Line and Plane Questions in Hindi

(C) रेखा निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण बनाती है,इसलिए इसके दिक्-कोसाइन समान हैं। मान लीजिए दिक्-कोसाइन $(l, l, l)$ हैं। चूंकि $l^2 + l^2 + l^2 = 1,$ इसलिए $3l^2 = 1,$ अर्थात $l = \frac{1}{\sqrt{3}}$ (क्योंकि दिक्-कोसाइन धनात्मक हैं)।
रेखा के दिक्-अनुपात $(1, 1, 1)$ के समानुपाती हैं।
बिंदु $P(2, -1, 2)$ से गुजरने वाली और $(1, 1, 1)$ दिक्-अनुपात वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-2}{1} = r$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $Q$ का रूप $(r+2, r-1, r+2)$ है।
चूंकि $Q$ समतल $2x + y + z = 9$ पर स्थित है,इसलिए $Q$ के निर्देशांकों को समतल के समीकरण में रखने पर:
$2(r+2) + (r-1) + (r+2) = 9$
$2r + 4 + r - 1 + r + 2 = 9$
$4r + 5 = 9$
$4r = 4 \Rightarrow r = 1.$
अतः,बिंदु $Q$ का मान $(1+2, 1-1, 1+2) = (3, 0, 3)$ है।
दूरी $PQ = \sqrt{(3-2)^2 + (0 - (-1))^2 + (3-2)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}.$

(B) माना कि उभयनिष्ठ रेखा के दिक्-अनुपात $\ell, m, n$ हैं।
चूंकि रेखा समतल $x = 5$ पर स्थित है,इसका दिक्-सदिश अभिलंब $(1, 0, 0)$ के लंबवत होना चाहिए। अतः,$\ell = 0$ है।
चूंकि रेखा अन्य दो समतलों पर भी स्थित है,इसका दिक्-सदिश उनके अभिलंबों $(2, -5a, 3)$ और $(3b, 1, -3)$ के लंबवत होना चाहिए।
समतल $2x - 5ay + 3z - 2 = 0$ के लिए,$2\ell - 5am + 3n = 0$ है। $\ell = 0$ होने पर,$-5am + 3n = 0$ या $3n = 5am$ प्राप्त होता है।
समतल $3bx + y - 3z = 0$ के लिए,$3b\ell + m - 3n = 0$ है। $\ell = 0$ होने पर,$m - 3n = 0$ या $m = 3n$ प्राप्त होता है।
$m = 3n$ को $3n = 5am$ में रखने पर,$3n = 5a(3n)$ प्राप्त होता है।
यदि $n \neq 0$ है,तो $3 = 15a$,जिससे $a = \frac{1}{5}$ प्राप्त होता है।
अब,उभयनिष्ठ रेखा को समतलों के समीकरणों को भी संतुष्ट करना चाहिए। $x = 5$ होने पर,अन्य दो समीकरण $-5ay + 3z = -8$ और $y - 3z = -15b$ बन जाते हैं।
$a = \frac{1}{5}$ रखने पर,पहला समीकरण $-y + 3z = -8$ यानी $y - 3z = 8$ बन जाता है।
$y - 3z = 8$ और $y - 3z = -15b$ की तुलना करने पर,$-15b = 8$,अतः $b = -\frac{8}{15}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$(a, b) = \left( \frac{1}{5}, -\frac{8}{15} \right)$।

(A) रेखा $\frac{x + 1}{-3} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z + 2}{1}$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $a(x + 1) + b(y - 3) + c(z + 2) = 0$ है,जहाँ अभिलंब सदिश $(a, b, c)$ रेखा के दिशा सदिश $(-3, 2, 1)$ के लंबवत है।
अतः,$-3a + 2b + c = 0$ --- $(1)$
चूँकि समतल बिंदु $(0, 7, -7)$ से होकर गुजरता है,हम इन निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$a(0 + 1) + b(7 - 3) + c(-7 + 2) = 0$
$a + 4b - 5c = 0$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को वज्र-गुणन विधि से हल करने पर:
$\frac{a}{2(-5) - 1(4)} = \frac{-b}{-3(-5) - 1(1)} = \frac{c}{-3(4) - 2(1)}$
$\frac{a}{-14} = \frac{-b}{14} = \frac{c}{-14}$
$-14$ से विभाजित करने पर,हमें $a = 1, b = 1, c = 1$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समतल के समीकरण में रखने पर:
$1(x + 1) + 1(y - 3) + 1(z + 2) = 0$
$x + y + z = 0$.

(C) माना कि अभीष्ट रेखा $L$ बिंदु $P(-4, 1, 3)$ से गुजरती है और इसके दिक्-अनुपात $(a, b, c)$ हैं।
रेखा का समीकरण $\frac{x + 4}{a} = \frac{y - 1}{b} = \frac{z - 3}{c}$ है।
चूंकि रेखा $L$ समतल $x + 2y - z - 5 = 0$ के समानांतर है,इसलिए समतल का अभिलंब $(1, 2, -1)$ रेखा $L$ पर लंब है। अतः,$a + 2b - c = 0$ है।
रेखा $L$ दी गई रेखा $L_1: \frac{x + 1}{-3} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z - 2}{-1}$ को प्रतिच्छेद करती है। इन शर्तों को हल करने पर हमें दिक्-अनुपात $(3, -1, 1)$ प्राप्त होते हैं।
अतः,रेखा का समीकरण $\frac{x + 4}{3} = \frac{y - 1}{-1} = \frac{z - 3}{1}$ है।

(B) समतलों $P_1: x + y + z - 1 = 0$ और $P_2: 2x + 3y + z - 4 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x + y + z - 1) + \lambda(2x + 3y + z - 4) = 0$
$(1 + 2\lambda)x + (1 + 3\lambda)y + (1 + \lambda)z - (1 + 4\lambda) = 0$।
चूंकि समतल $y$-अक्ष के समानांतर है,इसलिए $y$ का गुणांक शून्य होना चाहिए।
$1 + 3\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{3}$।
समीकरण में $\lambda = -\frac{1}{3}$ रखने पर:
$(1 + 2(-\frac{1}{3}))x + (1 + 3(-\frac{1}{3}))y + (1 - \frac{1}{3})z - (1 + 4(-\frac{1}{3})) = 0$
$\frac{1}{3}x + 0y + \frac{2}{3}z + \frac{1}{3} = 0$
$x + 2z + 1 = 0$।
विकल्पों की जांच करने पर,बिंदु $(-3, 1, 1)$ के लिए: $(-3) + 2(1) + 1 = 0$। अतः,समतल $(-3, 1, 1)$ से गुजरता है।

(B) माना पहली रेखा $L_1$ का दिशा सदिश $\vec{v_1} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ है।
दूसरे समतल में स्थित दो रेखाओं $L_2$ और $L_3$ के दिशा सदिश $\vec{v_2} = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{v_3} = 4\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ हैं।
दूसरे समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n_2} = \vec{v_2} \times \vec{v_3} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 4 & 2 \\ 4 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 8\hat{i} - \hat{j} - 10\hat{k}$ है।
अभीष्ट समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$ को $\vec{v_1}$ और $\vec{n_2}$ दोनों के लंबवत होना चाहिए।
अतः,$\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 8 & -1 & -10 \end{vmatrix} = -26\hat{i} + 52\hat{j} - 26\hat{k}$ प्राप्त होता है।
अभिलंब सदिश $\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ लेने पर,मूल बिंदु $(0,0,0)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $1(x-0) - 2(y-0) + 1(z-0) = 0$ अर्थात $x - 2y + z = 0$ होगा।

(A) रेखा पर बिंदु $A$ के निर्देशांक $(1 - 3\mu, \mu - 1, 2 + 5\mu)$ हैं।
सदिश $\overrightarrow{AB}$ को $B - A = (3 - (1 - 3\mu))\hat{i} + (2 - (\mu - 1))\hat{j} + (6 - (2 + 5\mu))\hat{k}$ द्वारा प्राप्त किया जाता है।
$\overrightarrow{AB} = (2 + 3\mu)\hat{i} + (3 - \mu)\hat{j} + (4 - 5\mu)\hat{k}$.
सदिश $\overrightarrow{AB}$ समतल $x - 4y + 3z = 1$ के समानांतर है यदि और केवल यदि $\overrightarrow{AB}$ और समतल के अभिलंब सदिश $\vec{n} = (1, -4, 3)$ का अदिश गुणनफल शून्य हो।
$(2 + 3\mu)(1) + (3 - \mu)(-4) + (4 - 5\mu)(3) = 0$.
$2 + 3\mu - 12 + 4\mu + 12 - 15\mu = 0$.
$(3 + 4 - 15)\mu + (2 - 12 + 12) = 0$.
$-8\mu + 2 = 0$.
$8\mu = 2 \Rightarrow \mu = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

(D) माना दी गई रेखा $L: \frac{x - 3}{2} = \frac{y + 2}{-1} = \frac{z - 1}{3} = k$ है। रेखा पर कोई भी बिंदु $P(2k + 3, -k - 2, 3k + 1)$ है।
समतल $P_1$ का समीकरण $2x + 3y - z = 5$ है। $P_1$ का अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ है।
रेखा $L$ की दिशा $\vec{v} = 2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$ है।
समतल $P_2$ रेखा $L$ और $P_1$ पर इसके प्रक्षेप को समाहित करता है। इसका अर्थ है कि $P_2$ रेखा $L$ को समाहित करता है और $P_1$ के लंबवत है।
वांछित समतल $P_2$ का अभिलंब सदिश $\vec{n_2}$,रेखा की दिशा $\vec{v}$ और समतल $P_1$ के अभिलंब $(\vec{n_1})$ के लंबवत होना चाहिए।
$\vec{n_2} = \vec{v} \times \vec{n_1} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 3 \\ 2 & 3 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1 - 9) - \hat{j}(-2 - 6) + \hat{k}(6 + 2) = -8\hat{i} + 8\hat{j} + 8\hat{k}$.
हम अभिलंब सदिश $\vec{n} = \hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$ ले सकते हैं।
यह समतल रेखा पर स्थित बिंदु $(3, -2, 1)$ से गुजरता है। समतल का समीकरण $1(x - 3) - 1(y + 2) - 1(z - 1) = 0$ है।
$x - 3 - y - 2 - z + 1 = 0 \Rightarrow x - y - z = 4$.
विकल्पों की जाँच करने पर:
$A: 2 - 2 - 0 = 0 \neq 4$
$B: -2 - 2 - 2 = -6 \neq 4$
$C: 0 - (-2) - 2 = 0 \neq 4$
$D: 2 - 0 - (-2) = 4$. अतः,बिंदु $(2, 0, -2)$ समतल पर स्थित है।

(B) दो रेखाओं को समाहित करने वाले समतल का समीकरण सारणिक रूप में इस प्रकार है:
$\left| \begin{array}{ccc} x+2 & y-2 & z+5 \\ 3 & 5 & 7 \\ 1 & 4 & 7 \end{array} \right| = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$(x+2)(35-28) - (y-2)(21-7) + (z+5)(12-5) = 0$
$7(x+2) - 14(y-2) + 7(z+5) = 0$
$7$ से भाग देने पर:
$(x+2) - 2(y-2) + (z+5) = 0$
$x - 2y + z + 2 + 4 + 5 = 0$
$x - 2y + z + 11 = 0$
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$A=1, B=-2, C=1, D=11$.
$d = \frac{|11|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{11}{\sqrt{1+4+1}} = \frac{11}{\sqrt{6}}$.

(A) रेखा के दिक अनुपात $\vec{b} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ हैं।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \hat{i} - 2\hat{j} - k\hat{k}$ है।
रेखा और समतल के बीच का कोण $\alpha$ का सूत्र $\sin \alpha = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ है।
$|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = 3$ और $|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-k)^2} = \sqrt{5 + k^2}$.
$\vec{b} \cdot \vec{n} = 2 - 2 + 2k = 2k$.
अतः,$\sin \alpha = \frac{|2k|}{3\sqrt{5 + k^2}}$.
दिया गया है कि $\cos \alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3}$,इसलिए $\sin \alpha = \sqrt{1 - \frac{8}{9}} = \frac{1}{3}$.
दोनों को बराबर करने पर: $\frac{|2k|}{3\sqrt{5 + k^2}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{|2k|}{\sqrt{5 + k^2}} = 1$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $4k^2 = 5 + k^2 \Rightarrow 3k^2 = 5 \Rightarrow k^2 = \frac{5}{3}$.
अतः,$k = \sqrt{\frac{5}{3}}$।

(D) समतलों $P_1: 2x - y - 4 = 0$ और $P_2: y + 2z - 4 = 0$ की प्रतिच्छेदन रेखा से होकर जाने वाले समतलों के परिवार का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(2x - y - 4) + \lambda(y + 2z - 4) = 0$
चूंकि समतल बिंदु $(1, 1, 0)$ से गुजरता है,हम समीकरण में $x = 1, y = 1, z = 0$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$(2(1) - 1 - 4) + \lambda(1 + 2(0) - 4) = 0$
$(2 - 1 - 4) + \lambda(1 - 4) = 0$
$-3 - 3\lambda = 0$
$-3\lambda = 3 \Rightarrow \lambda = -1$
$\lambda = -1$ को समीकरण में रखने पर:
$(2x - y - 4) - 1(y + 2z - 4) = 0$
$2x - y - 4 - y - 2z + 4 = 0$
$2x - 2y - 2z = 0$
$2$ से विभाजित करने पर,हमें $x - y - z = 0$ प्राप्त होता है।

(C) समतलों $P_1: x + y + z - 1 = 0$ और $P_2: 2x + 3y + 4z - 5 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतलों के परिवार का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x + y + z - 1) + \lambda(2x + 3y + 4z - 5) = 0$
$(1 + 2\lambda)x + (1 + 3\lambda)y + (1 + 4\lambda)z - (1 + 5\lambda) = 0$.
यह समतल $x - y + z = 0$ के लंबवत है। दो समतलों $a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0$ के लंबवत होने की शर्त $a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0$ है।
अतः,$(1 + 2\lambda)(1) + (1 + 3\lambda)(-1) + (1 + 4\lambda)(1) = 0$.
$1 + 2\lambda - 1 - 3\lambda + 1 + 4\lambda = 0$.
$1 + 3\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{3}$.
$\lambda = -\frac{1}{3}$ को समतल के समीकरण में रखने पर:
$(1 + 2(-\frac{1}{3}))x + (1 + 3(-\frac{1}{3}))y + (1 + 4(-\frac{1}{3}))z - (1 + 5(-\frac{1}{3})) = 0$.
$\frac{1}{3}x + 0y - \frac{1}{3}z + \frac{2}{3} = 0$.
$3$ से गुणा करने पर,हमें $x - z + 2 = 0$ प्राप्त होता है।
सदिश रूप में,यह $\vec{r} \cdot (\hat{i} - \hat{k}) + 2 = 0$ है।

(C) दी गई रेखा पर कोई भी बिंदु $(1 + 2\lambda, -1 + 3\lambda, 2 + 4\lambda)$ के रूप में लिया जा सकता है,जहाँ $\lambda \in \mathbb{R}$ है।
इस बिंदु को समतल के समीकरण $x + 2y + 3z = 15$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(1 + 2\lambda) + 2(-1 + 3\lambda) + 3(2 + 4\lambda) = 15$
$1 + 2\lambda - 2 + 6\lambda + 6 + 12\lambda = 15$
$20\lambda + 5 = 15$
$20\lambda = 10$
$\lambda = \frac{1}{2}$
$\lambda = \frac{1}{2}$ को बिंदु के निर्देशांकों में रखने पर:
$P = (1 + 2(\frac{1}{2}), -1 + 3(\frac{1}{2}), 2 + 4(\frac{1}{2})) = (2, \frac{1}{2}, 4)$ प्राप्त होता है।
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से $P(2, \frac{1}{2}, 4)$ की दूरी $\sqrt{2^2 + (\frac{1}{2})^2 + 4^2}$ होगी।
$= \sqrt{4 + \frac{1}{4} + 16} = \sqrt{20 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{81}{4}} = \frac{9}{2}$.

(D) समतलों $P_1: x + y + z - 6 = 0$ और $P_2: 2x + 3y + z + 5 = 0$ की प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x + y + z - 6) + \lambda(2x + 3y + z + 5) = 0$
$x(1 + 2\lambda) + y(1 + 3\lambda) + z(1 + \lambda) + (-6 + 5\lambda) = 0$.
चूंकि समतल $P$ $xy$-समतल के लंबवत है (जिसका अभिलंब सदिश $\vec{k} = (0, 0, 1)$ है),समतल $P$ का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (1 + 2\lambda, 1 + 3\lambda, 1 + \lambda)$ को $\vec{k}$ के लंबवत होना चाहिए।
इसलिए,उनका अदिश गुणनफल $\vec{n} \cdot \vec{k} = 0$ होगा,जिसका अर्थ है $1 + \lambda = 0$,अर्थात $\lambda = -1$.
समीकरण में $\lambda = -1$ रखने पर:
$x(1 - 2) + y(1 - 3) + z(1 - 1) + (-6 - 5) = 0$
$-x - 2y - 11 = 0$,या $x + 2y + 11 = 0$.
बिंदु $(0, 0, 256)$ की समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ से दूरी $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$d = \frac{|1(0) + 2(0) + 0(256) + 11|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 0^2}} = \frac{11}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{11}{\sqrt{5}}$.

(A) माना $P$ बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ है। चूँकि $Q(0, -1, -3)$ समतल $3x - y + 4z - 2 = 0$ में $P$ का प्रतिबिंब है,रेखा $PQ$ समतल के लंबवत है।
समतल के अभिलंब के दिक्-अनुपात $(3, -1, 4)$ हैं।
रेखा $PQ$ बिंदु $Q(0, -1, -3)$ से गुजरती है और अभिलंब के समानांतर है,इसलिए इसका समीकरण $\frac{x-0}{3} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z+3}{4} = k$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(3k, -k-1, 4k-3)$ है। $PQ$ का मध्यबिंदु $M$ समतल पर स्थित है।
$M = (\frac{3k}{2}, \frac{-k-2}{2}, \frac{4k-6}{2})$। समतल के समीकरण में मान रखने पर: $3(\frac{3k}{2}) - (\frac{-k-2}{2}) + 4(\frac{4k-6}{2}) = 2$.
$9k + k + 2 + 16k - 24 = 4 \implies 26k = 26 \implies k = 1$.
अतः,$M = (1.5, -1, 1)$। सदिश $\vec{QP} = 2\vec{QM} = 2(1.5, 0, 4) = (3, 0, 8)$।
$P = Q + (3, 0, 8) = (3, -1, 5)$।
अब,$\vec{QR} = (3-0, -1-(-1), -2-(-3)) = (3, 0, 1)$ और $\vec{QP} = (3, 0, 8)$।
$\Delta PQR$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\vec{QP} \times \vec{QR}|$.
$\vec{QP} \times \vec{QR} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 0 & 8 \\ 3 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 21\hat{j}$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |21\hat{j}| = 10.5$.

(A) माना रेखा $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{-1} = \frac{z}{1} = \lambda$ पर एक बिंदु $P$ के निर्देशांक $(2\lambda + 1, -\lambda - 1, \lambda)$ हैं।
चूंकि लंब का पाद $Q$ दोनों समतलों $x + y + z = 3$ और $x - y + z = 3$ पर स्थित है,हम इन दोनों समतलों के प्रतिच्छेदन को ज्ञात कर सकते हैं।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(x + y + z) + (x - y + z) = 3 + 3 \Rightarrow 2x + 2z = 6 \Rightarrow x + z = 3$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(x + y + z) - (x - y + z) = 3 - 3 \Rightarrow 2y = 0 \Rightarrow y = 0$.
चूंकि $Q$ दोनों समतलों की प्रतिच्छेदन रेखा पर स्थित है,इसके निर्देशांक $y = 0$ और $z = 3 - x$ को संतुष्ट करते हैं।
अतः,$Q$ के निर्देशांक $(x, 0, 3 - x)$ के रूप में हैं।
चूंकि $PQ$ समतल $x + y + z = 3$ पर लंब है,सदिश $\vec{PQ}$ समतल के अभिलंब सदिश $\vec{n} = (1, 1, 1)$ के समानांतर होना चाहिए।
$\vec{PQ} = (x - (2\lambda + 1), 0 - (-\lambda - 1), 3 - x - \lambda) = (x - 2\lambda - 1, \lambda + 1, 3 - x - \lambda)$.
$\vec{PQ} = k(1, 1, 1)$ होने के कारण,$x - 2\lambda - 1 = \lambda + 1 = 3 - x - \lambda$.
$\lambda + 1 = 3 - x - \lambda$ से,$2\lambda + x = 2$.
$x - 2\lambda - 1 = \lambda + 1$ से,$x - 3\lambda = 2$.
$2\lambda + x = 2$ और $x - 3\lambda = 2$ को हल करने पर,घटाने पर: $5\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 0$.
$\lambda = 0$ को $x - 3\lambda = 2$ में रखने पर,$x = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$Q$ के निर्देशांक $(2, 0, 3 - 2) = (2, 0, 1)$ हैं।

(A) माना रेखा $\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-1}{-1}=\lambda$ है।
अतः,रेखा पर स्थित कोई भी बिंदु $x=3\lambda+2, y=2\lambda-1, z=-\lambda+1$ द्वारा दिया जाता है।
समतल $2x+3y-z+13=0$ के साथ प्रतिच्छेदन के लिए:
$2(3\lambda+2)+3(2\lambda-1)-(-\lambda+1)+13=0$
$6\lambda+4+6\lambda-3+\lambda-1+13=0$
$13\lambda+13=0 \implies \lambda=-1$.
$\lambda=-1$ रखने पर,हमें $P(-1, -3, 2)$ प्राप्त होता है।
समतल $3x+y+4z=16$ के साथ प्रतिच्छेदन के लिए:
$3(3\lambda+2)+(2\lambda-1)+4(-\lambda+1)=16$
$9\lambda+6+2\lambda-1-4\lambda+4=16$
$7\lambda+9=16 \implies 7\lambda=7 \implies \lambda=1$.
$\lambda=1$ रखने पर,हमें $Q(5, 1, 0)$ प्राप्त होता है।
दूरी $PQ = \sqrt{(5 - (-1))^2 + (1 - (-3))^2 + (0 - 2)^2}$.
$PQ = \sqrt{6^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 16 + 4} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}$.

(A) दो समतलों $\vec{r} \cdot \vec{n}_1 = d_1$ और $\vec{r} \cdot \vec{n}_2 = d_2$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतल का समीकरण $\vec{r} \cdot (\vec{n}_1 + \lambda \vec{n}_2) = d_1 + \lambda d_2$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समतल $\vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})=6$ और $\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k})=-5$ हैं।
अतः,अभीष्ट समतल का समीकरण $\vec{r} \cdot [(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) + \lambda(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k})] = 6 - 5\lambda$ होगा।
इसे $\vec{r} \cdot [(1+2\lambda)\hat{i} + (1+3\lambda)\hat{j} + (1+4\lambda)\hat{k}] = 6 - 5\lambda$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि समतल बिंदु $(1,1,1)$ से गुजरता है,हम $\vec{r} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(1+2\lambda)(1) + (1+3\lambda)(1) + (1+4\lambda)(1) = 6 - 5\lambda.$
$1 + 2\lambda + 1 + 3\lambda + 1 + 4\lambda = 6 - 5\lambda.$
$3 + 9\lambda = 6 - 5\lambda.$
$14\lambda = 3 \implies \lambda = \frac{3}{14}.$
$\lambda = \frac{3}{14}$ का मान समीकरण में रखने पर:
$\vec{r} \cdot [(1 + 2(\frac{3}{14}))\hat{i} + (1 + 3(\frac{3}{14}))\hat{j} + (1 + 4(\frac{3}{14}))\hat{k}] = 6 - 5(\frac{3}{14}).$
$\vec{r} \cdot [\frac{10}{7}\hat{i} + \frac{23}{14}\hat{j} + \frac{13}{7}\hat{k}] = \frac{84 - 15}{14}.$
$\vec{r} \cdot [\frac{10}{7}\hat{i} + \frac{23}{14}\hat{j} + \frac{13}{7}\hat{k}] = \frac{69}{14}.$
$14$ से गुणा करने पर,हमें $\vec{r} \cdot (20\hat{i} + 23\hat{j} + 26\hat{k}) = 69$ प्राप्त होता है।

(N/A) दो रेखाएँ $\frac{x-x_1}{a_1} = \frac{y-y_1}{b_1} = \frac{z-z_1}{c_1}$ और $\frac{x-x_2}{a_2} = \frac{y-y_2}{b_2} = \frac{z-z_2}{c_2}$ समतलीय होती हैं यदि $\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$ हो।
दिए गए समीकरणों से:
$(x_1, y_1, z_1) = (-3, 1, 5)$ और $(a_1, b_1, c_1) = (-3, 1, 5)$.
$(x_2, y_2, z_2) = (-1, 2, 5)$ और $(a_2, b_2, c_2) = (-1, 2, 5)$.
अब,सारणिक की गणना करते हैं:
$\begin{vmatrix} -1-(-3) & 2-1 & 5-5 \\ -3 & 1 & 5 \\ -1 & 2 & 5 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -3 & 1 & 5 \\ -1 & 2 & 5 \end{vmatrix}$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$= 2(1 \times 5 - 5 \times 2) - 1(-3 \times 5 - 5 \times -1) + 0(-3 \times 2 - 1 \times -1)$
$= 2(5 - 10) - 1(-15 + 5) + 0$
$= 2(-5) - 1(-10) = -10 + 10 = 0$.
चूँकि सारणिक का मान $0$ है,अतः रेखाएँ समतलीय हैं।

(A) रेखा का दिशा सदिश $\vec{b} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k}$ है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = 10\hat{i} + 2\hat{j} - 11\hat{k}$ है।
माना रेखा और समतल के बीच का कोण $\phi$ है। कोण का सूत्र $\sin \phi = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल ज्ञात करें: $\vec{b} \cdot \vec{n} = (2)(10) + (3)(2) + (6)(-11) = 20 + 6 - 66 = -40$.
अब,परिमाण ज्ञात करें: $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
$|\vec{n}| = \sqrt{10^2 + 2^2 + (-11)^2} = \sqrt{100 + 4 + 121} = \sqrt{225} = 15$.
अतः,$\sin \phi = \frac{|-40|}{7 \times 15} = \frac{40}{105} = \frac{8}{21}$.
इसलिए,$\phi = \sin^{-1}\left(\frac{8}{21}\right)$.

(A) दिए गए समतलों के समीकरण $\vec{r} \cdot (2\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) = 7$ और $\vec{r} \cdot (2\hat{i} + 5\hat{j} + 3\hat{k}) = 9$ हैं।
इन दो समतलों के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण इस प्रकार है:
$[\vec{r} \cdot (2\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) - 7] + \lambda [\vec{r} \cdot (2\hat{i} + 5\hat{j} + 3\hat{k}) - 9] = 0$,जहाँ $\lambda \in \mathbb{R}$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\vec{r} \cdot [(2 + 2\lambda)\hat{i} + (2 + 5\lambda)\hat{j} + (-3 + 3\lambda)\hat{k}] = 7 + 9\lambda$ ... $(1)$
चूँकि समतल बिंदु $(2,1,3)$ से गुजरता है,इसका स्थिति सदिश $\vec{r} = 2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$ है।
इस मान को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$(2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}) \cdot [(2 + 2\lambda)\hat{i} + (2 + 5\lambda)\hat{j} + (3\lambda - 3)\hat{k}] = 7 + 9\lambda$
अदिश गुणन करने पर:
$2(2 + 2\lambda) + 1(2 + 5\lambda) + 3(3\lambda - 3) = 7 + 9\lambda$
$4 + 4\lambda + 2 + 5\lambda + 9\lambda - 9 = 7 + 9\lambda$
$18\lambda - 3 = 7 + 9\lambda$
$9\lambda = 10 \Rightarrow \lambda = \frac{10}{9}$.
$\lambda = \frac{10}{9}$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$\vec{r} \cdot [(\frac{38}{9})\hat{i} + (\frac{68}{9})\hat{j} + (\frac{3}{9})\hat{k}] = 17$
दोनों पक्षों को $9$ से गुणा करने पर:
$\vec{r} \cdot (38\hat{i} + 68\hat{j} + 3\hat{k}) = 153$.

(A) समतलों $x+y+z-1=0$ और $2x+3y+4z-5=0$ के प्रतिच्छेदन से होकर जाने वाले समतल का समीकरण:
$(x+y+z-1) + \lambda(2x+3y+4z-5) = 0$
$(1+2\lambda)x + (1+3\lambda)y + (1+4\lambda)z - (1+5\lambda) = 0$ ... $(1)$
इस समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (1+2\lambda)\hat{i} + (1+3\lambda)\hat{j} + (1+4\lambda)\hat{k}$ है।
यह समतल,समतल $x-y+z=0$ पर लंब है,जिसका अभिलंब सदिश $\vec{n_2} = 1\hat{i} - 1\hat{j} + 1\hat{k}$ है।
चूंकि समतल लंबवत हैं,उनके अभिलंब सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य होगा,अर्थात $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$:
$(1+2\lambda)(1) + (1+3\lambda)(-1) + (1+4\lambda)(1) = 0$
$1+2\lambda - 1 - 3\lambda + 1 + 4\lambda = 0$
$3\lambda + 1 = 0$
$\lambda = -\frac{1}{3}$
$\lambda = -\frac{1}{3}$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$(1+2(-\frac{1}{3}))x + (1+3(-\frac{1}{3}))y + (1+4(-\frac{1}{3}))z - (1+5(-\frac{1}{3})) = 0$
$(\frac{1}{3})x + (0)y + (-\frac{1}{3})z - (-\frac{2}{3}) = 0$
$\frac{1}{3}x - \frac{1}{3}z + \frac{2}{3} = 0$
$3$ से गुणा करने पर,हमें $x-z+2=0$ प्राप्त होता है।

(C) एक बिंदु $P(x_1, y_1, z_1)$ की समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ से दूरी $d$ ज्ञात करने का सूत्र निम्नलिखित है:
$d = \left| \frac{Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \right|$
यहाँ दिया गया बिंदु $(x_1, y_1, z_1) = (2, 3, -5)$ है और समतल का समीकरण $x + 2y - 2z - 9 = 0$ है,इसलिए $A = 1, B = 2, C = -2, D = -9$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$d = \left| \frac{1(2) + 2(3) - 2(-5) - 9}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}} \right|$
$d = \left| \frac{2 + 6 + 10 - 9}{\sqrt{1 + 4 + 4}} \right|$
$d = \left| \frac{9}{\sqrt{9}} \right|$
$d = \frac{9}{3} = 3$
अतः,अभीष्ट दूरी $3$ इकाई है।

(A) दो रेखाएँ $\frac{x-x_1}{a_1} = \frac{y-y_1}{b_1} = \frac{z-z_1}{c_1}$ और $\frac{x-x_2}{a_2} = \frac{y-y_2}{b_2} = \frac{z-z_2}{c_2}$ समतलीय होती हैं यदि $\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$ हो।
दी गई रेखाओं के लिए,हमारे पास है:
$(x_1, y_1, z_1) = (a-d, a, a+d)$ और $(a_1, b_1, c_1) = (\alpha-\delta, \alpha, \alpha+\delta)$.
$(x_2, y_2, z_2) = (b-c, b, b+c)$ और $(a_2, b_2, c_2) = (\beta-\gamma, \beta, \beta+\gamma)$.
अब,सारणिक पर विचार करें:
$\Delta = \begin{vmatrix} b-c-a+d & b-a & b+c-a-d \\ \alpha-\delta & \alpha & \alpha+\delta \\ \beta-\gamma & \beta & \beta+\gamma \end{vmatrix}$.
स्तंभ संक्रिया $C_1 \to C_1 + C_3$ लागू करने पर:
$\Delta = \begin{vmatrix} (b-c-a+d) + (b+c-a-d) & b-a & b+c-a-d \\ (\alpha-\delta) + (\alpha+\delta) & \alpha & \alpha+\delta \\ (\beta-\gamma) + (\beta+\gamma) & \beta & \beta+\gamma \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2(b-a) & b-a & b+c-a-d \\ 2\alpha & \alpha & \alpha+\delta \\ 2\beta & \beta & \beta+\gamma \end{vmatrix}$.
पहले स्तंभ से $2$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = 2 \begin{vmatrix} b-a & b-a & b+c-a-d \\ \alpha & \alpha & \alpha+\delta \\ \beta & \beta & \beta+\gamma \end{vmatrix}$.
चूँकि पहला और दूसरा स्तंभ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।
अतः,दी गई रेखाएँ समतलीय हैं।

(A) बिंदु $(1, 2, 3)$ का स्थिति सदिश $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
समतल का समीकरण $\vec{r} \cdot (\hat{i} + 2\hat{j} - 5\hat{k}) + 9 = 0$ दिया गया है। समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \hat{i} + 2\hat{j} - 5\hat{k}$ है।
समतल के लंबवत रेखा की दिशा वही होगी जो समतल के अभिलंब सदिश की है। अतः,रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = \hat{i} + 2\hat{j} - 5\hat{k}$ है।
स्थिति सदिश $\vec{a}$ से गुजरने वाली और सदिश $\vec{v}$ के समांतर रेखा का सदिश समीकरण $\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{v}$ होता है।
मान रखने पर,हमें $\vec{l} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda(\hat{i} + 2\hat{j} - 5\hat{k})$ प्राप्त होता है।

(A) दो बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1)$ और $(x_2, y_2, z_2)$ से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z-z_1}{z_2-z_1}$ होता है।
दिए गए बिंदुओं $(3, -4, -5)$ और $(2, -3, 1)$ को सूत्र में रखने पर:
$\frac{x-3}{2-3} = \frac{y+4}{-3+4} = \frac{z+5}{1+5}$
$\Rightarrow \frac{x-3}{-1} = \frac{y+4}{1} = \frac{z+5}{6} = k$ (मान लीजिए)।
$x, y, z$ को $k$ के पदों में व्यक्त करने पर:
$x = 3 - k, y = k - 4, z = 6k - 5$.
चूंकि यह बिंदु समतल $2x + y + z = 7$ पर स्थित है,इसलिए हम इन मानों को समतल के समीकरण में रखते हैं:
$2(3 - k) + (k - 4) + (6k - 5) = 7$
$6 - 2k + k - 4 + 6k - 5 = 7$
$5k - 3 = 7$
$5k = 10 \Rightarrow k = 2$.
$k = 2$ को निर्देशांकों में रखने पर:
$x = 3 - 2 = 1$
$y = 2 - 4 = -2$
$z = 6(2) - 5 = 7$.
अतः,अभीष्ट बिंदु $(1, -2, 7)$ है।

(A) समतल $\vec{r} \cdot \vec{n} + d = 0$ से बिंदु $\vec{a}$ की लंबवत दूरी $D = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{n} + d|}{|\vec{n}|}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए समतल $\vec{r} \cdot (3 \hat{i} + 4 \hat{j} - 12 \hat{k}) + 13 = 0$ के लिए,$\vec{n} = 3 \hat{i} + 4 \hat{j} - 12 \hat{k}$ और $d = 13$ है।
$|\vec{n}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + (-12)^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$.
बिंदु $(1, 1, p)$ से समतल की दूरी $D_1$ है:
$D_1 = \frac{|(1)(3) + (1)(4) + (p)(-12) + 13|}{13} = \frac{|3 + 4 - 12p + 13|}{13} = \frac{|20 - 12p|}{13}$.
बिंदु $(-3, 0, 1)$ से समतल की दूरी $D_2$ है:
$D_2 = \frac{|(-3)(3) + (0)(4) + (1)(-12) + 13|}{13} = \frac{|-9 + 0 - 12 + 13|}{13} = \frac{|-8|}{13} = \frac{8}{13}$.
चूंकि बिंदु समान दूरी पर हैं,$D_1 = D_2$:
$\frac{|20 - 12p|}{13} = \frac{8}{13} \implies |20 - 12p| = 8$.
स्थिति $1$: $20 - 12p = 8 \implies 12p = 12 \implies p = 1$.
स्थिति $2$: $20 - 12p = -8 \implies 12p = 28 \implies p = \frac{28}{12} = \frac{7}{3}$.
अतः,$p$ के मान $1$ और $\frac{7}{3}$ हैं।

(A) दिए गए समतल $\vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})-1=0$ और $\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k})+4=0$ हैं।
इन समतलों के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण:
$[\vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})-1] + \lambda[\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k})+4] = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\vec{r} \cdot[(1+2\lambda)\hat{i} + (1+3\lambda)\hat{j} + (1-\lambda)\hat{k}] + (4\lambda-1) = 0$ ..........$(1)$
इस समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (1+2\lambda)\hat{i} + (1+3\lambda)\hat{j} + (1-\lambda)\hat{k}$ है।
चूंकि समतल $x$-अक्ष के समांतर है,इसलिए इसका अभिलंब $x$-अक्ष के लंबवत होगा। $x$-अक्ष की दिशा $\hat{i} = (1, 0, 0)$ है।
अतः,$\vec{n} \cdot \hat{i} = 0$:
$(1+2\lambda)(1) + (1+3\lambda)(0) + (1-\lambda)(0) = 0$
$1+2\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{2}$.
$\lambda = -\frac{1}{2}$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$\vec{r} \cdot[0\hat{i} - \frac{1}{2}\hat{j} + \frac{3}{2}\hat{k}] - 3 = 0$
$-2$ से गुणा करने पर:
$\vec{r} \cdot[\hat{j} - 3\hat{k}] + 6 = 0$.
कार्तीय रूप में,जहाँ $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$,यह समीकरण $y - 3z + 6 = 0$ हो जाता है।

(A) दिए गए समतलों के समीकरण हैं:
$\vec{r} \cdot(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k})-4=0$ $(1)$
$\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k})+5=0$ $(2)$
समतलों $(1)$ और $(2)$ की प्रतिच्छेदन रेखा से होकर जाने वाले समतल का समीकरण:
$[\vec{r} \cdot(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k})-4] + \lambda[\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k})+5] = 0$
$\vec{r} \cdot[(1+2\lambda) \hat{i} + (2+\lambda) \hat{j} + (3-\lambda) \hat{k}] + (5\lambda-4) = 0$ $(3)$
चूंकि यह समतल,समतल $\vec{r} \cdot(5 \hat{i}+3 \hat{j}-6 \hat{k})+8=0$ पर लंब है,इसलिए उनके अभिलंब सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$5(1+2\lambda) + 3(2+\lambda) - 6(3-\lambda) = 0$
$5 + 10\lambda + 6 + 3\lambda - 18 + 6\lambda = 0$
$19\lambda - 7 = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{7}{19}$
$\lambda = \frac{7}{19}$ को समीकरण $(3)$ में रखने पर:
$\vec{r} \cdot[(1 + \frac{14}{19}) \hat{i} + (2 + \frac{7}{19}) \hat{j} + (3 - \frac{7}{19}) \hat{k}] + (5(\frac{7}{19}) - 4) = 0$
$\vec{r} \cdot[\frac{33}{19} \hat{i} + \frac{45}{19} \hat{j} + \frac{50}{19} \hat{k}] + (\frac{35-76}{19}) = 0$
$\vec{r} \cdot(33 \hat{i} + 45 \hat{j} + 50 \hat{k}) - 41 = 0$

(A) दी गई रेखा का समीकरण $\vec{r}=2 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}+\lambda(3 \hat{i}+4 \hat{j}+2 \hat{k})$ है .........$(1)$
दिए गए समतल का समीकरण $\vec{r} \cdot(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})=5$ है .........$(2)$
समीकरण $(1)$ से $\vec{r}$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$[(3 \lambda+2) \hat{i}+(4 \lambda-1) \hat{j}+(2 \lambda+2) \hat{k}] \cdot(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})=5$
$(3 \lambda+2)-(4 \lambda-1)+(2 \lambda+2)=5$
$3 \lambda+2-4 \lambda+1+2 \lambda+2=5$
$\lambda+5=5$
$\lambda=0$
$\lambda=0$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर,प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, -1, 2)$ प्राप्त होता है।
बिंदुओं $(2, -1, 2)$ और $(-1, -5, -10)$ के बीच की दूरी $d$ है:
$d=\sqrt{(-1-2)^{2}+(-5-(-1))^{2}+(-10-2)^{2}}$
$d=\sqrt{(-3)^{2}+(-4)^{2}+(-12)^{2}}$
$d=\sqrt{9+16+144}$
$d=\sqrt{169}$
$d=13$

(A) माना कि अभीष्ट रेखा सदिश $\vec{b} = b_{1}\hat{i} + b_{2}\hat{j} + b_{3}\hat{k}$ के समांतर है।
बिंदु $(1, 2, 3)$ का स्थिति सदिश $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
$\vec{a}$ से गुजरने वाली और $\vec{b}$ के समांतर रेखा का समीकरण $\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b}$ है।
चूंकि रेखा दिए गए समतलों के समांतर है,इसलिए सदिश $\vec{b}$ दोनों समतलों के अभिलंबों के लंबवत होना चाहिए।
अभिलंब $\vec{n}_{1} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{n}_{2} = 3\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ हैं।
अतः,$\vec{b} = \vec{n}_{1} \times \vec{n}_{2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1 - 2) - \hat{j}(1 - 6) + \hat{k}(1 + 3) = -3\hat{i} + 5\hat{j} + 4\hat{k}$.
$\vec{a}$ और $\vec{b}$ का मान रेखा के समीकरण में रखने पर,हमें $\vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda(-3\hat{i} + 5\hat{j} + 4\hat{k})$ प्राप्त होता है।

(A) स्थिति सदिश $\vec{a}$ वाले बिंदु की समतल $\vec{r} \cdot \vec{n} = d$ से दूरी का सूत्र है: $\text{दूरी} = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{n} - d|}{|\vec{n}|}$।
यहाँ $\vec{a} = 2 \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$,$\vec{n} = \hat{i} - 2 \hat{j} + 4 \hat{k}$,और $d = 9$ दिया गया है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{n} = (2)(1) + (1)(-2) + (-1)(4) = 2 - 2 - 4 = -4$ ज्ञात करें।
इसके बाद,अभिलंब सदिश का परिमाण $|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 4 + 16} = \sqrt{21}$ ज्ञात करें।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\text{दूरी} = \frac{|-4 - 9|}{\sqrt{21}} = \frac{|-13|}{\sqrt{21}} = \frac{13}{\sqrt{21}}$।

(A) बिंदुओं $A(2, 2, 1)$,$B(3, 0, 1)$ और $C(4, -1, 0)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण सारणिक रूप में इस प्रकार है:
$\begin{vmatrix} x-2 & y-2 & z-1 \\ 3-2 & 0-2 & 1-1 \\ 4-2 & -1-2 & 0-1 \end{vmatrix} = 0$
$\begin{vmatrix} x-2 & y-2 & z-1 \\ 1 & -2 & 0 \\ 2 & -3 & -1 \end{vmatrix} = 0$
$(x-2)(2-0) - (y-2)(-1-0) + (z-1)(-3+4) = 0$
$2(x-2) + 1(y-2) + 1(z-1) = 0$
$2x - 4 + y - 2 + z - 1 = 0$
$2x + y + z - 7 = 0 \ldots(1)$
$(3, -4, -5)$ और $(2, -3, 1)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण:
$\frac{x-3}{2-3} = \frac{y+4}{-3+4} = \frac{z+5}{1+5} = \lambda$
$\frac{x-3}{-1} = \frac{y+4}{1} = \frac{z+5}{6} = \lambda$
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(x, y, z) = (-\lambda+3, \lambda-4, 6\lambda-5)$ के रूप में है।
चूंकि यह बिंदु समतल $(1)$ पर स्थित है,इसलिए हम इन निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(-\lambda+3) + (\lambda-4) + (6\lambda-5) - 7 = 0$
$-2\lambda + 6 + \lambda - 4 + 6\lambda - 5 - 7 = 0$
$5\lambda - 10 = 0 \implies 5\lambda = 10 \implies \lambda = 2$
$\lambda = 2$ को बिंदु के निर्देशांक में रखने पर:
$x = -2+3 = 1$
$y = 2-4 = -2$
$z = 6(2)-5 = 7$
अतः,अभीष्ट बिंदु $(1, -2, 7)$ है।

(A) रेखा का समीकरण $\vec{r} = (2 + 3\lambda)\hat{i} + (-1 + 4\lambda)\hat{j} + (2 + 2\lambda)\hat{k}$ है।
इसे समतल के समीकरण $\vec{r} \cdot (\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = 5$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$((2 + 3\lambda)\hat{i} + (-1 + 4\lambda)\hat{j} + (2 + 2\lambda)\hat{k}) \cdot (\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = 5$
$(2 + 3\lambda) - (-1 + 4\lambda) + (2 + 2\lambda) = 5$
$2 + 3\lambda + 1 - 4\lambda + 2 + 2\lambda = 5$
$5 + \lambda = 5 \implies \lambda = 0$.
$\lambda = 0$ को रेखा के समीकरण में रखने पर,प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, -1, 2)$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(2, -1, 2)$ और $(-1, -5, -10)$ के बीच की दूरी:
$d = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (-5 - (-1))^2 + (-10 - 2)^2}$
$d = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2 + (-12)^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$.

(N/A) माना दिया गया बिंदु $P(\hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k})$ है और $Q$ समतल $\vec{r} \cdot(2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k})+3=0$ में $P$ का प्रतिबिंब है।
अतः $PQ$ समतल पर लंब है। चूँकि $PQ$,$P$ से होकर गुजरता है और दिए गए समतल पर लंब है,इसलिए रेखा $PQ$ का समीकरण $\vec{r}=(\hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k})+\lambda(2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k})$ द्वारा दिया जाता है।
चूँकि $Q$ रेखा $PQ$ पर स्थित है,$Q$ का स्थिति सदिश $(1+2 \lambda) \hat{i}+(3-\lambda) \hat{j}+(4+\lambda) \hat{k}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
माना $R$ रेखा $PQ$ और समतल का प्रतिच्छेदन बिंदु है। चूँकि $R$,$PQ$ का मध्य बिंदु है,$R$ का स्थिति सदिश $\frac{[(1+2 \lambda) \hat{i}+(3-\lambda) \hat{j}+(4+\lambda) \hat{k}]+[\hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}]}{2} = (1+\lambda) \hat{i} + (3-\frac{\lambda}{2}) \hat{j} + (4+\frac{\lambda}{2}) \hat{k}$ है।
चूँकि $R$ समतल $\vec{r} \cdot(2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k})+3=0$ पर स्थित है,हमारे पास है:
$[(1+\lambda) \hat{i} + (3-\frac{\lambda}{2}) \hat{j} + (4+\frac{\lambda}{2}) \hat{k}] \cdot (2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) + 3 = 0$
$2(1+\lambda) - (3-\frac{\lambda}{2}) + (4+\frac{\lambda}{2}) + 3 = 0$
$2+2\lambda - 3 + \frac{\lambda}{2} + 4 + \frac{\lambda}{2} + 3 = 0$
$3\lambda + 6 = 0 \Rightarrow \lambda = -2$.
$Q$ के व्यंजक में $\lambda = -2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$Q = (1+2(-2)) \hat{i} + (3-(-2)) \hat{j} + (4+(-2)) \hat{k}$
$Q = -3 \hat{i} + 5 \hat{j} + 2 \hat{k}$.

(A) दिए गए समतल का समीकरण $2x - 2y + 4z + 5 = 0$ है ... $(i)$
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}$ है।
बिंदु $P\left(1, \frac{3}{2}, 2\right)$ से होकर जाने वाली और समतल के लंबवत रेखा का समीकरण $\frac{x-1}{2} = \frac{y-3/2}{-2} = \frac{z-2}{4} = \lambda$ है।
अतः,इस रेखा पर कोई भी बिंदु $x = 2\lambda + 1$,$y = -2\lambda + \frac{3}{2}$,और $z = 4\lambda + 2$ के रूप में होगा।
यदि यह बिंदु समतल पर स्थित है,तो यह समतल के समीकरण को संतुष्ट करेगा:
$2(2\lambda + 1) - 2(-2\lambda + \frac{3}{2}) + 4(4\lambda + 2) + 5 = 0$
$4\lambda + 2 + 4\lambda - 3 + 16\lambda + 8 + 5 = 0$
$24\lambda + 12 = 0 \Rightarrow 24\lambda = -12 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{2}$.
$\lambda = -\frac{1}{2}$ रखने पर,लंबपाद $\left(2(-\frac{1}{2}) + 1, -2(-\frac{1}{2}) + \frac{3}{2}, 4(-\frac{1}{2}) + 2\right) = \left(0, \frac{5}{2}, 0\right)$ प्राप्त होता है।
लंब की लंबाई $\left(1, \frac{3}{2}, 2\right)$ और $\left(0, \frac{5}{2}, 0\right)$ के बीच की दूरी है:
$d = \sqrt{(1-0)^2 + (\frac{3}{2} - \frac{5}{2})^2 + (2-0)^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$ इकाई।

(A) दो समतलों के समीकरण $x+2y=0$ और $3y-z=0$ हैं।
मान लीजिए $\vec{n}_{1}$ और $\vec{n}_{2}$ क्रमशः दो समतलों के अभिलंब हैं।
$\vec{n}_{1} = \hat{i} + 2\hat{j} + 0\hat{k}$ और $\vec{n}_{2} = 0\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ है।
चूंकि अभीष्ट रेखा दोनों समतलों के समांतर है,इसलिए यह उनके अभिलंबों के सदिश गुणनफल $\vec{b} = \vec{n}_{1} \times \vec{n}_{2}$ के समांतर होनी चाहिए।
$\vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2 - 0) - \hat{j}(-1 - 0) + \hat{k}(3 - 0) = -2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$ है।
रेखा बिंदु $(3, 0, 1)$ से होकर गुजरती है।
रेखा का समीकरण सममित रूप में $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ होता है।
बिंदु $(3, 0, 1)$ और दिशा सदिश $(-2, 1, 3)$ रखने पर,हमें $\frac{x-3}{-2} = \frac{y-0}{1} = \frac{z-1}{3}$ प्राप्त होता है।

(D) माना समतल का समीकरण $a(x - 2) + b(y - 1) + c(z + 1) = 0$ है ... $(i)$
चूंकि यह $(-1, 3, 4)$ से गुजरता है,इसलिए $a(-1 - 2) + b(3 - 1) + c(4 + 1) = 0$,जो सरल होकर $-3a + 2b + 5c = 0$ हो जाता है ... $(ii)$
समतल $(i)$,$x - 2y + 4z = 10$ के लंबवत है,इसलिए अभिलंब सदिश लंबवत हैं: $1(a) - 2(b) + 4(c) = 0$,जो $a - 2b + 4c = 0$ देता है ... $(iii)$
$(ii)$ और $(iii)$ को वज्र-गुणन विधि से हल करने पर:
$\frac{a}{(2)(4) - (5)(-2)} = \frac{-b}{(-3)(4) - (5)(1)} = \frac{c}{(-3)(-2) - (2)(1)}$
$\frac{a}{8 + 10} = \frac{-b}{-12 - 5} = \frac{c}{6 - 2}$
$\frac{a}{18} = \frac{b}{17} = \frac{c}{4} = k$
अतः,$a = 18k, b = 17k, c = 4k$.
इन मानों को $(i)$ में रखने पर: $18k(x - 2) + 17k(y - 1) + 4k(z + 1) = 0$
$18x - 36 + 17y - 17 + 4z + 4 = 0$
$18x + 17y + 4z - 49 = 0$
अतः,समीकरण $18x + 17y + 4z = 49$ है।

(A) $x + 2y + 3z - 4 = 0$ और $2x + y - z + 5 = 0$ समतलों की प्रतिच्छेदन रेखा से होकर जाने वाले समतल का समीकरण $(x + 2y + 3z - 4) + \lambda(2x + y - z + 5) = 0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $x(1 + 2\lambda) + y(2 + \lambda) + z(3 - \lambda) + (5\lambda - 4) = 0 \quad \dots(i)$
चूंकि यह समतल $5x + 3y + 6z + 8 = 0$ के लंबवत है,इसलिए उनके अभिलंब सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए $(a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0)$:
$5(1 + 2\lambda) + 3(2 + \lambda) + 6(3 - \lambda) = 0$
$5 + 10\lambda + 6 + 3\lambda + 18 - 6\lambda = 0$
$7\lambda + 29 = 0 \implies \lambda = -\frac{29}{7}$
$\lambda = -\frac{29}{7}$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$x(1 + 2(-\frac{29}{7})) + y(2 - \frac{29}{7}) + z(3 + \frac{29}{7}) + (5(-\frac{29}{7}) - 4) = 0$
$x(\frac{7 - 58}{7}) + y(\frac{14 - 29}{7}) + z(\frac{21 + 29}{7}) + (\frac{-145 - 28}{7}) = 0$
$-\frac{51}{7}x - \frac{15}{7}y + \frac{50}{7}z - \frac{173}{7} = 0$
$-7$ से गुणा करने पर,हमें अभीष्ट समीकरण प्राप्त होता है: $51x + 15y - 50z + 173 = 0$.

(A) दो समतलों $\vec{r} \cdot \vec{n}_{1} = d_{1}$ और $\vec{r} \cdot \vec{n}_{2} = d_{2}$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतल का समीकरण $\vec{r} \cdot (\vec{n}_{1} + \lambda \vec{n}_{2}) = d_{1} + \lambda d_{2}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समतल $\vec{r} \cdot (\hat{i} + 3\hat{j}) = 6$ और $\vec{r} \cdot (3\hat{i} - \hat{j} - 4\hat{k}) = 0$ हैं।
अतः,अभीष्ट समतल का समीकरण $\vec{r} \cdot [(\hat{i} + 3\hat{j}) + \lambda(3\hat{i} - \hat{j} - 4\hat{k})] = 6 + \lambda(0)$ है।
$\Rightarrow \vec{r} \cdot [(1 + 3\lambda)\hat{i} + (3 - \lambda)\hat{j} - 4\lambda\hat{k}] = 6$.
मूल बिंदु से समतल $\vec{r} \cdot \vec{n} = d$ की लंबवत दूरी $\frac{|d|}{|\vec{n}|}$ होती है।
यहाँ,$\frac{|6|}{\sqrt{(1 + 3\lambda)^{2} + (3 - \lambda)^{2} + (-4\lambda)^{2}}} = 1$.
$\Rightarrow 36 = (1 + 9\lambda^{2} + 6\lambda) + (9 + \lambda^{2} - 6\lambda) + 16\lambda^{2}$.
$\Rightarrow 36 = 26\lambda^{2} + 10$.
$\Rightarrow 26\lambda^{2} = 26 \Rightarrow \lambda^{2} = 1 \Rightarrow \lambda = \pm 1$.
$\lambda = 1$ के लिए,समीकरण $\vec{r} \cdot (4\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}) = 6 \Rightarrow 4x + 2y - 4z = 6 \Rightarrow 2x + y - 2z = 3$ है।
$\lambda = -1$ के लिए,समीकरण $\vec{r} \cdot (-2\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}) = 6 \Rightarrow -2x + 4y + 4z = 6 \Rightarrow -x + 2y + 2z = 3$ है।

(N/A) माना दिए गए बिंदु $\vec{a} = \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}$ और $\vec{b} = 3\hat{i}+3\hat{j}+3\hat{k}$ हैं। समतल का समीकरण $\vec{r} \cdot(5 \hat{i}+2 \hat{j}-7 \hat{k})+9=0$ है।
बिंदु $\vec{p}$ की समतल $\vec{r} \cdot \vec{n} + d_0 = 0$ से दूरी $d = \frac{|\vec{p} \cdot \vec{n} + d_0|}{|\vec{n}|}$ द्वारा दी जाती है।
बिंदु $\vec{a}$ के लिए:
$d_1 = \frac{|(1)(5) + (-1)(2) + (3)(-7) + 9|}{\sqrt{5^2 + 2^2 + (-7)^2}} = \frac{|5 - 2 - 21 + 9|}{\sqrt{25 + 4 + 49}} = \frac{|-9|}{\sqrt{78}} = \frac{9}{\sqrt{78}}$.
बिंदु $\vec{b}$ के लिए:
$d_2 = \frac{|(3)(5) + (3)(2) + (3)(-7) + 9|}{\sqrt{5^2 + 2^2 + (-7)^2}} = \frac{|15 + 6 - 21 + 9|}{\sqrt{78}} = \frac{|9|}{\sqrt{78}} = \frac{9}{\sqrt{78}}$.
चूंकि $d_1 = d_2$,इसलिए बिंदु समान दूरी पर हैं।
दिशाओं की जांच करने के लिए,हम दोनों बिंदुओं के लिए $f(\vec{r}) = \vec{r} \cdot \vec{n} + d_0$ का मान निकालते हैं:
$f(\vec{a}) = 5 - 2 - 21 + 9 = -9 < 0$.
$f(\vec{b}) = 15 + 6 - 21 + 9 = 9 > 0$.
चूंकि मानों के चिह्न विपरीत हैं,इसलिए बिंदु समतल के विपरीत दिशाओं में स्थित हैं।

(N/A) माना रेखा $AB$ को $\vec{r} = (6\hat{i} + 7\hat{j} + 4\hat{k}) + \lambda(3\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})$ द्वारा दर्शाया गया है। $AB$ पर कोई बिंदु $P$ $(6 + 3\lambda, 7 - \lambda, 4 + \lambda)$ है।
माना रेखा $CD$ को $\vec{r} = (0\hat{i} - 9\hat{j} + 2\hat{k}) + \mu(-3\hat{i} + 2\hat{j} + 4\hat{k})$ द्वारा दर्शाया गया है। $CD$ पर कोई बिंदु $Q$ $(-3\mu, -9 + 2\mu, 2 + 4\mu)$ है।
तब $\overrightarrow{PQ} = (-3\mu - 6 - 3\lambda)\hat{i} + (2\mu + \lambda - 16)\hat{j} + (4\mu - \lambda - 2)\hat{k}$ है।
चूंकि $\overrightarrow{PQ} \perp \overrightarrow{AB}$,उनका अदिश गुणनफल $0$ है: $3(-3\mu - 6 - 3\lambda) - 1(2\mu + \lambda - 16) + 1(4\mu - \lambda - 2) = 0 \Rightarrow -7\mu - 11\lambda - 4 = 0 \dots (i)$.
चूंकि $\overrightarrow{PQ} \perp \overrightarrow{CD}$,उनका अदिश गुणनफल $0$ है: $-3(-3\mu - 6 - 3\lambda) + 2(2\mu + \lambda - 16) + 4(4\mu - \lambda - 2) = 0 \Rightarrow 29\mu + 7\lambda - 22 = 0 \dots (ii)$.
$(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर,$(i)$ को $7$ से और $(ii)$ को $11$ से गुणा करने पर: $-49\mu - 77\lambda - 28 = 0$ और $319\mu + 77\lambda - 242 = 0$.
इन्हें जोड़ने पर,$270\mu - 270 = 0 \Rightarrow \mu = 1$ प्राप्त होता है। $(i)$ में $\mu = 1$ रखने पर,$-7 - 11\lambda - 4 = 0 \Rightarrow \lambda = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,$P = (6 + 3(-1), 7 - (-1), 4 + (-1)) = (3, 8, 3)$ और $Q = (-3(1), -9 + 2(1), 2 + 4(1)) = (-3, -7, 6)$ है।
स्थिति सदिश $\vec{P} = 3\hat{i} + 8\hat{j} + 3\hat{k}$ और $\vec{Q} = -3\hat{i} - 7\hat{j} + 6\hat{k}$ हैं।

(D) चूंकि $C(0, -a, -1)$ समतल $lx + my + nz = 0$ पर स्थित है,इसलिए $l(0) + m(-a) + n(-1) = 0,$ जिसका अर्थ है $-ma - n = 0,$ या $\frac{m}{n} = -\frac{1}{a} \quad \dots(1)$
सदिश $\vec{CA} = (a - 0, -2a - (-a), 3 - (-1)) = (a, -a, 4)$ समतल के अभिलंब सदिश $\vec{n} = (l, m, n)$ के समांतर है।
अतः,$\frac{a}{l} = \frac{-a}{m} = \frac{4}{n}.$ $\frac{-a}{m} = \frac{4}{n}$ से,हमें $\frac{m}{n} = -\frac{a}{4} \quad \dots(2)$ प्राप्त होता है।
$(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर,$-\frac{1}{a} = -\frac{a}{4} \Rightarrow a^2 = 4.$ चूंकि $a > 0,$ इसलिए $a = 2$ है।
$a = 2$ को $(1)$ में रखने पर,$\frac{m}{n} = -\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है। मान लीजिए $m = -t$ और $n = 2t.$ तब $\frac{2}{l} = \frac{-2}{-t} \Rightarrow l = t.$
समतल का समीकरण $t(x - y + 2z) = 0,$ या $x - y + 2z = 0$ है।
बिंदु $D,$ बिंदु $B(0, 4, 5)$ से समतल $x - y + 2z = 0$ पर डाले गए लंब का पाद है। रेखा $BD$ का समीकरण $\frac{x-0}{1} = \frac{y-4}{-1} = \frac{z-5}{2} = k$ है।
अतः,$D = (k, 4-k, 5+2k).$ चूंकि $D$ समतल पर स्थित है,$k - (4-k) + 2(5+2k) = 0 \Rightarrow k - 4 + k + 10 + 4k = 0 \Rightarrow 6k + 6 = 0 \Rightarrow k = -1.$
इस प्रकार,$D = (-1, 4-(-1), 5+2(-1)) = (-1, 5, 3).$
$C = (0, -2, -1)$ और $D = (-1, 5, 3)$ के साथ,$CD$ की लंबाई $= \sqrt{(-1-0)^2 + (5-(-2))^2 + (3-(-1))^2} = \sqrt{(-1)^2 + 7^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 49 + 16} = \sqrt{66}.$

(C) रेखा का समीकरण $\frac{x-1}{-1} = \frac{y+4}{2} = \frac{z+2}{3}$ है।
चूंकि समतल $lx + my + nz = 0$ इस रेखा को समाहित करता है,यह बिंदु $(1, -4, -2)$ से गुजरता है और इसका अभिलंब सदिश $(l, m, n)$,रेखा के दिशा सदिश $(-1, 2, 3)$ के लंबवत है।
अतः,$l(1) + m(-4) + n(-2) = 0 \implies l - 4m - 2n = 0$ (समीकरण $1$)।
और $-l + 2m + 3n = 0$ (समीकरण $2$)।
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर,$-2m + n = 0 \implies n = 2m$ प्राप्त होता है।
$n = 2m$ को $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर,$-l + 2m + 3(2m) = 0 \implies l = 8m$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,समतल का समीकरण $8x + y + 2z = 0$ है।
$AB$ को $k:1$ के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु $C$ के निर्देशांक $\left(\frac{2k-3}{k+1}, \frac{4k-6}{k+1}, \frac{-3k+1}{k+1}\right)$ हैं।
चूंकि $C$ समतल पर स्थित है,$8\left(\frac{2k-3}{k+1}\right) + \left(\frac{4k-6}{k+1}\right) + 2\left(\frac{-3k+1}{k+1}\right) = 0$।
$16k - 24 + 4k - 6 - 6k + 2 = 0$।
$14k - 28 = 0 \implies k = 2$।

(B) दी गई रेखा $2x = 3y, z = 1$ है,जिसे $\frac{x}{3} = \frac{y}{2}, z = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 0\hat{k}$ है।
समतल बिंदुओं $A(1, 2, 1)$ और $B(2, 1, 2)$ से गुजरता है। सदिश $\vec{AB} = (2-1)\hat{i} + (1-2)\hat{j} + (2-1)\hat{k} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,$\vec{AB}$ और $\vec{v}$ का क्रॉस गुणनफल है:
$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0-2) - \hat{j}(0-3) + \hat{k}(2+3) = -2\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$.
$(1, 2, 1)$ से गुजरने वाले और अभिलंब $\vec{n} = -2\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$ वाले समतल का समीकरण है:
$-2(x-1) + 3(y-2) + 5(z-1) = 0$
$-2x + 2 + 3y - 6 + 5z - 5 = 0$
$-2x + 3y + 5z - 9 = 0$ या $2x - 3y - 5z + 9 = 0$.
अब,विकल्पों की जाँच करें:
$(-2, 0, 1)$ के लिए: $2(-2) - 3(0) - 5(1) + 9 = -4 - 0 - 5 + 9 = 0$.
अतः,समतल $(-2, 0, 1)$ से गुजरता है।

(C) दोनों रेखाओं के दिशा सदिश $\vec{v}_1 = \hat{i} + \hat{j}$ और $\vec{v}_2 = \hat{j} - \hat{k}$ हैं।
समतल $P$ का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,$\vec{v}_1 \times \vec{v}_2$ द्वारा प्राप्त होता है:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} = -\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
समतल बिंदु $(1, 0, 0)$ से गुजरता है। अतः,समतल का समीकरण:
$-1(x - 1) + 1(y - 0) + 1(z - 0) = 0 \implies x - y - z - 1 = 0$.
मान लीजिए $Q(\alpha, \beta, \gamma)$ बिंदु $M(1, 0, 1)$ से समतल $x - y - z - 1 = 0$ पर लंब का पाद है। लंब रेखा का समीकरण:
$\frac{\alpha - 1}{1} = \frac{\beta - 0}{-1} = \frac{\gamma - 1}{-1} = k$.
अतः,$\alpha = k + 1, \beta = -k, \gamma = 1 - k$.
चूँकि $Q$ समतल पर स्थित है:
$(k + 1) - (-k) - (1 - k) - 1 = 0 \implies 3k - 1 = 0 \implies k = \frac{1}{3}$.
अतः,$\alpha = \frac{4}{3}, \beta = -\frac{1}{3}, \gamma = \frac{2}{3}$.
अंत में,$3(\alpha + \beta + \gamma) = 3(\frac{4}{3} - \frac{1}{3} + \frac{2}{3}) = 5$.

(D) माना बिंदु $P(4,2,3)$,$A(1,-2,3)$ और $B(1,1,0)$ हैं।
रेखा $AB$ का दिशा सदिश $\vec{v} = (1-1, 1-(-2), 0-3) = (0, 3, -3)$ है।
रेखा $AB$ का समीकरण $\vec{r} = (1, -2, 3) + \lambda(0, 3, -3) = (1, -2+3\lambda, 3-3\lambda)$ है।
माना $M$,$P$ से $AB$ पर खींचे गए लंब का पाद है। अतः,$M = (1, -2+3\lambda, 3-3\lambda)$ है।
सदिश $\vec{PM} = M - P = (1-4, -2+3\lambda-2, 3-3\lambda-3) = (-3, 3\lambda-4, -3\lambda)$ है।
चूंकि $\vec{PM} \perp \vec{AB}$,उनका अदिश गुणनफल शून्य है:
$(-3)(0) + (3\lambda-4)(3) + (-3\lambda)(-3) = 0$
$0 + 9\lambda - 12 + 9\lambda = 0$
$18\lambda = 12 \Rightarrow \lambda = \frac{2}{3}$ है।
$\lambda = \frac{2}{3}$ को $M$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$M = (1, -2+3(\frac{2}{3}), 3-3(\frac{2}{3})) = (1, -2+2, 3-2) = (1, 0, 1)$ प्राप्त होता है।
अब,जांचें कि कौन सा समतल बिंदु $(1, 0, 1)$ को समाहित करता है:
$2x+y-z=1$ के लिए: $2(1) + 0 - 1 = 2 - 1 = 1$ है। यह सही है।
अतः,बिंदु $M$ समतल $2x+y-z=1$ पर स्थित है।

(B) बिंदु $(1, -2, 3)$ से गुजरने वाली और रेखा $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{-6}$ के समांतर रेखा का समीकरण $\frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{3} = \frac{z-3}{-6} = r$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(2r+1, 3r-2, -6r+3)$ है।
चूंकि यह बिंदु समतल $x - y + z = 5$ पर स्थित है,हम इन निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(2r+1) - (3r-2) + (-6r+3) = 5$.
$2r + 1 - 3r + 2 - 6r + 3 = 5$.
$-7r + 6 = 5$.
$-7r = -1$.
$r = \frac{1}{7}$.
बिंदु $(1, -2, 3)$ और प्रतिच्छेदन बिंदु $(2r+1, 3r-2, -6r+3)$ के बीच की दूरी $\sqrt{(2r)^2 + (3r)^2 + (-6r)^2} = \sqrt{4r^2 + 9r^2 + 36r^2} = \sqrt{49r^2} = 7|r|$ है।
$r = \frac{1}{7}$ रखने पर,दूरी $7 \times \frac{1}{7} = 1$ प्राप्त होती है।