Composition of Functions Questions in Gujarati

(B) આપેલ છે કે $f(x) = |2x-1| + |2x+1|$ અને $g(x) = x - [x] = \{x\}$.
અંતરાલ $x \in (-1, 1)$ માટે,અપૂર્ણાંક ભાગ વિધેય $g(x) = \{x\}$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે:
$x \in (-1, 0)$ માટે $g(x) = x+1$ અને $x \in [0, 1)$ માટે $g(x) = x$.
તેથી,સંયોજિત વિધેય $h(x) = f(g(x)) = |2\{x\}-1| + |2\{x\}+1|$.
કારણ કે $\{x\} \in [0, 1)$,આપણી પાસે $2\{x\}+1 \geq 1$ છે,તેથી $|2\{x\}+1| = 2\{x\}+1$.
તેથી $h(x) = |2\{x\}-1| + 2\{x\} + 1$.
જો $0 \leq \{x\} \leq 1/2$ હોય,તો $h(x) = -(2\{x\}-1) + 2\{x\} + 1 = 2$.
જો $1/2 < \{x\} < 1$ હોય,તો $h(x) = (2\{x\}-1) + 2\{x\} + 1 = 4\{x\}$.
અંતરાલ $(-1, 1)$ નું વિશ્લેષણ કરતા:
$x \in (-1, 0)$ માટે,$\{x\} = x+1$. તેથી જો $x+1 \leq 1/2$ (એટલે કે $x \leq -1/2$) હોય તો $h(x) = 2$ અને જો $x > -1/2$ હોય તો $h(x) = 4(x+1)$.
$x \in [0, 1)$ માટે,$\{x\} = x$. તેથી જો $x \leq 1/2$ હોય તો $h(x) = 2$ અને જો $x > 1/2$ હોય તો $h(x) = 4x$.
અસતતતા: વિધેય $h(x)$ એ $x=0$ આગળ અસતત છે કારણ કે $\lim_{x \to 0^-} h(x) = 4(0+1) = 4$ અને $h(0) = 2$. તેથી,$c=1$.
અવિકલનીયતા: વિધેય $x = -1/2$ (કોર્નર પોઈન્ટ),$x = 0$ (અસતતતા),અને $x = 1/2$ (કોર્નર પોઈન્ટ) આગળ અવિકલનીય છે. તેથી,$d=3$.
તેથી,$c+d = 1+3 = 4$.

(A) આપેલ છે $g(x) = \frac{\pi}{2} \sin x$. તેથી $f(x) = \sin \left(\frac{1}{3} g(g(x))\right)$.
$\sin x$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ હોવાથી,$g(x)$ નો વિસ્તાર $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ છે.
$f(x)$ માટે,અંદરની દલીલ $\frac{\pi}{6} \sin(\theta)$ છે જ્યાં $\theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. $\sin(\theta) \in [-1, 1]$ હોવાથી,બહારના સાઈનનો તર્ક $[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}]$ માં છે. આમ,$f$ નો વિસ્તાર $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ છે. તેથી $(A)$ સાચું છે.
$f(g(x))$ માટે,$g(x)$ નો વિસ્તાર $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ છે,તેથી $f(g(x))$ નો વિસ્તાર પણ $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ છે. તેથી $(B)$ સાચું છે.
$(C)$ માટે,$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(\frac{\pi}{6} \sin(\frac{\pi}{2} \sin x))}{\frac{\pi}{2} \sin x} = \frac{\pi}{6}$. તેથી $(C)$ સાચું છે.
$(D)$ માટે,$(g \circ f)(x) = \frac{\pi}{2} \sin(f(x))$. $f(x)$ નો વિસ્તાર $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ હોવાથી,$\sin(f(x))$ નો વિસ્તાર $[\sin(-1/2), \sin(1/2)]$ છે. $1$ આ વિસ્તારમાં હોવાથી,$(D)$ સાચું છે.

(A) $f \circ g$ નો પ્રદેશ એવા તમામ $x$ નો ગણ છે જેના માટે $x$ એ $g$ ના પ્રદેશમાં હોય અને $g(x)$ એ $f$ ના પ્રદેશમાં હોય.
આપેલ છે કે $f(x) = \log_e x$,તેથી $f$ નો પ્રદેશ $(0, \infty)$ છે,એટલે કે આપણે $g(x) > 0$ ની શરત તપાસવી પડે.
આપેલ છે કે $g(x) = \frac{x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 2}{2x^2 - 2x + 1}$.
પ્રથમ,છેદ તપાસીએ: $2x^2 - 2x + 1 = 2(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2}$,જે તમામ $x \in R$ માટે હંમેશા ધન છે.
હવે,અંશ તપાસીએ: $x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 2 = x^2(x - 1)^2 + (2(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2}) + 1$.
અહીં $x^2(x - 1)^2 \ge 0$,$2(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} > 0$,અને $1 > 0$ હોવાથી,અંશ તમામ $x \in R$ માટે હંમેશા ધન છે.
તેથી,તમામ $x \in R$ માટે $g(x) > 0$ થાય છે.
આમ,$f \circ g$ નો પ્રદેશ $R$ છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{2x+3}{5x+2}$ અને $g(x) = \frac{2-3x}{1-x}$.
આપણે $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ શોધવાનું છે.
$(f \circ g)(x) = f\left(\frac{2-3x}{1-x}\right) = \frac{2\left(\frac{2-3x}{1-x}\right)+3}{5\left(\frac{2-3x}{1-x}\right)+2}$
અંશ અને છેદને $(1-x)$ વડે ગુણતા:
$(f \circ g)(x) = \frac{2(2-3x) + 3(1-x)}{5(2-3x) + 2(1-x)} = \frac{4-6x+3-3x}{10-15x+2-2x} = \frac{7-9x}{12-17x}$.
હવે,અંતરાલ $[2, 4]$ ના અંત્યબિંદુઓ પર વિધેયની કિંમત મેળવીએ:
$(f \circ g)(2) = \frac{7-9(2)}{12-17(2)} = \frac{7-18}{12-34} = \frac{-11}{-22} = \frac{1}{2}$.
$(f \circ g)(4) = \frac{7-9(4)}{12-17(4)} = \frac{7-36}{12-68} = \frac{-29}{-56} = \frac{29}{56}$.
વિધેય અંતરાલ $[2, 4]$ માં એકવિધ હોવાથી,તેનો વિસ્તાર $[\alpha, \beta] = [\frac{1}{2}, \frac{29}{56}]$ થશે.
અહીં,$\alpha = \frac{1}{2}$ અને $\beta = \frac{29}{56}$.
તેથી $\beta - \alpha = \frac{29}{56} - \frac{1}{2} = \frac{29-28}{56} = \frac{1}{56}$.
આમ,$\frac{1}{\beta-\alpha} = 56$.

(A) $f: N \rightarrow Z$ માટે,$f(1)=1, f(2)=1, f(3)=2, f(4)=0, f(5)=3, f(6)=-1, \dots$ છે. $f(1)=f(2)=1$ હોવાથી,$f$ એક-એક નથી. $f$ નો વિસ્તાર $Z$ હોવાથી,$f$ વ્યાપ્ત છે. તેથી,વિધાન $(D)$ સત્ય છે.
$g: Z \rightarrow N$ માટે,$g(0)=3, g(1)=5, g(-1)=2, g(-2)=4, g(-3)=6$ છે. $g$ એ $n \geq 0$ માટે વધતું અને $n < 0$ માટે ઘટતું વિધેય છે,અને તેમના વિસ્તાર અલગ હોવાથી,$g$ એક-એક છે. જોકે,$g$ નો વિસ્તાર ${2, 3, 4, 5, 6, 7, \dots}$ છે,જે $N$ નો ઉપગણ છે ($1$ બાકી રહે છે),તેથી $g$ અંતઃક્ષેપી છે. તેથી,વિધાન $(C)$ અસત્ય છે.
$g \circ f: N \rightarrow N$ માટે,$(g \circ f)(1) = g(f(1)) = g(1) = 5$ અને $(g \circ f)(2) = g(f(2)) = g(1) = 5$ છે. $(g \circ f)(1) = (g \circ f)(2)$ હોવાથી,$g \circ f$ એક-એક નથી. $g \circ f$ નો વિસ્તાર $N$ ને આવરી લેતું નથી,તેથી તે વ્યાપ્ત નથી. તેથી,વિધાન $(A)$ સત્ય છે.
$f \circ g: Z \rightarrow Z$ માટે,જો $n \geq 0$,તો $f(g(n)) = f(3+2n) = (3+2n+1)/2 = n+2$. જો $n < 0$,તો $f(g(n)) = f(-2n) = (4-(-2n))/2 = 2+n$. આમ,$(f \circ g)(n) = n+2$ બધા $n \in Z$ માટે. આ એક બાયજેક્શન છે,તેથી $f \circ g$ એક-એક અને વ્યાપ્ત છે. તેથી,વિધાન $(B)$ અસત્ય છે.
આમ,વિધાનો $(A)$ અને $(D)$ સત્ય છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{2x+3}{3x-2}$.
આપણે $(f \circ f)(x) = f(f(x))$ શોધવાનું છે.
$f(f(x)) = \frac{2 \left( \frac{2x+3}{3x-2} \right) + 3}{3 \left( \frac{2x+3}{3x-2} \right) - 2}$
અંશ અને છેદને $(3x-2)$ વડે ગુણતા:
$= \frac{2(2x+3) + 3(3x-2)}{3(2x+3) - 2(3x-2)}$
$= \frac{4x + 6 + 9x - 6}{6x + 9 - 6x + 4}$
$= \frac{13x}{13} = x$
તેથી,$(f \circ f)(x) = x$ હોવાથી,આ વિધેય તદેવ વિધેય છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{2x+3}{3x-2}$.
આપણે $(f \circ f)(x) = f(f(x))$ શોધવાનું છે.
$(f \circ f)(x) = f\left(\frac{2x+3}{3x-2}\right) = \frac{2\left(\frac{2x+3}{3x-2}\right) + 3}{3\left(\frac{2x+3}{3x-2}\right) - 2}$.
અંશ અને છેદને $(3x-2)$ વડે ગુણતા:
$(f \circ f)(x) = \frac{2(2x+3) + 3(3x-2)}{3(2x+3) - 2(3x-2)}$.
$(f \circ f)(x) = \frac{4x + 6 + 9x - 6}{6x + 9 - 6x + 4} = \frac{13x}{13} = x$.
કારણ કે $(f \circ f)(x) = x$ અને $g(x) = x$ એ એક અયુગ્મ વિધેય છે,તેથી પરિણામ એક અયુગ્મ વિધેય છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = 3x + 10$ અને $g(x) = x^2 - 1$.
સૌ પ્રથમ,સંયોજિત વિધેય $(fog)(x) = f(g(x))$ શોધો.
$(fog)(x) = f(x^2 - 1) = 3(x^2 - 1) + 10$.
$(fog)(x) = 3x^2 - 3 + 10 = 3x^2 + 7$.
ધારો કે $y = (fog)(x) = 3x^2 + 7$.
વ્યસ્ત વિધેય શોધવા માટે,$y$ ના પદમાં $x$ ની કિંમત શોધો:
$y - 7 = 3x^2$.
$x^2 = \frac{y - 7}{3}$.
$x = \pm \sqrt{\frac{y - 7}{3}}$.
$y$ ને $x$ વડે બદલતા,આપણને $(fog)^{-1}(x) = \sqrt{\frac{x - 7}{3}} = \left(\frac{x - 7}{3}\right)^{\frac{1}{2}}$ મળે છે.

(C) $(f \circ g)(x)$ નો વિસ્તાર શોધવા માટે,પહેલા આપણે $g(x)$ નો વિસ્તાર નક્કી કરીએ.
$g(x) = \begin{cases} -x, & -2 \leqslant x \leqslant 3 \\ x, & 0 \leqslant x \leqslant 1 \end{cases}$ માટે,$g(x)$ નો વિસ્તાર $[-3, 2]$ છે.
હવે,આપણે $f(u)$ ની કિંમત શોધીએ જ્યાં $u \in [-3, 2]$.
આપેલ છે કે $f(u) = \begin{cases} 3-u, & -1 \leqslant u < 0 \\ 1+\frac{5u}{3}, & -3 \leqslant u \leqslant 2 \end{cases}$.
$f$ નો પ્રદેશ $[-3, 2]$ હોવાથી,આપણે $u \in [-3, 2]$ માટે $f(u)$ ની કિંમતો ધ્યાનમાં લઈએ.
$u \in [-3, 2]$ માટે,$f(u) = 1 + \frac{5u}{3}$ છે.
ન્યૂનતમ કિંમત $f(-3) = 1 + \frac{5(-3)}{3} = 1 - 5 = -4$ છે.
મહત્તમ કિંમત $f(2) = 1 + \frac{5(2)}{3} = 1 + \frac{10}{3} = \frac{13}{3}$ છે.
આમ,$(f \circ g)(x)$ નો વિસ્તાર $[-4, \frac{13}{3}]$ છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ અને $g(x) = \frac{3x+x^3}{1+3x^2}$.
આપણે $(fog)(x) = f(g(x))$ શોધવાનું છે.
$f(x)$ માં $g(x)$ ની કિંમત મૂકતા:
$(fog)(x) = \log \left(\frac{1+g(x)}{1-g(x)}\right) = \log \left(\frac{1+\frac{3x+x^3}{1+3x^2}}{1-\frac{3x+x^3}{1+3x^2}}\right)$.
લોગરીધમની અંદરના પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$= \log \left(\frac{\frac{1+3x^2+3x+x^3}{1+3x^2}}{\frac{1+3x^2-3x-x^3}{1+3x^2}}\right) = \log \left(\frac{1+3x+3x^2+x^3}{1-3x+3x^2-x^3}\right)$.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+x)^3 = 1+3x+3x^2+x^3$ અને $(1-x)^3 = 1-3x+3x^2-x^3$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \log \left(\frac{(1+x)^3}{(1-x)^3}\right) = \log \left(\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^3\right)$.
ગુણધર્મ $\log(a^n) = n \log(a)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 3 \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right) = 3f(x)$.
આમ,$(fog)(x) = 3f(x)$.

(D) આપેલ છે કે $g(x)=x^2+x-1$ અને $(g \circ f)(x)=4 x^2-10 x+5$.
વ્યાખ્યા મુજબ,$(g \circ f)(x) = g(f(x))$.
તેથી,$(f(x))^2 + f(x) - 1 = 4x^2 - 10x + 5$.
$f(2)$ શોધવા માટે,સમીકરણમાં $x=2$ મૂકતા:
$(f(2))^2 + f(2) - 1 = 4(2)^2 - 10(2) + 5$.
$(f(2))^2 + f(2) - 1 = 4(4) - 20 + 5$.
$(f(2))^2 + f(2) - 1 = 16 - 20 + 5$.
$(f(2))^2 + f(2) - 1 = 1$.
$(f(2))^2 + f(2) - 2 = 0$.
ધારો કે $y = f(2)$,તો $y^2 + y - 2 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(y+2)(y-1) = 0$.
આમ,$y = -2$ અથવા $y = 1$.
વિકલ્પો તપાસતા,$-2$ એ વિકલ્પ $D$ માં આપેલ છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{x}{2-x}$ અને $g(x) = \frac{x+1}{x+2}$.
પ્રથમ,$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = \frac{f(x)+1}{f(x)+2} = \frac{\frac{x}{2-x} + 1}{\frac{x}{2-x} + 2} = \frac{\frac{x+2-x}{2-x}}{\frac{x+4-2x}{2-x}} = \frac{2}{4-x}$ શોધો.
હવે,$(g \circ g \circ f)(x) = g((g \circ f)(x)) = g\left(\frac{2}{4-x}\right)$ શોધો.
$g(x) = \frac{x+1}{x+2}$ માં $x = \frac{2}{4-x}$ મૂકતા:
$(g \circ g \circ f)(x) = \frac{\frac{2}{4-x} + 1}{\frac{2}{4-x} + 2} = \frac{\frac{2 + 4 - x}{4-x}}{\frac{2 + 8 - 2x}{4-x}} = \frac{6-x}{10-2x}$.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{\alpha x}{x+1}$ છે.
આપણે $f(f(x))$ શોધવાની જરૂર છે:
$f(f(x)) = f\left(\frac{\alpha x}{x+1}\right) = \frac{\alpha \left(\frac{\alpha x}{x+1}\right)}{\frac{\alpha x}{x+1} + 1}$
પદાવલિનું સાદુંરૂપ આપતા:
$f(f(x)) = \frac{\frac{\alpha^2 x}{x+1}}{\frac{\alpha x + x + 1}{x+1}} = \frac{\alpha^2 x}{(\alpha + 1)x + 1}$
આપેલ છે કે $f(f(x)) = x$,તેથી:
$\frac{\alpha^2 x}{(\alpha + 1)x + 1} = x$
ધારો કે $x \neq 0$,$x$ વડે ભાગતા:
$\frac{\alpha^2}{(\alpha + 1)x + 1} = 1$
$\alpha^2 = (\alpha + 1)x + 1$
આ સમીકરણ તમામ $x$ માટે સાચું હોવા માટે,$x$ નો સહગુણક $0$ હોવો જોઈએ અને અચળ પદ $1$ હોવું જોઈએ:
$\alpha + 1 = 0 \implies \alpha = -1$
અચળ પદ તપાસતા: $(-1)^2 = 1$,જે સત્ય છે.
આમ,$\alpha = -1$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{3x-2}{5x+3}$.
પ્રથમ,$f(1)$ ની ગણતરી કરો:
$f(1) = \frac{3(1)-2}{5(1)+3} = \frac{3-2}{5+3} = \frac{1}{8}$.
હવે,$f(f(1)) = f\left(\frac{1}{8}\right)$ ની ગણતરી કરો:
$f\left(\frac{1}{8}\right) = \frac{3\left(\frac{1}{8}\right)-2}{5\left(\frac{1}{8}\right)+3} = \frac{\frac{3}{8}-2}{\frac{5}{8}+3}$.
અંશ અને છેદને $8$ વડે ગુણતા:
$f\left(\frac{1}{8}\right) = \frac{3-16}{5+24} = \frac{-13}{29}$.

(A) આપેલ વિધેયો $f(x)=2x-3$ અને $g(x)=x^3+5$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સંયોજિત વિધેય $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ શોધીએ.
$(f \circ g)(x) = 2(g(x)) - 3 = 2(x^3+5) - 3 = 2x^3 + 10 - 3 = 2x^3 + 7$.
ધારો કે $y = (f \circ g)(x) = 2x^3 + 7$.
પ્રતિવિધેય $(f \circ g)^{-1}(y)$ શોધવા માટે,આપણે $x$ ને $y$ ના સ્વરૂપમાં મેળવીએ:
$y - 7 = 2x^3$
$x^3 = \frac{y-7}{2}$
$x = \left(\frac{y-7}{2}\right)^{1/3}$.
આમ,$(f \circ g)^{-1}(y) = \left(\frac{y-7}{2}\right)^{1/3}$.
હવે,$y = -9$ મૂકતા:
$(f \circ g)^{-1}(-9) = \left(\frac{-9-7}{2}\right)^{1/3} = \left(\frac{-16}{2}\right)^{1/3} = (-8)^{1/3} = -2$.

(B) આપેલ છે કે $f(x)=\log (\sin x), 0 < x < \pi$ અને $g(x)=\sin ^{-1}(e^{-x}), x \geq 0$.
સૌ પ્રથમ,આપણે સંયોજન વિધેય $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ શોધીએ.
$(f \circ g)(x) = \log(\sin(\sin^{-1}(e^{-x}))) = \log(e^{-x}) = -x$.
હવે,આપણે વિકલન $(f \circ g)^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(-x) = -1$ શોધીએ.
આપેલ છે કે $a = (f \circ g)^{\prime}(\alpha) = -1$ અને $b = (f \circ g)(\alpha) = -\alpha$.
આ કિંમતોને વિકલ્પોમાં મૂકતા:
વિકલ્પ $(B)$ માટે: $a \alpha^2 - b \alpha - a = (-1)\alpha^2 - (-\alpha)\alpha - (-1) = -\alpha^2 + \alpha^2 + 1 = 1$.
આમ,$a \alpha^2 - b \alpha - a = 1$ સાચું છે.

(C) $f(g(x)) = f\left(\frac{7x+4}{5x-3}\right)$
$= \frac{3\left(\frac{7x+4}{5x-3}\right)+4}{5\left(\frac{7x+4}{5x-3}\right)-7}$
$= \frac{21x+12+20x-12}{35x+20-35x+21}$
$= \frac{41x}{41}$
$= x$
તેવી જ રીતે,$g(f(x)) = g\left(\frac{3x+4}{5x-7}\right)$
$= \frac{7\left(\frac{3x+4}{5x-7}\right)+4}{5\left(\frac{3x+4}{5x-7}\right)-3}$
$= \frac{21x+28+20x-28}{15x+20-15x+21}$
$= \frac{41x}{41}$
$= x$
તેથી,$f(g(x)) = g(f(x)) = x$. વિકલ્પ $C$ માં $g(f(x))$ આપેલ છે,જે સાચો જવાબ છે.

(D) આપેલ છે કે $g(x)=1+\sqrt{x}$ અને $f(g(x))=3+2 \sqrt{x}+x$.
આપણે $f(g(x))$ ને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$f(g(x)) = (1 + 2\sqrt{x} + x) + 2$
$f(g(x)) = (1 + \sqrt{x})^2 + 2$
કારણ કે $g(x) = 1 + \sqrt{x}$,આપણે સમીકરણમાં $g(x)$ ની કિંમત મૂકીએ:
$f(g(x)) = [g(x)]^2 + 2$
તેથી,વિધેય $f(x)$ ને $f(x) = x^2 + 2$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
હવે,આપણે $f(f(x))$ શોધવાનું છે:
$f(f(x)) = f(x^2 + 2)$
$f(f(x)) = (x^2 + 2)^2 + 2$
$f(f(x)) = x^4 + 4x^2 + 4 + 2$
$f(f(x)) = x^4 + 4x^2 + 6$.

(C) આપેલ વિધેયો $f(x)=x^2+1$ અને $g(x)=\frac{1}{x}$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સંયોજિત વિધેય $f(g(g(f(x))))$ શોધીએ:
$f(x) = x^2+1$
$g(f(x)) = g(x^2+1) = \frac{1}{x^2+1}$
$g(g(f(x))) = g\left(\frac{1}{x^2+1}\right) = \frac{1}{\frac{1}{x^2+1}} = x^2+1$
$f(g(g(f(x)))) = f(x^2+1) = (x^2+1)^2+1$
હવે,$x=1$ ની કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$f(g(g(f(1)))) = (1^2+1)^2+1$
$= (1+1)^2+1$
$= 2^2+1$
$= 4+1 = 5$

(A) આપેલ વિધેયો $f(x) = e^{|x|}$ અને $g(x) = \log x$ છે.
સંયોજિત વિધેય $(g \circ f)(x)$ ને $g(f(x))$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$g(x)$ માં $f(x)$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે:
$(g \circ f)(x) = g(e^{|x|}) = \log(e^{|x|})$.
લઘુગણકના ગુણધર્મ $\log(a^b) = b \log a$ નો ઉપયોગ કરતા અને જાણીએ છીએ કે $\log e = 1$,તેથી:
$(g \circ f)(x) = |x| \log e = |x| \times 1 = |x|$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{a-x}{a+x}$.
આપણને આપેલ છે કે $(f \circ f)(x) = x$.
$f(f(x)) = f\left(\frac{a-x}{a+x}\right) = \frac{a - \left(\frac{a-x}{a+x}\right)}{a + \left(\frac{a-x}{a+x}\right)} = x$.
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{a(a+x) - (a-x)}{a(a+x) + (a-x)} = x$
$\frac{a^2 + ax - a + x}{a^2 + ax + a - x} = x$
$a^2 + ax - a + x = x(a^2 + ax + a - x)$
$a^2 + ax - a + x = a^2x + ax^2 + ax - x^2$
પદોને ગોઠવતા:
$(a-1)x^2 + (a^2-1)x - a(a-1) = 0$
$(a-1)(x^2 + (a+1)x - a) = 0$
$(a-1)(x+a)(x-1) = 0$
આ સમીકરણ તમામ $x \neq -a$ માટે સાચું હોવું જોઈએ,તેથી $a-1 = 0$ હોવું જોઈએ,એટલે કે $a = 1$.
આમ,$f(x) = \frac{1-x}{1+x}$.
હવે,$f\left(-\frac{1}{2}\right)$ ની ગણતરી કરતા:
$f\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1 - (-1/2)}{1 + (-1/2)} = \frac{1 + 1/2}{1 - 1/2} = \frac{3/2}{1/2} = 3$.

(B) અહીં આપણને $f(x) = \frac{x}{2x+1}$ અને $g(x) = \frac{x}{x+1}$ આપેલ છે.
$(f \circ g)(x)$ શોધવા માટે,આપણે $f(g(x))$ ની ગણતરી કરીશું:
$(f \circ g)(x) = f\left(\frac{x}{x+1}\right)$
$f(x)$ વિધેયમાં $\frac{x}{x+1}$ મૂકતા:
$(f \circ g)(x) = \frac{\left(\frac{x}{x+1}\right)}{2\left(\frac{x}{x+1}\right) + 1}$
સાદું રૂપ આપવા માટે અંશ અને છેદને $(x+1)$ વડે ગુણતા:
$(f \circ g)(x) = \frac{x}{2x + 1(x+1)}$
$(f \circ g)(x) = \frac{x}{2x + x + 1}$
$(f \circ g)(x) = \frac{x}{3x + 1}$

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{4x+7}{7x-4}$.
પ્રથમ,$f(2)$ ની ગણતરી કરો:
$f(2) = \frac{4(2)+7}{7(2)-4} = \frac{8+7}{14-4} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$.
ત્યારબાદ,$f[f(2)] = f(\frac{3}{2})$ ની ગણતરી કરો:
$f(\frac{3}{2}) = \frac{4(\frac{3}{2})+7}{7(\frac{3}{2})-4} = \frac{6+7}{\frac{21}{2}-4} = \frac{13}{\frac{21-8}{2}} = \frac{13 \times 2}{13} = 2$.
છેલ્લે,$f\{f[f(2)]\} = f(2)$ ની ગણતરી કરો:
$f(2) = \frac{3}{2}$.
વૈકલ્પિક રીતે,નોંધો કે $f(f(x)) = x$,જેનો અર્થ છે કે $f(f(f(x))) = f(x)$.
આમ,$f(f(f(2))) = f(2) = \frac{3}{2}$.

(B) $(f \circ g)(x) = f[g(x)] = f(2x + 1) = (2x + 1)^{2} - 3(2x + 1) + 4$
$= 4x^{2} + 4x + 1 - 6x - 3 + 4 = 4x^{2} - 2x + 2$
આપેલ છે કે $f(x) = (f \circ g)(x)$
$\therefore x^{2} - 3x + 4 = 4x^{2} - 2x + 2$
$3x^{2} + x - 2 = 0$
$3x^{2} + 3x - 2x - 2 = 0$
$3x(x + 1) - 2(x + 1) = 0$
$(x + 1)(3x - 2) = 0$
$\therefore x = -1, \frac{2}{3}$

(C) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{3x+4}{5x-7}$ અને $g(x) = \frac{7x+4}{5x-3}$.
આપણે $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ શોધવાનું છે.
$g(f(x)) = \frac{7(f(x)) + 4}{5(f(x)) - 3}$
$f(x) = \frac{3x+4}{5x-7}$ મૂકતા:
$g(f(x)) = \frac{7(\frac{3x+4}{5x-7}) + 4}{5(\frac{3x+4}{5x-7}) - 3}$
અંશ અને છેદને $(5x-7)$ વડે ગુણતા:
$g(f(x)) = \frac{7(3x+4) + 4(5x-7)}{5(3x+4) - 3(5x-7)}$
$g(f(x)) = \frac{21x + 28 + 20x - 28}{15x + 20 - 15x + 21}$
$g(f(x)) = \frac{41x}{41} = x$
તેથી,$(g \circ f)(3) = 3$.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = 2x^{2} + bx + c$.
કારણ કે $f(0) = 3$,તેથી $2(0)^{2} + b(0) + c = 3$,જે આપણને $c = 3$ આપે છે.
હવે,$f(x) = 2x^{2} + bx + 3$.
આપેલ છે કે $f(2) = 1$,તેથી $2(2)^{2} + b(2) + 3 = 1$.
$8 + 2b + 3 = 1 \Rightarrow 2b + 11 = 1 \Rightarrow 2b = -10 \Rightarrow b = -5$.
આમ,$f(x) = 2x^{2} - 5x + 3$.
પ્રથમ,$f(1) = 2(1)^{2} - 5(1) + 3 = 2 - 5 + 3 = 0$ શોધો.
હવે,$(f \circ f)(1) = f(f(1)) = f(0)$.
કારણ કે $f(0) = 3$,તેથી $(f \circ f)(1) = 3$ મળે છે.

(D) આપેલ વિધેયો $f(x)=3x+6$ અને $g(x)=4x+k$ છે.
$f \circ g(x) = g \circ f(x)$ હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$f(g(x)) = g(f(x))$
$f(4x+k) = g(3x+6)$
વિધેયોમાં પદો મૂકતા:
$3(4x+k)+6 = 4(3x+6)+k$
$12x + 3k + 6 = 12x + 24 + k$
બંને બાજુથી $12x$ બાદ કરતા:
$3k + 6 = 24 + k$
$k$ માટે ઉકેલતા:
$3k - k = 24 - 6$
$2k = 18$
$k = 9$

(A) આપેલ છે: $f(x) = 3x - 2$ અને $g(x) = x^2$.
સંયોજિત વિધેયની વ્યાખ્યા મુજબ,$f \circ g(x) = f(g(x))$.
વિધેય $f(x)$ માં $g(x) = x^2$ મૂકતા:
$f(g(x)) = f(x^2)$.
કારણ કે $f(x) = 3x - 2$,તેથી $x$ ની જગ્યાએ $x^2$ મૂકતા:
$f(x^2) = 3(x^2) - 2 = 3x^2 - 2$.
તેથી,$f \circ g(x) = 3x^2 - 2$.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}$.
આપણને આપેલ છે કે $f \circ f(x) = x$.
આનો અર્થ એ છે કે $f(f(x)) = x$.
$f(x)$ ની કિંમત વિધેયમાં મૂકતા:
$f\left(\frac{ax + b}{cx + d}\right) = x$
$\frac{a\left(\frac{ax + b}{cx + d}\right) + b}{c\left(\frac{ax + b}{cx + d}\right) + d} = x$
અંશ અને છેદને $(cx + d)$ વડે ગુણતા:
$\frac{a(ax + b) + b(cx + d)}{c(ax + b) + d(cx + d)} = x$
$\frac{a^2x + ab + bcx + bd}{acx + bc + cdx + d^2} = x$
$\frac{(a^2 + bc)x + (ab + bd)}{(ac + cd)x + (bc + d^2)} = x$
$(a^2 + bc)x + (ab + bd) = x((ac + cd)x + (bc + d^2))$
$(a^2 + bc)x + b(a + d) = (ac + cd)x^2 + (bc + d^2)x$
આ સમીકરણ દરેક $x$ માટે સાચું હોવા માટે,સહગુણકો સમાન હોવા જોઈએ. અચળ પદની સરખામણી કરતા,આપણને $b(a + d) = 0$ મળે છે. જો $b \neq 0$ હોય,તો $a + d = 0$,જેનો અર્થ છે કે $d = -a$. જો $d = -a$ હોય,તો પદાવલિ $\frac{ax + b}{cx - a}$ બને છે,અને $f(f(x)) = \frac{a(\frac{ax+b}{cx-a}) + b}{c(\frac{ax+b}{cx-a}) - a} = \frac{a^2x + ab + bcx - ab}{acx + bc - acx + a^2} = \frac{x(a^2 + bc)}{a^2 + bc} = x$. આમ,$d = -a$ એ જરૂરી શરત છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x)=2x-3$ અને $g(x)=x^{3}+5$.
સૌ પ્રથમ,સંયોજિત વિધેય $(fog)(x)$ શોધો:
$(fog)(x) = f(g(x)) = f(x^{3}+5) = 2(x^{3}+5)-3 = 2x^{3}+10-3 = 2x^{3}+7$.
ધારો કે $y = (fog)(x) = 2x^{3}+7$.
વ્યસ્ત વિધેય શોધવા માટે,$y$ ના સ્વરૂપમાં $x$ ની કિંમત શોધો:
$y-7 = 2x^{3} \Rightarrow x^{3} = \frac{y-7}{2} \Rightarrow x = \left(\frac{y-7}{2}\right)^{\frac{1}{3}}$.
$y$ ને $x$ વડે બદલતા,આપણને $(fog)^{-1}(x) = \left(\frac{x-7}{2}\right)^{\frac{1}{3}}$ મળે છે.

(A) આપેલ છે: $f(x)=\frac{a-x}{a+x}$.
કારણ કે $(f \circ f)(x)=x$,તેથી:
$f(f(x)) = \frac{a-f(x)}{a+f(x)} = x$
$f(x) = \frac{a-x}{a+x}$ મૂકતા:
$\frac{a-\frac{a-x}{a+x}}{a+\frac{a-x}{a+x}} = x$
$\frac{a(a+x)-(a-x)}{a(a+x)+(a-x)} = x$
$\frac{a^2+ax-a+x}{a^2+ax+a-x} = x$
$a^2+ax-a+x = x(a^2+ax+a-x)$
$a^2+ax-a+x = a^2x+ax^2+ax-x^2$
$(a-1)x^2 + (a^2-1)x - (a^2-a) = 0$
$(a-1)x^2 + (a-1)(a+1)x - a(a-1) = 0$
આ સમીકરણ તમામ $x$ માટે સાચું હોવા માટે,$a-1=0$ હોવું જોઈએ,તેથી $a=1$.
આમ,$f(x) = \frac{1-x}{1+x}$.
હવે,$f\left(-\frac{1}{5}\right) = \frac{1-(-1/5)}{1+(-1/5)} = \frac{1+1/5}{1-1/5} = \frac{6/5}{4/5} = \frac{6}{4} = 1.5$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{1+x}{1-x}$.
આપણે $f(x) \cdot f(y) = \left(\frac{1+x}{1-x}\right) \cdot \left(\frac{1+y}{1-y}\right)$ શોધવાનું છે.
$= \frac{1+y+x+xy}{1-y-x+xy} = \frac{1+xy + (x+y)}{1+xy - (x+y)}$.
અંશ અને છેદને $(1+xy)$ વડે ભાગતા:
$= \frac{1 + \frac{x+y}{1+xy}}{1 - \frac{x+y}{1+xy}}$.
આને $f(z) = \frac{1+z}{1-z}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $z = \frac{x+y}{1+xy}$ મળે છે.
તેથી,$f(x) \cdot f(y) = f\left(\frac{x+y}{1+xy}\right)$.

(C) સંયોજિત વિધેય $(g \circ f)(x)$ ને $g(f(x))$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $f(x) = 2x^2 - 5$ અને $g(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$.
$g(x)$ માં $f(x)$ ની કિંમત મૂકતા:
$(g \circ f)(x) = g(2x^2 - 5) = \frac{2x^2 - 5}{(2x^2 - 5)^2 + 1}$.
હવે,છેદનું વિસ્તરણ કરતા:
$(2x^2 - 5)^2 + 1 = (4x^4 - 20x^2 + 25) + 1 = 4x^4 - 20x^2 + 26$.
તેથી,$(g \circ f)(x) = \frac{2x^2 - 5}{4x^4 - 20x^2 + 26}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = (3 - x^5)^{\frac{1}{5}}$ છે.
$(f \circ f)(x)$ શોધવા માટે,આપણે $f(f(x))$ ની ગણતરી કરીશું.
$(f \circ f)(x) = f(f(x)) = f((3 - x^5)^{\frac{1}{5}})$.
વિધેયની વ્યાખ્યામાં $f(x)$ ની કિંમત મૂકતા:
$(f \circ f)(x) = (3 - ((3 - x^5)^{\frac{1}{5}})^5)^{\frac{1}{5}}$.
અંદરના પદનું સાદુરૂપ આપતા: $((3 - x^5)^{\frac{1}{5}})^5 = 3 - x^5$.
તેથી,$(f \circ f)(x) = (3 - (3 - x^5))^{\frac{1}{5}}$.
$(f \circ f)(x) = (3 - 3 + x^5)^{\frac{1}{5}}$.
$(f \circ f)(x) = (x^5)^{\frac{1}{5}} = x$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = (3 - x^3)^{\frac{1}{3}}$.
પ્રથમ,$(f \circ f)(x) = f(f(x)) = f((3 - x^3)^{\frac{1}{3}})$ શોધો.
$f(x)$ ને વિધેયમાં મૂકતા: $f(f(x)) = (3 - ((3 - x^3)^{\frac{1}{3}})^3)^{\frac{1}{3}}$.
સાદું રૂપ આપતા: $f(f(x)) = (3 - (3 - x^3))^{\frac{1}{3}} = (3 - 3 + x^3)^{\frac{1}{3}} = (x^3)^{\frac{1}{3}} = x$.
હવે,$f \circ (f \circ f)(x) = f(f(f(x))) = f(x)$ શોધો.
તેથી,$f \circ (f \circ f)(x) = (3 - x^3)^{\frac{1}{3}}$.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = 8x^3$ અને $g(x) = x^{1/3}$.
સંયોજિત વિધેયની વ્યાખ્યા મુજબ,$(f \circ g)(x) = f(g(x))$.
$f(x)$ માં $g(x)$ ની કિંમત મૂકતા:
$(f \circ g)(x) = f(x^{1/3}) = 8(x^{1/3})^3$.
ઘાતાંકના નિયમ $(a^m)^n = a^{m \times n}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $(x^{1/3})^3 = x^{(1/3) \times 3} = x^1 = x$ મળે છે.
તેથી,$(f \circ g)(x) = 8x$.

(D) આપેલ છે કે $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = \sin x$ અને $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = (\sin \sqrt{x})^2$.
વિકલ્પો ચકાસતા:
$(a)$ જો $f(x) = \sin^2 x$ અને $g(x) = x$ હોય,તો $f(g(x)) = \sin^2 x$ અને $g(f(x)) = \sin^2 x$ મળે. આ શરતો સાથે મેળ ખાતું નથી.
$(b)$ જો $f(x) = \sin \sqrt{x}$ અને $g(x) = \sqrt{x}$ હોય,તો $f(g(x)) = \sin \sqrt{\sqrt{x}} = \sin x^{1/4}$ અને $g(f(x)) = \sqrt{\sin \sqrt{x}}$ મળે.
$(c)$ જો $f(x) = \sin^2 x$ અને $g(x) = \sqrt{x}$ હોય,તો $f(g(x)) = f(\sqrt{x}) = \sin^2 \sqrt{x} = (\sin \sqrt{x})^2$ અને $g(f(x)) = g(\sin^2 x) = \sqrt{\sin^2 x} = |\sin x|$ મળે.
$(d)$ જો $f(x) = \sin \sqrt{x}$ અને $g(x) = x^2$ હોય,તો $f(g(x)) = f(x^2) = \sin \sqrt{x^2} = \sin |x|$ અને $g(f(x)) = g(\sin \sqrt{x}) = (\sin \sqrt{x})^2$ મળે.
નોંધ: પ્રશ્નમાં આપેલ વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે શરતોનું સંપૂર્ણ પાલન કરતા નથી,પરંતુ વિકલ્પ $(d)$ સૌથી નજીકનો જવાબ છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = x^2$ અને $g(x) = \sqrt{x}$.
$(f \circ g)(x) = f(g(x))$ માટે,પ્રદેશ $g(x)$ ના પ્રદેશ દ્વારા મર્યાદિત છે,જે $[0, \infty)$ છે.
તેથી,$(f \circ g)(x) = (\sqrt{x})^2 = x$ જ્યાં $x \ge 0$.
$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = \sqrt{x^2} = |x|$.
વિકલ્પો તપાસતા:
$A$: $(f \circ g)(-4)$ અવ્યાખ્યાયિત છે કારણ કે $-4$ એ $g(x) = [0, \infty)$ ના પ્રદેશમાં નથી.
$B$: $(f \circ g)(2) = 2$.
$C$: $(g \circ f)(-2) = |-2| = 2$.
$D$: $(g \circ f)(4) = |4| = 4$.
આમ,$(f \circ g)(-4)$ અવ્યાખ્યાયિત હોવાથી,વિકલ્પ $A$ સાચું નથી.

(D) આપેલ છે કે $f(x)=3 x^2-5$ અને $g(x)=\frac{x}{x^2+1}$.
આપણે સંયોજિત વિધેય $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ શોધવાનું છે.
$g(x)$ માં $f(x)$ ની કિંમત મૂકતા:
$(g \circ f)(x) = g(3 x^2-5) = \frac{3 x^2-5}{(3 x^2-5)^2+1}$.
છેદનું વિસ્તરણ કરતા:
$(3 x^2-5)^2+1 = (9 x^4 - 30 x^2 + 25) + 1 = 9 x^4 - 30 x^2 + 26$.
તેથી,$(g \circ f)(x) = \frac{3 x^2-5}{9 x^4-30 x^2+26}$.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{1}{x+2}$ છે.
સંયોજિત વિધેય $y = f(f(x))$ માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે $f(x)$ એ $x = -2$ આગળ વ્યાખ્યાયિત નથી.
હવે,$f(f(x)) = f\left(\frac{1}{x+2}\right) = \frac{1}{\frac{1}{x+2} + 2}$ ની ગણતરી કરીએ.
છેદનું સાદુંરૂપ આપતા: $\frac{1}{x+2} + 2 = \frac{1 + 2(x+2)}{x+2} = \frac{1 + 2x + 4}{x+2} = \frac{2x + 5}{x+2}$.
તેથી,$f(f(x)) = \frac{x+2}{2x+5}$.
આ સંયોજિત વિધેય ત્યારે વ્યાખ્યાયિત નથી જ્યારે છેદ $2x+5 = 0$ થાય,જે આપણને $x = -\frac{5}{2}$ આપે છે.
ઉપરાંત,મૂળ વિધેય $f(x)$ વ્યાખ્યાયિત હોવું જોઈએ,તેથી $x \neq -2$.
આમ,અસતત બિંદુઓ $x = -2$ અને $x = -\frac{5}{2}$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચું અસતત બિંદુ $-\frac{5}{2}$ છે.

(D) આપેલ છે કે $g(x)=x-\frac{1}{x}$.
આપણને $f \circ g(x) = x^3-\frac{1}{x^3}$ આપેલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a-b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a-b)$,જેનો અર્થ છે કે $a^3-b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b)$.
$a=x$ અને $b=\frac{1}{x}$ મૂકતા,આપણને મળે $x^3-\frac{1}{x^3} = (x-\frac{1}{x})^3 + 3(x)(\frac{1}{x})(x-\frac{1}{x})$.
આમ,$f \circ g(x) = (x-\frac{1}{x})^3 + 3(x-\frac{1}{x})$.
કારણ કે $g(x) = x-\frac{1}{x}$,આપણે લખી શકીએ $f(g(x)) = (g(x))^3 + 3(g(x))$.
$g(x)$ ને $x$ દ્વારા બદલતા,આપણને $f(x) = x^3 + 3x$ મળે છે.
હવે,$f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + 3x) = 3x^2 + 3$ મળે છે.

(C) આપેલ વિધેયો $f(x) = |x| + x$ અને $g(x) = |x| - x$ છે.
$x < 0$ માટે,આપણી પાસે $|x| = -x$ છે.
તેથી,$g(x) = -x - x = -2x$.
હવે,આપણે $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ શોધવાનું છે.
$g(x) = -2x$ ને $f(x)$ માં મૂકતા,આપણને $f(-2x) = |-2x| + (-2x)$ મળે છે.
કારણ કે $x < 0$,તેથી $-2x > 0$,એટલે કે $|-2x| = -2x$.
તેથી,$f(-2x) = -2x - 2x = -4x$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{x}{x^{2}+1}$.
સૌ પ્રથમ,$x = 2$ ને વિધેયમાં મૂકીને $f(2)$ ની ગણતરી કરો:
$f(2) = \frac{2}{2^{2}+1} = \frac{2}{4+1} = \frac{2}{5}$.
હવે,$f(2) = \frac{2}{5}$ ને ફરીથી વિધેયમાં મૂકીને $f(f(2))$ ની ગણતરી કરો:
$f(f(2)) = f\left(\frac{2}{5}\right) = \frac{\frac{2}{5}}{\left(\frac{2}{5}\right)^{2}+1}$.
છેદનું સાદું રૂપ આપતા:
$\left(\frac{2}{5}\right)^{2} + 1 = \frac{4}{25} + 1 = \frac{4+25}{25} = \frac{29}{25}$.
તેથી,$f(f(2)) = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{29}{25}} = \frac{2}{5} \times \frac{25}{29} = \frac{2 \times 5}{29} = \frac{10}{29}$.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = x^3 - x$ અને $g(x) = \sin^2 x$.
પ્રથમ,$g\left(\frac{\pi}{6}\right)$ ની ગણતરી કરો:
$g\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sin^2\left(\frac{\pi}{6}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$.
હવે,આ કિંમતને $f(x)$ માં મૂકો:
$f\left(g\left(\frac{\pi}{6}\right)\right) = f\left(\frac{1}{4}\right) = \left(\frac{1}{4}\right)^3 - \frac{1}{4} = \frac{1}{64} - \frac{1}{4} = \frac{1 - 16}{64} = -\frac{15}{64}$.

(C) આપેલ છે: $f(x) = x^3 - x$ અને $g(x) = \sin(2x)$.
આપણે $f(g(x)) > 0$ ઉકેલવાની જરૂર છે.
$f(g(x)) = (\sin 2x)^3 - \sin 2x > 0$.
અવયવ પાડતા: $\sin 2x (\sin^2 2x - 1) > 0$.
કારણ કે $\sin^2 2x - 1 = -\cos^2 2x$,તેથી: $-\sin 2x \cos^2 2x > 0$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\sin 2x \cos^2 2x < 0$.
આ માટે,$\sin 2x < 0$ અને $\cos 2x \neq 0$ હોવું જોઈએ.
અંતરાલ $x \in (0, 2\pi)$ માં,$2x \in (0, 4\pi)$.
$\sin 2x < 0$ જ્યારે $2x \in (\pi, 2\pi) \cup (3\pi, 4\pi)$,જેનો અર્થ છે $x \in (\frac{\pi}{2}, \pi) \cup (\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$.
ઉપરાંત,$\cos 2x \neq 0$ એટલે કે $2x \neq \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}$,તેથી $x \neq \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$.
આ બિંદુઓને અંતરાલમાંથી બાકાત રાખતા,આપણને $x \in (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}) \cup (\frac{3\pi}{4}, \pi) \cup (\frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{4}) \cup (\frac{7\pi}{4}, 2\pi)$ મળે છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,અંતરાલ $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}) \cup (\frac{3\pi}{4}, \pi)$ એ ઉકેલ ગણનો એક ભાગ છે.

(A) આપેલ વિધેયો $f(x) = 2x - 3$ અને $g(x) = 5x^2 - 2$ છે.
આપણે સંયોજિત વિધેય $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ શોધવાનું છે.
$f(x)$ ને $g(x)$ માં મૂકતા:
$(g \circ f)(x) = g(2x - 3) = 5(2x - 3)^2 - 2$.
બધા વાસ્તવિક $x$ માટે $(2x - 3)^2 \geq 0$ હોવાથી,$(2x - 3)^2$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $0$ છે જ્યારે $2x - 3 = 0$,એટલે કે $x = 3/2$.
તેથી,$(g \circ f)(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $5(0) - 2 = -2$ થાય.

(A) આપેલ છે કે,$f(x) = \sqrt{x} - 1$ અને $g\{f(x)\} = x + 2\sqrt{x} + 1$.
આપણે $g\{f(x)\}$ ના પદને આ રીતે લખી શકીએ:
$g\{f(x)\} = (\sqrt{x})^2 + 2\sqrt{x} + 1 = (\sqrt{x} + 1)^2$.
ધારો કે $f(x) = t$. તેથી $t = \sqrt{x} - 1$,જેનો અર્થ છે કે $\sqrt{x} = t + 1$.
હવે $\sqrt{x} = t + 1$ ને $g\{f(x)\}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$g(t) = (t + 1 + 1)^2 = (t + 2)^2$.
તેથી,$t$ ને $x$ વડે બદલતા,આપણને $g(x) = (x + 2)^2$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x)=3+2x$.
$g_1(x)=f(x)=3+2x$.
$g_2(x)=f(f(x))=3+2(3+2x)=9+4x$.
$g_3(x)=f(g_2(x))=3+2(9+4x)=21+8x$.
પેટર્નનું અવલોકન કરતા,$g_n(x)=3(2^n-1)+2^n x$.
બધી રેખાઓ $y=g_n(x)$ એક નિશ્ચિત બિંદુ $(\alpha, \beta)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,બધા $n \in N$ માટે $\beta = 3(2^n-1) + 2^n \alpha$ મળે.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $\beta = 3 \cdot 2^n - 3 + 2^n \alpha = 2^n(3+\alpha) - 3$.
આ સમીકરણ $n$ થી સ્વતંત્ર રહે તે માટે,$2^n$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
તેથી,$3+\alpha=0 \Rightarrow \alpha=-3$.
$\alpha=-3$ ને સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\beta = -3$ મળે છે.
તેથી,નિશ્ચિત બિંદુ $(-3, -3)$ છે.
અંતે,$\alpha+\beta = -3 + (-3) = -6$.