अवकल समीकरण frac{dy}{dx} = sqrt{4 - y^2} का व | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण है: $\frac{dy}{dx} = \sqrt{4 - y^2}$.चरों को पृथक करने पर,हमें प्राप्त होता है:$\frac{dy}{\sqrt{4 - y^2}} = dx$.दोनों पक्षों

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$y = 2 \sin(x + C)$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण है: $\frac{dy}{dx} = \sqrt{4 - y^2}$.चरों को पृथक करने पर,हमें प्राप्त होता है:$\frac{dy}{\sqrt{4 - y^2}} = dx$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:$\int \frac{dy}{\sqrt{2^2 - y^2}} = \int dx$.मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{du}{\sqrt{a^2 - u^2}} = \sin^{-1}(\frac{u}{a}) + C$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:$\sin^{-1}(\frac{y}{2}) = x + C$.दोनों पक्षों का ज्या (sine) लेने पर:$\frac{y}{2} = \sin(x + C)$.अतः,व्यापक हल है:$y = 2 \sin(x + C)$.

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \sqrt{4 - y^2}$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए,जहाँ $-2 < y < 2$ है।

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जब $x=2, y=1$ हो,तो $\frac{y}{x} \frac{dy}{dx} = \frac{1+y^2}{1+x^2}$ का विशिष्ट हल क्या है?

यदि $\frac{dy}{dx} = y + 3$ और $y(0) = 2$ है,तो $y(\log 2)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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