{49} = 7$ है।

(C) समांतर चतुर्भुज $PQRS$ में,विकर्ण $\overrightarrow{PR} = \overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{PS}$ और $\overrightarrow{SQ} = \overrightarrow{PQ} - \overrightarrow{PS}$ हैं।
$\overrightarrow{PQ}$ और $\overrightarrow{PS}$ के लिए हल करने पर:
$\overrightarrow{PQ} = \frac{\overrightarrow{PR} + \overrightarrow{SQ}}{2}$
$\overrightarrow{PS} = \frac{\overrightarrow{PR} - \overrightarrow{SQ}}{2}$
$\overrightarrow{PT}, \overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{PS}$ द्वारा निर्धारित समांतर षट्फलक का आयतन $V$,अदिश त्रिक गुणनफल $|[\overrightarrow{PT}, \overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{PS}]|$ द्वारा दिया जाता है।
$V = |\overrightarrow{PT} \cdot (\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PS})|$
$V = |\overrightarrow{PT} \cdot (\frac{\overrightarrow{PR} + \overrightarrow{SQ}}{2} \times \frac{\overrightarrow{PR} - \overrightarrow{SQ}}{2})|$
$V = \frac{1}{4} |\overrightarrow{PT} \cdot (\overrightarrow{PR} \times \overrightarrow{PR} - \overrightarrow{PR} \times \overrightarrow{SQ} + \overrightarrow{SQ} \times \overrightarrow{PR} - \overrightarrow{SQ} \times \overrightarrow{SQ})|$
चूंकि $\overrightarrow{PR} \times \overrightarrow{PR} = 0$ और $\overrightarrow{SQ} \times \overrightarrow{SQ} = 0$,और $\overrightarrow{SQ} \times \overrightarrow{PR} = -(\overrightarrow{PR} \times \overrightarrow{SQ})$:
$V = \frac{1}{4} |\overrightarrow{PT} \cdot (-2(\overrightarrow{PR} \times \overrightarrow{SQ}))| = \frac{1}{2} |[\overrightarrow{PT}, \overrightarrow{PR}, \overrightarrow{SQ}]|$
$V = \frac{1}{2} |\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & -2 \\ 1 & -3 & -4 \end{vmatrix}|$
$V = \frac{1}{2} |1(-4 - 6) - 2(-12 + 2) + 3(-9 - 1)|$
$V = \frac{1}{2} |-10 + 20 - 30| = \frac{1}{2} |-20| = 10$.

(A) समुच्चय $V$ में $(\pm 1, \pm 1, \pm 1)$ रूप के $8$ सदिश हैं।
ये सदिश मूल बिंदु पर केंद्रित एक घन के शीर्षों को दर्शाते हैं।
$8$ में से $3$ सदिशों को चुनने के कुल तरीके $\binom{8}{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ हैं।
यदि तीन सदिश मूल बिंदु से गुजरने वाले एक ही समतल में स्थित हों,तो वे समतलीय कहलाते हैं।
किसी भी सदिश $\vec{v} \in V$ के लिए,उसका ऋणात्मक $-\vec{v}$ भी $V$ में है। यदि हम विपरीत सदिशों का एक जोड़ा $(\vec{v}, -\vec{v})$ चुनते हैं,तो कोई भी तीसरा सदिश $\vec{u} \in V$ उनके साथ एक समतलीय समुच्चय बनाएगा क्योंकि $\vec{v}$ और $\vec{u}$ को समाहित करने वाला समतल $-\vec{v}$ को भी समाहित करता है।
विपरीत सदिशों के ऐसे $4$ जोड़े हैं: $(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}, -\hat{i}-\hat{j}-\hat{k})$,$(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}, -\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})$,$(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}, -\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})$,और $(\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}, -\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$.
प्रत्येक जोड़े के लिए,$6$ शेष सदिश हैं। इस प्रकार,$3$ समतलीय सदिशों के $4 \times 6 = 24$ समुच्चय हैं।
असमतलीय समुच्चयों की संख्या $= 56 - 24 = 32$.
हमें दिया गया है कि तरीकों की संख्या $2^p$ है,इसलिए $2^p = 32 = 2^5$.
अतः,$p = 5$.

(D) दिया गया है कि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ इकाई सदिश हैं और उनके बीच का कोण $\frac{\pi}{3}$ है,इसलिए $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a} = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.
दिया गया समीकरण $p \vec{a} + q \vec{b} + r \vec{c} = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c}$ है।
क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ के साथ अदिश गुणन (dot product) लेने पर:
$1$) $\vec{a} \cdot (p \vec{a} + q \vec{b} + r \vec{c}) = \vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c}) \Rightarrow p + \frac{q}{2} + \frac{r}{2} = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$.
$2$) $\vec{b} \cdot (p \vec{a} + q \vec{b} + r \vec{c}) = \vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c}) \Rightarrow \frac{p}{2} + q + \frac{r}{2} = 0$.
$3$) $\vec{c} \cdot (p \vec{a} + q \vec{b} + r \vec{c}) = \vec{c} \cdot (\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c}) \Rightarrow \frac{p}{2} + \frac{q}{2} + r = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$.
$(1)$ और $(3)$ से,$p + \frac{q}{2} + \frac{r}{2} = \frac{p}{2} + \frac{q}{2} + r \Rightarrow p = r$.
$r = p$ को $(2)$ में रखने पर: $\frac{p}{2} + q + \frac{p}{2} = 0 \Rightarrow p + q = 0 \Rightarrow q = -p$.
अब,$\frac{p^2 + 2q^2 + r^2}{q^2} = \frac{p^2 + 2(-p)^2 + p^2}{(-p)^2} = \frac{p^2 + 2p^2 + p^2}{p^2} = \frac{4p^2}{p^2} = 4$.

(A) दिए गए अदिश त्रिक गुणन $(\overrightarrow{OP} \times \overrightarrow{OQ}) \cdot \overrightarrow{OR} = 0$ के लिए,घटकों का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} \frac{\alpha-1}{\alpha} & 1 & 1 \\ 1 & \frac{\beta-1}{\beta} & 1 \\ 1 & 1 & \frac{1}{2} \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$\frac{\alpha-1}{\alpha} (\frac{\beta-1}{2\beta} - 1) - 1 (\frac{1}{2} - 1) + 1 (1 - \frac{\beta-1}{\beta}) = 0$
इस समीकरण को हल करने पर हमें प्राप्त होता है:
$\alpha + \beta + 1 = 0 \Rightarrow \alpha + \beta = -1$ $(1)$
चूंकि बिंदु $(\alpha, \beta, 2)$ समतल $3x + 3y - z + l = 0$ पर स्थित है:
$3\alpha + 3\beta - 2 + l = 0$
$3(\alpha + \beta) - 2 + l = 0$
समीकरण $(1)$ का उपयोग करने पर:
$3(-1) - 2 + l = 0$
$-3 - 2 + l = 0 \Rightarrow l = 5$

(B) दिया गया समीकरण: $15 \hat{i}+10 \hat{j}+6 \hat{k}=\alpha(2 \vec{p}+\vec{q})+\beta(\vec{p}-2 \vec{q})+\gamma(\vec{p} \times \vec{q})$.
दोनों पक्षों का $(\vec{p} \times \vec{q})$ के साथ अदिश गुणन (dot product) लेने पर,हम जानते हैं कि $(\vec{p} \times \vec{q}) \cdot (2 \vec{p}+\vec{q}) = 0$ और $(\vec{p} \times \vec{q}) \cdot (\vec{p}-2 \vec{q}) = 0$ क्योंकि सदिश गुणनफल दोनों सदिशों के लंबवत होता है।
अतः,हमें प्राप्त होता है: $(15 \hat{i}+10 \hat{j}+6 \hat{k}) \cdot (\vec{p} \times \vec{q}) = \gamma |\vec{p} \times \vec{q}|^2$.
बायां पक्ष अदिश त्रिक गुणन $[15 \hat{i}+10 \hat{j}+6 \hat{k}, \vec{p}, \vec{q}]$ है,जो सारणिक द्वारा दिया जाता है:
$\begin{vmatrix} 15 & 10 & 6 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 15(1 - (-3)) - 10(2 - 3) + 6(-2 - 1) = 15(4) - 10(-1) + 6(-3) = 60 + 10 - 18 = 52$.
अब,$\vec{p} \times \vec{q} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 4 \hat{i} + \hat{j} - 3 \hat{k}$ की गणना करें।
तब $|\vec{p} \times \vec{q}|^2 = 4^2 + 1^2 + (-3)^2 = 16 + 1 + 9 = 26$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $52 = \gamma(26)$.
अतः,$\gamma = 2$.

(D) चूंकि सदिश $\vec{X}, \vec{Y}, \vec{Z}$ एक समतल में स्थित हैं,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए,अर्थात $[\vec{X} \vec{Y} \vec{Z}] = 0$.
इसे दो सारणिकों के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है:
$\begin{vmatrix} \alpha & \beta & -1 \\ -1 & \alpha & \beta \\ \beta & -1 & \alpha \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 0$.
दूसरे सारणिक की गणना करने पर: $1(6-1) - 2(4-3) + 3(2-9) = 5 - 2 - 21 = -18 \neq 0$.
अतः,पहला सारणिक शून्य होना चाहिए: $\alpha^3 + \beta^3 + (-1)^3 - 3(\alpha)(\beta)(-1) = 0$.
$\alpha^3 + \beta^3 - 1 + 3\alpha\beta = 0 \Rightarrow \alpha^3 + \beta^3 + (-1)^3 = 3\alpha\beta(-1)$.
सर्वसमिका $a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ का उपयोग करने पर,हमें $(\alpha+\beta-1)(\alpha^2+\beta^2+1-\alpha\beta+\alpha+\beta) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\alpha, \beta > 0$,दूसरा गुणनखंड हमेशा धनात्मक होता है,इसलिए $\alpha+\beta-1 = 0$,जिसका अर्थ है $\alpha+\beta = 1$.
अतः,$\alpha+\beta-3 = 1-3 = -2$.

(D) अदिश त्रिक गुणन (scalar triple product) को $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
अदिश त्रिक गुणन के रैखिकता गुण का उपयोग करते हुए:
$[\vec{p}-\vec{r}, \vec{q}, \vec{s}] = [\vec{p}, \vec{q}, \vec{s}] - [\vec{r}, \vec{q}, \vec{s}] = [\vec{p}, \vec{q}, \vec{s}] + [\vec{q}, \vec{r}, \vec{s}]$.
$[\vec{p}+\vec{q}, \vec{r}, \vec{s}] = [\vec{p}, \vec{r}, \vec{s}] + [\vec{q}, \vec{r}, \vec{s}]$.
इन दो व्यंजकों को जोड़ने पर:
$([\vec{p}, \vec{q}, \vec{s}] + [\vec{q}, \vec{r}, \vec{s}]) + ([\vec{p}, \vec{r}, \vec{s}] + [\vec{q}, \vec{r}, \vec{s}]) = [\vec{p}, \vec{r}, \vec{s}] + 2[\vec{q}, \vec{r}, \vec{s}] + [\vec{p}, \vec{q}, \vec{s}]$.
इसकी तुलना $m[\vec{p}, \vec{r}, \vec{s}] + n[\vec{q}, \vec{r}, \vec{s}] + t[\vec{p}, \vec{q}, \vec{s}]$ से करने पर,हमें $m=1$,$n=2$,$t=1$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है कि $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$,और $\overrightarrow{c}$ असमतलीय सदिश हैं,इसलिए उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य नहीं है:
$[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}] = \left|\begin{array}{lll}1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2\end{array}\right| \neq 0$.
माना $\Delta = \left|\begin{array}{lll}1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2\end{array}\right|$.
हमें सारणिक समीकरण दिया गया है:
$\left|\begin{array}{lll}a & a^2 & 1+a^3 \\ b & b^2 & 1+b^3 \\ c & c^2 & 1+c^3\end{array}\right| = 0$.
सारणिक के गुणधर्म का उपयोग करके,हम इसे दो सारणिकों में विभाजित कर सकते हैं:
$\left|\begin{array}{lll}a & a^2 & 1 \\ b & b^2 & 1 \\ c & c^2 & 1\end{array}\right| + \left|\begin{array}{lll}a & a^2 & a^3 \\ b & b^2 & b^3 \\ c & c^2 & c^3\end{array}\right| = 0$.
दूसरे सारणिक में,क्रमशः पंक्ति $1, 2, 3$ से $a, b, c$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\left|\begin{array}{lll}a & a^2 & 1 \\ b & b^2 & 1 \\ c & c^2 & 1\end{array}\right| + abc \left|\begin{array}{lll}1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2\end{array}\right| = 0$.
ध्यान दें कि $\left|\begin{array}{lll}a & a^2 & 1 \\ b & b^2 & 1 \\ c & c^2 & 1\end{array}\right| = \left|\begin{array}{lll}1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2\end{array}\right| = \Delta$ (स्तंभों को दो बार आपस में बदलने पर)।
अतः,$\Delta + abc \Delta = 0 \Rightarrow \Delta(1 + abc) = 0$.
चूंकि $\Delta \neq 0$,इसलिए $1 + abc = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $abc = -1$।

(B) दिए गए सदिश $\bar{a}=3 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$,$\bar{b}=2 \hat{i}-\hat{j}+23 \hat{k}$,और $\bar{c}=7 \hat{i}-\hat{j}+23 \hat{k}$ हैं।
यह जांचने के लिए कि क्या वे समतलीय हैं,हम अदिश त्रिक गुणनफल $[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = \begin{vmatrix} 3 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 23 \\ 7 & -1 & 23 \end{vmatrix}$ की गणना करते हैं।
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर: $3((-1)(23) - (-1)(23)) - 1((2)(23) - (7)(23)) - 1((2)(-1) - (7)(-1))$.
$= 3(0) - 1(46 - 161) - 1(-2 + 7) = 0 - (-115) - 5 = 115 - 5 = 110$.
चूंकि अदिश त्रिक गुणनफल $110 \neq 0$ है,इसलिए सदिश असमतलीय हैं।

(A) चूंकि बिंदु $O(0, 0, 0)$,$A(1, 2, 3)$,$B(2, 3, 4)$ और $P(x, y, z)$ समतलीय हैं,इसलिए सदिशों $\vec{OA}$,$\vec{OB}$ और $\vec{OP}$ का अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए।
समतलीयता के लिए शर्त सारणिक द्वारा दी जाती है:
$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ x & y & z \end{vmatrix} = 0$
तीसरी पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$x(2 \times 4 - 3 \times 3) - y(1 \times 4 - 3 \times 2) + z(1 \times 3 - 2 \times 2) = 0$
$x(8-9) - y(4-6) + z(3-4) = 0$
$-x - y(-2) + z(-1) = 0$
$-x + 2y - z = 0$
$-1$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x - 2y + z = 0$

(D) चूँकि सदिश $\overline{c}$,$\overline{a}$ और $\overline{b}$ के समतल में स्थित है,इसलिए सदिश $\overline{a}, \overline{b}$ और $\overline{c}$ समतलीय (coplanar) हैं।
तीन सदिशों के समतलीय होने के लिए,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए: $\overline{a} \cdot (\overline{b} \times \overline{c}) = 0$।
यह घटकों के सारणिक (determinant) के शून्य होने के बराबर है:
$\begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ x & -(2-x) & -1 \end{vmatrix} = 0$
$\Rightarrow 1(-1 - (-(2-x))) - (-1)(-1 - x) + 2(-(2-x) - x) = 0$
$\Rightarrow 1(-1 + 2 - x) + 1(-1 - x) + 2(-2 + x - x) = 0$
$\Rightarrow 1(1 - x) - 1 - x + 2(-2) = 0$
$\Rightarrow 1 - x - 1 - x - 4 = 0$
$\Rightarrow -2x - 4 = 0$
$\Rightarrow -2x = 4$
$\Rightarrow x = -2$

(C) चूंकि सदिश $\bar{a}, \bar{b},$ और $\bar{c}$ समतलीय हैं,इसलिए उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए,अर्थात $[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = 0$.
यह उनके घटकों द्वारा निर्मित सारणिक के शून्य होने के बराबर है:
$\begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \\ 3 & \lambda & 5 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$2(2 \times 5 - (-3) \times \lambda) - (-1)(1 \times 5 - (-3) \times 3) + 1(1 \times \lambda - 2 \times 3) = 0$
$2(10 + 3\lambda) + 1(5 + 9) + 1(\lambda - 6) = 0$
$20 + 6\lambda + 14 + \lambda - 6 = 0$
$7\lambda + 28 = 0$
$\lambda = -4$
अब,जांचें कि किस समीकरण का मूल $\lambda = -4$ है:
विकल्प $C$ के लिए: $x^2 + 3x = 4 \Rightarrow x^2 + 3x - 4 = 0 \Rightarrow (x+4)(x-1) = 0$.
अतः,$x = -4$ समीकरण $x^2 + 3x = 4$ का एक मूल है।

(C) चार बिंदु $A, B, C,$ और $D$ समतलीय होते हैं यदि सदिशों $\vec{AB}, \vec{AC},$ और $\vec{AD}$ का अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो,अर्थात $[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] = 0$।
सबसे पहले,हम सदिश ज्ञात करते हैं:
$\vec{AB} = (2-1)\hat{i} + (1-1)\hat{j} + (p-2)\hat{k} = \hat{i} + 0\hat{j} + (p-2)\hat{k}$
$\vec{AC} = (1-1)\hat{i} + (0-1)\hat{j} + (3-2)\hat{k} = 0\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$
$\vec{AD} = (2-1)\hat{i} + (2-1)\hat{j} + (0-2)\hat{k} = \hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$
अब,सारणिक की गणना करते हैं:
$\begin{vmatrix} 1 & 0 & p-2 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$1((-1)(-2) - (1)(1)) - 0(...) + (p-2)((0)(1) - (-1)(1)) = 0$
$1(2 - 1) + (p-2)(1) = 0$
$1 + p - 2 = 0$
$p - 1 = 0$
$p = 1$

(B) दो रेखाएँ $\overline{r} = \overline{a_1} + \lambda \overline{v_1}$ और $\overline{r} = \overline{a_2} + \mu \overline{v_2}$ केवल तभी प्रतिच्छेद करती हैं यदि उनके बीच की न्यूनतम दूरी $0$ हो।
प्रतिच्छेदन के लिए शर्त $(\overline{a_2} - \overline{a_1}) \cdot (\overline{v_1} \times \overline{v_2}) = 0$ है।
यहाँ,$\overline{a_1} = \overline{a}$,$\overline{v_1} = \overline{b} \times \overline{c}$,$\overline{a_2} = \overline{c}$,और $\overline{v_2} = \overline{a} \times \overline{b}$ है।
इन मानों को शर्त में रखने पर: $(\overline{c} - \overline{a}) \cdot ((\overline{b} \times \overline{c}) \times (\overline{a} \times \overline{b})) = 0$।
सदिश त्रिक गुणनफल के नियम $(\overline{x} \times \overline{y}) \times \overline{z} = (\overline{x} \cdot \overline{z})\overline{y} - (\overline{y} \cdot \overline{z})\overline{x}$ का उपयोग करके,हम $(\overline{b} \times \overline{c}) \times (\overline{a} \times \overline{b})$ को सरल करते हैं।
मान लीजिए $\overline{d} = \overline{a} \times \overline{b}$। तब $(\overline{b} \times \overline{c}) \times \overline{d} = (\overline{b} \cdot \overline{d})\overline{c} - (\overline{c} \cdot \overline{d})\overline{b}$।
चूँकि $\overline{d} = \overline{a} \times \overline{b}$,इसलिए $\overline{b} \cdot \overline{d} = 0$ और $\overline{c} \cdot \overline{d} = [\overline{c} \overline{a} \overline{b}] = [\overline{a} \overline{b} \overline{c}]$ होता है।
इस प्रकार,सदिश गुणनफल $-[\overline{a} \overline{b} \overline{c}] \overline{b}$ प्राप्त होता है।
शर्त $(\overline{c} - \overline{a}) \cdot (-[\overline{a} \overline{b} \overline{c}] \overline{b}) = 0$ बन जाती है।
इसका अर्थ है कि $-[\overline{a} \overline{b} \overline{c}] (\overline{c} \cdot \overline{b} - \overline{a} \cdot \overline{b}) = 0$।
यह शर्त तब संतुष्ट होती है यदि $[\overline{a} \overline{b} \overline{c}] = 0$ हो।

(C) तीन सदिश $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ समतलीय होते हैं यदि और केवल यदि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो,अर्थात $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$।
दिए गए सदिश $\vec{a} = m \hat{i} + m \hat{j} + n \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} + 0 \hat{j} + \hat{k}$,और $\vec{c} = n \hat{i} + n \hat{j} + p \hat{k}$ हैं।
अदिश त्रिक गुणनफल सारणिक द्वारा दिया जाता है:
$\begin{vmatrix} m & m & n \\ 1 & 0 & 1 \\ n & n & p \end{vmatrix} = 0$।
दूसरी पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$-1 \begin{vmatrix} m & n \\ n & p \end{vmatrix} + 0 - 1 \begin{vmatrix} m & m \\ n & n \end{vmatrix} = 0$।
$-1(mp - n^2) - 1(mn - mn) = 0$।
$-(mp - n^2) - 0 = 0$।
$n^2 - mp = 0 \implies n^2 = mp$।
यह स्थिति दर्शाती है कि $m, n, p$ $G$.$P$. (गुणोत्तर श्रेणी) में हैं।

(B) तीन सदिश रैखिक रूप से आश्रित होते हैं यदि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो।
माना सदिश $\vec{a} = (p+1) \hat{i} - 3 \hat{j} + p \hat{k}$,$\vec{b} = p \hat{i} + (p+1) \hat{j} - 3 \hat{k}$,और $\vec{c} = -3 \hat{i} + p \hat{j} + (p+1) \hat{k}$ हैं।
रैखिक आश्रितता के लिए शर्त $\det(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = 0$ है।
$\begin{vmatrix} p+1 & -3 & p \\ p & p+1 & -3 \\ -3 & p & p+1 \end{vmatrix} = 0$.
सारणिक का विस्तार करने पर:
$(p+1)((p+1)^2 + 3p) + 3(p(p+1) - 9) + p(p^2 + 3(p+1)) = 0$.
$(p+1)(p^2 + 2p + 1 + 3p) + 3(p^2 + p - 9) + p(p^2 + 3p + 3) = 0$.
$(p+1)(p^2 + 5p + 1) + 3p^2 + 3p - 27 + p^3 + 3p^2 + 3p = 0$.
$(p^3 + 5p^2 + p + p^2 + 5p + 1) + 6p^2 + 6p + p^3 - 27 = 0$.
$2p^3 + 12p^2 + 12p - 26 = 0$.
$p^3 + 6p^2 + 6p - 13 = 0$.
निरीक्षण द्वारा,$p=1$ एक मूल है क्योंकि $1 + 6 + 6 - 13 = 0$.
$(p-1)$ से विभाजित करने पर,हमें $(p-1)(p^2 + 7p + 13) = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण $p^2 + 7p + 13 = 0$ का विविक्तकर $D = 49 - 4(13) = 49 - 52 = -3 < 0$ है।
अतः,$p$ के लिए केवल एक वास्तविक पूर्णांक मान है,जो $p=1$ है।
इसलिए,$p$ के पूर्णांक मानों की संख्या $1$ है।

(D) हम जानते हैं कि अदिश त्रिगुणन $[\overline{a} \overline{b} \overline{c}] = (\overline{a} \times \overline{b}) \cdot \overline{c}$ होता है।
पहले पद के लिए: $\overline{p} \cdot (\overline{a} + \overline{b}) = \overline{p} \cdot \overline{a} + \overline{p} \cdot \overline{b}$.
$\overline{p} = \frac{\overline{b} \times \overline{c}}{[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\overline{p} \cdot \overline{a} = \frac{(\overline{b} \times \overline{c}) \cdot \overline{a}}{[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]} = \frac{[\overline{b} \overline{c} \overline{a}]}{[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]} = \frac{[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]}{[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]} = 1$.
$\overline{p} \cdot \overline{b} = \frac{(\overline{b} \times \overline{c}) \cdot \overline{b}}{[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]} = 0$ (क्योंकि $\overline{b} \times \overline{c}$,$\overline{b}$ के लंबवत है)।
अतः,$\overline{p} \cdot (\overline{a} + \overline{b}) = 1 + 0 = 1$.
इसी प्रकार,$\overline{q} \cdot (\overline{b} + \overline{c}) = 1$ और $\overline{r} \cdot (\overline{c} + \overline{a}) = 1$.
इनका योग करने पर,हमें $1 + 1 + 1 = 3$ प्राप्त होता है।

(C) माना $\overline{d} = p\hat{i} + q\hat{j} + r\hat{k}$,जहाँ $p, q, r \in \mathbb{R}$ है।
चूंकि $\overline{b}, \overline{c}, \overline{d}$ समतलीय हैं,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होगा:
$\begin{vmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ p & q & r \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर: $0(0 - q) - 1(-r - p) + (-1)(-q - 0) = 0$
$r + p + q = 0 \implies p + q + r = 0 \dots (i)$
दिया गया है कि $\overline{a}$ और $\overline{d}$ लंबवत हैं,इसलिए उनका डॉट गुणनफल शून्य होगा:
$\overline{a} \cdot \overline{d} = (1, -1, 0) \cdot (p, q, r) = p - q = 0 \implies p = q \dots (ii)$
समीकरण $(ii)$ को $(i)$ में रखने पर: $p + p + r = 0 \implies r = -2p$.
अतः,$\overline{d} = p\hat{i} + p\hat{j} - 2p\hat{k} = p(\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k})$.
चूंकि $\overline{d}$ एक इकाई सदिश है,$|\overline{d}| = 1$:
$|p|\sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = 1 \implies |p|\sqrt{6} = 1 \implies p = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}$.
यदि $p = \frac{1}{\sqrt{6}}$ है,तो $\overline{d} = \frac{1}{\sqrt{6}}(1, 1, -2)$,जो विकल्प $(C)$ के अनुरूप है।

(B) दिया गया अदिश त्रिक गुणन समीकरण: $[m\overline{a}+\overline{b} \quad m\overline{b}+\overline{c} \quad m\overline{c}+\overline{a}] = 28[\overline{a} \quad \overline{b} \quad \overline{c}]$।
गुणधर्म $[\overline{u}+\overline{v} \quad \overline{w} \quad \overline{x}] = [\overline{u} \quad \overline{w} \quad \overline{x}] + [\overline{v} \quad \overline{w} \quad \overline{x}]$ का उपयोग करके विस्तार करने पर:
$[m\overline{a}+\overline{b} \quad m\overline{b}+\overline{c} \quad m\overline{c}+\overline{a}] = m^3[\overline{a} \quad \overline{b} \quad \overline{c}] + [\overline{b} \quad \overline{c} \quad \overline{a}] = m^3[\overline{a} \quad \overline{b} \quad \overline{c}] + [\overline{a} \quad \overline{b} \quad \overline{c}]$।
चक्रीय क्रमचय के नियम के अनुसार $[\overline{b} \quad \overline{c} \quad \overline{a}] = [\overline{a} \quad \overline{b} \quad \overline{c}]$ होता है।
अतः,$(m^3+1)[\overline{a} \quad \overline{b} \quad \overline{c}] = 28[\overline{a} \quad \overline{b} \quad \overline{c}]$।
चूंकि सदिश असमतलीय हैं,इसलिए $[\overline{a} \quad \overline{b} \quad \overline{c}] \neq 0$।
अतः,$m^3+1 = 28 \implies m^3 = 27 \implies m = 3$।

(B) सदिशों $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक का आयतन $V = |\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})|$ द्वारा दिया जाता है।
$V = \begin{vmatrix} 1 & a & 1 \\ 0 & 1 & a \\ a & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1(1 - 0) - a(0 - a^2) + 1(0 - a) = 1 + a^3 - a$.
आयतन को न्यूनतम करने के लिए,हम $V$ का $a$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dV}{da} = 3a^2 - 1$.
$\frac{dV}{da} = 0$ रखने पर,हमें $3a^2 = 1$ प्राप्त होता है,इसलिए $a^2 = \frac{1}{3}$,जिसका अर्थ है $a = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$।
अब,हम द्वितीय अवकलज की जाँच करते हैं: $\frac{d^2V}{da^2} = 6a$।
$a = \frac{1}{\sqrt{3}}$ के लिए,$\frac{d^2V}{da^2} = 6(\frac{1}{\sqrt{3}}) > 0$,जो दर्शाता है कि इस बिंदु पर आयतन न्यूनतम है।
$a = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ के लिए,$\frac{d^2V}{da^2} = 6(-\frac{1}{\sqrt{3}}) < 0$,जो दर्शाता है कि इस बिंदु पर आयतन अधिकतम है।
अतः,$a = \frac{1}{\sqrt{3}}$ के लिए आयतन न्यूनतम है।

(A) चूंकि सदिश समतलीय हैं,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य है: $\left|\begin{array}{lll}a & 1 & 1 \\ 1 & b & 1 \\ 1 & 1 & c\end{array}\right|=0$.
$R_2 \rightarrow R_2-R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3-R_1$ लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है $\left|\begin{array}{ccc} a & 1 & 1 \\ 1-a & b-1 & 0 \\ 1-a & 0 & c-1 \end{array}\right|=0$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर: $a(b-1)(c-1) - 1(1-a)(c-1) + 1(0 - (b-1)(1-a)) = 0$.
$a(b-1)(c-1) + (1-a)(c-1) + (1-a)(b-1) = 0$.
पूरे समीकरण को $(1-a)(1-b)(1-c)$ से विभाजित करने पर,हमें मिलता है: $\frac{a(b-1)(c-1)}{(1-a)(1-b)(1-c)} + \frac{(1-a)(c-1)}{(1-a)(1-b)(1-c)} + \frac{(1-a)(b-1)}{(1-a)(1-b)(1-c)} = 0$.
यह सरल होकर बनता है: $\frac{-a}{(1-a)} + \frac{1}{(1-b)} + \frac{1}{(1-c)} = 0$.
हम $\frac{-a}{1-a}$ को $\frac{1-a-1}{1-a} = 1 - \frac{1}{1-a}$ के रूप में लिख सकते हैं।
इसे वापस रखने पर: $1 - \frac{1}{1-a} + \frac{1}{1-b} + \frac{1}{1-c} = 0$.
अतः,$\frac{1}{1-a} + \frac{1}{1-b} + \frac{1}{1-c} = 1$.

(A) दिया गया है कि $\bar{x}=\frac{\bar{b} \times \bar{c}}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]}, \bar{y}=\frac{\bar{c} \times \bar{a}}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]}, \bar{z}=\frac{\bar{a} \times \bar{b}}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]}$।
हमें $S = \bar{x} \cdot(\bar{a}+\bar{b})+\bar{y} \cdot(\bar{b}+\bar{c})+\bar{z} \cdot(\bar{c}+\bar{a})$ का मान ज्ञात करना है।
$\bar{x}, \bar{y}, \bar{z}$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$S = \frac{(\bar{b} \times \bar{c}) \cdot (\bar{a}+\bar{b})}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]} + \frac{(\bar{c} \times \bar{a}) \cdot (\bar{b}+\bar{c})}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]} + \frac{(\bar{a} \times \bar{b}) \cdot (\bar{c}+\bar{a})}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]}$।
अदिश त्रिक गुणनफल $[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = (\bar{a} \times \bar{b}) \cdot \bar{c}$ के गुणधर्म का उपयोग करते हुए और यह तथ्य कि यदि कोई दो सदिश समान हों तो अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होता है:
$S = \frac{[\bar{b} \bar{c} \bar{a}] + [\bar{b} \bar{c} \bar{b}] + [\bar{c} \bar{a} \bar{b}] + [\bar{c} \bar{a} \bar{c}] + [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] + [\bar{a} \bar{b} \bar{a}]}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]}$।
चूंकि $[\bar{b} \bar{c} \bar{b}] = 0, [\bar{c} \bar{a} \bar{c}] = 0, [\bar{a} \bar{b} \bar{a}] = 0$ और $[\bar{b} \bar{c} \bar{a}] = [\bar{c} \bar{a} \bar{b}] = [\bar{a} \bar{b} \bar{c}]$,हमें प्राप्त होता है:
$S = \frac{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] + 0 + [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] + 0 + [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] + 0}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]} = \frac{3[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]} = 3$।

(A) चूंकि सदिश $\bar{a}$,$\bar{b}$,और $\bar{c}$ रैखिक रूप से आश्रित हैं,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए: $\bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) = 0$.
यह सारणिक के शून्य होने के बराबर है:
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & 4 \\ 1 & \alpha & \beta \end{vmatrix} = 0$.
सारणिक का विस्तार करने पर:
$1(3\beta - 4\alpha) - 1(4\beta - 4) + 1(4\alpha - 3) = 0$.
$3\beta - 4\alpha - 4\beta + 4 + 4\alpha - 3 = 0$.
$-\beta + 1 = 0 \implies \beta = 1$.
दिया गया है कि $|\bar{c}| = \sqrt{3}$,इसलिए $\sqrt{1^2 + \alpha^2 + \beta^2} = \sqrt{3}$.
$1 + \alpha^2 + \beta^2 = 3$.
$\beta = 1$ रखने पर:
$1 + \alpha^2 + 1 = 3 \implies \alpha^2 = 1 \implies \alpha = \pm 1$.
विकल्पों की जांच करने पर,$\alpha = 1$ और $\beta = 1$ के लिए शर्त संतुष्ट होती है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) चूंकि सदिश $p \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\hat{i}+q \hat{j}+\hat{k}$ और $\hat{i}+\hat{j}+r \hat{k}$ समतलीय हैं,इसलिए उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होगा:
$\left|\begin{array}{lll}p & 1 & 1 \\ 1 & q & 1 \\ 1 & 1 & r\end{array}\right|=0$
सारणिक का प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$p(qr-1) - 1(r-1) + 1(1-q) = 0$
$pqr - p - r + 1 + 1 - q = 0$
$pqr - p - q - r + 2 = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर हमें प्राप्त होता है:
$pqr - (p+q+r) = -2$

(B) चूंकि $\vec{c}$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ का एक रैखिक संयोजन है,हम लिख सकते हैं $\vec{c} = m\vec{a} + n\vec{b}$ कुछ अदिश $m$ और $n$ के लिए।
वैकल्पिक रूप से,चूंकि $\vec{c}$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ के समतल में स्थित है,इसलिए अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = 0$ होगा।
सारणिक की गणना करने पर:
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ x & x-2 & -1 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$1(1 - 2(x-2)) - 1(-1 - 2x) + 1((x-2) - (-x)) = 0$
$1(1 - 2x + 4) - 1(-1 - 2x) + 1(x - 2 + x) = 0$
$(5 - 2x) + (1 + 2x) + (2x - 2) = 0$
$2x + 4 = 0$
$2x = -4$
$x = -2$

(B) चार बिंदु $A, B, C, D$ समतलीय होते हैं यदि सदिशों $\vec{AB}, \vec{AC},$ और $\vec{AD}$ का अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो,अर्थात $[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] = 0$।
दिए गए बिंदु $A(3,2,1), B(4, x, 5), C(4,2,-2), D(6,5,-1)$ हैं।
सदिश इस प्रकार हैं:
$\vec{AB} = (4-3)\hat{i} + (x-2)\hat{j} + (5-1)\hat{k} = \hat{i} + (x-2)\hat{j} + 4\hat{k}$
$\vec{AC} = (4-3)\hat{i} + (2-2)\hat{j} + (-2-1)\hat{k} = \hat{i} + 0\hat{j} - 3\hat{k}$
$\vec{AD} = (6-3)\hat{i} + (5-2)\hat{j} + (-1-1)\hat{k} = 3\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}$
समतलीयता के लिए,इन सदिशों का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} 1 & x-2 & 4 \\ 1 & 0 & -3 \\ 3 & 3 & -2 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$1(0 - (-9)) - (x-2)(-2 - (-9)) + 4(3 - 0) = 0$
$1(9) - (x-2)(7) + 4(3) = 0$
$9 - 7x + 14 + 12 = 0$
$-7x + 35 = 0$
$7x = 35$
$x = 5$

(A) तीन सदिश $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ समतलीय होते हैं यदि और केवल यदि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो,अर्थात $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$।
अदिश त्रिक गुणनफल सदिशों के घटकों के सारणिक द्वारा दिया जाता है:
$\begin{vmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 1 & 2 & -3 \\ 3 & \lambda & 5 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$2(2 \times 5 - (-3) \times \lambda) - (-1)(1 \times 5 - (-3) \times 3) + (-1)(1 \times \lambda - 2 \times 3) = 0$
$2(10 + 3\lambda) + 1(5 + 9) - 1(\lambda - 6) = 0$
$20 + 6\lambda + 14 - \lambda + 6 = 0$
$5\lambda + 40 = 0$
$5\lambda = -40$
$\lambda = -8$

(B) चूंकि सदिश $\bar{a}$,$\bar{b}$ और $\bar{c}$ समतलीय हैं,इसलिए उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए,अर्थात $\bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) = 0$।
यह उनके घटकों द्वारा निर्मित सारणिक के शून्य होने के बराबर है:
$\begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 2 & -5 & p \\ 5 & -9 & 4 \end{vmatrix} = 0$।
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$1((-5)(4) - (-9)(p)) - (-2)((2)(4) - (5)(p)) + 1((2)(-9) - (5)(-5)) = 0$।
$1(-20 + 9p) + 2(8 - 5p) + 1(-18 + 25) = 0$।
$-20 + 9p + 16 - 10p + 7 = 0$।
$-p + 3 = 0$।
अतः,$p = 3$।

(B) चूंकि सदिश $\bar{a}$,$\bar{b}$ और $\bar{c}$ समतलीय हैं,इसलिए उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए: $\bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) = 0$.
यह घटकों के सारणिक के शून्य होने के बराबर है:
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ x & x-1 & -1 \end{vmatrix} = 0$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$1((-1)(-1) - (2)(x-1)) - 1((1)(-1) - (2)(x)) + 1((1)(x-1) - (-1)(x)) = 0$.
$1(1 - 2x + 2) - 1(-1 - 2x) + 1(x - 1 + x) = 0$.
$(3 - 2x) + (1 + 2x) + (2x - 1) = 0$.
$3 - 2x + 1 + 2x + 2x - 1 = 0$.
$2x + 3 = 0$.
$x = \frac{-3}{2}$.

(C) चूंकि दिए गए सदिश समतलीय हैं,इसलिए उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए।
$\therefore \begin{vmatrix} a & a & c \\ 1 & 0 & 1 \\ c & c & b \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$a(0 - c) - a(b - c) + c(c - 0) = 0$
$-ac - ab + ac + c^2 = 0$
$-ab + c^2 = 0$
$c^2 = ab$
यह दर्शाता है कि $a, c, b$ गुणोत्तर श्रेणी ($G$.$P$.) में हैं।

(C) चूंकि दिए गए सदिश $\overline{a}, \overline{b},$ और $\overline{c}$ समतलीय हैं,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए,अर्थात $[\overline{a} \overline{b} \overline{c}] = 0$।
यह उनके घटकों द्वारा निर्मित सारणिक के शून्य होने के बराबर है:
$\begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \\ 3 & \lambda & 5 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$2(2 \times 5 - (-3) \times \lambda) - (-1)(1 \times 5 - (-3) \times 3) + 1(1 \times \lambda - 2 \times 3) = 0$
$2(10 + 3\lambda) + 1(5 + 9) + 1(\lambda - 6) = 0$
$20 + 6\lambda + 14 + \lambda - 6 = 0$
$7\lambda + 28 = 0$
$7\lambda = -28 \Rightarrow \lambda = -4$
अब,हम जांचते हैं कि किस समीकरण में $x = -4$ रखने पर वह संतुष्ट होता है:
$(A)$ $(-4)^2 + 2(-4) = 16 - 8 = 8 \neq 6$
$(B)$ $(-4)^2 + 2(-4) = 16 - 8 = 8 \neq 4$
$(C)$ $(-4)^2 + 3(-4) = 16 - 12 = 4$। यह सही है।
$(D)$ $(-4)^2 + 3(-4) = 16 - 12 = 4 \neq 6$
अतः,$\lambda = -4$ समीकरण $x^2 + 3x = 4$ का मूल है।