ધારો કે એકમ સદિશો $a$ અને $b$ પરસ્પર લંબ છે અને એકમ સદિશ $c$ એ $a$ અને $b$ બંને સાથે $\theta$ ખૂણે નમેલો છે. જો $c = \alpha a + \beta b + \gamma (a \times b)$ હોય,તો

જો $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}$ ત્રણ સદિશો હોય,$|\overline{a}|=2, |\overline{b}|=4, |\overline{c}|=1$,$|\overline{b} \times \overline{c}|=\sqrt{15}$ અને $\overline{b}=2 \overline{c}+\lambda \overline{a}$ હોય,તો $\lambda$ ની કિંમત શોધો.

જો $P(3, 4, 5)$,$Q(4, 6, 3)$,$R(-1, 2, 4)$,અને $S(1, 0, 5)$ હોય,તો સદિશ $\vec{RS}$ નો સદિશ $\vec{PQ}$ પરનો પ્રક્ષેપ શોધો.

સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની બે પાસપાસેની બાજુઓ $\overrightarrow{AB} = 2\hat{i} + 10\hat{j} + 11\hat{k}$ અને $\overrightarrow{AD} = -\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ દ્વારા આપવામાં આવી છે. બાજુ $AD$ ને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના સમતલમાં લઘુકોણ $\alpha$ દ્વારા ફેરવવામાં આવે છે જેથી $AD$ એ $AD'$ બને છે. જો $AD'$ એ બાજુ $AB$ સાથે કાટખૂણો બનાવે,તો ખૂણા $\alpha$ નો કોસાઇન (cosine) શું થાય?

ધારો કે $\vec{a}=\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$ અને $\vec{b}=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ બે સદિશો છે. જો $\vec{c}$ એવો સદિશ હોય કે જેથી $\vec{b} \times \vec{c}=\vec{b} \times \vec{a}$ અને $\vec{c} \cdot \vec{a}=0$ થાય,તો $\vec{c} \cdot \vec{b}$ ની કિંમત શોધો.

જો $S$ એ પરિકેન્દ્ર,$O$ એ લંબકેન્દ્ર અને $G$ એ ત્રિકોણ $ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર હોય,તો નીચે આપેલ List-$I$ ની વસ્તુઓને List-$II$ ની વસ્તુઓ સાથે જોડો.
| List-$I$ | List-$II$ |
| :--- | :--- |
| $(i)$ $\vec{SA} + \vec{SB} + \vec{SC}$ | $(A)$ $2\vec{OS}$ |
| (ii) $\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC}$ | $(B)$ $\frac{2}{3}\vec{OS}$ |
| (iii) $\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}$ | $(C)$ $\vec{0}$ |
| (iv) $\vec{OG}$ | $(D)$ $\vec{SO}$ |
| | $(E)$ $\vec{OS}$ |