frac{dy}{dx} = frac{x log(x^2) + x}{sin y + y | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{x \log(x^2) + x}{\sin y + y \cos y}$.चरों को अलग करने पर:$(\sin y + y \cos y) dy = (x \log(x^2) + x)

Vedclass · Accepted Answer

$y \sin y = x^2 \log x + c$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{x \log(x^2) + x}{\sin y + y \cos y}$.चरों को अलग करने पर:$(\sin y + y \cos y) dy = (x \log(x^2) + x) dx$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:$\int (\sin y + y \cos y) dy = \int (x \log(x^2) + x) dx$.बाएँ पक्ष के लिए,$\int y \cos y dy$ पर खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर:$\int \sin y dy + (y \sin y - \int \sin y dy) = y \sin y$.दाएँ पक्ष के लिए,ध्यान दें कि $\log(x^2) = 2 \log x$:$\int (2x \log x + x) dx = 2 \int x \log x dx + \int x dx$.$\int x \log x dx$ के लिए खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर:$2 [\frac{x^2}{2} \log x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx] + \frac{x^2}{2} = 2 [\frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4}] + \frac{x^2}{2} = x^2 \log x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^2}{2} = x^2 \log x$.अतः,हल $y \sin y = x^2 \log x + c$ है।

$\frac{dy}{dx} = \frac{x \log(x^2) + x}{\sin y + y \cos y}$ का हल ज्ञात कीजिए।

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