एक वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिंदु (0, -2 | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए कि किसी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx}$ है।प्रश्न के अनुसार,स्पर्शरेखा की ढाल और $y$-निर्देशांक का गुणनफल $x$-निर्दे

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$y^{2} - x^{2} = 4$

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(A) मान लीजिए कि किसी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx}$ है।प्रश्न के अनुसार,स्पर्शरेखा की ढाल और $y$-निर्देशांक का गुणनफल $x$-निर्देशांक के बराबर है:$y \frac{dy}{dx} = x$चरों को अलग करने पर,हमें प्राप्त होता है:$y \, dy = x \, dx$दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:$\int y \, dy = \int x \, dx$$\frac{y^{2}}{2} = \frac{x^{2}}{2} + C$$y^{2} - x^{2} = 2C$मान लीजिए $2C = K$,इसलिए $y^{2} - x^{2} = K$।वक्र बिंदु $(0, -2)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $x = 0$ और $y = -2$ रखने पर:$(-2)^{2} - (0)^{2} = K$$4 = K$अतः,वक्र का समीकरण $y^{2} - x^{2} = 4$ है।

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यदि $y=y(x)$ और $\frac{2+\sin x}{y+1}\left(\frac{d y}{d x}\right)=-\cos x$,जहाँ $y(0)=1$,तो $y\left(\frac{\pi}{2}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

अवकल समीकरण $\cos x(1+\cos y) dx - \sin y(1+\sin x) dy = 0$ का व्यापक हल है

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = (x - y)^2$ का हल ज्ञात कीजिए,जब $y(1) = 1$ है।

अवकल समीकरण $(1 - x^2)dy + xydx = xy^2dx$ का हल ज्ञात कीजिए।

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