Word problem of Linear programming Questions in Hindi

(C) दिए गए रैखिक प्रोग्रामन समस्या ($L$.$P$.$P$.) के लिए सुसंगत क्षेत्र,प्रतिबंधों $x_1+x_2 \leq 10$,$-2x_1+3x_2 \leq 15$,$x_1 \leq 6$,और $x_1, x_2 \geq 0$ द्वारा निर्धारित होता है। सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $O(0,0)$,$E(6,0)$,$F(6,4)$,$G(3,7)$,और $D(0,5)$ हैं।
इन कोणीय बिंदुओं पर उद्देश्य फलन $z=x_1+x_2$ का मान इस प्रकार है:
$z(O) = 0+0 = 0$
$z(E) = 6+0 = 6$
$z(F) = 6+4 = 10$
$z(G) = 3+7 = 10$
$z(D) = 0+5 = 5$
$z$ का अधिकतम मान $10$ है,जो कोणीय बिंदुओं $F(6,4)$ और $G(3,7)$ दोनों पर प्राप्त होता है।
चूंकि उद्देश्य फलन दो अलग-अलग कोणीय बिंदुओं पर अधिकतम मान प्राप्त करता है,इसलिए यह उन दो बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड के प्रत्येक बिंदु पर समान अधिकतम मान रखेगा।

(D) सुसंगत क्षेत्र ज्ञात करने के लिए,हम दी गई बाधाओं का विश्लेषण करते हैं:
$1$. $2x + 3y \geqslant 12$: क्षेत्र रेखा $2x + 3y = 12$ पर या उसके ऊपर है।
$2$. $-x + y \leqslant 3$: क्षेत्र रेखा $-x + y = 3$ पर या उसके नीचे है।
$3$. $x \leqslant 4$: क्षेत्र रेखा $x = 4$ के बाईं ओर है।
$4$. $y \geqslant 3$: क्षेत्र रेखा $y = 3$ पर या उसके ऊपर है।
ग्राफ का अवलोकन करके और बाधाओं का परीक्षण करके:
- क्षेत्र $S_4$,$y=3$,$x=4$,$-x+y=3$ और $2x+3y=12$ द्वारा घिरा हुआ है। $S_4$ में एक बिंदु $(1, 4)$ की जाँच करने पर:
- $2(1) + 3(4) = 14 \geqslant 12$ (सत्य)
- $-(1) + 4 = 3 \leqslant 3$ (सत्य)
- $1 \leqslant 4$ (सत्य)
- $4 \geqslant 3$ (सत्य)
सभी बाधाएं क्षेत्र $S_4$ में संतुष्ट होती हैं।

(B) दी गई असमिकाएं हैं:
$1$) $x - 2 \leqslant y \implies y \geqslant x - 2$
$2$) $x \geqslant y - 1 \implies y \leqslant x + 1$
$3$) $x \geqslant 2$
$4$) $y \leqslant 4$
$5$) $x, y \geqslant 0$
इन असमिकाओं का विश्लेषण करने पर:
- रेखा $y = x - 2$,$(2, 0)$ और $(4, 2)$ से होकर गुजरती है। क्षेत्र $y \geqslant x - 2$ इस रेखा के ऊपर है।
- रेखा $y = x + 1$,$(0, 1)$ और $(3, 4)$ से होकर गुजरती है। क्षेत्र $y \leqslant x + 1$ इस रेखा के नीचे है।
- असमिका $x \geqslant 2$ क्षेत्र को ऊर्ध्वाधर रेखा $x = 2$ के दाईं ओर सीमित करती है।
- असमिका $y \leqslant 4$ क्षेत्र को क्षैतिज रेखा $y = 4$ के नीचे सीमित करती है।
इन सबको मिलाने पर,सुसंगत क्षेत्र $x = 2$,$y = x - 2$,$y = x + 1$ और $y = 4$ द्वारा घिरा हुआ है। यह विकल्प $B$ में दर्शाए गए छायांकित क्षेत्र के अनुरूप है।

(A) सुसंगत क्षेत्र शीर्षों $A, B, C$ द्वारा परिबद्ध है।
ग्राफ से,रेखाएं $x = 5$,$y = 4$,$x + y = 15$ और $x - y = 10$ हैं।
छायांकित क्षेत्र के शीर्ष $A(5, 5)$,$B(5, 10)$ और $C(11, 4)$ हैं।
- $A(5, 5)$ पर: $z = 550(5) + 300(5) = 2750 + 1500 = 4250$.
- $B(5, 10)$ पर: $z = 550(5) + 300(10) = 2750 + 3000 = 5750$.
- $C(11, 4)$ पर: $z = 550(11) + 300(4) = 6050 + 1200 = 7250$.
अधिकतम मान $7250$ है।

(B) $L$.$P$.$P$. को हल करने के लिए,हम शर्तों द्वारा परिभाषित संभव क्षेत्र की पहचान करते हैं:
$1$. $x + y \leqslant 8$
$2$. $x + 2y \geqslant 4$
$3$. $6x + 4y \geqslant 12$ (या $3x + 2y \geqslant 6$)
$4$. $x \geqslant 0, y \geqslant 0$
संभव क्षेत्र के कोणीय बिंदु इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन द्वारा निर्धारित होते हैं:
- $x + 2y = 4$ और $3x + 2y = 6$ का प्रतिच्छेदन: घटाने पर $2x = 2$ मिलता है,इसलिए $x = 1$. फिर $1 + 2y = 4 \implies y = 1.5$. बिंदु: $(1, 1.5)$.
- $x + y = 8$ और $x + 2y = 4$ का प्रतिच्छेदन: $y = -4$,जो प्रथम चतुर्थांश के बाहर है।
- $x + y = 8$ और $3x + 2y = 6$ का प्रतिच्छेदन: $y = -18$,प्रथम चतुर्थांश के बाहर है।
- अक्षों पर बिंदु: $3x + 2y = 6$ से $(0, 3)$,$x + 2y = 4$ से $(0, 2)$,$x + y = 8$ से $(8, 0)$,$3x + 2y = 6$ से $(2, 0)$.
कोणीय बिंदुओं पर $z = 30x + 20y$ का मान:
- $(0, 3)$ पर,$z = 30(0) + 20(3) = 60$.
- $(1, 1.5)$ पर,$z = 30(1) + 20(1.5) = 30 + 30 = 60$.
- $(8, 0)$ पर,$z = 30(8) + 20(0) = 240$.
- $(2, 0)$ पर,$z = 30(2) + 20(0) = 60$.
चूंकि उद्देश्य फलन $z$ $(0, 3)$ और $(2, 0)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड पर कई बिंदुओं पर समान न्यूनतम मान $60$ लेता है,इसलिए $L$.$P$.$P$. के अनंत समाधान हैं।

(C) प्रतिबंधों के अधीन $z = x + y$ को न्यूनतम करने के लिए:
$1$) $x + y \geqslant 2$
$2$) $x + 2y \leqslant 8$
$3$) $y \leqslant 3$
$4$) $x, y \geqslant 0$
सबसे पहले,हम रेखाओं को आलेखित करके सुसंगत क्षेत्र (feasible region) निर्धारित करते हैं:
- $x + y = 2$,$(2, 0)$ और $(0, 2)$ से गुजरती है।
- $x + 2y = 8$,$(8, 0)$ और $(0, 4)$ से गुजरती है।
- $y = 3$ एक क्षैतिज रेखा है।
सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन द्वारा प्राप्त किए जाते हैं:
- $x + y = 2$ और $x = 0$ का प्रतिच्छेदन $(0, 2)$ है।
- $x + y = 2$ और $y = 0$ का प्रतिच्छेदन $(2, 0)$ है।
- $x + 2y = 8$ और $y = 3$ का प्रतिच्छेदन $x + 6 = 8 \implies x = 2$,यानी $(2, 3)$ है।
- $x = 0$ और $y = 3$ का प्रतिच्छेदन $(0, 3)$ है।
सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $(0, 2), (2, 0), (2, 3), (0, 3)$ हैं।
इन बिंदुओं पर $z = x + y$ का मान ज्ञात करने पर:
- $(0, 2)$ पर,$z = 0 + 2 = 2$.
- $(2, 0)$ पर,$z = 2 + 0 = 2$.
- $(2, 3)$ पर,$z = 2 + 3 = 5$.
- $(0, 3)$ पर,$z = 0 + 3 = 3$.
न्यूनतम मान $2$ है,जो $(0, 2)$ और $(2, 0)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड पर स्थित सभी बिंदुओं पर प्राप्त होता है। चूंकि एक रेखाखंड में अनंत बिंदु होते हैं,इसलिए समाधान समुच्चय में अनंत बिंदु शामिल हैं।

(C) बाधाएं $x + y \leqslant 20$,$y \geqslant 5$ और $x \geqslant 0$ हैं।
सुसंगत क्षेत्र एक त्रिभुज है जिसके शीर्ष निम्नलिखित हैं:
$1$. $y = 5$ और $x = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $(0, 5)$।
$2$. $x + y = 20$ और $y = 5$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $(15, 5)$।
$3$. $x + y = 20$ और $x = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $(0, 20)$।
अब,इन शीर्षों पर $z = 7x - 8y$ का मान ज्ञात करते हैं:
$(0, 5)$ पर: $z = 7(0) - 8(5) = -40$।
$(15, 5)$ पर: $z = 7(15) - 8(5) = 105 - 40 = 65$।
$(0, 20)$ पर: $z = 7(0) - 8(20) = -160$।
अधिकतम मान $65$ है और न्यूनतम मान $-160$ है।
अंतर $65 - (-160) = 65 + 160 = 225$ है।
चूंकि अंतर $5k + 200$ दिया गया है,इसलिए $5k + 200 = 225$।
$5k = 25$,अतः $k = 5$।

(C) बाधाओं को खोजने के लिए,हम ग्राफ से रेखाओं $L_1, L_2, L_3$ के समीकरण निर्धारित करते हैं।
$1$. रेखा $L_1$ बिंदु $(-1, 0)$ और $(0, 1)$ से गुजरती है। समीकरण $\frac{x}{-1} + \frac{y}{1} = 1 \Rightarrow y-x = 1$ है। चूंकि सुसंगत क्षेत्र इस रेखा के ऊपर है,इसलिए बाधा $y-x \geqslant 1$ है।
$2$. रेखा $L_2$ बिंदु $(0, 2)$ और $(5, 0)$ से गुजरती है। समीकरण $\frac{x}{5} + \frac{y}{2} = 1 \Rightarrow 2x+5y = 10$ है। चूंकि क्षेत्र इस रेखा के नीचे है,इसलिए बाधा $2x+5y \leqslant 10$ है।
$3$. रेखा $L_3$ बिंदु $(0, 1)$ और $(1, 0)$ से गुजरती है। समीकरण $\frac{x}{1} + \frac{y}{1} = 1 \Rightarrow x+y = 1$ है। चूंकि क्षेत्र इस रेखा के ऊपर है,इसलिए बाधा $x+y \geqslant 1$ है।
इन्हें गैर-ऋणात्मक बाधाओं $x, y \geqslant 0$ के साथ जोड़ने पर,हमें प्रणाली मिलती है: $y-x \geqslant 1, 2x+5y \leqslant 10, x+y \geqslant 1, x, y \geqslant 0$। यह विकल्प $C$ से मेल खाता है।

(C) सुसंगत क्षेत्र ज्ञात करने के लिए,हम दिए गए प्रतिबंधों का विश्लेषण करते हैं:
$1. 2x + y \leqslant 10$: रेखा $(0, 10)$ और $(5, 0)$ से होकर गुजरती है। क्षेत्र मूल बिंदु की ओर है।
$2. y \leqslant x$: रेखा $(0, 0)$ और $(2, 2)$ से होकर गुजरती है। क्षेत्र रेखा के नीचे है।
$3. y \leqslant 2$: क्षेत्र क्षैतिज रेखा $y = 2$ के नीचे है।
$4. x, y \geqslant 0$: क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में है।
प्रतिच्छेदन बिंदु:
- $y = 2$ और $y = x$ के लिए,हमें $x = 2$ प्राप्त होता है। बिंदु $(2, 2)$ है।
- $y = 2$ और $2x + y = 10$ के लिए,हमें $2x + 2 = 10 \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow x = 4$ प्राप्त होता है। बिंदु $(4, 2)$ है।
- $y = x$ और $2x + y = 10$ के लिए,हमें $2x + x = 10 \Rightarrow 3x = 10 \Rightarrow x = 10/3$ प्राप्त होता है। बिंदु $(10/3, 10/3)$ है।
सुसंगत क्षेत्र शीर्षों $(0, 0)$,$(2, 2)$,$(4, 2)$ और $x$-अक्ष के खंड द्वारा घिरा हुआ है। दिए गए विकल्पों को देखने पर,जो ग्राफ इन रेखाओं द्वारा घिरे क्षेत्र को सही ढंग से दर्शाता है,वह विकल्प $C$ में है।

(D) बाधाएं $x + 3y \leqslant 60$,$x + y \geqslant 10$,$x = y$,और $x, y \geqslant 0$ हैं।
बाधाओं में $x = y$ प्रतिस्थापित करने पर:
$1$) $x + 3x \leqslant 60 \implies 4x \leqslant 60 \implies x \leqslant 15$.
$2$) $x + x \geqslant 10 \implies 2x \geqslant 10 \implies x \geqslant 5$.
चूंकि $x = y$,सुसंगत क्षेत्र $(5, 5)$ से $(15, 15)$ तक का रेखाखंड है।
उद्देश्य फलन $z = 3x + 5y$ है।
$z$ में $y = x$ रखने पर,हमें $z = 3x + 5x = 8x$ प्राप्त होता है।
$(5, 5)$ पर,$z = 8(5) = 40$.
$(15, 15)$ पर,$z = 8(15) = 120$.
अधिकतम मान $120$ है और न्यूनतम मान $40$ है।
अंतर $120 - 40 = 80$ है।

(B) $Z = 6x + 3y$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम अवरोधों द्वारा परिभाषित सुसंगत क्षेत्र (feasible region) के शीर्ष बिंदु ज्ञात करते हैं:
$1) x + y = 5$
$2) x + 2y = 4$
$3) 4x + y = 12$
$4) x \geq 0, y \geq 0$
रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु:
- $x + y = 5$ और $4x + y = 12$ का प्रतिच्छेदन: घटाने पर $3x = 7 \implies x = 7/3$. तब $y = 5 - 7/3 = 8/3$. बिंदु: $(7/3, 8/3)$.
- $x + 2y = 4$ और $x + y = 5$ का प्रतिच्छेदन: $y = -1$ प्राप्त होता है,जो प्रथम चतुर्थांश में नहीं है।
- $x + 2y = 4$ और $4x + y = 12$ का प्रतिच्छेदन: $x = 4 - 2y$. प्रतिस्थापित करने पर: $4(4 - 2y) + y = 12 \implies 16 - 8y + y = 12 \implies 7y = 4 \implies y = 4/7$. तब $x = 4 - 8/7 = 20/7$. बिंदु: $(20/7, 4/7)$.
- अक्षों पर बिंदु: $(3, 0), (4, 0), (0, 2), (0, 5)$.
सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदुओं पर $Z = 6x + 3y$ का मान:
- $(3, 0)$ पर: $Z = 6(3) + 3(0) = 18$
- $(7/3, 8/3)$ पर: $Z = 6(7/3) + 3(8/3) = 14 + 8 = 22$
- $(20/7, 4/7)$ पर: $Z = 6(20/7) + 3(4/7) = 132/7$
- $(0, 2)$ पर: $Z = 6(0) + 3(2) = 6$
अतः,अधिकतम मान $22$ है।

(B) मान लीजिए $x$ वस्तु $A$ की संख्या है और $y$ वस्तु $B$ की संख्या है।
अधिकतम करने के लिए लाभ फलन $z = 25x + 18y$ है।
मशीन $I$ की बाधा: $20x + 15y \leqslant 640$ (क्योंकि $10$ घंटे $40$ मिनट $= 640$ मिनट)।
मशीन $II$ की बाधा: $5x + 8y \leqslant 500$ (क्योंकि $8$ घंटे $20$ मिनट $= 500$ मिनट)।
ऋणेतर बाधाएं: $x \geqslant 0, y \geqslant 0$।
अतः,सही सूत्रीकरण है: Maximize $z = 25x + 18y$ subject to $20x + 15y \leqslant 640, 5x + 8y \leqslant 500, x, y \geqslant 0$.

(A) सुसंगत क्षेत्र बाधाओं $x + 3y \leqslant 60$,$x + y \geqslant 10$,$x - y \leqslant 0$,$x \geqslant 0$,और $y \geqslant 0$ द्वारा निर्धारित होता है।
सबसे पहले,हम सीमा रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को हल करके सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष ज्ञात करते हैं:
$1$. $x - y = 0$ और $x + y = 10$ का प्रतिच्छेदन: $2x = 10 \implies x = 5, y = 5$. शीर्ष: $(5, 5)$.
$2$. $x - y = 0$ और $x + 3y = 60$ का प्रतिच्छेदन: $4y = 60 \implies y = 15, x = 15$. शीर्ष: $(15, 15)$.
$3$. $x + y = 10$ और $x = 0$ का प्रतिच्छेदन: $y = 10$. शीर्ष: $(0, 10)$.
$4$. $x + 3y = 60$ और $x = 0$ का प्रतिच्छेदन: $3y = 60 \implies y = 20$. शीर्ष: $(0, 20)$.
अब,प्रत्येक शीर्ष पर $Z = 3x + 5y$ का मान ज्ञात करते हैं:
- $(5, 5)$ पर: $Z = 3(5) + 5(5) = 15 + 25 = 40$.
- $(15, 15)$ पर: $Z = 3(15) + 5(15) = 45 + 75 = 120$.
- $(0, 10)$ पर: $Z = 3(0) + 5(10) = 50$.
- $(0, 20)$ पर: $Z = 3(0) + 5(20) = 100$.
अधिकतम मान $120$ है और न्यूनतम मान $40$ है।
अतः अंतर $120 - 40 = 80$ है।

(B) सुसंगत क्षेत्र ज्ञात करने के लिए,हम दी गई असमिकाओं का विश्लेषण करते हैं:
$1$. $x - y \geqslant 0 \implies y \leqslant x$. यह रेखा $y = x$ पर या उसके नीचे के क्षेत्र को दर्शाता है।
$2$. $x - 5y \leqslant -5 \implies 5y \geqslant x + 5 \implies y \geqslant \frac{1}{5}x + 1$. यह रेखा $y = \frac{1}{5}x + 1$ पर या उसके ऊपर के क्षेत्र को दर्शाता है।
$3$. $x \geqslant 0$ और $y \geqslant 0$ क्षेत्र को प्रथम चतुर्थांश में सीमित करते हैं।
इन सबको मिलाने पर,हम वह क्षेत्र देखते हैं जो $y = x$ के नीचे,$y = \frac{1}{5}x + 1$ के ऊपर और प्रथम चतुर्थांश में स्थित है।
प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए हल करने पर: $x = \frac{1}{5}x + 1 \implies \frac{4}{5}x = 1 \implies x = 1.25$. अतः $y = 1.25$. प्रतिच्छेदन बिंदु $(1.25, 1.25)$ है।
प्रथम चतुर्थांश में इन रेखाओं द्वारा घिरा हुआ क्षेत्र एक त्रिभुजाकार क्षेत्र है। दिए गए विकल्पों को देखने पर,इन असमिकाओं द्वारा घिरा हुआ क्षेत्र विकल्प $B$ में दर्शाया गया है।

(B) सुसंगत क्षेत्र $x + y = 12$ और $2x + y = 20$ रेखाओं के मूल बिंदु की ओर स्थित है और यह प्रथम चतुर्थांश में है।
सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $O(0, 0)$,$B(10, 0)$,$C(8, 4)$ और $D(0, 12)$ हैं।
प्रत्येक कोणीय बिंदु पर उद्देश्य फलन $z = 10x + 6y$ का मान ज्ञात करने पर:
$O(0, 0)$ पर,$z = 10(0) + 6(0) = 0$.
$B(10, 0)$ पर,$z = 10(10) + 6(0) = 100$.
$C(8, 4)$ पर,$z = 10(8) + 6(4) = 80 + 24 = 104$.
$D(0, 12)$ पर,$z = 10(0) + 6(12) = 72$.
अतः,$z$ का अधिकतम मान $104$ है,जो बिंदु $C(8, 4)$ पर प्राप्त होता है।

(A) रैखिक असमिकाओं के निकाय को निर्धारित करने के लिए,हम छायांकित क्षेत्र की सीमा रेखाओं की पहचान करते हैं:
$1$. $(0, 25)$ और $(50, 0)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x}{50} + \frac{y}{25} = 1$ है,जो सरल होकर $x + 2y = 50$ हो जाता है। चूंकि छायांकित क्षेत्र इस रेखा के ऊपर है,इसलिए असमिका $x + 2y \geq 50$ है।
$2$. $(0, 100)$ और $(50, 0)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x}{50} + \frac{y}{100} = 1$ है,जो सरल होकर $2x + y = 100$ हो जाता है। चूंकि छायांकित क्षेत्र इस रेखा के नीचे है,इसलिए असमिका $2x + y \leq 100$ है।
$3$. $(0, 0)$ और $(10, 20)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y = 2x$ है,जो सरल होकर $2x - y = 0$ हो जाता है। चूंकि छायांकित क्षेत्र इस रेखा के बाईं ओर है (उदाहरण के लिए,परीक्षण बिंदु $(0, 10)$ लेने पर $2(0) - 10 = -10 \leq 0$),इसलिए असमिका $2x - y \leq 0$ है।
$4$. यह क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में है,इसलिए $x, y \geq 0$ है।
अतः,असमिकाओं का सही समुच्चय $x + 2y \geq 50, 2x + y \leq 100, 2x - y \leq 0, x, y \geq 0$ है।

(D) रैखिक बाधाओं को निर्धारित करने के लिए,हम छायांकित क्षेत्र की सीमाओं का विश्लेषण करते हैं:
$1$. $x=1$ से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा,जिसमें छायांकित क्षेत्र दाईं ओर है,बाधा $x \geqslant 1$ देती है।
$2$. $y=3$ से गुजरने वाली क्षैतिज रेखा,जिसमें छायांकित क्षेत्र उसके नीचे है,बाधा $y \leqslant 3$ देती है।
$3$. $(2, 0)$ और $(0, -1)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x}{2} - \frac{y}{1} = 1$ है,जो $x - 2y = 2$ में सरल हो जाता है। चूंकि छायांकित क्षेत्र इस रेखा के ऊपर है (उदाहरण के लिए,बिंदु $(3, 1)$ का परीक्षण करने पर $3 - 2(1) = 1 \leqslant 2$ प्राप्त होता है),बाधा $x - 2y \leqslant 2$ है।
$4$. $(7, 0)$ और $(0, 6)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x}{7} + \frac{y}{6} = 1$ है,जो $6x + 7y = 42$ में सरल हो जाता है। चूंकि छायांकित क्षेत्र इस रेखा के नीचे है (उदाहरण के लिए,बिंदु $(1, 1)$ का परीक्षण करने पर $6(1) + 7(1) = 13 \leqslant 42$ प्राप्त होता है),बाधा $6x + 7y \leqslant 42$ है।
$5$. गैर-ऋणात्मकता बाधाएं $x \geqslant 0$ और $y \geqslant 0$ हैं।
इन सबको मिलाकर,बाधाओं का सही सेट $x \geqslant 1, y \leqslant 3, x-2y \leqslant 2, 6x+7y \leqslant 42, x \geqslant 0, y \geqslant 0$ है।

(D) प्रतिबंध $3x+2y \leq 12$,$x+y \geq 4$,और $x, y \geq 0$ हैं।
सुसंगत क्षेत्र ज्ञात करने के लिए,हम रेखाओं $3x+2y=12$ और $x+y=4$ को आलेखित करते हैं।
अक्षों के साथ रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु इस प्रकार हैं:
$3x+2y=12$ के लिए: $(4,0)$ और $(0,6)$।
$x+y=4$ के लिए: $(4,0)$ और $(0,4)$।
सुसंगत क्षेत्र $A(4,0)$,$B(0,4)$,और $C(0,6)$ शीर्षों वाला एक त्रिभुज है।
हम इन कोणीय बिंदुओं पर उद्देश्य फलन $z=4x+6y$ का मान ज्ञात करते हैं:
$A(4,0)$ पर: $z = 4(4) + 6(0) = 16$।
$B(0,4)$ पर: $z = 4(0) + 6(4) = 24$।
$C(0,6)$ पर: $z = 4(0) + 6(6) = 36$।
इन मानों की तुलना करने पर,$z$ का अधिकतम मान $36$ है,जो बिंदु $C(0,6)$ पर प्राप्त होता है।

(C) सुसंगत क्षेत्र रेखाओं $x+y=10$,$5x+3y=15$,$x=6$ और अक्षों $x=0, y=0$ द्वारा घिरा हुआ है।
सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $A(0,5)$,$B(0,10)$,$C(6,4)$ और $E(3,0)$ हैं।
हम इन कोणीय बिंदुओं पर उद्देश्य फलन $z=x+y$ का मान ज्ञात करते हैं:
$A(0,5)$ पर,$z = 0+5 = 5$.
$B(0,10)$ पर,$z = 0+10 = 10$.
$C(6,4)$ पर,$z = 6+4 = 10$.
$E(3,0)$ पर,$z = 3+0 = 3$.
$z$ का अधिकतम मान $10$ है,जो $B(0,10)$ और $C(6,4)$ दोनों बिंदुओं पर प्राप्त होता है।
चूंकि अधिकतम मान दो कोणीय बिंदुओं पर प्राप्त होता है,इसलिए यह $B$ और $C$ को जोड़ने वाले रेखाखंड पर स्थित सभी बिंदुओं पर प्राप्त होता है।
अतः,अधिकतम मान अनंत बिंदुओं पर प्राप्त होता है।

(B) सुसंगत क्षेत्र $3x+4y=12$,$x+y=5$ रेखाओं और प्रथम चतुर्थांश में अक्षों द्वारा घिरा हुआ है।
कोणीय बिंदुओं को ज्ञात करने के लिए,हम छायांकित क्षेत्र के शीर्षों की पहचान करते हैं:
$1$. $3x+4y=12$ और $x$-अक्ष $(y=0)$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $3x=12 \implies x=4$. बिंदु $A(4, 0)$ है।
$2$. $x+y=5$ और $x$-अक्ष $(y=0)$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $x=5$. बिंदु $B(5, 0)$ है।
$3$. $x+y=5$ और $y$-अक्ष $(x=0)$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $y=5$. बिंदु $C(0, 5)$ है।
$4$. $3x+4y=12$ और $y$-अक्ष $(x=0)$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $4y=12 \implies y=3$. बिंदु $D(0, 3)$ है।
अब,प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $z=4x+2y$ का मान ज्ञात करते हैं:
- $A(4, 0)$ पर: $z = 4(4) + 2(0) = 16$
- $B(5, 0)$ पर: $z = 4(5) + 2(0) = 20$
- $C(0, 5)$ पर: $z = 4(0) + 2(5) = 10$
- $D(0, 3)$ पर: $z = 4(0) + 2(3) = 6$
अतः,$z$ का अधिकतम मान बिंदु $B(5, 0)$ पर $20$ है।

(D) रैखिक बाधाओं को खोजने के लिए,हम छायांकित क्षेत्र की सीमा बनाने वाली तीन रेखाओं के समीकरणों की पहचान करते हैं:
$1$. $(0, 3)$ और $(8, 0)$ से गुजरने वाली रेखा: अंतःखंड रूप $\frac{x}{8} + \frac{y}{3} = 1$ है,जो $3x + 8y = 24$ में सरल हो जाता है। चूंकि छायांकित क्षेत्र इस रेखा के ऊपर (मूल बिंदु से दूर) है,इसलिए बाधा $3x + 8y \geq 24$ है।
$2$. $(0, 4)$ और $(5, 0)$ से गुजरने वाली रेखा: अंतःखंड रूप $\frac{x}{5} + \frac{y}{4} = 1$ है,जो $4x + 5y = 20$ में सरल हो जाता है। चूंकि छायांकित क्षेत्र इस रेखा के नीचे (मूल बिंदु की ओर) है,इसलिए बाधा $4x + 5y \leq 20$ है।
$3$. $(0, 5)$ और $(3, 0)$ से गुजरने वाली रेखा: अंतःखंड रूप $\frac{x}{3} + \frac{y}{5} = 1$ है,जो $5x + 3y = 15$ में सरल हो जाता है। चूंकि छायांकित क्षेत्र इस रेखा के नीचे (मूल बिंदु की ओर) है,इसलिए बाधा $5x + 3y \leq 15$ है।
इन्हें गैर-ऋणात्मक बाधाओं $x \geq 0, y \geq 0$ के साथ जोड़ने पर,हमें प्रणाली मिलती है: $3x + 8y \geq 24, 4x + 5y \leq 20, 5x + 3y \leq 15, x \geq 0, y \geq 0$. अतः,विकल्प $D$ सही है।

(B) आलेखीय हल समुच्चय ज्ञात करने के लिए,हम दी गई असमिकाओं के निकाय का विश्लेषण करते हैं: $x+y \geq 1$,$7x+9y \leq 63$,$y \leq 5$,$x \leq 6$,$x \geq 0$,$y \geq 0$.
$1$. $x+y \geq 1$ के लिए: रेखा $(1, 0)$ और $(0, 1)$ से होकर गुजरती है। क्षेत्र मूल बिंदु से दूर है।
$2$. $7x+9y \leq 63$ के लिए: रेखा $(9, 0)$ और $(0, 7)$ से होकर गुजरती है। क्षेत्र मूल बिंदु की ओर है।
$3$. $x \leq 6$ और $y \leq 5$ के लिए: ये प्रथम चतुर्थांश में रेखाओं $x=6$ और $y=5$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र को दर्शाते हैं।
$4$. इन सभी क्षेत्रों का प्रतिच्छेदन सुसंगत क्षेत्र (feasible region) देता है। इन रेखाओं को आलेखित करने पर,हम देखते हैं कि क्षेत्र शीर्षों $(0, 1), (0, 7), (2.57, 5), (6, 5), (6, 2.33)$ और $(1, 0)$ द्वारा परिबद्ध है।
इसकी तुलना दी गई आकृतियों से करने पर,सही आलेखीय निरूपण आकृति $2$ है।

(C) आइए छायांकित क्षेत्र और उसकी रैखिक बाधाओं का विश्लेषण करें:
$1$. ग्राफ को देखने पर,क्षेत्र रेखाओं $y=x$ और $-x+3y=3$ तथा अक्षों $x=0$ और $y=0$ द्वारा घिरा हुआ है।
$2$. छायांकित क्षेत्र रेखा $-x+3y=3$ के नीचे स्थित है। मूल बिंदु $(0,0)$ का परीक्षण करने पर,हमें $-0+3(0) = 0 \leq 3$ प्राप्त होता है,जो असमिका को संतुष्ट करता है। अतः,बाधा $-x+3y \leq 3$ है।
$3$. यह क्षेत्र रेखा $y=x$ के दाईं ओर स्थित है। क्षेत्र में एक बिंदु,जैसे $(2, 0)$ का परीक्षण करने पर,हमें $x-y = 2-0 = 2 \geq 0$ प्राप्त होता है। अतः,बाधा $x-y \geq 0$ है।
$4$. विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $(C)$ इन शर्तों से मेल खाता है: $x-y \geq 0, -x+3y \leq 3, x \geq 0, y \geq 0$.

(B) मान लीजिए कि $x$ और $y$ क्रमशः तांबे और पीतल की मात्रा को ग्राम में दर्शाते हैं।
न्यूनतम करने के लिए उद्देश्य फलन लागत है: $z = 8x + 5y$.
समस्या के आधार पर बाधाएं हैं:
$1) \ x + y \geq 5$ (कुल वजन कम से कम $5 \text{ gms}$)
$2) \ x \geq 2$ (कम से कम $2 \text{ gms}$ तांबा)
$3) \ y \leq 4$ (अधिकतम $4 \text{ gms}$ पीतल)
$4) \ x \geq 0, y \geq 0$ (गैर-नकारात्मकता बाधाएं)
संभाव्य क्षेत्र इन असमानताओं द्वारा निर्धारित किया जाता है। संभाव्य क्षेत्र के कोणीय बिंदु सीमा रेखाओं के प्रतिच्छेदन द्वारा प्राप्त किए जाते हैं:
- बिंदु $A$: $x = 2$ और $y = 4$ का प्रतिच्छेदन,इसलिए $A = (2, 4)$.
- बिंदु $B$: $x = 2$ और $x + y = 5$ का प्रतिच्छेदन,इसलिए $B = (2, 3)$.
- बिंदु $C$: $x + y = 5$ और $y = 0$ का प्रतिच्छेदन,इसलिए $C = (5, 0)$.
अब,इन कोणीय बिंदुओं पर उद्देश्य फलन $z = 8x + 5y$ का मान ज्ञात करें:
- $A(2, 4)$ पर: $z = 8(2) + 5(4) = 16 + 20 = 36$.
- $B(2, 3)$ पर: $z = 8(2) + 5(3) = 16 + 15 = 31$.
- $C(5, 0)$ पर: $z = 8(5) + 5(0) = 40 + 0 = 40$.
$z$ का न्यूनतम मान $31$ है।
इसलिए,न्यूनतम लागत $₹ 31$ है।

(A) दी गई बाधाएँ $2x \geq 4$ (अर्थात $x \geq 2$),$y \leq 3$,$x+y \leq 8$ और $x, y \geq 0$ हैं।
सुसंगत क्षेत्र रेखाओं $x=2, y=3, x+y=8$ और $x$-अक्ष $(y=0)$ द्वारा घिरा हुआ है।
इस क्षेत्र के कोणीय बिंदु निम्नलिखित हैं:
$A(2, 0)$ ($x=2$ और $y=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु)
$B(8, 0)$ ($x+y=8$ और $y=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु)
$C(5, 3)$ ($x+y=8$ और $y=3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु)
$D(2, 3)$ ($x=2$ और $y=3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु)
अब,प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $Z=100x+70y$ का मान ज्ञात करते हैं:
$A(2, 0)$ पर: $Z = 100(2) + 70(0) = 200$
$B(8, 0)$ पर: $Z = 100(8) + 70(0) = 800$
$C(5, 3)$ पर: $Z = 100(5) + 70(3) = 500 + 210 = 710$
$D(2, 3)$ पर: $Z = 100(2) + 70(3) = 200 + 210 = 410$
अतः,$Z$ का अधिकतम मान $800$ है जो बिंदु $B(8, 0)$ पर प्राप्त होता है।

(B) सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $O(0,0)$,$A(6,0)$,$B(6,4)$,$C(3,7)$ और $D(0,5)$ हैं।
हम प्रत्येक कोणीय बिंदु पर उद्देश्य फलन $z=4x+3y$ का मान ज्ञात करते हैं:
$O(0,0)$ पर,$z=4(0)+3(0)=0$
$A(6,0)$ पर,$z=4(6)+3(0)=24$
$B(6,4)$ पर,$z=4(6)+3(4)=24+12=36$
$C(3,7)$ पर,$z=4(3)+3(7)=12+21=33$
$D(0,5)$ पर,$z=4(0)+3(5)=15$
इन मानों की तुलना करने पर,$z$ का अधिकतम मान $36$ है।

(C) छायांकित क्षेत्र तीन रेखाओं और प्रथम चतुर्थांश में अक्षों द्वारा घिरा हुआ है:
$1$. $(0, 3)$ और $(4, 0)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = 1$ है,जिसे सरल करने पर $3x + 4y = 12$ प्राप्त होता है। चूंकि छायांकित क्षेत्र मूल बिंदु की ओर है,इसलिए असमिका $3x + 4y \leq 12$ है।
$2$. $(0, 0)$ और $(3, 3)$ से गुजरने वाली रेखा $y = x$ है,यानी $y - x = 0$। छायांकित क्षेत्र इस रेखा के ऊपर है,इसलिए असमिका $y \geq x$ या $y - x \geq 0$ है।
$3$. $(0, 3)$ से गुजरने वाली क्षैतिज रेखा $y = 3$ है। छायांकित क्षेत्र इस रेखा के नीचे है,इसलिए असमिका $y \leq 3$ है।
$4$. चूंकि क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में है,इसलिए $x \geq 0$ और $y \geq 0$ है।
अतः,संबंधित असमिकाएं $3x + 4y \leq 12, y - x \geq 0, y \leq 3, x, y \geq 0$ हैं।

(D) सुसंगत क्षेत्र (feasible region) ज्ञात करने के लिए,हम प्रथम चतुर्थांश $(x \geq 0, y \geq 0)$ में दी गई असमिकाओं का विश्लेषण करते हैं:
$1$. $x-2y \leq 2$ के लिए: रेखा $(2, 0)$ और $(0, -1)$ से होकर गुजरती है। $(0, 0)$ बिंदु का परीक्षण करने पर,$0-0 \leq 2$ सत्य है,अतः क्षेत्र मूल बिंदु की ओर है।
$2$. $5x+2y \geq 10$ के लिए: रेखा $(2, 0)$ और $(0, 5)$ से होकर गुजरती है। $(0, 0)$ बिंदु का परीक्षण करने पर,$0+0 \geq 10$ असत्य है,अतः क्षेत्र मूल बिंदु से दूर है।
$3$. $4x+5y \leq 20$ के लिए: रेखा $(5, 0)$ और $(0, 4)$ से होकर गुजरती है। $(0, 0)$ बिंदु का परीक्षण करने पर,$0+0 \leq 20$ सत्य है,अतः क्षेत्र मूल बिंदु की ओर है।
इन सबको मिलाने पर,सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में इन रेखाओं द्वारा घिरा हुआ त्रिकोणीय क्षेत्र है,जो चित्र $3$ के अनुरूप है।

(B) छायांकित क्षेत्र के लिए रैखिक बाधाओं को निर्धारित करने के लिए,हम प्रत्येक रेखा के सापेक्ष क्षेत्र की स्थिति का विश्लेषण करते हैं:
$1$. रेखा $2x + y = 2$ के लिए,छायांकित क्षेत्र मूल बिंदु से दूर की ओर स्थित है। बिंदु $(1, 1)$ का परीक्षण करने पर,हमें $2(1) + 1 = 3 \geq 2$ प्राप्त होता है। अतः,बाधा $2x + y \geq 2$ है।
$2$. रेखा $x - y = 1$ के लिए,छायांकित क्षेत्र मूल बिंदु वाली ओर स्थित है। बिंदु $(0, 0)$ का परीक्षण करने पर,हमें $0 - 0 = 0 \leq 1$ प्राप्त होता है। अतः,बाधा $x - y \leq 1$ है।
$3$. रेखा $x + 2y = 8$ के लिए,छायांकित क्षेत्र मूल बिंदु वाली ओर स्थित है। बिंदु $(0, 0)$ का परीक्षण करने पर,हमें $0 + 2(0) = 0 \leq 8$ प्राप्त होता है। अतः,बाधा $x + 2y \leq 8$ है।
इसलिए,आवश्यक रैखिक बाधाएँ $2x + y \geq 2, x - y \leq 1, x + 2y \leq 8$ हैं।

(B) उद्देश्य फलन $z = 3x + 5y$ है।
प्रतिबंध $3x + 2y \leq 18$,$x \leq 4$,$y \leq 6$ और $x, y \geq 0$ हैं।
सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $O(0, 0)$,$A(4, 0)$,$B(4, 3)$,$C(2, 6)$ और $D(0, 6)$ हैं।
प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $z$ का मान ज्ञात करने पर:
$O(0, 0)$ पर: $z = 3(0) + 5(0) = 0$
$A(4, 0)$ पर: $z = 3(4) + 5(0) = 12$
$B(4, 3)$ पर: $z = 3(4) + 5(3) = 12 + 15 = 27$
$C(2, 6)$ पर: $z = 3(2) + 5(6) = 6 + 30 = 36$
$D(0, 6)$ पर: $z = 3(0) + 5(6) = 30$
अतः,$z$ का अधिकतम मान $36$ है जो बिंदु $(2, 6)$ पर प्राप्त होता है।

(C) दिए गए सुसंगत क्षेत्र $OCDBO$ के कोणीय बिंदु $O(0, 0)$,$C(10, 10)$,$D(10, 20)$ और $B(0, 25)$ हैं।
प्रत्येक कोणीय बिंदु पर उद्देश्य फलन $z = 3x + 4y$ का मान इस प्रकार है:
$1$. $O(0, 0)$ पर: $z = 3(0) + 4(0) = 0$
$2$. $C(10, 10)$ पर: $z = 3(10) + 4(10) = 30 + 40 = 70$
$3$. $D(10, 20)$ पर: $z = 3(10) + 4(20) = 30 + 80 = 110$
$4$. $B(0, 25)$ पर: $z = 3(0) + 4(25) = 0 + 100 = 100$
मानों $0, 70, 110$ और $100$ की तुलना करने पर,$z$ का अधिकतम मान $110$ है।

(B) सुसंगत क्षेत्र $x+y \leq 20, y \geq 5, x \leq 10, x \geq 0, y \geq 0$ अवरोधों द्वारा निर्धारित होता है।
सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $A(0, 5), B(10, 5), C(10, 10)$ और $D(0, 20)$ हैं।
प्रत्येक कोणीय बिंदु पर उद्देश्य फलन $z = 7x + 8y$ का मान ज्ञात करने पर:
$A(0, 5)$ पर: $z = 7(0) + 8(5) = 40$
$B(10, 5)$ पर: $z = 7(10) + 8(5) = 70 + 40 = 110$
$C(10, 10)$ पर: $z = 7(10) + 8(10) = 70 + 80 = 150$
$D(0, 20)$ पर: $z = 7(0) + 8(20) = 160$
अतः,$z$ का अधिकतम मान $160$ है।

(B) $1$. क्षेत्र को परिबद्ध करने वाली रेखाओं की पहचान करें: रेखाएं $3x + 4y = 12$ (अंतःखंड $(4,0)$ और $(0,3)$),$4x + 7y = 28$ (अंतःखंड $(7,0)$ और $(0,4)$),और $y = 1$ हैं।
$2$. असमिकाओं का विश्लेषण करें:
- रेखा $3x + 4y = 12$ के लिए,छायांकित क्षेत्र मूल बिंदु से दूर है,इसलिए असमिका $3x + 4y \geq 12$ है।
- रेखा $4x + 7y = 28$ के लिए,छायांकित क्षेत्र मूल बिंदु की ओर है,इसलिए असमिका $4x + 7y \leq 28$ है।
- रेखा $y = 1$ के लिए,छायांकित क्षेत्र रेखा के ऊपर है,इसलिए असमिका $y \geq 1$ है।
- चूंकि क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में है,इसलिए $x \geq 0$ और $y \geq 0$ है।
$3$. इन सबको मिलाकर,असमिकाओं का निकाय $3x + 4y \geq 12, 4x + 7y \leq 28, y \geq 1, x \geq 0, y \geq 0$ है।

(C) सुसंगत क्षेत्र $(0,0)$,$(3,0)$,$(3,2)$,$(2,3)$,और $(0,3)$ शीर्षों वाला एक बहुभुज है।
हम प्रत्येक शीर्ष पर उद्देश्य फलन $z=10x+25y$ का मान ज्ञात करते हैं:
$(0,0)$ पर,$z=10(0)+25(0)=0$
$(3,0)$ पर,$z=10(3)+25(0)=30$
$(3,2)$ पर,$z=10(3)+25(2)=30+50=80$
$(2,3)$ पर,$z=10(2)+25(3)=20+75=95$
$(0,3)$ पर,$z=10(0)+25(3)=75$
इन मानों की तुलना करने पर,$z$ का अधिकतम मान $95$ है।

(A) सुसंगत क्षेत्र (feasible region) ज्ञात करने के लिए,हम दी गई असमिकाओं का विश्लेषण करते हैं:
$1$. $4x + 3y \leq 60$: यह रेखा $(15, 0)$ और $(0, 20)$ से गुजरती है और इसके नीचे का क्षेत्र दर्शाती है।
$2$. $y \geq 2x$: यह रेखा $(0, 0)$ और $(3, 6)$ से गुजरती है और इसके ऊपर का क्षेत्र दर्शाती है।
$3$. $x \geq 3$: यह ऊर्ध्वाधर रेखा $x = 3$ के दाईं ओर का क्षेत्र दर्शाती है।
$4$. $x, y \geq 0$: यह प्रथम चतुर्थांश को दर्शाता है।
$S_2$ क्षेत्र में स्थित एक बिंदु $(4, 10)$ की जाँच करने पर:
- $4(4) + 3(10) = 16 + 30 = 46 \leq 60$ (सत्य)
- $10 \geq 2(4) = 8$ (सत्य)
- $4 \geq 3$ (सत्य)
- $4, 10 \geq 0$ (सत्य)
चूंकि सभी शर्तें संतुष्ट होती हैं,इसलिए हल समुच्चय $S_2$ क्षेत्र द्वारा दर्शाया गया है।

(D) रैखिक बाधाओं को निर्धारित करने के लिए,हम छायांकित क्षेत्र की सीमा रेखाओं का विश्लेषण करते हैं:
$1$. $(3, 0)$ और $(0, 2)$ से गुजरने वाली रेखा $2x + 3y = 6$ है। चूंकि छायांकित क्षेत्र मूल बिंदु से दूर है,इसलिए बाधा $2x + 3y \geq 6$ है।
$2$. $(0, 3)$ और $(6, 0)$ से गुजरने वाली रेखा $3x + 6y = 18$ है। चूंकि छायांकित क्षेत्र मूल बिंदु की ओर है,इसलिए बाधा $3x + 6y \leq 18$ है।
$3$. $(3, 0)$ और $(0, -1)$ से गुजरने वाली रेखा $x - 3y = 3$ है। चूंकि छायांकित क्षेत्र मूल बिंदु की ओर है,इसलिए बाधा $x - 3y \leq 3$ है।
$4$. $(0, 1)$ और $(2, 2)$ से गुजरने वाली रेखा $-x + 2y = 2$ है। चूंकि छायांकित क्षेत्र मूल बिंदु की ओर है,इसलिए बाधा $-x + 2y \leq 2$ है।
$5$. चूंकि क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में है,इसलिए $x \geq 0$ और $y \geq 0$ है।
अतः,सही बाधाएं $2x + 3y \geq 6, 3x + 6y \leq 18, x - 3y \leq 3, -x + 2y \leq 2, x \geq 0, y \geq 0$ हैं।

(D) दी गई असमिकाओं का निकाय है:
$x+y \leq 70$
$x+2y \leq 100$
$2x+y \leq 120$
$x \geq 0, y \geq 0$
चूंकि सभी असमिकाएं $x+y \leq 70$,$x+2y \leq 100$,और $2x+y \leq 120$ मूल बिंदु $(0,0)$ द्वारा संतुष्ट होती हैं (क्योंकि $0+0 \leq 70$,$0+0 \leq 100$,और $0+0 \leq 120$ सभी सत्य हैं),इसलिए सुसंगत क्षेत्र को प्रथम चतुर्थांश में मूल बिंदु की ओर होना चाहिए।
रेखाओं और प्रतिबंधों $x \geq 0, y \geq 0$ का विश्लेषण करने पर,सामान्य छायांकित क्षेत्र जो इन सभी शर्तों को पूरा करता है,वह चित्र $3$ द्वारा दर्शाया गया है।

(C) सुसंगत क्षेत्र अवरोधों $2x+3y \leq 12$,$2x+y \leq 8$,$x \geq 0$ और $y \geq 0$ द्वारा निर्धारित होता है। सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $(0, 0)$,$(4, 0)$,$(3, 2)$ और $(0, 4)$ हैं।
इन कोणीय बिंदुओं पर उद्देश्य फलन $z=4x+5y$ का मान ज्ञात करने पर:
$(0, 0)$ पर: $z = 4(0) + 5(0) = 0$
$(4, 0)$ पर: $z = 4(4) + 5(0) = 16$
$(3, 2)$ पर: $z = 4(3) + 5(2) = 12 + 10 = 22$
$(0, 4)$ पर: $z = 4(0) + 5(4) = 20$
अतः,$z$ का अधिकतम मान बिंदु $(3, 2)$ पर $22$ है।

(D) सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $(0, 80)$,$(14, 33)$ और $(80, 0)$ हैं।
प्रत्येक कोणीय बिंदु पर उद्देश्य फलन $Z = 4x + 6y$ का मान ज्ञात करने पर:
$1$. $(0, 80)$ पर: $Z = 4(0) + 6(80) = 480$
$2$. $(14, 33)$ पर: $Z = 4(14) + 6(33) = 56 + 198 = 254$
$3$. $(80, 0)$ पर: $Z = 4(80) + 6(0) = 320$
इन मानों की तुलना करने पर,$Z$ का न्यूनतम मान $254$ है,जो बिंदु $(14, 33)$ पर प्राप्त होता है।

(A) $Z = 5x + 2y$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम अवरोधों द्वारा परिभाषित सुसंगत क्षेत्र (feasible region) की पहचान करते हैं:
$1$. $2x - y \geq 2$
$2$. $x + 2y \leq 8$
$3$. $x, y \geq 0$
सीमा रेखाएं $2x - y = 2$ और $x + 2y = 8$ हैं।
- $2x - y = 2$ के लिए,अंतःखंड $(1, 0)$ और $(0, -2)$ हैं।
- $x + 2y = 8$ के लिए,अंतःखंड $(8, 0)$ और $(0, 4)$ हैं।
$2x - y = 2$ और $x + 2y = 8$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए:
पहले समीकरण को $2$ से गुणा करने पर: $4x - 2y = 4$।
इसे $x + 2y = 8$ में जोड़ने पर,हमें $5x = 12$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = 2.4$।
$x = 2.4$ को $2x - y = 2$ में प्रतिस्थापित करने पर: $2(2.4) - y = 2 \implies 4.8 - y = 2 \implies y = 2.8$।
सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष $(1, 0)$,$(8, 0)$,और $(2.4, 2.8)$ हैं।
अब,इन शीर्षों पर $Z = 5x + 2y$ का मान ज्ञात करते हैं:
- $(1, 0)$ पर: $Z = 5(1) + 2(0) = 5$
- $(8, 0)$ पर: $Z = 5(8) + 2(0) = 40$
- $(2.4, 2.8)$ पर: $Z = 5(2.4) + 2(2.8) = 12 + 5.6 = 17.6$
इन मानों की तुलना करने पर,अधिकतम मान $(8, 0)$ पर $40$ है।

(D) $z=50x+15y$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदुओं पर उद्देश्य फलन का मान ज्ञात करते हैं।
सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $(0, 0)$,$(20, 0)$,$(10, 50)$ और $(0, 60)$ हैं।
प्रत्येक बिंदु पर $z$ का मान:
$1$. $(0, 0)$ पर: $z = 50(0) + 15(0) = 0$
$2$. $(20, 0)$ पर: $z = 50(20) + 15(0) = 1000$
$3$. $(10, 50)$ पर: $z = 50(10) + 15(50) = 500 + 750 = 1250$
$4$. $(0, 60)$ पर: $z = 50(0) + 15(60) = 900$
अतः,अधिकतम मान $1250$ है,जो बिंदु $(10, 50)$ पर प्राप्त होता है।

(D) छायांकित क्षेत्र के लिए रैखिक अवरोधों को निर्धारित करने के लिए,हम प्रत्येक सीमा रेखा का विश्लेषण करते हैं:
$1$. रेखा $x+2y=6$ के लिए छायांकित क्षेत्र मूल बिंदु से दूर की ओर है (क्योंकि बिंदु $(7, 6)$,$7+12=19 \geq 6$ को संतुष्ट करता है)। अतः,अवरोध $x+2y \geq 6$ है।
$2$. रेखा $5x+3y=15$ के लिए छायांकित क्षेत्र मूल बिंदु से दूर की ओर है (क्योंकि बिंदु $(7, 6)$,$35+18=53 \geq 15$ को संतुष्ट करता है)। अतः,अवरोध $5x+3y \geq 15$ है।
$3$. ऊर्ध्वाधर रेखा $x=7$ के लिए छायांकित क्षेत्र इसके बाईं ओर है,इसलिए $x \leq 7$ है।
$4$. क्षैतिज रेखा $y=6$ के लिए छायांकित क्षेत्र इसके नीचे है,इसलिए $y \leq 6$ है।
$5$. यह क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में है,इसलिए $x, y \geq 0$ है।
इन सबको मिलाकर,अवरोध $x+2y \geq 6, 5x+3y \geq 15, x \leq 7, y \leq 6, x, y \geq 0$ हैं।

(B) सुसंगत क्षेत्र रेखाओं $x+y=5$,$4x+3y=24$,$x=0$,और $y=0$ द्वारा परिबद्ध है।
कोणीय बिंदुओं को खोजने के लिए,हम छायांकित क्षेत्र के शीर्षों की पहचान करते हैं:
$1$. $x=0$ और $4x+3y=24$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 8)$ देता है।
$2$. $x=0$ और $x+y=5$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 5)$ देता है।
$3$. ग्राफ को देखने पर,शीर्ष $(0, 5)$,$(0, 8)$,$(6, 0)$ और $(5, 0)$ हैं।
कोणीय बिंदुओं पर $Z=2x+y$ का मान ज्ञात करने पर:
$(0, 5)$ पर,$Z = 2(0) + 5 = 5$.
$(0, 8)$ पर,$Z = 2(0) + 8 = 8$.
$(5, 0)$ पर,$Z = 2(5) + 0 = 10$.
$(6, 0)$ पर,$Z = 2(6) + 0 = 12$.
अधिकतम मान $12$ है जो $(6, 0)$ बिंदु पर प्राप्त होता है।

(C) सुसंगत क्षेत्र में बिंदु ज्ञात करने के लिए,हमें यह जांचना होगा कि कौन सा बिंदु दी गई सभी असमिकाओं को संतुष्ट करता है:
$1$) $x+y \leq 3$
$2$) $2x+5y \geq 10$
$3$) $x \geq 0, y \geq 0$
आइए दिए गए विकल्पों की जांच करें:
विकल्प $(A)$ $(2,2)$ के लिए: $2+2 = 4 \not\leq 3$. (असत्य)
विकल्प $(B)$ $(4,2)$ के लिए: $4+2 = 6 \not\leq 3$. (असत्य)
विकल्प $(C)$ $(1,2)$ के लिए: $1+2 = 3 \leq 3$ (सत्य),$2(1)+5(2) = 2+10 = 12 \geq 10$ (सत्य),और $1 \geq 0, 2 \geq 0$ (सत्य)। (सत्य)
विकल्प $(D)$ $(2,1)$ के लिए: $2(2)+5(1) = 4+5 = 9 \not\geq 10$. (असत्य)
अतः,बिंदु $(1,2)$ सभी असमिकाओं को संतुष्ट करता है और सुसंगत क्षेत्र में स्थित है।

(B) रैखिक बाधाओं को निर्धारित करने के लिए,हम छायांकित क्षेत्र के लिए प्रत्येक रेखा द्वारा परिभाषित अर्ध-तलों का विश्लेषण करते हैं:
$1$. रेखा $3x + 4y = 18$ के लिए,मूल बिंदु $(0,0)$ समीकरण $3(0) + 4(0) = 0 \leq 18$ को संतुष्ट करता है। चूंकि छायांकित क्षेत्र में इस रेखा के सापेक्ष मूल बिंदु शामिल है,इसलिए बाधा $3x + 4y \leq 18$ है।
$2$. रेखा $2x + 3y = 3$ के लिए,मूल बिंदु $(0,0)$ पर $2(0) + 3(0) = 0 \leq 3$ प्राप्त होता है। चूंकि छायांकित क्षेत्र मूल बिंदु से दूर की ओर है,इसलिए बाधा $2x + 3y \geq 3$ है।
$3$. रेखा $x - 6y = 3$ के लिए,मूल बिंदु $(0,0)$ पर $0 - 0 = 0 \leq 3$ प्राप्त होता है। चूंकि छायांकित क्षेत्र मूल बिंदु वाली ओर है,इसलिए बाधा $x - 6y \leq 3$ है।
$4$. रेखा $-x + 2y = 2$ के लिए,मूल बिंदु $(0,0)$ पर $0 + 0 = 0 \leq 2$ प्राप्त होता है। चूंकि छायांकित क्षेत्र मूल बिंदु वाली ओर है,इसलिए बाधा $-x + 2y \leq 2$ है।
$5$. यह क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में है,इसलिए $x \geq 0$ और $y \geq 0$ है।
अतः,बाधाओं का सही सेट $3x + 4y \leq 18, 2x + 3y \geq 3, x - 6y \leq 3, -x + 2y \leq 2, x \geq 0, y \geq 0$ है।

(A) $1$. छायांकित क्षेत्र रेखाओं $x=0$ ($Y$-अक्ष),$y=0$ ($X$-अक्ष),$x=5$,$y=3$ और $(0,0)$ तथा $(3,3)$ से गुजरने वाली रेखा द्वारा घिरा हुआ है।
$2$. $(0,0)$ और $(3,3)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y=x$ है,जिसे $x-y=0$ के रूप में लिखा जा सकता है। चूंकि छायांकित क्षेत्र इस रेखा के नीचे स्थित है,इसलिए अवरोध $x-y \geq 0$ है।
$3$. ऊर्ध्वाधर रेखा $x=5$ क्षेत्र को दाईं ओर सीमित करती है,इसलिए $x \leq 5$.
$4$. क्षैतिज रेखा $y=3$ क्षेत्र को ऊपर की ओर सीमित करती है,इसलिए $y \leq 3$.
$5$. चूंकि क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में है,इसलिए $x \geq 0$ और $y \geq 0$.
$6$. इन सबको मिलाने पर,अवरोध $x, y \geq 0, x-y \geq 0, x \leq 5, y \leq 3$ प्राप्त होते हैं।

(B) अवरोध $2x + y \geq 7$,$2x + 3y \leq 15$,$y \leq 3$,$x \geq 0$ और $y \geq 0$ हैं।
ग्राफ से,सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष $A(3.5, 0)$,$B(7.5, 0)$,$C(3, 3)$ और $D(2, 3)$ हैं।
हम इन शीर्षों पर उद्देश्य फलन $z = 4x + 5y$ का मान ज्ञात करते हैं:
$z(A) = 4(3.5) + 5(0) = 14 + 0 = 14$
$z(B) = 4(7.5) + 5(0) = 30 + 0 = 30$
$z(C) = 4(3) + 5(3) = 12 + 15 = 27$
$z(D) = 4(2) + 5(3) = 8 + 15 = 23$
न्यूनतम मान $14$ है,जो बिंदु $A(3.5, 0)$ पर प्राप्त होता है। चूंकि बिंदु $A$ $X$-अक्ष पर स्थित है,इसलिए न्यूनतम मान $X$-अक्ष पर प्राप्त होता है।

(B) सुसंगत क्षेत्र $0 \leq x \leq 3$,$0 \leq y \leq 3$ और $x + y \leq 5$ प्रतिबंधों द्वारा निर्धारित होता है।
सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु हैं:
$O(0, 0)$,$A(3, 0)$,$B(3, 2)$,$C(2, 3)$ और $D(0, 3)$।
प्रत्येक शीर्ष बिंदु पर उद्देश्य फलन $Z = 10x + 25y$ का मान ज्ञात करने पर:

शीर्ष बिंदु	$Z = 10x + 25y$
$O(0, 0)$	$10(0) + 25(0) = 0$
$A(3, 0)$	$10(3) + 25(0) = 30$
$B(3, 2)$	$10(3) + 25(2) = 30 + 50 = 80$
$C(2, 3)$	$10(2) + 25(3) = 20 + 75 = 95$
$D(0, 3)$	$10(0) + 25(3) = 75$

मानों की तुलना करने पर,$Z$ का अधिकतम मान $95$ है,जो बिंदु $(2, 3)$ पर प्राप्त होता है।

(A) सुसंगत क्षेत्र प्रतिबंधों $x+y \leq 5$,$2x+y \geq 4$,$x \geq 0$ और $y \geq 0$ द्वारा निर्धारित होता है।
ग्राफ से,सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष $A(0, 4)$,$B(2, 0)$,$C(5, 0)$ और $D(0, 5)$ हैं।
हम प्रत्येक शीर्ष पर उद्देश्य फलन $z = 2x + 3y$ का मान ज्ञात करते हैं:
$A(0, 4)$ पर: $z = 2(0) + 3(4) = 12$.
$B(2, 0)$ पर: $z = 2(2) + 3(0) = 4$.
$C(5, 0)$ पर: $z = 2(5) + 3(0) = 10$.
$D(0, 5)$ पर: $z = 2(0) + 3(5) = 15$.
अतः,$z$ का अधिकतम मान $15$ है,जो बिंदु $D(0, 5)$ पर प्राप्त होता है।