अवकल समीकरण 2x^2y frac{dy}{dx} = tan(x^2y^2) | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $2x^2y \frac{dy}{dx} = 	an(x^2y^2) - 2xy^2$। पदों को व्यवस्थित करने पर: $2x^2y \frac{dy}{dx} + 2xy^2 = 	an(x^2y^2)$। यहाँ

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$\sin(x^2y^2) = e^{x-1}$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण: $2x^2y \frac{dy}{dx} = 	an(x^2y^2) - 2xy^2$। पदों को व्यवस्थित करने पर: $2x^2y \frac{dy}{dx} + 2xy^2 = 	an(x^2y^2)$। यहाँ बायां पक्ष $x^2y^2$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन है: $\frac{d}{dx}(x^2y^2) = 2x^2y \frac{dy}{dx} + 2xy^2$। माना $z = x^2y^2$। तब समीकरण $\frac{dz}{dx} = 	an z$ बन जाता है। चरों को अलग करने पर: $\int \cot z \, dz = \int dx$। दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\ln(\sin z) = x + C$। $z = x^2y^2$ रखने पर: $\ln(\sin(x^2y^2)) = x + C$। दिया है $y(1) = \sqrt{\frac{\pi}{2}}$,अतः $x=1$ पर $z = (1)^2 \cdot (\sqrt{\frac{\pi}{2}})^2 = \frac{\pi}{2}$। इन मानों को रखने पर: $\ln(\sin(\frac{\pi}{2})) = 1 + C \Rightarrow \ln(1) = 1 + C \Rightarrow 0 = 1 + C \Rightarrow C = -1$। अतः,$\ln(\sin(x^2y^2)) = x - 1$। दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $\sin(x^2y^2) = e^{x-1}$।

अवकल समीकरण $2x^2y \frac{dy}{dx} = \tan(x^2y^2) - 2xy^2$ का हल ज्ञात कीजिए,जहाँ $y(1) = \sqrt{\frac{\pi}{2}}$ दिया गया है।

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