Composition of Functions Questions in Gujarati

(A) આપેલ છે કે $f(x) = x^{2} + 2x - 3$ અને $g(x) = x + 1$.
આપણે $x$ ની એવી કિંમત શોધવાની છે કે જેના માટે $f(g(x)) = g(f(x))$ થાય.
પ્રથમ,$f(g(x))$ ની ગણતરી કરીએ:
$f(g(x)) = f(x + 1) = (x + 1)^{2} + 2(x + 1) - 3 = (x^{2} + 2x + 1) + 2x + 2 - 3 = x^{2} + 4x$.
હવે,$g(f(x))$ ની ગણતરી કરીએ:
$g(f(x)) = g(x^{2} + 2x - 3) = (x^{2} + 2x - 3) + 1 = x^{2} + 2x - 2$.
બંને પદોને સરખાવતા:
$x^{2} + 4x = x^{2} + 2x - 2$.
બંને બાજુથી $x^{2}$ બાદ કરતા:
$4x = 2x - 2$.
$4x - 2x = -2$.
$2x = -2$.
$x = -1$.

(A) આપેલ વિધેયો $f(x) = 5 - x^2$ અને $g(x) = 3x - 4$ છે.
$(f \circ g)(-1)$ શોધવા માટે,આપણે વિધેયોના સંયોજનની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $(f \circ g)(x) = f(g(x))$.
સૌ પ્રથમ,$g(-1)$ ની ગણતરી કરો:
$g(-1) = 3(-1) - 4 = -3 - 4 = -7$.
હવે,આ કિંમતને $f(x)$ માં મૂકો:
$(f \circ g)(-1) = f(g(-1)) = f(-7)$.
$f(x)$ ની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા:
$f(-7) = 5 - (-7)^2 = 5 - 49 = -44$.
આમ,$(f \circ g)(-1)$ ની કિંમત $-44$ છે.

(C) ધારો કે $x_1, x_2 \in S$ એવા છે કે જેથી $f(x_1) = f(x_2)$.
બંને બાજુ $g$ લાગુ પાડતા,આપણને $g(f(x_1)) = g(f(x_2))$ મળે છે.
આ $(g \circ f)(x_1) = (g \circ f)(x_2)$ ને સમાન છે.
કારણ કે $g \circ f$ એ એક એક વિધેય આપેલ છે,તેથી $(g \circ f)(x_1) = (g \circ f)(x_2)$ પરથી $x_1 = x_2$ મળે છે.
આમ,$f(x_1) = f(x_2)$ પરથી $x_1 = x_2$ સાબિત થાય છે,તેથી વિધેય $f$ એક એક વિધેય હોવું જ જોઈએ.
તેથી,$f$ અનિવાર્યપણે એક એક વિધેય છે.

(B) આપણને આપેલ છે કે $g \circ f: S \rightarrow U$ એ વ્યાપ્ત વિધેય છે.
વ્યાપ્ત વિધેયની વ્યાખ્યા મુજબ,દરેક ઘટક $z \in U$ માટે,ઓછામાં ઓછો એક ઘટક $x \in S$ એવો મળે કે જેથી $(g \circ f)(x) = z$ થાય.
આને $g(f(x)) = z$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $y = f(x)$. કારણ કે $x \in S$ અને $f: S \rightarrow T$ છે,તેથી $y \in T$ થાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $g(y) = z$ મળે છે.
દરેક $z \in U$ માટે,આપણને $T$ માં એક એવો ઘટક $y$ મળે છે કે જેથી $g(y) = z$ થાય,તેથી $g: T \rightarrow U$ એ વ્યાપ્ત વિધેય છે.
જોકે,$f$ નું વ્યાપ્ત હોવું જરૂરી નથી કારણ કે $T$ ના જે ઘટકો $f$ ના વિસ્તારમાં નથી,તે $g \circ f$ ની વ્યાપ્તતાને અસર કરતા નથી,જ્યાં સુધી $f$ નો વિસ્તાર $g$ દ્વારા $U$ ના તમામ ઘટકોને આવરી લેતો હોય.

(C) આપેલ છે કે $f: R \rightarrow R$ જ્યાં $f(x) = e^{x}$ અને $g: R \rightarrow R$ જ્યાં $g(x) = x^{2}$.
આપણે સંયોજિત વિધેય $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(e^{x}) = (e^{x})^{2} = e^{2x}$ ની ગણતરી કરીએ છીએ.
$(g \circ f)(x) = e^{2x}$ માટે,જો $(g \circ f)(x_{1}) = (g \circ f)(x_{2})$ હોય,તો $e^{2x_{1}} = e^{2x_{2}}$,જેનો અર્થ છે કે $2x_{1} = 2x_{2}$,તેથી $x_{1} = x_{2}$. આમ,$g \circ f$ એ ઇન્જેક્ટિવ છે.
જોકે,$g \circ f$ નો વિસ્તાર $(0, \infty)$ છે,જે સહપ્રદેશ $R$ જેટલો નથી,તેથી $g \circ f$ એ સૂરજેક્ટિવ નથી.
$g(x) = x^{2}$ માટે,$g(-1) = 1$ અને $g(1) = 1$,તેથી $g$ એ ઇન્જેક્ટિવ નથી. ઉપરાંત,$g$ નો વિસ્તાર $[0, \infty)$ છે,તેથી $g$ એ સૂરજેક્ટિવ નથી.
તેથી,$g \circ f$ એ ઇન્જેક્ટિવ છે પણ $g$ એ બાયજેક્ટિવ નથી.

(A) આપેલ છે $f(x) = \frac{x}{x+1}$.
પ્રથમ થોડા પદોની ગણતરી કરતા:
$f_1(x) = \frac{x}{x+1}$
$f_2(x) = f(f(x)) = \frac{x}{2x+1}$
$f_3(x) = f(f_2(x)) = \frac{x}{3x+1}$
ગાણિતિક અનુમાન દ્વારા,$f_n(x) = \frac{x}{nx+1}$.
$x = -2$ માટે મૂલ્ય શોધતા:
$f_n(-2) = \frac{-2}{n(-2)+1} = \frac{2}{2n-1}$.
ગુણાકાર $P = f_1(-2) \cdot f_2(-2) \cdot \ldots \cdot f_n(-2) = \prod_{k=1}^{n} \frac{2}{2k-1} = \frac{2^n}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n-1)}$.

(C) આપેલ છે $g(x) = 3x^{2} + 2x - 3$. પ્રથમ,$g(2)$ ની ગણતરી કરો:
$g(2) = 3(2)^{2} + 2(2) - 3 = 12 + 4 - 3 = 13$.
આપણે $f(g(2)) = f(13)$ શોધવાનું છે.
આપેલ છે $4g(f(x)) = 3x^{2} - 32x + 72$,$g(f(x)) = 3(f(x))^{2} + 2f(x) - 3$ મૂકતા:
$4[3(f(x))^{2} + 2f(x) - 3] = 3x^{2} - 32x + 72$
$12(f(x))^{2} + 8f(x) - 12 = 3x^{2} - 32x + 72$
$12(f(x))^{2} + 8f(x) - (3x^{2} - 32x + 84) = 0$.
$f(x)$ માટે દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 4(12)(-(3x^{2} - 32x + 84))}}{24} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 48(3x^{2} - 32x + 84)}}{24}$
$f(x) = \frac{-8 \pm \sqrt{144x^{2} - 1536x + 4096}}{24} = \frac{-8 \pm (12x - 64)}{24}$.
$f(0) = -3$ હોવાથી,$x=0$ માટે ચિહ્નો તપાસતા:
જો આપણે ધન ચિહ્ન લઈએ: $f(0) = \frac{-8 + (-64)}{24} = -3$ (સાચું).
તેથી,$f(x) = \frac{-8 + 12x - 64}{24} = \frac{12x - 72}{24} = \frac{x - 6}{2}$.
અંતે,$f(13) = \frac{13 - 6}{2} = \frac{7}{2}$.