यदि frac{dy}{dx} = 1 + x + y + xy और y(-1) = | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = 1 + x + y + xy$ है।दाहिनी ओर के पदों का गुणनखंड करने पर: $\frac{dy}{dx} = (1 + x) + y(1 + x) = (1 + x)(1 + y

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$e^{(1 + x)^2/2} - 1$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = 1 + x + y + xy$ है।दाहिनी ओर के पदों का गुणनखंड करने पर: $\frac{dy}{dx} = (1 + x) + y(1 + x) = (1 + x)(1 + y)$।चरों को अलग करने पर: $\frac{dy}{1 + y} = (1 + x) dx$।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{1 + y} = \int (1 + x) dx$।इससे $\log_e(1 + y) = x + \frac{x^2}{2} + C$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों का घातांक लेने पर: $1 + y = e^{x + x^2/2 + C} = k e^{x + x^2/2}$,जहाँ $k = e^C$ है।अतः,$y = k e^{x + x^2/2} - 1$।प्रारंभिक शर्त $y(-1) = 0$ का उपयोग करने पर: $0 = k e^{-1 + 1/2} - 1 \implies 0 = k e^{-1/2} - 1 \implies k = e^{1/2}$।$k$ का मान रखने पर: $y = e^{1/2} e^{x + x^2/2} - 1 = e^{(1 + 2x + x^2)/2} - 1 = e^{(1 + x)^2/2} - 1$।

यदि $\frac{dy}{dx} = 1 + x + y + xy$ और $y(-1) = 0$ है,तो फलन $y$ है

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