अवकल समीकरण frac{dy}{dx} + sin left( frac{x + | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \sin \left( \frac{x + y}{2} \right) = \sin \left( \frac{x - y}{2} \right)$ है।पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर

Vedclass · Accepted Answer

$\log 	an \left( \frac{y}{4} ight) = c - 2\sin \left( \frac{x}{2} ight)$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \sin \left( \frac{x + y}{2} ight) = \sin \left( \frac{x - y}{2} ight)$ है।पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{dy}{dx} = \sin \left( \frac{x - y}{2} ight) - \sin \left( \frac{x + y}{2} ight)$ प्राप्त होता है।त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin A - \sin B = 2 \cos \left( \frac{A + B}{2} ight) \sin \left( \frac{A - B}{2} ight)$ का उपयोग करने पर,$\sin \left( \frac{x - y}{2} ight) - \sin \left( \frac{x + y}{2} ight) = 2 \cos \left( \frac{x}{2} ight) \sin \left( -\frac{y}{2} ight) = -2 \cos \left( \frac{x}{2} ight) \sin \left( \frac{y}{2} ight)$ होता है।अतः,$\frac{dy}{dx} = -2 \cos \left( \frac{x}{2} ight) \sin \left( \frac{y}{2} ight)$।चरों को पृथक करने पर,$	ext{cosec} \left( \frac{y}{2} ight) dy = -2 \cos \left( \frac{x}{2} ight) dx$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int 	ext{cosec} \left( \frac{y}{2} ight) dy = -2 \int \cos \left( \frac{x}{2} ight) dx + c$।$\int 	ext{cosec} (ax) dx = \frac{1}{a} \log 	an \left( \frac{ax}{2} ight)$ सूत्र का उपयोग करने पर,$\frac{\log 	an (y/4)}{1/2} = -2 \frac{\sin (x/2)}{1/2} + c$ प्राप्त होता है।इसे सरल करने पर $2 \log 	an (y/4) = -4 \sin (x/2) + c$,या $\log 	an (y/4) = c - 2 \sin (x/2)$ प्राप्त होता है।

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \sin \left( \frac{x + y}{2} \right) = \sin \left( \frac{x - y}{2} \right)$ का व्यापक हल है

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