मूल बिंदु से गुजरने वाले एक वक्र का समीकरण ज् | vedclass

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Question

(B) स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \cos(x + y) + \sin(x + y)$ दी गई है।माना $u = x + y$,तब $\frac{du}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}$,जिससे $\frac{dy}{d

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$y = 2 	an^{-1}(e^x - 1) - x$

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(B) स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \cos(x + y) + \sin(x + y)$ दी गई है।माना $u = x + y$,तब $\frac{du}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}$,जिससे $\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} - 1$.इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{du}{dx} - 1 = \cos u + \sin u$.$\frac{du}{dx} = 1 + \cos u + \sin u = 2 \cos^2(\frac{u}{2}) + 2 \sin(\frac{u}{2}) \cos(\frac{u}{2}) = 2 \cos^2(\frac{u}{2}) [1 + 	an(\frac{u}{2})]$.चरों को अलग करने पर: $\int \frac{\sec^2(\frac{u}{2})}{2(1 + 	an(\frac{u}{2}))} du = \int dx$.माना $t = 	an(\frac{u}{2})$,तब $dt = \frac{1}{2} \sec^2(\frac{u}{2}) du$.समाकलन करने पर: $\int \frac{dt}{1 + t} = \int dx$,जिससे $\ln(1 + t) = x + C$ प्राप्त होता है।चूंकि वक्र मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरता है,$u = x + y = 0$,और $t = 	an(0) = 0$.$x = 0, t = 0$ को $\ln(1 + t) = x + C$ में रखने पर $C = 0$ प्राप्त होता है।अतः,$\ln(1 + t) = x$,जिसका अर्थ है $1 + t = e^x$,या $t = e^x - 1$.$t = 	an(\frac{x + y}{2})$ वापस रखने पर,$	an(\frac{x + y}{2}) = e^x - 1$ प्राप्त होता है।इसलिए,$\frac{x + y}{2} = 	an^{-1}(e^x - 1)$,जो सरल होकर $y = 2 	an^{-1}(e^x - 1) - x$ बनता है।

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