MCQ based Question Questions in Hindi

(A) सुसंगत क्षेत्र अवरोधों $(2)$ से $(4)$ द्वारा निर्धारित होता है।
$1$. रेखा $x + 2y = 10$ के लिए,अंतःखंड $(10, 0)$ और $(0, 5)$ हैं।
$2$. रेखा $3x + 4y = 24$ के लिए,अंतःखंड $(8, 0)$ और $(0, 6)$ हैं।
$3$. $x + 2y = 10$ और $3x + 4y = 24$ का प्रतिच्छेदन बिंदु समीकरणों को हल करके प्राप्त होता है:
पहले समीकरण को $2$ से गुणा करने पर: $2x + 4y = 20$।
इसे $3x + 4y = 24$ से घटाने पर $x = 4$ प्राप्त होता है।
$x = 4$ को $x + 2y = 10$ में रखने पर $4 + 2y = 10$,अतः $2y = 6$,$y = 3$ प्राप्त होता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(4, 3)$ है।
सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $(0, 5)$,$(0, 6)$ और $(4, 3)$ हैं।

कोणीय बिंदु	$Z = 200x + 500y$ का मान
$(0, 5)$	$200(0) + 500(5) = 2500$
$(0, 6)$	$200(0) + 500(6) = 3000$
$(4, 3)$	$200(4) + 500(3) = 800 + 1500 = 2300$

$Z$ का न्यूनतम मान $2300$ बिंदु $(4, 3)$ पर प्राप्त होता है।

(A) सबसे पहले,हम रैखिक असमिकाओं $(2)$ से $(5)$ के निकाय के सुसंगत क्षेत्र का आलेख खींचते हैं।
सुसंगत क्षेत्र $ABCD$ आकृति में दिखाया गया है। ध्यान दें कि क्षेत्र परिबद्ध है।
कोणीय बिंदुओं $A, B, C$ और $D$ के निर्देशांक क्रमशः $(0,10), (5,5), (15,15)$ और $(0,20)$ हैं।

कोणीय बिंदु	$Z=3x+9y$ का संगत मान
$A(0,10)$	$90$
$B(5,5)$	$60$ (न्यूनतम)
$C(15,15)$	$180$ (अधिकतम)
$D(0,20)$	$180$ (अधिकतम)

हम $Z$ का न्यूनतम और अधिकतम मान ज्ञात करते हैं। तालिका से,$Z$ का न्यूनतम मान बिंदु $B(5,5)$ पर $60$ है।
सुसंगत क्षेत्र पर $Z$ का अधिकतम मान दो कोणीय बिंदुओं $C(15,15)$ और $D(0,20)$ पर प्राप्त होता है। चूंकि दोनों बिंदुओं पर अधिकतम मान समान है,इसलिए $C$ और $D$ को जोड़ने वाले रेखाखंड पर स्थित कोई भी बिंदु भी $180$ का अधिकतम मान देगा।

(D) सबसे पहले,हम असमिकाओं $(2)$ से $(5)$ के निकाय का सुसंगत क्षेत्र आलेखित करते हैं।
आकृति में दिखाए अनुसार सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध (unbounded) है।
हम कोणीय बिंदुओं पर $Z$ का मान ज्ञात करते हैं:

कोणीय बिंदु	$Z = -50x + 20y$
$(0, 5)$	$100$
$(0, 3)$	$60$
$(1, 0)$	$-50$
$(6, 0)$	$-300$

तालिका से,कोणीय बिंदु $(6, 0)$ पर सबसे छोटा मान $-300$ प्राप्त होता है।
चूंकि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है,हमें यह जांचना होगा कि क्या $-300$ वास्तव में न्यूनतम मान है।
हम असमिका $-50x + 20y < -300$ का आलेख खींचते हैं,जो सरल होकर $-5x + 2y < -30$ हो जाता है।
यदि इस खुले अर्ध-तल में सुसंगत क्षेत्र के साथ उभयनिष्ठ बिंदु हैं,तो $-300$ न्यूनतम मान नहीं है।
आलेख में देखने पर,रेखा $-5x + 2y = -30$ सुसंगत क्षेत्र से होकर गुजरती है और क्षेत्र $-5x + 2y < -30$ में सुसंगत क्षेत्र के बिंदु शामिल हैं।
अतः,दिए गए प्रतिबंधों के अधीन उद्देश्य फलन $Z = -50x + 20y$ का कोई न्यूनतम मान नहीं है।

(N/A) आइए असमिकाओं $(1)$ से $(3)$ का आलेख खींचें।
असमिका $x + y \geqslant 8$ के लिए,क्षेत्र $(8, 0)$ और $(0, 8)$ से गुजरने वाली रेखा पर या उसके ऊपर है।
असमिका $3x + 5y \leqslant 15$ के लिए,क्षेत्र $(5, 0)$ और $(0, 3)$ से गुजरने वाली रेखा पर या उसके नीचे है।
चूंकि $x \geqslant 0$ और $y \geqslant 0$ है,हम प्रथम चतुर्थांश तक सीमित हैं।
आलेख का अवलोकन करने पर,$x + y \geqslant 8$ द्वारा परिभाषित क्षेत्र मूल बिंदु से दूर है,जबकि $3x + 5y \leqslant 15$ द्वारा परिभाषित क्षेत्र मूल बिंदु की ओर है।
ऐसा कोई उभयनिष्ठ क्षेत्र नहीं है जो दी गई सभी बाधाओं को एक साथ संतुष्ट करता हो।
अतः,इस समस्या का कोई सुसंगत क्षेत्र नहीं है और परिणामस्वरूप इसका कोई सुसंगत हल नहीं है।

(B) प्रतिबंधों $x + y \leq 4, x \geq 0, y \geq 0$ द्वारा निर्धारित सुसंगत क्षेत्र $O(0,0), A(4,0),$ और $B(0,4)$ शीर्षों वाला एक त्रिभुज है।
सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $O(0,0), A(4,0),$ और $B(0,4)$ हैं।
प्रत्येक कोणीय बिंदु पर उद्देश्य फलन $Z = 3x + 4y$ का मान इस प्रकार है:

कोणीय बिंदु	$Z = 3x + 4y$
$O(0,0)$	$3(0) + 4(0) = 0$
$A(4,0)$	$3(4) + 4(0) = 12$
$B(0,4)$	$3(0) + 4(4) = 16$

अतः,$Z$ का अधिकतम मान $16$ है जो बिंदु $B(0,4)$ पर प्राप्त होता है।

(A) सुसंगत क्षेत्र अवरोधों की प्रणाली द्वारा निर्धारित होता है:
$x + 2y \leq 8$
$3x + 2y \leq 12$
$x \geq 0, y \geq 0$
सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $O(0,0)$,$A(4,0)$,$B(2,3)$,और $C(0,4)$ हैं।
प्रत्येक कोणीय बिंदु पर उद्देश्य फलन $Z = -3x + 4y$ का मान इस प्रकार है:

कोणीय बिंदु	$Z = -3x + 4y$
$O(0,0)$	$-3(0) + 4(0) = 0$
$A(4,0)$	$-3(4) + 4(0) = -12$
$B(2,3)$	$-3(2) + 4(3) = -6 + 12 = 6$
$C(0,4)$	$-3(0) + 4(4) = 16$

इन बिंदुओं पर $Z$ के मानों की तुलना करने पर,न्यूनतम मान $-12$ बिंदु $(4,0)$ पर प्राप्त होता है।

(A) प्रतिबंधों की प्रणाली द्वारा निर्धारित सुसंगत क्षेत्र:
$3x + 5y \leq 15$,$5x + 2y \leq 10$,$x \geq 0$,और $y \geq 0$.
सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $O(0, 0)$,$A(2, 0)$,और $B(0, 3)$ हैं। रेखाओं $3x + 5y = 15$ और $5x + 2y = 10$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $C$ समीकरणों को हल करके प्राप्त किया जाता है:
पहले समीकरण को $2$ से और दूसरे को $5$ से गुणा करने पर:
$6x + 10y = 30$
$25x + 10y = 50$
दूसरे में से पहले को घटाने पर: $19x = 20 \implies x = \frac{20}{19}$.
$x$ का मान $5x + 2y = 10$ में रखने पर: $5(\frac{20}{19}) + 2y = 10 \implies \frac{100}{19} + 2y = 10 \implies 2y = 10 - \frac{100}{19} = \frac{90}{19} \implies y = \frac{45}{19}$.
अतः,$C = (\frac{20}{19}, \frac{45}{19})$.
इन कोणीय बिंदुओं पर $Z$ के मान:

कोणीय बिंदु	$Z = 5x + 3y$
$O(0, 0)$	$0$
$A(2, 0)$	$10$
$B(0, 3)$	$9$
$C(\frac{20}{19}, \frac{45}{19})$	$5(\frac{20}{19}) + 3(\frac{45}{19}) = \frac{100 + 135}{19} = \frac{235}{19}$

अतः,$Z$ का अधिकतम मान बिंदु $(\frac{20}{19}, \frac{45}{19})$ पर $\frac{235}{19}$ है।

(A) प्रतिबंधों $x + 3y \geq 3$,$x + y \geq 2$,और $x, y \geq 0$ द्वारा निर्धारित सुसंगत क्षेत्र (feasible region) अपरिबद्ध (unbounded) है।
सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $A(3, 0)$,$B(\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$,और $C(0, 2)$ हैं।
इन कोणीय बिंदुओं पर $Z = 3x + 5y$ का मान इस प्रकार है:

कोणीय बिंदु	$Z = 3x + 5y$
$A(3, 0)$	$3(3) + 5(0) = 9$
$B(\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$	$3(\frac{3}{2}) + 5(\frac{1}{2}) = \frac{9}{2} + \frac{5}{2} = \frac{14}{2} = 7$
$C(0, 2)$	$3(0) + 5(2) = 10$

चूंकि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है,इसलिए हम जांचते हैं कि क्या $Z < 7$ का सुसंगत क्षेत्र के साथ कोई उभयनिष्ठ बिंदु है।
हम रेखा $3x + 5y = 7$ खींचते हैं। आलेख से यह देखा जा सकता है कि अर्धतल $3x + 5y < 7$ का सुसंगत क्षेत्र के साथ कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है।
अतः,$Z$ का न्यूनतम मान $7$ है,जो बिंदु $(\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$ पर प्राप्त होता है।

(B) सुसंगत क्षेत्र $x + 2y \leq 10$,$3x + y \leq 15$,$x \geq 0$ और $y \geq 0$ प्रतिबंधों द्वारा निर्धारित होता है।
सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $O(0,0)$,$A(5,0)$,$B(4,3)$ और $C(0,5)$ हैं।
प्रत्येक कोणीय बिंदु पर उद्देश्य फलन $Z = 3x + 2y$ का मान इस प्रकार है:

कोणीय बिंदु	$Z = 3x + 2y$
$O(0,0)$	$3(0) + 2(0) = 0$
$A(5,0)$	$3(5) + 2(0) = 15$
$B(4,3)$	$3(4) + 2(3) = 12 + 6 = 18$
$C(0,5)$	$3(0) + 2(5) = 10$

अतः,$Z$ का अधिकतम मान बिंदु $(4,3)$ पर $18$ है।

(B) सुसंगत क्षेत्र $2x + y \geq 3$,$x + 2y \geq 6$,$x \geq 0$ और $y \geq 0$ प्रतिबंधों द्वारा निर्धारित होता है।
सबसे पहले,हम रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं:
$1$. $2x + y = 3$ के लिए,अंतःखंड $(1.5, 0)$ और $(0, 3)$ हैं।
$2$. $x + 2y = 6$ के लिए,अंतःखंड $(6, 0)$ और $(0, 3)$ हैं।
सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में दोनों रेखाओं के ऊपर का अपरिबद्ध क्षेत्र है। इस क्षेत्र के कोणीय बिंदु $(6, 0)$ और $(0, 3)$ हैं।
इन कोणीय बिंदुओं पर $Z = x + 2y$ का मान ज्ञात करते हैं:

कोणीय बिंदु	$Z = x + 2y$
$(6, 0)$	$6 + 2(0) = 6$
$(0, 3)$	$0 + 2(3) = 6$

चूंकि दोनों कोणीय बिंदुओं पर $Z$ का मान $6$ है,इसलिए $Z$ का न्यूनतम मान $6$ है। यह न्यूनतम मान $(6, 0)$ और $(0, 3)$ को जोड़ने वाली रेखाखंड के प्रत्येक बिंदु पर प्राप्त होता है।

(A) प्रतिबंधों $x + 2y \leq 120, x + y \geq 60, x - 2y \geq 0, x \geq 0, y \geq 0$ द्वारा निर्धारित सुसंगत क्षेत्र ग्राफ में दिखाया गया है।
सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $A(60, 0), C(60, 30), D(40, 20)$ हैं।
इन कोणीय बिंदुओं पर $Z = 5x + 10y$ के मान इस प्रकार हैं:

कोणीय बिंदु	$Z = 5x + 10y$
$A(60, 0)$	$5(60) + 10(0) = 300$
$C(60, 30)$	$5(60) + 10(30) = 600$
$D(40, 20)$	$5(40) + 10(20) = 400$

नोट: यदि उद्देश्य फलन $Z = x + 2y$ है,तो रेखाखंड $CD$ पर $Z$ का न्यूनतम मान समान रहता है,इसलिए न्यूनतम मान अनंत बिंदुओं पर प्राप्त होता है।

(N/A) सुसंगत क्षेत्र निम्नलिखित प्रतिबंधों द्वारा निर्धारित होता है:
$x + 2y \geq 100, 2x - y \leq 0, 2x + y \leq 200, x \geq 0, y \geq 0$.
सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $A(0, 50), B(20, 40),$ और $C(50, 100)$ हैं।
इन कोणीय बिंदुओं पर $Z = x + 2y$ के मान निम्नलिखित हैं:

कोणीय बिंदु	$Z = x + 2y$
$A(0, 50)$	$0 + 2(50) = 100$ (न्यूनतम)
$B(20, 40)$	$20 + 2(40) = 100$ (न्यूनतम)
$C(50, 100)$	$50 + 2(100) = 250$

चूंकि $Z$ का न्यूनतम मान $100$,$A(0, 50)$ और $B(20, 40)$ दोनों बिंदुओं पर प्राप्त होता है,इसलिए $A$ और $B$ को जोड़ने वाले रेखाखंड के सभी बिंदुओं पर न्यूनतम मान प्राप्त होगा। अतः,न्यूनतम मान दो से अधिक बिंदुओं पर प्राप्त होता है।

(A) अवरोधों $x \geq 3, x + y \geq 5, x + 2y \geq 6,$ और $y \geq 0$ द्वारा निर्धारित सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध (unbounded) है।
सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $A(6, 0), B(4, 1),$ और $C(3, 2)$ हैं।
इन कोणीय बिंदुओं पर $Z = -x + 2y$ का मान:

कोणीय बिंदु	$Z = -x + 2y$
$A(6, 0)$	$Z = -6 + 2(0) = -6$
$B(4, 1)$	$Z = -4 + 2(1) = -2$
$C(3, 2)$	$Z = -3 + 2(2) = 1$

चूंकि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है,हम $-x + 2y < -6$ असमिका का आलेख खींचकर जांच करते हैं कि क्या $Z = -6$ न्यूनतम मान है।
रेखा $-x + 2y = -6$ बिंदुओं $(6, 0)$ और $(4, -1)$ से होकर गुजरती है। $-x + 2y < -6$ वाला क्षेत्र सुसंगत क्षेत्र के साथ कोई उभयनिष्ठ बिंदु साझा नहीं करता है।
अतः,$Z$ का न्यूनतम मान $-6$ है,जो बिंदु $A(6, 0)$ पर प्राप्त होता है।

(N/A) दी गई बाधाएं इस प्रकार हैं:
$1) x - y \leq -1 \implies y \geq x + 1$
$2) -x + y \leq 0 \implies y \leq x$
$3) x \geq 0, y \geq 0$
बाधाओं का विश्लेषण:
बाधा $1$ के अनुसार $y$ का मान $x + 1$ से बड़ा या उसके बराबर होना चाहिए।
बाधा $2$ के अनुसार $y$ का मान $x$ से छोटा या उसके बराबर होना चाहिए।
ये दोनों असमिकाएं,$y \geq x + 1$ और $y \leq x$,परस्पर विरोधी हैं क्योंकि $x + 1$ हमेशा $x$ से बड़ा होता है।
अतः,ऐसा कोई बिंदु $(x, y)$ नहीं है जो दोनों शर्तों को एक साथ संतुष्ट करता हो।
चूंकि कोई सुसंगत क्षेत्र नहीं है,इसलिए उद्देश्य फलन $Z = x + y$ का कोई अधिकतम या न्यूनतम मान नहीं है।

(B) यदि $Z$ का अधिकतम मान दो अलग-अलग बिंदुओं पर प्राप्त होता है,तो इन दोनों बिंदुओं पर $Z$ का मान समान होना चाहिए।
दिए गए बिंदुओं $(3,4)$ और $(0,5)$ के लिए,उद्देश्य फलन $Z = px + qy$ को इन बिंदुओं पर बराबर रखने पर:
$Z(3,4) = Z(0,5)$
निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$p(3) + q(4) = p(0) + q(5)$
$3p + 4q = 5q$
दोनों पक्षों से $4q$ घटाने पर:
$3p = 5q - 4q$
$3p = q$
अतः,शर्त $q = 3p$ है। सही उत्तर $B$ है।

(A) मान लीजिए कि एयरलाइन एग्जीक्यूटिव क्लास की $x$ टिकटें और इकोनॉमी क्लास की $y$ टिकटें बेचती है।
दी गई समस्या का गणितीय सूत्रीकरण इस प्रकार है:
अधिकतम $z = 1000x + 600y$ ...... $(1)$
प्रतिबंधों के अधीन:
$x + y \leq 200$ ...... $(2)$
$x \geq 20$ ...... $(3)$
$y \geq 4x$ ...... $(4)$
$x, y \geq 0$ ...... $(5)$
व्यवहार्य क्षेत्र इन प्रतिबंधों के प्रतिच्छेदन द्वारा निर्धारित किया जाता है। व्यवहार्य क्षेत्र के कोणीय बिंदु $A(20, 80)$,$B(40, 160)$,और $C(20, 180)$ हैं।
इन कोणीय बिंदुओं पर $z$ का मान इस प्रकार है:

कोणीय बिंदु	$z = 1000x + 600y$
$A(20, 80)$	$1000(20) + 600(80) = 20000 + 48000 = 68000$
$B(40, 160)$	$1000(40) + 600(160) = 40000 + 96000 = 136000$ (अधिकतम)
$C(20, 180)$	$1000(20) + 600(180) = 20000 + 108000 = 128000$

$z$ का अधिकतम मान बिंदु $B(40, 160)$ पर $136000$ है।
अतः,लाभ को अधिकतम करने के लिए एग्जीक्यूटिव क्लास की $40$ टिकटें और इकोनॉमी क्लास की $160$ टिकटें बेची जानी चाहिए और अधिकतम लाभ $Rs. 136000$ है।

(A) माना डिपो $A$ से पेट्रोल पंप $D$ और $E$ को क्रमशः $x$ और $y$ लीटर तेल की आपूर्ति की जाती है।
अतः,$(7000 - x - y) \, L$ तेल डिपो $A$ से पेट्रोल पंप $F$ को आपूर्ति किया जाएगा।
पेट्रोल पंप $D, E, F$ पर आवश्यकता क्रमशः $4500 \, L, 3000 \, L, 3500 \, L$ है।
इस प्रकार,डिपो $B$ से $D, E, F$ को आपूर्ति की गई मात्रा:
$D: 4500 - x \, L$
$E: 3000 - y \, L$
$F: 3500 - (7000 - x - y) = x + y - 3500 \, L$
प्रतिबंध:
$x \geq 0, y \geq 0, x + y \leq 7000$
$x \leq 4500, y \leq 3000, x + y \geq 3500$
$10 \, L$ के परिवहन की लागत $Rs. \, 1$ प्रति $km$ है,इसलिए $1 \, L$ की लागत $Rs. \, 0.1$ प्रति $km$ है।
कुल लागत $Z = 0.1 [7x + 6y + 3(7000 - x - y) + 3(4500 - x) + 4(3000 - y) + 2(x + y - 3500)]$
$Z = 0.1 [3x + y + 39500] = 0.3x + 0.1y + 3950$
संभाव्य क्षेत्र के कोणीय बिंदुओं पर $Z$ का मान:
$A(3500, 0): Z = 0.3(3500) + 3950 = 5000$
$B(4500, 0): Z = 0.3(4500) + 3950 = 5300$
$C(4500, 2500): Z = 0.3(4500) + 0.1(2500) + 3950 = 5550$
$D(4000, 3000): Z = 0.3(4000) + 0.1(3000) + 3950 = 5450$
$E(500, 3000): Z = 0.3(500) + 0.1(3000) + 3950 = 4400$
न्यूनतम लागत $Rs. \, 4400$ है जो $(500, 3000)$ पर प्राप्त होती है।

(A) मान लीजिए कि फल उत्पादक ब्रांड $P$ की $x$ थैलियों और ब्रांड $Q$ की $y$ थैलियों का उपयोग करता है।
समस्या को इस प्रकार तैयार किया जा सकता है:
न्यूनतम $z = 3x + 3.5y$ (नाइट्रोजन के लिए उद्देश्य फलन)
प्रतिबंधों के अधीन:
$x + 2y \geq 240$ (फॉस्फोरिक एसिड)
$3x + 1.5y \geq 270 \implies 2x + y \geq 180$ (पोटाश)
$1.5x + 2y \leq 310$ (क्लोरीन)
$x, y \geq 0$
संभाव्य क्षेत्र रेखाओं $x + 2y = 240$,$2x + y = 180$,और $1.5x + 2y = 310$ द्वारा घिरा हुआ है।
इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन को हल करके संभावित क्षेत्र के कोणीय बिंदु ज्ञात करें:
$1$. $x + 2y = 240$ और $1.5x + 2y = 310$ का प्रतिच्छेदन: घटाने पर $0.5x = 70 \implies x = 140$. तब $140 + 2y = 240 \implies 2y = 100 \implies y = 50$. बिंदु $A(140, 50)$.
$2$. $2x + y = 180$ और $1.5x + 2y = 310$ का प्रतिच्छेदन: पहले समीकरण को $2$ से गुणा करने पर: $4x + 2y = 360$. घटाने पर $2.5x = 50 \implies x = 20$. तब $2(20) + y = 180 \implies y = 140$. बिंदु $B(20, 140)$.
$3$. $x + 2y = 240$ और $2x + y = 180$ का प्रतिच्छेदन: $y = 180 - 2x$. मान रखने पर: $x + 2(180 - 2x) = 240 \implies x + 360 - 4x = 240 \implies -3x = -120 \implies x = 40$. तब $y = 180 - 2(40) = 100$. बिंदु $C(40, 100)$.
कोणीय बिंदुओं पर $z = 3x + 3.5y$ का मान:
- $A(140, 50)$ पर: $z = 3(140) + 3.5(50) = 420 + 175 = 595$
- $B(20, 140)$ पर: $z = 3(20) + 3.5(140) = 60 + 490 = 550$
- $C(40, 100)$ पर: $z = 3(40) + 3.5(100) = 120 + 350 = 470$
$z$ का न्यूनतम मान $(40, 100)$ पर $470$ है।
इस प्रकार,नाइट्रोजन की मात्रा को कम करने के लिए ब्रांड $P$ की $40$ थैलियों और ब्रांड $Q$ की $100$ थैलियों का उपयोग किया जाना चाहिए,और न्यूनतम नाइट्रोजन $470\,kg$ है।

(D) हमें अवरोधों के अंतर्गत $Z=11 x+7 y$ का अधिकतम मान ज्ञात करना है:
$2 x+y \leq 6$
$x \leq 2$
$x \geq 0, y \geq 0$
सुसंगत क्षेत्र रेखाओं $2x+y=6$,$x=2$,$x=0$,और $y=0$ द्वारा परिबद्ध है। छायांकित क्षेत्र के कोणीय बिंदु $O(0,0)$,$A(2,0)$,$B(2,2)$,और $C(0,6)$ हैं।

कोणीय बिंदु	$Z = 11x + 7y$ का मान
$O(0,0)$	$11(0) + 7(0) = 0$
$A(2,0)$	$11(2) + 7(0) = 22$
$B(2,2)$	$11(2) + 7(2) = 22 + 14 = 36$
$C(0,6)$	$11(0) + 7(6) = 42$

सभी कोणीय बिंदुओं पर $Z$ के मानों की तुलना करने पर,अधिकतम मान $42$ है जो बिंदु $(0,6)$ पर प्राप्त होता है।

(D) प्रतिबंधों $x+y \leq 1, x \geq 0, y \geq 0$ के अंतर्गत $Z=3x+4y$ का अधिकतमीकरण करने के लिए:
$1$. कार्तीय तल पर असमिकाओं का आलेख खींचिए। $x+y \leq 1, x \geq 0, y \geq 0$ द्वारा परिभाषित क्षेत्र एक त्रिभुज है जिसके शीर्ष $O(0,0)$,$A(1,0)$ और $B(0,1)$ हैं।
$2$. सुसंगत क्षेत्र के प्रत्येक कोणीय बिंदु पर उद्देश्य फलन $Z=3x+4y$ का मान ज्ञात कीजिए:

कोणीय बिंदु	$Z=3x+4y$ का मान
$O(0,0)$	$3(0)+4(0) = 0$
$A(1,0)$	$3(1)+4(0) = 3$
$B(0,1)$	$3(0)+4(1) = 4$

$3$. मानों की तुलना करने पर,$Z$ का अधिकतम मान $4$ है,जो बिंदु $(0,1)$ पर प्राप्त होता है।

(B) हमें $x \leq 3, y \leq 2, x \geq 0, y \geq 0$ अवरोधों के अधीन $Z = 11x + 7y$ का अधिकतमीकरण करना है।
सुसंगत क्षेत्र $x = 0, x = 3, y = 0$ और $y = 2$ रेखाओं द्वारा घिरा हुआ एक आयत है। इस क्षेत्र के कोणीय बिंदु $O(0, 0), A(3, 0), B(3, 2)$ और $C(0, 2)$ हैं।
इन कोणीय बिंदुओं पर $Z$ का मान इस प्रकार है:

कोणीय बिंदु	$Z = 11x + 7y$ का मान
$O(0, 0)$	$11(0) + 7(0) = 0$
$A(3, 0)$	$11(3) + 7(0) = 33$
$B(3, 2)$	$11(3) + 7(2) = 33 + 14 = 47$
$C(0, 2)$	$11(0) + 7(2) = 14$

अतः,$Z$ का अधिकतम मान बिंदु $(3, 2)$ पर $47$ है।

(C) हमें प्रतिबंधों $x + y \leq 7$,$2x - 3y + 6 \geq 0$,$x \geq 0$ और $y \geq 0$ के अंतर्गत $Z = 13x - 15y$ का न्यूनतम मान ज्ञात करना है। इन असमिकाओं द्वारा निर्धारित सुसंगत क्षेत्र चित्र में दर्शाया गया है।
छायांकित क्षेत्र एक बहुभुज है जिसके शीर्ष $O(0, 0)$,$A(7, 0)$,$B(3, 4)$ और $C(0, 2)$ हैं।

कोणीय बिंदु	$Z = 13x - 15y$ का मान
$O(0, 0)$	$13(0) - 15(0) = 0$
$A(7, 0)$	$13(7) - 15(0) = 91$
$B(3, 4)$	$13(3) - 15(4) = 39 - 60 = -21$
$C(0, 2)$	$13(0) - 15(2) = -30$

इन कोणीय बिंदुओं पर $Z$ के मानों की तुलना करने पर,$Z$ का न्यूनतम मान बिंदु $(0, 2)$ पर $-30$ प्राप्त होता है।

(N/A) रेखाएँ $x+2y=76$ और $2x+y=104$ बिंदु $E$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम समीकरणों को हल करते हैं:
$x+2y=76$ $(1)$
$2x+y=104$ $(2)$
$(1)$ से,$x=76-2y$. इसे $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(76-2y)+y=104$
$152-4y+y=104$
$-3y=-48 \implies y=16$
तब $x=76-2(16)=76-32=44$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $E(44, 16)$ है।
ग्राफ से,परिबद्ध सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $O(0,0)$,$A(52,0)$,$E(44,16)$ और $D(0,38)$ हैं।
प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $Z=3x+4y$ का मान ज्ञात करते हैं:

कोणीय बिंदु	$Z=3x+4y$ का मान
$(0,0)$	$3(0)+4(0)=0$
$(52,0)$	$3(52)+4(0)=156$
$(44,16)$	$3(44)+4(16)=132+64=196$
$(0,38)$	$3(0)+4(38)=152$

इन मानों की तुलना करने पर,$Z$ का अधिकतम मान बिंदु $(44,16)$ पर $196$ प्राप्त होता है।

(N/A) छायांकित क्षेत्र कोणीय बिंदुओं $O(0,0)$,$A(7,0)$,$B(3,4)$ और $C(0,2)$ द्वारा परिबद्ध है।
हम प्रत्येक कोणीय बिंदु पर उद्देश्य फलन $Z = 5x + 7y$ का मान ज्ञात करते हैं:

कोणीय बिंदु	$Z = 5x + 7y$ का मान
$O(0,0)$	$5(0) + 7(0) = 0$
$A(7,0)$	$5(7) + 7(0) = 35$
$B(3,4)$	$5(3) + 7(4) = 15 + 28 = 43$
$C(0,2)$	$5(0) + 7(2) = 14$

$Z$ के मानों की तुलना करने पर,अधिकतम मान $43$ है,जो बिंदु $B(3,4)$ पर प्राप्त होता है।

(A) रेखाएँ $x+y=5$ और $x+3y=9$ बिंदु $(3,2)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। चित्र से,सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $C(0,3)$,$A(3,2)$ और $B(0,5)$ हैं।
प्रत्येक कोणीय बिंदु पर उद्देश्य फलन $Z=11x+7y$ का मान इस प्रकार है:

कोणीय बिंदु	$Z=11x+7y$ का मान
$C(0,3)$	$11(0)+7(3) = 21$
$A(3,2)$	$11(3)+7(2) = 33+14 = 47$
$B(0,5)$	$11(0)+7(5) = 35$

$Z$ के मानों की तुलना करने पर,न्यूनतम मान $21$ है जो बिंदु $(0,3)$ पर प्राप्त होता है।

(47) सुसंगत क्षेत्र कोणीय बिंदुओं $C(0,3)$,$A(3,2)$ और $B(0,5)$ द्वारा परिबद्ध है।
हम प्रत्येक कोणीय बिंदु पर उद्देश्य फलन $Z=11x+7y$ का मान ज्ञात करते हैं:

कोणीय बिंदु $(x, y)$	$Z = 11x + 7y$ का मान
$C(0, 3)$	$11(0) + 7(3) = 21$
$A(3, 2)$	$11(3) + 7(2) = 33 + 14 = 47$
$B(0, 5)$	$11(0) + 7(5) = 35$

इन बिंदुओं पर $Z$ के मानों की तुलना करने पर,अधिकतम मान $47$ है,जो बिंदु $A(3, 2)$ पर प्राप्त होता है।

(N/A) रेखाएँ $x + 2y = 4$ और $x + y = 3$ बिंदु $(2, 1)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। आकृति से,यह एक अपरिबद्ध (unbounded) छायांकित क्षेत्र है जिसके कोणीय बिंदु $A(4, 0)$,$B(2, 1)$ और $C(0, 3)$ हैं।
इन कोणीय बिंदुओं पर $Z = 4x + y$ का मान इस प्रकार है:

कोणीय बिंदु	$Z$ का संगत मान
$(4, 0)$	$Z = 4(4) + 0 = 16$
$(2, 1)$	$Z = 4(2) + 1 = 9$
$(0, 3)$	$Z = 4(0) + 3 = 3$

प्राप्त सबसे छोटा मान $3$ है जो बिंदु $(0, 3)$ पर है। चूंकि क्षेत्र अपरिबद्ध है,इसलिए हमें यह जांचना होगा कि क्या $4x + y < 3$ का सुसंगत क्षेत्र के साथ कोई उभयनिष्ठ बिंदु है या नहीं।
असमिका $4x + y < 3$ का आलेख खींचने पर,हम देखते हैं कि खुले अर्ध-तल $4x + y < 3$ और सुसंगत क्षेत्र के बीच कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है। अतः,$Z$ का न्यूनतम मान $3$ है,जो बिंदु $(0, 3)$ पर प्राप्त होता है।

(A) आकृति से,हमारे पास $P\left(\frac{3}{13}, \frac{24}{13}\right)$,$Q\left(\frac{3}{2}, \frac{15}{4}\right)$,$R\left(\frac{7}{2}, \frac{3}{4}\right)$,और $S\left(\frac{18}{7}, \frac{2}{7}\right)$ शीर्ष बिंदुओं वाला एक परिबद्ध क्षेत्र है।
हम प्रत्येक शीर्ष बिंदु पर उद्देश्य फलन $Z = x + 2y$ का मान ज्ञात करते हैं:

शीर्ष बिंदु $(x, y)$	$Z = x + 2y$ का मान
$P\left(\frac{3}{13}, \frac{24}{13}\right)$	$\frac{3}{13} + 2\left(\frac{24}{13}\right) = \frac{3+48}{13} = \frac{51}{13} \approx 3.92$
$Q\left(\frac{3}{2}, \frac{15}{4}\right)$	$\frac{3}{2} + 2\left(\frac{15}{4}\right) = \frac{6+30}{4} = \frac{36}{4} = 9$
$R\left(\frac{7}{2}, \frac{3}{4}\right)$	$\frac{7}{2} + 2\left(\frac{3}{4}\right) = \frac{14+6}{4} = \frac{20}{4} = 5$
$S\left(\frac{18}{7}, \frac{2}{7}\right)$	$\frac{18}{7} + 2\left(\frac{2}{7}\right) = \frac{18+4}{7} = \frac{22}{7} \approx 3.14$

सभी शीर्ष बिंदुओं पर $Z$ के मानों की तुलना करने पर,अधिकतम मान $9$ (बिंदु $Q$ पर) और न्यूनतम मान $\frac{22}{7}$ (बिंदु $S$ पर) प्राप्त होता है।

(A) हमें $x - 2y \leq 0$,$-3x + y \leq 4$,$x - y \leq 6$ और $x, y \geq 0$ के अंतर्गत $Z = 3x - 4y$ का अधिकतमीकरण और न्यूनतमीकरण करना है।
ये असमिकाएं चित्र में दिखाए गए अनुसार एक सुसंगत क्षेत्र बनाती हैं। यह सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध (unbounded) है जिसके कोणीय बिंदु $O(0, 0)$,$A(12, 6)$ और $B(0, 4)$ हैं।

कोणीय बिंदु	$Z = 3x - 4y$ का मान
$O(0, 0)$	$0$
$A(12, 6)$	$3(12) - 4(6) = 12$
$B(0, 4)$	$3(0) - 4(4) = -16$

चूंकि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है,इसलिए हमें यह जांचना होगा कि न्यूनतम और अधिकतम मान मौजूद हैं या नहीं।
$1$. न्यूनतम मान के लिए: हम असमिका $3x - 4y < -16$ की जांच करते हैं। $3x - 4y < -16$ द्वारा परिभाषित खुले अर्ध-तल के सुसंगत क्षेत्र के साथ सामान्य बिंदु हैं। इसलिए,$Z$ का कोई न्यूनतम मान नहीं है।
$2$. अधिकतम मान के लिए: हम असमिका $3x - 4y > 12$ की जांच करते हैं। $3x - 4y > 12$ द्वारा परिभाषित खुले अर्ध-तल का सुसंगत क्षेत्र के साथ कोई सामान्य बिंदु नहीं है। इसलिए,$Z$ का अधिकतम मान $12$ है,जो बिंदु $A(12, 6)$ पर प्राप्त होता है।

(B) एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या $(LPP)$ में,उद्देश्य फलन $Z = ax + by$ के रूप का एक रैखिक फलन होता है,जहाँ $a$ और $b$ स्थिरांक हैं।
समस्या का लक्ष्य कुछ बाधाओं के अधीन इस फलन को अधिकतम या न्यूनतम करना होता है।
इसलिए,उद्देश्य फलन वह फलन है जिसे अनुकूलित (optimize) करने की आवश्यकता होती है।

(B) एक रैखिक प्रोग्रामिंग $(LP)$ समस्या में,सुसंगत क्षेत्र एक उत्तल समुच्चय (convex set) होता है।
यदि $x$ और $y$ दो इष्टतम समाधान हैं,तो इन बिंदुओं पर उद्देश्य फलन का मान समान होता है,मान लीजिए $Z^*$.
चूंकि उद्देश्य फलन रैखिक है,इसलिए किसी भी उत्तल संयोजन $z = \lambda x + (1 - \lambda) y$ के लिए जहाँ $0 \leq \lambda \leq 1$,उद्देश्य फलन का मान इस प्रकार है:
$f(z) = f(\lambda x + (1 - \lambda) y) = \lambda f(x) + (1 - \lambda) f(y) = \lambda Z^* + (1 - \lambda) Z^* = Z^*$.
अतः,दो इष्टतम समाधानों का कोई भी उत्तल संयोजन भी एक इष्टतम समाधान होता है।

(C) रैखिक प्रोग्रामन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,यदि किसी रैखिक प्रोग्रामन समस्या का इष्टतम हल मौजूद है,तो वह सुसंगत क्षेत्र (feasible region) के कोणीय बिंदुओं (corner points) में से किसी एक पर प्राप्त होता है। इसलिए,उद्देश्य फलन का इष्टतम मान सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदुओं पर प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए $z_0$ सुसंगत क्षेत्र में $z$ का अधिकतम मान है।
चूँकि अधिकतम मान $(15,15)$ और $(0,20)$ दोनों बिंदुओं पर प्राप्त होता है,इसलिए $z_0$ का मान दोनों बिंदुओं पर समान होना चाहिए।
अतः,$z_0 = p(15) + q(15)$ और $z_0 = p(0) + q(20)$.
$z_0$ के दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$15p + 15q = 0p + 20q$
$15p = 20q - 15q$
$15p = 5q$
दोनों पक्षों को $5$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$3p = q$ या $q = 3p$.

(C) $LP$ समस्याओं में,यदि उद्देश्य फलन व्यवहार्य क्षेत्र के दो अलग-अलग कोणीय बिंदुओं पर समान इष्टतम मान प्राप्त करता है,तो इन दो बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड पर स्थित प्रत्येक बिंदु भी एक इष्टतम समाधान होता है। चूंकि एक रेखाखंड में अनंत बिंदु होते हैं,इसलिए समस्या के अनंत इष्टतम समाधान होते हैं। अतः,विकल्प $C$ सही है।

(B) अनावश्यक बाधाओं की पहचान करने के लिए,हम दी गई बाधाओं द्वारा परिभाषित सुसंगत क्षेत्र का विश्लेषण करते हैं:
$1$. $x \geq 6$
$2$. $y \geq 2$
$3$. $2x + y \geq 10$
$4$. $x \geq 0, y \geq 0$
यदि $x \geq 6$ और $y \geq 2$ है,तो $2x + y \geq 2(6) + 2 = 12 + 2 = 14$ होगा। चूँकि $14 > 10$,बाधा $2x + y \geq 10$ स्वतः ही संतुष्ट हो जाती है जब $x \geq 6$ और $y \geq 2$ संतुष्ट होते हैं।
इसी प्रकार,यदि $x \geq 6$ और $y \geq 2$ है,तो $x \geq 0$ और $y \geq 0$ स्वतः ही संतुष्ट हो जाते हैं।
अतः,बाधाएं $2x + y \geq 10, x \geq 0, y \geq 0$ अनावश्यक हैं क्योंकि वे सुसंगत क्षेत्र को $x \geq 6$ और $y \geq 2$ से अधिक सीमित नहीं करती हैं।

(D) दिए गए प्रतिबंध हैं:
$1) 3x + 6y \leq 6 \implies x + 2y \leq 2$
$2) 4x + 8y \geq 16 \implies x + 2y \geq 4$
$3) x \geq 0, y \geq 0$
रेखाओं $x + 2y = 2$ और $x + 2y = 4$ पर विचार करें।
ये समानांतर रेखाएं हैं। पहला असमिका $x + 2y \leq 2$ रेखा $x + 2y = 2$ के नीचे के क्षेत्र को दर्शाता है।
दूसरा असमिका $x + 2y \geq 4$ रेखा $x + 2y = 4$ के ऊपर के क्षेत्र को दर्शाता है।
ऐसा कोई बिंदु $(x, y)$ नहीं है जो $x + 2y \leq 2$ और $x + 2y \geq 4$ दोनों को एक साथ संतुष्ट करे,इसलिए कोई सामान्य क्षेत्र नहीं है जो सभी प्रतिबंधों को पूरा करता हो।
अतः,इस समस्या का कोई सुसंगत क्षेत्र नहीं है।

(A) उद्देश्य फलन $z = 2x + 3y$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सुसंगत क्षेत्र के प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $z$ का मान ज्ञात करते हैं:
$1$. बिंदु $A(3, 3)$ पर: $z = 2(3) + 3(3) = 6 + 9 = 15$
$2$. बिंदु $B(20, 3)$ पर: $z = 2(20) + 3(3) = 40 + 9 = 49$
$3$. बिंदु $C(20, 10)$ पर: $z = 2(20) + 3(10) = 40 + 30 = 70$
$4$. बिंदु $D(18, 12)$ पर: $z = 2(18) + 3(12) = 36 + 36 = 72$
$5$. बिंदु $E(12, 12)$ पर: $z = 2(12) + 3(12) = 24 + 36 = 60$
इन मानों की तुलना करने पर,$z$ का अधिकतम मान $72$ है।

(B) उद्देश्य फलन $z = 2x + 3y$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सुसंगत क्षेत्र के प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $z$ का मान निकालते हैं:
$1$. $A(3, 3)$ पर: $z = 2(3) + 3(3) = 6 + 9 = 15$
$2$. $B(20, 3)$ पर: $z = 2(20) + 3(3) = 40 + 9 = 49$
$3$. $C(20, 10)$ पर: $z = 2(20) + 3(10) = 40 + 30 = 70$
$4$. $D(18, 12)$ पर: $z = 2(18) + 3(12) = 36 + 36 = 72$
$5$. $E(12, 12)$ पर: $z = 2(12) + 3(12) = 24 + 36 = 60$
इन मानों की तुलना करने पर,$z$ का न्यूनतम मान $15$ है,जो बिंदु $A(3, 3)$ पर प्राप्त होता है।

(B) उद्देश्य फलन $z = 5x + 4y$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदुओं पर $z$ का मान ज्ञात करते हैं।
ग्राफ से,सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $(0, 40)$,$(5, 30)$,$(20, 15)$ और $(50, 0)$ हैं।
प्रत्येक बिंदु पर $z$ का मूल्यांकन:
$1$. $(0, 40)$ पर: $z = 5(0) + 4(40) = 0 + 160 = 160$
$2$. $(5, 30)$ पर: $z = 5(5) + 4(30) = 25 + 120 = 145$
$3$. $(20, 15)$ पर: $z = 5(20) + 4(15) = 100 + 60 = 160$
$4$. $(50, 0)$ पर: $z = 5(50) + 4(0) = 250 + 0 = 250$
इन मानों की तुलना करने पर,न्यूनतम मान $145$ है जो बिंदु $(5, 30)$ पर प्राप्त होता है।

(B) उद्देश्य फलन $z = 8x + 12y$ के न्यूनतम और अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $z$ का मान निकालते हैं:
$1. (0,4) \text{ पर: } z = 8(0) + 12(4) = 48$
$2. (6,0) \text{ पर: } z = 8(6) + 12(0) = 48$
$3. (12,0) \text{ पर: } z = 8(12) + 12(0) = 96$
$4. (12,16) \text{ पर: } z = 8(12) + 12(16) = 96 + 192 = 288$
$5. (0,10) \text{ पर: } z = 8(0) + 12(10) = 120$
इन मानों की तुलना करने पर:
- न्यूनतम मान $48$ है,जो $(0,4)$ और $(6,0)$ दोनों पर प्राप्त होता है।
- अधिकतम मान $288$ है,जो $(12,16)$ पर प्राप्त होता है।
दी गई आवश्यकताओं का मिलान करने पर:
$(i)$ न्यूनतम मान $(0,4)$ पर प्राप्त होता है।
$(ii)$ अधिकतम मान $(12,16)$ पर प्राप्त होता है।
$(iii)$ $z$ का अधिकतम मान $288$ है।
$(iv)$ $z$ का न्यूनतम मान $48$ है।
अतः,विकल्प $(B)$ सही उत्तर है।

(D) $Z = 22x + 18y$ का अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सुसंगत क्षेत्र के प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $Z$ का मान निकालते हैं:
$1$. $(0,0)$ पर: $Z = 22(0) + 18(0) = 0$
$2$. $(16,0)$ पर: $Z = 22(16) + 18(0) = 352$
$3$. $(8,12)$ पर: $Z = 22(8) + 18(12) = 176 + 216 = 392$
$4$. $(0,20)$ पर: $Z = 22(0) + 18(20) = 360$
इन मानों की तुलना करने पर,अधिकतम मान $m = 392$ और न्यूनतम मान $n = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$m + n = 392 + 0 = 392$.

(C) सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदुओं को खोजने के लिए,हम रेखाओं $x+2y = 10$ और $3x+4y = 24$ का अक्षों के साथ और एक-दूसरे के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु की जांच करते हैं।
$1$. $(0, 6)$ के लिए:
$x+2y = 0 + 12 = 12 \geq 10$ (सत्य)
$3x+4y = 0 + 24 = 24 \leq 24$ (सत्य)
चूंकि यह सभी बाधाओं को संतुष्ट करता है,$(0, 6)$ एक कोणीय बिंदु है।
$2$. $(4, 3)$ के लिए:
$x+2y = 4 + 6 = 10 \geq 10$ (सत्य)
$3x+4y = 12 + 12 = 24 \leq 24$ (सत्य)
चूंकि यह सभी बाधाओं को संतुष्ट करता है,$(4, 3)$ एक कोणीय बिंदु है।
$3$. $(3, 4)$ के लिए:
$x+2y = 3 + 8 = 11 \geq 10$ (सत्य)
$3x+4y = 9 + 16 = 25 \not\leq 24$ (असत्य)
चूंकि यह $3x+4y \leq 24$ बाधा का उल्लंघन करता है,$(3, 4)$ सुसंगत क्षेत्र में नहीं है।
$4$. $(0, 5)$ के लिए:
$x+2y = 0 + 10 = 10 \geq 10$ (सत्य)
$3x+4y = 0 + 20 = 20 \leq 24$ (सत्य)
चूंकि यह सभी बाधाओं को संतुष्ट करता है,$(0, 5)$ एक कोणीय बिंदु है।
अतः,$(3, 4)$ सुसंगत क्षेत्र का कोणीय बिंदु नहीं है।

(B) दी गई बाधाएं $x \geq 6, y \geq 2, 2x + y \geq 10, x \geq 0, y \geq 0$ हैं।
$1$. चूंकि $x \geq 6$,यह स्वतः ही $x \geq 0$ को सूचित करता है। अतः,$x \geq 0$ एक अनावश्यक बाधा है।
$2$. चूंकि $y \geq 2$,यह स्वतः ही $y \geq 0$ को सूचित करता है। अतः,$y \geq 0$ एक अनावश्यक बाधा है।
$3$. बाधा $2x + y \geq 10$ के लिए,हम न्यूनतम मान $x = 6$ और $y = 2$ प्रतिस्थापित करते हैं: $2(6) + 2 = 12 + 2 = 14$. चूंकि $14 \geq 10$,बाधा $2x + y \geq 10$ उन क्षेत्रों द्वारा संतुष्ट होती है जो $x \geq 6$ और $y \geq 2$ द्वारा परिभाषित हैं। अतः,$2x + y \geq 10$ भी एक अनावश्यक बाधा है।
इसलिए,अनावश्यक बाधाएं $2x + y \geq 10, x \geq 0, y \geq 0$ हैं।

(A) उद्देश्य फलन $Z = 2x + 3y$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सुसंगत क्षेत्र के प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $Z$ का मान निकालते हैं:

कोणीय बिंदु $(x, y)$	$Z = 2x + 3y$ का मान
$A(3, 3)$	$Z = 2(3) + 3(3) = 6 + 9 = 15$
$B(20, 3)$	$Z = 2(20) + 3(3) = 40 + 9 = 49$
$C(20, 10)$	$Z = 2(20) + 3(10) = 40 + 30 = 70$
$D(18, 12)$	$Z = 2(18) + 3(12) = 36 + 36 = 72$
$E(12, 12)$	$Z = 2(12) + 3(12) = 24 + 36 = 60$

सभी कोणीय बिंदुओं पर $Z$ के मानों की तुलना करने पर,अधिकतम मान $72$ है जो बिंदु $D(18, 12)$ पर प्राप्त होता है।

(B) दी गई रेखा बिंदुओं $B\left(-\frac{3}{4}, 0\right)$ और $A\left(0, \frac{3}{2}\right)$ से होकर गुजरती है।
अंतःखंड रूप में रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है,जहाँ $a = -\frac{3}{4}$ और $b = \frac{3}{2}$ है।
मान रखने पर,हमें $\frac{x}{-\frac{3}{4}} + \frac{y}{\frac{3}{2}} = 1$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $-\frac{4x}{3} + \frac{2y}{3} = 1$ हो जाता है।
$3$ से गुणा करने पर,हमें $-4x + 2y = 3$ प्राप्त होता है,जिसे $4x - 2y = -3$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।
छायांकित क्षेत्र में मूल बिंदु $(0,0)$ शामिल नहीं है।
असमिका $4x - 2y \leq -3$ में मूल बिंदु $(0,0)$ का परीक्षण करने पर,हमें $4(0) - 2(0) \leq -3$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $0 \leq -3$। यह असत्य है।
चूंकि मूल बिंदु असमिका को संतुष्ट नहीं करता है,इसलिए छायांकित क्षेत्र अर्ध-तल $4x - 2y \leq -3$ का प्रतिनिधित्व करता है।

(B) सुसंगत क्षेत्र प्रतिबंधों $x + 2y \leq 2$,$x \geq 0$,और $y \geq 0$ द्वारा निर्धारित होता है।
सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $(0, 0)$,$(2, 0)$,और $(0, 1)$ हैं।
इन कोणीय बिंदुओं पर $Z = 3x + 2y$ का मान ज्ञात करने पर:
$(0, 0)$ पर: $Z = 3(0) + 2(0) = 0$.
$(2, 0)$ पर: $Z = 3(2) + 2(0) = 6$.
$(0, 1)$ पर: $Z = 3(0) + 2(1) = 2$.
अतः,$Z$ का अधिकतम मान $6$ है,जो बिंदु $(2, 0)$ पर प्राप्त होता है।

(D) सुसंगत क्षेत्र $2x+y \leq 20$,$x+2y \leq 20$,$x \geq 0$,और $y \geq 0$ अवरोधों द्वारा निर्धारित होता है।
सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $O(0,0)$,$A(10,0)$,$B(\frac{20}{3}, \frac{20}{3})$,और $C(0,10)$ हैं।
प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $Z = x+3y$ का मान ज्ञात करने पर:
$O(0,0)$ पर,$Z = 0 + 3(0) = 0$.
$A(10,0)$ पर,$Z = 10 + 3(0) = 10$.
$B(\frac{20}{3}, \frac{20}{3})$ पर,$Z = \frac{20}{3} + 3(\frac{20}{3}) = \frac{20}{3} + 20 = \frac{80}{3} \approx 26.67$.
$C(0,10)$ पर,$Z = 0 + 3(10) = 30$.
इन मानों की तुलना करने पर,$Z$ का अधिकतम मान $30$ है जो बिंदु $C(0,10)$ पर प्राप्त होता है।

(C) यह पता लगाने के लिए कि कौन सा बिंदु हल समुच्चय में है,हम प्रत्येक बिंदु को सभी दी गई असमिकाओं के लिए जांचते हैं:
$1$. $(2, 3)$ के लिए: $x + 2y = 2 + 2(3) = 8$. चूंकि $8 \geq 11$ असत्य है,इसलिए $(2, 3)$ हल समुच्चय में नहीं है।
$2$. $(3, 2)$ के लिए: $x + 2y = 3 + 2(2) = 7$. चूंकि $7 \geq 11$ असत्य है,इसलिए $(3, 2)$ हल समुच्चय में नहीं है।
$3$. $(3, 4)$ के लिए:
$x + 2y = 3 + 2(4) = 11$. चूंकि $11 \geq 11$ सत्य है।
$3x + 4y = 3(3) + 4(4) = 9 + 16 = 25$. चूंकि $25 \leq 30$ सत्य है।
$2x + 5y = 2(3) + 5(4) = 6 + 20 = 26$. चूंकि $26 \leq 30$ सत्य है।
सभी असमिकाएं संतुष्ट होती हैं,इसलिए $(3, 4)$ हल समुच्चय में है।
$4$. $(4, 3)$ के लिए: $x + 2y = 4 + 2(3) = 10$. चूंकि $10 \geq 11$ असत्य है,इसलिए $(4, 3)$ हल समुच्चय में नहीं है।

(C) अतिरिक्त व्यवरोध की पहचान करने के लिए,हम दी गई असमिकाओं द्वारा परिभाषित सुसंगत क्षेत्र का विश्लेषण करते हैं:
$1$) $2x - y \leq 8$
$2$) $x + y \leq 20$
$3$) $-x + y \geq -10$ (जिसे $y \geq x - 10$ लिखा जा सकता है)
$4$) $x \geq 0$
$5$) $y \geq 0$
व्यवरोधों $x \geq 0$ और $y \geq 0$ पर विचार करें। यदि $x \geq 0$ है,तो $x - 10 \geq -10$ होगा। चूँकि $y \geq 0$ है,इसलिए $y \geq x - 10$ की शर्त $x \geq 0$ और $y \geq 0$ के लिए स्वतः ही संतुष्ट हो जाती है क्योंकि $y$ ऋणेतर है और जब $x=0$ होता है तो $x - 10$ का मान $-10$ होता है। अतः,$-x + y \geq -10$ की शर्त सुसंगत क्षेत्र को $x \geq 0$ और $y \geq 0$ से अधिक सीमित नहीं करती है। इसलिए,$-x + y \geq -10$ एक अतिरिक्त (redundant) व्यवरोध है।

(A) उद्देश्य फलन $z = 30x - 30y + 1800$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सुसंगत क्षेत्र के प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $z$ का मान निकालते हैं:

कोणीय बिंदु $(x, y)$	$z = 30x - 30y + 1800$ का मान
$(15, 0)$	$30(15) - 30(0) + 1800 = 450 + 1800 = 2250$
$(15, 15)$	$30(15) - 30(15) + 1800 = 450 - 450 + 1800 = 1800$
$(10, 20)$	$30(10) - 30(20) + 1800 = 300 - 600 + 1800 = 1500$
$(0, 20)$	$30(0) - 30(20) + 1800 = 0 - 600 + 1800 = 1200$
$(0, 15)$	$30(0) - 30(15) + 1800 = 0 - 450 + 1800 = 1350$

मानों की तुलना करने पर,$z$ का न्यूनतम मान $1200$ है,जो बिंदु $(0, 20)$ पर प्राप्त होता है।