Line and Plane Questions in Hindi

(A) समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ है।
माना दिया गया सदिश $\vec{v} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ है।
सदिश $\vec{v}$ और अभिलंब $\vec{n}$ के बीच का कोण $\alpha$ इस प्रकार है: $\cos \alpha = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| |\vec{n}|}$.
$\vec{v} \cdot \vec{n} = (2)(1) + (-1)(1) + (1)(2) = 2 - 1 + 2 = 3$.
$|\vec{v}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$.
$|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$.
$\cos \alpha = \frac{3}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
अतः,$\alpha = 60^{\circ}$.
सदिश और समतल के बीच का कोण $\theta = 90^{\circ} - \alpha = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ होगा।

(B) रेखा $A(1, 1, 0)$ और $B(3, 1, -1)$ से गुजरती है। दिशा सदिश $\vec{v} = B - A = 2\hat{i} + 0\hat{j} - 1\hat{k}$ है। रेखा का समीकरण $\frac{x-1}{2} = \frac{y-1}{0} = \frac{z}{-1} = r$ है। अतः,रेखा पर कोई भी बिंदु $P(2r+1, 1, -r)$ है।
समतल $(2, 4, 0)$ से गुजरता है और $\vec{u} = 3\hat{j} + 5\hat{k}$ तथा $\vec{w} = 3\hat{i} - \hat{k}$ के समांतर है। समतल का अभिलंब $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{w} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 3 & 5 \\ 3 & 0 & -1 \end{vmatrix} = -3\hat{i} + 15\hat{j} - 9\hat{k}$ है।
समतल का समीकरण $-3(x-2) + 15(y-4) - 9(z-0) = 0$ है,जिसे सरल करने पर $x - 5y + 3z + 18 = 0$ प्राप्त होता है।
$P(2r+1, 1, -r)$ को समतल के समीकरण में रखने पर: $(2r+1) - 5(1) + 3(-r) + 18 = 0 \Rightarrow -r + 14 = 0 \Rightarrow r = 14$.
अतः,$P$ का स्थिति सदिश $(2(14)+1)\hat{i} + 1\hat{j} - 14\hat{k} = 29\hat{i} + \hat{j} - 14\hat{k}$ है।

(A) माना बिंदु $A(1, 2, 0)$ और $B(0, 1, -2)$ हैं। $A$ और $B$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\overline{r} = (1 - t)(\overline{i} + 2\overline{j}) + t(\overline{j} - 2\overline{k}) = (1 - t)\overline{i} + (2 - t)\overline{j} - 2t\overline{k}$ है।
माना समतल पर बिंदु $P(2, -1, 0)$,$Q(0, 2, 3)$ और $R(-2, 0, 1)$ हैं। समतल का अभिलंब सदिश $\overline{n} = \vec{PQ} \times \vec{PR} = (-2\overline{i} + 3\overline{j} + 3\overline{k}) \times (-4\overline{i} + \overline{j} + \overline{k}) = \begin{vmatrix} \overline{i} & \overline{j} & \overline{k} \\ -2 & 3 & 3 \\ -4 & 1 & 1 \end{vmatrix} = -10\overline{j} + 10\overline{k}$ है।
हम अभिलंब सदिश $\overline{n} = \overline{j} - \overline{k}$ ले सकते हैं।
समतल का समीकरण $(\overline{r} - (2\overline{i} - \overline{j})) \cdot (\overline{j} - \overline{k}) = 0$ है,जो $y - z = -1$ में सरल हो जाता है।
रेखा के निर्देशांक $(1-t, 2-t, -2t)$ को समतल के समीकरण में रखने पर: $(2-t) - (-2t) = -1 \implies 2 + t = -1 \implies t = -3$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $\overline{r} = (1 - (-3))\overline{i} + (2 - (-3))\overline{j} - 2(-3)\overline{k} = 4\overline{i} + 5\overline{j} + 6\overline{k}$ प्राप्त होता है।
अंत में,$\overline{r} \cdot (\overline{i} + \overline{j} + \overline{k}) = (4\overline{i} + 5\overline{j} + 6\overline{k}) \cdot (\overline{i} + \overline{j} + \overline{k}) = 4 + 5 + 6 = 15$.

(B) स्थिति सदिश $\vec{A} = \hat{i}+\hat{j}$,$\vec{B} = \hat{j}+\hat{k}$,$\vec{C} = \hat{k}+\hat{i}$,$\vec{D} = \hat{i}-\hat{j}$,$\vec{E} = \hat{j}-\hat{k}$ हैं।
रेखा $AB$ का समीकरण $\vec{r} = \vec{A} + \lambda(\vec{B}-\vec{A}) = (\hat{i}+\hat{j}) + \lambda(-\hat{i}+\hat{k})$ है।
अतः,$x = 1-\lambda, y = 1, z = \lambda$.
$C, D, E$ से गुजरने वाले समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (\vec{D}-\vec{C}) \times (\vec{E}-\vec{C})$ है।
$\vec{D}-\vec{C} = -\hat{j}-\hat{k}$ और $\vec{E}-\vec{C} = -\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}$.
$\vec{n} = 3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$.
समतल का समीकरण $3x + y - z = 0$ प्राप्त होता है।
रेखा के निर्देशांक समतल में रखने पर: $3(1-\lambda) + 1 - \lambda = 0 \Rightarrow 4 = 4\lambda \Rightarrow \lambda = \frac{1}{2}$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $\frac{1}{2}\hat{i} + \hat{j} + \frac{1}{2}\hat{k}$ है।

(A) रेखा का समीकरण $r = a + \lambda b$ है,जहाँ $b = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k}$ है।
समतल का समीकरण $r \cdot n = d$ है,जहाँ $n = 10\hat{i} + 2\hat{j} - 11\hat{k}$ है।
रेखा और समतल के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने का सूत्र $\sin \theta = \frac{|b \cdot n|}{|b||n|}$ है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $b \cdot n = (2)(10) + (3)(2) + (6)(-11) = 20 + 6 - 66 = -40$ प्राप्त करें।
अब,परिमाण $|b| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$ है।
और $|n| = \sqrt{10^2 + 2^2 + (-11)^2} = \sqrt{100 + 4 + 121} = \sqrt{225} = 15$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\sin \theta = \frac{|-40|}{7 \times 15} = \frac{40}{105} = \frac{8}{21}$.
अतः,$\theta = \sin^{-1}\left(\frac{8}{21}\right)$।

(D) रेखा का समीकरण $r = a + t b$ है,जिसका अर्थ है कि रेखा सदिश $b$ के समांतर है।
समतल का समीकरण $r = c + l d + m e$ है,जिसका अर्थ है कि समतल सदिशों $d$ और $e$ के समांतर है।
समतल का अभिलंब सदिश $n = d \times e$ द्वारा दिया जाता है।
यदि रेखा समतल के समांतर है,तो रेखा का दिशा सदिश $b$ समतल के अभिलंब सदिश $n$ के लंबवत होना चाहिए।
अतः,$b \cdot n = 0$,जिसका अर्थ है कि $b \cdot (d \times e) = 0$।
यह अदिश त्रिक गुणनफल $[b d e] = 0$ के बराबर है।

(C) माना कि समतल $A(2, -4, 3)$ और $B(-4, 5, -6)$ को मिलाने वाली रेखा को $\lambda : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र के अनुसार,प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ के निर्देशांक हैं:
$P = \left( \frac{-4\lambda + 2}{\lambda + 1}, \frac{5\lambda - 4}{\lambda + 1}, \frac{-6\lambda + 3}{\lambda + 1} \right)$
चूंकि बिंदु $P$ समतल $3x + 2y + z - 4 = 0$ पर स्थित है,इसलिए हम इन निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$3\left( \frac{-4\lambda + 2}{\lambda + 1} \right) + 2\left( \frac{5\lambda - 4}{\lambda + 1} \right) + \left( \frac{-6\lambda + 3}{\lambda + 1} \right) - 4 = 0$
$(\lambda + 1)$ से गुणा करने पर:
$3(-4\lambda + 2) + 2(5\lambda - 4) + (-6\lambda + 3) - 4(\lambda + 1) = 0$
$-12\lambda + 6 + 10\lambda - 8 - 6\lambda + 3 - 4\lambda - 4 = 0$
$-12\lambda - 3 = 0$
$-12\lambda = 3$
$\lambda = -\frac{3}{12} = -\frac{1}{4}$
अतः,अनुपात $-1 : 4$ है।

(A) रेखा $L$ दो समतलों $P_1: 3x + 4y + 7z = 1$ और $P_2: x - y + z = 5$ का प्रतिच्छेदन है।
इन समतलों के अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (3, 4, 7)$ और $\vec{n_2} = (1, -1, 1)$ हैं।
रेखा $L$ का दिशा सदिश $\vec{v}$ दोनों अभिलंब सदिशों के लंबवत होता है,इसलिए $\vec{v} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$।
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 4 & 7 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(4 - (-7)) - \hat{j}(3 - 7) + \hat{k}(-3 - 4) = 11\hat{i} + 4\hat{j} - 7\hat{k}$।
अतः,दिक अनुपात $(11, 4, -7)$ हैं।

(A) समतल $\pi_1$ का अभिलंब सदिश $\bar{n}_1 = (\bar{i}+\bar{j}) \times (\bar{i}+\bar{k}) = \bar{i}-\bar{j}-\bar{k}$ है।
समतल $\pi_2$ का अभिलंब सदिश $\bar{n}_2 = (\bar{j}-\bar{k}) \times (\bar{k}-\bar{i}) = \bar{i}+\bar{j}+\bar{k}$ है।
सदिश $\bar{a}$ प्रतिच्छेदन रेखा के समानांतर है,इसलिए $\bar{a} = \bar{n}_1 \times \bar{n}_2 = (\bar{i}-\bar{j}-\bar{k}) \times (\bar{i}+\bar{j}+\bar{k}) = -2\bar{j} + 2\bar{k}$ है।
हम $\bar{a} = -\bar{j} + \bar{k}$ ले सकते हैं।
$\bar{b} = \bar{i}+\bar{j}-\bar{k}$ दिया गया है।
$\cos \theta = \frac{\bar{a} \cdot \bar{b}}{|\bar{a}| |\bar{b}|} = \frac{-2}{\sqrt{2} \sqrt{3}} = -\sqrt{\frac{2}{3}}$.
विकल्पों को देखते हुए,सही उत्तर विकल्प $A$ है।

(A) रेखा $L$ दो समतलों $x-y+z+2=0$ और $2x+y-2z+5=0$ का प्रतिच्छेदन है।
इन समतलों के अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{n_2} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ हैं।
रेखा $L$ का दिशा सदिश $\vec{v}$ दोनों अभिलंबों के लंबवत होता है,इसलिए $\vec{v} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$।
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-1) - \hat{j}(-2-2) + \hat{k}(1+2) = \hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k}$।
रेखा के दिक्-अनुपात $(1, 4, 3)$ हैं।
दिशा सदिश का परिमाण $\sqrt{1^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 16 + 9} = \sqrt{26}$ है।
अतः दिक्-कोसाइन $\left(\frac{1}{\sqrt{26}}, \frac{4}{\sqrt{26}}, \frac{3}{\sqrt{26}}\right)$ प्राप्त होते हैं।

(B) चूंकि $A(2,5,7)$ समतल $\pi$ के सापेक्ष $B(1,-2,3)$ का प्रतिबिंब है,इसलिए बिंदु $C$,$AB$ का मध्य-बिंदु है।
$C = \left( \frac{2+1}{2}, \frac{5-2}{2}, \frac{7+3}{2} \right) = \left( \frac{3}{2}, \frac{3}{2}, 5 \right)$.
दिया है $D = (2,1,6)$,रेखाखंड $CD$ के दिक्-अनुपात $(2 - \frac{3}{2}, 1 - \frac{3}{2}, 6 - 5) = (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 1)$ हैं।
दिक्-कोज्याएँ ज्ञात करने के लिए,हम परिमाण $\sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\frac{6}{4}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$ से भाग देते हैं।
अतः दिक्-कोज्याएँ $\left( \frac{1/2}{\sqrt{6}/2}, \frac{-1/2}{\sqrt{6}/2}, \frac{1}{\sqrt{6}/2} \right) = \left( \frac{1}{\sqrt{6}}, -\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}} \right)$ हैं।

(C) समतल $\pi_1$ का अभिलंब सदिश $\bar{n}_1 = (\bar{i}+\bar{j}) \times (\bar{i}+2\bar{j}) = \bar{k}$ है।
समतल $\pi_2$ का अभिलंब सदिश $\bar{n}_2 = (2\bar{i}-\bar{j}) \times (3\bar{i}+2\bar{k}) = -2\bar{i}-4\bar{j}+3\bar{k}$ है।
प्रतिच्छेदन रेखा के समांतर सदिश $\bar{a} = \bar{n}_1 \times \bar{n}_2 = \bar{k} \times (-2\bar{i}-4\bar{j}+3\bar{k}) = 4\bar{i}-2\bar{j}$ है।
माना $\bar{b} = \bar{i}-2\bar{j}+2\bar{k}$ है।
$\bar{a}$ और $\bar{b}$ के बीच का कोण $\theta$ के लिए $\cos \theta = \frac{|\bar{a} \cdot \bar{b}|}{|\bar{a}| |\bar{b}|}$ होता है।
$\bar{a} \cdot \bar{b} = (4)(1) + (-2)(-2) + (0)(2) = 8$ है।
$|\bar{a}| = \sqrt{16+4} = 2\sqrt{5}$ और $|\bar{b}| = \sqrt{1+4+4} = 3$ है।
$\cos \theta = \frac{8}{6\sqrt{5}} = \frac{4}{3\sqrt{5}}$ है।
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{4}{3\sqrt{5}}\right)$।

(B) सदिश $\overrightarrow{AB}$ समतल $x+2y+2z-5=0$ के अभिलंब सदिश $\overrightarrow{N} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ के समांतर है।
माना $\frac{\alpha-1}{1} = \frac{\beta-2}{2} = \frac{\gamma-2}{2} = \lambda$.
तब $\alpha = \lambda+1, \beta = 2\lambda+2, \gamma = 2\lambda+2$.
चूंकि $B$ समतल $x+2y+2z-5=0$ पर स्थित है,इसलिए $(\lambda+1) + 2(2\lambda+2) + 2(2\lambda+2) - 5 = 0$.
$\lambda + 1 + 4\lambda + 4 + 4\lambda + 4 - 5 = 0 \Rightarrow 9\lambda + 4 = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{4}{9}$.
अतः,$B = (1 - \frac{4}{9}, 2 - \frac{8}{9}, 2 - \frac{8}{9}) = (\frac{5}{9}, \frac{10}{9}, \frac{10}{9})$.
अब,$\pi(A) = 1 + 2(2) + 2(2) + 5 = 1 + 4 + 4 + 5 = 14$.
और $\pi(B) = \frac{5}{9} + 2(\frac{10}{9}) + 2(\frac{10}{9}) + 5 = \frac{5+20+20+45}{9} = \frac{90}{9} = 10$.
इसलिए,$-\pi(A) : \pi(B) = -14 : 10 = -7 : 5$.

(C) रेखाएं $\vec{r}=\vec{a}+t \vec{b}$ और $\vec{r}=\vec{c}+s \vec{d}$ समतलीय होती हैं यदि और केवल यदि $(\vec{c}-\vec{a}) \cdot (\vec{b} \times \vec{d}) = 0$ हो।
दिया गया है $\vec{a}=\hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}$,$\vec{b}=2 \hat{i}-\hat{j}+\lambda \hat{k}$,$\vec{c}=-\hat{k}$,और $\vec{d}=\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$।
सबसे पहले,$\vec{c}-\vec{a} = -\hat{i} + \hat{j} - 4\hat{k}$ ज्ञात करें।
इसके बाद,सदिश गुणनफल $\vec{b} \times \vec{d} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & \lambda \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = (1-2\lambda)\hat{i} + (2+\lambda)\hat{j} + 5\hat{k}$ ज्ञात करें।
अब,अदिश त्रिक गुणनफल $(\vec{c}-\vec{a}) \cdot (\vec{b} \times \vec{d}) = (-1)(1-2\lambda) + (1)(2+\lambda) + (-4)(5) = 3\lambda - 19$ की गणना करें।
रेखाओं के समतलीय होने के लिए $3\lambda - 19 = 0$ होना चाहिए,जिससे $\lambda = \frac{19}{3}$ प्राप्त होता है।
यदि $\lambda \neq \frac{19}{3}$ है,तो अदिश त्रिक गुणनफल शून्य नहीं है,जिसका अर्थ है कि रेखाएं विषमतलीय (skew) हैं।

(D) बिंदुओं $(a, 2, -4)$ और $(5, 3, b)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-a}{5-a} = \frac{y-2}{3-2} = \frac{z+4}{b+4}$ है।
इसे $\frac{x-a}{5-a} = \frac{y-2}{1} = \frac{z+4}{b+4} = k$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि रेखा $ZX$-समतल को काटती है,इसलिए $y$-निर्देशांक $0$ होना चाहिए।
$y-2 = 1 \times k$ लेने पर,$0-2 = k$,अर्थात $k = -2$ प्राप्त होता है।
अब,$k = -2$ का उपयोग करके $x$ और $z$ निर्देशांक ज्ञात करते हैं:
$x = a + k(5-a) = a - 2(5-a) = a - 10 + 2a = 3a - 10$.
$z = -4 + k(b+4) = -4 - 2(b+4) = -4 - 2b - 8 = -2b - 12$.
हमें दिया गया है कि प्रतिच्छेदन बिंदु $(-a+2b, 0, a+b)$ है।
निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$3a - 10 = -a + 2b \Rightarrow 4a - 2b = 10 \Rightarrow 2a - b = 5$ (समीकरण $1$)।
$-2b - 12 = a + b \Rightarrow a + 3b = -12$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ से,$b = 2a - 5$। इसे समीकरण $2$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$a + 3(2a - 5) = -12 \Rightarrow a + 6a - 15 = -12 \Rightarrow 7a = 3 \Rightarrow a = \frac{3}{7}$।
अतः $b = 2(\frac{3}{7}) - 5 = \frac{6}{7} - \frac{35}{7} = -\frac{29}{7}$।
अंत में,$14a + 7b = 14(\frac{3}{7}) + 7(-\frac{29}{7}) = 6 - 29 = -23$।

(B) रेखाएँ $8\hat{i} + 8\hat{j} + 9\hat{k}$ बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
पहली रेखा के लिए: $r = (1+t)\hat{i} + (-6+2t)\hat{j} + (p \sec \alpha + t)\hat{k}$।
$8\hat{i} + 8\hat{j} + 9\hat{k}$ के साथ घटकों की तुलना करने पर:
$1+t = 8 \Rightarrow t = 7$।
$-6+2t = 8 \Rightarrow -6+14 = 8$ (संगत है)।
$p \sec \alpha + t = 9 \Rightarrow p \sec \alpha + 7 = 9 \Rightarrow p \sec \alpha = 2$ ... $(i)$।
दूसरी रेखा के लिए: $r = (2\lambda)\hat{i} + (4 + \lambda p \tan \alpha)\hat{j} + (1 + 2\lambda)\hat{k}$।
$8\hat{i} + 8\hat{j} + 9\hat{k}$ के साथ घटकों की तुलना करने पर:
$2\lambda = 8 \Rightarrow \lambda = 4$।
$1 + 2\lambda = 9 \Rightarrow 1 + 8 = 9$ (संगत है)।
$4 + \lambda p \tan \alpha = 8 \Rightarrow 4 + 4p \tan \alpha = 8 \Rightarrow 4p \tan \alpha = 4 \Rightarrow p \tan \alpha = 1$ ... $(ii)$।
$(i)$ और $(ii)$ का उपयोग करने पर:
$(p \sec \alpha)^2 - (p \tan \alpha)^2 = 2^2 - 1^2$।
$p^2(\sec^2 \alpha - \tan^2 \alpha) = 4 - 1$।
चूँकि $\sec^2 \alpha - \tan^2 \alpha = 1$,इसलिए $p^2 = 3$।
चूँकि $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$,$p$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $p = \sqrt{3}$।

(C) मान लीजिए बिंदु $A(2,1,2)$ और $B(1,2,1)$ हैं। सदिश $\vec{AB} = (1-2)\hat{i} + (2-1)\hat{j} + (1-2)\hat{k} = -\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ है।
दिए गए समतल $2x - y + 2z = 1$ का अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = 2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ है।
वांछित समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,$\vec{AB}$ और $\vec{n_1}$ दोनों के लंबवत है।
$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{n_1} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-1) - \hat{j}(-2+2) + \hat{k}(1-2) = \hat{i} - \hat{k}$ है।
समतल का समीकरण $1(x-2) + 0(y-1) - 1(z-2) = 0$ है,जो सरल होकर $x - z = 0$ हो जाता है।
इसे $ax + by + cz + d = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a=1, b=0, c=-1, d=0$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{a+b}{c+d} = \frac{1+0}{-1+0} = -1$।

(D) बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ की समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ से दूरी $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
बिंदु $(1, 1, \lambda)$ की समतल $3x + 4y - 12z + 13 = 0$ से दूरी $d_1$ है:
$d_1 = \frac{|3(1) + 4(1) - 12(\lambda) + 13|}{\sqrt{3^2 + 4^2 + (-12)^2}} = \frac{|3 + 4 - 12\lambda + 13|}{\sqrt{9 + 16 + 144}} = \frac{|20 - 12\lambda|}{13}$.
बिंदु $(-3, 0, 1)$ की समतल से दूरी $d_2$ है:
$d_2 = \frac{|3(-3) + 4(0) - 12(1) + 13|}{\sqrt{3^2 + 4^2 + (-12)^2}} = \frac{|-9 + 0 - 12 + 13|}{13} = \frac{|-8|}{13} = \frac{8}{13}$.
चूंकि बिंदु समान दूरी पर हैं,$d_1 = d_2$,इसलिए $\frac{|20 - 12\lambda|}{13} = \frac{8}{13}$.
इसका अर्थ है $|20 - 12\lambda| = 8$,जो दो स्थितियाँ देता है:
स्थिति $1$: $20 - 12\lambda = 8 \implies 12\lambda = 12 \implies \lambda = 1$.
स्थिति $2$: $20 - 12\lambda = -8 \implies 12\lambda = 28 \implies \lambda = \frac{28}{12} = \frac{7}{3}$.
अतः,$\lambda$ के मान $1$ और $\frac{7}{3}$ हैं।

(D) दो समतलों $n_1 \cdot x + n_2 \cdot y + n_3 \cdot z = d_1$ और $m_1 \cdot x + m_2 \cdot y + m_3 \cdot z = d_2$ की प्रतिच्छेदन रेखा के दिक्-अनुपात उनके अभिलंब सदिशों $\vec{n_1} = (1, 2, 2)$ और $\vec{n_2} = (1, -1, 1)$ के सदिश गुणनफल (cross product) द्वारा प्राप्त होते हैं।
दिशा सदिश $\vec{v} = (a, b, c)$,$\vec{n_1} \times \vec{n_2}$ द्वारा दिया जाता है:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 - (-2)) - \hat{j}(1 - 2) + \hat{k}(-1 - 2) = 4\hat{i} + 1\hat{j} - 3\hat{k}$.
अतः,दिक्-अनुपात $(a, b, c) = (4, 1, -3)$ हैं।
हमें $\frac{a^2+b^2+c^2}{b^2}$ की गणना करनी है:
$a^2+b^2+c^2 = 4^2 + 1^2 + (-3)^2 = 16 + 1 + 9 = 26$.
$b^2 = 1^2 = 1$.
इसलिए,$\frac{a^2+b^2+c^2}{b^2} = \frac{26}{1} = 26$.

(D) दिए गए समतलों के समीकरण $x-y+z=5$ और $2x+y-z=3$ हैं।
इन दो समतलों के प्रतिच्छेदन रेखा से होकर जाने वाले किसी भी समतल का समीकरण $(x-y+z-5) + \lambda(2x+y-z-3) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि यह समतल बिंदु $(0, 1, 2)$ से होकर गुजरता है,हम समीकरण में $x=0, y=1, z=2$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$(0-1+2-5) + \lambda(2(0)+1-2-3) = 0$.
$-4 + \lambda(-4) = 0 \Rightarrow -4\lambda = 4 \Rightarrow \lambda = -1$.
$\lambda = -1$ को समतल के समीकरण में रखने पर:
$(x-y+z-5) - 1(2x+y-z-3) = 0$.
$x-y+z-5-2x-y+z+3 = 0$.
$-x-2y+2z-2 = 0 \Rightarrow -x-2y+2z = 2$.
इसे $\vec{r} \cdot(a\hat{i}+b\hat{j}+c\hat{k}) = m$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a=-1, b=-2, c=2$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{bc}{a^2} = \frac{(-2)(2)}{(-1)^2} = \frac{-4}{1} = -4$.

(A) माना बिंदु $P_1(2, -3, 0)$ और $P_2(3, 0, 4)$ हैं। सदिश $\vec{v_1} = P_2 - P_1 = \hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ है।
दिया गया है कि समतल सदिश $\vec{v_2} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}$ के समानांतर है।
समतल का अभिलंब $\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & -4 \end{vmatrix} = -24\hat{i} + 12\hat{j} - 3\hat{k}$ है।
$-3$ से विभाजित करने पर,अभिलंब सदिश $\vec{n} = 8\hat{i} - 4\hat{j} + \hat{k}$ प्राप्त होता है।
समतल का समीकरण $8(x-2) - 4(y+3) + 1(z-0) = 0 \Rightarrow 8x - 4y + z = 28$ है।
बिंदुओं $A(1, 2, 0)$ और $B(0, 1, -2)$ को जोड़ने वाली रेखा का दिशा सदिश $\vec{d} = B - A = -\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$ है।
रेखा का समीकरण $\frac{x-1}{-1} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z-0}{-2} = k \Rightarrow x = 1-k, y = 2-k, z = -2k$ है।
समतल के समीकरण में मान रखने पर: $8(1-k) - 4(2-k) + (-2k) = 28 \Rightarrow 8 - 8k - 8 + 4k - 2k = 28 \Rightarrow -6k = 28 \Rightarrow k = -\frac{14}{3}$ है।
अतः $a = 17/3, b = 20/3, c = 28/3$ है।
इस प्रकार,$a+b+2c = \frac{17+20+56}{3} = \frac{93}{3} = 31$।

(A) बिंदुओं $\vec{a} = \hat{i}-\hat{j}$ और $\vec{b} = \hat{j}-\hat{k}$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\vec{r} = \vec{a} + \lambda(\vec{b}-\vec{a})$ है।
$\vec{r} = (\hat{i}-\hat{j}) + \lambda(-\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) = (1-\lambda)\hat{i} + (2\lambda-1)\hat{j} - \lambda\hat{k}$ ...$(i)$
बिंदुओं $\vec{a} = 2\hat{i}+\hat{j}$,$\vec{b} = 2\hat{j}-\hat{k}$,और $\vec{c} = \hat{i}+2\hat{k}$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $(\vec{r}-\vec{a}) \cdot [(\vec{b}-\vec{a}) \times (\vec{c}-\vec{a})] = 0$ है।
अभिलंब सदिश $\vec{n} = (\vec{b}-\hat{a}) \times (\vec{c}-\hat{a}) = (-2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) \times (-\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}) = \hat{i} + 5\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
अतः,समतल का समीकरण $(\vec{r} - (2\hat{i}+\hat{j})) \cdot (\hat{i} + 5\hat{j} + 3\hat{k}) = 0$ है।
रेखा $(i)$ से $\vec{r}$ का मान समतल के समीकरण में रखने पर:
$((1-\lambda-2)\hat{i} + (2\lambda-1-1)\hat{j} - \lambda\hat{k}) \cdot (\hat{i} + 5\hat{j} + 3\hat{k}) = 0$
$(-1-\lambda) + 5(2\lambda-2) - 3\lambda = 0$
$-1 - \lambda + 10\lambda - 10 - 3\lambda = 0 \Rightarrow 6\lambda = 11 \Rightarrow \lambda = \frac{11}{6}$.
$\lambda = \frac{11}{6}$ को $(i)$ में रखने पर:
$\vec{r} = (1-\frac{11}{6})\hat{i} + (2(\frac{11}{6})-1)\hat{j} - \frac{11}{6}\hat{k} = -\frac{5}{6}\hat{i} + \frac{16}{6}\hat{j} - \frac{11}{6}\hat{k} = \frac{1}{6}(-5\hat{i} + 16\hat{j} - 11\hat{k})$.

(D) माना कि समतल रेखाखंड $AB$ को $k:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,बिंदु $P$ के निर्देशांक $\left(\frac{2k+1}{k+1}, \frac{2k+1}{k+1}, \frac{2k+1}{k+1}\right)$ हैं।
चूंकि $P$ समतल $x+y+z-5=0$ पर स्थित है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{2k+1}{k+1} + \frac{2k+1}{k+1} + \frac{2k+1}{k+1} - 5 = 0$
$3\left(\frac{2k+1}{k+1}\right) = 5$
$6k + 3 = 5k + 5$
$k = 2$.
अतः,अनुपात $AP: PB$,$2:1$ है।

(B) दो समतलों $\bar{r} \cdot \bar{n}_1 = d_1$ और $\bar{r} \cdot \bar{n}_2 = d_2$ की प्रतिच्छेदन रेखा,सदिश $\bar{v} = \bar{n}_1 \times \bar{n}_2$ के समांतर होती है।
यहाँ,$\bar{n}_1 = 2 \bar{i} + 3 \bar{j} + 4 \bar{k}$ और $\bar{n}_2 = \bar{i} + \bar{j} - \bar{k}$ है।
क्रॉस प्रोडक्ट की गणना करने पर:
$\bar{v} = \begin{vmatrix} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \bar{i}(-3-4) - \bar{j}(-2-4) + \bar{k}(2-3) = -7 \bar{i} + 6 \bar{j} - \bar{k}$.
रेखा बिंदु $(16, -9, 0)$ से होकर गुजरती है,जिसका स्थिति सदिश $\bar{a} = 16 \bar{i} - 9 \bar{j}$ है।
रेखा का सदिश समीकरण $\bar{r} = \bar{a} + \lambda \bar{v}$ होता है।
मान रखने पर: $\bar{r} = (16 \bar{i} - 9 \bar{j}) + \lambda(-7 \bar{i} + 6 \bar{j} - \bar{k}) = (16 - 7 \lambda) \bar{i} + (6 \lambda - 9) \bar{j} - \lambda \bar{k}$.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $B$ सही है।

(A) समतल $\pi_1$ का अभिलंब सदिश $\vec{n}_1 = 0\hat{i} - 1\hat{j} + 2\hat{k}$ है।
रेखा $L$ बिंदुओं $A(3, -2, 1)$ और $B(-1, 3, 1)$ से होकर गुजरती है। रेखा $L$ का दिशा सदिश $\vec{v} = (-1-3)\hat{i} + (3-(-2))\hat{j} + (1-1)\hat{k} = -4\hat{i} + 5\hat{j} + 0\hat{k}$ है।
चूंकि रेखा $L$ समतल $\pi_2$ के लंबवत है,इसलिए समतल $\pi_2$ का अभिलंब सदिश $\vec{n}_2 = -4\hat{i} + 5\hat{j} + 0\hat{k}$ है।
दो समतलों के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| |\vec{n}_2|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = (0)(-4) + (-1)(5) + (2)(0) = -5$.
$|\vec{n}_1| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{5}$.
$|\vec{n}_2| = \sqrt{(-4)^2 + 5^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}$.
$\cos \theta = \frac{|-5|}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{41}} = \frac{5}{\sqrt{205}} = \sqrt{\frac{5}{41}}$.

(D) समतलों $2x-2y+z=0$ और $x-y+2z=4$ के अभिलंब सदिश क्रमशः $\vec{n_1} = (2, -2, 1)$ और $\vec{n_2} = (1, -1, 2)$ हैं।
समतल $ax+by+cz+1=0$ का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (a, b, c)$ है।
चूंकि समतल दिए गए दो समतलों के लंबवत है,इसलिए इसका अभिलंब सदिश $\vec{n}$,$\vec{n_1}$ और $\vec{n_2}$ के सदिश गुणनफल के समानांतर होना चाहिए।
$\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4+1) - \hat{j}(4-1) + \hat{k}(-2+2) = -3\hat{i} - 3\hat{j} + 0\hat{k}$.
अतः,अभिलंब सदिश $(-3, -3, 0)$ के समानुपाती है,जिसे $(1, 1, 0)$ के रूप में सरल किया जा सकता है।
समतल का समीकरण $1(x-1) + 1(y+2) + 0(z-1) = 0$ है,जो $x+y+1=0$ में सरल हो जाता है।
इसे $ax+by+cz+1=0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a=1, b=1, c=0$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$a+b-c = 1+1-0 = 2$.

(A) बिंदु $(2,-3,4)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $\vec{n} = (a, b, c)$ वाले समतल का समीकरण $a(x-2) + b(y+3) + c(z-4) = 0$ है,जिसे $ax + by + cz - 2a + 3b - 4c = 0$ ... $(i)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि यह समतल दोनों समतलों $2x-3y+5z=2$ और $x+y+2z=3$ के लंबवत है,इसलिए इसका अभिलंब सदिश $\vec{n}$ दिए गए समतलों के अभिलंब सदिशों $\vec{n_1} = (2, -3, 5)$ और $\vec{n_2} = (1, 1, 2)$ के सदिश गुणनफल (cross product) के समानांतर होगा।
$\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -3 & 5 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-6-5) - \hat{j}(4-5) + \hat{k}(2+3) = -11\hat{i} + 1\hat{j} + 5\hat{k}$.
अतः,$(a, b, c) = (-11, 1, 5)$.
इन मानों को समीकरण $(i)$ में रखने पर: $-11x + y + 5z - 2(-11) + 3(1) - 4(5) = 0$
$-11x + y + 5z + 22 + 3 - 20 = 0$
$-11x + y + 5z + 5 = 0 \Rightarrow 11x - y - 5z = 5$
दोनों पक्षों को $11$ से विभाजित करने पर,हमें $x - \frac{1}{11}y - \frac{5}{11}z = \frac{5}{11}$ प्राप्त होता है।
$x + py + qz = r$ के साथ तुलना करने पर,$r = \frac{5}{11}$ प्राप्त होता है।

(C) दी गई दोनों रेखाएँ $a=\hat{i}+\hat{j}$ स्थिति सदिश वाले बिंदु से होकर गुजरती हैं और क्रमशः $b_1=\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$ और $b_2=-\hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$ सदिशों के समानांतर हैं। इन रेखाओं को समाहित करने वाला समतल बिंदु $a=\hat{i}+\hat{j}$ से होकर गुजरता है और सदिश $n = b_1 \times b_2$ के लंबवत है।
अभिलंब सदिश $n$ की गणना:
$n = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ -1 & 1 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4+1) - \hat{j}(-2-1) + \hat{k}(1+2) = -3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}$.
समतल का सदिश समीकरण $r \cdot n = a \cdot n$ है।
$r \cdot (-3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}) = (\hat{i} + \hat{j}) \cdot (-3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}) = -3 + 3 + 0 = 0$.
$-3$ से विभाजित करने पर,हमें $r \cdot (\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) = 0$ प्राप्त होता है।

(A) समतल $\pi_1$ का अभिलंब सदिश $\vec{n_1}$,बिंदु $(1, 1, 1)$ और लंब के पाद $(1, 3, 5)$ को जोड़ने वाला सदिश है।
$\vec{n_1} = (1-1, 3-1, 5-1) = (0, 2, 4)$।
हम इसे सरल करके $\vec{n_1} = (0, 1, 2)$ लिख सकते हैं।
बिंदु $(1, 3, 5)$ से गुजरने वाले समतल $\pi_1$ का समीकरण $0(x-1) + 1(y-3) + 2(z-5) = 0$ है,जो $y + 2z - 13 = 0$ में सरल हो जाता है।
समतल $\pi_2$ के लिए,यह बिंदुओं $A(2, 2, -1), B(3, 4, 2), C(3, 3, 0)$ से गुजरता है।
सदिश $\vec{AB} = (1, 2, 3)$ और $\vec{AC} = (1, 1, 1)$ समतल $\pi_2$ पर स्थित हैं।
अभिलंब सदिश $\vec{n_2} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-3) - \hat{j}(1-3) + \hat{k}(1-2) = -\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$।
अतः,$\vec{n_2} = (-1, 2, -1)$।
समतलों के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (0)(-1) + (1)(2) + (2)(-1) = 0 + 2 - 2 = 0$।
चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए कोण $\theta = \frac{\pi}{2}$ है।

(C) समतलों $\pi_1 = 0$ और $\pi_2 = 0$ की प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $\pi_1 + \lambda \pi_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समतलों का मान रखने पर:
$(2x + 6y + 4z - 7) + \lambda(x - y - 2z - 2) = 0$
$(2 + \lambda)x + (6 - \lambda)y + (4 - 2\lambda)z - (7 + 2\lambda) = 0 \quad \dots(i)$
चूंकि यह समतल,समतल $x + y + 2z - 5 = 0$ के लंबवत है,इसलिए उनके अभिलंब सदिशों का डॉट गुणनफल शून्य होगा।
अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (2 + \lambda, 6 - \lambda, 4 - 2\lambda)$ और $\vec{n_2} = (1, 1, 2)$ हैं।
$(2 + \lambda)(1) + (6 - \lambda)(1) + (4 - 2\lambda)(2) = 0$
$2 + \lambda + 6 - \lambda + 8 - 4\lambda = 0$
$16 - 4\lambda = 0 \implies \lambda = 4$.
समीकरण $(i)$ में $\lambda = 4$ रखने पर:
$(2 + 4)x + (6 - 4)y + (4 - 8)z - (7 + 8) = 0$
$6x + 2y - 4z - 15 = 0$.

(B) माना समतल $P$ का समीकरण $a(x-1) + by + cz = 0$ है,जिसे $ax + by + cz = a$ के रूप में लिखा जा सकता है। चूंकि यह $(0,1,0)$ से गुजरता है,इसलिए $b = a$ प्राप्त होता है। अतः,समीकरण $ax + ay + cz = a$ या $x + y + \frac{c}{a}z = 1$ है। माना $k = \frac{c}{a}$ है। अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (1, 1, k)$ है।
समतल $x + y = 3$ का अभिलंब $\vec{n_2} = (1, 1, 0)$ है।
दो समतलों के बीच का कोण $\frac{\pi}{4}$ है,इसलिए $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$।
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|1+1+0|}{\sqrt{1^2+1^2+k^2} \sqrt{1^2+1^2+0^2}} = \frac{2}{\sqrt{2+k^2} \sqrt{2}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{2} = \frac{4}{2(2+k^2)} \Rightarrow 2+k^2 = 4 \Rightarrow k^2 = 2 \Rightarrow k = \sqrt{2}$।
अतः,दिक अनुपात $(1, 1, \sqrt{2})$ हैं।

(B) मूल बिंदु से गुजरने वाली और सदिश $\vec{v} = 6 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$ के समांतर रेखा का समीकरण $\frac{x}{6} = \frac{y}{2} = \frac{z}{3} = k$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $P$,$(6k, 2k, 3k)$ के रूप में है।
चूंकि यह बिंदु $P$ समतल $3x + 4y - 12z = 7$ पर स्थित है,इसलिए हम $P$ के निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$3(6k) + 4(2k) - 12(3k) = 7$
$18k + 8k - 36k = 7$
$-10k = 7 \Rightarrow k = -\frac{7}{10}$.
बिंदु $P$ के निर्देशांक $(6(-\frac{7}{10}), 2(-\frac{7}{10}), 3(-\frac{7}{10})) = (-\frac{42}{10}, -\frac{14}{10}, -\frac{21}{10})$ हैं।
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से बिंदु $P$ तक की दूरी,दूरी सूत्र द्वारा प्राप्त की जाती है:
$d = \sqrt{(-\frac{42}{10})^2 + (-\frac{14}{10})^2 + (-\frac{21}{10})^2}$
$d = \frac{1}{10} \sqrt{42^2 + 14^2 + 21^2} = \frac{1}{10} \sqrt{1764 + 196 + 441} = \frac{1}{10} \sqrt{2401} = \frac{49}{10}$.

(B) बिंदुओं $(1, 1, 1)$,$(2, 0, -1)$ और मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण सारणिक द्वारा दिया जाता है:
$\begin{vmatrix} x & y & z \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$x(-1 - 0) - y(-1 - 2) + z(0 - 2) = 0$
$-x + 3y - 2z = 0$ या $x - 3y + 2z = 0$ (समीकरण $i$)।
बिंदुओं $(1, 3, -2)$ और $(1, -1, 3)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण:
$\frac{x-1}{1-1} = \frac{y-3}{-1-3} = \frac{z-(-2)}{3-(-2)} = r$
$\frac{x-1}{0} = \frac{y-3}{-4} = \frac{z+2}{5} = r$
अतः,रेखा पर कोई भी बिंदु $(1, -4r+3, 5r-2)$ है।
इस बिंदु को समतल के समीकरण $x - 3y + 2z = 0$ में रखने पर:
$1 - 3(-4r+3) + 2(5r-2) = 0$
$1 + 12r - 9 + 10r - 4 = 0$
$22r - 12 = 0 \Rightarrow r = \frac{12}{22} = \frac{6}{11}$।
$r = \frac{6}{11}$ को बिंदु के निर्देशांक में रखने पर:
$x = 1$,$y = -4(\frac{6}{11}) + 3 = \frac{-24+33}{11} = \frac{9}{11}$,$z = 5(\frac{6}{11}) - 2 = \frac{30-22}{11} = \frac{8}{11}$।
बिंदु $A$ $(1, \frac{9}{11}, \frac{8}{11})$ है,जो सदिश रूप में $\frac{1}{11}(11\hat{i} + 9\hat{j} + 8\hat{k})$ है।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(A) वांछित समतल बिंदु $(2, -1, 3)$ से गुजरता है। मान लीजिए समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (a, b, c)$ है। समतल का समीकरण $a(x - 2) + b(y + 1) + c(z - 3) = 0$ है।
चूंकि समतल $3x - 2y + z = 9$ के लंबवत है,इसलिए अभिलंब सदिश लंबवत हैं,अतः $3a - 2b + c = 0$।
चूंकि समतल $x + y + z = 9$ के भी लंबवत है,इसलिए $a + b + c = 0$ है।
इन समीकरणों को हल करने पर: $\frac{a}{(-2)(1) - (1)(1)} = \frac{b}{(1)(1) - (3)(1)} = \frac{c}{(3)(1) - (-2)(1)}$,जिससे $\frac{a}{-3} = \frac{b}{-2} = \frac{c}{5} = k$ प्राप्त होता है।
अतः अभिलंब सदिश $(-3, -2, 5)$ के समानुपाती है।
समतल के समीकरण में मान रखने पर: $-3(x - 2) - 2(y + 1) + 5(z - 3) = 0$।
विस्तार करने पर: $-3x + 6 - 2y - 2 + 5z - 15 = 0$,जो सरल होकर $-3x - 2y + 5z - 11 = 0$ हो जाता है।
$x + by + cz + d = 0$ के रूप में लाने के लिए $-3$ से भाग देने पर: $x + \frac{2}{3}y - \frac{5}{3}z + \frac{11}{3} = 0$।
तुलना करने पर,$d = \frac{11}{3}$ प्राप्त होता है।

(B) रेखा $L$ का समीकरण $\frac{x-1}{0} = \frac{y-0}{1} = \frac{z+3}{-2} = \lambda$ है।
रेखा $L$ पर कोई भी बिंदु $P(1, \lambda, -2\lambda - 3)$ के रूप में है।
बिंदु $P$ की समतल $2x + 3y + 5z - 1 = 0$ से दूरी $d$ इस प्रकार है:
$d = \frac{|2(1) + 3(\lambda) + 5(-2\lambda - 3) - 1|}{\sqrt{2^2 + 3^2 + 5^2}} = \frac{|2 + 3\lambda - 10\lambda - 15 - 1|}{\sqrt{38}} = \frac{|-7\lambda - 14|}{\sqrt{38}}$.
न्यूनतम दूरी के लिए,$-7\lambda - 14 = 0$,जिससे $\lambda = -2$ प्राप्त होता है।
$\lambda = -2$ रखने पर,$P$ के निर्देशांक $(1, -2, 1)$ प्राप्त होते हैं।
सदिश $\vec{AP} = P - A = (1-1, -2-0, 1-(-3)) = (0, -2, 4)$ है।
$P(1, -2, 1)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $\vec{n} = (0, -2, 4)$ वाले समतल का समीकरण:
$0(x - 1) - 2(y + 2) + 4(z - 1) = 0$.
$-2y - 4 + 4z - 4 = 0 \Rightarrow -2y + 4z - 8 = 0 \Rightarrow y - 2z + 4 = 0$.

(C) माना दिया गया बिंदु $P(x_1, y_1, z_1) = (5, 2, 6)$ है और समतल $x + y + z - 9 = 0$ है।
यहाँ,$a = 1, b = 1, c = 1$ और $d = -9$ है।
समतल $ax + by + cz + d = 0$ के सापेक्ष बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ के प्रतिबिंब $(x, y, z)$ का सूत्र है:
$\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c} = -2 \frac{ax_1 + by_1 + cz_1 + d}{a^2 + b^2 + c^2}$
मान रखने पर:
$\frac{x - 5}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 6}{1} = -2 \frac{(1)(5) + (1)(2) + (1)(6) - 9}{1^2 + 1^2 + 1^2}$
$\frac{x - 5}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 6}{1} = -2 \frac{4}{3} = -\frac{8}{3}$
अब,$x, y, z$ के लिए हल करने पर:
$x - 5 = -\frac{8}{3} \Rightarrow x = 5 - \frac{8}{3} = \frac{7}{3}$
$y - 2 = -\frac{8}{3} \Rightarrow y = 2 - \frac{8}{3} = -\frac{2}{3}$
$z - 6 = -\frac{8}{3} \Rightarrow z = 6 - \frac{8}{3} = \frac{10}{3}$
अतः,बिंदु $(5, 2, 6)$ का प्रतिबिंब $(\frac{7}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{10}{3})$ है।

(C) समतल $ax + by + cz + d = 0$ में बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ के प्रतिबिंब $(x, y, z)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c} = \frac{-2(ax_1 + by_1 + cz_1 + d)}{a^2 + b^2 + c^2}$
यहाँ,बिंदु $(3, 2, 1)$ है और समतल का समीकरण $2x - y + 3z - 7 = 0$ है।
मान रखने पर:
$\frac{x - 3}{2} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - 1}{3} = \frac{-2(2(3) - 1(2) + 3(1) - 7)}{2^2 + (-1)^2 + 3^2}$
$\frac{x - 3}{2} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - 1}{3} = \frac{-2(6 - 2 + 3 - 7)}{4 + 1 + 9}$
$\frac{x - 3}{2} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - 1}{3} = \frac{-2(0)}{14} = 0$
प्रत्येक भाग को $0$ के बराबर रखने पर:
$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$
$y - 2 = 0 \Rightarrow y = 2$
$z - 1 = 0 \Rightarrow z = 1$
अतः,बिंदु का प्रतिबिंब $(3, 2, 1)$ है,जिसका अर्थ है कि बिंदु समतल पर स्थित है।

(D) रेखा $A(1, 2, 1)$ और $B(2, -1, -1)$ से गुजरती है। दिशा सदिश $\vec{v} = B - A = \bar{i} - 3\bar{j} - 2\bar{k}$ है। रेखा का समीकरण $\vec{r} = (1 + t)\bar{i} + (2 - 3t)\bar{j} + (1 - 2t)\bar{k}$ है।
समतल $P(1, 0, 0)$,$Q(0, 2, 0)$ और $R(0, 0, 3)$ से गुजरता है। समतल का अंतःखंड रूप $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1$ है,जो $6x + 3y + 2z = 6$ हो जाता है।
रेखा के निर्देशांकों को समतल के समीकरण में रखने पर: $6(1 + t) + 3(2 - 3t) + 2(1 - 2t) = 6$.
$6 + 6t + 6 - 9t + 2 - 4t = 6$.
$14 - 7t = 6 \implies 7t = 8 \implies t = \frac{8}{7}$.
$t = \frac{8}{7}$ को रेखा के समीकरण में रखने पर: $x = \frac{15}{7}, y = -\frac{10}{7}, z = -\frac{9}{7}$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $\frac{1}{7}(15\bar{i} - 10\bar{j} - 9\bar{k})$ है।

(A) रेखा पर किसी भी बिंदु $P$ का स्थिति सदिश $\vec{p} = (1)\bar{i} + (t-3)\bar{j} + (-2t)\bar{k}$ है।
मान लीजिए समतल $\pi: \vec{r} \cdot (2\bar{i} + 3\bar{j} + 5\bar{k}) = 0$ है। बिंदु $P$ की समतल से दूरी $d = \frac{|(1)(2) + (t-3)(3) + (-2t)(5)|}{\sqrt{2^2 + 3^2 + 5^2}} = \frac{|2 + 3t - 9 - 10t|}{\sqrt{38}} = \frac{|-7t - 7|}{\sqrt{38}}$ है।
न्यूनतम दूरी के लिए,अंश को शून्य के बराबर रखने पर: $-7t - 7 = 0 \implies t = -1$.
$t = -1$ को रेखा के समीकरण में रखने पर,हमें $P$ का स्थिति सदिश प्राप्त होता है: $\vec{p} = \bar{i} - 4\bar{j} + 2\bar{k}$.
सदिश $\vec{AP} = \vec{p} - \vec{a} = (\bar{i} - 4\bar{j} + 2\bar{k}) - (\bar{i} - 3\bar{j}) = -\bar{j} + 2\bar{k}$.
$P(\bar{i} - 4\bar{j} + 2\bar{k})$ से गुजरने वाले और $\vec{AP} = -\bar{j} + 2\bar{k}$ के लंबवत समतल का समीकरण $\vec{r} \cdot (-\bar{j} + 2\bar{k}) = \vec{p} \cdot (-\bar{j} + 2\bar{k})$ है।
डॉट प्रोडक्ट की गणना करने पर: $(\bar{i} - 4\bar{j} + 2\bar{k}) \cdot (-\bar{j} + 2\bar{k}) = (-4)(-1) + (2)(2) = 4 + 4 = 8$.
अतः,समीकरण $\bar{r} \cdot (-\bar{j} + 2\bar{k}) = 8$ है।

(A) रेखा $L$ दोनों समतलों के समांतर है,इसलिए यह दोनों समतलों के अभिलंब सदिशों के लंबवत होगी। मान लीजिए अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{n_2} = \hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$ हैं।
रेखा $L$ का दिशा सदिश $\vec{v}$,$\vec{n_1} \times \vec{n_2}$ द्वारा प्राप्त होता है:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-3) - \hat{j}(4-1) + \hat{k}(6-3) = 3\hat{i} - 3\hat{j} + 3\hat{k}$.
हम दिशा सदिश को $\vec{u} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ के रूप में सरल कर सकते हैं।
रेखा $X$-अक्ष के साथ जो कोण $\alpha$ बनाती है,वह $\vec{u}$ और इकाई सदिश $\hat{i} = (1, 0, 0)$ के बीच का कोण है।
$\cos \alpha = \frac{\vec{u} \cdot \hat{i}}{|\vec{u}| |\hat{i}|} = \frac{(1)(1) + (-1)(0) + (1)(0)}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(B) रेखा $L$,$P_1 = \vec{a}-\vec{b}+\vec{c}$ और $P_2 = \vec{b}-\vec{c}$ से होकर गुजरती है। रेखा $L$ का दिशा सदिश $\vec{v} = P_2 - P_1 = (\vec{b}-\vec{c}) - (\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}) = -\vec{a} + 2\vec{b} - 2\vec{c}$ है।
अतः,रेखा $L$ का समीकरण $\vec{r} = (\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}) + \lambda(-\vec{a} + 2\vec{b} - 2\vec{c})$ है।
समतल $\pi$,$A = 2\vec{a}-\vec{b}$,$B = 2\vec{b}-\vec{c}$,और $C = 2\vec{c}-\vec{a}$ से होकर गुजरता है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (B-A) \times (C-A) = (-2\vec{a}+3\vec{b}-\vec{c}) \times (-3\vec{a}+\vec{b}+2\vec{c}) = 7(\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a})$ है।
समतल का समीकरण $(\vec{r} - (2\vec{a}-\vec{b})) \cdot (\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a}) = 0$ है।
$\vec{r} = \vec{a}-\vec{b}+\vec{c} + \lambda(-\vec{a} + 2\vec{b} - 2\vec{c})$ को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करने और $\lambda$ के लिए हल करने पर,हमें $\lambda = 1$ प्राप्त होता है।
$\lambda = 1$ को रेखा के समीकरण में रखने पर $\vec{r} = (\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}) + 1(-\vec{a} + 2\vec{b} - 2\vec{c}) = \vec{b}-\vec{c}$ प्राप्त होता है।

(B) रेखा $L$ बिंदुओं $A_1(2, 3, 8)$ और $A_2(1, 6, 4)$ से होकर गुजरती है। रेखा $L$ का दिशा सदिश $\vec{v} = (1-2)\hat{i} + (6-3)\hat{j} + (4-8)\hat{k} = -\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}$ है।
रेखा $L$ का समीकरण $\vec{r} = (2\hat{i} + 3\hat{j} + 8\hat{k}) + t(-\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}) = (2-t)\hat{i} + (3+3t)\hat{j} + (8-4t)\hat{k}$ है।
समतल $P$,$\vec{a} = -5\hat{i} + 19\hat{j} - 14\hat{k}$ से होकर गुजरता है और $\vec{u} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ तथा $\vec{v} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ के समानांतर है।
समतल का अभिलंब $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \end{vmatrix} = -\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}$ है।
समतल का समीकरण $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ है,जो $(x+5)(-1) + (y-19)(-2) + (z+14)(-1) = 0$ यानी $x+2y+z = 19$ के रूप में सरल होता है।
रेखा $L$ के निर्देशांकों को समतल के समीकरण में रखने पर: $(2-t) + 2(3+3t) + (8-4t) = 19$.
$2-t+6+6t+8-4t = 19 \implies t+16 = 19 \implies t = 3$.
$t=3$ को रेखा के समीकरण में रखने पर: $\vec{r} = (2-3)\hat{i} + (3+3(3))\hat{j} + (8-4(3))\hat{k} = -\hat{i} + 12\hat{j} - 4\hat{k}$.

(A) दी गई रेखा $\vec{r}=\vec{a}+2 \vec{b}+p(\vec{a}-2 \vec{c}) \quad \dots(1)$ और समतल $\vec{r}=3 \vec{a}-q(\vec{c}-\vec{b})+k(\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}) \quad \dots(2)$ है।
$\vec{r}$ के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$\vec{a}+2 \vec{b}+p \vec{a}-2p \vec{c} = 3 \vec{a}-q \vec{c}+q \vec{b}+k \vec{a}-k \vec{b}+k \vec{c}$
$\vec{a}(1+p) + 2 \vec{b} - 2p \vec{c} = \vec{a}(3+k) + \vec{b}(q-k) + \vec{c}(k-q)$
चूंकि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ असमतलीय हैं,गुणांकों की तुलना करने पर:
$1+p = 3+k \Rightarrow p-k = 2$
$2 = q-k \Rightarrow q-k = 2$
$-2p = k-q \Rightarrow q-k = 2p$
$q-k=2$ और $q-k=2p$ से,$2p=2 \Rightarrow p=1$ प्राप्त होता है।
$p=1$ को $p-k=2$ में रखने पर,$1-k=2 \Rightarrow k=-1$ प्राप्त होता है।
$k=-1$ को $q-k=2$ में रखने पर,$q-(-1)=2 \Rightarrow q=1$ प्राप्त होता है।
अब,स्थिति सदिश $\vec{r}$ ज्ञात करने के लिए $p=1$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$\vec{r} = \vec{a}+2 \vec{b}+1(\vec{a}-2 \vec{c}) = 2 \vec{a}+2 \vec{b}-2 \vec{c}$.
इसकी तुलना $\vec{r}=x \vec{a}+y \vec{b}+z \vec{c}$ से करने पर,$x=2, y=2, z=-2$ प्राप्त होता है।
अतः,$x y z = 2 \times 2 \times (-2) = -8$.

(C) रेखा $r = a + \lambda b$ के रूप में है,जहाँ $a = 2\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ और $b = \hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}$ है।
समतल $r \cdot n = d$ के रूप में है,जहाँ $n = \hat{i} + 5\hat{j} + \hat{k}$ और $d = 5$ है।
सबसे पहले,यह जाँचें कि क्या रेखा समतल के समानांतर है,इसके लिए $b \cdot n$ की गणना करें: $b \cdot n = (1)(1) + (-1)(5) + (4)(1) = 1 - 5 + 4 = 0$ है।
चूँकि $b \cdot n = 0$ है,इसलिए रेखा समतल के समानांतर है।
समानांतर रेखा और समतल के बीच की न्यूनतम दूरी $D = \frac{|a \cdot n - d|}{|n|}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$a \cdot n = (2)(1) + (-2)(5) + (3)(1) = 2 - 10 + 3 = -5$ की गणना करें।
$|n| = \sqrt{1^2 + 5^2 + 1^2} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ की गणना करें।
सूत्र में मान रखने पर: $D = \frac{|-5 - 5|}{3\sqrt{3}} = \frac{|-10|}{3\sqrt{3}} = \frac{10}{3\sqrt{3}}$।

(C) समतल का समीकरण $r = b + c + x(a - b) + y(c + a) = (x + y)a + (1 - x)b + (1 + y)c$ है $\ldots(i)$.
रेखा का समीकरण $r = a + t(b - c) = a + tb - tc$ है $\ldots(ii)$.
चूंकि प्रतिच्छेदन बिंदु दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है,इसलिए $a, b, c$ के अतलीय होने के कारण हम उनके गुणांकों की तुलना करते हैं:
$x + y = 1$ $\ldots(iii)$
$1 - x = t$ $\ldots(iv)$
$1 + y = -t$ $\ldots(v)$
समीकरण $(iv)$ और $(v)$ को जोड़ने पर,$2 - x + y = 0$,अर्थात $x - y = 2$ $\ldots(vi)$.
$(iii)$ और $(vi)$ को जोड़ने पर,$2x = 3$,इसलिए $x = \frac{3}{2}$.
$x = \frac{3}{2}$ को $(iii)$ में रखने पर,$y = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$.
$x = \frac{3}{2}$ को $(iv)$ में रखने पर,$t = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$.
अब,प्रतिच्छेदन बिंदु $r = a + t(b - c) = a - \frac{1}{2}(b - c) = a - \frac{1}{2}b + \frac{1}{2}c$.
इसकी तुलना $la + mb + nc$ से करने पर,$l = 1, m = -\frac{1}{2}, n = \frac{1}{2}$.
अंत में,$3l + 4m + 2n = 3(1) + 4(-\frac{1}{2}) + 2(\frac{1}{2}) = 3 - 2 + 1 = 2$.

(B) बिंदुओं $A(0,-5,-1), B(1,-2,5), C(-3,5,0)$ से गुजरने वाले समतल $\Pi$ का समीकरण सारणिक द्वारा इस प्रकार है:
$\begin{vmatrix} x-0 & y+5 & z+1 \\ 1-0 & -2+5 & 5+1 \\ -3-0 & 5+5 & 0+1 \end{vmatrix} = 0$
$\begin{vmatrix} x & y+5 & z+1 \\ 1 & 3 & 6 \\ -3 & 10 & 1 \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$x(3-60) - (y+5)(1+18) + (z+1)(10+9) = 0$
$-57x - 19(y+5) + 19(z+1) = 0$
$-19$ से विभाजित करने पर:
$3x + y + 5 - z - 1 = 0 \Rightarrow 3x + y - z + 4 = 0$
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = 3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ है।
इकाई अभिलंब सदिश $\hat{n} = \frac{3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{3^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \frac{3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{11}}$ है।
रेखा $L$,सदिश $\vec{v} = \hat{i} + 5\hat{j} - 6\hat{k}$ के समानांतर है।
रेखा $L$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{u} = \frac{\hat{i} + 5\hat{j} - 6\hat{k}}{\sqrt{1^2 + 5^2 + (-6)^2}} = \frac{\hat{i} + 5\hat{j} - 6\hat{k}}{\sqrt{62}}$ है।
रेखा $L$ पर $\hat{n}$ के प्रक्षेप की लंबाई $|\hat{n} \cdot \hat{u}|$ है:
$|\hat{n} \cdot \hat{u}| = \left| \left( \frac{3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{11}} \right) \cdot \left( \frac{\hat{i} + 5\hat{j} - 6\hat{k}}{\sqrt{62}} \right) \right|$
$= \left| \frac{3(1) + 1(5) + (-1)(-6)}{\sqrt{11} \cdot \sqrt{62}} \right| = \left| \frac{3 + 5 + 6}{\sqrt{682}} \right| = \frac{14}{\sqrt{682}}$.

(B) मान लीजिए $l, m, n$ क्रमशः $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ हैं।
बिंदु $A(p, 7, -6), B(2, 5, -4), C(1, 4, -3)$ हैं।
चूंकि $A, B, C$ संरेख हैं,सदिश $\vec{AB}$ को $\vec{BC}$ के समानांतर होना चाहिए।
$\vec{AB} = (2-p)\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$.
$\vec{BC} = (1-2)\hat{i} + (4-5)\hat{j} + (-3+4)\hat{k} = -\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
चूंकि $\vec{AB} = k\vec{BC}$,इसलिए $\frac{2-p}{-1} = \frac{-2}{-1} = \frac{2}{1} = 2$.
अतः,$2-p = -2 \implies p = 4$.
बिंदु $(-p, p, p+1) = (-4, 4, 5)$ है।
रेखा $L$,$B(2, 5, -4)$ से गुजरती है और इसका दिशा सदिश $\vec{v} = (-1, -1, 1)$ है।
समतल में रेखा $L$ और बिंदु $P(-4, 4, 5)$ स्थित हैं।
समतल का अभिलंब $\vec{n} = \vec{PB} \times \vec{v}$ है।
$\vec{PB} = (2 - (-4))\hat{i} + (5 - 4)\hat{j} + (-4 - 5)\hat{k} = 6\hat{i} + \hat{j} - 9\hat{k}$.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 6 & 1 & -9 \\ -1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = -8\hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k}$.
समतल का समीकरण $-8(x-2) + 3(y-5) - 5(z+4) = 0$ है।
$-8x + 3y - 5z = 19$.
$19$ से विभाजित करने पर,$-\frac{8}{19}x + \frac{3}{19}y - \frac{5}{19}z = 1$.
यहाँ $a = -\frac{8}{19}, b = \frac{3}{19}, c = -\frac{5}{19}$.
$p(a+b+c) = 4 \times (\frac{-8+3-5}{19}) = 4 \times (\frac{-10}{19}) = -\frac{40}{19}$.

(A) दी गई रेखा $\frac{x-4}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-7}{2}$ है।
यह रेखा बिंदु $P(4, 2, 7)$ से गुजरती है और इसके दिक अनुपात $(1, 1, 2)$ हैं।
चूंकि रेखा समतल $ax+by+z=7$ में स्थित है,इसलिए बिंदु $P(4, 2, 7)$ समतल के समीकरण को संतुष्ट करेगा:
$a(4) + b(2) + 7 = 7$
$4a + 2b = 0$
$2a + b = 0 \quad \dots(i)$
साथ ही,रेखा का दिक सदिश $\vec{v} = (1, 1, 2)$ समतल के अभिलंब सदिश $\vec{n} = (a, b, 1)$ के लंबवत होगा।
अतः,उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$(1)(a) + (1)(b) + (2)(1) = 0$
$a + b + 2 = 0$
$a + b = -2$.