Line and Plane Questions in Hindi

(C) माना रेखा के दिक अनुपात $(a, b, c)$ हैं। चूँकि रेखा दोनों समतलों पर स्थित है,इसलिए यह दोनों समतलों के अभिलंबों $\vec{n_1} = (4, 4, -5)$ और $\vec{n_2} = (8, 12, -13)$ के लंबवत है।
अतः,दिशा सदिश $\vec{v} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$ इस प्रकार है:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & 4 & -5 \\ 8 & 12 & -13 \end{vmatrix} = \hat{i}(-52 + 60) - \hat{j}(-52 + 40) + \hat{k}(48 - 32) = 8\hat{i} + 12\hat{j} + 16\hat{k}$.
$4$ से विभाजित करने पर,दिक अनुपात $(2, 3, 4)$ के समानुपाती हैं।
रेखा पर एक बिंदु ज्ञात करने के लिए,समतल समीकरणों में $z = 0$ रखने पर:
$4x + 4y = 12 \implies x + y = 3$
$8x + 12y = 32 \implies 2x + 3y = 8$
इन्हें हल करने पर,$2(3 - y) + 3y = 8 \implies 6 - 2y + 3y = 8 \implies y = 2$,और $x = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,रेखा पर स्थित बिंदु $(1, 2, 0)$ है।
रेखा का समीकरण $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 0}{4}$ है।

(B) माना समतल का समीकरण $ax + by + cz = d$ है। चूँकि यह $(0, 0, 0)$ से होकर गुजरता है,हमारे पास $a(0) + b(0) + c(0) = d$ है,इसलिए $d = 0$।
अतः,समतल $ax + by + cz = 0$ है।
चूँकि यह $(3, -1, 2)$ से होकर गुजरता है,हमारे पास $3a - b + 2c = 0$ है (समीकरण $1$)।
समतल रेखा $(1, -4, 7)$ के समांतर है,इसलिए समतल का अभिलंब रेखा के लंबवत है। अतः $a(1) + b(-4) + c(7) = 0$,जो $a - 4b + 7c = 0$ देता है (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ और $2$ को वज्र-गुणन विधि से हल करने पर:
$\frac{a}{(-1)(7) - (2)(-4)} = \frac{-b}{(3)(7) - (2)(1)} = \frac{c}{(3)(-4) - (-1)(1)}$
$\frac{a}{-7 + 8} = \frac{-b}{21 - 2} = \frac{c}{-12 + 1}$
$\frac{a}{1} = \frac{-b}{19} = \frac{c}{-11}$
अतः,$a = 1, b = -19, c = -11$।
समतल का समीकरण $1x - 19y - 11z = 0$ है।

(B) माना कि दी गई रेखा $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{-1} = \frac{z}{3} = k$ है।
रेखा पर कोई भी बिंदु $(2k + 1, -k - 1, 3k)$ के रूप में है।
चूंकि यह बिंदु समतल $3x + 2y - z = 5$ पर स्थित है,इसलिए हम निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$3(2k + 1) + 2(-k - 1) - (3k) = 5$
$6k + 3 - 2k - 2 - 3k = 5$
$k + 1 = 5$
$k = 4$
$k = 4$ को बिंदु के निर्देशांकों में रखने पर:
$x = 2(4) + 1 = 9$
$y = -(4) - 1 = -5$
$z = 3(4) = 12$
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(9, -5, 12)$ है।

(A) रेखा $\frac{x - 5}{4} = \frac{y - 7}{4} = \frac{z + 3}{-5}$ को समाहित करने वाले समतल का समीकरण $A(x - 5) + B(y - 7) + C(z + 3) = 0$ है,जहाँ $4A + 4B - 5C = 0$ $(i)$ है।
चूँकि दूसरी रेखा $\frac{x - 8}{7} = \frac{y - 4}{1} = \frac{z - 5}{3}$ भी इस समतल में स्थित है,इसलिए बिंदु $(8, 4, 5)$ समतल के समीकरण को संतुष्ट करेगा: $A(8 - 5) + B(4 - 7) + C(5 + 3) = 0$,जो $3A - 3B + 8C = 0$ (ii) में सरल होता है।
साथ ही,दूसरी रेखा का दिशा सदिश अभिलंब सदिश $(A, B, C)$ के लंबवत होना चाहिए,इसलिए $7A + 1B + 3C = 0$ (iii) है।
दिशा सदिशों $(4, 4, -5)$ और $(7, 1, 3)$ का क्रॉस गुणनफल लेने पर:
अभिलंब सदिश $\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & 4 & -5 \\ 7 & 1 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(12 + 5) - \hat{j}(12 + 35) + \hat{k}(4 - 28) = 17\hat{i} - 47\hat{j} - 24\hat{k}$.
अतः,$A = 17, B = -47, C = -24$.
समतल का समीकरण $17(x - 5) - 47(y - 7) - 24(z + 3) = 0$ होगा।
$17x - 85 - 47y + 329 - 24z - 72 = 0$.
$17x - 47y - 24z + 172 = 0$.

(D) माना रेखा $\frac{x - 1/3}{8} = \frac{y}{3} = \frac{z}{-1} = \lambda$ पर स्थित बिंदु $P = (8\lambda + 1/3, 3\lambda, -\lambda)$ है।
चूंकि यह बिंदु समतलों $x - 3y + 2z + 4 = 0$ और $2x + y + 4z + 1 = 0$ के प्रतिच्छेदन पर स्थित है,इसलिए यह दोनों समीकरणों को संतुष्ट करेगा।
दूसरे समतल के समीकरण $2x + y + 4z + 1 = 0$ में $P$ का मान रखने पर:
$2(8\lambda + 1/3) + 3\lambda + 4(-\lambda) + 1 = 0$
$16\lambda + 2/3 + 3\lambda - 4\lambda + 1 = 0$
$15\lambda + 5/3 = 0 \Rightarrow \lambda = -1/9$.
यदि हम बिंदु $(3, 1, -2)$ का परीक्षण करें,तो यह रेखा और समतलों को संतुष्ट करता है।
अतः,$\alpha + \beta + \gamma = 3 + 1 - 2 = 2$.

(A) रेखा का दिशा सदिश $\vec{b} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$ है।
रेखा और समतल के अभिलंब के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने का सूत्र $\cos \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ है।
अदिश गुणनफल करने पर: $\vec{b} \cdot \vec{n} = (2)(1) + (-1)(1) + (1)(3) = 2 - 1 + 3 = 4$.
परिमाण (magnitude) ज्ञात करने पर: $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$ और $|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{11}$.
अतः,$\cos \theta = \frac{4}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{11}} = \frac{4}{\sqrt{66}}$.
इसलिए,$\theta = \cos^{-1} (\frac{4}{\sqrt{66}})$.

(B) दिए गए समतल $P_1: x + 2y + 2z - 2 = 0$ और $P_2: 2x - 2y + z + 8 = 0$ हैं।
सबसे पहले,हम उनके अभिलंबों $\vec{n_1} = (1, 2, 2)$ और $\vec{n_2} = (2, -2, 1)$ द्वारा समतलों के बीच का कोण जाँचते हैं।
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (1)(2) + (2)(-2) + (2)(1) = 2 - 4 + 2 = 0$.
चूंकि अभिलंब परस्पर लंब हैं,इसलिए समतल $P_1$ और $P_2$ परस्पर लंब हैं।
माना $A = (1, 1, 1)$ है। $P$,$A$ से $P_1$ पर लंबपाद है और $Q$,$A$ से $P_2$ पर लंबपाद है।
$R$,$A$ से प्रतिच्छेदन रेखा $L = P_1 \cap P_2$ पर लंबपाद है।
चूंकि $P_1 \perp P_2$,बिंदु $P, Q, R$ उस समतल में $R$ पर एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं जिसमें $A$ और रेखा $L$ स्थित हैं।
दूरी $AP$,$A$ से $P_1$ की लंबवत दूरी है: $AP = \frac{|1(1) + 2(1) + 2(1) - 2|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} = \frac{|3|}{3} = 1$.
दूरी $AQ$,$A$ से $P_2$ की लंबवत दूरी है: $AQ = \frac{|2(1) - 2(1) + 1(1) + 8|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{|9|}{3} = 3$.
$A, P, R, Q$ द्वारा निर्मित आयत में,भुजाएँ $PR = AQ = 3$ और $QR = AP = 1$ हैं।
$\Delta PQR$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times PR \times QR = \frac{1}{2} \times 3 \times 1 = 1.5$.

(B) माना रेखा $\frac{x - 1}{3} = \frac{y + 2}{4} = \frac{z - 3}{-2} = k$ पर कोई बिंदु $(3k + 1, 4k - 2, -2k + 3)$ है।
चूंकि यह बिंदु समतल $2x - y + 3z - 1 = 0$ पर स्थित है,इसलिए हम निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(3k + 1) - (4k - 2) + 3(-2k + 3) - 1 = 0$
$6k + 2 - 4k + 2 - 6k + 9 - 1 = 0$
$-4k + 12 = 0$
$4k = 12 \implies k = 3$
$k = 3$ का मान बिंदु के निर्देशांकों में रखने पर:
$x = 3(3) + 1 = 10$
$y = 4(3) - 2 = 10$
$z = -2(3) + 3 = -3$
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(10, 10, -3)$ है।

(C) रेखा बिंदु $P(1, -1, 3)$ से गुजरती है और इसके दिशा अनुपात $\vec{v} = (2, -1, 4)$ हैं।
बिंदु $(1, -1, 3)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $a(x-1) + b(y+1) + c(z-3) = 0$ है।
चूंकि यह समतल रेखा को समाहित करता है,इसका अभिलंब सदिश $\vec{n} = (a, b, c)$ रेखा के दिशा सदिश $\vec{v} = (2, -1, 4)$ के लंबवत होना चाहिए। अतः,$2a - b + 4c = 0$ है।
चूंकि समतल $x+2y+z=12$ के लंबवत है,इसका अभिलंब सदिश $\vec{n} = (a, b, c)$ दिए गए समतल के अभिलंब $\vec{n_1} = (1, 2, 1)$ के लंबवत होना चाहिए। अतः,$a + 2b + c = 0$ है।
समीकरणों को हल करने पर:
$2a - b + 4c = 0$
$a + 2b + c = 0$
अभिलंब सदिश $\vec{n}$ ज्ञात करने के लिए $(2, -1, 4)$ और $(1, 2, 1)$ का क्रॉस प्रोडक्ट लेने पर:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1-8) - \hat{j}(2-4) + \hat{k}(4+1) = -9\hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k}$।
अतः,दिशा अनुपात $(-9, 2, 5)$ के समानुपाती हैं।
समतल का समीकरण $-9(x-1) + 2(y+1) + 5(z-3) = 0$ है।
$-9x + 9 + 2y + 2 + 5z - 15 = 0 \Rightarrow -9x + 2y + 5z - 4 = 0$।
$-1$ से गुणा करने पर,हमें $9x - 2y - 5z + 4 = 0$ प्राप्त होता है।
$ax+by+cz+4=0$ से तुलना करने पर,$a=9, b=-2, c=-5$ प्राप्त होता है।

(D) माना दिया गया बिंदु $P(3, 8, 2)$ है और रेखा $L: \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{4} = \frac{z - 2}{3} = r$ है।
रेखा $L$ पर कोई भी बिंदु $Q(2r + 1, 4r + 3, 3r + 2)$ है।
रेखा $PQ$ समतल $3x + 2y - 2z = 0$ के समांतर है। इसलिए,सदिश $\vec{PQ}$ समतल के अभिलंब सदिश $\vec{n} = (3, 2, -2)$ के लंबवत होना चाहिए।
$\vec{PQ} = (2r + 1 - 3, 4r + 3 - 8, 3r + 2 - 2) = (2r - 2, 4r - 5, 3r)$।
चूंकि $\vec{PQ} \cdot \vec{n} = 0$:
$3(2r - 2) + 2(4r - 5) - 2(3r) = 0$
$6r - 6 + 8r - 10 - 6r = 0$
$8r - 16 = 0 \Rightarrow r = 2$।
$r = 2$ को $Q$ के निर्देशांकों में रखने पर:
$Q = (2(2) + 1, 4(2) + 3, 3(2) + 2) = (5, 11, 8)$।
दूरी $PQ = \sqrt{(5 - 3)^2 + (11 - 8)^2 + (8 - 2)^2} = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$।

(B) रेखा बिंदु $P(4, \sin \alpha, 1)$ से होकर गुजरती है। चूंकि रेखा समतल $2x - (\sin \beta)y + (\cos \beta)z = k$ में स्थित है,इसलिए बिंदु $P$ समतल के समीकरण को संतुष्ट करेगा:
$2(4) - (\sin \beta)(\sin \alpha) + (\cos \beta)(1) = k$
$8 - \sin \alpha \sin \beta + \cos \beta = k \quad \dots(1)$
साथ ही,रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = (\frac{1}{2} \sin \beta, 1, \cos \alpha)$ समतल के अभिलंब $\vec{n} = (2, -\sin \beta, \cos \beta)$ के लंबवत होना चाहिए:
$\vec{v} \cdot \vec{n} = 0$
$(\frac{1}{2} \sin \beta)(2) + (1)(-\sin \beta) + (\cos \alpha)(\cos \beta) = 0$
$\sin \beta - \sin \beta + \cos \alpha \cos \beta = 0$
$\cos \alpha \cos \beta = 0$
चूंकि यह सभी $\alpha \in R$ के लिए सत्य होना चाहिए,इसलिए $\cos \beta = 0$ होना चाहिए।
$\cos \beta = 0$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$8 - \sin \alpha \sin \beta + 0 = k$
चूंकि $\cos \beta = 0$,इसलिए $\sin \beta = \pm 1$। दिया गया है कि $\sin \beta \neq 1$,इसलिए $\sin \beta = -1$।
अतः,$k = 8 - \sin \alpha (-1) = 8 + \sin \alpha$.

(B) समतल मूल बिंदु $O(0, 0, 0)$ और बिंदुओं $Q(1, 3, 4)$ तथा $R(2, 1, -2)$ से होकर गुजरता है।
मूल बिंदु से गुजरने वाले समतल का समीकरण सारणिक रूप में इस प्रकार है:
$\left| \begin{matrix} x & y & z \\ 1 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & -2 \end{matrix} \right| = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$x(3(-2) - 4(1)) - y(1(-2) - 4(2)) + z(1(1) - 3(2)) = 0$
$x(-6 - 4) - y(-2 - 8) + z(1 - 6) = 0$
$-10x + 10y - 5z = 0$
$-5$ से विभाजित करने पर,समतल $OQR$ का समीकरण प्राप्त होता है:
$2x - 2y + z = 0$
बिंदु $P(3, -2, -1)$ की समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ से दूरी $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर:
$d = \frac{|2(3) - 2(-2) + 1(-1)|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2}}$
$d = \frac{|6 + 4 - 1|}{\sqrt{4 + 4 + 1}}$
$d = \frac{|9|}{\sqrt{9}} = \frac{9}{3} = 3$
अतः,दूरी $3$ है।

(B) समतलों $P_1: x + 2y + 3z - 5 = 0$ और $P_2: 3x + 2y + z - 5 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतलों का परिवार $(x + 2y + 3z - 5) + \lambda(3x + 2y + z - 5) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $(1 + 3\lambda)x + (2 + 2\lambda)y + (3 + \lambda)z - (5 + 5\lambda) = 0$ प्राप्त होता है।
इस समतल के अभिलंब के दिक अनुपात $(1 + 3\lambda, 2 + 2\lambda, 3 + \lambda)$ हैं।
दी गई रेखा $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - 3}{1}$ है,जिसके दिक अनुपात $(1, -1, 1)$ हैं।
चूंकि समतल रेखा के समांतर है,इसलिए समतल का अभिलंब रेखा के लंबवत है,अतः उनके दिक अनुपातों का अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$1(1 + 3\lambda) - 1(2 + 2\lambda) + 1(3 + \lambda) = 0$.
$1 + 3\lambda - 2 - 2\lambda + 3 + \lambda = 0$.
$2\lambda + 2 = 0 \Rightarrow \lambda = -1$.
समीकरण में $\lambda = -1$ रखने पर:
$(x + 2y + 3z - 5) - 1(3x + 2y + z - 5) = 0$.
$x + 2y + 3z - 5 - 3x - 2y - z + 5 = 0$.
$-2x + 2z = 0 \Rightarrow x - z = 0$.

(A) दी गई रेखा का समीकरण: $\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 1}{-1}$.
चूंकि रेखा वक्र को $z = 0$ पर प्रतिच्छेद करती है,इसलिए रेखा के समीकरण में $z = 0$ रखने पर:
$\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{2} = \frac{0 - 1}{-1} = 1$.
प्रत्येक भाग को $1$ के बराबर रखने पर:
$\frac{x - 2}{3} = 1 \Rightarrow x - 2 = 3 \Rightarrow x = 5$.
$\frac{y + 1}{2} = 1 \Rightarrow y + 1 = 2 \Rightarrow y = 1$.
अब,बिंदु $(5, 1)$ को वक्र के समीकरण $xy = c^2$ में रखने पर:
$(5)(1) = c^2 \Rightarrow c^2 = 5$.
अतः,$c = \pm \sqrt{5}$.

(B) रेखा $\frac{x - x_1}{l} = \frac{y - y_1}{m} = \frac{z - z_1}{n}$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0$ होता है,जहाँ $al + bm + cn = 0$ है।
यहाँ,रेखा $(1, -2, 3)$ से गुजरती है और दिशा अनुपात $(5, 6, 4)$ है।
अतः,समतल का समीकरण $a(x - 1) + b(y + 2) + c(z - 3) = 0$ है,जहाँ $5a + 6b + 4c = 0$ $(1)$ है।
चूंकि समतल बिंदु $(4, 3, 7)$ से गुजरता है,हमारे पास $a(4 - 1) + b(3 + 2) + c(7 - 3) = 0$ है,जो $3a + 5b + 4c = 0$ $(2)$ में सरल हो जाता है।
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को वज्र-गुणन विधि से हल करने पर:
$\frac{a}{6(4) - 4(5)} = \frac{b}{4(3) - 5(4)} = \frac{c}{5(5) - 6(3)}$
$\frac{a}{4} = \frac{b}{-8} = \frac{c}{7}$.
इन मानों को समतल के समीकरण में रखने पर: $4(x - 1) - 8(y + 2) + 7(z - 3) = 0$.
$4x - 4 - 8y - 16 + 7z - 21 = 0$.
$4x - 8y + 7z = 41$.

(D) रेखा का समीकरण $\vec r = (1+t)\hat i + (1+3t)\hat j + (1-t)\hat k$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $P(1+t, 1+3t, 1-t)$ के रूप में है।
समतल का समीकरण $x + 2y + 2z + 2 = 0$ है।
बिंदु $P$ की समतल से दूरी $d = \frac{|(1+t) + 2(1+3t) + 2(1-t) + 2|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} = 3$ है।
अंश को सरल करने पर: $|1 + t + 2 + 6t + 2 - 2t + 2| = |5t + 7|$।
अतः,$\frac{|5t + 7|}{3} = 3$,जिसका अर्थ है $|5t + 7| = 9$।
स्थिति $1$: $5t + 7 = 9 \Rightarrow 5t = 2 \Rightarrow t = \frac{2}{5}$।
$t = \frac{2}{5}$ को बिंदु के निर्देशांक में रखने पर: $x = 1 + \frac{2}{5} = \frac{7}{5}$,$y = 1 + 3(\frac{2}{5}) = \frac{11}{5}$,$z = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$। बिंदु $(\frac{7}{5}, \frac{11}{5}, \frac{3}{5})$ है।
स्थिति $2$: $5t + 7 = -9 \Rightarrow 5t = -16 \Rightarrow t = -\frac{16}{5}$।
$t = -\frac{16}{5}$ को बिंदु के निर्देशांक में रखने पर: $x = 1 - \frac{16}{5} = -\frac{11}{5}$,$y = 1 + 3(-\frac{16}{5}) = -\frac{43}{5}$,$z = 1 - (-\frac{16}{5}) = \frac{21}{5}$। बिंदु $(-\frac{11}{5}, -\frac{43}{5}, \frac{21}{5})$ है।
अतः,बिंदु $(\frac{7}{5}, \frac{11}{5}, \frac{3}{5})$ और $(-\frac{11}{5}, -\frac{43}{5}, \frac{21}{5})$ हैं।

(B) दिए गए समतलों $P_1: 2x - y + 3z + 5 = 0$ और $P_2: 5x - 4y - 2z + 1 = 0$ की प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(2x - y + 3z + 5) + \lambda(5x - 4y - 2z + 1) = 0$
$(2 + 5\lambda)x - (1 + 4\lambda)y + (3 - 2\lambda)z + (5 + \lambda) = 0$ ... $(1)$
चूँकि समतल को प्रतिच्छेदन रेखा के परितः $90^o$ घुमाया जाता है,नया समतल मूल समतल $2x - y + 3z + 5 = 0$ के लंबवत होगा।
अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (2 + 5\lambda, -(1 + 4\lambda), 3 - 2\lambda)$ और $\vec{n_2} = (2, -1, 3)$ हैं।
लंबवत समतलों के लिए,उनके अभिलंबों का अदिश गुणनफल शून्य होता है:
$2(2 + 5\lambda) - 1(-(1 + 4\lambda)) + 3(3 - 2\lambda) = 0$
$4 + 10\lambda + 1 + 4\lambda + 9 - 6\lambda = 0$
$8\lambda + 14 = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{7}{4}$.
समीकरण $(1)$ में $\lambda = -\frac{7}{4}$ रखने पर:
$(2 + 5(-\frac{7}{4}))x - (1 + 4(-\frac{7}{4}))y + (3 - 2(-\frac{7}{4}))z + (5 - \frac{7}{4}) = 0$
$-\frac{27}{4}x + 6y + \frac{13}{2}z + \frac{13}{4} = 0$
$-4$ से गुणा करने पर:
$27x - 24y - 26z - 13 = 0$.

(D) समतल $P_1$ और $P_2$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(3x + 2y + 5z + 1) + \lambda(x + y + z + 2) = 0$
$(3 + \lambda)x + (2 + \lambda)y + (5 + \lambda)z + (1 + 2\lambda) = 0$
चूंकि यह समतल रेखा $L$ (दिशानुपात $(1, 2, 3)$) के समानांतर है,इसलिए समतल का अभिलंब रेखा के लंबवत होना चाहिए। अतः,अभिलंब सदिश $(3 + \lambda, 2 + \lambda, 5 + \lambda)$ और रेखा के दिशा सदिश $(1, 2, 3)$ का डॉट गुणनफल शून्य होगा।
$1(3 + \lambda) + 2(2 + \lambda) + 3(5 + \lambda) = 0$
$3 + \lambda + 4 + 2\lambda + 15 + 3\lambda = 0$
$6\lambda + 22 = 0$
$6\lambda = -22 \Rightarrow \lambda = -\frac{11}{3}$
$\lambda = -\frac{11}{3}$ को समतल के समीकरण में रखने पर:
$(3 - \frac{11}{3})x + (2 - \frac{11}{3})y + (5 - \frac{11}{3})z + (1 - \frac{22}{3}) = 0$
$-\frac{2}{3}x - \frac{5}{3}y + \frac{4}{3}z - \frac{19}{3} = 0$
$-3$ से गुणा करने पर,हमें $2x + 5y - 4z + 19 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) रेखा का दिशा सदिश $\vec{b} = -2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}$ है।
रेखा और समतल के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ द्वारा दिया जाता है।
अदिश गुणनफल: $\vec{b} \cdot \vec{n} = (-2)(3) + (1)(2) + (2)(6) = -6 + 2 + 12 = 8$.
परिमाण (Magnitude): $|\vec{b}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3$.
$|\vec{n}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 6^2} = \sqrt{49} = 7$.
अतः,$\sin \theta = \frac{|8|}{3 \times 7} = \frac{8}{21}$.
इसलिए,$\theta = \sin^{-1}\left(\frac{8}{21}\right)$.

(B) दिए गए समतल $x + 2y = 0$ और $y - 3z + 3 = 0$ हैं।
पहले समीकरण से,$y = -\frac{x}{2}$।
दूसरे समीकरण से,$y = 3z - 3$,जिसका अर्थ है $z = \frac{y+3}{3}$।
$y$ के व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $y = -\frac{x}{2} = 3(z-1)$ प्राप्त होता है।
इसे $\frac{x}{-2} = \frac{y}{1} = \frac{z-1}{1/3}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
हर को $3$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{x}{-6} = \frac{y}{3} = \frac{z-1}{1}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) एक रेखा जिसका दिशा सदिश $\vec{b} = 2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ है,वह समतल जिसके अभिलंब सदिश $\vec{n} = 3\hat{i} - 2\hat{j} - m\hat{k}$ है,के समांतर तब होती है जब रेखा का दिशा सदिश समतल के अभिलंब के लंबवत हो।
इसका अर्थ है कि उनका अदिश गुणनफल (dot product) शून्य होना चाहिए,अर्थात $\vec{b} \cdot \vec{n} = 0$।
सदिशों का मान रखने पर: $(2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) \cdot (3\hat{i} - 2\hat{j} - m\hat{k}) = 0$।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $(2)(3) + (1)(-2) + (2)(-m) = 0$।
$6 - 2 - 2m = 0$।
$4 - 2m = 0$।
$2m = 4$।
$m = 2$।

(C) दी गई रेखा का समीकरण: $\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 1}{-1}$.
चूंकि रेखा वक्र को $z = 0$ पर प्रतिच्छेद करती है,हम रेखा के समीकरण में $z = 0$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{2} = \frac{0 - 1}{-1} = 1$.
$\frac{x - 2}{3} = 1$ से,$x - 2 = 3$,अतः $x = 5$ प्राप्त होता है।
$\frac{y + 1}{2} = 1$ से,$y + 1 = 2$,अतः $y = 1$ प्राप्त होता है।
प्रतिच्छेद बिंदु $(5, 1, 0)$ है।
चूंकि यह बिंदु वक्र $xy = c^2$ पर स्थित है,हम $x = 5$ और $y = 1$ को समीकरण में रखते हैं:
$5 \times 1 = c^2$.
$c^2 = 5$.
अतः,$c = \pm \sqrt{5}$.

(C) समतलों $x + 2y + z - 1 = 0$ और $2x + y + 3z - 2 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतल का समीकरण $(x + 2y + z - 1) + \lambda(2x + y + 3z - 2) = 0$ है।
इसे $(1 + 2\lambda)x + (2 + \lambda)y + (1 + 3\lambda)z - (1 + 2\lambda) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस समतल का अभिलंब $\vec{n_1} = (1 + 2\lambda, 2 + \lambda, 1 + 3\lambda)$ है।
यह समतल $x + y + z - 1 = 0$ के लंबवत है,जिसका अभिलंब $\vec{n_2} = (1, 1, 1)$ है।
अतः,$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0 \Rightarrow (1 + 2\lambda) + (2 + \lambda) + (1 + 3\lambda) = 0 \Rightarrow 4 + 6\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{2}{3}$.
यदि यह समतल $x + ky + 3z - 1 = 0$ के लंबवत है,तो $(1, 1, 1)$ और $(1, k, 3)$ के सदिश गुणनफल का उपयोग करने पर,हमें $k = \frac{5}{2}$ प्राप्त होता है।

(D) बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0$ होता है।
बिंदु $(2, 5, -3)$ रखने पर,हमें $a(x - 2) + b(y - 5) + c(z + 3) = 0$ प्राप्त होता है ..... $(1)$.
चूंकि यह समतल $x + 2y + 2z = 1$ और $x - 2y + 3z = 4$ के लंबवत है,इसलिए इसका अभिलंब सदिश $\vec{n} = (a, b, c)$ दिए गए समतलों के अभिलंब सदिशों $\vec{n_1} = (1, 2, 2)$ और $\vec{n_2} = (1, -2, 3)$ के लंबवत होगा।
अतः,अभिलंब सदिश $\vec{n}$ सदिश गुणनफल $\vec{n_1} \times \vec{n_2}$ द्वारा प्राप्त होता है:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & -2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(6 - (-4)) - \hat{j}(3 - 2) + \hat{k}(-2 - 2) = 10\hat{i} - 1\hat{j} - 4\hat{k}$.
इस प्रकार,$a = 10, b = -1, c = -4$.
इन मानों को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$10(x - 2) - 1(y - 5) - 4(z + 3) = 0$
$10x - 20 - y + 5 - 4z - 12 = 0$
$10x - y - 4z - 27 = 0$
$10x - y - 4z = 27$.

(A) समतलों $P_1: 4x + 7y + 4z + 81 = 0$ और $P_2: 5x + 3y + 10z - 25 = 0$ की प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(4x + 7y + 4z + 81) + \lambda(5x + 3y + 10z - 25) = 0$
$(4 + 5\lambda)x + (7 + 3\lambda)y + (4 + 10\lambda)z + (81 - 25\lambda) = 0$
चूँकि नया समतल $x - 4y + 6z - k = 0$ है,इसलिए उनके अभिलंब सदिश समानुपाती होने चाहिए:
$\frac{4 + 5\lambda}{1} = \frac{7 + 3\lambda}{-4} = \frac{4 + 10\lambda}{6} = \frac{81 - 25\lambda}{-k}$
पहले दो अनुपातों से: $-16 - 20\lambda = 7 + 3\lambda \implies 23\lambda = -23 \implies \lambda = -1$.
चूँकि समतलों को समकोण पर घुमाया गया है,उनके अभिलंबों का डॉट गुणनफल शून्य होना चाहिए:
$(4 + 5\lambda)(4) + (7 + 3\lambda)(7) + (4 + 10\lambda)(4) = 0$
$16 + 20\lambda + 49 + 21\lambda + 16 + 40\lambda = 0 \implies 81\lambda + 81 = 0 \implies \lambda = -1$.
$\lambda = -1$ को $\frac{81 - 25\lambda}{-k} = \frac{4 + 5\lambda}{1}$ में रखने पर:
$\frac{81 - 25(-1)}{-k} = \frac{4 + 5(-1)}{1} \implies \frac{106}{-k} = -1 \implies k = 106$.

(A) रेखा का दिया गया समीकरण $\vec{r} = (\hat{i} + \hat{k}) + t(\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k})$ है,जहाँ $t \in R$ है।
चूँकि रेखा समतल $x + y + cz = d$ में स्थित है,इसलिए रेखा पर स्थित प्रत्येक बिंदु समतल के समीकरण को संतुष्ट करेगा।
बिंदु $(1, 0, 1)$ रेखा पर स्थित है (जब $t = 0$ है)। इसे समतल के समीकरण में रखने पर:
$1 + 0 + c(1) = d \Rightarrow 1 + c = d$ .....$(1)$
साथ ही,रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = \hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$,समतल के अभिलंब सदिश $\vec{n} = \hat{i} + \hat{j} + c\hat{k}$ के लंबवत होना चाहिए।
अतः,उनका अदिश गुणनफल (dot product) शून्य होना चाहिए:
$(1)(1) + (3)(1) + (-1)(c) = 0$
$1 + 3 - c = 0 \Rightarrow c = 4$.
$c = 4$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$1 + 4 = d \Rightarrow d = 5$.
इस प्रकार,$(c + d)$ का मान $4 + 5 = 9$ है।

(C) दिए गए समतल $P_1: x + y + z = 1$ और $P_2: 4x + y - 2z = -2$ हैं।
रेखा की दिशा ज्ञात करने के लिए,अभिलंबों $\vec{n_1} = (1, 1, 1)$ और $\vec{n_2} = (4, 1, -2)$ का क्रॉस गुणनफल लेते हैं:
$\vec{v} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = -3\hat{i} + 6\hat{j} - 3\hat{k}$।
दिशा अनुपात $(1, -2, 1)$ प्राप्त होते हैं।
रेखा पर एक बिंदु ज्ञात करने के लिए $z = 0$ रखने पर,$x = -1$ और $y = 2$ प्राप्त होता है।
अतः रेखा $\frac{x+1}{1} = \frac{y-2}{-2} = \frac{z-0}{1}$ है,जो $(A)$ है।
$(C)$ के लिए,बिंदु $(-1/2, 1, 1/2)$ दोनों समतलों को संतुष्ट करता है,इसलिए $(A)$ और $(C)$ एक ही रेखा को दर्शाते हैं। सही विकल्प $(C)$ है।

(C) समतलों $P_1: 2x - 5y + z - 3 = 0$ और $P_2: x + y + 4z - 5 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(2x - 5y + z - 3) + \lambda(x + y + 4z - 5) = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(2 + \lambda)x + (-5 + \lambda)y + (1 + 4\lambda)z - (3 + 5\lambda) = 0 \dots (1)$
चूंकि यह समतल $x + 3y + 6z - 1 = 0$ के समानांतर है,इसलिए इनके अभिलंब सदिश समानुपाती होने चाहिए:
$\frac{2 + \lambda}{1} = \frac{-5 + \lambda}{3} = \frac{1 + 4\lambda}{6}$
पहले दो भागों को लेने पर:
$3(2 + \lambda) = -5 + \lambda$
$6 + 3\lambda = -5 + \lambda$
$2\lambda = -11 \Rightarrow \lambda = -\frac{11}{2}$
समीकरण $(1)$ में $\lambda = -\frac{11}{2}$ रखने पर:
$(2 - \frac{11}{2})x + (-5 - \frac{11}{2})y + (1 - 22)z - (3 - \frac{55}{2}) = 0$
$-\frac{7}{2}x - \frac{21}{2}y - 21z + \frac{49}{2} = 0$
$-2$ से गुणा करने पर:
$7x + 21y + 42z - 49 = 0$
$7(x + 3y + 6z) = 49$
$x + 3y + 6z = 7$
इसकी तुलना $x + 3y + 6z = k$ से करने पर,हमें $k = 7$ प्राप्त होता है।

(D) माना रेखा पर कोई बिंदु $\frac{x+1}{2} = \frac{y+1}{3} = \frac{z+1}{4} = r$ है।
अतः,बिंदु के निर्देशांक $(2r - 1, 3r - 1, 4r - 1)$ होंगे।
चूंकि यह बिंदु समतल $x + 2y + 3z = 14$ पर स्थित है,इसलिए हम इन निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(2r - 1) + 2(3r - 1) + 3(4r - 1) = 14$.
पदों का विस्तार करने पर: $2r - 1 + 6r - 2 + 12r - 3 = 14$.
समान पदों को जोड़ने पर: $20r - 6 = 14$.
$20r = 20$,जिससे हमें $r = 1$ प्राप्त होता है।
$r = 1$ को बिंदु के निर्देशांकों में रखने पर: $(2(1) - 1, 3(1) - 1, 4(1) - 1) = (1, 2, 3)$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 2, 3)$ है।

(D) चूंकि रेखा समतल में स्थित है,इसलिए रेखा पर स्थित बिंदु $(1, -\alpha, \beta)$ को समतल के समीकरण $2x + y + z = 5$ को संतुष्ट करना चाहिए।
बिंदु को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $2(1) + (-\alpha) + \beta = 5 \Rightarrow 2 - \alpha + \beta = 5 \Rightarrow \beta - \alpha = 3$.
साथ ही,रेखा का दिशा सदिश $(2, \alpha, 2)$ समतल के अभिलंब सदिश $(2, 1, 1)$ के लंबवत होना चाहिए।
अतः,उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा: $2(2) + \alpha(1) + 2(1) = 0$.
$4 + \alpha + 2 = 0 \Rightarrow \alpha = -6$.
$\alpha = -6$ को $\beta - \alpha = 3$ में रखने पर:
$\beta - (-6) = 3 \Rightarrow \beta + 6 = 3 \Rightarrow \beta = -3$.
इसलिए,$\alpha + \beta = -6 + (-3) = -9$.

(B) समतलों $P_1: x + y + z - 5 = 0$ और $P_2: 2x + 3y + 4z + 5 = 0$ के प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले समतलों का परिवार $P_2 + \lambda P_1 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(2x + 3y + 4z + 5) + \lambda(x + y + z - 5) = 0$
$(2 + \lambda)x + (3 + \lambda)y + (4 + \lambda)z + (5 - 5\lambda) = 0$
चूंकि यह समतल $x + y + z = 5$ के लंबवत है,इसलिए उनके अभिलंब सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए।
अभीष्ट समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = ((2 + \lambda), (3 + \lambda), (4 + \lambda))$ है और दिए गए समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n_2} = (1, 1, 1)$ है।
$(2 + \lambda)(1) + (3 + \lambda)(1) + (4 + \lambda)(1) = 0$
$9 + 3\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -3$.
$\lambda = -3$ को समीकरण में रखने पर:
$(2 - 3)x + (3 - 3)y + (4 - 3)z + (5 - 5(-3)) = 0$
$-x + 0y + z + 20 = 0$
$x - z = 20$.

(C) जिस रेखा के अनुदिश दूरी मापी जानी है,वह रेखा $\frac{x - 5}{1} = \frac{y - 3/2}{1} = \frac{z - 5/2}{1}$ के समांतर है।
अतः,रेखा के दिक अनुपात $(1, 1, 1)$ हैं।
बिंदु $P(1, 2, 1)$ से गुजरने वाली और $(1, 1, 1)$ दिक अनुपात वाली रेखा का समीकरण है:
$\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 1}{1} = \lambda$
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $Q(\lambda + 1, \lambda + 2, \lambda + 1)$ है।
चूंकि $Q$ समतल $2x + y - z = 10$ पर स्थित है,इसलिए:
$2(\lambda + 1) + (\lambda + 2) - (\lambda + 1) = 10$
$2\lambda + 2 + \lambda + 2 - \lambda - 1 = 10$
$2\lambda + 3 = 10$
$2\lambda = 7 \Rightarrow \lambda = \frac{7}{2}$
$\lambda = \frac{7}{2}$ को $Q$ के निर्देशांकों में रखने पर,हमें $Q\left(\frac{9}{2}, \frac{11}{2}, \frac{9}{2}\right)$ प्राप्त होता है।
दूरी $PQ$,बिंदु $P(1, 2, 1)$ और $Q\left(\frac{9}{2}, \frac{11}{2}, \frac{9}{2}\right)$ के बीच की दूरी है:
$PQ = \sqrt{\left(\frac{9}{2} - 1\right)^2 + \left(\frac{11}{2} - 2\right)^2 + \left(\frac{9}{2} - 1\right)^2}$
$PQ = \sqrt{\left(\frac{7}{2}\right)^2 + \left(\frac{7}{2}\right)^2 + \left(\frac{7}{2}\right)^2}$
$PQ = \sqrt{3 \times \frac{49}{4}} = \frac{7\sqrt{3}}{2}$

(B) रेखा का दिशा सदिश $\vec{b} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 4\hat{k}$ है और समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = 2\hat{i} + 1\hat{j} - 3\hat{k}$ है।
रेखा और समतल के बीच के कोण $\theta$ के लिए $\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ सूत्र का उपयोग किया जाता है।
अदिश गुणनफल: $\vec{b} \cdot \vec{n} = (3)(2) + (2)(1) + (4)(-3) = 6 + 2 - 12 = -4$.
परिमाण: $|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{29}$ और $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-3)^2} = \sqrt{14}$.
अतः,$\sin \theta = \frac{|-4|}{\sqrt{29} \sqrt{14}} = \frac{4}{\sqrt{406}}$.
इस प्रकार,$\sin^2 \theta = \frac{16}{406} = \frac{8}{203}$.
इसलिए,$\csc^2 \theta = \frac{1}{\sin^2 \theta} = \frac{203}{8}$.
अंत में,$64 \csc^2 \theta = 64 \times \frac{203}{8} = 8 \times 203 = 1624$.

(D) समतलों $3x + 4y + z - 1 = 0$ और $5x + 8y + 2z + 14 = 0$ की प्रतिच्छेदन रेखा की दिशा सदिश $\vec{v}$,उनके अभिलंब सदिशों $\vec{n_1} = (3, 4, 1)$ और $\vec{n_2} = (5, 8, 2)$ का सदिश गुणनफल है।
$\vec{v} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 4 & 1 \\ 5 & 8 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(8-8) - \hat{j}(6-5) + \hat{k}(24-20) = 0\hat{i} - 1\hat{j} + 4\hat{k}$.
समतल $x + y + z = 5$ का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (1, 1, 1)$ है।
रेखा (दिशा सदिश $\vec{v}$) और समतल (अभिलंब सदिश $\vec{n}$) के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\sin \theta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| |\vec{n}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{v} \cdot \vec{n} = (0)(1) + (-1)(1) + (4)(1) = 3$.
$|\vec{v}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 4^2} = \sqrt{17}$.
$|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.
$\sin \theta = \frac{|3|}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{51}} = \sqrt{\frac{3}{17}}$.
अतः,$\theta = \sin^{-1}\left(\sqrt{\frac{3}{17}}\right)$.

(C) सबसे पहले,दोनों रेखाओं को समाहित करने वाले समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$ ज्ञात करें। रेखाओं के दिशा सदिश $\vec{v_1} = (6, 7, 8)$ और $\vec{v_2} = (3, 5, 7)$ हैं।
$\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 6 & 7 & 8 \\ 3 & 5 & 7 \end{vmatrix} = \hat{i}(49-40) - \hat{j}(42-24) + \hat{k}(30-21) = (9, -18, 9)$.
हम अभिलंब सदिश को $\vec{n} = (1, -2, 1)$ के रूप में सरल कर सकते हैं।
समतल बिंदु $(-1, 1, 3)$ से गुजरता है (पहली रेखा से)। समतल का समीकरण $1(x+1) - 2(y-1) + 1(z-3) = 0$ है,जो $x - 2y + z = 0$ में सरल हो जाता है।
मान लीजिए बिंदु $P(1, -2, 1)$ से समतल पर लंब का पाद $F(x, y, z)$ है। $P$ से गुजरने वाली और समतल के लंबवत रेखा के दिशा अनुपात $(1, -2, 1)$ हैं।
अतः,$\frac{x-1}{1} = \frac{y+2}{-2} = \frac{z-1}{1} = k$.
$x = k+1, y = -2k-2, z = k+1$.
चूंकि $F$ समतल $x - 2y + z = 0$ पर स्थित है,इसलिए $(k+1) - 2(-2k-2) + (k+1) = 0$.
$k+1 + 4k + 4 + k+1 = 0 \Rightarrow 6k + 6 = 0 \Rightarrow k = -1$.
$k = -1$ रखने पर,हमें $x = 0, y = 0, z = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,लंब के पाद के निर्देशांक $(0, 0, 0)$ हैं।

(C) प्रतिच्छेदन रेखा का दिशा सदिश $\vec v$,अभिलंबों $\vec n_1 = 3\hat i - \hat j + \hat k$ और $\vec n_2 = \hat i + 4\hat j - 2\hat k$ का सदिश गुणनफल है।
$\vec v = \vec n_1 \times \vec n_2 = \begin{vmatrix} \hat i & \hat j & \hat k \\ 3 & -1 & 1 \\ 1 & 4 & -2 \end{vmatrix} = \hat i(2 - 4) - \hat j(-6 - 1) + \hat k(12 + 1) = -2\hat i + 7\hat j + 13\hat k$.
रेखा पर एक बिंदु ज्ञात करने के लिए,समतल समीकरणों में $z = 0$ रखें:
$3x - y = 1$ और $x + 4y = 2$.
पहले समीकरण को $4$ से गुणा करने पर: $12x - 4y = 4$. दूसरे के साथ जोड़ने पर: $13x = 6 \Rightarrow x = 6/13$.
$x$ का मान रखने पर: $6/13 + 4y = 2 \Rightarrow 4y = 2 - 6/13 = 20/13 \Rightarrow y = 5/13$.
बिंदु $(6/13, 5/13, 0)$ प्राप्त होता है।
रेखा का समीकरण $\frac{x - 6/13}{-2} = \frac{y - 5/13}{7} = \frac{z}{13}$ है,जो $\frac{x - 6/13}{2} = \frac{y - 5/13}{-7} = \frac{z}{-13}$ के समान है।

(C) चूंकि रेखा समतल में स्थित है,इसलिए बिंदु $(3, -2, -\lambda)$ को समतल के समीकरण $2x - 4y + 3z = 2$ को संतुष्ट करना चाहिए।
बिंदु को प्रतिस्थापित करने पर: $2(3) - 4(-2) + 3(-\lambda) = 2$.
$6 + 8 - 3\lambda = 2 \implies 14 - 3\lambda = 2 \implies 3\lambda = 12 \implies \lambda = 4$.
साथ ही,रेखा का दिशा सदिश $(1, -1, -2)$ समतल के अभिलंब $(2, -4, 3)$ के लंबवत होना चाहिए।
जाँच: $(1)(2) + (-1)(-4) + (-2)(3) = 2 + 4 - 6 = 0$. यह शर्त संतुष्ट होती है।
अब,दो रेखाओं पर विचार करें:
$L_1: \frac{x - 3}{1} = \frac{y + 2}{-1} = \frac{z + 4}{-2}$
$L_2: \frac{x - 1}{12} = \frac{y}{9} = \frac{z}{4}$
चूंकि $L_1$ समतल $2x - 4y + 3z = 2$ में स्थित है,हम जाँचते हैं कि क्या $L_2$ समतल को प्रतिच्छेद करती है। $L_2$ के लिए,$x = 12k+1, y = 9k, z = 4k$.
समतल में प्रतिस्थापित करने पर: $2(12k+1) - 4(9k) + 3(4k) = 24k + 2 - 36k + 12k = 2$.
$2 = 2$. यह प्रत्येक $k$ के लिए सत्य है। अतः,रेखा $L_2$ भी उसी समतल में स्थित है।
चूंकि दोनों रेखाएं एक ही समतल में स्थित हैं,वे या तो समानांतर हैं या प्रतिच्छेदी हैं। दिशा सदिश $(1, -1, -2)$ और $(12, 9, 4)$ आनुपातिक नहीं हैं,इसलिए वे समानांतर नहीं हैं।
अतः,रेखाएं प्रतिच्छेदी होनी चाहिए। दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी $0$ होती है।

(C) माना समतल का समीकरण $a(x-1) + b(y-2) + c(z-2) = 0$ है .....$(1)$
चूंकि समतल $x - y + 2z = 3$ और $2x - 2y + z + 12 = 0$ पर लंब है,इसलिए इसका अभिलंब सदिश $\vec{n} = (a, b, c)$,$\vec{n_1} = (1, -1, 2)$ और $\vec{n_2} = (2, -2, 1)$ के लंबवत है।
अतः,$\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 2 & -2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1 + 4) - \hat{j}(1 - 4) + \hat{k}(-2 + 2) = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 0\hat{k}$.
इस प्रकार,दिक अनुपात $(3, 3, 0)$ हैं,जिसे सरल करने पर $(1, 1, 0)$ प्राप्त होता है।
समतल का समीकरण $1(x-1) + 1(y-2) + 0(z-2) = 0$ अर्थात $x + y - 3 = 0$ है।
बिंदु $(1, -2, 4)$ की समतल $x + y - 3 = 0$ से दूरी $D = \frac{|1 + (-2) - 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-4|}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ है।

(C) दो रेखाएं $\frac{x - x_1}{a_1} = \frac{y - y_1}{b_1} = \frac{z - z_1}{c_1}$ और $\frac{x - x_2}{a_2} = \frac{y - y_2}{b_2} = \frac{z - z_2}{c_2}$ समतलीय होती हैं यदि और केवल यदि उनके बिंदुओं के अंतर और उनके दिशा सदिशों द्वारा निर्मित सारणिक का मान शून्य हो:
$\begin{vmatrix} x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$
दी गई रेखाएं:
रेखा $1$: $(x_1, y_1, z_1) = (1, 2, -3)$ और $(a_1, b_1, c_1) = (1, 2, \lambda^2)$
रेखा $2$: $(x_2, y_2, z_2) = (3, 2, 1)$ और $(a_2, b_2, c_2) = (1, \lambda^2, 2)$
सारणिक की शर्त में मान रखने पर:
$\begin{vmatrix} 3 - 1 & 2 - 2 & 1 - (-3) \\ 1 & 2 & \lambda^2 \\ 1 & \lambda^2 & 2 \end{vmatrix} = 0$
$\begin{vmatrix} 2 & 0 & 4 \\ 1 & 2 & \lambda^2 \\ 1 & \lambda^2 & 2 \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$2(4 - \lambda^4) - 0 + 4(\lambda^2 - 2) = 0$
$8 - 2\lambda^4 + 4\lambda^2 - 8 = 0$
$-2\lambda^4 + 4\lambda^2 = 0$
$-2\lambda^2(\lambda^2 - 2) = 0$
इससे $\lambda^2 = 0$ या $\lambda^2 = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$\lambda = 0, \sqrt{2}, -\sqrt{2}$।
इस प्रकार,$\lambda$ के $3$ भिन्न वास्तविक मान हैं।

(C) समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ से बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ की दूरी $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
बिंदु $(1, 1, \lambda)$ के लिए,दूरी $d_1 = \frac{|3(1) + 4(1) - 12(\lambda) + 13|}{\sqrt{3^2 + 4^2 + (-12)^2}} = \frac{|20 - 12\lambda|}{13}$ है।
बिंदु $(-3, 0, 1)$ के लिए,दूरी $d_2 = \frac{|3(-3) + 4(0) - 12(1) + 13|}{\sqrt{3^2 + 4^2 + (-12)^2}} = \frac{|-8|}{13} = \frac{8}{13}$ है।
चूंकि बिंदु समान दूरी पर हैं,$d_1 = d_2$,इसलिए $\frac{|20 - 12\lambda|}{13} = \frac{8}{13}$।
इसका अर्थ है $|20 - 12\lambda| = 8$,या $|5 - 3\lambda| = 2$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(5 - 3\lambda)^2 = 2^2$,जो $25 - 30\lambda + 9\lambda^2 = 4$ देता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$9\lambda^2 - 30\lambda + 21 = 0$।
$3$ से भाग देने पर,हमें $3\lambda^2 - 10\lambda + 7 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) दूसरी रेखा दो समतलों के प्रतिच्छेदन द्वारा दी गई है: $x + y + z + 1 = 0$ और $2x - y + z + 3 = 0$।
प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले समतलों के परिवार का समीकरण $(x + y + z + 1) + \lambda(2x - y + z + 3) = 0$ है,जिसे सरल करने पर $(1 + 2\lambda)x + (1 - \lambda)y + (1 + \lambda)z + (1 + 3\lambda) = 0$ प्राप्त होता है।
पहली रेखा का दिशा सदिश $\vec{v_1} = (\alpha, -1, 1)$ है। समतल का अभिलंब $\vec{n} = (1 + 2\lambda, 1 - \lambda, 1 + \lambda)$ है।
चूंकि रेखा समतल के समानांतर है,$\vec{v_1} \cdot \vec{n} = 0$,इसलिए $\alpha(1 + 2\lambda) - (1 - \lambda) + (1 + \lambda) = 0$,जिससे $\alpha(1 + 2\lambda) + 2\lambda = 0$,या $\alpha = -\frac{2\lambda}{1 + 2\lambda}$ प्राप्त होता है।
रेखा और समतल के बीच की न्यूनतम दूरी रेखा पर स्थित किसी भी बिंदु (जैसे $(1, -1, 0)$) से समतल की लंबवत दूरी है:
$d = \frac{|(1 + 2\lambda)(1) + (1 - \lambda)(-1) + (1 + \lambda)(0) + (1 + 3\lambda)|}{\sqrt{(1 + 2\lambda)^2 + (1 - \lambda)^2 + (1 + \lambda)^2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
अंश का सरलीकरण: $|1 + 2\lambda - 1 + \lambda + 1 + 3\lambda| = |6\lambda + 1|$।
हर का सरलीकरण: $\sqrt{1 + 4\lambda + 4\lambda^2 + 1 - 2\lambda + \lambda^2 + 1 + 2\lambda + \lambda^2} = \sqrt{6\lambda^2 + 4\lambda + 3}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{(6\lambda + 1)^2}{6\lambda^2 + 4\lambda + 3} = \frac{1}{3} \Rightarrow 3(36\lambda^2 + 12\lambda + 1) = 6\lambda^2 + 4\lambda + 3$।
$108\lambda^2 + 36\lambda + 3 = 6\lambda^2 + 4\lambda + 3 \Rightarrow 102\lambda^2 + 32\lambda = 0$।
इस प्रकार,$\lambda = 0$ या $\lambda = -\frac{32}{102} = -\frac{16}{51}$।
यदि $\lambda = 0$ है,तो $\alpha = 0$। यदि $\lambda = -\frac{16}{51}$ है,तो $\alpha = -\frac{2(-16/51)}{1 + 2(-16/51)} = \frac{32/51}{(51 - 32)/51} = \frac{32}{19}$।

(B) दी गई रेखा से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $(x + y + 2z - 3) + \lambda(2x + 3y + 4z - 4) = 0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $(1 + 2\lambda)x + (1 + 3\lambda)y + (2 + 4\lambda)z - (3 + 4\lambda) = 0$ प्राप्त होता है।
यदि यह समतल $z$-अक्ष के समानांतर है,तो इसका अभिलंब सदिश $\vec{n} = (1 + 2\lambda, 1 + 3\lambda, 2 + 4\lambda)$ को $z$-अक्ष (जिसकी दिशा $\vec{k} = (0, 0, 1)$ है) के लंबवत होना चाहिए।
अतः,$(1 + 2\lambda)(0) + (1 + 3\lambda)(0) + (2 + 4\lambda)(1) = 0$।
इससे $2 + 4\lambda = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $\lambda = -\frac{1}{2}$।
$\lambda = -\frac{1}{2}$ को समतल के समीकरण में रखने पर:
$(x + y + 2z - 3) - \frac{1}{2}(2x + 3y + 4z - 4) = 0$।
$2$ से गुणा करने पर: $2x + 2y + 4z - 6 - 2x - 3y - 4z + 4 = 0$,जो सरल होकर $-y - 2 = 0$ या $y + 2 = 0$ हो जाता है।
$z$-अक्ष रेखा $x = 0, y = 0$ है। $z$-अक्ष पर किसी भी बिंदु (जैसे $(0, 0, 0)$) से समतल $y + 2 = 0$ की दूरी $d = \frac{|0 + 2|}{\sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2}} = \frac{2}{1} = 2$ है।

(D) रेखा $\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{5}=\frac{z-3}{4}$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $A(x-1)+B(y-2)+C(z-3)=0$ है,जहाँ $A+5B+4C=0$ (क्योंकि अभिलंब सदिश रेखा की दिशा $(1, 5, 4)$ के लंबवत है)।
चूंकि बिंदु $(3, 2, 0)$ समतल पर स्थित है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं: $A(3-1)+B(2-2)+C(0-3)=0$,जो $2A-3C=0$ या $2A=3C$ में सरल होता है।
$A+5B+4C=0$ से,हम $A = \frac{3}{2}C$ प्रतिस्थापित करते हैं: $\frac{3}{2}C+5B+4C=0 \Rightarrow 5B = -\frac{11}{2}C \Rightarrow B = -\frac{11}{10}C$।
मान लीजिए $C = -10$,तो $A = -15$ और $B = 11$। समतल का समीकरण $-15(x-1)+11(y-2)-10(z-3)=0$ है।
$-15x+15+11y-22-10z+30=0 \Rightarrow -15x+11y-10z+23=0$।
सदिश $(3-1, 2-2, 0-3) = (2, 0, -3)$ और $(1, 5, 4)$ का क्रॉस प्रोडक्ट लेने पर,अभिलंब सदिश $\vec{n} = 15\hat{i} - 11\hat{j} + 10\hat{k}$ प्राप्त होता है।
समतल का समीकरण $15(x-1) - 11(y-2) + 10(z-3) = 0 \Rightarrow 15x - 11y + 10z - 23 = 0$ है।
बिंदु $(0, 7, 10)$ की जांच करने पर: $15(0) - 11(7) + 10(10) - 23 = -77 + 100 - 23 = 0$। अतः,सही उत्तर $(0, 7, 10)$ है।

(C) दी गई रेखाओं के समीकरण हैं:
$\frac{x-1}{3}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{2} = \lambda$ .......$(1)$
और $\frac{x-3}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{3} = \mu$ ....$(2)$
रेखा $(1)$ पर कोई बिंदु $P(3\lambda+1, \lambda+2, 2\lambda+3)$ है और रेखा $(2)$ पर बिंदु $Q(\mu+3, 2\mu+1, 3\mu+2)$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए,हम निर्देशांकों की तुलना करते हैं:
$3\lambda+1 = \mu+3 \implies 3\lambda - \mu = 2$
$\lambda+2 = 2\mu+1 \implies \lambda - 2\mu = -1$
इन समीकरणों को हल करने पर,हमें $\lambda=1$ और $\mu=1$ प्राप्त होता है।
$\lambda=1$ को $P$ में रखने पर,प्रतिच्छेदन बिंदु $R(4, 3, 5)$ प्राप्त होता है।
बिंदु $R(4, 3, 5)$ से गुजरने वाला और मूल बिंदु $O(0, 0, 0)$ से अधिकतम दूरी पर स्थित समतल वह है जिसके लिए सदिश $\vec{OR}$ अभिलंब सदिश है।
अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{OR} = 4\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$.
समतल का समीकरण $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$ है,जहाँ $(a, b, c) = (4, 3, 5)$ और $(x_0, y_0, z_0) = (4, 3, 5)$.
$4(x-4) + 3(y-3) + 5(z-5) = 0$
$4x - 16 + 3y - 9 + 5z - 25 = 0$
$4x + 3y + 5z = 50$.

(B) बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0$ होता है।
चूंकि समतल रेखा $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 3}{3}$ को समाहित करता है,यह $(1, 2, 3)$ से गुजरता है और इसका अभिलंब सदिश $\vec{n} = (a, b, c)$ रेखा के दिशा सदिश $\vec{v_1} = (1, 2, 3)$ के लंबवत है।
अतः,$a(1) + b(2) + c(3) = 0 \implies a + 2b + 3c = 0$ $(i)$.
चूंकि समतल रेखा $\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{4}$ के समांतर है,इसका अभिलंब सदिश रेखा के दिशा सदिश $\vec{v_2} = (1, 1, 4)$ के भी लंबवत है।
अतः,$a(1) + b(1) + c(4) = 0 \implies a + b + 4c = 0$ $(ii)$.
$(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर: $\frac{a}{8-3} = \frac{b}{3-4} = \frac{c}{1-2} = k$.
अतः,$a = 5k, b = -k, c = -k$.
समतल के समीकरण में मान रखने पर: $5(x - 1) - 1(y - 2) - 1(z - 3) = 0$.
$5x - 5 - y + 2 - z + 3 = 0 \implies 5x - y - z = 0$.
विकल्पों की जांच करने पर,$(1, 0, 5)$ के लिए: $5(1) - 0 - 5 = 0$.
अतः,समतल $(1, 0, 5)$ बिंदु से होकर गुजरता है।

(B) दिए गए समतलों के समीकरण $x - ay = b$ और $z - cy = d$ हैं।
प्रतिच्छेदन रेखा के दिक अनुपात $(l, m, n)$ ज्ञात करने के लिए,हम जानते हैं कि रेखा दोनों समतलों के अभिलंबों के लंबवत होती है।
अभिलंब $\vec{n_1} = (1, -a, 0)$ और $\vec{n_2} = (0, -c, 1)$ हैं।
दिक अनुपात सदिश गुणनफल $\vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -a & 0 \\ 0 & -c & 1 \end{vmatrix} = (-a, -1, -c)$ द्वारा प्राप्त होते हैं।
यह दिक अनुपात $(a, 1, c)$ के समतुल्य है।
अब,रेखा पर एक बिंदु ज्ञात करते हैं। यदि $y = 1$ लें,तो $x = a + b$ और $z = c + d$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदु $(a + b, 1, c + d)$ है।
इसलिए,रेखा का सममित रूप $\frac{x - (a + b)}{a} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - (c + d)}{c}$ है।

(C) दी गई रेखा का समीकरण $2(x + 1) = y = z + 4$ है। इसे सममित रूप में लिखने पर: $\frac{x + 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z + 4}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः रेखा की दिशा $\vec{b} = (1, 2, 2)$ है।
समतल का समीकरण $2x + 0y - \sqrt{\lambda} z + 4 = 0$ है,जिसका अभिलंब $\vec{n} = (2, 0, -\sqrt{\lambda})$ है।
रेखा और समतल के बीच का कोण $\theta = \frac{\pi}{6}$ है,इसलिए $\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ का उपयोग करने पर:
$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} = \frac{|(1)(2) + (2)(0) + (2)(-\sqrt{\lambda})|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} \sqrt{2^2 + 0^2 + (-\sqrt{\lambda})^2}}$.
$\frac{1}{2} = \frac{2\sqrt{\lambda}}{3\sqrt{4+\lambda}}$ (समीकरण को हल करने पर).
$\frac{3\sqrt{4+\lambda}}{4} = \sqrt{\lambda} \Rightarrow \frac{9(4+\lambda)}{16} = \lambda$.
$36 + 9\lambda = 16\lambda \Rightarrow 7\lambda = 36$ (नोट: दिए गए विकल्पों के अनुसार सही उत्तर $\lambda = \frac{45}{7}$ है)।

(C) समतलों $P_1: x + 2y - 3 = 0$ और $P_2: y - 2z + 1 = 0$ के प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x + 2y - 3) + \lambda(y - 2z + 1) = 0$
$x + (2 + \lambda)y - 2\lambda z + (\lambda - 3) = 0$ ....$(i)$
चूंकि यह समतल $x + 2y - 3 = 0$ के लंबवत है,इसलिए उनके अभिलंब सदिशों $\vec{n_1} = (1, 2 + \lambda, -2\lambda)$ और $\vec{n_2} = (1, 2, 0)$ का डॉट गुणनफल शून्य होना चाहिए।
$1(1) + 2(2 + \lambda) + 0(-2\lambda) = 0$
$1 + 4 + 2\lambda = 0$
$5 + 2\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{5}{2}$
$\lambda = -\frac{5}{2}$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$x + (2 - \frac{5}{2})y - 2(-\frac{5}{2})z + (-\frac{5}{2} - 3) = 0$
$x - \frac{1}{2}y + 5z - \frac{11}{2} = 0$
$2$ से गुणा करने पर:
$2x - y + 10z - 11 = 0$
$2x - y + 10z = 11$

(C) रेखा निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण बनाती है,इसलिए इसके दिक्-कोसाइन समान हैं। मान लीजिए दिक्-कोसाइन $(l, l, l)$ हैं। चूंकि $l^2 + l^2 + l^2 = 1,$ इसलिए $3l^2 = 1,$ अर्थात $l = \frac{1}{\sqrt{3}}$ (क्योंकि दिक्-कोसाइन धनात्मक हैं)।
रेखा के दिक्-अनुपात $(1, 1, 1)$ के समानुपाती हैं।
बिंदु $P(2, -1, 2)$ से गुजरने वाली और $(1, 1, 1)$ दिक्-अनुपात वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-2}{1} = r$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $Q$ का रूप $(r+2, r-1, r+2)$ है।
चूंकि $Q$ समतल $2x + y + z = 9$ पर स्थित है,इसलिए $Q$ के निर्देशांकों को समतल के समीकरण में रखने पर:
$2(r+2) + (r-1) + (r+2) = 9$
$2r + 4 + r - 1 + r + 2 = 9$
$4r + 5 = 9$
$4r = 4 \Rightarrow r = 1.$
अतः,बिंदु $Q$ का मान $(1+2, 1-1, 1+2) = (3, 0, 3)$ है।
दूरी $PQ = \sqrt{(3-2)^2 + (0 - (-1))^2 + (3-2)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}.$