दी गई शर्त को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए:
$x(x^{2}-1) \frac{dy}{dx}=1; y=0$ जब $x=2$

Question

(C) $x(x^{2}-1) \frac{dy}{dx} = 1$$\Rightarrow dy = \frac{dx}{x(x-1)(x+1)}$दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:$\int dy = \int \frac{1}{x(x-1)(x+1)} dx \qu

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$y=\frac{1}{2} \log \left| \frac{4(x^{2}-1)}{3x^{2}} \right|$

Vedclass · Answer

(C) $x(x^{2}-1) \frac{dy}{dx} = 1$$\Rightarrow dy = \frac{dx}{x(x-1)(x+1)}$दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:$\int dy = \int \frac{1}{x(x-1)(x+1)} dx \quad \dots(1)$आंशिक भिन्नों का उपयोग करने पर:$\frac{1}{x(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x+1}$$1 = A(x-1)(x+1) + Bx(x+1) + Cx(x-1)$$x=0$ के लिए,$1 = A(-1)(1) \Rightarrow A = -1$$x=1$ के लिए,$1 = B(1)(2) \Rightarrow B = \frac{1}{2}$$x=-1$ के लिए,$1 = C(-1)(-2) \Rightarrow C = \frac{1}{2}$मानों को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:$y = -\int \frac{1}{x} dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x-1} dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x+1} dx$$y = -\log |x| + \frac{1}{2} \log |x-1| + \frac{1}{2} \log |x+1| + C_1$$y = \frac{1}{2} \log \left| \frac{(x-1)(x+1)}{x^2} \right| + C_1 = \frac{1}{2} \log \left| \frac{x^2-1}{x^2} \right| + C_1$दिया है कि $y=0$ जब $x=2$:$0 = \frac{1}{2} \log \left| \frac{4-1}{4} \right| + C_1 \Rightarrow 0 = \frac{1}{2} \log \left( \frac{3}{4} \right) + C_1 \Rightarrow C_1 = -\frac{1}{2} \log \left( \frac{3}{4} \right) = \frac{1}{2} \log \left( \frac{4}{3} \right)$अतः,$y = \frac{1}{2} \log \left| \frac{x^2-1}{x^2} \right| + \frac{1}{2} \log \left( \frac{4}{3} \right) = \frac{1}{2} \log \left| \frac{4(x^2-1)}{3x^2} \right|$

दी गई शर्त को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए:
$x(x^{2}-1) \frac{dy}{dx}=1; y=0$ जब $x=2$

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