माध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए यदि अंतराल $[a, b]$ में $f(x)=x^{3}-5 x^{2}-3 x,$ जहाँ $a=1$ और $b=3$ है। $f(c)=0$ के लिए $c \in(1,3)$ को ज्ञात कीजिए।
माध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए यदि अंतराल $[a, b]$ में $f(x)=x^{3}-5 x^{2}-3 x,$ जहाँ $a=1$ और $b=3$ है। $f(c)=0$ के लिए $c \in(1,3)$ को ज्ञात कीजिए।
The given function $f$ is $f(x)=x^{2}-5 x^{2}-3 x$
$f,$ being a polynomial function, is continuous in $[1,3],$ and is differentiable in $(1,3)$
Whose derivative is $3 x^{2}-10 x-3$
$f(1)=1^{2}-5 \times 1^{2}-3 \times 1=-7, f(3)=3^{3}-3 \times 3=27$
$\therefore \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{f(3)-f(1)}{3-1}=\frac{-27-(-7)}{3-1}=-10$
Mean Value Theorem states that there exist a point $c \in(1,3)$ such that $f^{\prime}(c)=-10$
$f^{\prime}(c)=-10$
$\Rightarrow 3 c^{2}-10 c-3=10$
$\Rightarrow 3 c^{2}-10 c+7=0$
$\Rightarrow 3 c^{2}-3 c-7 c+7=0$
$\Rightarrow 3 c(c-1)-7(c-1)=0$
$\Rightarrow(c-1)(3 c-7)=0$
$\Rightarrow c=1, \frac{7}{3}$ where $c=\frac{7}{3} \in(1,3)$
Hence, Mean Value Theorem is verified for the given function and $c=\frac{7}{3} \in(1,3)$ is the only point for which $f^{\prime}(c)=0$
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माना $f$ कोई फलन है जोकि $[ a , b ]$ में संतत तथा $( a , b )$ में दो बार अवकलनीय है। यदि सभी $x \in( a , b )$ के लिए $f^{\prime}( x ) > 0$ तथा $f^{\prime \prime}( x )<0$ हैं, तो किसी भी $c \in( a , b )$, के लिए $\frac{f( c )-f( a )}{f( b )-f( c )}$ निम्न में से किससे बड़ा है?
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फलनों के लिए माध्यमान प्रमेय की अनुपयोगिता की जाँच कीजिए।:
$(i)$ $f(x)=[x]$ के लिए $x \in[5,9]$
$(ii)$ $f(x)=[x]$ के लिए $x \in[-2,2]$
$(iii)$ $f(x)=x^{2}-1$ के लिए $x \in[1,2]$
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यदि फलन $f(x)=2 x^{3}+ b x^{2}+ c x, x \in[-1,1]$ के लिए बिंदु $x=\frac{1}{2}$ पर रोले का प्रमेय लागू होता है, तो $2 b + c$ बराबर है
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फलन $f(x)$ मध्यमान प्रमेय की सभी शर्तो को अंतराल $ [0, 2] $ में सन्तुष्ट करता है। यदि $ f (0) = 0 $ और अंतराल $ [0, 2] $ में $x $ के सभी मानों के लिये $|f'(x)|\, \le \frac{1}{2}$, तब
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