Composition of Functions Questions in Gujarati

(C) $f \circ g(x) = f(\sqrt{x^2 + 1}) = (x^2 + 1) - 1 = x^2$.
અહીં $f \circ g(x)$ નો સહપ્રદેશ $R$ છે અને વિસ્તાર $[0, \infty)$ છે,તેથી $f \circ g$ એ વ્યાપ્ત વિધેય નથી,પરિણામે તે વ્યસ્ત સંપન્ન નથી.
હવે,$(h \circ f \circ g)(x) = h(f \circ g(x)) = h(x^2)$.
દરેક $x \in R$ માટે $x^2 \geq 0$ હોવાથી,$h(x^2) = x^2$ મળે છે.
આમ,$(h \circ f \circ g)(x) = x^2$.
વધુમાં,$h(x)$ એ તદેવ વિધેય નથી કારણ કે $x < 0$ માટે $h(x) = 0 \neq x$ છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{x-2}{2x+1}$.
આપણને સમીકરણ $f(f(x)) = -x$ આપેલ છે.
$f(x)$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{f(x)-2}{2f(x)+1} = -x$
$\frac{\frac{x-2}{2x+1}-2}{2(\frac{x-2}{2x+1})+1} = -x$
$\frac{x-2-2(2x+1)}{2(x-2)+1(2x+1)} = -x$
$\frac{x-2-4x-2}{2x-4+2x+1} = -x$
$\frac{-3x-4}{4x-3} = -x$
$\frac{3x+4}{4x-3} = x$
$3x+4 = x(4x-3)$
$3x+4 = 4x^2-3x$
$4x^2-6x-4 = 0$
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $2x^2-3x-2 = 0$ મળે છે.
$\alpha$ અને $\beta$ એ આ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ હોવાથી,વિએટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha+\beta = \frac{3}{2}$ અને $\alpha\beta = -1$.
આપણે $4(\alpha^2+\beta^2)$ શોધવાનું છે.
નિત્યસમ $\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\alpha^2+\beta^2 = (\frac{3}{2})^2 - 2(-1) = \frac{9}{4} + 2 = \frac{17}{4}$.
તેથી,$4(\alpha^2+\beta^2) = 4 \times \frac{17}{4} = 17$.

(B) આપેલ વિધેયો $f(x) = 2x + 1$ અને $g(x) = x^2 - 2$ છે.
સંયોજિત વિધેય $(g \circ f)(x)$ શોધવા માટે,આપણે વ્યાખ્યા $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$f(x)$ ને $g(x)$ માં મૂકતા:
$g(f(x)) = g(2x + 1)$.
કારણ કે $g(x) = x^2 - 2$,આપણે $x$ ની જગ્યાએ $(2x + 1)$ મૂકીએ છીએ:
$g(2x + 1) = (2x + 1)^2 - 2$.
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીને વર્ગનું વિસ્તરણ કરતા:
$(2x + 1)^2 = (2x)^2 + 2(2x)(1) + 1^2 = 4x^2 + 4x + 1$.
હવે,$2$ બાદ કરતા:
$4x^2 + 4x + 1 - 2 = 4x^2 + 4x - 1$.
તેથી,$(g \circ f)(x) = 4x^2 + 4x - 1$.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \min \{x - [x], -x - [-x]\}$ જ્યાં $x \in (0, 1)$.
$x \in (0, 1)$ હોવાથી,$[x] = 0$ થાય.
વળી,$x \in (0, 1)$ માટે,$-x \in (-1, 0)$,તેથી $[-x] = -1$ થાય.
આ કિંમતો વિધેયમાં મૂકતા:
$f(x) = \min \{x - 0, -x - (-1)\} = \min \{x, 1 - x\}$.
હવે,સંયોજિત વિધેય $(f \circ f \circ f \circ f)(x)$ ની ગણતરી કરીએ:
જો $x \in (0, 1/2]$ હોય,તો $x \le 1 - x$,તેથી $f(x) = x$.
આથી $f(f(x)) = f(x) = x$,અને આ રીતે આગળ વધતા $(f \circ f \circ f \circ f)(x) = x$ મળે.
જો $x \in (1/2, 1)$ હોય,તો $1 - x < x$,તેથી $f(x) = 1 - x$.
આથી $f(f(x)) = f(1 - x) = \min \{1 - x, 1 - (1 - x)\} = \min \{1 - x, x\} = 1 - x$.
આમ,$(f \circ f)(x) = f(x)$ મળે.
પરિણામે,$(f \circ f \circ f \circ f)(x) = f(f(x)) = f(x)$.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = x^3$ અને $g(x) = 3^x$.
આપણે $(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x)$ માટે $x \neq 0$ ઉકેલવાનું છે.
$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(3^x) = (3^x)^3 = 3^{3x}$.
$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x^3) = 3^{x^3}$.
બંને પદોને સરખાવતા: $3^{3x} = 3^{x^3}$.
આધાર સમાન હોવાથી,ઘાતાંકોને સરખાવતા: $3x = x^3$.
પદોને ગોઠવતા: $x^3 - 3x = 0$.
$x$ સામાન્ય લેતા: $x(x^2 - 3) = 0$.
$x \neq 0$ હોવાથી,આપણને $x^2 - 3 = 0$ મળે છે.
આમ,જરૂરી દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 3 = 0$ છે.

(B) આપેલ છે કે,$f(x) = [x]$ અને $g(x) = |x|$.
આપણે $(g \circ f)\left(\frac{-5}{3}\right)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,$(g \circ f)\left(\frac{-5}{3}\right) = g\left(f\left(\frac{-5}{3}\right)\right)$.
પ્રથમ,$f\left(\frac{-5}{3}\right) = \left[\frac{-5}{3}\right]$ ની ગણતરી કરીએ.
કારણ કે $\frac{-5}{3} = -1.666...$,તેથી $-1.666...$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક $-2$ છે.
તેથી,$f\left(\frac{-5}{3}\right) = -2$.
હવે,આ કિંમતને $g(x)$ માં મૂકતા:
$(g \circ f)\left(\frac{-5}{3}\right) = g(-2) = |-2|$.
$-2$ નો માનાંક $2$ થાય છે,તેથી $(g \circ f)\left(\frac{-5}{3}\right) = 2$.

(B) આપેલ છે કે,$f(x)=x^2$ અને $g(x)=\frac{1}{x^2}$.
આપણે $x^4(f \circ g)(x)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
સૌ પ્રથમ,સંયોજિત વિધેય $(f \circ g)(x)$ ની ગણતરી કરીએ:
$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f\left(\frac{1}{x^2}\right) = \left(\frac{1}{x^2}\right)^2 = \frac{1}{x^4}$.
હવે,આને $x^4$ વડે ગુણીએ:
$x^4(f \circ g)(x) = x^4 \times \frac{1}{x^4} = 1$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપેલ છે કે $g(x) = 1 + x - [x]$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $x - [x] = \{x\}$,જ્યાં $\{x\}$ એ અપૂર્ણાંક ભાગ વિધેય છે,તેથી $g(x) = 1 + \{x\}$.
અપૂર્ણાંક ભાગ વિધેય $\{x\}$ નો વિસ્તાર $[0, 1)$ છે.
તેથી,$g(x) = 1 + \{x\} \in [1, 2)$.
હવે,આપણે $f(g(x))$ ની કિંમત શોધીએ. કારણ કે તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે $g(x) \geq 1$ છે,અને $f(x)$ ની વ્યાખ્યા મુજબ $x > 0$ માટે $f(x) = 5$ છે,તેથી તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે $f(g(x)) = 5$ થાય.

(B) આપેલ છે કે,$(g \circ f)^{-1}(t) = t-2$.
બંને બાજુ પ્રતિવિધેય લેતા,આપણને $(g \circ f)(t) = (t-2)^{-1}$ મળે છે.
કારણ કે $h(t) = t-2$ નું પ્રતિવિધેય $h^{-1}(t) = t+2$ છે,તેથી $(g \circ f)(t) = t+2$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $g(f(t)) = t+2$.
$f(t) = 3t-2$ મૂકતા,આપણને $g(3t-2) = t+2$ મળે છે.
ધારો કે $u = 3t-2$. તો $3t = u+2$,જેનો અર્થ છે કે $t = \frac{u+2}{3}$.
આ કિંમત $g(u)$ ના પદમાં મૂકતા:
$g(u) = \frac{u+2}{3} + 2 = \frac{u+2+6}{3} = \frac{u+8}{3}$.
$u$ ને $t$ વડે બદલતા,આપણને $g(t) = \frac{t+8}{3}$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે,$f(x) = (2020 - x^{2019})^{1 / 2019}$.
પ્રથમ,આપણે $f \circ f(x) = f(f(x))$ શોધીએ.
$f(f(x)) = (2020 - (f(x))^{2019})^{1 / 2019}$.
$f(x)$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે $f(f(x)) = (2020 - ((2020 - x^{2019})^{1 / 2019})^{2019})^{1 / 2019}$.
$f(f(x)) = (2020 - (2020 - x^{2019}))^{1 / 2019} = (x^{2019})^{1 / 2019} = x$.
કારણ કે $f \circ f(x) = x$,વિધેય $f$ એ પોતાનું પ્રતિવિધેય છે.
તેથી,$(f \circ f \circ f \circ f)(x) = (f \circ f)(f \circ f(x)) = f \circ f(x) = x$.
આમ,$(f \circ f \circ f \circ f) \left( \frac{2019}{2020} \right) = \frac{2019}{2020}$.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{3x+5}{7x-3}$ છે.
$f^{-1}(x)$ શોધવા માટે,ધારો કે $y = \frac{3x+5}{7x-3}$.
$y(7x-3) = 3x+5 \Rightarrow 7xy - 3y = 3x+5$.
$x(7y-3) = 3y+5 \Rightarrow x = \frac{3y+5}{7y-3}$.
આમ,$f^{-1}(x) = \frac{3x+5}{7x-3} = f(x)$. તેથી,વિકલ્પ $A$ સત્ય છે.
હવે,$(f \circ f)(x) = f(f(x)) = \frac{3(\frac{3x+5}{7x-3})+5}{7(\frac{3x+5}{7x-3})-3} = \frac{9x+15+35x-15}{21x+35-21x+9} = \frac{44x}{44} = x$. તેથી,વિકલ્પ $B$ સત્ય છે.
કારણ કે $(f \circ f)(x) = x$,તેથી $(f \circ f \circ f)(x) = f((f \circ f)(x)) = f(x) \neq x$.
વળી,$(f \circ f \circ f \circ f)(x) = (f \circ f)(f \circ f)(x) = x$. તેથી,વિકલ્પ $D$ સત્ય છે.
આથી,જે વિધાન સત્ય નથી તે $(f \circ f \circ f)(x) = x$ છે.

(B) આપેલ છે કે સંયોજિત વિધેય $g \circ f: A \rightarrow C$ વ્યાપ્ત છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,દરેક $z \in C$ માટે,એક એવો ઘટક $x \in A$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $(g \circ f)(x) = z$ થાય.
આને $g(f(x)) = z$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $f(x) = y$,જ્યાં $y \in B$,તો આપણને $g(y) = z$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે દરેક $z \in C$ માટે,$B$ માં ઓછામાં ઓછો એક એવો ઘટક $y$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $g(y) = z$ થાય.
તેથી,$g$ એ વ્યાપ્ત વિધેય હોવું આવશ્યક છે.
આમ,જરૂરી શરત એ છે કે $g$ વ્યાપ્ત છે.

(C) આપેલ છે કે તમામ $x \in D$ માટે $(g \circ j \circ f)(x) = f(x)$ છે.
વિધેયોની વ્યાખ્યાઓ મૂકતા:
$g(j(f(x))) = f(x)$
કારણ કે $g(x) = 1 - x$,તેથી:
$1 - j(f(x)) = f(x)$
$f(x) = \frac{1}{x}$ મૂકતા:
$1 - j(\frac{1}{x}) = \frac{1}{x}$
$j(\frac{1}{x})$ માટે સમીકરણને ગોઠવતા:
$j(\frac{1}{x}) = 1 - \frac{1}{x}$
ધારો કે $t = \frac{1}{x}$. તો $x = \frac{1}{t}$ થાય.
સમીકરણમાં $t$ મૂકતા:
$j(t) = 1 - t$
આમ,$j(x) = 1 - x = g(x)$.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \begin{cases} |[x-5]|, & x < 5 \\ [|x-5|], & x \geq 5 \end{cases}$
સૌ પ્રથમ,આપણે $f\left(-\frac{7}{2}\right)$ ની ગણતરી કરીએ.
કારણ કે $-\frac{7}{2} = -3.5 < 5$,આપણે પ્રથમ કિસ્સાનો ઉપયોગ કરીશું:
$f\left(-\frac{7}{2}\right) = |[-\frac{7}{2} - 5]| = |[-8.5]| = |-9| = 9$.
હવે,આપણે $(f \circ f)\left(-\frac{7}{2}\right) = f(f(-\frac{7}{2})) = f(9)$ ની ગણતરી કરીએ.
કારણ કે $9 \geq 5$,આપણે બીજા કિસ્સાનો ઉપયોગ કરીશું:
$f(9) = [|9-5|] = [|4|] = 4$.
આમ,$(f \circ f)\left(-\frac{7}{2}\right) = 4$.

(A) આપેલ છે કે,$g(x)=x^2+x-2$ અને $\frac{1}{2}(g \circ f)(x)=2 x^2-5 x+2$.
$2$ વડે ગુણતા,આપણને $g(f(x))=4 x^2-10 x+4$ મળે છે.
$f(x)$ ને $g(x)$ માં મૂકતા,$(f(x))^2+(f(x))-2=4 x^2-10 x+4$ મળે.
ધારો કે $f(x)$ એ સુરેખ બહુપદી $f(x)=ax+b$ છે,તો $(ax+b)^2+(ax+b)-2=4 x^2-10 x+4$.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $a^2 x^2+(2ab+a)x+(b^2+b-2)=4 x^2-10 x+4$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$1) a^2=4 \Rightarrow a=2$ અથવા $a=-2$.
$2) 2ab+a=-10$.
$3) b^2+b-2=4 \Rightarrow b^2+b-6=0 \Rightarrow (b+3)(b-2)=0 \Rightarrow b=-3$ અથવા $b=2$.
જો $a=2$ હોય,તો $2(2)b+2=-10 \Rightarrow 4b=-12 \Rightarrow b=-3$. આમ $f(x)=2x-3$.
જો $a=-2$ હોય,તો $2(-2)b-2=-10 \Rightarrow -4b=-8 \Rightarrow b=2$. આમ $f(x)=-2x+2$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$f(x)=2x-3$ એ સાચો વિકલ્પ છે.

(C) ધારો કે $g(x) = f(f(x))$.
આપેલ છે કે $f(x) = \begin{cases} 1+x, & 0 \leq x \leq 2 \\ 3-x, & 2 < x \leq 3 \end{cases}$.
$0 \leq x \leq 2$ માટે,$f(x) = 1+x$. કારણ કે $0 \leq x \leq 2$,તેથી $1 \leq 1+x \leq 3$.
જો $1 \leq 1+x \leq 2$ (એટલે કે $0 \leq x \leq 1$),તો $f(f(x)) = f(1+x) = 1+(1+x) = 2+x$.
જો $2 < 1+x \leq 3$ (એટલે કે $1 < x \leq 2$),તો $f(f(x)) = f(1+x) = 3-(1+x) = 2-x$.
$2 < x \leq 3$ માટે,$f(x) = 3-x$. કારણ કે $2 < x \leq 3$,તેથી $0 \leq 3-x < 1$.
આમ,$f(f(x)) = f(3-x) = 1+(3-x) = 4-x$.
તેથી,$g(x) = \begin{cases} 2+x, & 0 \leq x \leq 1 \\ 2-x, & 1 < x \leq 2 \\ 4-x, & 2 < x \leq 3 \end{cases}$.
$x=1$ આગળ સાતત્ય તપાસતા:
$LHL = \lim_{x \to 1^-} (2+x) = 3$,$RHL = \lim_{x \to 1^+} (2-x) = 1$. $LHL \neq RHL$ હોવાથી,તે $x=1$ આગળ અસતત છે.
$x=2$ આગળ સાતત્ય તપાસતા:
$LHL = \lim_{x \to 2^-} (2-x) = 0$,$RHL = \lim_{x \to 2^+} (4-x) = 2$. $LHL \neq RHL$ હોવાથી,તે $x=2$ આગળ અસતત છે.
તેથી,$f(f(x))$ એ $x=1$ અને $x=2$ આગળ અસતત છે.

(B) આપેલ વિધેયો $f(x)$ અને $g(x)$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગણ $R$ પર વ્યાખ્યાયિત છે.
પ્રથમ,$(f \circ g)(\pi)$ ની કિંમત શોધીએ:
$\pi$ એ અસંમેય સંખ્યા હોવાથી,$g(\pi) = 0$ થાય.
$0$ એ સંમેય સંખ્યા હોવાથી,$f(g(\pi)) = f(0) = 0$ થાય.
હવે,$(g \circ f)(e)$ ની કિંમત શોધીએ:
$e$ એ અસંમેય સંખ્યા હોવાથી,$f(e) = 1$ થાય.
$1$ એ સંમેય સંખ્યા હોવાથી,$g(f(e)) = g(1) = -1$ થાય.
અંતે,સરવાળો કરીએ:
$(f \circ g)(\pi) + (g \circ f)(e) = 0 + (-1) = -1$.

(D) આપેલ છે કે $x \in [1, \infty)$ માટે $f(x)=e^x$ અને $g(x)=\ln(x)$.
આપણે સંયોજિત વિધેય $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ.
વિધેયોની કિંમત મૂકતા,આપણને $(f \circ g)(x) = e^{\ln(x)}$ મળે છે.
કારણ કે $x > 0$ માટે $e^{\ln(x)} = x$ થાય છે,તેથી $x \in [1, \infty)$ માટે $(f \circ g)(x) = x$ મળે છે.
પ્રદેશ $[1, \infty)$ પર વ્યાખ્યાયિત વિધેય $h(x) = x$ એ તદેવ વિધેય છે.
તદેવ વિધેય તેના પ્રદેશ અને વિસ્તાર પર એક-એક (injective) અને વ્યાપ્ત (surjective) બંને હોય છે.
તેથી,આ વિધેય એક-એક અને વ્યાપ્ત (bijective) છે.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(B) આપેલ છે: $f: A \rightarrow B$ અને $g: B \rightarrow C$.
વળી,$g \circ f: A \rightarrow C$ એક બાયજેક્શન છે.
પ્રથમ,આપણે સાબિત કરીએ કે $f$ એક-એક વિધેય છે:
ધારો કે $x_1, x_2 \in A$ માટે $f(x_1) = f(x_2)$.
તો $g(f(x_1)) = g(f(x_2))$,જેનો અર્થ થાય છે કે $(g \circ f)(x_1) = (g \circ f)(x_2)$.
કારણ કે $g \circ f$ બાયજેક્શન છે,તે એક-એક છે,તેથી $x_1 = x_2$.
આમ,$f$ એક-એક વિધેય છે.
હવે,આપણે સાબિત કરીએ કે $g$ વ્યાપ્ત વિધેય છે:
ધારો કે $z \in C$. કારણ કે $g \circ f: A \rightarrow C$ બાયજેક્શન છે,તે વ્યાપ્ત છે.
તેથી,એવો $x \in A$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $(g \circ f)(x) = z$.
આનો અર્થ એ છે કે $g(f(x)) = z$.
કારણ કે $f(x) \in B$,ધારો કે $y = f(x)$. તો કોઈ $y \in B$ માટે $g(y) = z$.
આમ,$g$ વ્યાપ્ત વિધેય છે.
તેથી,$f$ એક-એક વિધેય છે અને $g$ વ્યાપ્ત વિધેય છે.

(B) આપેલ છે કે $g \circ f: A \rightarrow C$ એક-એક છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,જો $g(f(x_1)) = g(f(x_2))$ હોય,તો તમામ $x_1, x_2 \in A$ માટે $x_1 = x_2$ થાય.
ધારો કે $f(x_1) = f(x_2)$. તો $g(f(x_1)) = g(f(x_2))$ થાય.
જેમ કે $g \circ f$ એક-એક છે,આ સૂચવે છે કે $x_1 = x_2$.
આમ,$f$ એક-એક હોવું જ જોઈએ.
જોકે,$g$ નું એક-એક હોવું જરૂરી નથી. ઉદાહરણ તરીકે,જો $A = \{1\}$,$B = \{2, 3\}$,$C = \{4\}$,$f(1) = 2$,$g(2) = 4$,$g(3) = 4$ હોય,તો $g \circ f(1) = 4$ એક-એક છે,પરંતુ $g$ એક-એક નથી.
તેથી,$f$ એક-એક છે અને $g$ એક-એક હોવું જરૂરી નથી.

(C) આપેલ છે કે,$f(x) = ax + b$ અને $g(x) = cx^3 + d$.
$(f \circ g)(x) = f(g(x))$.
$(f \circ g)(x) = a(cx^3 + d) + b = acx^3 + ad + b$.
ધારો કે $y = (f \circ g)(x) = acx^3 + ad + b$.
પ્રતિવિધેય શોધવા માટે,$y$ ના પદમાં $x$ ની કિંમત શોધો:
$y - ad - b = acx^3$.
$x^3 = \frac{y - ad - b}{ac}$.
$x = \left( \frac{y - ad - b}{ac} \right)^{\frac{1}{3}}$.
$y$ ને $x$ વડે બદલતા,આપણને $(f \circ g)^{-1}(x) = \left( \frac{x - ad - b}{ac} \right)^{\frac{1}{3}}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = 1 - x$,$g(x) = \frac{1}{1 - x}$,અને $h(x) = \frac{1}{x}$.
આપણને સમીકરણ $f(F(h(x))) = g(x)$ આપેલ છે.
$f$ અને $g$ ના પદો મૂકતા,આપણને $1 - F(h(x)) = \frac{1}{1 - x}$ મળે છે.
$F(h(x))$ માટે ગોઠવતા,આપણને $F(h(x)) = 1 - \frac{1}{1 - x} = \frac{1 - x - 1}{1 - x} = \frac{-x}{1 - x} = \frac{x}{x - 1}$ મળે છે.
ધારો કે $t = h(x) = \frac{1}{x}$. તો $x = \frac{1}{t}$.
$F(h(x))$ ના પદમાં $x = \frac{1}{t}$ મૂકતા,આપણને $F(t) = \frac{1/t}{1/t - 1} = \frac{1/t}{(1 - t)/t} = \frac{1}{1 - t}$ મળે છે.
આમ,$F(x) = \frac{1}{1 - x} = g(x)$.
તેથી,$F(2022) = g(2022)$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{2x - 3}{3x - 2}$.
$f(f(x))$ ની ગણતરી કરીએ:
$f(f(x)) = \frac{2(\frac{2x - 3}{3x - 2}) - 3}{3(\frac{2x - 3}{3x - 2}) - 2}$
$= \frac{2(2x - 3) - 3(3x - 2)}{3(2x - 3) - 2(3x - 2)}$
$= \frac{4x - 6 - 9x + 6}{6x - 9 - 6x + 4}$
$= \frac{-5x}{-5} = x$.
કારણ કે $f(f(x)) = x$,વિધેય પોતે જ તેનો વ્યસ્ત છે.
કોઈપણ બેકી સંખ્યા $n$ માટે,$f_n(x) = x$ થાય.
$32$ એ બેકી સંખ્યા હોવાથી,$f_{32}(x) = x$ મળે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = -|x|$.
પ્રથમ,આપણે $(f \circ f \circ f)(x)$ ની ગણતરી કરીએ:
$f(f(f(x))) = f(f(-|x|)) = f(-|-|x||) = f(-|x|) = -|-|x|| = -|x| = f(x)$.
તેથી,$(f \circ f \circ f)(x) = f(x)$.
તે જ રીતે,$(f \circ f \circ f)(-x) = f(-x)$.
તેથી,$(f \circ f \circ f)(x) + (f \circ f \circ f)(-x) = f(x) + f(-x)$.
કારણ કે $f(x) = -|x|$,તેથી $f(-x) = -|-x| = -|x| = f(x)$.
આમ,$f(x) + f(-x) = f(x) + f(x) = 2f(x)$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = 3x-2$ અને $g(x) = x^2+2$.
આપણે $(g \circ f)(x) + (f \circ g)(x)$ શોધવાનું છે.
પ્રથમ,$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = (f(x))^2 + 2 = (3x-2)^2 + 2 = 9x^2 - 12x + 4 + 2 = 9x^2 - 12x + 6$.
ત્યારબાદ,$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = 3(g(x)) - 2 = 3(x^2+2) - 2 = 3x^2 + 6 - 2 = 3x^2 + 4$.
આ બંનેનો સરવાળો કરતા,$(g \circ f + f \circ g)(x) = (9x^2 - 12x + 6) + (3x^2 + 4) = 12x^2 - 12x + 10$.
હવે,$f(x)$ અને $g(x)$ ની કિંમતો મૂકીને વિકલ્પો તપાસતા:
$12g(x) - 4f(x) - 22 = 12(x^2+2) - 4(3x-2) - 22 = 12x^2 + 24 - 12x + 8 - 22 = 12x^2 - 12x + 10$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) $\lim _{x \rightarrow 0} g(f(x))$ શોધવા માટે,આપણે ડાબી બાજુની અને જમણી બાજુની લક્ષની કિંમત મેળવીએ.
ડાબી બાજુના લક્ષ માટે $(x \rightarrow 0^-)$: $f(x) = 2-x$. જેમ $x \rightarrow 0^-$,તેમ $f(x) \rightarrow 2^+$. કારણ કે $f(x) > 2$,આપણે $g(x) = x-7$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ. તેથી,$\lim _{x \rightarrow 0^-} g(f(x)) = \lim _{f(x) \rightarrow 2^+} (f(x)-7) = 2-7 = -5$.
જમણી બાજુના લક્ષ માટે $(x \rightarrow 0^+)$: $f(x) = x+2$. જેમ $x \rightarrow 0^+$,તેમ $f(x) \rightarrow 2^+$. ફરીથી,કારણ કે $f(x) > 2$,આપણે $g(x) = x-7$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ. તેથી,$\lim _{x \rightarrow 0^+} g(f(x)) = \lim _{f(x) \rightarrow 2^+} (f(x)-7) = 2-7 = -5$.
બંને લક્ષ સમાન હોવાથી,$\lim _{x \rightarrow 0} g(f(x)) = -5$.

(A) આપેલ વિધેય $f:[0,1] \rightarrow [0,1]$ એ $f(x) = \begin{cases} x & \text{જો } x \in Q \\ 1-x & \text{જો } x \notin Q \end{cases}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
આપણે ગણ $S = \{x \in [0,1] : (f \circ f)(x) = x\}$ શોધવાનો છે.
કિસ્સો $1$: જો $x \in Q$ હોય,તો $f(x) = x$. કારણ કે $x \in [0,1]$ અને $x$ સંમેય છે,તેથી $f(x) \in Q$. આમ,$(f \circ f)(x) = f(f(x)) = f(x) = x$. આ તમામ $x \in Q \cap [0,1]$ માટે સાચું છે.
કિસ્સો $2$: જો $x \notin Q$ હોય,તો $f(x) = 1-x$. કારણ કે $x$ અસંમેય છે અને $x \in [0,1]$,તેથી $1-x$ પણ અસંમેય છે અને $1-x \in [0,1]$. આમ,$(f \circ f)(x) = f(f(x)) = f(1-x) = 1-(1-x) = x$. આ તમામ $x \in [0,1] \setminus Q$ માટે સાચું છે.
આમ,તમામ $x \in [0,1]$ માટે $(f \circ f)(x) = x$ હોવાથી,ગણ $S$ એ સંપૂર્ણ અંતરાલ $[0,1]$ છે.

(A) આપેલ છે કે,$f(x) = (p - x^n)^{1/n}$,જ્યાં $p > 0$.
$f[f(x)]$ શોધવા માટે,આપણે $f(x)$ ને વિધેય $f$ માં મૂકીશું:
$f[f(x)] = f((p - x^n)^{1/n})$
$= (p - ((p - x^n)^{1/n})^n)^{1/n}$
$= (p - (p - x^n))^{1/n}$
$= (p - p + x^n)^{1/n}$
$= (x^n)^{1/n}$
$= x$.

(C) આપેલ છે કે,$g\{f(x)\}=|\sin x|$ અને $f\{g(x)\}=(\sin \sqrt{x})^2$.
ચાલો વિકલ્પ $f(x)=\sin ^2 x$ અને $g(x)=\sqrt{x}$ ચકાસીએ.
પ્રથમ,$f\{g(x)\}$ ની ગણતરી કરીએ:
$f\{g(x)\} = f(\sqrt{x}) = \sin ^2(\sqrt{x}) = (\sin \sqrt{x})^2$.
આ આપેલ શરત સાથે મેળ ખાય છે.
હવે,$g\{f(x)\}$ ની ગણતરી કરીએ:
$g\{f(x)\} = g(\sin ^2 x) = \sqrt{\sin ^2 x} = |\sin x|$.
આ પણ આપેલ શરત સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $f(x)=\sin ^2 x$ અને $g(x)=\sqrt{x}$ છે.

(A) આપેલ છે કે,$f(x)=x^2-3$.
પ્રથમ,આપણે $(f \circ f \circ f)(-1)$ ની ગણતરી કરીએ:
$f(-1) = (-1)^2 - 3 = -2$
$f(f(-1)) = f(-2) = (-2)^2 - 3 = 1$
$f(f(f(-1))) = f(1) = (1)^2 - 3 = -2$.
ત્યારબાદ,$(f \circ f \circ f)(0)$ ની ગણતરી કરીએ:
$f(0) = (0)^2 - 3 = -3$
$f(f(0)) = f(-3) = (-3)^2 - 3 = 6$
$f(f(f(0))) = f(6) = (6)^2 - 3 = 33$.
ત્યારબાદ,$(f \circ f \circ f)(1)$ ની ગણતરી કરીએ:
$f(1) = (1)^2 - 3 = -2$
$f(f(1)) = f(-2) = (-2)^2 - 3 = 1$
$f(f(f(1))) = f(1) = (1)^2 - 3 = -2$.
આ કિંમતોનો સરવાળો કરતા:
$(f \circ f \circ f)(-1) + (f \circ f \circ f)(0) + (f \circ f \circ f)(1) = -2 + 33 - 2 = 29$.
હવે,વિકલ્પો તપાસતા:
$f(4 \sqrt{2}) = (4 \sqrt{2})^2 - 3 = 32 - 3 = 29$.
આમ,આ પદાવલિ $f(4 \sqrt{2})$ બરાબર છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x)=|x|$ અને $g(x)=[x-3]$.
$-\frac{8}{5} < x < \frac{8}{5}$ માટે,$f(x)=|x|$ નો વિસ્તાર $0 \leq f(x) < \frac{8}{5}$ છે,એટલે કે $0 \leq f(x) < 1.6$.
આપણે $g(f(x)) = [f(x)-3]$ ની કિંમતો શોધવાની છે.
કિસ્સો $1$: જો $0 \leq f(x) < 1$ હોય,તો $-3 \leq f(x)-3 < -2$ થાય. તેથી,$[f(x)-3] = -3$.
કિસ્સો $2$: જો $1 \leq f(x) < 1.6$ હોય,તો $-2 \leq f(x)-3 < -1.4$ થાય. તેથી,$[f(x)-3] = -2$.
આ કિસ્સાઓને જોડતા,કિંમતોનો ગણ $\{-3, -2\}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે,$f(x)=x-[x]$ અને $g(x)=[x]$ જ્યાં $x \in R$.
આપણે $f(g(x))$ શોધવાનું છે.
$f(x)$ માં $g(x)$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે:
$f(g(x)) = f([x])$.
$f(x)$ ની વ્યાખ્યા મુજબ,$f([x]) = [x] - [[x]]$.
કારણ કે $[x]$ એ એક પૂર્ણાંક છે,તેથી પૂર્ણાંકનો મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય તે પોતે જ પૂર્ણાંક થાય,એટલે કે $[[x]] = [x]$.
તેથી,$f(g(x)) = [x] - [x] = 0$.

(C) આપેલ વિધેયો $f(x) = 2x + 3$ અને $g(x) = x^2 + 7$ છે.
આપણે $x$ ની એવી કિંમતો શોધવાની છે જેના માટે $g(f(x)) = 8$ થાય.
સૌ પ્રથમ,સંયોજિત વિધેય $g(f(x))$ ની ગણતરી કરીએ:
$g(f(x)) = g(2x + 3) = (2x + 3)^2 + 7$.
આને $8$ ની બરાબર લેતા:
$(2x + 3)^2 + 7 = 8$.
બંને બાજુથી $7$ બાદ કરતા:
$(2x + 3)^2 = 1$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$2x + 3 = 1$ અથવા $2x + 3 = -1$.
કિસ્સો $1$: $2x + 3 = 1 \Rightarrow 2x = -2 \Rightarrow x = -1$.
કિસ્સો $2$: $2x + 3 = -1 \Rightarrow 2x = -4 \Rightarrow x = -2$.
આમ,$x$ ની કિંમતો $-1$ અને $-2$ છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \begin{cases} 0, & x \in \mathbb{Q} \\ 1, & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}$ અને $g(x) = \begin{cases} -1, & x \in \mathbb{Q} \\ 0, & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}$.
$\pi$ એ અસંમેય સંખ્યા હોવાથી,$g(\pi) = 0$ થાય. $0$ એ સંમેય સંખ્યા હોવાથી,$f(g(\pi)) = f(0) = 0$ થાય.
$e$ એ અસંમેય સંખ્યા હોવાથી,$f(e) = 1$ થાય. $1$ એ સંમેય સંખ્યા હોવાથી,$g(f(e)) = g(1) = -1$ થાય.
તેથી,$(f \circ g)(\pi) + (g \circ f)(e) = 0 + (-1) = -1$ થાય.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = (20 - x^4)^{1/4}$.
સૌ પ્રથમ,$f(1/2)$ ની ગણતરી કરીએ:
$f(1/2) = (20 - (1/2)^4)^{1/4} = (20 - 1/16)^{1/4} = (319/16)^{1/4}$.
હવે,$f(f(1/2)) = f((319/16)^{1/4})$ ની ગણતરી કરીએ:
$f((319/16)^{1/4}) = (20 - ((319/16)^{1/4})^4)^{1/4}$.
$= (20 - 319/16)^{1/4}$.
$= ((320 - 319)/16)^{1/4}$.
$= (1/16)^{1/4}$.
$= (1/2^4)^{1/4} = 1/2 = 2^{-1}$.

(D) આપણી પાસે છે,$f(x) = \begin{cases} 1 + x, & 0 \leq x \leq 2 \\ 3 - x, & 2 < x \leq 3 \end{cases}$.
$f(f(x))$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
જ્યારે $0 \leq f(x) \leq 2$,ત્યારે $f(f(x)) = 1 + f(x)$.
જ્યારે $2 < f(x) \leq 3$,ત્યારે $f(f(x)) = 3 - f(x)$.
$x \in [0, 3]$ માટે ગણતરી કરતા:
જો $0 \leq x \leq 1$,તો $1 \leq f(x) \leq 2$,તેથી $f(f(x)) = 1 + (1 + x) = 2 + x$.
જો $1 < x \leq 2$,તો $2 < f(x) \leq 3$,તેથી $f(f(x)) = 3 - (1 + x) = 2 - x$.
જો $2 < x \leq 3$,તો $0 \leq f(x) < 1$,તેથી $f(f(x)) = 1 + (3 - x) = 4 - x$.
આમ,$f(f(x)) = \begin{cases} 2 + x, & 0 \leq x \leq 1 \\ 2 - x, & 1 < x \leq 2 \\ 4 - x, & 2 < x \leq 3 \end{cases}$.
$x = 1$ આગળ સાતત્ય તપાસતા: $\lim_{x \to 1^-} f(f(x)) = 3$,$\lim_{x \to 1^+} f(f(x)) = 1$. $3 \neq 1$ હોવાથી,તે $x = 1$ આગળ અસતત છે.
$x = 2$ આગળ સાતત્ય તપાસતા: $\lim_{x \to 2^-} f(f(x)) = 0$,$\lim_{x \to 2^+} f(f(x)) = 2$. $0 \neq 2$ હોવાથી,તે $x = 2$ આગળ અસતત છે.
તેથી,$a = 1$ અને $b = 2$.
$2a + 3b = 2(1) + 3(2) = 2 + 6 = 8$.

(C) આપેલ છે કે $f(x)=e^x$.
$h(x)=(f \circ f)(x) = f(f(x)) = f(e^x) = e^{e^x}$.
હવે,$h(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$h^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(e^{e^x}) = e^{e^x} \cdot \frac{d}{dx}(e^x) = e^{e^x} \cdot e^x$.
કારણ કે $h(x) = e^{e^x}$,તેથી $h^{\prime}(x) = h(x) \cdot e^x$.
તેથી,$\frac{h^{\prime}(x)}{h(x)} = e^x$.
હવે,$\log h(x) = \log(e^{e^x}) = e^x \cdot \log e = e^x$.
બંને પરિણામોની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે કે $\frac{h^{\prime}(x)}{h(x)} = \log h(x)$.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \sqrt{x}$ અને $g(x) = 1 + x^2$.
સંયોજિત વિધેય $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = \sqrt{1 + x^2}$ થાય.
વિકલિત $(f \circ g)^{\prime}(x)$ શોધવા માટે,આપણે સાંકળના નિયમ (chain rule) નો ઉપયોગ કરીશું:
$(f \circ g)^{\prime}(x) = \frac{d}{dx} (1 + x^2)^{1/2} = \frac{1}{2}(1 + x^2)^{-1/2} \cdot \frac{d}{dx}(1 + x^2)$.
$(f \circ g)^{\prime}(x) = \frac{1}{2\sqrt{1 + x^2}} \cdot (2x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$.
હવે,વિકલિતમાં $x = 1$ મૂકતા:
$(f \circ g)^{\prime}(1) = \frac{1}{\sqrt{1 + 1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(A) $f \circ g(x) = f(g(x)) = \sqrt{x - 3\sqrt{x} + 2}$ માટે,પ્રદેશ $S$ મેળવવા $x \ge 0$ અને $x - 3\sqrt{x} + 2 \ge 0$ હોવું જોઈએ.
$u = \sqrt{x}$ લેતા,$(u-1)(u-2) \ge 0$ મળે,જેનો ઉકેલ $u \le 1$ અથવા $u \ge 2$ છે.
તેથી $S = [0, 1] \cup [4, \infty)$.
$g \circ f(x) = g(f(x)) = \sqrt{\sqrt{x^2 - 3x + 2}}$ માટે,પ્રદેશ $T$ મેળવવા $x^2 - 3x + 2 \ge 0$ હોવું જોઈએ.
આથી $x \le 1$ અથવા $x \ge 2$,એટલે કે $T = (-\infty, 1] \cup [2, \infty)$.
હવે,$S \cap T = [0, 1] \cup [4, \infty)$.

(A) આપેલ છે કે $g(f(x)) = |\sin x|$ અને $f(g(x)) = (\sin \sqrt{x})^2$.
ચાલો વિકલ્પ $A$ ચકાસીએ: $f(x) = \sin ^2 x$ અને $g(x) = \sqrt{x}$.
તો $g(f(x)) = g(\sin ^2 x) = \sqrt{\sin ^2 x} = |\sin x|$. આ પ્રથમ શરત સાથે મેળ ખાય છે.
ત્યારબાદ,$f(g(x)) = f(\sqrt{x}) = \sin ^2(\sqrt{x}) = (\sin \sqrt{x})^2$. આ બીજી શરત સાથે પણ મેળ ખાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{3x - 4}{2x - 3}$.
પ્રથમ,$f(f(x))$ શોધો:
$f(f(x)) = f\left(\frac{3x - 4}{2x - 3}\right) = \frac{3\left(\frac{3x - 4}{2x - 3}\right) - 4}{2\left(\frac{3x - 4}{2x - 3}\right) - 3}$
$= \frac{3(3x - 4) - 4(2x - 3)}{2(3x - 4) - 3(2x - 3)} = \frac{9x - 12 - 8x + 12}{6x - 8 - 6x + 9} = \frac{x}{1} = x$.
હવે,$f(f(f(x)))$ શોધો:
$f(f(f(x))) = f(f(f(x))) = f(x) = \frac{3x - 4}{2x - 3}$.

(B) આપેલ છે કે,$f(x)=2^{100} x+1$ અને $g(x)=3^{100} x+1$.
આપણે $x$ શોધવાનું છે જેના માટે $f(g(x))=x$ થાય.
$f(x)$ માં $g(x)$ ની કિંમત મૂકતા:
$f(3^{100} x+1) = x$
$2^{100}(3^{100} x+1) + 1 = x$
$2^{100} \cdot 3^{100} x + 2^{100} + 1 = x$
$6^{100} x + 2^{100} + 1 = x$
$x(6^{100} - 1) = -(2^{100} + 1)$
$x = -\frac{2^{100} + 1}{6^{100} - 1}$
અહીં $x$ ની માત્ર એક જ કિંમત મળે છે જે સમીકરણનું સમાધાન કરે છે,તેથી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x$ નો ગણ એ એક ઘટક ધરાવતો ગણ (singleton) છે.