यदि तीन समतल x = 5,2x - 5ay + 3z - 2 = 0 और 3 | vedclass

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Question

(C) तीनों समतल एक सामान्य रेखा से गुजरते हैं। इसका अर्थ है कि किन्हीं दो समतलों के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतलों का परिवार तीसरे समतल को समाहित कर

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$\left( \frac{1}{5}, -\frac{8}{15} \right)$

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(C) तीनों समतल एक सामान्य रेखा से गुजरते हैं। इसका अर्थ है कि किन्हीं दो समतलों के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतलों का परिवार तीसरे समतल को समाहित करता है। समतल $P_1: x - 5 = 0$,$P_2: 2x - 5ay + 3z - 2 = 0$,और $P_3: 3bx + y - 3z = 0$ लें। $P_1$ और $P_2$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है। $(x - 5) + \lambda(2x - 5ay + 3z - 2) = 0$ $(1 + 2\lambda)x - (5a\lambda)y + (3\lambda)z - (5 + 2\lambda) = 0$. चूंकि यह समतल $P_3$ के समान है,हम गुणांकों की तुलना $3bx + y - 3z = 0$ से करते हैं। $x=5$ को $P_2$ में रखने पर: $2(5) - 5ay + 3z - 2 = 0 \implies -5ay + 3z + 8 = 0$. $P_3$ में $x=5$ रखने पर: $3b(5) + y - 3z = 0 \implies y - 3z = -15b$. ये दोनों समीकरण एक ही रेखा को दर्शाते हैं,इसलिए गुणांक आनुपातिक होने चाहिए: $\frac{-5a}{1} = \frac{3}{-3} = \frac{8}{-15b}$. $\frac{3}{-3} = -1$ होने के कारण,$-5a = -1 \implies a = \frac{1}{5}$. और $\frac{8}{-15b} = -1 \implies 8 = 15b \implies b = -\frac{8}{15}$ (चिह्न की जांच करने पर: $y-3z = -15b$ और $-5ay+3z = -8$,जोड़ने पर $(1-5a)y = -8-15b$,अतः $a=1/5$ और $b=-8/15$). अतः,$(a, b) = (1/5, -8/15)$.

यदि तीन समतल $x = 5$,$2x - 5ay + 3z - 2 = 0$ और $3bx + y - 3z = 0$ एक सामान्य रेखा से गुजरते हैं,तो $(a, b)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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